Rinorzo a lessione Esempi numerici 1
Rinorzo a lessione Il rinorzo a lessione è necessario per elementi strutturali soggetti a momento lettente di calcolo maggiore della corrispondente resistenza Il rinorzo a lessione mediante materiali compositi èeseguitomedianteapplicazionediunoo più lamine ovvero uno o più strati di tessuto al lembo teso dell elemento da rinorzare 2
Rinorzo a lessione: Calcolo del Momento Resistente La rottura a lessione si ha per: Raggiungimento della massima deormazione plastica nel calcestruzzo compresso, ε cu raggiungimento di una deormazione massima nel rinorzo in FRP, ε d, calcolata come: ε u εd = min ηa, ε,max γ η a : attore di conversione ambientale (per varie condizioni di esposizione e vari sistemi in FRP) ε u : deormazione ultima del rinorzo γ : coeicienti parziali per materiali e prodotti ε,max : deormazione massima per delaminazione 3
Rinorzo a lessione: Deormazione massima nel rinorzo η a : attore di conversione ambientale (per varie condizioni di esposizione e vari sistemi in FRP) Condizione di esposizione Esposizione interna Esposizione esterna (ponti colonne parcheggi) Ambiente aggressivo (centrali chimiche e centrali di trattamento delle acque) Tipo di ibra/resina Carbonio/Epossidica Vetro/Epossidica Aramidica/Epossidica Carbonio/Epossidica Vetro/Epossidica Aramidica/Epossidica Carbonio/Epossidica Vetro/Epossidica Aramidica/Epossidica η a 0.95 0.75 0.85 0.85 0.65 0.75 0.85 0.50 0.70 4
Rinorzo a lessione: Deormazione massima nel rinorzo γ : coeicienti parziali per materiali e prodotti MATERIALE/PRODOTTO Lamine e tessuti FRP APPLICAZIONE TIPO A 1.20 APPLICAZIONE TIPO B 1.50 Applicazione tipo A: sistemi di rinorzo preabbricati in condizioni di controllo di qualità ordinario, applicazione di tessuti a mano con elevato controllo di qualità Applicazione tipo B: applicazione di tessuti a mano in condizione di qualità ordinario, applicazione di qualsiasi sistema di rinorzo in condizioni di diicoltà ambientale o operativa 5
Rinorzo a lessione: Deormazione massima nel rinorzo ε,max : deormazione massima per delaminazione intermedia (Modalità 2) ε = k,max cr E dd - k cr : coeiciente pari a 3 - E : Modulo Elastico FRP - dd : tensione di progetto nel rinorzo dd = γ d 1 2E Γ γ t c Fk 6
Rinorzo a lessione: Tensione di progetto nel rinorzo dd : tensione di progetto nel rinorzo dd = γ d 1 2E Γ γ t c Fk Γ Fd : Valore di progetto energia Γ = 0.03 k Fk speciica di rattura b ck ctm [orze in N, lunghezze in mm] ck : Valore caratteristico resistenza a compressione calcestruzzo ctm : Valore medio resistenza a trazione del calcestruzzo γc: coeiciente parziale del calcestruzzo (ornito da Normativa vigente) 7
Rinorzo a lessione: Tensione di progetto nel rinorzo Γ = 0.03 k Fk b ck ctm k b : Fattore di tipo geometrico b : larghezza della trave b : larghezza rinorzo b 2 b b kb = per. b b 1+ 400 1 0 33 [lunghezze in mm] se b /b<0.33 nella ormula si usa b /b = 0.33 8
