Tassi a pronti ed a termine (bozza)

Tassi a pronti ed a termine (bozza) Mario A. Maggi a.a. 2006/2007 Indice 1 Introduzione 1 2 Valutazione dei titoli a reddito fisso 2 2.1 Titoli di puro sconto (zero coupon)................ 3 2.2 Obbligazioni (coupon bond).................... 4 2.3 Obbligazioni a rimborso progressivo............... 5 3 Struttura per scadenza dei tassi di interesse 7 3.1 Tassi a pronti............................ 7 3.2 Tassi a termine........................... 11 1 Introduzione Il mercato dei titoli a reddito fisso è il mercato in cui vengono fissati i prezzi di titoli che promettono determinati pagamenti in date future. Semplificando, si possono considerare solo due categorie di titoli: i titoli di puro sconto (detti anche a capitalizzazione integrale o zero coupon bond) e quelli con cedole (coupon bond). Non ci occupiamo di titoli indicizzati, cioè quei titoli che prevedono flussi di cassa legati all evoluzione di variabili economiche e finanziarie, per esempio il tasso di inflazione, il tasso ufficiale di sconto, il tasso dei BOT a un anno, ecc.. Un titolo di puro sconto ha una struttura molto semplice: a fronte del pagamento del prezzo di acquisto, promette il versamento di una certa somma, il valore nominale o facciale, alla data di scadenza (maturity). Vengono detti di puro sconto, perché al momento dell acquisto si paga un prezzo (inferiore al valore nominale) pari al valore attualizzato (scontato) dell incasso futuro (cioè il valore nominale). Si chiamano anche zero coupon, perché durante la 1

loro vita non prevedono l incasso di nessuna cedola (coupon). I BOT (buoni ordinari del tesoro) italiani sono un esempio tipico di titoli di puro sconto. Un titolo con cedole (coupon bond) a fronte del pagamento del prezzo di acquisto, promette il pagamento di determinate somme (le cedole) a date stabilite, inoltre alla scadenza finale è previsto il rimborso del valore nominale (a cui eventualmente si aggiunge un premio di rimborso). I BTP (buoni del tesoro poliennali) italiani e molte obbligazioni sono titoli di questo tipo. 2 Valutazione dei titoli a reddito fisso In generale un titolo a reddito fisso A è un titolo di credito che dà al possessore il diritto di incassare le somme a k alle date t k. Presento ora un po di termini tecnici usati per i titoli a reddito fisso. L importo scritto sul titolo viene detto valore nominale o facciale. I titoli possono essere di vario taglio, intendendo per taglio la dimensione in termini di valore nominale di un titolo. Di solito il taglio di un titolo è multiplo del taglio base, ad esempio 2 000û. Per ragioni pratiche ci si riferisce comunemente ad un taglio fittizio di 100ûdi valore nominale per il calcolo del prezzo (valore o corso) del titolo. Se il titolo prevede delle cedole, cioè corrisponde degli interessi periodicamente, queste sono calcolate in base al tasso nominale, o cedolare sul valore nominale. Ogni cedola è esigibile a partire dalla relativa scadenza (giorno di godimento), prestampata sulla cedola. Il valore di emissione (prezzo o corso di emissione) è il prezzo al quale ciascun titolo viene emesso, cioè l importo che il creditore (sottoscrittore) versa al debitore (emittente). A seconda che il valore di emissione sia uguale, superiore o inferiore al valore nominale si parla, rispettivamente, di emissione alla pari, sopra la pari, sotto la pari. La differenza (valore di emissione valore nominale) quando positiva [negativa] rappresenta il sovrapprezzo [o premio] di emissione per il sottoscrittore, l aggio [o disaggio] di emissione per l emittente. L emittente deve detrarre dal ricavo lordo di emissione le spese di emissione (quali spese notarili, di registrazione, di stampa dei titoli, di intermediazione e commissioni bancarie) ottenendo il ricavo netto di emissione. Il sottoscrittore che acquista il titolo alla sua emissione calcolerà il costo lordo dell obbligazione aggiungendo al prezzo di emissione le spese di sottoscrizione (quali spese e commissioni bancarie, oneri fiscali, rateo di interessi di emissione). Il valore di rimborso (capitale o prezzo di rimborso) è l importo che l emittente versa ai possessori di ogni titolo al momento del rimborso. A seconda che tale importo sia uguale, superiore o inferiore al valore nominale si parla di rimborso alla pari, sopra la pari, sotto la pari; quando positivo, lo scarto tra i due valori viene detto premio di rimborso. Il valore di rimborso può essere fissato all atto dell emissione (costante o meno), oppure indicizzato. Le spese 2

