Filtri in microstriscia

Filtri in microstriscia Corso di Componenti e Circuiti a Microonde Ing. Francesco Catalfamo 5-7 Novembre 006

Indice Circuiti risonanti accoppiati Una classica struttura di filtri passa basso: Filtro stepped-impedance Strutture classiche di filtri passa banda:. Filtro end-coupled. Filtro a linee accoppiate parallele 3. Filtro Hairpin 4. Filtro Interdigital 5. Filtro Combline

Circuiti risonanti accoppiati I circuiti risonanti accoppiati sono importanti per il progetto dei filtri a microonde, in particolare per i filtri passa banda a banda stretta, i quali rivestono particolare importanza in molte applicazioni. Si illustrerà una tecnica generale per la progettazione di filtri con risonatori accoppiati, nel senso che può essere applicata a tutti i tipi di risonatori a dispetto della loro struttura fisica. Questo metodo di progetto è basato sui coefficienti di accoppiamento dei risonatori accoppiati e sui fattori di qualità esterni dei risonatori di ingresso e di uscita. Dal momento che questa tecnica si rivela così utile e versatile, sarebbe opportuno comprendere appieno non solo il suo approccio, ma anche la sua teoria.

Circuiti risonanti accoppiati La matrice generale di accoppiamento è, pertanto, importante per la rappresentazione di una vasta gamma di tipologie di filtri a risonatori accoppiati. La sua formulazione può essere fatta sia in termini di equazioni alle maglie (accoppiamento magnetico) che in termini di equazioni ai nodi (accoppiamento elettrico). Ciò porta ad una serie di formule molto utili per l analisi e la sintesi dei circuiti con filtri a risonatori accoppiati in termini dei coefficienti di accoppiamento e dei fattori di qualità esterni. La teoria generale dell accoppiamento determina la relazione tra il coefficiente di accoppiamento e la struttura fisica dei risonatori accoppiati in modo sincrono (dimensioni dei risonatori uguali) od in modo asincrono (dimensioni dei risonatori differenti).

Circuiti risonanti accoppiati Per non appesantire eccessivamente la presente trattazione, si riportano nel seguito le relazioni più significative di questa teoria. Si evince come esista una formulazione unificata per il trattamento dei filtri con risonatori accoppiati per accoppiamenti sia magnetici che elettrici e per loro combinazioni (accoppiamento misto). Le equazioni generali che seguono sono frutto di queste considerazioni: [ ] S = A n [ ] qe q, S = ± A con [ A] = [ q] + p[ U ] [ m] en qe dove [U] è la matrice identità n n, [q] è una matrice n n con tutti gli elementi nulli eccetto q = q e e qnn = qen (con qei = Qei FBW per i =,n; fattore di qualità esterno ridotto), [m] è la cosiddetta matrice generale di accoppiamento, che è una matrice n n simmetrica ( m i = m i, coefficienti di accoppiamento) e presenta gli elementi della diagonali principale ( m ii ) diversi da zero per un filtro con risonatori accoppiati in modo asincrono.

Circuiti risonanti accoppiati Dopo aver determinato la matrice di accoppiamento per le caratteristiche desiderate del filtro, il successivo passo importante per il progetto è quello di stabilire la relazione tra il valore di ognuno dei coefficienti di accoppiamento e la struttura fisica dei risonatori accoppiati così come trovare le dimensioni fisiche per la realizzazione del filtro. In generale, il coefficiente di accoppiamento dei risonatori accoppiati a microonde, che possono essere differenti per la loro struttura e per le loro frequenze di risonanza propria, può essere definito sulla base del rapporto energia accoppiata su energia immagazzinata, cioè: M = ε E ε E dv E dv ε E dv dove E e H rappresentano i vettori di campo elettrico e magnetico, rispettivamente, e M indica la notazione del coefficiente di accoppiamento. + µ H µ H dv H dv µ H dv

Circuiti risonanti accoppiati Ovviamente, la valutazione diretta del coefficiente di accoppiamento della relazione precedente richiede la conoscenza delle distribuzioni di campo e la risoluzione degli integrali tripli. Ciò non si rivela per nulla semplice se già non esistono delle soluzioni analitiche dei campi. D altro canto, è molto più agevole usare un simulatore elettromagnetico (EM) o ricavare sperimentalmente alcune frequenze caratteristiche che sono associate con i coefficienti di accoppiamento dei risonatori accoppiati a microonde. Accoppiamento dei risonatori a microonde nel caso più generale di strutture risonanti differenti e con diverse frequenze di risonanza

