Università degli Studi di Firenze Luogo delle Radici L. Chisci, P. Falugi Corso di Fondamenti di Automatica per CdL Ing. dell Informazione e Ing. dell Ambiente e delle Risorse Anno Accademico 005/06
Fondamenti di Automatica 1 Luogo delle radici (Evans 1948) Il luogo delle radici è uno strumento grafico per l analisi e la sintesi di sistemi di controllo a retroazione. + L(s) L(s) = b L(s) a L (s) F.D.T. d anello L(s) La dinamica del sistema ad anello chiuso ( F.D.T. 1+L(s) ) dipende essenzialmente dalla posizione nel piano complesso delle radici del polinomio caratteristico α(s) = a L (s) + b L (s) (1 + L(s) = 0).
Fondamenti di Automatica Luogo delle radici Tramite il luogo delle radici si studia la posizione nel piano complesso delle radici di α(s) al variare di un parametro reale p che entra in modo lineare affine ; cioè si studia come variano le radici di α(s, p) = a(s) + pb(s) = 0 al variare di p, dove a(s) e b(s) sono polinomi noti. Caso frequente : p = k guadagno della F.D.T. d anello L(s, k) = kb(s) a(s) = k (s z 1)(s z ) (s z m ) (s p 1 )(s p ) (s p n ) N.B. L(s, k) è assegnata in forma di poli e zeri. p 1, p, p n : poli ad anello aperto z 1, z, z m : zeri ad anello aperto FISSATI m < n k : guadagno variabile in (, + ) = R
Fondamenti di Automatica 3 Luogo delle radici Polinomio caratteristico α(s, k) = a(s) + kb(s) = n (s p i ) + k i=1 m (s z i ) dove k è il parametro libero. Definizione: il Luogo delle Radici è il luogo geometrico, nel piano complesso, delle radici del polinomio caratteristico α(s, k) al variare del parametro k (, + ), ovvero In particolare i=1 L {s C : k R t.c. α(s, k) = 0} Luogo positivo: L + = {s C : k 0 t.c. α(s, k) = 0} Luogo negativo: L = {s C : k 0 t.c. α(s, k) = 0}
Fondamenti di Automatica 4 Condizioni di appartenenza a L s L k R : n (s p i ) = k i=1 m (s z i ) i=1 s C appartiene ad L se sono soddisfatte le seguenti condizioni 1. Condizione di modulo k = n i=1 (s p i) m i=1 (s z i). Condizione di fase n m (s p i ) (s z i ) = π+ k+lπ = i=1 i=1 (l + 1)π k 0 lπ k 0
Fondamenti di Automatica 5 Condizioni di appartenenza a L La condizione di fase non dipende dal valore di k (solo dal segno) è una condizione necessaria e sufficiente di appartenza ad L. Se s C soddisfa la condizione di fase esisterà un k per il quale la condizione di modulo è soddisfatta. La condizione di modulo permette di trovare per ogni s L il corrispondente valore del guadagno k.
Fondamenti di Automatica 6 Esempio 1 L(s) = k s p, p R È possibile dedurre il luogo in modo analitico α(s, k) = s (p k) = 0 s = p k Im[s] Luogo negativo Luogo positivo k k=0 x k Re[s]
Fondamenti di Automatica 7 Esempio L(s) = k (s p 1 )(s p ), p 1, p R poli reali È possibile dedurre il luogo in modo analitico α(s, k) = (s p 1 )(s p ) + k = s (p 1 + p )s + (p 1 p + k) = 0 s 1, = p 1+p ± ( p 1+p ) p 1 p k Nota: s 1 + s = p 1 + p (somma dei poli costante) Im[s] Luogo negativo Luogo positivo k=0 k=0 x x p p 1 p + p 1 Re[s]
Fondamenti di Automatica 8 Esempio 3 L(s) = Cambio di variabile σ = s z L(σ) = k(s z) (s p 1 )(s p ), z, p 1, p R poli reali kσ (σ q 1 )(σ p ) α(σ, k) = σ (q 1 + q k)σ + q 1 q con q i = p i z i = 1, Poli σ 1, = q 1+q k ± ( q 1+q k ) q 1 q Nota: σ 1 σ = q 1 q (prodotto dei poli costante) Im[s] q 1 q Luogo negativo Luogo positivo q 1 q o x x q 1 q q 1 q Re[s] q 1 q
Fondamenti di Automatica 9 Regole per il tracciamento qualitativo di L 1. Il luogo delle radici è simmetrico rispetto all asse reale s L (α(s, k) = 0) s L (α(s, k) = 0). Tutti i punti dell asse reale appartengono al luogo delle radici Al luogo positivo (k > 0) appartengono tutti i punti dell asse reale che lasciano alla propria destra un numero dispari di singolarità (poli e zeri) contati con la loro molteplicità. Al luogo negativo (k < 0) appartengono tutti i punti dell asse reale che lasciano alla propria destra un numero pari di singolarità contati con la loro molteplicità.
