Università degli Studi di Napoli Federico II Polo delle Sciene e delle Tecnologie Facoltà di Ingegneria Dipartimento di Ingegneria Geotecnica DIG CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE NUOVO ORDINAMENTO FONDAMENTI DI GEOTECNICA prof. ing. Claudio Mancuso PARTE Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag.
Fondamenti di Geotecnica LEZIONI ARTICOLAZIONE DEL CORSO introduione alla geotecnica, articolaione del corso, fenomenologia e concetti fisici di base; principio di Teraghi ed interaione terreno/acqua di porosità richiami di meccanica del continuo richiami d idraulica e moti di filtraione in regime staionario; interaione terreno/acqua di porosità in condiioni non drenate interaione terreno/acqua di porosità in regime transitorio consolidaione indagini geotecniche indagini di laboratorio e cenni alle indagini in sito compressibilità delle terre comportamento meccanico atteso, comportamenti meccanici tipici e prove sperimentali deformabilità e resistena delle terre prove sperimentali e comportamenti meccanici tipici ESERCITAZIONI classifica dei terreni e n,, w tensioni litostatiche tensioni indotte da carichi filtraione elaboraione ed interpretaione di una prova edometrica elaboraione ed interpretaione di prove trissiali CID elaboraione ed interpretaione di prove trissiali CIU Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag.
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L INGEGNERIA GEOTECNICA STUDIA SU BASI FISICO-MATEMATICHE IL COMPORTAMENTO MECCANICO DI: TERRENI ROCCE SCIOLTE & ROCCE ROCCE LAPIDEE SOGGETTI NELLA LORO SEDE NATURALE AD AZIONI ESTERNE, MODIFICHE DELLE CONDIZIONI AI LIMITI E MODIFICHE DELLE PROPRIETA A CAUSA DI FENOMENI NATURALI O DI INTERVENTI ANTROPICI ESTRATTI DALLA SEDE NATURALE ED IMPIEGATI COME MATERIALI DA COSTRUZIONE DI: RILEVATI, ARGINI, COLMATE, DIGHE IN TERRA Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 5
FONDAZIONI OPERE DI SOSTEGNO COSTRUZIONI IN TERRA STABILITA DEI PENDII Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 6
DINAMICA DELLE TERRE MECCANICA DELLE ROCCE Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 7
IN TUTTI I PROBLEMI INDICATI OCCORRE TENERE CONTO DELLA NATURA DEL MATERIALE CON CUI SI HA A CHE FARE LIMITANDOCI AL CASO DEI TERRENI il corso non tratta di meccanica delle rocce IL MEZZO è GRANULARE ed è SEMPRE POROSO ESISTONO SEMPRE SPAZI INTERGRANULARI NELLA GENERALITÀ DEI CASI È COSTITUITO DA PIÙ FASI SOLIDA, LIQUIDA E GASSOSA CHE INTERAGISCONO DAL PUNTO DI VISTA MECCANICO Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 8
la risposta meccanica dipende esclusivamente dalle aioni normali e tangeniali al contatto tra i grani lo stato di sforo al contatto tra i granelli efficace e le sue variaioni ' ij ' δ ij DETERMINANO LA RISPOSTA MECCANICA DEI TERRENI Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 9
MEZZO POROSO ASCIUTTO alcune proprietà indice fondamentali d s n e P peso totale peso V volume totale dell'unità di volume Ps peso particelle solide peso V volume totale secco dell'u.v. Ps peso particelle solide peso Vs volume particelle solide specifico grani Vp volume dei pori 00 porosità V volume totale Vp volume dei pori indice V volume particelle solide di porosità s Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 0
IN CONSEGUENZA DELLA PROPRIA NATURA GRANULARE E POROSA I TERRENI HANNO COMPORTAMENTO MECCANICO NON LINEARE esempio della compressione a seione trasversale costante v δ w Indice dei vuoti, e Vp/Vs.0 0.8 0.6 0.4 Linea di primo carico 0 0 0 0 40 50 Tensione verticale, ' v kg/cmq Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag.
IN CONSEGUENZA DELLA PROPRIA NATURA GRANULARE E POROSA I TERRENI HANNO COMPORTAMENTO MECCANICO ELASTO- PLASTICO MEMORIA DELLO STATO TENSIONALE PREGRESSO v δ w Indice dei vuoti, e Vp/Vs.0 0.8 0.6 0.4 Linea di primo carico Linee di scarico-ricarico 0 0 0 0 40 50 Tensione verticale, ' v kg/cmq Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag.
MEZZO POROSO SATURO scheletro solido fluido interstiiale incompressibile particella solida incompressibile comportamento elastico, lineare, isotropo infinitamente resistente Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag.