Rinorzo a lessione: Calcolo del Momento Resistente As2 Α εc0 ε co d 2 x = =ξ ξ d 1 εcu ε εs2 ε σs2 σ s2 σc σ c h d As1 Α 2 M d 1 b b A A t εd ε s εy,d >ε yd ε d ε0ε o σs1 yd σ σ Zona 1: Rottura per raggiungimento deormazione elastica limite di progetto nelle ibre Zona 2: Rottura per schiacciamento del calcestruzzo con acciaio teso snervato 9
Zona 1: FRP: ε = ε Rinorzo a lessione: Calcolo del Momento Resistente d Cls lembo compresso: ε ( ) x = ε + ε c d o ( ) cu h x ε Acciaio compresso: d x ε = ( ε + ε ) s1 d o (h x) Acciaio teso: x d2 ε = ( ε + ε ) s2 d o ( h x ) h d d d 2 1 As2 Α As1 Α b b A A t εd x = =ξ ξ d ε s εy,d >ε yd ε d 2 1 εc0 ε co ε0ε o εcu ε E superluo veriicare l entità della deormazione dell acciaio teso: εs2 ε I valori usuali della deormazione limite delle ibre ε d, e del calcestruzzo, ε cu sono tali da escludere in genere l attingimento della deormazione limite dell acciaio 10
Rinorzo a lessione: Calcolo del Momento Resistente Zona 2: FRP: ε cu ε = ( h x ) ε ε 0 d x Cls lembo compresso: ε = ε c cu Acciaio compresso: d x ε = ε s1 cu x Acciaio teso: ε s2 = ε cu x d x 2 d h d d 2 1 As2 Α εc0 ε co b t x = =ξ ξ d 1 2 As1 Α b ε s εy,d >ε yd εd ε d A A ε0ε o Non viene raggiunta la deormazione limite nelle ibre εcu ε εs2 ε 11
Rinorzo a lessione: Calcolo del Momento Resistente In entrambe le zone il momento resistente Mu e x si calcolano: Eq. equilibrio rotazione intorno all asse baricentrico armatura tesa M = ψ b x (d λ x) + A σ (d d ) + A σ d u cd s2 s2 2 1 Eq. equilibrio alla traslazione lungo l asse della trave 0 = ψ b x + σ A A A σ cd s2 s2 s1 yd As2 Α εc0 ε co d 2 x = =ξ ξ d 1 εcu ε εs2 ε σs2 σ s2 σc σ c h d As1 Α 2 M d 1 b b A A t εd ε s εy,d >ε yd ε d ε0ε o σs1 yd σ σ 12
Rinorzo a lessione: Calcolo del Momento Resistente I coeicienti adimensionali ψ e λ rappresentano, rispettivamente, l intensità del risultante degli sorzi di compressione e la distanza di quest ultimo dall estremo lembo compresso, rapportati nell ordine a b x cd ed a x. Nelle zone 1 e 2 l entità della deormazione esibita dalle barre d acciaio in trazione è sempre superiore a quella di progetto, ε yd Le tensioni di lavoro dell acciaio sono sempre pari a yd Per evitare che allo stato limite ultimo l acciaio teso sia in campo elastico, il coeiciente adimensionale ξ=x/d non deve eccedere il valore limite ξ lim ξ lim = εcu ε + ε cu yd 13
Rinorzo a lessione: Calcolo delle Sollecitazioni 8,00 Carichi Permanenti Travetto 0.4 kn/m Soletta 0.5 kn/m Pignatte 0.35 kn/m Massetto 0.38 kn/m Intonaco 0.15 kn/m Impermeabilizzazione 0.15 kn/m TOT 1.9 kn/m 5,00 5,00 Sovraccarichi Accidentali Copertura non praticabile 0.25 kn/m MASSETTO IMPERMEABILIZZAZIONE 20 4 50 10 40 INTONACO 1.4*Carichi Permanenti 2.70 knm 1.5*Sovraccarichi Accidentali 0.37kN/m 14
Rinorzo a Flessione: Condizioni di carico M sd = 7.4 knm 15