Fondamenti di Automatica 10 Tale regola deriva dalla condizione di fase s L + s L n i=1 (s p i) m i=1 (s z i) = (l + 1)π n i=1 (s p i) m i=1 (s z i) = lπ l intero. s s z j s p i x p i o z j Dato un punto generico s R, ogni singolarità (p i o z j ) di L(s) a destra di s fornisce un contributo di fase ±π Esempio: L(s) = (s+) s (s+1) Nessun punto dell asse reale fa parte del luogo positivo. Im[s] o x x 1 0 Luogo negativo Re[s]
Fondamenti di Automatica 11 3. Comportamento per k 0 Il luogo delle radici è costituito da n rami. Gli n rami del luogo positivo partono dagli n poli p 1, p,, p n per k = 0. Gli n rami del luogo negativo convergono agli n poli p 1, p,, p n per k 0. Per il luogo positivo, l angolo di partenza α j dal polo p j (j = 1,,, n), di molteplicità µ j, per s p j è (condizione di fase) µ j α j = µ j (s p j ) (l + 1)π dove l = 0,, µ j 1 n (p j p i ) + i=1 m (p j z i ) i=1 Per il luogo negativo, l angolo di arrivo nel polo semplice p j
Fondamenti di Automatica 1 (j = 1,,, n) per s p j è µ j (α j π µ j ) = µ j (s p j ) dove l = 0,, µ j 1 n (p j p i )+ i=1 m (p j z i )+lπ Dal polo p j escono µ j rami del luogo positivo e entrano µ j rami del luogo negativo. Complessivamente escono µ j rami alternativamente entranti e uscenti dal polo p j. 4. Comportamento per k Quando k (per il luogo positivo) oppure k (per il luogo negativo), m rami del L.d.R. convergono agli m zeri z 1 z,, z m di L(s). I rimanenti n m rami divergono verso il punto improprio all tendendo asintoticamente a n m asintoti che formano con l asse reale angoli pari a (l+1)π n m l = 0, 1,, n m 1 per L + i=1
Fondamenti di Automatica 13 lπ n m l = 0, 1,, n m 1 per L e si incontrano nel seguente punto sull asse reale n i=1 s o = p i m i=1 z i centro degli asintoti n m Se z j è uno zero di molteplicità ν j, si hanno ν j rami (alternativamente di L + e L ) che escano/entrano da/in z j. Gli angoli β j che tali rami formano con l asse reale sono: ν j β + j ν j β j (l + 1)π + n i=1 (z j p i ) m i=1 (z j z i ) per L + lπ + n i=1 (z j p i ) m i=1 (z j z i ) per L con l = 0,, ν j 1
Fondamenti di Automatica 14 Esempio L(s) = (s + ) s (s + 1) m =, n = 4 Il L.d.R. ha n=4 rami Per il luogo positivo rami partano da s = 0 rami partano da s = 1 Per il luogo negativo rami arrivano in s = 0 rami arrivano in s = 1
Fondamenti di Automatica 15 Esempio Poli: zeri: p 1 = 0 con µ 1 = p = 1 con µ = z 1 = con ν 1 = p 1 = 0 α 1 = (l + 1)π 0 + 0 p = 1 α = (l + 1)π π + 0 α 1 = (l+1)π h = 0, 1 α = (l 1)π h = 0, 1 Im[s] α 1 = π, 3π α = π, π o 1 x x 0 Re[s]
Fondamenti di Automatica 16 Esempio-Comportamento asintotico Si hanno ν 1 rami entranti e uscenti in z 1 = β + j β j = (l+1)π+4π = 3π, π l = 0, 1 = lπ+4π = π, π l = 0, 1 Rami divergenti all infinito ((n m) = 4) s o = 1 1 + + = 1 π, 3π π 0, per L+ per L Dall andamento delle frecce si deduce che si ha una confluenza e una diramazione in s 1 (, ) e s ( 1, 0). Si chiamano punti singolari.. Im[s] o x x s s 1 1. 0 s o =1 Re[s]
Fondamenti di Automatica 17 Punti singolari I punti singolari del L.d.R. sono i punti corrispondenti a radici multiple di α(s, k) Un punto s è un punto singolare di molteplicità µ del luogo delle radici se e solo se k tale che s è una radice di molteplicità µ di α(s, k). Proprietà : s è un punto singolare di molteplicità µ k R: α(s, k) = 0 = 0 s=s α(s,k) s. µ 1 α(s,k) s µ 1 s=s = 0
Fondamenti di Automatica 18 Punti singolari s è un punto singolare se e solo se k R tale che 1. a(s) + kb(s) α(s, k) = 0. da(s) ds + k db(s) ds α(s,k) s = 0 Se s è un punto singolare b(s) da(s) ds punto singolare solo se k = a(s) b(s) R. a(s) db(s) ds Se k / R la radice trovata non corrisponde ad un punto singolare. In generale ci sono al più n + m 1 punti singolari. Esempio: L(s) = (s+) s (s+1) = 0 ed è un a(s) = s 4 +s 3 +s, b(s) = s +4s+4, b(s) da(s) ds a(s) db(s) ds da(s) ds = 4s 3 +6s +s, = s(s 4 + 7s 3 + 16s + 14s + 4) = 0 db(s) ds = s+4
Fondamenti di Automatica 19 Esempio b(s) da(s) ds Le radici sono: a(s) db(s) ds = s(s 4 + 7s 3 + 16s + 14s + 4) = 0 s = 0, s = 1, s =, s = s 1 3.414, s = s 0.5858 Ci sono esattamente m + n 1 = 5 punti singolari. s = 0 e s = 1 sono poli doppi di L(s) e quindi punti singolari corrispondenti a k = 0. s = è zero doppio di L(s) e quindi punto singolare per k ±. s = s 1 3.414 e s = s 0.5858 sono punti singolari non banali con k 1 a(s 1) b(s 1 ) 33.9706 e k a(s ) b(s ) 0.094.
