598 Capitolo C. Tigonometia C.10 Eseizi C.10.1 Eseizi dei singoli paagafi C.1 - Pime definizioni C.1. Completate la figua mettendo le oppotune lettee ai vetii dei tiangoli ettangoli assegnati e, appliando le definizioni, sivete la fomula he pemette di iavae l elemento inognito indiato on un punto inteogativo a patie dagli elementi noti indiati on una lettea. b C.2 - Due identità fondamentali C.2. Nel tiangolo ettangolo C sappiamo he sin(γ) = 5 7. Deteminae le alte funzioni tigonometihe dell angolo γ e quelle del suo omplementae. C.4 - Usae la alolatie C.3. Completae la tabella inseendo nelle aselle vuote misue di angoli auti a piaee, appossimando alla quata ifa deimale. 0... 30... 45... 60... 90 os() C.4. Completae la tabella inseendo nelle aselle vuote misue di angoli auti a piaee. 0... 30... 45... 60... 90 sin() tan() Quali ossevazioni si possono fae pe la funzione sin() C.5. Nel pimo esempio avevamo tovato pe le funzioni tigonometihe degli angoli auti del tiangolo ettangolo di lati 5m, 4m e 3m, i seguenti valoi: sin(β) = a b = 5 3, os(β) = a = 4 5, tan(β) = b = 3 4. Detemina l ampiezza degli angoli auti attivando le funzioni invese sulla tua alolatie.
Sezione C.10. Eseizi 599 C.5 - Opeazioni on i gadi sessagesimali C.6. Esegui le seguenti opeazioni on gli angoli. a ) Calola il omplementae di 25 30 58 ; b ) Calola il supplementae di 118 59 5 ; ) Calola il doppio di 45 45 45 ; d ) Calola la metà di 128 57 30 ; e ) Calola 16 29 32 + 95 57 31 ; f ) Calola 127 50 32 + 27 51 42. C.6 - Risoluzione di tiangoli ettangoli C.7. Risolvee il tiangolo ettangolo in figua a patie dai dati a disposizione. C b γ a β a ) a = 30 m, β = 25 30 ; b ) a = 1,25 m, γ = 75 ; ) a = 15 m, β = 30 ; d ) a = 36 m, sin(β) = 2 3 ; e ) = 12 m, os(β) = 1 4 ; f ) = 12 m, tan(β) = 2; g ) b = 40 m, tan(β) = 1; h ) = 12 m, a = 20 m; i ) b = 30 m, = 40 m. C.8. Nel tiangolo ettangolo C, etto in, detemina l altezza elativa all ipotenusa sapendo he il ateto = 20 m e l angolo β = 25. C.9. Sapendo he os(γ) = 12 5 tiangolo ettangolo. e he il ateto b misua 20 m, alola aea e peimeto del C.10. Deteminae peimeto e aea del tiangolo ettangolo C etto in sapendo he l altezza elativa all ipotenusa misua 0,5 m e l angolo è di 30. Poiezione di un segmento lungo una diezione C.11. Costuite la poiezione del segmento sulla etta in iasuna delle figue seguenti e desivete i passi effettuati. β γ C.12. Il segmento delle figua C.8 misua 2 m. Deteminae la misua della sua poiezione H sulla etta sapendo he l angolo ta etta e segmento è di 72. Deteminae infine peimeto e aea del tiangolo H. C.13. Della figua C.9 sappiamo he: = 2 m, DC = 2,52 m e C = 3,76 m. Indiate on H e K ispettivamente le poiezioni di e D sulla etta, deteminate l aea del poligono CD.
