Oscillatori armonici smorzati e forzati

Oscillatori armonici smorzati e forzati Giuseppe Dalba Sommario In questi appunti prenderemo in esame l utilizzo delle funzioni complesse nella risoluzione delle equazioni lineari a coefficienti reali, ed il metodo dei fasori come comodo strumento per la visualizzazione di queste soluzioni. Queste tecniche verranno poi utilizzato per analizzare il comportamento delle soluzioni del problema dell oscillatore armonico forzato e smorzato e discutere alcune delle loro proprietà. Indice Oscillatori armonici smorzati e forzati. Oscillazioni complesse e fasori............................... Soluzione generale per l oscillatore forzato e smorzato................ 3.. Soluzione analitica................................ 3.. Soluzione geometrica............................... 4.3 Effetti di smorzamento nel moto oscillatorio...................... 5.3. Regime di piccolo smorzamento......................... 5.3. Decadimento dell energia nel regime di piccolo smorzamento......... 6.3.3 Regime di forte smorzamento.......................... 7.4 Dissipazione della potenza di un oscillatore forzato.................. 8.4. Analisi della potenza immessa a regime.................... 8.4. Relazione fra energia immagazzinata e vita media dell oscillatore...... 9 Oscillatori armonici smorzati e forzati. Oscillazioni complesse e fasori Molte equazioni della fisica sono equazioni differenziali lineari a coefficienti reali. Le soluzioni fisiche, ovvero quelle che misuriamo effettivamente in un esperimento, corrispondono alle soluzioni reali (funzioni a valori reali) di queste equazioni. Ciononostante, è spesso più agevole studiare l insieme delle soluzioni complesse (funzioni a valori complessi). È immediato mostrare che se una funzione complessa è soluzione di una equazione lineare a coefficienti reali, allora le sue parti reale ed immaginaria sono separatamente soluzioni (stavolta a valori reali) della stessa equazione. Per esempio, per la parte reale: n a n d n φ() d n = 0 Re ( n ) d n φ() a n d n = n a n d n Re (φ()) d n = 0 Un metodo per risolvere queste equazioni consiste quindi nel trovare una soluzione complessa dell equazione tale che la sua parte reale al tempo zero corrisponda alle condizioni iniziali del problema. A causa della linearità, la parte reale della soluzione complessa sarà allora una soluzione del nostro problema con quelle condizioni iniziali. Questa corrispondenza funziona fino a che non consideriamo trasformazioni non lineari su queste soluzioni; per esempio, fino a quando non vogliamo calcolare il quadrato di una soluzione (come avviene per una potenza assorbita o per un flusso di energia). Infatti la parte reale del

prodotto di due numeri complessi non coincide con il prodotto delle parti reali dei due numeri complessi: z = a + ib z = c + id ma Re (z z ) = ac bd Re (z ) Re (z ) = ac Passiamo ora al cosidetto metodo dei fasori. Questo è un metodo geometrico che consente la manipolazione di due o più oscillazioni armoniche della stessa frequenza. Un fasore P è un vettore applicato nell origine. Se P compie un moto circolare uniforme, la sua proiezione sull asse ˆ, P (t), è soggetta ad un moto oscillatorio armonico; se poniamo R = P la sua coordinata è infatti; P (t) = R cos(ωt + α) P(t) P (t) y O ωt α ω P (0) P(0) Un oscillazione armonica si può dunque sempre interpretare come la proiezione di un moto circolare. L utilità del concetto di fasore è evidente quando si vogliono confrontare le fasi di oscillazione armonica di uguale frequenza. Confrontiamo per esempio P con ẋ P e ẍ P : P = R cos(ωt + α) ( ẋ P = ωr sin(ωt + α) = ωr cos [ωt + α] + π ) ẍ P = ω R cos(ωt + α) = ω R cos ([ωt + α] + π) Tutte e tre le funzioni sono oscillazioni armoniche, con diversa ampiezza e fase. Osserviamo che ẋ P è in anticipo di fase di π rispetto a P ; ẍ P è in anticipo di fase di π rispetto a ẋ P e di π rispetto a P. Se esprimiamo queste oscillazioni mediante i fasori P, P e P aventi moduli rispettivamente R, ωr ed ω R, abbiamo lo schema rappresentato in figura. La terna P, P e P ruota con velocità ω costante; in figura è rappresentata la situazione all istante t = 0. Consideriamo per esempio due punti, P e Q, che ruotano con velocità angolare costante su di una traiettoria circolare di raggio R; P sia in anticipo rispetto a Q. Le proiezioni di P e di Q sull asse delle, cioè i punti P ed Q, si muovono sull asse di moto oscillatorio:.. p P P ẋ p P = R cos(ωt) e Q = R cos(ωt α) y α P p y y t = 0 P α t > 0 P α P ωt Q Q ω t α α P P Q

La rappresentazione di P e Q mediante fasori vede i vettori P e Q ruotare con velocità angolare costante ω. Si dice che il vettore P è in anticipo di fase rispeto a Q di α, o, in maniera equivalente, che Q è in ritardo di fase rispetto a P di α. In generale, fasori che ruotano alla stessa velocità corrispondono ad oscillazioni con la stessa frequenza (e che quindi conservano la loro differenza di fase).. Soluzione generale per l oscillatore forzato e smorzato.. Soluzione analitica L equazione di un oscillatore armonico forzato e smorzato è: ẍ + ẋ + ω 0 = F 0 (cos ωt) () m dove tutti i parametri sono numeri reali. Il modo più conveniente per risolverla consiste nell immaginare una eccitazione di tipo complesso F c = F 0 e iωt al posto dell eccitazione effettiva F = F 0 cos(ωt). Osserviamo che essendo F c = F 0 e iωt = F 0 cos(ωt) if 0 sin(ωt) l eccitazione effettiva F coincide con la parte reale di F c. Poichè la soluzione dell equazione differenziale () con la parte non omogenea sarà una funzione complessa, di essa noi considereremo solo la parte reale, cioè quella corrispondente all eccitazione effettiva: F = Re (F c ). Dunque concentriamoci ora sull equazione: ẍ + ẋ + ω 0 = F 0 m e iωt È intuibile che per tempi grandi il sistema oscillerà con la stessa frequenza della forza di eccitazione (soluzione asintotica), mentre per tempi piccoli il moto è fortemente dipendente dalle condizioni iniziali e la soluzione asintotica viene sommata a contributi che decrescono esponenzialmente nel tempo (questa è la fase transiente, vedere la sezione.3). Cerchiamo dunque una soluzione della forma = 0 e iωt, con 0 un numero complesso qualsiasi. Sostituendo e le sue derivate nella precedente equazione troviamo che: ( ω iω + ω 0 ) 0 e iωt = F 0 m e iωt 0 = (ω 0 ω ) i ω Dunque 0 ha sicuramente una parte immaginaria. Risulta conveniente esprimere 0 in forma polare, 0 = Ae iϕ (ora A è un numero reale positivo). Allora la soluzione dell equazione differenziale diventa la seguente (di cui a noi interessa, come spiegato precedentemente, solo la parte reale): = 0 e iωt = Ae i(ωt ϕ) Re () = A cos(ωt ϕ) Dobbiamo ora valutare l ampiezza e la fase di questa oscillazione. Cominciamo con il calcolare A a partire dall equazione : A = 0 0 = (ω0 ω ) i ω (ω0 ω ) + i ω = (3) (ω 0 ω ) + (ω/) ϕ è la fase del numero complesso 0, quindi tan ϕ = Im ( 0 ) /Re ( 0 ): e dunque: 0 = Re ( 0 ) = Im ( 0 ) = (ω0 ω ) i(ω/) = (ω0 ω ) + (ω/) (ω (ω0 ω ) +(ω/) 0 ω ) ( ω (ω0 ω ) +(ω/) [ (ω 0 ω ) + i ω ) tan ϕ = ω/ ω0 ω ] () 3