MEZZO POROSO SATURO altre definiioni fondamentali d s n e P peso totale peso V volume totale dell'unità di volume Ps peso particelle solide peso V volume totale secco dell'u.v. Ps peso particelle solide peso Vs volume particelle solide specifico grani Vp volume dei pori 00 porosità V volume totale Vp volume dei pori indice V volume particelle solide di porosità s w S P P w s V V w p peso acqua peso secco contenuto volune d' acqua 00 volume dei pori d' acqua grado di saturaione Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 4
L INTERAZIONE TRA LE FASI È MOLTO SIGNIFICATIVA SIA NEL CASO DEI TERRENI PARZIALMENTE SATURI SIA IN QUELLO DEI TERRENI SATURI NEL CORSO CI LIMITEREMO AL CASO IN CUI SIA PRESENTE UN SOLO FLUIDO acqua NEI PORI Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 5
configuraione deformata acqua espulsa sollecitaione esterna configuraione iniiale Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 6
INTERAZIONE TRA LE FASI ' ij t ij ut Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 7
INTERAZIONE TRA LE FASI 4.0 TERRENI A GRANA GROSSA.0 tensioni.0.0 tensioni totali pressioni neutre tensioni efficaci 0.0-5 - 0 5 8 0 tempo anni 4.0 TERRENI A GRANA FINA.0 tensioni.0.0 tensioni totali pressioni neutre tensioni efficaci 0.0-5 45 95 45 95 45 95 45 tempo anni Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 8
UN ULTERIORE PECULIARITÀ DELL INGEGNERIA GEOTECNICA CONSISTE NEL FATTO CHE NON SONO NOTE A-PRIORI: la sequena con cui si inseguono i diversi materiali presenti nel sottosuolo stratigrafia la condiione della falda acquifera le proprietà idrauliche e meccaniche dei materiali che costituiscono il sottosuolo decine di metri Terreno A Terreno B Roccia quanto sopra, la disomogeneità intrinseca della risposta meccanica dei terreni e la loro estrema variabilità in natura, rendono imprescindibili i contenuti sperimentali della geotecnica, in particolare nelle applicaioni ingegneristiche Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 9
L ESTREMA VARIABILITÀ DELLE DIMENSIONI DEI GRANI LA POSSIBILITÀ CHE IL LORO INSIEME i.e., LO SCHELETRO SOLIDO SIA ORGANIZZATO SECONDO UNA INFINITÀ DI SCHEMI GEOMETRICI, L ENORME NUMERO DI PARTICELLE PRESENTE IN PUR MODESTO VOLUME DI TERRENO rendono ogni tentativo di approccio a problematiche d ingegneria basato sulla meccanica particellare VANO ed IMPRATICABILE È QUINDI NECESSARIO ADOTTARE UN APPROCCIO ALTERNATIVO Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 0
Karl Teraghi 0.0.88 Praga, Repubblica Ceca 5.. 96 USA Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag.
IL TERRENO COME CONTINUI SOVRAPPOSTI ED INTERAGENTI L IMPOSSIBILITA PRATICA DI TRATTARE I PROBLEMI DI MECCANICA DEI TERRENI CON UN APPROCCIO TIPO MEZZO PARTICELLARE SPINSE TERZAGHI AD ADOTTARE UNO SCHEMA DI MEZZO CONTINUO BIFASE CONTINUO TOTALE ij SCHELETRO SOLIDO ij CONTINUO EFFICACE FLUIDO DI POROSITA u CONTINUO NEUTRO IL SISTEMA BIFASE TOTALE E COSTITUITO DALLA SOVRAPPOSIZIONE DI DUE CONTINUI INTERAGENTI: SCHELETRO SOLIDO, caratteriato da uno stato di sforo tensioni efficaci, ij rappresentativo delle aioni scaricate sui granelli FLUIDO DI POROSITA, caratteriato da uno stato di sforo pressione neutra, u pari alla pressione nel fluido di porosità Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag.
A f i n i N F T a ci t i A c Σ i a ci N n u A A ; T t i i c i i N/A n /A [u A A ]/A; T /A t /A i i A c A A N/A N /A u; T /A T /A c A c /A i i δ ij delta di Kronecker δ ij per i j tensioni normali δ ij 0 per i j tensioni tangegniali Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag.
Per chiarire il ruolo dello scheletro solido e quello del fluido di porosità, si può fare riferimento allo schema che segue, in cui: la molla rappresenta lo scheletro solido; il liquido nel recipiente rappresenta il fluido di porosità. V δ F V u/ w Se la valvola V è chiusa, sotto l aione di F il recipiente può variare solo la propria seione trasversale Ω, ma deve mantenere il volume costante Il fluido, che non può fuoriuscire, entra in pressione u La molla subisce una deflessione δ e, indicata con ξ la sua costante elastica, reagisce con una fora ξδ F ξδ uω Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 4
V F V δ f Se la valvola V viene aperta, il fluido fuoriesce fino a quando l eccesso di energia pieometrica u/ w non viene dissipato i.e., fino a quando non torna in equilibrio con le condiioni idrauliche al contorno Progressivamente, la molla subisce ulteriori deflessioni. Alla fine del processo i.e., quando il fluido si è riportato in equilibrio con le condiioni idrauliche al contorno, risulta: F ξδ f LA REAZIONE DELLA MOLLA E EFFICACE SUL COMPORTAMENTO MECCANICO DEL SISTEMA LA PRESSIONE NEL FLUIDO E NEUTRA SULLA CONDIZIONE DI EQUILIBRIO FINALE Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 5
ij ij δ ij u Delta di Kronecker δ ij per i j δ ij 0 per i j LE TENSIONE EFFICACI REGOLANO IL COMPORTAMENTO MECCANICO DEI TERRENI in tal senso LE PRESSIONI NEL FLUIDO DI POROSITA SONO NEUTRE A RIGORE, LO SCHEMA PROPOSTO E VALIDO SOLO NEI CASI DI TERRENO SATURO D ACQUA O SECCO. PER I TERRENI PARZIALMENTE SATURI OCCORRE INTRODURRE ULTERIORI VARIABILI DI STATO TENSIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 6
LE TENSIONE EFFICACI REGOLANO IL COMPORTAMENTO MECCANICO DEI TERRENI: la risposta meccanica di un terreno dipende dallo stato di tensione iniiale cui è sottoposto; distorsioni, deformaioni di volume e rottura in un terreno sono causate esclusivamente da variaioni del regime di tensione efficace; due terreni, del tutto identici, esibiscono la stesso comportamento meccanico se e solo se sottoposti a stati di tensione efficace iniiale uguali e ad uguali variaioni dello stato di tensione efficace LA PRESSIONE NEL FLUIDO DI POROSITA ÈNEUTRA la pressione nel fluido di porosità interviene sullo stato tensionale totale, ma non regola il comportamento meccanico dei terreni; nella sua interaione con lo scheletro solido il fluido di porosità può condiionarne il comportamento, ma solo perché ij ij -u; se δ ij δu i.e., δ ij 0 lo stato del terreno non varia. Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 7
PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI IN UN TERRENO ASCIUTTO scheletro solido spaio interstiiale poro particella solida ij ij Il terreno è altamente permeabile al fluido interstiiale aria che, tra l altro, è fortemente compressibile si può assumere u 0 lo stato di tensione totale coincide con quello di tensione efficace IL CASO HA SIGNIFICATO SOLO PER I TERRENI A GRANA GROSSA che in situaioni particolari posso essere quasi completamente asciutti Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 8
PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI IN UN TERRENO ASCIUTTO δ ij δ ij δu 0 il terreno è altamente permeabile al fluido interstiiale aria che, tra l altro, è fortemente compressibile si può assumere δu 0 gli incrementi di tensione totale coincidono con quelli di tensione efficace Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 9
PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI IN UN TERRENO SATURO fluido interstiiale incompressibile scheletro solido particella solida ij ij δ ij u i pori sono saturi di acqua, soggetta ad un regime di pressione che, nelle fasi in cui il problema meccanico è disaccoppiato, dipende solo dalle condiioni idrauliche al contorno. quindi u 0. Lo stato di tensione totale non coincide con quello di tensione efficace ij ij - δ ij u Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 0
PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI IN UN TERRENO SATURO δ ij δ ij δ ij δu Nelle fasi accoppiate vale la relaione precedentemente indicata, pertanto: δ ij δ ij - δ ij δu Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag.
PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI IN UN TERRENO SATURO ALTAMENTE PERMEABILE se il terreno è altamente permeabile a grana grossa, le normali storie di carico risultano sufficientemente lente da permettere il continuo drenaggio dell acqua di porosità sotto gradenti idraulici assai modesti ossia con δu trascurabili IN PRATICA: δ ij δ ij t Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag.
PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI IN UN TERRENO SATURO DI BASSA PERMEABILITA se il terreno è poco permeabile a grana fina, le normali storie di carico risultano troppo veloci per permettere il drenaggio - si può assumere che i carichi vengano applicati istantaneamente, ossia in CONDIZIONI NON DRENATE. IN PRATICA, NELLE CONDIZIONI INIZIALE E DURANTE TUTTO IL PROCESSO DI CONSOLIDAZIONE VALE LA RELAZIONE: δ ij δ ij - δ ij δut Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag.
PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI IN UN TERRENO SATURO DI BASSA PERMEABILITA condiioni non drenate F δu/ w A δ ij δ ij - δ ij δu0 Lo scheletro solido assorbe una parte del carico e, di conseguena, si deforma Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 4
PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI IN UN TERRENO SATURO DI BASSA PERMEABILITA 4.0.0 tensioni.0.0 tensioni totali pressioni neutre tensioni efficaci 0.0-5 45 95 45 95 45 95 45 tempo anni IL PROCESSO di CONSOLIDAZIONE: Per effetto delle δu indotte in condiioni iniiali non drenate, l acqua di porosità non è in equilibrio con le condiioni idrauliche al contorno. Pertanto prende a filtrare e tende a dissipare l energia in eccesso δu/ w. δ ij δ ij - δ ij δut Lo scheletro solido assorbe la parte di carico rilasciato dal fluido di porosità e, di conseguena, si deforma ulteriormente. Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 5
PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI IN UN TERRENO SATURO DI BASSA PERMEABILITA condiioni drenate F A δ ij t δ ij t Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 6
COSA OCCORRE FARE NEI CASI APPLICATIVI Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 7
VOLUMI DI TERRENO INTERAGENTI CON OPERE D INGEGNERIA CIVILE - CAMPO STATICO Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 8
FASI PER LA PREVISIONE DEL COMPORTAMENTO MECCANICO DI UN SOTTOSUOLO ANALISI DELLO STATO TENSIONALE EFFETTIVO INIZIALE TENSIONI GEOSTATICHE ij DEFINIZIONE DELLE VARIAZIONI DI STATO TENSIONALE EFFICACE δ ij DEFINIZIONE DEL LEGAME TENSIONE-DEFORMAZIONE DEL/I TERRENO/I COINVOLTI NELL INTERAZIONE CON L OPERA DA REALIZZARE [δ ij fδ ij ] INDIVIDUAZIONE DELLO STATO DEFORMATIVO INDOTTO δ ij ANALISI DELLO SPOSTAMENTO DEI PUNTI DEL SOTTOSUOLO u, v, w GIUDIZIO SUL GRADO SI SICUREZZA DELL OPERA Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 9
RICHIAMI DI MECCANICA DEL CONTINUO E POSSIBILI APPLICAZIONI IN GEOTECNICA Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 40
APPROCCIO FISICO-MATEMATICO Il primo obiettivo da perseguire è la definiione degli effetti di sollecitaioni esterne e del peso proprio sul continuo totale ij Tenuto conto del principio delle tensioni efficaci di Teraghi, ij ij δ ij u La conoscena delle ij, dei principi d idraulica dei mei porosi e dei meccanismi d interaione tra scheletro solido e fluido di porosità, permetteranno di individuare il regime di tensione efficaci ij : ij ij - δ ij u ossia: DI MISURARE IL REGIME DI TENSIONE DA CUI HA ORIGINE LA RISPOSTA MECCANICA DEI TERRENI Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 4
IN PARTICOLARE con riferimento alle variaioni di stato tensionale prodotte da perturbaioni delle condiioni litostatiche, indipendentemente dalle condiioni di drenaggio varrà sempre la regola: ij ij δ ij - u in cui i valori di u funione del tempo andranno opportunamente specificati: in condiioni non drenate, u valori derivanti dall interaione scheletro solido/fluido di porosità nell istante di applicaione dei carichi t0; ij ij δ ij - u0 in fase di consolidaione, ut valori derivanti dall interaione scheletro solido/fluido di porosità ad un generico tempo t>0, t ; ij ij δ ij - ut in condiioni drenate i.e., nessuna interaione tra scheletro solido e fluido di porosità, u u 0, ossia: ij δ ij ij - u ij - 0 ij Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 4
MECCANICA DEL CONTINUO - TENSIONI Si consideri un corpo continuo in equilibrio sotto l aione di un sistema di fore esterne p, p,, p N. Per studiare l effetto di queste sollecitaioni in un generico punto O, immaginiamo il corpo diviso in due parti A e B, mediante una superficie piana mm passante per O. Rimuovendo la parte B, quella A rimane in equilibrio se sulla superficie mm si fanno agire le sollecitaioni che esercitava la parte rimossa B. In particolare, sull areola elementare δs agirà una sollecitaione δf. δf Si definisce tensione il vettore t n : tn lim δs 0 δs Considerando la normale n all area δs, le componenti di t secondo n e nel piano mm prendono il nome di: n - tensione normale τ n - tensione tangeniale p p P 7 m τ n δs O Ft n δs δs n δs n B p p 6 A m p 4 p 5 Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 4
Scegliendo una terna destrorsa di assi ortogonali Cartesiani,,, si può esaminare il caso dell elemento δs di normale orientata secondo uno degli assi, ad esempio l asse. In tal caso potremo definire la t e le sue componenti e τ : la τ potrà poi essere ulteriormente scomposta nelle sue componenti lungo e, ossia, τ e τ. p p m p 6 P 7 A τ δs O δs t δs δs B p p 4 p 5 Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 44
