Matematica C Algera. Le asi del calcolo letterale. spressioni letterali e valore numerico.. SPRSSIONI LTTRALI VALOR NUMRICO DI UN SPRSSION... Lettere per esprimere formule In tutte le villette a schiera di recente costruzione del nuovo quartiere Stella, vi è un terreno rettangolare di larghezza m e lunghezza 5m. Quanto misura la superficie del terreno? Il prodotto delle dimensioni rappresenta la misura richiesta: m S = (5 )m = 00m 5m Il semplice prolema che aiamo risolto è relativo ad un caso particolare; quel terreno con quelle dimensioni. Ma se le dimensioni fossero diverse? La procedura per determinare la misura della superficie ovviamente è sempre la stessa e la possiamo esprimere con una formula: A = h, nella quale aiamo indicato con la misura di una dimensione e con h la misura dell altra dimensione, assegnate rispetto alla stessa unità di misura. La formula ha carattere generale; essa serve ogni qualvolta si chiede di determinare la superficie di un rettangolo, note le misure delle dimensioni (ase e altezza) rispetto alla stessa unità di misura. In geometria si utilizzano tantissime formule che ci permettono di determinare perimetro e area delle figure piane, superficie laterale e totale e volume dei solidi. Nelle formule le lettere sostituiscono le misure di determinate grandezze, tipiche di quella figura o di quel solido. B sprimi con una formula l area della superficie della zona colorata, indicando con l la misura del lato AB e con la misura di AC. Svolgimento: l area del quadrato è., l area di ciascuno dei quadratini ianchi è. Pertanto l area della superficie in grigio è. C A... Lettere per descrivere schemi di calcolo L insegnante chiede agli alunni di scrivere il doppio della somma di due numeri. Antonella scrive: ( + 78) Maria chiede quali sono i numeri? Se non li conosco non posso soddisfare la richiesta Giulia scrive: ( a + ) Maria si è posta il prolema ma non ha saputo generalizzare la richiesta. Antonella si è limitata ad un caso particolare. Giulia ha espresso con una formula l operazione richiesta dall insegnante. L uso di lettere dell alfaeto per indicare numeri ci permette di generalizzare uno schema di calcolo Scrivi l espressione algerica letterale relativa alla frase eleva al quadrato la differenza tra il cuo di un numero e il doppio del suo quadrato Svolgimento: detto a il numero generico, il cuo di a si indica con, il doppio quadrato di a si indica con e infine il quadrato della differenza sarà:. Traduci in parole della lingua italiana il seguente schema di calcolo: ( a ) Svolgimento: indicati con a e due generici numeri la traduzione dell espressione algerica in parole sarà: www.matematicamente.it - -
Matematica C Algera. Le asi del calcolo letterale. spressioni letterali e valore numerico. DFINIZION: Un espressione letterale o espressione algerica è uno schema di calcolo in cui compaiono numeri e lettere legati dai simoli delle operazioni. Osservazione : per scrivere un espressione letterale ci si deve attenere a regole precise, quelle stesse che utilizziamo per scrivere espressioni numeriche. Per esempio, la scrittura + non è corretta, in quanto il simolo + dell addizione deve essere seguito da un altro numero per completare l operazione. Analogamente non è corretta l espressione letterale a c + Osservazione : come nelle espressioni numeriche le parentesi indicano la priorità di certe operazioni rispetto ad altre. La formula a ( + y) specifica il prodotto di un numero per la somma di due altri. ssa è diversa da a + y che rappresenta la somma del prodotto di due numeri con un terzo numero. Individua tra quelle sottostanti le espressioni letterali scritte correttamente: 7 ) + aa ) a + ) ( ( a ) + ( ) 5 y ) a: 5) a+ c Svolgimento: sono corrette la, la e la 5; la presenta un doppio segno di operazioni +, la ha la prima parentesi tonda che non è stata chiusa.... Lettere per esprimere proprietà Per esprimere le proprietà delle operazioni tra numeri si usano le lettere