Problema n. Un auto da cora A iaia u un piano orizzontale con elocità cotante = 69 km/ i 11 km/ j ripetto ad un oeratore olidale al uolo Ox. Qual è la elocità dell auto A miurata da un oeratore olidale ad un treno O x ce iaia con elocità cotante V = 108 km/ i + 70 km/ j ripetto a Ox? Calcolare i moduli della elocità di A nei due itemi di riferimento Ox e O x e commentare il riultato. Soluzione Y Y' A 0' V X' 0 X Dati: = 69 i 11 j V = 108 i+ 70 j In fiura abbiamo cematizzato la ituazione decritta nel problema: l auto A i muoe luno una enerica traiettoria con elocità, ripetto al itema di riferimento fio OXY, mentre il treno iaia con elocità V, calcolata empre ripetto al itema di riferimento OXY. Definiamo ance un itema di riferimento mobile, ce ciamiamo O X Y, olidale con il treno. (1) Calcolare la elocità di A ripetto ad un oeratore olidale con il itema di riferimento O X Y Voliamo calcolare la elocità dell auto A ripetto ad un oeratore olidale con il itema di riferimento mobile O X Y ; appliciamo quindi il teorema delle elocità relatie ce ci dice ce la elocità aoluta di un oetto (oero la elocità miurata ripetto ad un itema di riferimento fio) è uuale alla omma ettoriale della elocità relatia (la elocità miurata da un oeratore
olidale con il itema di riferimento mobile) e della elocità di tracinamento del itema di riferimento mobile. = + t ' (1) Doe: è la elocità aoluta ' è la elocità relatia è la elocità di tracinamento t La elocità di tracinamento del itema di riferimento mobile, è in enerale la omma di un termine di moto tralatorio e di uno rotatorio, ma nel notro cao il itema mobile O X Y trala olo (con elocità pari a V ) ripetto al itema fio OXY e non ruota, quindi crieremo ce: t = V Dalla (1), otteniamo quindi ce la elocità relatia ' dell auto, miurata ripetto al itema di riferimento mobile O X Y, è data dalla relazione: ' = V La relazione appena critta è una relazione ettoriale, quindi ricriiamola in termini di componenti luno le direzioni XY : ' x = x Vx = 69 108 = 39 ' = V = 11 70 = 191 Otteniamo quindi ce la elocità relatia dall auto, oero la ua elocità miurata ripetto ad un oeratore olidale con il treno O X Y, è pari a: ' = 39 i 191 j () Calcolare i moduli della elocità di A nei due itemi di riferimento Ox e O x e commentare il riultato Per calcolare i moduli della elocità dell auto A, miurata ripetto ai due itemi di riferimento (quello fio OXY e quello mobile O X Y ) bata utilizzare le componenti delle due elocità (fornite da problema) e ' (calcolate nel punto precedente): Sitema di riferimento OXY: = x + = ( 69 ) + ( 11 ) 139
Sitema di riferimento O X Y : ' = x ' + ' = ( 39 ) + ( 191 ) 195 I moduli calcolati delle due elocità, quella relatia e quella aoluta, ci indicano ce due oeratori, uno fio (cioè in quiete ripetto al riferimento OXY) e l altro olidale con il itema di riferimento O X Y edono entrambi l auto muoeri di moto rettilineo uniforme, ma con elocità differenti ia in modulo (in particolare, ripetto all oeratore olidale con O X Y, la elocità dell auto riulta maiore ripetto a quella miurata dall oeratore olidale con OXY) ce in direzione (come i deduce facilmente oerando le componenti della due elocità). In particolare, ripetto al itema di riferimento OXY, l auto i muoerà u una traiettoria rettilinea formante un anolo di inclinazione θ di circa 60 ripetto all ae X (è facile calcolarlo, utilizzando le componenti della elocità, dato ce t θ = ), mentre ripetto al itema O X Y l auto x percorrerà, con elocità uperiore ripetto a quanto miurato dall oeratore fio, una traiettoria rettilinea come quella motrata in fiura (con anolo di inclinazione ripetto a X θ ' = 78 ) Y Y' A A θ=60 θ'=78 ' 0 X 0' X'
Problema n. 6 Due carrelli uuali i muoono u rotaie rettilinee parallele nello teo ero ma con elocità diere (ripettiamente 1 = 1 m -1 e = m -1 ). Nel momento in cui i due carrelli ono affiancati un ao iene lanciato dal carrello l al carrello con un anolo di lancio (alzo) θ = 60. Se la ditanza fra i due carrelli è in quell'itante, pari a L = m, calcolare le componenti della elocità di lancio del ao affincé eo cada ul econdo carrello. N.B: Si riciede il calcolo delle componenti della elocità miurate nel itema di riferimento olidale con il carrello 1. Si auma inoltre ce l'anolo di lancio ia miurato in queto itema di riferimento. Soluzione Y V X L Y 1 1 V 1 X 1 t=0 Z 1 V θ=60 X 1 Y 1 α Dati: 1 m 1 = m = L = m θ = 60