.. Soluzione geometrica È interessante mostrare come oltre a questa soluzione analitica è possibile ottenere i valore di A e ϕ utilizzando il metodo geometrico dei fasori. Dalla candidata soluzione si ha: = A cos(ωt ϕ) ( ẋ = Aω sin(ωt ϕ) = Aω cos ωt ϕ + π ) ẍ = Aω cos(ωt ϕ) = Aω cos (ωt ϕ + π) I fasori delle funzioni ẍ, ẋ/, ω0 e F0 m cos ωt, che sono tutte accelerazioni, sono rappresentati nella figura seguente. Le loro relazioni di fase non cambiano se vengono traslati parallelamente: ω A ω A F 0 /m c F 0 /m a φ φ b ω 0 A ω 0 A ω A ω A Il quadrilatero formato dai tre vettori fasori deve chiudersi, in quanto la somma dei primi tre, istante per istante, deve dare come risultato il quarto. Questa condizione comporta che π < ϕ 0. Inoltre, considerando il triangolo rettangolo abc i cui lati sono uguali rispettivamente ad ab = ω0a ω A e bc = Aω, si ha che: tan ϕ = cb ab = (Aω)/ ω0 A ω A = ω/ ω0 ω ( ) F0 = ( ω m 0A ω A ) A ω + A = (ω0 ω ) + ω La figura trapezoidale è utile anche per determinare ampiezza e fase per valori caratteristici di ω. Per esempio, per ω 0 il trapezio si riduce ad un segmento. Questo corrisponde ad una eccitazione esterna quasi statica, che non modifica la frequenza propria. ω = 0 implica: ϕ = 0 e F 0 m = ω 0A A = F 0 mω 0 = F 0 k Per ω ω 0 invece il trapezio si riduce ad un rettangolo. In questo caso siamo in presenza di una eccitazione con frequenza esattamente uguale a quella propria; l oscillazione del sistema risulta in quadratura di fase rispetto all eccitazione, e la sua ampiezza è moltiplicata per un fattore Q (fattore di amplificazione): ϕ = π e F 0 m = ω 0 A Infine per ω > ω 0, il trapezio assume la forma mostrata in figura qui a fianco. La fase ϕ si avvicina a π. I due lati a lunghezza variabile, cioè ω A e ωa/ dipendono da ω in modo diverso. Per ω il trapezio rettangolo non si deforma solo se lim ϕ π A = 0, ovvero l ampiezza della oscillazione deve tendere a zero per grandi frequenze di eccitazione. A = F 0 = F 0ω 0 m = F 0 mω 0 ω 0 k Q = Q A ω=0 ω A ω 0 A φ F /m 0 ω A 4

.3 Effetti di smorzamento nel moto oscillatorio Consideriamo in questa sezione lo smorzamento del moto oscillatorio, quando il sistema non è supportato da una eccitazione esterna in grado di compensare l attrito. La forza di attrito viene schematizzata in un oscillatore come un termine proporzionale alla velocità con direzione sempre opposta ad essa. Il coefficiente di proporzionalità è il parametro γ che ha le dimensioni dell inverso di un tempo (è l inverso del tempo caratteristico ) e si chiama larghezza del moto. F a m = ẋ = γẋ In assenza di una eccitazione esterna, l equazione differenziale per l oscillatore armonico (eq. ) è una equazione lineare, omogenea ed a coefficienti costanti. Le soluzioni sono dunque facilmente determinabili a partire dall equazione caratteristica, che si ricava dall equazione differenziale sostituendo la soluzione di prova = e pt (p è in generale un numero complesso): p e pt + γpe pt + ω 0e pt = 0 p + γp + ω 0 = 0 L equazione differenziale del secondo ordine origina dunque un equazione in p di secondo grado. Le soluzioni sono banalmente: p = γ γ ± 4 ω 0 (4) Il radicando può avere, a seconda del valore di γ ed ω 0, qualunque segno. A seconda di questo segno l oscillatore si trova in uno di tre regimi differenti che andremo ad analizzare nel seguito. I tre regimi sono illustrati nella seguente tabella: γ < ω 0 γ = ω 0 γ > ω 0 piccolo smorzamento smorzamento critico forte smorzamento.3. Regime di piccolo smorzamento Nel caso γ < ω 0, nelle soluzioni dell equazione caratteristica compaiono numeri complessi, perchè il radicando è negativo. Le soluzioni sono dunque: p ± = γ ± i ω0 γ 4 = γ ± iω avendo posto ω = ω0 γ (5) 4 La quantità reale ω gioca ora il ruolo di una frequenza caratteristica dello smorzamento, da confrontarsi con la frequenza propria ω 0. La soluzione