di rimborso sono le spese derivanti dal rimborso del prestito, quali ad esempio le spese di tesoreria. Oltre che al momento dell emissione, cioè sul mercato primario, i titoli possono essere contrattati in qualsiasi altro momento della loro vita sul mercato dei titoli a reddito fisso che costituisce perciò il mercato secondario. Definizione 2.1 Il valore di mercato di un titolo è pari al valore attuale alla data di valutazione, calcolato al tasso di valutazione di mercato, della rendita descritta dai flussi di cassa previsti dal titolo. Ponendo per semplicità la data di valutazione t 0 = 0, si tratta del valore al tasso di mercato y della rendita descritta dai flussi di cassa previsti dal titolo. Per cui, indicati con a 1,a 2,...,a n i flussi di cassa previsti rispettivamente alle date t 1,t 2,...,t n e, posto v = 1, il valore V del titolo è 1 + y V = a 1 v t 1 + a 2 v t 2 + + a n v tn. 2.1 Titoli di puro sconto (zero coupon) Nel caso di un titolo zero coupon, è previsto un solo incasso C al tempo t, per cui il suo valore è V (0,y) = Cv t. (2.1) Ad esempio un titolo zero coupon che pagherà 2 000û(valore nominale) fra un anno, se valutato al tasso annuo del 4%, ha un valore pari a V (0,y) = 2 000 1 1,04 1 923,08û. La quotazione di questo titolo appare nei listini riferita ad un taglio fittizio di 100, per cui avrà un corso di 100 1 1,04 96,154, che significa che 100ûdi valore nominale costano 96,154û; in questo modo è facile trovare il prezzo (il valore di mercato) di un titolo dal valore nominale di 2 000û: 96,154 100 2 000 = 1 923,08û. 3

2.2 Obbligazioni (coupon bond) Un po, ma non molto, più complessa è la valutazione dei titoli obbligazionari che prevedono cedole. Considero un titolo dal valore nominale C che paga n cedole annue calcolate al tasso annuo cedolare i e che prevede a scadenza, dopo n anni dall emissione, il rimborso di R. Se R = C, si dice che il rimborso è alla pari, se invece è R > C o R < C, si dice, rispettivamente, sopra o sotto la pari. L importo di ogni cedola annuale è Ci. Il prezzo di emissione di questo titolo, calcolato al tasso annuo di valutazione y, che può essere diverso da i, è V (0,y) = Cia n y + R(1 + y) n. (2.2) Se la valutazione viene fatta ad una data t successiva a quella di emissione, il principio non cambia: si calcola il valore attuale alla data t dei flussi di cassa futuri. Il valore al momento t = (h + f) 0, con h intero e 0 f < 1, di un titolo emesso al momento 0 è perciò ) V (t,y) = Ci (ä n h y (1 + y) (1 f) + R (1 + y) (n t), che riscrivo in modo equivalente: ) V (t,y) = Ci (1 + a n h 1 y (1 + y) (1 f) + R (1 + y) (n t). (2.3) Ovviamente se le cedole avessero una periodicità non annuale (spesso infatti sono semestrali), basterebbe nelle (2.2) e (2.3) misurare i tempi nell unità opportuna e usare il tasso effettivo equivalente riferito alla stessa unità di misura. Quando le cedole hanno frequenza infra-annuale, k cedole all anno, nella pratica il tasso nominale i annuo va inteso come tasso nominale annuo convertibile (pagabile) k volte l anno, per cui il tasso da usare è i e le cedole k sono pari a C i. Quindi un obbligazione con cedole semestrali al tasso annuo k nominale 5%, prevede in realtà cedole semestrali al tasso semestrale pari a 0,05 = 2,5%, cioè cedole di importo 0,025C. 2 Le (2.2) e (2.3), quando valutate per un titolo dal valore nominale di 100, forniscono rispettivamente il corso di emissione ed il corso tel quel, cioè il valore di mercato di 100ûdi valore nominale del titolo in oggetto. Quando il corso è pari a 100, si dice che il titolo è alla pari, quando invece è superiore o inferiore a 100, si dice, rispettivamente, sopra o sotto la pari. Sui listini ufficiali non compare il corso tel quel, ma il corso secco, cioè un corso depurato dal rateo (o dietimo) di interessi maturati dall ultimo godimento, ma non ancora esigibili. Il rateo di interessi maturati è porzione f della cedola già maturata, dove f è il rapporto fra il tempo trascorso dall ultimo godimento ed il tempo che separa due godimenti successivi. Il corso 4