p p m p 6 P 7 A τ δs O δs t δs δs B p 4 p p 5 τ δs τ δs t δs δs δs τ δs Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 45
operando analogamente, si possono definire altrettante componenti di tensione con riferimento ad elementini δs di normale orientata secondo gli assi e. in definitiva si individuano 9 componenti speciali di tensione, che definiscono il tensore delle tensioni S nell intorno del punto O: S τ τ τ τ τ τ Come si vedrà successivamente: τ τ ; τ τ ; τ τ e, quindi, il tensore S è simmetrico rispetto alla diagonale principale. Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 46
Se isoliamo un cubo elementare infinitesimo nell intorno di O, con le facce parallele ai piani coordinati, la notaione adottata per le tensioni normali e tangeniali è quella indicata in figura, dove le tensioni sono tutte di segno positivo. τ τ τ τ τ τ In meccanica dei terreni è convenionale considerare positive le tensioni normali di compressione. Quindi le, e sono positive quando dirette verso l interno del volume elementare. Con il simbolo τ ij si indica la tensione tangeniale agente sulla faccia di normale i ed avente la direione dell asse j. La τ ij èpositiva quando: agisce su una faccia di normale uscente di verso concorde all asse i ed ha verso discorde all asse j; agisce su una faccia di normale uscente di verso discorde all asse i ed ha verso concorde all asse j; Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 47
DEFINITO IL TENSORE IN UN PUNTO O, IL VOLUME ELEMENTARE NEL SUO INTORNO DEVE ESSERE IN EQUILIBRIO SOTTO LE SOLLECITAZIONI ESTERNE, IL PROPRIO PESO E LE EVENTUALI FORZE D INERZIA IN FIGURA SONO RAPPRESENTATE LE TENSIONI DIRETTE SECONDO Z E LA FORZA PESO, OVVERO LE SOLLECITAZIONI DIRETTE LUNGO L ASSE Z W ddd È LA FORZA PESO E IL PESO DELL UNITÀ DI VOLUME DEL MEZZO [FL - ]. LA CONDIZIONE DI EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE LUNGO SI SCRIVE: τ τ g t w Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 48
Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 49 Operando analogamente per gli assi ed si ottengono le tre equaioni di equilibrio alla traslaione: t w g t v g t u g τ τ τ τ τ τ dove u, v e w sono le componenti dello spostamento. Le tre equaioni di equilibrio alla rotaione mostrano che: τ τ τ τ τ τ ; ; In condiioni statiche, ossia quando le acceleraioni lungo gli assi, e sono trascurabili, le si riducono alle ben note equaioni indefinite dell equilibrio: 0 0 0 τ τ τ τ τ τ
I VALORI ASSUNTI DALLE ij VARIANO AL VARIARE DEL SISTEMA DI RIFERIMENTO S τ τ τ τ τ τ S τ τ τ τ τ τ Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 50
ESISTE UNA PARTICOLARE TERNA DI ASSI CARTESIANI ORTOGONALI RISPETTO ALLA QUALE LE TENSIONI TANGENZIALI τ ij SONO TUTTE NULLE E LE TENSIONI NORMALI ATTINGONO IL VALORE ESTREMO DELLA PARTICOLARE DIREZIONE A CUI SI RIFERISCONO LE DIREZIONI DI QUESTI ASSI SI CHIAMANO DIREZIONI PRINCIPALI DI TENSIONE, I CORRISPONDENTI PIANI COORDINATI PIANI PRINCIPALI DI TENSIONE E LE TENSIONI AGENTI NORMALMENTE AD ESSI SONO DETTE TENSIONI PRINCIPALI. LE TENSIONI PRINCIPALI VENGONO INDICATE CON I SIMBOLI: - la massima - l intermedia - la minima Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 5
Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 5 si può dimostrare che tutte le coppie possibili di n e τ n devono soddisfare le seguenti diseguagliane: τ τ τ n n n n n n c b a Nelle condiioni di uguagliana, ciascuna di queste relaioni individua un cerchio del piano n, τ n piano di Mohr. Considerando anche la condiione di disuguagliana, si conclude che tutte le possibili coppie n, τ n individuano punti di una circonferena o dell area evideniata in figura arbelo di Mohr. τ n n a c b
lo stato tensionale agente su piani ortogonali ad un piano principale è rappresentato da un punto del corrispondente cerchio di Mohr le componenti di tensione n, τ n sono comprese apparten-gono al piano principale n τ n n Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 5
Noti i valori delle tensioni principali e può essere tracciato il cerchio di Mohr corrispondente, di centro / e raggio /. τ n - / n / Viceversa, se sono noti i valori delle tensioni normali e tangeniali secondo due assi ortogonali, del piano -, il il cerchio di Mohr può essere tracciato tra i punti, τ e, τ, con centro /. τ n,τ / n,τ Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 54
Tracciato il cerchio di Mohr ed individuato il polo delle giaciture è possibile ricavare i valori delle tensioni principali agenti su un qualsiasi piano normale al piano -. Giaciture di riferimento per polo τ n,τ POLO K τ τ n τ /,τ Il polo K è quel punto del cerchio di Mohr che gode della proprietà che qualsiasi retta per esso passante interseca il cerchio in un punto le cui coordinate n, τ n sono rappresentative dello stato tensionale agente su quella giacitura. Nella convenione di Mohr sono positive le τ n che danno luogo ad una coppia oraria rispetto ad un osservatore posto sulla normale uscente alla generica faccia del cubetto. τ n > 0, dà luogo ad una coppia oraria rispetto all osservatore! τ τ τ n < 0, dà luogo ad una coppia antioraria rispetto all osservatore! Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 55
RICERCA TENSIONI PRINCIPALI τ τ τ τ n,τ K n,τ Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 56
RICERCA TENSIONI SPECIALI SU, τ τ τ τ n,τ K n,τ τ τ Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 57
Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 58 OLTRE ALLE FORME DI RAPPRESENTAZIONE DELLO STATO TENSIONALE MEDIANTE TENSORI DELLE TENSIONI SPECIALI TENSORE DELLE TENSIONI PRINCIPALI È ANCHE POSSIBILE DEFINIRE LO STATO TENSIONALE SULLA BASE DI QUANTITÀ INDIPENDENTI DAL SISTEMA DI RIFERIMENTO PRESCELTO INVARIANTI J J J p J J q
se lo stato tensionale è tale che risulti: p q Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 59
RAPPRESENTAZIONE DI VARIAZIONI DELLO STATO TENSIONALE τ n a b c n q d b c a p Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 60
MECCANICA DEL CONTINUO - DEFORMAZIONI Un corpo soggetto ad una variaione delle sollecitaioni si deforma: variano le dimensioni e la forma in conseguena del proprio deformarsi e di quello di tutti gli altri elementini di volume, il generico cubetto subisce uno spostamento rispetto alla propria posiione originaria. Le componenti dello spostamento secondo gli assi, e del sistema di riferimento sono indicate con i simboli: u, v, w nell ipotesi di piccoli spostamenti lo stato deformativo è definito da deformaioni lineari positive se di accorciamento u / w / deformaione di taglio positiva se l angolo retto originario aumenta u w Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 6
considerando anche i piani, e, possiamo definire 9 componenti di deformaione: u / ; v / ; w / ; u / v / v / w / w / u / e, quindi, un tensore delle deformaioni D: D simmetrico rispetto alla diagonale principale Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 6
Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 6 Ipotiiamo che il generico volume infinitesimo sia idealmente composto da elementi cubici più piccoli a. Per effetto delle sollecitaioni applicate gli elementi potrebbero deformarsi in modo da dare luogo ad una configuraione finale non continua b. Questa configuraione potrebbe rappresentare una condiione di rottura. Affinché il volume infinitesimo resti continuo anche nella configuraione deformata occorre che gli elementini si deformino in modo da ricomporsi in un continuo c. Questa condiione è espressa dalle equaioni di congruena o equaioni di continuità. a b c ; ; ; Poiché le 6 componenti di deformaione derivano solo da componenti di spostamento u, v e w, solo equaioni di congruena sono indipendenti.
ESISTE UNA PARTICOLARE TERNA DI ASSI CARTESIANI ORTOGONALI RISPETTO ALLA QUALE LE DEFORMAZIONI DI TAGIO ij SONO TUTTE NULLE E LE DEFORMAZIONI NORMALI ATTINGONO IL VALORE ESTREMO DELLA PARTICOLARE DIREZIONE A CUI SI RIFERISCONO LE DIREZIONI DI QUESTI ASSI SI CHIAMANO DIREZIONI PRINCIPALI DI DEFORMAZIONE, I CORRISPONDENTI PIANI COORDINATI PIANI PRINCIPALI DI DEFORMAZIONE E LE TENSIONI AGENTI NORMALMENTE AD ESSI SONO DETTE DEFROMAZIONI PRINCIPALI, INDICATE CON I SIMBOLI: - la massima - l intermedia - la minima Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 64
Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 65 OLTRE ALLE FORME DI RAPPRESENTAZIONE DELLO STATO DEFORMATIVO MEDIANTE TENSORI DELLE DEFORMAZIONI SPECIALI TENSORE DELLE DEFORMAZIONI PRINCIPALI È ANCHE POSSIBILE DEFINIRE LO STATO TENSIONALE SULLA BASE DI QUANTITÀ INDIPENDENTI DAL SISTEMA DI RIFERIMENTO PRESCELTO INVARIANTI v I s I I
LEGAME COSTITUTIVO MEZZO ELASTICO - vs - TERRENI Come già accennato, le condiioni di equilibrio, in termini di componenti di tensione, e le condiioni di congruena, in termini di deformaione, non sono sufficienti per risolvere un problema di meccanica del continuo. Occorre ancora conoscere le relaioni che intercorrono tra tensioni e deformaioni per il materiale che costituisce il corpo in esame. Queste relaioni sono le cosiddette equaioni costitutive. Le più note e semplici equaioni costitutive sono quelle che descrivono il comportamento tensio-deformativo del materiale ideale oggetto della teoria dell elasticità. Questo materiale è: continuo, omogeneo ed isotropo; elastico; il legame tensioni-deformaioni non dipende dalla storia tensionale e deformativa; lineare; la variaione di stato deformativo indotta da una data variaione di stato tensionale non dipende dalle condiioni tensionali e deformative iniiali. Le equaioni costitutive di questo materiale ideale possono essere scritte in forma diverse in funione di due parametri meccanici. I parametri usati nella teoria dell elasticità sono: E modulo di Young e ν coefficiente di Poisson, ma sono possibili altre scelte, come ad esempio K modulo di rigidea volumetrica e G modulo d elasticità tangeniale. Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 66
Significato fisico di E e ν Con riferimento alle condiioni di compressione mono-assiale: E ν Equaioni costitutive in termini di E e ν E E E [ ] ν ν ; [ ] ν ν ; [ ] ν ν ; E E E τ τ τ Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 67
Significato fisico di K e G v p K τ τ τ τ G τ Equaioni costitutive in termini di K e G v s p k q G Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 68
Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 69 Le due diverse scritture delle equaioni costitutive sono equivalenti. Considerando ad esempio il caso di un elemento in condiioni di simmetria assiale i.e., ;, si ha: [ ] [ ] ; / / ; / ν ν q E p E Pertanto risulta: p E E v ν ν quindi: ν E K per ν0, v /Ep per ν0.5, v 0 Inoltre si può scrivere: q E E s ν ν quindi: ν E G per ν0, s / q/e per ν0.5, s q/e Altrettanto potrebbe dimostrarsi per una qualsiasi condiione tensionale e deformativa.