complessa generale per l oscillatore armonico in regime di piccolo smorzamento si scrive dunque come una sovrapposizione delle due soluzioni particolari e p±t : C (t) = A + e p +t + A e p t A +, A complessi La soluzione fisica corrispondente è la parte reale di questa funzione, ed i coefficienti A + ed A sono determinati dalle condizioni iniziali; in particolare, il fatto che la soluzione fisica sia una funzione reale, implica in questo caso che A + ed A siano coniugati. Porremo A + = Ae iϕ / ed A = Ae iϕ / con A un numero reale: ωt (t) = Re ( C (t)) = A γt e [e +i(ωt+ϕ) + e i(ωt+ϕ)] = Ae γt cos(ωt + ϕ) Vediamo quindi che nel regime di piccolo smorzamento, il moto conserva la sua caratteristica oscillatoria, con pulsazione ω, ma risulta depresso nel tempo da una funzione esponenziale. La 5

frequenza di oscillazione ω = ω0 γ /4 tende ad ω 0 nel limite γ 0, come era prevedibile, ma le rimane sempre leggermente inferiore. Se γ ω 0 è valida la seguente espansione: [ ω = ω0 γ 4 = ω 0 γ 4ω0 ω 0 ( ) ] γ ω 0 Consideriamo ora i valori di ϕ ed A per una velocità iniziale nulla (la posizione iniziale ovviamente deve non essere un punto di equilibrio, altrimenti il sistema rimarrebbe fermo). La condizione sulla velocià impone immediatamente una condizione su ϕ: 0 = ẋ(0) = γ γ A cos(ϕ) Aω sin(ϕ) tan ϕ = (6) ω quindi la fase iniziale non è nulla. Possiamo ricavare immediatamente l ampiezza iniziale calcolando (0) e sostituendo il valore di ϕ: A = (0) cos ϕ = (0) + tan ϕ sostituendo l espressione (6) per la tangente di ϕ e la definizione (5) per ω otteniamo infine: A = (0) + γ 4ω = (0)ω 0 γ ω 0 (0) ω.3. Decadimento dell energia nel regime di piccolo smorzamento Abbiamo visto che la forza di attrito F a = mγẋ è sempre opposta al moto; essa quindi sottrae energia dal sistema senza mai restituirla, per cui l energia totale H non si conserva. Vogliamo ora calcolare la legge con cui l energia decresce nel tempo. In assenza di eccitazioni esterne, H = mẋ + k = H(, ẋ) è una funzione della posizione e dell impulso, come se fossero variabili indipendenti, quindi la sua derivata totale rispetto al tempo sarà: dh dt = H dẋ ẋ dt + H d ẋ dt = mẋẍ + kẋ = (mẍ + k)ẋ = mγẋ < 0 avendo posto per semplicità k = mω 0, e sostituito nell ultimo passaggio (mẍ + k) con mγẋ, in accordo con l equazione del moto dell oscillatore armonico smorzato non forzato. Poichè γ > 0 e ẋ > 0, vediamo che la derivata dell energia nel tempo è negativa, proprio come ci aspettavamo. Il tasso di riduzione dell energia è proporzionale al coefficiente di attrito γ (si noti che questo risultato è valido quale che sia il tipo di smorzamento, piccolo, critico o grande). La derivata dell energia è comunque una quantità oscillante nel tempo, poichè ẋ presenta delle oscillazioni. Ma in generale non ci interessano queste variazioni su di una scala di tempo paragonabile ad un periodo di oscillazione, vogliamo ricavare una espressione per l energia mediata su parecchie oscillazioni. Cominciamo con lo scrivere una espressione esplicita per H sostituendo l equazione del moto nel caso di piccolo smorzamento (indichiamo (ωt + ϕ) con α): H = mẋ + k = ( ma e γt γ ) cos α ω sin α + ka e γt cos α = ( ) A e γt m γ 4 cos α + mω sin α + mγω sin α cos α + k cos α = ( γ ma e γt 4 cos α + ω sin α + γ ) ω sin(α) + ω 0 cos α Sostituiamo il termine ω utilizzando la definizione (5), ovvero rimpiazziamolo con ω0 γ /4: H = ( γ ma e γt 4 cos α + ω0 sin α + γ ) γ ω sin(α) 4 sin α + ω0 cos α = ( γ ma e γt 4 cos(α) + γ ) ω sin(α) + ω 0 6