secco V s (t,y), calcolato al tasso y, al momento t = (h + f), con h intero e 0 f < 1, di un titolo emesso al momento 0 è V s (t,y) = V (t,y) Cif; corso secco = corso tel quel rateo di interessi Si nota che alle date di godimento, quando cioè f = 0, il corso tel quel ed il corso secco coincidono. 2.3 Obbligazioni a rimborso progressivo Se una società si finanzia emettendo obbligazioni come visto nel paragrafo precedente, si trova di fronte all ammortamento di un prestito con pagamento periodico degli interessi e rimborso finale del capitale. Può capitare che l emittente abbia l esigenza di un prestito con rimborso progressivo (di tipo francese, uniforme o altro). In questo caso alle date previste dovrà pagare le cedole a tutti i titoli in circolazione e rimborserà una parte dei titoli in circolazione. Spesso la scelta dei titoli da rimborsare alla data k {1,2,...,n} è effettuata mediante estrazione a sorte di N k obbligazioni (ovviamente con N 1 + N 2 + + N n = N). In questo caso ogni obbligazione dà diritto a flussi di cassa futuri aleatori: l incasso delle cedole future dipende dalla data di estrazione del titolo, data alla quale si avrà anche il rimborso del capitale. Perciò posso rappresentare cedole e capitale di rimborso per mezzo di variabili aleatorie. La k-esima cedola prevede quindi: un incasso pari al suo ammontare se il titolo non è stato rimborsato prima di k; un incasso nullo in caso contrario. Ad ogni data il capitale di rimborso prevede: un incasso pari al suo ammontare se il titolo è estratto in quel momento; un incasso nullo in caso contrario. Per calcolare il valore di un titolo, calcolo il valore attuale al tasso di mercato dei valori medi dei pagamenti previsti per ogni data. Esempio 2.2 Considero un prestito obbligazionario triennale costituito da 300 obbligazioni ciascuna con valore nominale 1 000û. Sono previste cedole annue calcolate al tasso cedolare del 3%. Ogni anno si estraggono a sorte 100 obbligazioni che vengono rimborsate pagando un valore di rimborso pari a 1 050û. Il tasso di mercato per operazioni analoghe è il 3% annuo. Calcolo il corso di emissione di un obbligazione. Chi sottoscrive un obbligazione al momento dell emissione: dopo un anno: incasserà sicuramente la cedola pari a 30û, cioè con probabilità 1: valor medio dell incasso 30û; 5