per indicare che valgono per numeri qualsiasi. La scrittura ( a + ) + c = a + ( + c) esprime la proprietà associativa dell addizione. In essa le lettere a,, c indicano numeri qualsiasi. I due schemi di calcolo ci dicono che per sommare tre numeri, è indifferente aggiungere alla somma dei primi due il terzo oppure aggiungere al primo la somma degli altri due. 5 Collega con una freccia la proprietà dell operazione con la sua scrittura attraverso lettere: PROPRITÀ SPRSSION a + y = a + a Commutativa dell addizione ( ) y Associativa della moltiplicazione ( a ) c = a ( c) Distriutiva del prodotto rispetto alla somma a + = + a 6 sprimere con le lettere la proprietà commutativa della moltiplicazione Svolgimento: considerati a e due numeri qualsiasi, la proprietà commutativa si esprime per mezzo dell espressione ; cioè.... Il valore numerico di un espressione letterale Ogni espressione letterale rappresenta uno schema di calcolo in cui le lettere che vi compaiono sostituiscono numeri. L espressione letterale traduce una catena di istruzioni che in linguaggio naturale sono così descritte: prendi un numero; fanne il quadrato; raddoppia quanto ottenuto; aggiungi al risultato il numero preso inizialmente. www.matematicamente.it - - +
Matematica C Algera. Le asi del calcolo letterale. spressioni letterali e valore numerico. Questa catena di istruzioni si può anche rappresentare in modo schematico + e usata per istruire un esecutore a calcolare l espressione letterale quando al posto della lettera si sostituisce un numero. Calcoliamo il valore dell espressione +, sostituendo alla lettera il numero naturale 5. Seguiamo la schematizzazione + e otteniamo: 5 5 50 55. Il risultato è 55. Più revemente scriviamo 5 nell espressione letterale al posto di : otteniamo l espressione numerica 5 + 5 il cui risultato è 55. se al posto di sostituiamo -5? Camia il risultato? Bene, eseguiamo la sostituzione: (-5) + (-5) =.. Lasciamo a te il calcolo finale! Ti sei accorto che il risultato è camiato. DFINIZION: In un espressione letterale le lettere rappresentano le variaili che assumono un preciso significato quando vengono sostituite da numeri. DFINIZION: Chiamiamo valore di un espressione letterale il risultato numerico che si ottiene eseguendo le operazioni indicate dallo schema di calcolo quando alle lettere sostituiamo un numero. Il valore dell espressione letterale dipende dal valore assegnato alle sue variaili. 7 Consideriamo l espressione letterale = a + (-a + ). Osserviamo che vi compare una sola variaile, la lettera a; supponiamo che rappresenti uno schema di calcolo tra numeri interi relativi. Determiniamo il valore dell espressione per alcuni valori assegnati alla sua variaile: a = ( ) + + =+ 6+ + = 6+ 6= ( ( ) ) ( ) () ( ) ( ) a = () + + = +... =... a = Possiamo costruire una taella ponendo in una riga i valori assegnati alla variaile, in un altra riga i corrispondenti valori ottenuti per : a - - - 8 L espressione letterale = a + (-a + ) rappresenta ora uno schema di calcolo tra numeri razionali relativi; completa la taella: a 7 0 5 9 Risposte: ; ;57;. Conclusione: ad ogni valore razionale attriuito alla variaile, corrisponde un numero razionale come valore dell espressione assegnata. 9 Calcola il valore dell espressione letterale = a ( a ) + a le cui variaili a, 7 rappresentano numeri razionali, per i valori assegnati nella taella sottostante: www.matematicamente.it - -