ESEMPI D USO DI EQUILIBRIO, CONGRUENZA e LEGAME COSTITUTIVO PER LA SOLUZIONE DI PROBLEMI D INTERESSE APPLICATIVO Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 70
STATO TENSIONALE LITOSTATICO Analiando lo stato tensionale e deformativo di un semispaio a piano limite oriontale soggetto esclusivamente alle sollecitaioni derivanti dal proprio peso dell inità di volume costante. CL f f In questa ipotesi le componenti di tensione sono indipendenti da ed e quindi variano solo con, come peraltro già visto quando sono state ricavate le equaioni indefinite dell equilibrio. Inoltre qualsiasi verticale rappresenta un asse di simmetria ed è pertanto una direione principale di tensione e di deformaione. Si ha quindi τ τ 0 e 0. Le altre direioni principali sono ovviamente contenute nel piano,. In queste condiioni la a equaione dell equilibrio: τ τ 0 si semplifica in: Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 7
Nell ipotesi costante, l integrale generale di tale equaione è: c La costante c può essere ottenuta mediante la condiione al contorno per 0, 0 ossia c Tensioni verticali [FL-] 0 Profondità [L] Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 7
Nelle condiioni indicate, [semispaio a piano limite oriontale con f e f], le equaioni indefinite dell equilibrio nelle direioni principali ed si specialiano in: 0 ; 0 indicando che per costante risulta: costante; costante Tuttavia non è possibile individuare una condiione al contorno che permetta di ottenere il valore della costante ricercata. Per ottenere le sigma in un piano oriontale occorre quindi fare ricorso alle condiioni di congruena. PER OPERARE IN MANIERA SEMPLICE SI OSSERVI CHE, PER EFFETTO DELLA SIMMETRIA INDEFINITA, L UNICO MODO DI DEFORMAZIONE CONGRUENTE È CARATTERIZZATO DA 0 Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 7
0 Se, ad esempio, si adottasse uno schema di meo continuo, omogeneo ed isotropo a comportamento elastico lineare, la suddetta condiione di congruena può essere scritta: E [ ν ] 0 Si adoperano le tensioni efficaci, dato che secondo il principio di Teraghi da esse dipende la risposta meccanica del sistema. Tenendo conto della simmetria oriontale del problema: ν ν k0 Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 74
Si noti che nel meo elastico in studio, poiché: Tensioni [FL-] Profondità [L] Si noti inoltre che essendo note le tre tensioni principali, lo stato tensionale risulta completamente definito qualunque sia la. Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 75
Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 76 Lo stato deformativo è completamente descritto dalle componenti principali di deformaione, e. Come già osservato 0: D altra parte, dalle equaioni costitutive di Navier si ricava: [ ] [ ] ed E E E E E E E ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν 0 dove: ν ν ν E E ed In definitiva, l unica componente di deformaione non nulla è.
ν ν E ν E ed ν 0 Il rapporto ν/-ν verrà nel seguito indicato come coefficiente di spinta a riposo k o : O per ν0 ν k o ν per ν0.5 Poiché i terreni non hanno comportamento elastico lineare, per essi il k o può assumere anche valori maggiori dell unità. Inoltre, nei terreni la relaione / k o riguarderà le tensioni efficaci, responsabili del comportamento meccanico dello scheletro solido e quindi del rispetto della condiione di congruena 0 alla base della relaione stessa. Il modulo E ed / verrà chiamato modulo di compressione edometrica. Dalla relaione: E ed E ν ν ν Si deduce che E ed > E. In particolare un materiale caratteriato da un coefficiente di Poisson pari a 0.5 ha E ed. Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 77
Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 78 In un meo stratificato oriontalmente, per le tensioni in un punto M alla profondità H nello strato k valgono le relaioni: o k i i i k k i i i k h H h ν ν o k i i i k k i i i k h H h ν ν, k o, k o, k o H h i Tensioni [FL-] Profondità [L] M
INCREMENTI DI TENSIONE PER SOVRACCARIOCO INDEFINITO Se applichiamo su tutto il piano limite del semispaio un carico uniformemente distribuito di intensità i, permane la condiione di simmetria lungo qualsiasi asse vertivale. Pertanto, la soluione delle equaioni indefinite d equilibrio e di congruena è analoga a quella trovata per le tensioni litostatiche, salvo la condiione ai limiti: per 0, i i Pertanto la soluione diviene: ν ν i; i ν ν Quindi, gli incrementi di tensione valgono: ν δ δ i; δ δ i ko ν i δ 0 δ X δ i δ E ed i E ed δ k o i 0 Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 79
Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 80 Le variaioni di stato tensionale e deformativo possono essere espresse mediante gli invarianti p, q, v, v : ] [ ] [ o o k i i i q k i i i p ν ν ν ν ν ν ν ν v v s v ν 0.5 o o k k p q ν ν ν per ν0 0 per ν0.5 q p s v ] [ 0.5 0; ν 0.5 ν 0 ν [ ] 0.5 0; ν 0.5 ν
Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 8 CASI ELEMENTARI - fora concentrata In alcuni casi applicativi è possibile schematiare il problema ipotiando che siano verificate condiioni di simmetria radiale. Lo stato tensionale in coordinate cilindriche è descritto in figura. Il problema più semplice da analiare è quello di un carico concentrato P applicato normalmente al piano limite di un semispaio elastico privo di peso 0, problema risolto per la prima volta da Boussinesq. π ν ν π π τ π θ R R R R P R R R r R P R r P R P r 5 r 5 P A,, R θ r