Circuiti risonanti accoppiati I coefficienti cercati possono così essere determinati dalla struttura fisica dei risonatori accoppiati, purché venga stabilita la relazione che li lega alle frequenze caratteristiche appena determinate. La formulazione ottenuta da questo studio permette di dire che:. dove f = ω π e f = ω π per i =,. 0i 0i M f = ± f pi 0 0 + i f f 0 0 f f p p + Questa espressione può essere utilizzata per estrarre il coefficiente di accoppiamento da ogni coppia di risonatori accoppiati in modo asincrono e per qualunque tipo di accoppiamento, sia esso elettrico, magnetico o misto. La formula vale, logicamente, anche per risonatori accoppiati in modo sincrono, ed anzi si semplifica così (*) : f p f p M = ± f + f (*) Verrà chiarito nel seguito, quando verranno effettuate le simulazioni EM, che cosa si intenda esattamente con f p e f p. f f p p f f 0 0 + f f 0 0 p p

Circuiti risonanti accoppiati Per quanto riguarda l estrazione del fattore di qualità esterno (Q e ) si considera il solo caso, di interesse per la presente trattazione, di risonatori singolarmente caricati. Due tipiche strutture di accoppiamento ingresso/uscita (I/O) per filtri con risonatori in microstriscia accoppiati, ovvero con linea tapped (a) e struttura a linea accoppiata (b) sono qui riportate, con i risonatori a microstriscia ad anello aperto.

Circuiti risonanti accoppiati Per la linea di accoppiamento tapped, di solito una linea retta a 50 Ω viene direttamente inserita nei risonatori di I/O, e l accoppiamento o il fattore di qualità esterno è controllato agendo sulla posizione t del ramo tapped (*). L accoppiamento della struttura a linea accoppiata può essere ricavata dalla spaziatura g e dalla larghezza w della linea. Normalmente, una minore spaziatura ed una linea più stretta provocano un più intenso accoppiamento I/O o un minore fattore di qualità esterno del risonatore. Per estrarre il fattore di qualità esterno dalla risposta in frequenza dei risonatori di I/O, nel caso siano essi singolarmente caricati, si considera il circuito equivalente qui riportato: Circuito equivalente dei risonatori I/O singolarmente caricati (*) Per esempio, minore è t più vicino alla massa virtuale del risonatore è il ramo tapped, che produce un accoppiamento più debole o un più grande fattore di qualità esterno.

Circuiti risonanti accoppiati In questo modello, G dovrebbe essere vista come una conduttanza esterna collegata al risonatore LC privo di perdite. Studiando la risposta di fase di questo circuito equivalente si giunge alla seguente relazione per il fattore di qualità esterno: Il piano di riferimento di S nella simulazione EM può non adattarsi esattamente al circuito equivalente, e ciò porta ad uno spostamento della fase, cosicché la fase simulata di S non è proprio nulla alla risonanza. Q e = ω ω 0 ± 90 In questo caso, il parametro ω ±90 dovrebbe essere determinato dalla frequenza alla quale gli spostamenti di fase sono di ± 90 rispetto alla fase assoluta ω 0. Risposta di fase (S ) del circuito equivalente

Una classica struttura di filtri passa basso In generale, la progettazione di un filtro passa basso in microstriscia implica l esecuzione di due passi. Il primo passo consiste nel selezionare un appropriato prototipo passa basso. La scelta del tipo di risposta, che include l ondulazione nella banda passante ed il numero di elementi reattivi, dipenderà dalle particolari specifiche. I valori degli elementi del prototipo passa basso sono trasformati in elementi L C in modo da avere la frequenza di taglio richiesta e l impedenza di sorgente desiderata. Una volta ottenuto un modello circuitale a parametri concentrati del filtro, il secondo passo da compiere è la progettazione del filtro in microstriscia vero e proprio, ovvero trovare la realizzazione in microstriscia che meglio approssima il comportamento descritto dal modello. Verrà ora illustrato un esempio di filtro passa basso in microstriscia.

Filtro stepped-impedance Struttura generale di un filtro passa basso di tipo stepped impedance ed approssimazione L C Questa tipologia di filtro utilizza una struttura a cascata alternando linee di trasmissione ad alta e bassa impedenza. Tali linee sono molto più corte della lunghezza d onda guidata, in modo tale da comportarsi come elementi semi concentrati. Le linee ad alta impedenza si comportano da induttori serie, mentre quelle a bassa impedenza da condensatori parallelo. Per la progettazione di questi filtri occorre avere una conoscenza a priori circa le linee in microstriscia impiegate.