Matematica C Algera. Le asi del calcolo letterale. spressioni letterali e valore numerico. Svolgimento: se vogliamo calcolare il valore dell espressione letterale doiamo scegliere due numeri razionali, uno da assegnare alla variaile a, l altro alla variaile, cioè doiamo scegliere una coppia di numeri razionali. A 0 B - 0 6 7 Risposte: (, ) ; 0, ; (, 0) ;, 7 8 In conclusione, ad ogni coppia di numeri razionali, corrisponde un numero razionale come valore dell espressione assegnata. a a per a =, = 0 Calcolare il valore numerico della seguente espressione: ( ) Svolgimento: ( ) = 0 = 0. Calcolare il valore numerico della seguente espressione: 0 Svolgimento: + =. 0 a + a per a = -, = 0 y Calcoliamo il valore dell espressione letterale = costruita con le due variaili, e y che rappresentano numeri razionali. L espressione letterale assegnata traduce il seguente schema di calcolo: la divisione tra la differenza di due numero e il triplo del primo numero Completa la seguente taella: Y 9 0 0 - - Ti sarai accorto che nelle caselle colorate compare lo stesso valore per : perché secondo te succede questo fatto? Vi sono secondo te altre coppie che fanno assumere ad quello stesso valore? www.matematicamente.it - -
Matematica C Algera. Le asi del calcolo letterale. spressioni letterali e valore numerico...5. Condizione di esistenza di un espressione letterale Ti proponiamo adesso alcuni casi particolari, sempre riferiti alla stessa espressione caso: Y 0 = y Il numeratore della frazione è 0, mentre il denominatore vale ; il calcolo finale è dunque 0 0. = Vi sono secondo te altre coppie che fanno assumere ad quello stesso valore? caso: Y 0 5 Invece di mettere un valore ad, aiamo messo dei punti di domanda perché in questo caso: il numeratore della frazione è 5 mentre il denominatore vale 0; 5 il calcolo finale è dunque = Impossiile. 0 Vi sono secondo te altre coppie che rendono impossiile il calcolo del valore per? Non possiamo allora concludere che per ogni coppia di numeri razionali (, y ) l espressione assume un numero razionale. Per poter calcolare il valore di non doiamo scegliere coppie aventi uguale a zero. Scriveremo quindi come premessa alla ricerca dei valori di la Condizione di sistenza 0. L esempio appena svolto ci fa capire che di fronte a una espressione letterale doiamo con molta attenzione riflettere sullo schema di calcolo che essa rappresenta prima di assegnare valori alle variaili che vi compaiono. Se l espressione letterale presenta una divisione in cui il divisore contiene variaili, doiamo stailire la Condizione di sistenza, eliminando quei valori che rendono nullo il divisore. Per comprendere la necessità di porre le condizioni d esistenza ricordiamo la definizione di divisione. Quanto fa 5 diviso 5? Perché? In forma matematica: 5 : 5 = perché 5= 5. Quindi, generalizzando; a: Vediamo ora cosa succede quando uno dei numeri è 0. Quanto fa 0:5? Devo cercare un numero che moltiplicato per 5 mi dia 0: trovo solo 0; infatti 05 = 0. = cse c = a. Quanto fa 5 : 0? Devo cercare un numero che moltiplicato per 0 mi dia 5: non lo trovo; infatti nessun numero moltiplicato per 0 fa 5. Quindi, 5 : 0 è impossiile perché non esiste per il quale 0= 5. Quanto fa 0:0? Devo cercare un numero che moltiplicato per 0 mi dia 0: non né trovo solo uno. Infatti, qualunque numero moltiplicato per 0 fa 0. Per esempio, 0:0= infatti 0 = 0, anche 0 : 0 = 89,67 www.matematicamente.it - 5 -
Matematica C Algera. Le asi del calcolo letterale. spressioni letterali e valore numerico. 99 99 infatti 89,67 0 = 0, 0:0= 0 infatti 00 = 0, ancora 0:0= 0 infatti 0 0 = 0. Quindi 0:0 è indeterminato, perché non è possiile determinare un tale che 0= 0, per qualunque valore di si ha 0= 0. a - Consideriamo l espressione letterale = dove a e rappresentano numeri razionali. a + Premettiamo : la descrizione a parole dello schema di calcolo: divisione tra la differenza di due numeri e la loro somma la domanda che riguarda il denominatore: quando sommando due numeri razionali otteniamo 0 al denominatore? la Condizione di sistenza: a e non devono essere numeri opposti. Siamo ora in grado di completare la taella: a 0 5 9 8 B - 0 5 9 8 Dalla Condizione di sistenza, ci accorgiamo suito che la prima coppia e la quarta sono formate da numeri opposti, pertanto non possiamo con esse calcolare il valore di. L ultima coppia è formata da numeri uguali pertanto la loro differenza è 0; il numeratore si annulla e quindi il valore di è 0. Per la coppia 0, il valore di è - mentre è per la coppia,0 vale. La taella verrà quindi così completata A 0 B - 0 - impossiile 5 Adesso prova tu con l espressione 0 5 8 5 8 impossiile 9 9 0 - = completando la taella: 5 8 6 Calcola il valore numerico dell espressione: per = 0 Svolgimento: Sostituendo alla il valore assegnato si ha una divisione per... e quindi. www.matematicamente.it - 6 -