Fondamenti di Automatica 0 Esempio 10 Root Locus 1.5 Root Locus 8 6 1 4 0.5 Imaginary Axis 0 Imaginary Axis 0 4 0.5 6 1 8 10 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 4 0 4 6 8 Real Axis Real Axis Luogo positivo Luogo negativo
Fondamenti di Automatica 1 Esempio 1 L(s) = k (s + 1)(s + ) s(s + 3)(s + 4) Poli: s = 0, s = 3, s = 4 Zeri: s = 1, s = Equazione per il calcolo dei punti singolari: Radici: s 4 + 6s 3 + 15s + 8s + 4 = 0 s 1 3.3996, s 1.5567, s 3,4 0.518 ± j.0646 Quindi i punti singolari sono s 1 e s per k 1 0.49 e k.443. k 3,4 3.7564 ± j3.5419 C s 3,4 non sono punti singolari.
Fondamenti di Automatica Esempio 1 1 Root Locus 1.5 Root Locus 0.8 1 0.6 0.4 0.5 Imaginary Axis 0. 0 0. 0.4 Imaginary Axis 0 0.5 0.6 0.8 1 1 9 8 7 6 5 4 3 1 0 Real Axis 1.5 4 3 1 0 1 3 4 Real Axis Luogo positivo Luogo negativo
Fondamenti di Automatica 3 Attraversamento dell asse immaginario Gli eventuali attraversamenti dell asse immagniario da parte del L.d.R. possono essere determinati mediante la tabella di Routh del polinomio α(s, k) come le radici corrispondenti a quei valori di k che annullano elementi della 1 a colonna della tabella. Esempio : L(s) = k s + 4 s(s + 1)(s + )(s + 3)) Rami divergenti all infinito (n m) = 6 s o = 1 3 + 4 3 Punti singolari: b(s) da(s) ds = 3 a(s) db(s) ds e angoli π 3, π, 5π 3 per L+ π 0, 3, 4π 3 per L = 3s 4 + 8s 3 + 83s + 88s + 4 = 0
Fondamenti di Automatica 4 s 1 = 4.6911 s =.6860 s 3 = 1.5455 s 4 = 0.4108 k 1 = 114.0 k = 0.744 k 3 = 0.71 k 4 = 0.775 Attraversamento dell asse immaginario: α(s, k) = s(s+1)(s+)(s+3)+k(s+4) = s 4 +6s 3 +11s +(k+6)s+4k s 4 1 11 4k s 3 6 k + 6 0 s 60 k 6 4k s 0 1 4k = ( 60 k 6 )(k+6) 4k 60 k 6 k 90k+360 60 k = (k k A)(k k B ) 60 k k A 93.8365, k B 3.8365 = (60 k)(k+6) 4 6k 60 k =
Fondamenti di Automatica 5 Condizioni di stabilità k > 0 k < 60 k A < k < k B 0 < k < k B 3.8365 k corrispondente all attraversamento dell asse immaginario: k c 3.8365 Radici sull asse immaginario di α(s, k c ) = a(s) + k c b(s) = 0: ±jω c 1.804
Fondamenti di Automatica 6 Esempio 6 Root Locus 6 Root Locus 4 4 Imaginary Axis 0 Imaginary Axis 0 4 4 6 7 6 5 4 3 1 0 1 3 Real Axis Luogo positivo 6 6 4 0 4 6 Real Axis Luogo negativo
Fondamenti di Automatica 7 Procedura per il tracciamento del L.d.R. 1. Si riportano i poli (X) e gli zeri (o) di L(s) sul piano complesso.. Si determinano le parti dell asse reale che appartengono al luogo positivo e negativo. 3. Si determinano il centro e l inclinazione degli asintoti (comportamento per k ± ). 4. Si determina la direzione della tangente al luogo nei poli (comportamento per k 0) e negli zeri (comportamento per k ± ). 5. Si deve tener conto del fatto che sui tratti di luogo appartenenti all asse reale e compresi fra due poli o fra due zeri è presente almeno un punto doppio (punti singolari).