? Calcolare la elocità affincé il ao lanciato dal carrello 1 cada ul carrello In fiura abbiamo cematizzato la ituazione decritta nel problema, nell itante ce noi prendiamo come iniziale t = 0, in cui il ao iene lanciato dal carrello 1 ero il carrello. Nella econda fiura è motrato inece un particolare del ettore, ce come i può edere dalla fiura poiede tre componenti, onuna luno le tre direzioni X 1 Y 1 Z 1 (oero li ai del itema di riferimento olidale con il carrello 1, ripetto a cui definiamo le componenti della elocità del ao, noncé l anolo di lancio θ ): in particolare, dato ce l anolo di lancio è definito ripetto al piano orizzontale X 1 Y 1, aremo ce la componente erticale della elocità z formerà un anolo θ di 60 con la componente della elocità luno il piano X 1 Y 1, ce a ua olta è la omma ettoriale delle due componenti inole x e. Introduciamo quindi l anolo upplementare α, definendolo come in fiura; in bae a emplici oerazioni trionometrice poiamo dunque criere le tre componenti di come: x z = coθ coα = coθ enα = enθ Nella fiura ottotante è cematizzato coa accade dopo l itante t = 0 di lancio del ao: il ao percorrerà una traiettoria parabolica (moto balitico) fino a cadere ul econdo carrello. Z Z 1 L x V Y 1 Y 1 α t>0 X X 1 Tale moto parabolico del ao è determinato dalle condizioni di elocità di lancio (ce cotituice quindi la elocità iniziale del moto) ce dobbiamo appunto determinare affincé il ao rieca a cadere ul carrello. Ora, le elocità dei due carrelli ono miurate ripetto ad un itema di riferimento fio (non rappreentato in fiura), ma il problema ci ciede di calcolare ripetto ad un itema di riferimento olidale con il carrello 1; definiamo quindi tale itema di riferimento, ce indiceremo come O X Y Z.
L oeratore olidale con O X Y Z, ede naturalmente il carrello 1 fermo, oero 1 ' = 0, mentre il carrello muoeri di moto rettilineo uniforme (luno una traiettoria parallela all ae X ) con elocità in modulo pari a '. Infine, empre lo teo oeratore olidale a O X Y Z edrà il ao taccari dal carrello 1 con elocità inconita e con un anolo di lancio pari a θ = 60. Per prima coa calcoliamo la elocità relatia del carrello, oero la elocità miurata ripetto al itema di riferimento O X Y Z : il teorema delle elocità ci dice ce elocità aoluta (quella miurata ripetto a d un itema di riferimento fio e fornitaci dal problema) e elocità relatia ono leate dalla relazione = ' + t doe, ance in queto cao, la elocità di tracinamento t è compota olo di un termine tralatorio, in quanto non c è rotazione del itema O X Y Z ripetto al itema fio. Applicando la relazione opra, crieremo quindi ce: = ' + t con t = 1 Dato ce le elocità ce compaiono nella relazione opra ono tutte dirette parallelamente all ae X, poiamo ricriere la relazione opra come: = ' + 1 da cui m m m ' = 1 = 1 = 1 Sempre nel itema di riferimento O X Y Z, olidale con il carrello 1, il ao compie un moto balitico le cui lei del moto, luno le tre direzioni X Y Z, ono: x = coθ coα t = coθ enα t 1 z = t + enθ t Imponendo nella terza delle equazioni opra la condizione z = 0, poiamo calcolare il tempo di enθ olo del ao: tolo = Sotituendo nelle altre due lei del moto il alore troato per il tempo di olo, otteniamo inece le componenti luno le direzioni X Y della ittata del ao :
x = = coθ coα coθ enα enθ enθ x = = coθ coα enθ coθ enα enθ Affincé il ao cada ul carrello, come ricieto dal problema, le componenti della ittata deono eere tali ce: x = ' tolo = L Doe nella prima delle due relazioni opra i è eprea la condizione ce durante un tempo pari al tempo di olo del ao il carrello dee percorrere luno l ae parallelo all ae X una ditanza pari appunto alla componente luno X della ittata. Le condizioni opra i traducono quindi in un itema di due equazioni e due inconite: coθ coα = ' L = coθ enα enθ Da cui, riolendo otteniamo l epreione per il modulo della elocità : ' = coθ coα Sotituendo l epreione opra nella econda equazione del itema e riarraniando i termini (ricordando in particolare ce co α + en α = 1) otteniamo poi un equazione di econdo rado per enα ce riolta ci da due alori, di cui uno può eere cartato eendo maiore di 1: en α = 0. 91 Dal alore di en α otteniamo facilmente ance quello del coeno: coα = 1 en α = 0. 41, da cui, con le opportune otituzioni otteniamo infine: x z = 1.0 m =. m = 4. m