Passiamo ora a mediare il valore di H su molti cicli. In questo modo i termini che contengono seni e coseni di α spariscono (perchè α = (ωt + ϕ) è lineare nel tempo e perchè la media sulla variabile indipendente dei seni e dei coseni è zero) e rimane solo l ultimo termine: H = lim t t t 0 H(t ) dt ma e γt ω 0 Questa espressione diventa particolarmente semplice se calcoliamo il tasso frazionario di perdita di energia (confrontare questo risultato con l espressione precedentemente trovata dh dt = mγt; c è qualche legame con il teorema del viriale?): d H dt γ ma e γt ω0 = γ H γ d H H dt Nel regime di piccolo smorzamento è comune caratterizzare il tasso di perdita di energia attraverso la quantità Q, il fattore di qualità o coefficiente di bontà, tanto più grande quanto più piccolo è lo smorzamento. Nel limite di smorzamento estremamente piccolo sappiamo che la pulsazione propria ω 0 si confonde con ω e che γ per definizione è molto minore di ω, quindi: Q = ω 0 γ > e Q = ω 0 γ ω γ per γ ω Siccome Q è direttamente legato alla velocità con cui il sistema dissipa la sua energia, un modo conveniente per stimarlo in un sistema a piccolo smorzamento consiste nel notare quanti cicli occorrono affinchè l ampiezza si riduca ad una frazione fissata del valore iniziale..3.3 Regime di forte smorzamento Il regime di forte smorzamento si instaura quando γ > ω 0 ; in questo caso le soluzioni del polinomio caratteristico associato all equazione differenziale del moto sono entrambe reali negative: p ± = γ ± 4 γ ω 0 < 0 È consuetudine definire µ = p ± così da poter lavorare con quantità positive. Si noti che le µ sono una maggiore ed una minore di ω 0 e che il loro prodotto vale ω 0: µ + = γ + 4 γ ω 0 > γ > ω 0 µ + > ω 0 µ + µ = 4 γ 4 γ + ω 0 = ω 0 µ + µ = ω 0 µ = ω 0 µ + < ω 0 ω 0 = ω 0 µ < ω 0 Passiamo ora alla legge del moto; la forma più generale di (t) è una sovrapposizione di due esponenziali con lunghezze caratteristiche µ + e µ. I coefficienti devono essere reali per evitare che (t) sia complesso: (t) = c + e µ +t + c e µ t c + e c sono determinati dalle condizioni iniziali, mentre µ + e µ dipendono dalle proprietà fisiche dell oscillatore. Vi sono a questo punto due casi: se c + e c hanno lo stesso segno, allora (t) non si annulla mai, quindi il sistema non passa mai per la posizione di equilibrio. Viceversa, se i due coefficienti hanno segno diverso (t) può annullarsi (quando i due esponenziali si annullano l un l altro) ed il sistema può passare per la posizione di equilibrio (una sola volta però). I due casi sono rappresentati nella figura seguente: 7

c c > 0 + c c < 0 + ω t ω t Per le condizioni iniziali (0) = 0 ed ẋ(0) = 0 abbiamo c + + c = 0 e (µ + c + + µ c ) = 0 risolvendo rispetto a c + e c otteniamo infine una soluzione che dipende solo da µ + e µ (questo ovviamente viene dal fatto che abbiamo fissato le condizioni iniziali): (t) = c + e µ+t + c e µ t = µ 0 µ + µ e µ+t + µ + 0 µ + µ e µ t = 0 µ + e µ t µ e µ+t µ + µ.4 Dissipazione della potenza di un oscillatore forzato.4. Analisi della potenza immessa a regime In un oscillatore armonico forzato e smorzato, a regime, per definizione, la potenza media dissipata dalla forza di attrito viscoso deve essere compensata dalla potenza media immessa nell oscillatore dalla forza di eccitazione. Intendiamo ora verificare questa affermazione esplicitamente. Calcoliamo per prima la potenza media, P d, dissipata dalla forza di attrito viscoso F a : F a = mγv P d = mγv Quindi, per ricavare questa potenza dobbiamo avere una espressione esplicita per la velocità. Partendo dalla legge del moto del nostro oscillatore, (t) = A cos(ωt + ϕ), e derivando otteniamo: v = d dt = Aω sin(ωt + ϕ) La potenza media dissipata risulta dunque: P d = A mγω sin (ωt + ϕ) = mγa ω sin ( ω t + φ) sin ( ω t + φ ) dove nell ultimo passaggio è stato sostituito il valore medio nel tempo del quadrato di una sinuoside con argomento lineare nel tempo, che è /, indipendentemente dalla sua fase: π sin( ωt + φ) π sin (ωt + ϕ) = Ricordando che (vedere equazione 3): A = (ω0 ω ) + ( ω ) si ricava che: P d = γω F 0 m (ω 0 ω ) + ( ω ) 8