CASI D INTERESSE APPLICATIVO - striscia di carico Partendo da questi due casi elementari si può, per integraione i.e., sovrapposiione degli effetti, conoscere lo stato tensionale indotto da una qualsiasi distribuione di carichi verticali applicati al piano limite di un semispaio elastico privo di peso 0. Ad esempio, consideriamo il caso di un carico uniforme di intensità q FL - distribuito su una striscia di lunghea infinita e di larghea B. Questa condiione di carico può essere realiata come insieme di linee di carico d intensità P FL -. Ciascuna linea induce nel generico punto P un incremento delle componenti di tensione; sommando gli effetti di tutte le linee di carico si ottiene l incremento globale delle componenti di tensione nel punto P. Analiiamo ad esempio l incremento. B θ 0 θ θ q [FL - ] Il contributo dovuto alla generica linea di carico è: δ q d 4 π R q d 4 cos θ π P poiché: tanθ 0 tanθ si ha: d dθ / cos θ Per il principio di sovrapposiione degli effetti si ha: q d cos θ dθ π q sen θ0 sen θ [ θ0 θ ] π Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 8
Con la simbologia indicata in figura, si ha che le componenti di tensione nel semispaio elastico caricato da una distribuione uniforme su striscia indefinita sono: B q [FL - ] α δ P τ q [ α sen α cos α δ] π q [ α sen α cos α δ] π q α ν π q sen α sen α δ] π Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 8
striscia di carico Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 84
Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 85 Consideriamo un carico uniforme di intensità q FL - distribuito su un area circolare di raggio R. Le tensioni in un generico punto possono essere calcolate sovrapponendo gli effetti dovuti a carichi concentrati dq agenti su ciascuna delle aree elementari da in cui può essere suddiviso il carico globale. Consideriamo la componente. Il contributo dovuto al carico elementare dq è dato da: CASI D INTERESSE APPLICATIVO area di carico circolare da r q r dq 5 5 π π δ Considerando un punto in asse al carico abbiamo: dr d r da ψ con ψ variabile tra 0 e π ed r tra 0 ed R. Si ha quindi: ] [ 0 0 5 R q dr d r r q R π ψ π Inoltre, in asse al carico risulta: ] [ R R q ν ν
area di carico circolare Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 86
area di carico circolare Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 87
Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 88 Per un carico distribuito su un area rettangolare si ha: CASI D INTERESSE APPLICATIVO area di carico rettangolare R ; R ; R con : ] [tan b a b a R R R b a R b a o π Usando il principio di sovrapposiione degli effetti è possibile ottenere il valore della tensione in un qualsiasi punto del semispaio elastico soggetto ad una qualsiasi distribuione di carichi verticale scomponibili in aree rettangolari uniformemente caricate.
INTERAZIONE TRA FLUIDO DI POROSITÀ E SCHELETRO SOLIDO Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 89
APPROCCIO FISICO-MATEMATICO Il secondo obiettivo del corso è la definiione dei principi che permettono di individuare il regime di pressione neutra nel continuo fluido di porosità, in condiioni idrostatiche, di flusso staionario che si ripete identicamente nel tempo e transitorio variabile nel tempo. Tenuto conto del principio delle tensioni efficaci di Teraghi: ij ij δ ij u La conoscena delle ij e delle u, permetterà di individuare il regime di tensione efficaci ij : ij ij - δ ij u ossia: DI MISURARE IL REGIME DI TENSIONE DA CUI HA ORIGINE LA RISPOSTA MECCANICA DEI TERRENI Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 90
IDRAULICA DEI MEZZI POROSI Un elemento di volume fluido ha un certo contenuto energetico che viene comunemente espresso con riferimento all unità di peso. Tale energia dell unità di peso ha le dimensioni di una lunghea, viene definita carico idraulico e si compone di addendi: ζ u w V con h ζ u g h V Nella relaione : ζ èla quota geometrica ed è misurata rispetto ad un piano arbitrario di riferimento; u/ w èl altea pieometrica, misurata in termini di pressioni relative i.e., u atm 0, e w è il peso dell unità di del fluido tipicamente acqua; V /g èl energia cinetica, con V velocità con cui si muove il volume elementare e g è l acceleraione di gravità; h èla quota pieometrica ζ u/ w LA VELOCITA DELL ACQUA NEI TERRENI È DELL ORDINE DI 0-0 - m/s. PERTANTO L ENERGIA CINETICA È SEMPRE UN INFINITESIMO DI ORDINE SUPERIORE 0-5 0-5 m. In altre parole, sena commettere errori di rilevo si potrà assumere che l energia associata ad una particella liquida sia: w g h ζ u w Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 9
INTERAZIONE IN REGIME IDROSTATICO MOTI DI FILTRAZIONE Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 9
Acqua in quiete Condiioni Idrostatiche La velocità V è nulla, la h è costante ed in modo del tutto rigoroso vale la relaione: h ζ u w ossia: u h ζ w u B u A / w u B / w w A h A ζ B h B ζ ζ A piano ζ 0 w In condiioni idrostatiche vale la legge di Stevino: u w w D altra parte in condiioni idrostatiche la w [profondità misurata a partire dal punto con pressione dell acqua nulla i.e., dal pelo libero della falda idrica] è sempre pari a h-ζ. Il peso specifico dell acqua si considera in genere costante e pari a t/m gr/ cm ; 0 kn/ m Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 9
INTERAZIONE IN REGIME DI FLUSSO STAZIONARIO MOTI DI FILTRAZIONE Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 94
Acqua in moto Condiioni di Flusso Consideriamo un generico volume infinitesimo dv racchiuso da una superficie ideale ds. Nell intervallo di tempo t tdt il flusso complessivo di acqua attraverso l intera superficie i.e., la differena tra la massa d acqua entrante e quella uscente è dato da: w div V dv dt Considerando l incompressibilità dell acqua i.e., la costana di w la stessa relaione si scrive: div V dv dt dv ds Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 95
Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 96 dt d d d V V d d d V V d d d V V d d d V V d d d V V d d d V V ] [ Infatti, considerato un volume elementare con centro punto O, in cui il vettore velocità di filtraione abbia componenti V, V, V, il flusso netto d acqua nel tempo dt vale: ossia: dt dv V div dt d d d V V V dt d V V dt d V V dt d V V dt d V V d d d O dt d V V dt d V V
Nell ipotesi che i singoli granelli e l acqua siano incompressibili e che la condiione di perfetta saturaione resti inalterata, se esiste uno sbilanciamento tra volume di acqua entrante ed uscente per il principio di conservaione della massa si deve verificare una variaione del volume dei pori nv p /V tale che: V t w dt V p t dt n dv dt t n di modo che: div V dv dt dv dt 0 t n ossia: div V 0 t div V dv dt V t w dt V p t dt Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 97
Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 98 Piuttosto che utiliare la porosità n nv p /V in geotecnica conviene fare riferimento all indice di porosità e ev p /V s, legato ad n dalla relaione: e e n Si ottiene: e t e t e e t n V V t V V e t e s s p Nell ipotesi di piccoli spostamenti ed incompressibilità della sostana solida i.e., incompressibilità della materia costituente i singoli granelli, risulta trascurabile la quantità: Quindi: t t V V t e e t n v p In definitiva, lequaione di campo che descrive i fenomeni di flusso d acqua accoppiati a quelli di deformaione dello scheletro solido variaione del volume dei pori è: 0 t V div v
PIÙ IN PARTICOLARE FLUSSO IN REGIME TRANSITORIO Nelle fasi accoppiate, in cui il flusso dell acqua è accoppiato a deformaioni dello scheletro solido consolidaione, l equaione di campo è: v div V 0 t t tdt FLUSSO IN REGIME STAZIONARIO indipendente dal tempo Nelle fasi disaccoppiate, in cui il flusso dell acqua avviene secondo le leggi dell idraulica dei mei porosi e non è accompagnato da deformaioni dello scheletro solido filtraione, l equaione di campo è: div V 0 t tdt Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 99
Acqua in moto Legge di Darc La legge che regola il flusso dell acqua o altro liquido nei terreni fu scoperta da Darc, con riferimento alla semplice esperiena indicata in figura. V immissione Q A H k L k j eccesso di alimentaione H B A Q L u B / w ζ B h B u A / w ζ A h A ζ k permeabilità [LT - ]; Q portata [L T - ]; H salto energetico [L]; L spessore del campione percorso di filtraione [L]; A seione trasversale del campione [L ]; j H/L cadente pieometrica [-]; V velocità [LT - ]. La legge di Haen: k 00 50 D 0 [cm/sec] Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 00
La legge di Darc può essere generaliata. In un meo poroso saturo ed isotropo nei confronti della permeabilità essa si scrive: V h k h î; h ĵ; kˆ isopieica h <h h h î; h ĵ; kˆ u A / w V h A h isopieica h A isopieica h < h ζ A ζ piano ζ 0 IN UN MEZZO POROSO ISOTROPO LE LINEE DI FLUSSO E QUELLE ISOPIEZICHE SONO ORTOGONALI Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 0
Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 0 Di conseguena il termine div V della e della si specialia in: h h h k divv Utiliando la scrittura in forma scalare della legge di Darc generaliata si ricava: h k V h k V h k V h k V h k V h k V Ovvero in un meo isotropo nei confronti della permeabilità: h k h k h k divv Pertanto le equaioni di campo divengono: 0 t h k v FLUSSO IN REGIME TRANSITORIO 0 h k FLUSSO IN REGIME STAZIONARIO
INTERAZIONE IN REGIME DI FLUSSO STAZIONARIO MOTI DI FILTRAZIONE UNIDIREZIONALI Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 0
CONDIZIONI DI FLUSSO STAZIONARIO - FILTRAZIONE moto unidireionale divv k h 0 Nei caso di flusso unidireionale l equaione di campo indicata trova una soluione in forma chiusa. Infatti, detta la direione del flusso essa si specialia in: h 0 h c h c d Le costanti c cadente pieometrica e d vanno specialiate caso per caso, in funione delle condiioni idrauliche al contorno. Inoltre, essendo: u h ζ in cui ζ varia linearmente con, anche la u è lineare: u c d Ovviamente, anche le costanti c e d vanno specialiate in funione delle condiioni idrauliche al contorno. w a H B Nel caso in figura: h h h h B A per a per L a L A h B h A ζ u u w w a per a a H L per L a Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 04
H h B h A h a B h c d A Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 05
H u B w u a B w u c d A Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 06
Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 07 a j a a j a a u a j a L H u a a w w sat w w sat w w w w w sat w La tensione efficace si annulla quando: 0 a j a c w w sat ossia: w w w sat j c SIFONAMENTO H A B u, u B u a u A
h A h B h H B a h c d A Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 08
Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 09 a j a j a a u a j a L H u a a w w sat w sat w w w w w sat w La tensione efficace aumenta per cui non può aversi al problema del sifonamento, ma subentra quello della subsidena. SUBSIDENZA u, u B u H A B a u A
Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag. 0 0 ; << h H h L k L k k <k H A B u u B u a u A C u C L L ; ; h H L L h k k L h k L h k j k j k V V ; L L k k H h L L k k H h sifonamento c j L h j
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PERMEABILITÀ Corso di Laurea in Ingegneria Civile - Fondamenti di Geotecnica Claudio Mancuso parte pag.