Filtro stepped-impedance E conveniente fissare le impedenze caratteristiche delle linee ad alta e bassa impedenza seguendo il presente schema: Z 0C < Z 0 < Z 0L, dove Z 0C e Z 0L indicano le impedenze caratteristiche delle linee a basse ed alta impedenza rispettivamente, mentre Z 0 è l impedenza della sorgente (tipicamente 50 Ω). Valori di Z 0C inferiori corrispondono ad una migliore approssimazione del comportamento di un condensatore semi concentrato, ma la larghezza della linea W C risultante non dovrà permettere il verificarsi di nessuna risonanza trasversale alle frequenze operative. Valori di Z 0L più alti portano ad una migliore approssimazione del comportamento da induttore semi concentrato, ma Z 0L non deve risultare così alto da rendere la propria realizzazione enormemente difficoltosa a ragione delle ridottissime dimensioni della linea (la linea diviene troppo stretta).

Strutture classiche di filtri passa banda Verranno illustrate le seguenti tipologie di filtro passa banda in microstriscia: Filtro end-coupled Filtro a linee accoppiate parallele Filtro Hairpin Filtro Interdigital Filtro Combline

Struttura generale di un filtro end-coupled Filtro end-coupled I risonatori in microstriscia sono aperti e presentano una lunghezza pari a λ g0 / alla frequenza di centro banda f 0 del filtro. L accoppiamento tra un risonatore ed il successivo avviene attraverso il gap tra due risonatori adiacenti (tale accoppiamento è di tipo capacitivo). In questo caso il gap può essere rappresentato mediante un convertitore J: dove g 0, g, g n sono gli elementi del prototipo passa basso con frequenza di taglio normalizzata Ω C =, e FBW è la banda relativa del filtro passa banda. J,+ sono le ammettenze caratteristiche dei convertitori J e Y 0 è l ammettenza caratteristica delle linee.

Filtro end-coupled Assumendo che i gap capacitivi siano ideali, in termini di suscettanza si ha: B,+ e θ sono valutati a f 0 La distanza tra due risonatori contigui s,+ può essere determinata come quella che permette di avere una capacità serie data da: dove ω 0 = πf è la frequenza angolare valutata a metà banda. Per il calcolo della lunghezza dei risonatori si utilizza la seguente relazione: con ;

Filtro a linee accoppiate parallele Struttura generale del filtro passa banda in microstriscia a linee accoppiate parallele. I risonatori sono posizionati in modo tale che quelli fra loro adiacenti risultano paralleli l un l altro per metà della loro lunghezza. Questa disposizione assicura un accoppiamento relativamente grande per un assegnata spaziatura tra i risonatori, e così questa struttura filtrante è particolarmente conveniente per la realizzazione di filtri con una più ampia larghezza di banda rispetto a quella ottenibile con filtri end-coupled.

Filtro a linee accoppiate parallele Le equazioni per il progetto relative a questa tipologia di filtro sono date dal Matthaei: J J Y 0 0 = π FBW g g, + πfbw = 0 g g + Y 0 J n, n+ Y 0 g n g n+ G. Matthaei dove g 0, g, g n sono gli elementi del prototipo passa basso con frequenza di taglio normalizzata Ω C =, e FBW è la banda relativa del filtro passa banda. J,+ sono le ammettenze caratteristiche dei convertitori J e Y 0 è l ammettenza caratteristica delle linee. Per realizzare i convertitori J appena ottenuti occorre determinare le impedenze caratteristiche di modo pari e di modo dispari dei risonatori a microstrisce accoppiate. = π FBW per =,, n-;

Filtro a linee accoppiate parallele Le impedenze di modo pari e di modo dispari sono calcolate per il tramite delle seguenti relazioni: Nel calcolo di queste grandezze si è soliti assumere che: Y 0 = /Z 0 e Z 0 = 50 Ω Inoltre, la lunghezza di ogni tratto di linea accoppiata è circa λ g0 /4, o più precisamente: ( ) + + = + + + 0, 0, 0, 0 Y J Y J Y Z e ( ) + = + + + 0, 0, 0, 0 Y J Y J Y Z o per = 0 n; per = 0 n; ( ) ( ) ( ) ro re l l = 0 4 ε ε λ dove re p c C cz l ε =

Filtro Hairpin Struttura del filtro di tipo hairpin a linea di ingresso/uscita di tipo tapped I filtri passa banda di tipo hairpin sono strutture piuttosto compatte. È possibile ottenerle concettualmente ripiegando a forma di U i risonatori di filtri a linee accoppiate parallele (a λ/) che sono stati trattati in precedenza. Questo tipo di risonatore ad U è meglio conosciuto come risonatore hairpin, ovvero a forcella. In conseguenza di ciò, possono essere utilizzate, per questo tipo di filtro, le medesime equazioni valide per quello a linee accoppiate parallele. Tuttavia, per ripiegare i risonatori è necessario considerare la riduzione delle lunghezze delle linee accoppiate, che riduce l accoppiamento esistente tra i risonatori. Inoltre, se i due rami di ogni risonatore hairpin sono molto vicine tra loro, questi si comportano come linee mutuamente accoppiate, e possono avere un effetto sull accoppiamento generale del filtro.