Consideriamo ora la potenza immessa dalla forza di eccitazione: F = F 0 cos(ωt) P e = F v = AωF 0 cos(ωt) sin(ωt + ϕ) La potenza immessa dipende quindi fortemente dalla differenza di fase fra la velocità e la forza di eccitazione. Sviluppiamo ora il prodotto di queste due quantità: cos(ωt) sin(ωt + ϕ) = cos(ωt) [sin(ωt) cos(ϕ) + sin(ϕ) cos(ωt)] = cos(ϕ) sin(ωt) cos(ωt) + sin(ϕ) cos (ωt) = cos(ϕ) sin(ωt) + sin(ϕ) cos (ωt) Per ottenere il valore medio nel tempo di questa quantità è sufficiente notare, come prima, che se l argomento è lineare nel tempo, il quadrato di una funzione sinusoidale media ad un mezzo, indipendentemente dalla fase, e una sinusoide media a zero. Quindi: cos(ωt) sin(ωt + ϕ) = sin(ϕ) P e = AF 0ω sin(ϕ) Determiniamo ora A sin(ϕ). È immediato notare che questa quantità è la parte immaginaria dell ampiezza complessa 0 = Ae iϕ. Ricordando l equazione () otteniamo allora: ( ) A sin(ϕ) = Im ( 0 ) = Im (ω0 ω ) i ω = F 0ω m (ω0 ω ) + ( ) ω Ricordando anche che = γ, l espressione della potenza di eccitazione diviene: P e = γω F 0 m come volevasi dimostrare. (ω 0 ω ) + ( ω ) P e = P d.4. Relazione fra energia immagazzinata e vita media dell oscillatore Vogliamo ora vedere la relazione fra l energia totale immagazzinata in media da un oscillatore armonico forzato e smorzato, in condizioni di piccolo smorzamento ed a regime, e la vita media dell oscillatore stesso. L energia totale media dell oscillatore scritta come somma dell energia cinetica e dell energia potenziale elastica, diventa (ricordare l espressione (3) per il valore di A): H = mω 0 + m ẋ = ma ( ω 0 cos (ωt + ϕ) + ω sin (ωt + ϕ) ) = ma ( ω + ω F 4 0) = 0 ω + ω0 4m (ω0 ω ) + ( ) ω Vediamo dunque che il grafico di H(ω) è una curva che raggiunge il massimo per ω = ω 0. In condizioni di piccolo smorzamento la curva è molto stretta e piccata in corrispondenza di ω = ω 0, ed è altrove praticamente nulla. Questo permette di approssimare ω con ω 0 nella sua espressione, tranne che nel termine (ω 0 ω ) perchè questo, in vicinanza della risonanza ω 0, varia moltissimo. Possiamo però riscrivere la differenza di due quadrati come il prodotto della somma e della differenza delle basi, quindi: ω 0 ω = (ω 0 + ω)(ω 0 ω) ω 0 (ω 0 ω) Applicando queste approssimazioni otteniamo infine che l energia totale media dell oscillatore segue l andamento di una funzione lorentziana: H = F 0 ω0 4m 4ω0 (ω ω 0) + ( ) ω 0 = F 0 8m 9 (ω ω 0 ) + 4

Il valor massimo di H si ottiene ovviamente quando il denominatore è minimo, ovvero per ω = ω 0, quindi: H ma = F 0 m L espressione dell enegia si può allora riscrivere inglobando tutte le dimensioni in H ma, e riservando un termine puramente numerico per esprimere la forma della curva: H 0,5 Larghezza di risonanza H = H ma + 4 (ω ω 0 ) ω 0 ω / Da qui è facile calcolare quando l energia diventa metà del suo valor massimo, infatti: H = H ma = + 4 (ω ω 0 ) ω = ω 0 ± = ω ± La larghezza della curva a mezza altezza (in inglese full width at half maimum o FWHM) risulta quindi essere uguale a ω = ω + ω = / Poichè / = γ, vediamo immediatamente che più piccolo è il coefficiente di attrito e più stretta è la curva. In modo analogo, ricordando che il fattore di merito Q è definito come ω 0, vediamo che la curva è tanto più stretta quanto più grande è Q. 0