incasserà il valore di rimborso 1 050ûse il suo titolo sarà estratto in quel momento, cioè con probabilità 1 3, 0ûin caso contrario: valor medio dell incasso 1 050 1 3 = 350û; dopo due anni: incasserà la seconda cedola di importo 30ûse il suo titolo non è stato estratto all anno 1, cioè con probabilità 2 3, 0ûin caso contrario: valor medio dell incasso 30 2 3 = 20û; incasserà il valore di rimborso 1 050ûse il suo titolo sarà estratto in quel momento, cioè con probabilità 1 3, 0ûin caso contrario: valor medio dell incasso 1 050 1 3 = 350û; dopo tre anni: incasserà la terza cedola di importo 30ûse il suo titolo non è stato estratto in precedenza, cioè con probabilità 1 3, 0ûin caso contrario: valor medio dell incasso 30 1 3 = 10û; incasserà il valore di rimborso 1 050ûse il suo titolo sarà estratto in quel momento, cioè con probabilità 1 3, 0ûin caso contrario: valor medio dell incasso 1 050 1 3 = 350û. Posso così calcolare il valore di emissione del titolo come il valore attuale, al tasso di mercato, dei valori medi degli incassi futuri V (0, 3%) = (30 + 350) (1,03) 1 +(20 + 350) (1,03) 2 +(10 + 350) (1,03) 3 1 047,14û. In modo equivalente, posso considerare il valore del titolo come il valor medio del valore di tre titoli: uno rimborsato sicuramente il primo anno, uno il secondo ed uno il terzo, ciascuno considerato con probabilità pari alla probabilità che un titolo venga estratto, rispettivamente, al primo, al secondo, al terzo anno (che in questo caso sono tutte pari a 1 ). Quindi 3 V (0, 3%) = (30 + 1 050) (1,03) 1 1 [ 3 + 30a 2 0.03 + 1 050(1,03) 2] 1 3 [ + 30a 3 0.03 + 1 050(1,03) 3] 1 3 1 047,14û. 6

3 Struttura per scadenza dei tassi di interesse In questo paragrafo mi occupo di titoli non rischiosi, tipicamente titoli di stato. Ora lo scopo non è valutare questi titoli (come nel paragrafo 2), ma di determinare i tassi impliciti nei loro prezzi quotati sul mercato. In altre parole, l obbiettivo è la determinazione dei tassi di mercato, sotto l ipotesi che il mercato assegni ai titoli a reddito fisso il valore attuale dei pagamenti futuri. Sul mercato dei titoli a reddito fisso si possono vendere e acquistare titoli trattati pagando il prezzo corrispondente. In questo caso al momento della contrattazione viene pattuito il prezzo pagato immediatamente, e viene consegnato il titolo: si tratta di un contratto a pronti (o spot). Se prevedo di incassare 5 000ûfra un anno e desidero impiegare questi soldi una volta incassati per l acquisto di BOT a 6 mesi (o, più in generale, con 6 mesi di vita residua) ho due possibilità. La prima è quella di aspettare un anno e di acquistare i BOT fra un anno al prezzo che avranno in quel momento. In questo modo però non conosco il prezzo di acquisto futuro. La seconda possibilità è quella di accordarmi fin d ora sul prezzo a cui acquistare BOT a 6 mesi fra un anno. In quest ultimo caso stipulo un contratto a termine (o forward). Al momento della stipula di un contratto a termine non avviene nessun trasferimento, né monetario né di titoli; si fissa oggi il prezzo a cui ci si impegna a scambiare un titolo ad una data futura. 3.1 Tassi a pronti Sul mercato dei titoli a reddito fisso, in ogni momento, posso rilevare i prezzi per l acquisto dei titoli. Se sono trattati titoli zero coupon, il loro valore deve essere pari al valore attuale del valore a scadenza del titolo, ma quale tasso è nascosto nel prezzo di mercato? Per la (2.1), il valore, che qui chiamo P (0,t), al momento 0 di un titolo zero coupon con vita residua t e valore nominale C è P (0,t) = Cv t, per cui P (0,t) C = v t = 1 (1 + h(0,t)) t. Questo significa che posso leggere nei prezzi di mercato i fattori di attualizzazione, da cui ricavare il tasso annuo di mercato h(0,t) per un impiego che inizia oggi e termina fra t anni h(0,t) = ( )1 C t 1. P (0,t) Il tasso h(0,t) è annuo, effettivi di rendimento dell investimento nel titolo. 7