Dati: Sezione non rinorzata Calcestruzzo: R ck = 20 Mpa cd = 11.0 Mpa Geometria: b = 500 mm h = 200 mm d = 30 mm Rinorzo a Flessione Acciaio: yk = 440 Mpa E s = 210 Gpa yd = 374 Mpa ε yd = 0.00182 A s1 = 1Φ10 =79 mm 2 40 160 A s2 = 2Φ10 =157 mm 2 Eq. equilibrio alla traslazione lungo l asse della trave 0 = ψ b x + σ A σ A cd s1 s1 s2 s2 Eq. equilibrio rotazione intorno all asse baricentrico armatura tesa M b x (d x) A (x d ) A (d d ). knm = ψ λ + σ + σ = 97 u cd s1 s1 1 s2 s2 2 500 100 x = 24. 6mm 16
Rinorzo a lessione: Calcolo delle Sollecitazioni 8,00 Carichi Permanenti Travetto 0.4 kn/m Soletta 0.5 kn/m Pignatte 0.35 kn/m Massetto 0.38 kn/m Intonaco 0.15 kn/m Pavimento 0.30 kn/m Impermeabilizzazione 0.15 kn/m TOT 2.2 kn/m 5,00 5,00 Sovraccarichi Accidentali Copertura non praticabile 1.0 kn/m MASSETTO PAVIMENTO 20 5 50 10 40 INTONACO 1.4*Carichi Permanenti 3.1 kn/m 1.5*Sovraccarichi Accidentali 1.5kN/m M sd = 11.1 knm 17
Rinorzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo 500 160 40 50 100 18
Rinorzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo Calcolo di k b b = 100 mm b = 50 mm b / b = 0.5 k b = b 2 b = 1.15 > 1 OK b 1+ 400 Calcolo di Γ Fd ck = 0.83 R ck = 16.60 Mpa ctm = lessione = 0.27 x (R ck )^(2/3) = 2.0 Mpa γ c = 1.6 Γ = 0.03 k = 0.2 Fk b ck ctm 19
Rinorzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo Calcolo di dd k c = 3 γ Rd = lessione = 1.00 E = 170000 Mpa t = spessore totale rinorzo = 1 x 1.4 = 1.4 mm Γ Fd = 0.20 dd Fk = = γ d 1 γ c 2E Γ t 434MPa 20
Rinorzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo Calcolo di ε d η a = 0.95 ε u = 0.018 γ = 1.2 (Applic. Tipo A) ε u ηa = γ 0.0144 k cr = 3 dd = 434 Mpa E = 170000 Mpa dd ε = k = 00026.,max cr E ε u εd = min ηa, ε,max = 0.0026 γ 21
Rinorzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo Calcolo del Momento Ultimo Regione di rottura: 1 Rottura per raggiungimento deormazione elastica limite di progetto nelle ibre x = proondità asse neutro = 29.7 mm ξ = x/h = 0.149 ψ = 0.6745 λ = 0.3765 σ s2 = 374 Mpa σ = 434 Mpa Mu = 14.9 kn m 22
Rinorzo a Flessione: Travetto Solaio Sezione originale: Sezione rinorzata: Mu = 9.70 kn m Mu = 14.90 kn m L utilizzo del rinorzo ha apportato un incremento in termini di capacità di resistenza a lessione pari al 53% della capacità originaria 23
Rinorzo a Flessione (2): Calcolo del Momento Ultimo 500 160 40 50 100 24
Rinorzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo Calcolo di k b b = 100 mm b = 50 mm b / b = 0.5 k b = b 2 b = 1.15 > 1 OK b 1+ 400 Calcolo di Γ Fd ck = 0.83 R ck = 16.60 Mpa ctm = lessione = 0.27 x (R ck )^(2/3) = 2.0 Mpa γ c = 1.6 Γ = 0.03 k = 0.2 Fk b ck ctm 25
Rinorzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo Calcolo di dd k c = 3 γ Rd = lessione = 1.00 E = 230000 Mpa t = spessore totale rinorzo = 1 x 0.166 = 0.166 mm Γ Fd = 0.20 dd Fk = = γ d 1 γ c 2E Γ t 1467MPa 26
Rinorzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo Calcolo di ε d η a = 0.95 ε u = 0.021 γ = Applic. Tipo A= 1.2 ε u ηa = γ 0.0166 k cr = 3 dd = 1467 Mpa E = 230000 Mpa dd ε = k = 0. 0063,max cr E ε u εd = min ηa, ε,max = 0.0063 γ 27
Rinorzo a Flessione: Calcolo del Momento Ultimo Calcolo del Momento Ultimo Regione di rottura: 1 Rottura per raggiungimento deormazione elastica limite di progetto nelle ibre x = proondità asse neutro = 26.35 mm ξ = x/h = 0.1317 ψ = 0.6228 λ = 0.3681 σ s2 = 374 Mpa σ = 1467 Mpa Mu = 11.7 kn m 28
Rinorzo a Flessione (2): Travetto Solaio Sezione originale: Sezione rinorzata: Mu = 9.70 kn m Mu = 11.70 kn m L utilizzo del rinorzo ha apportato un incremento in termini di capacità di resistenza a lessione pari al 21% della capacità originaria 29
Rinorzo a Flessione: Trave Calcestruzzo: R ck = 20 Mpa cd = 11.0 Mpa Geometria: b = 300 mm h = 500 mm d = 30 mm Acciaio: yk = 440 Mpa E s = 210 Gpa yd = 374 Mpa ε yd = 0.00182 Eq. equilibrio alla traslazione lungo l asse della trave 0 = ψ b x + σ A A s1 = 2Φ16 =402 mm 2 A s2 = 4Φ16 =804 mm 2 M sd = 123.08 knm cd s2 s2 Eq. equilibrio rotazione intorno all asse baricentrico armatura tesa M = ψ b x ( d λ x) + A σ ( d d ) = 132. 00kNm u cd s2 s2 2 500 b = 89. 40mm 300 2Ø16 4Ø16 30
Rinorzo a Flessione: Esempi Numerici Trave M sd = 184.9 knm 300 2Ø16 500 4Ø16 2 strati 31
Rinorzo a Flessione: Trave Calcolo di k b b = 300 mm b = 300 mm b / b = 1.0 k b = b 2 b = 0.76 < 1 [] 1 b 1 40 + 0 Calcolo di Γ Fd ck = 0.83 R ck = 16.60 Mpa ctm = lessione = 0.27 x (R ck )^(2/3) = 2.00 Mpa γ c = 1.6 Γ = 0.03 k = 0.17 Fk b ck ctm 32
Rinorzo a Flessione: Trave Calcolo di dd k c = 3 γ Rd = lessione = 1.00 E = 390000 Mpa t = spessore totale rinorzo = 2 x 0.329 = 0.658 mm Γ Fd = 0.17 dd Fk = = γ d 1 γ c 2E Γ t 893MPa 33
Rinorzo a Flessione: Trave Calcolo di ε d η a = 0.95 ε u = 0.011 γ = 1.2 ( Applic. Tipo A) ε u ηa = γ 0.0090 k cr = 3 dd = 893 Mpa E = 390000 Mpa dd ε = k = 00023.,max cr E ε u εd = min ηa, ε,max = 0.0023 γ 34
Rinorzo a Flessione: Trave Calcolo del Momento Ultimo Regione di rottura: 1 Rottura per raggiungimento deormazione elastica limite di progetto nelle ibre x = proondità asse neutro = 181 mm ξ = x/h = 0.3616 ψ = 0.8095 λ = 0.4160 σ s2 = 374 Mpa σ = 893 Mpa Mu = 197.8 kn m 35
Rinorzo a Flessione: Trave Sezione originale: Sezione rinorzata: Mu = 132.0 kn m Mu = 197.8 kn m L utilizzo del rinorzo ha apportato un incremento in termini di capacità di resistenza a lessione pari al 50% della capacità originaria 36
Rinorzo a Taglio Esempi numerici 37
Rinorzo a Taglio Calcolo resistenza a taglio sezione in c.a.: V = min { V ;V +V rd Rd,max cd wd} =127kN Resistenza biella compressa di calcestruzzo: V = b d Rd,max 0,30 cd w V Rd,max = 373 kn Somma contributo calcestruzzo più contributo armatura a taglio V = 0,60 b d δ 0,90d Vwd = Asw ywd + s Vcd cd ctd w = 74kN Vwd ( sinα cosα ) = 53kN 38
Rinorzo a Taglio: Trave tipo U-Jacket 300 300 500 39