Filtro Hairpin Una volta ottenuti i parametri del prototipo passa basso, quelli del progetto passa banda possono essere calcolati con le relazione seguenti: = g0g g n g n Qen = FBW FBW Q e + M i, i+ = FBW dove Q e e Q en sono i fattori di qualità esterni dei risonatori di ingresso e di uscita e M i,i+ sono i coefficienti di accoppiamento tra i risonatori adiacenti. Usando tale metodologia si possono ricavare, mediante le simulazioni EM, le dimensioni fisiche dal fattore di qualità esterno (Q) e dal coefficiente di accoppiamento (M). g i g i+ per i = n-; Curve per il progetto del filtro hairpin ottenute dalle simulazione EM

Filtro Interdigital La configurazione filtrante consiste in un array di n risonatori a linea di trasmissione a modo quasi TEM, ognuno dei quali presenta una lunghezza elettrica di 90 alla frequenza di centro banda ed è cortocircuitato ad un estremo ed aperto all altro con orientazione alternata. In generale, le dimensioni fisiche degli elementi di linea o dei risonatori possono essere differenti, come evidenziato dalle lunghezze l, l, l n e dalle larghezze W, W, W n. L accoppiamento è ottenuto dai campi ai bordi tra i risonatori adiacenti separati mediante le spaziature s i,i+ per i =, n-. Configurazione generale del filtro di tipo interdigital

Filtro Interdigital L ingresso e l uscita del filtro usano linee tapped con ammettenza caratteristica Y t, che può essere posta uguale all ammettenza caratteristica della sorgente e/o del carico (Y 0 ). La lunghezza elettrica θ t indica la posizione della linea tapped, dove Y = Y n indica che i risonatori di ingresso e uscita presentano la medesima impedenza caratteristica. Questo tipo di filtro passa banda in microstriscia è piuttosto compatto, ma richiede l uso di risonatori posti a massa, e per far ciò si utilizzano i cosiddetti via holes. Tuttavia, la seconda banda passante del filtro è centrata a circa tre volte la frequenza centrale della prima banda passante, e così non c è nessuna possibilità di interferenze tra dette bande. Per i filtri a linee accoppiate parallele, una banda passante spuria a circa il doppio della frequenza centrale della prima viene comunque eccitata.

Filtro Interdigital Formulazione di S. Caspi e J. Adelman S. Caspi and J. Adelman, Design of combline and interdigital filters with tapped-line input, IEEE Trans., MTT-36, April 988, 759 763. Le equazioni per il progetto di questo tipologia di filtro

Filtro Combline I filtri combline sono composti da un array di risonatori accoppiati. I risonatori sono n elementi di linea cortocircuitati ad un estremo, con un condensatore C Li tra il terminale opposto di ogni linea e la massa. L ingresso e l uscita del filtro sono anch essi elementi di linea accoppiati, indicati con 0 e n +, ma non sono risonatori. Configurazione generale di filtro passa banda di tipo combline A causa della presenza del condensatore, le linee avranno una lunghezza inferiore λ g0 /4 alla risonanza. È interessante osservare le linee sarebbero lunghe esattamente λ g0 /4 alla risonanza se solo il condensatore non fosse presente. Inoltre, non si avrebbe nessuna banda passante del filtro in quanto gli accoppiamenti elettrici e magnetici si annullerebbero reciprocamente.

Filtro Combline Si osservi che maggiore è la capacità del condensatore C Li più corti saranno i risonatori, e ciò genera una struttura filtrante piuttosto compatta con una più ampia banda di blocco tra la prima banda passante del filtro, che è anche quella desiderata, e la seconda, che è quello non voluta. A titolo di esempio, se i risonatori sono lunghi λ g0 /8 nella banda passante principale, la banda passante secondaria sarà centrata a circa quattro volte la frequenza centrale della prima. Nella pratica, la lunghezza minima dei risonatori potrebbe essere limitata dalla diminuzione del fattore di qualità in assenza di carico del risonatore e dai requisiti stringenti della capacità di carico. Si osservi, inoltre, che i condensatori discreti possono essere usati per il tuning del filtro, specie se questo presenta una banda piuttosto stretta

Filtro Combline Tuttavia, invece di lavorare con auto e mutue capacità, un approccio alternativo alla progettazione di tale filtro consiste nel determinare le dimensioni dei risonatori a partire da un altro insieme di parametri: i fattori di qualità esterni ed i coefficienti di accoppiamento. con