Naturalmente sono quotati titoli con diverse durate residue, per ognuno dei quali è possibile calcolare il tasso implicito. Immagino di trovare sul mercato titoli zero coupon A t 1, A t 2,..., A tn tutti con lo stesso valore nominale C, ma con diverse durate residue 0 < t t < t 2 < < t n. Indico i loro prezzi di mercato P (0,t 1 ), P (0,t 2 ),..., P (0,t n ). È ovvio che il prezzo di un titolo sarà tanto più basso quanto più lontana la data di incasso del valore nominale (postulato di impazienza): P (0,0) = C > P (0,t 1 ) > P (0,t 2 ) > > P (0,t n ). Da questi prezzi posso ricavare i tassi a pronti (o spot) di mercato annui h(0,t i ) = ( ) 1 C t i 1 P (0,t i ) riferiti ad impieghi con durate diverse. La funzione h(0, t) che associa il tasso annuo alla durata dell impiego fornisce la cosiddetta struttura per scadenza dei tassi di interesse a pronti. Quando h(0,t i ) = h per ogni scadenza t i si dice che la struttura per scadenza al tempo 0 è piatta. Si parla spesso di curva dei tassi a pronti e si usa rappresentare la struttura per scadenza su un grafico come quello in figura 1 (dopo un eventuale interpolazione dei tassi ottenuti dai titoli quotati). 0.050 0.045 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0.000 0 5 10 15 t Figura 1: Esempio di struttura per scadenza di tassi di interesse. Esempio 3.1 I corsi tel quel di titoli zero coupon con durate rispettivamente di 6 mesi un anno e 18 mesi sono: 98,533, 96,805, 94,833. Questi corsi rappresentano il prezzo di acquisto di 100ûdi valore nominale di titoli zero 8

coupon. Da questi prezzi si possono ricavare i tassi annui di mercato ( ) 1 100 0,5 h(0, 0,5) = 1 3%, 98,533 ( ) 100 1 h(0, 1) = 1 3,30%, 96,805 ( ) 1 100 1,5 h(0, 1,5) = 1 3,60%. 94,833 In questo caso la struttura per scadenza non è piatta, ma crescente: impieghi per durate maggiori hanno un tasso di rendimento superiore. Sul mercato però non si trovano titoli zero coupon per durate non brevi. Per durate superiori ai 18, 24 mesi si trovano solo titoli con cedole. Una tecnica chiamata bootstrap permette di usare i prezzi dei titoli con cedole per ricavare i tassi di mercato per durate medio-lunghe. Per vedere come funziona, è opportuno partire dall esempio precedente ed immaginare che oltre ai 3 titoli zero coupon esitano altri due titoli A e B con cedola: A dal corso tel quel 104,284 con durata residua 2 anni, cedola annua, tasso cedolare 6%, rimborso alla pari; B dal corso tel quel 102,830 con durata residua 3 anni, cedola annua, tasso cedolare 5%, rimborso alla pari. Considero, per comodità, un valore nominale di 100ûdei due titoli. Come sempre il valore è il valore attuale ai tassi di mercato dei flussi futuri. Il titolo A prevede l incasso di una cedola pari a 6ûalla fine del primo anno; tale flusso va attualizzato al tasso di mercato per impieghi di durata annua h(0, 1) = 3,30% calcolato nell esempio precedente. Il secondo flusso deve essere attualizzato al tasso (incognito) h(0,2). Quindi V A = 6 1 + h(0,1) + 106 (1 + h(0,2)) 2 = 6 1,033 + 106 (1 + h(0,2)) 2. Questa relazione mi permette di calcolare h(0,2) 104,284 = 6 1,033 + 106 (1 + h(0,2)) 2, h(0,2) 3,75%. Con lo stesso ragionamento V B = 5 1 + h(0,1) + 5 (1 + h(0,2)) 2 + 105 (1 + h(0,3)) 3 102,830 = 5 1,033 + 5 1,0375 2 + 105 (1 + h(0,3)) 3, h(0,3) 4% In questo modo si costruisce una procedura iterativa che estrae i tassi impliciti dai titoli. Infatti, per calcolare h(0, 4) basta che sia quotato un titolo 9

