Comunicare, ragionare, comprendere: i legami tra educazione linguistica e matematica Pier Luigi Ferrari Università del Piemonte Orientale Dipartimento di Scienze e Innovazione Tecnologica
Convinzioni e atteggiamenti degli studenti Convinzione che il linguaggio abbia un ruolo marginale nella matematica
Convinzioni di chi fa ricerca Linguaggio quotidiano Naturale Formale Rigoroso Conciso Linguaggio della matematica
Nella scuola Poco cooperativo Linguaggio per fare matematica Linguaggio per comunicare Caratteristiche divergenti Cooperativo
Approccio funzionalista Michael A.K. Halliday, Ruqaiya Hasan Le funzioni sociali del linguaggio ne disegnano la grammatica. Confronto fra registri colloquiali e registri evoluti Registri matematici come forma estrema di registri evoluti I registri colloquiali sono fondamentali nella costruzione dei concetti
Problema (Radford, 2000; Ferrari, 2006) O O O O O O O O O O O O O O O O Quante palline ci sono nelle figure fino alla ventesima? Trovate una formula per calcolare il numero delle palline di ogni figura.
Riferimenti deittici (e anaforici) Allora, se tu, se il numero in alto fosse uguale alla base sarebbe un numero pari però se noi togliamo un numero in verticale viene un numero dispari Espressioni che il contesto rende non ambigue che aprono la strada a generalizzazioni
Nella figura cinque, nella figura quattro nella figura tre nella figura due i pallini della base sono uguali alla figura Al numero indicato nella figura Perché in alto ce n è sempre una in meno In meno rispetto alla base
Funzioni del linguaggio in matematica Organizzazione del sapere: tassonomie tecniche Organizzazione del discorso: argomentazione Comuni alle discipline scientifiche Decidibilità, rappresentazione degli algoritmi
Organizzazione del sapere: il lessico matematico Gerarchia inclusiva Equilatero/isoscele Quadrato/rettangolo </ Razionale/reale Retta/curva Rappresentazione efficiente del sapere matematico
ABCD è un rettangolo Non è un quadrato implicatura Conseguenza che deriva dal contenuto di un testo ma anche dall assunzione che sia cooperativo. Non tutte le caramelle sono alla menta Qualcuna è alla menta
Trova le soluzioni dell equazione Trova tutte le soluzioni dell equazione Trova, se ne esistono, tutte le soluzioni dell equazione Se l equazione ha soluzioni, trovale tutte, altrimenti Se l equazione ha una o più soluzioni, trovale tutte, altrimenti
3 f() x x x 4 3 2 y 1 x 4 3 2 1 2 2 1 2 3 4 y x 2 2 1 2 3 4 4 y 3 2 1 x Quale grafico corrisponde a f? 2 2 1 2 3 4 Uno dei grafici corrisponde a f. Quale?
4 y 3 2 1 2 2 1 2 3 4 x Una delle equazioni corrisponde al grafico. Quale? y 3x 1 y 3x 1 y 3x 1 y 2x 1
Proprietà di decidibilità, algoritmi Sintassi rigida 2 3+4 2 (3+4)
Operazioni aritmetiche Radici equazioni Unicità di lettura di una formula Organizzazione del testo a < b b > a Topic a è minore di b b è maggiore di a Focus 1 1 4 3 3 4 12 12 Funzione puramente tecnica
Difficoltà nell uso del linguaggio Linguaggio / conoscenze Comportamenti rilevabili Errori di interpretazione di lessico, testi, formule, immagini Produzione di testi inaccurati, abuso dei registri colloquiali Comportamenti non rilevabili Mancate risposte, risposte a caso, risposte da stress
Il prezzo di un prodotto all inizio dell anno è 50000. Nel corso dell anno il prezzo aumenta del 20%. Quanto costa il prodotto alla fine dell anno? Risposta: 52000. 50000 + 20 100 = 50000 + 2000 = 52000 Scritto 20% Parlato Venti per cento 20 100
Tra i grafici riportati sotto indicane tre che non corrispondono, nell intervallo visualizzato, alla derivata della funzione g rappresentata a destra. Motiva. y 6 4 2 10 5 5 10 x 4 y Grafico A 2 10 5 5 10 2 x
Oltre il lessico: l organizzazione dei testi matematici.
La distanza di due punti di coordinate P(x,y) e Q(a,b) è la radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze fra le ascisse di P e Q e le ordinate di P e Q. PQ 2 2 d x a y b Considero P e ne determino l ascissa x e l ordinata y. Considero Q e ne determino l ascissa a e l ordinata b. Calcolo la differenza fra l ascissa di P e quella di Q e la elevo al quadrato. Calcolo la differenza fra l ordinata di P e quella di Q e la elevo al quadrato. Sommo i due quadrati così ottenuti. Calcolo la radice quadrata della somma.
Metafora grammaticale (Halliday) Un espressione è sostituita da un altra di categoria grammaticale diversa Nominalizzazione Verbi nomi Aggettivi nomi Addizionare somma Dividere divisore, Unire unione Continuo continuità Parallelo parallelismo
Altre trasformazioni Verbi aggettivi Crescere crescente Dividere divisibile
Se gli Umori dell Occhio si degradano per l Età avanzata, in modo da rendere, a causa della contrazione, la Cornea e la Membrana dell Umor Vitreo più piatte di prima, la Luce non verrà rifratta abbastanza, e per mancanza di una sufficiente Rifrazione non convergerà al fondo dell Occhio ma in qualche luogo oltre esso, e di conseguenza disegnerà nel fondo dell Occhio un Immagine confusa, and in base alla Confusione di questa Immagine l Oggetto apparirà confuso. Questa è la ragione del degrado della vista nei Vecchi, e mostra perché la loro Vista è accomodata dagli Occhiali. Infatti quelle lenti Convesse compensano la mancanza di rotondità nell Occhio, e aumentando la Rifrazione, fanno convergere i Raggi prima, in modo da incontrarsi distintamente al fondo dell Occhio se la lente ha un grado di convessità adatto.
Complessità dei testi Atteggiamenti Testi come prodotti fuori controllo Testi poco importanti Lunghezza dei testi Processi di lettura selettivi Trova tutti i numeri primi della forma 2k+1, con k primo.
Nel caso di passaggi in cui l interpretazione attesa differisce da quella colloquiale, la percentuale di insuccesso dipende fortemente dalla lunghezza del testo e dalla presenza di elementi ritenuti focali dagli studenti (anche in base al contratto didattico). Scrivi un polinomio di II grado con almeno due radici intere e almeno una razionale. 2 x x x 1 1 1
Argomentazione Per lo studente è innanzitutto la produzione di un testo. Organizzazione logica dell argomentazione Coesione del testo
Struttura topic focus Coesione testuale Il tema della coesione testuale si sovrappone a quello dell organizzazione logica degli argomenti.
x 1 5 Sia f definita in da fx () x 3 5 a) Calcola f (x).. Tra i grafici che seguono identificane uno che sicuramente non corrisponde a f. Spiega. A) B) y y x x
Lo studente MF segna la B. Scrive: Sicuramente non è il B perché la retta non può essere lineare e deve toccare l asse delle x. Lo studente ZM segna la B. Scrive: L equazione essendo decrescente non ha un andamento costante, quindi la B non è. Nella A la x diventa 0, quindi la linea passa per i punti delle ascisse.