Rinorzo a Taglio Calcolo resistenza a taglio sezione in c.a.: { } V = min V + V + V, V Rd Rd,ct Rd,s Rd, Rd,max V Rd,ct V Rd,s V Rd, V Rd,max contributo del calcestruzzo contributo dell armatura trasversale di acciaio, da valutarsi in accordo con i Codici e la Letteratura Tecnica più recente contributo del rinorzo di FRP resistenza della biella compressa di calcestruzzo, da valutarsi in accordo con i Codici e la Letteratura Tecnica più recente. 40
Rinorzo a Taglio: Rinorzo Continuo tipo U-Jacket 1 w V = Rd, 0,9 d ed 2 t (cot θ + cot β ) γ p Rd γ Rd coeiciente parziale per modello di resistenza pari a 1,20 (CNR Punto 3.4.1 Tabella 3.3) d altezza utile della sezione h w larghezza della membratura resistente a taglio t spessore del rinorzo di FRP β angolo di inclinazione delle ibre rispetto all asse dell elemento θ angolo di inclinazione delle essure da taglio rispetto all asse dell elemento (in mancanza di determinazione più accurata, si può assumere θ= 45 ) w larghezza delle strisce passo delle strisce p I valori di w e di p devono essere misurati ortogonalmente alla direzione delle ibre e, nel caso di strisce poste in adiacenza o di ogli, il rapporto è pari ad 1,0. 41
Rinorzo a Taglio: Rinorzo Continuo tipo U-Jacket ed 1 = dd sin β e 1 3 min 0,9 ; l { dh} w [tensione di progetto del rinorzo] dd 1 2 E Γ = γ γ t,d c Fk Γ = 0.03 k Fk b ck ctm sin( θ + β ) nel caso di rinorzi continui, b = b= min{0,9 d; h } w sinθ essendo h w l altezza dell anima della trave. l e = E t 2 ctm [lunghezze in mm] Punto 4.3.3.3: Nel caso di disposizione ad U ed in avvolgimento, gli spigoli della sezione dell elemento da rinorzare a contatto con il materiale composito devono essere arrotondati, in modo da evitare il tranciamento del rinorzo. Il raggio di curvatura,dell arrotondamento deve essere non minore di 20 mm. 42
Rinorzo a Taglio Calcolo di k b b = b = min(423;300)=300 k b = b 2 b =0.76<1 [ 1] b 1+ 400 Calcolo di Γ Fd ck = 0.83 R ck = 16.60 Mpa ctm = lessione = 0.27 x (R ck )^(2/3) = 2.00 Mpa γ c = 1.6 Γ = 0.03 k = 0.17 Fk b ck ctm 43
Rinorzo a Taglio Calcolo di dd k c = 3 γ Rd = Taglio = 1.20 γd = (Applic. Tipo A) = 1.20 E = 390000 Mpa t = spessore totale rinorzo = 1 x 0.329 = 0.329 mm Γ Fk = 0.17 dd Fk = = γ d 1 γ c 2E Γ t 421MPa 44
Rinorzo a Taglio l e E 2 t = = ctm 185mm 1 2 E Γ Fk dd = = γ t,d γc 1 l sin β e = 1 337 ed dd = MPa 3 min{ 0,9 dh ; w} 421MPa 1 w V = Rd, 0,9 d ed 2 t (cot θ + cot β ) = 78 kn γ p Rd { } V = min V + V + V, V Rd Rd,ct Rd,s Rd, Rd,max V = 74 Rd,ct kn V = kn V = kn V = 373kN Rd,max Rds 53 Rd, 78 { } V = min 373;205 = 205kN Rd 45
Rinorzo a Taglio Sezione originale: Sezione rinorzata: Vrd = 127 kn m Vrd= 205 kn m L utilizzo del rinorzo ha apportato un incremento in termini di capacità di resistenza a taglio pari al 62% della capacità originaria Tale valore è superiore a quello consentito dalla norma che prevede un valore di incremento massimo di resistenza pari al 60% di quello della sezione non rinorzata. 46