con un flusso di cassa fra 4 anni e con gli altri flussi di cassa collocati a scadenze per le quali sia noto il tasso di mercato. Un esempio può essere un titolo dal prezzo odierno di 1 783,82ûche paga 1 000ûfra 2 anni e 1 000ûfra 4 anni (controllare che h(0, 4) 4%). In un mercato perfetto due titoli o due portafogli non rischiosi che prevedono gli stessi flussi di cassa futuri devono avere lo stesso prezzo e quindi lo stesso rendimento. Infatti se esistessero due titoli zero coupon A e B con vita residua un anno con lo stesso valore nominale C, ma con due prezzi diversi P A > P B nessuno comprerebbe il più caro. Se qualcuno acquistasse il titolo A più caro, l emittente di A potrebbe usare il ricavato per acquistare il titolo B dal prezzo inferiore, realizzando in questo modo un operazione di arbitraggio: l emittente paga P B per l acquisto di B e incassa P A dall emissione di A con un saldo netto di cassa ( P A P B) > 0; fra un anno a scadenza dovrà rimborsare il valore nominale di A e nello stesso momento incasserà quello di B con un saldo netto di cassa nullo. Questa operazione è una macchina da soldi che produce un guadagno certo per l emittente senza rischio. Siccome sul mercato ci sono molti agenti opportunisti (della specie homo œconomicus) pronti a cogliere ogni occasione di arbitraggio, il gioco della domanda e dell offerta conduce ad aggiustamenti di prezzo che fanno scomparire ogni opportunità di arbitraggio. Vale quindi la cosiddetta legge del prezzo unico. Per questa ragione il valore di un titolo a reddito fisso deve essere pari al valore di un portafoglio di titoli zero coupon che prevede gli stessi flussi di cassa, altrimenti ci sarebbe un opportunità di arbitraggio. Rimanendo nell esempio precedente, un titolo F dal valore nominale di 5 000û, con cedole semestrali al 5%, rimborso alla pari e durata residua 18 mesi, deve avere lo stesso valore di un portafoglio composto da zero coupon a 6 mesi dal valore nominale di 250û, zero coupon a un anno dal valore nominale di 250û, zero coupon a 18 mesi dal valore nominale di 5 250û V F = 250 98,533 100 + 25096,805 94,833 + 5 250 5 467,08û. 100 100 Questo equivale a calcolare il valore attuale di F ai tassi di mercato impliciti nei prezzi dei titoli zero coupon (il centesimo di differenza è causato dalle approssimazioni introdotte nel calcolo dei tassi) V F = 250(1,03) 0,5 + 250(1,033) 1 + 5 250(1,036) 1,5 5 467,09û. Quindi una volta ottenuta la struttura per scadenza dei tassi di interesse, la si può usare per valutare qualsiasi titolo a reddito fisso. Perciò in generale la regola di valutazione di un titolo a reddito fisso A che prevede i flussi a k alle date t k, k = 1,2,...,n, è n V A = a k (1 + h(0,t k )) t k, k=1 10

cioè il valore attuale, calcolato secondo la struttura per scadenza dei tassi di mercato, dei pagamenti futuri. In un mondo dinamico la struttura h(0, t) è valida solo a t = 0. Infatti, in un momento successivo s > 0 le quotazioni di mercato possono cambiare, rendendo necessario ricalcolare h(s, t). Esempio 3.2 Se nel mercato appena descritto una società emette un prestito obbligazionario triennale con cedole calcolate al 3,5% e rimborso alla pari, qual è il corso di emissione? Il corso di emissione è il valore attuale, calcolato secondo la struttura per scadenza di mercato (h(0, 1) = 3,30%, h(0,2) = 3,75%, h(0,3) = 4%), dei flussi futuri prodotti da 100 di valore nominale: 3,5(1,033) 1 + 3,5(1,0375) 2 + 100,5(1,04) 3 95,984. 3.2 Tassi a termine Ho accennato, nel paragrafo precedente, alla possibilità di fissare oggi il prezzo di un titolo da acquistare in una data futura, cioè di stipulare un contratto a termine. Stabilire oggi, a t = 0, che il prezzo per l acquisto a s > 0 di un titolo zero coupon dal valore nominale C e con vita residua τ è P (0, s, s + τ), equivale a fissare il tasso di rendimento a termine (o forward) annuo h(0,s,s + τ) di un impiego che inizia a s e finisce a (s + τ): ( h(0,s,s + τ) = C P (0,s,s + τ) ) 1 τ 1, (3.1) Suppongo, per semplicità, C = 1, perciò P (0,t) < 1 per t > 0 e P (0,0) = 1. Supponendo la coesistenza di un mercato a pronti e uno a termine, posso acquistare oggi sul mercato a pronti al prezzo P (0, s + τ) un titolo zero coupon dal valore nominale c = 1 con scadenza (s + τ); posso finanziare questo acquisto indebitandomi al tasso di mercato per la somma, impegnandomi a restituirla ad s. L accensione del debito equivale all emissione di un titolo zero coupon dal prezzo di emissione e dal valore nominale, oppure, detta in un altro modo, alla vendita allo scoperto (cioè senza la disponibilità del titolo) di uno zero coupon con scadenza s dal valore nominale. Nel suo complesso questa operazione prevede al tempo 0 un uscita di cassa di per l acquisto dello zero coupon e un entrata di derivante dall indebitamento. Al tempo s dovrò estinguere il debito pagando ; al tempo (s + τ) incasserò il valore nominale 1 11