Matematica C Algera. Le asi del calcolo letterale. spressioni letterali e valore numerico. Altri esercizi 7 Scrivi la formula che ci permette di calcolare l area di un trapezio avente ase maggiore B = 5 cm, ase minore = cm e altezza h = cm. 8 Scrivi la formula che ci consente di calcolare il perimetro di un quadrato di misura l. 9 Determina l altezza h i relativa all ipotenusa del triangolo rettangolo ABC. CASO NUMRICO: AB = 8m. AC = 5m. CASO GNRAL: Indica con e y le misure dei y cateti, e determina la formula per calcolare la misura di h i. A B 0 Il volume della scatola avente le dimensioni di 7cm. 0cm. cm. è. c Generalizza la questione indicando con a,, c la misura delle sue dimensioni.. a Se raddoppiamo ciascuna dimensione allora il volume diventa α) a c β )a c γ )6 a c δ )8 a c Scrivi sotto forma di espressioni letterali le seguenti frasi Moltiplica a per l inverso di a. Moltiplica a per l opposto del cuo di a. Sottrai ad a l inverso di. Somma al triplo di a il doppio quadrato di. 5 Sottrai il doppio di a al cuo di a. 6 Moltiplica il reciproco di per il quadrato dell inverso di a. 7 Somma al cuo di a il quadrato della somma di a e. 8 Dividi il quadrato di a per il triplo cuo di. 9 Moltiplica il quadrato di per l inverso del cuo di a. a a a a a Scrivi con una frase le seguenti espressioni: 0 a. [Il triplo di a ] 5a. a. a a ( a+ ). + y 5. [Dividi il doppio di a per il triplo del quadrato di ] www.matematicamente.it - 7 -
Matematica C Algera. Le asi del calcolo letterale. spressioni letterali e valore numerico. Calcola il valore numerico delle seguenti espressioni algeriche: 6 a+ a per a = [ 6 ] 7 a+ 5a per a = [ ] 8 + y ( y) per = ; y = 9 a + a per a= ; = [ ] 0 a 7a+ a per a= ; = [ ] 9 y + y per = ; y = Calcola il valore numerico della seguente espressione: Svolgimento: =... =. 6 ( ) a a per ; [ 6] y + y per ; [ 7] ( a+ ) 9 5 + a+ per a= ; = a 8 55 6 + y + y per = ; y = y 8 7 ( a 7 ) 9 a per a= ; = ( a+ ) 6 y + y 9 8 + y per = ; y = + ( y) 8 9 Calcola il valore numerico della seguente espressione: 5a per a =, = 5 Svolgimento: sostituiamo alle lettere il valore assegnato ed otteniamo che 5 5 =. a 50 ( a) a+ a per a= ; = [ ] 5y + y 5 6+ y per = ; y = [ 0] 5 = a + a per a = 0 ; a = ; a = 9 5 = -a c per ( a= 0,=,c= ) ; a=, =,c= 6 5 = a + + per a =, = ; a =, = 0 www.matematicamente.it - 8 -
Matematica C Algera. Le asi del calcolo letterale. spressioni letterali e valore numerico. 55 5 = 8 + + 7 + 8 per = 0 ; = ; = 56 = -a + a per a = ; a = ; a = 0 ; a = a Sostituendo alle lettere i numeri, affianco indicati, stailisci se le seguenti espressioni hanno significato: + 57 per = 0 SI NO + y 58 y per = ; y = 0 SI NO 59 ( ) a+ a per a = ; = [non ha significato perché non è un numero] 0 60 6 ( ) 5 + yy ( + y) a + + 6a a + + aa per = ; y = SI NO per a= ; = SI NO Lettere per verificare/ confutare uguaglianze o proprietà 6 Sostituendo alle lettere numeri razionali aritrari, determina se le seguenti uguaglianze tra formule sono Vere o False ( a ) a + = + ( a ) ( a + a + ) = a ( 5 a ) ( a + ) = 5 a + a V V V F F F 6 Se n è un qualunque numero naturale, l espressione n + dà origine ad un numero primo a un numero dispari ad un quadrato perfetto ad un numero divisiile per 6 Quale delle seguenti formule rappresenta, qualunque sia il valore naturale attriuito ad n, un multiplo di 5? 5+ n 5 n 5n n 5 Versione 5 del.0.008, hanno collaorato: Cristina Mocchetti: versione Francesco Speciale: revisione e integrazioni Antonio Bernardo: revisione e integrazioni Michela Todeschi: integrazioni Lucian Sarra: revisione Angela Iaciofano: revisione Angela D Amato: revisione www.matematicamente.it - 9 -