dello zero coupon acquistato a 0. Esaminando i flussi netti di cassa di questa operazione 0 s (s + τ) acquisto zcb che scade a (s + τ) 1 indebitamento da 0 a s saldo 0 1 (3.2) mi accorgo che in pratica si tratta di un impiego di denaro da s a (s + τ) come se si trattasse di un contratto a termine che prevede 0 s (s + τ) vendita a termine 0 P (0,s,s + τ) 1 (3.3) Per la legge del prezzo unico deve perciò essere P (0,s,s + τ) = (3.4) altrimenti le operazioni (3.2) e (3.3) aprirebbero una possibilità di arbitraggio. Infatti, se P (0,s,s + τ) < converrebbe stipulare un contratto a termine e nel frattempo investire una somma pari a in un titolo zero coupon che scade ad s, indebitandosi per un importo da restituire a (s + τ): 0 s (s + τ) acquisto a termine P (0,s,s + τ) 1 acquisto zcb che scade ad s indebitamento da 0 a s 1 saldo 0 P(0,s+τ) P(0,s) P (0,s,s + τ) > 0 0 Se invece fosse P (0,s,s + τ) > converrebbe trovare un acquirente per il contratto a termine e nel frattempo investire una somma pari a in un titolo zero coupon che scade a (s + τ), indebitandosi per un 12

importo da restituire ad s: 0 s (s + τ) vendita a termine P (0,s,s + τ) 1 acquisto zcb che scade ad s 1 indebitamento da 0 a s saldo 0 P (0,s,s + τ) P(0,s+τ) P(0,s) > 0 0 In entrambi i casi la strategia conduce ad un guadagno certo al momento s. La condizione (3.4) o, in modo equivalente = P (0,s,s + τ), (3.5) viene detta parità pronti-termine o condizione di coerenza. Solo se è soddisfatta la condizione di coerenza possono convivere un mercato a pronti ed uno a termine senza lasciare possibilità di arbitraggio. Quindi una volta noti i prezzi a pronti, la (3.4) permette di calcolare i prezzi e i tassi a termine di non-arbitraggio ( ) 1 τ h(0,s,s + τ) = 1. Osservo che, almeno formalmente, un prezzo a pronti P (0,t) può essere considerato un caso particolare di prezzo a termine P (0,0,t). Date le scadenze 0 < t 1 < t 2 < < t n, applicando ripetutamente la condizione di coerenza (3.5) si ricava P (0,t n ) = P (0,0,t 1 )P (0,t 1,t 2 ) P (0,t n 2,t n 1 ) P (0,t n 1,t n ), (3.6) cioè il prezzo a pronti P (0,t n ) è pari al prodotto dei prezzi a termine riferiti ad intervalli di tempo adiacenti che coprono l intera durata [0,t n ]. La (3.6) si dimostra facilmente riscrivendo i prezzi a termine secondo la (3.4): P (0,0,t 1 )P (0,t 1,t 2 ) P (0,t n 2,t n 1 ) P (0,t n 1,t n ) = semplificando rimane P (0,t n) P (0,0) = P (0,t n). In generale, con 0 t k < t h t n, si ha = P (0,t 1) P (0,t 2 ) P (0,0) P (0,t 1 ) P (0,t n 1) P (0,t n 2 ) P (0,t n ) P (0,t n 1 ) ; P (0,t k,t h ) = P (0,t k,t k+1 )P (0,t k+1,t k+2 ) P (0,t h 2,t h 1 )P (0,t h 1,t h ), (3.7) 13

cioè il prezzo a termine P (0,t k,t h ) (a pronti se t k = 0) è pari al prodotto dei prezzi a termine riferiti ad intervalli di tempo adiacenti che coprono l intera durata [t k,t h ]. In termini di tassi annui la (3.7) può essere riscritta come (1 + h(0,t k,t h )) (t h t k ) = (1 + h(0,t k,t k+1 )) (t k+1 t k ) (1 + h(0,t k+1,t k+2 )) (t k+2 t k+1) cioè (1 + h(0,t h 2,t h 1 )) (t h 1 t h 2 ) (1 + h(0,t h 1,t h )) (t h t h 1 ), (1 + h(0,t k,t h )) t h t k = (1 + h(0,t k,t k+1 )) t k+1 t k (1 + h(0,t k+1,t k+2 )) t k+2 t k+1 (1 + h(0,t h 2,t h 1 )) t h 1 t h 2 (1 + h(0,t h 1,t h )) t h t h 1, che, malgrado l aspetto minaccioso, significa semplicemente che il fattore di capitalizzazione di mercato fissato al tempo 0 per il periodo [t k,t h ] è pari al prodotto dei fattori di capitalizzazione di mercato dei sottoperiodi in cui posso suddividere [t k,t h ]. Riprendo l esempio del paragrafo precedente. La tabella seguente mostra la struttura a termine dei tassi annui e dei corsi tel quel dei titoli zero coupon 1. t h(0,t) P (0,t) 0,5 3% 98,533 1 3,30% 96,805 1,5 3,60% 94,833 2 3,75% 92,902 3 4% 88,900 4 4% 85,480 Grazie alla (3.4) si possono calcolare i corsi a termine 2 che servono per trovare 1 I corsi P (0, 3) e P (0,4) non sono prezzi di titoli trattati, ma sono P (0, 3) = 100 (1 + h (0, 3)) 3, P (0, 4) = 100 (1 + h (0, 4)) 4, dove i tassi impiegati sono quelli ottenuti mediante la tecnica di bootstrap vista sopra. 2 Osservo che nella (3.4) è nascosta l ipotesi C = 1. Se devo calcolare i corsi, devo ricordarmi che C = 100, quindi la (3.4) diventa P (0, s + τ) P (0, s + τ) P (0, s, s + τ) = C = 100. P (0, s) P (0, s) 14

i tassi annui usando la (3.1): P (0,0,0,5) = 98,533 100 100 98,533 P (0,0,5,1) = 96,805 98,533100 98,2462 P (0,1,1,5) = 94,833 96,805 P (0,1,5,2) = 92,902 94,833 P (0,2,3) = 88,900 92,902 P (0,3,4) = 85,480 88,900 h(0,0,0,5) = ( 100 98,533 h(0,0,5,1) = ( 100 100 97,963 100 97,964 100 95,692 100 96,153 ) 1 0,5 ) 1 0,5 98,2462 ) 1 0,5 97,963 1 3% 1 3,60% ( h(0,1,1,5) = 100 1 4,20% ( ) 1 h(0,1,5,2) = 100 0,5 97,964 1 4,20% ( ) h(0,2,3) = 100 1 4,50% 95,692 h(0,3,4) = ( 100 96,153 ) 1 4% È altresì possibile ricavare, per esempio, il prezzo a termine ( P (0,1,2) ) = 92,902 100 100 95,968 ed i relativi tasso annuo h(0,1,2) = 1 96,805 95,968 4,20%. La figura 2 mostra i tassi annui a pronti e a termine. 0.046 0.044 0.042 0.040 0.038 0.036 0.034 0.032 0.030 0.028 0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 4.0 tempo a scadenza Figura 2: Tassi annui a pronti (cerchi) e a termine (quadratini). 15