600 Capitolo C. Tigonometia D H = 45 β = 120 C H Figua C.8: Es. G.12. Figua C.9: Es. G.13. Figua C.10: Es. G.14. C.14. La poiezione H è di 2 meti (figua C.10). Deteminate la misua del segmento poiettante nei seguenti asi: = 28 ; = 45 ; = 60 ; = 88 (on l appossimazione alla quata ifa deimale). C.15. In un tiangolo ettangolo onosendo il oseno dell angolo auto vale 0,3; alola sin() e tan(). Calola, inolte, il valoe dell angolo auto in gadi e deimali di gado. C.16. In un tiangolo ettangolo di angolo auto x, alola os(x), tan(x) e x sapendo he sin(x) = 0,2. C.17. In un tiangolo ettangolo di angolo auto x, alola sin(x), os(x) e x sapendo he tan(x) = 1,5. C.18. In un tiangolo ettangolo onosendo il oseno dell angolo auto, os() = 0,7 alola sin() e tan(). Calola, inolte, il valoe dell angolo auto in gadi e deimali di gado. C.19. Tova aea e peimeto del tiangolo ettangolo C etto in sapendo he = 50 m. C.20. Risolvi il tiangolo ettangolo he ha un ateto di 25 m e il seno dell angolo ad esso adiaente pai a 0,28. C.21. In un tiangolo ettangolo onosendo il oseno dell angolo auto, os() = 0,2, alola sin() e tan(). Calola, inolte, la misua dei estanti lati sapendo he il ateto opposto ad misua 66 m. C.7 - Risoluzione di un tiangolo qualsiasi on tiangoli ettangoli C.22. Risolvi il tiangolo autangolo C nei seguenti asi. a ) CH = 20 m, = 45, β = 62 20 ; b ) C = 20 m, = 60, β = 35 ; ) H = 12 m, = 35, β = 40 30 ; d ) H = 22,25 m, = 20, β = 65 ; e ) CH = 10 m, = 42, β = 53. C.23. In ifeimento alla seguente figua isolvi il tiangolo C, onosendo gli elementi indiati nei due asi (a e b). C γ H β
Sezione C.10. Eseizi 601 a ) = 2 m, C = 6 m, β = 30 ; b ) CH = 50 m, = 76 m, = 120. C.24. Risolvee un tiangolo isosele nota la base= 4 2m e l ea = 32m 2. C.25. Un tiangolo isosele ha l altezza elativa al lato più oto pai a 120 m e il seno dell angolo alla base è uguale a 2 3. Calola peimeto e aea del tiangolo. Quadilatei C.26. Nel tapezio isosele CD, la base minoe CD misua 30 m, i lati obliqui 20 m e il seno degli angoli auti è 0,6. Tova la misua del peimeto e dell aea. C.27. Tova l aea di un ombo di peimeto 120 m e on gli angoli ottusi ognuno pai a 100. C.28. Tova la misua del lato e dell altezza del ombo on diagonale maggioe di 20 m e on uno dei due angoli auti di 30. C.29. Tova le due altezze del paallelogamma di lati 10 m e 15 m e on i due angoli auti ognuno di 20. C.30. Tova l aea di un paallelogamma sapendo he i lati sono lunghi 12,5 m e 7,8 m e l angolo ta essi ompeso è di 44 30. C.31. Calola l aea di un ombo sapendo he il lato è 12 m e l angolo ottuso è di 120. C.32. Calola l aea e il peimeto di un ettangolo sapendo he ognuna delle sue diagonali misua 10 m e he gli angoli he esse fomano on la base sono di 35 30. C.33. L aea di un tapezio isosele è 28 m 2 e il suo peimeto è 24 m. Detemina gli angoli del tapezio, sapendo he la sua altezza è 4 m. ppliazioni alla topogafia C.34. Risolvee il quadilateo CD sapendo he = 8,01 m, C = 5,54 m, CD = 4,63 m, D = 40, ÂDC = 50. C.35. Risolvee il quadilateo CD sapendo he = 5,8 m, C = 6,24 m, CD = 12,81 m, D = 45, ÂDC = 65. (attenzione: in questo poblema CD >, quindi la figua va disegnata divesamente). C G C.36. Risolvee il quadilateo CD della figua sapendo he = 33,28 m, CD = 59,7 m, D = 102, DC = 63, ÂDC = 72. Suggeimento: taiae i segmenti ome nella figua sotto e ossevae i tiangoli e il ettangolo he si foma. F E D
602 Capitolo C. Tigonometia ppliazioni alla fisia C.37. Un vettoe veloità v ha modulo 12 m/se. Posto su un piano atesiano O xy, foma un angolo di 30 on l asse delle asisse. Tova le omponenti di v, v x e v y sugli assi x e y. lungo un ditto sentieo salinato on pendenza ostante di 50 e giungo alla loalità. Quanto saebbe lungo un tunnel he ongiungesse on C.38. Un piano inlinato foma ol piano d appoggio un angolo di 16. Detemina la foza non equilibata he faà sivolae un opo di 12 kg lungo un piano inlinato. C.39. Calola la foza neessaia pe mantenee in stato di quiete un opo del peso di 25 kg su un piano inlinato on la pendenza di 20 15. C.40. Calola la lunghezza del vettoe v(3; 4) e gli angoli he esso foma on gli assi atesiani. Calola inolte l equazione della etta he ha la stessa diezione del vettoe v e passa pe il punto (0; 1). C.41. Un aeeo viaggia da a he distano 1 000 km. In assenza di vento l aeeo impiega un oa pe effettuae il peoso. Quel giono peò sulla tatta soffia un vento ostante di intensità 100 km/h e diezione di 240 gadi ispetto alla diezione. Calola il tempo impiegato e l angolo di otta neessaio pe mantenee la diezione. C.42 ( ). Pato da una loalità ai piedi di una ollina pe aggiungee una loalità he si tova sull alto vesante, alla stessa quota di. Pe fae questo peoo pe 467 m una ditta mulattiea he sale on pendenza ostante di 30. Poi peoo in disesa 300 m 30 50 C.43 ( ). Pe andae da una loalità ad una loalità poste in una pianua mi muovo, in aeeo e sempe alla stessa quota, di 20 km nella diezione he foma un angolo di 20 ispetto alla diezione. Poi, pe iavviinami alla ongiungente, mi muovo di 35 km lungo la diezione he foma un angolo di 60 ispetto ad. Infine peoo 24,7 km nella diezione he foma un angolo di 71,82 (ovveo 71 49 12 ) ispetto ad giungendo finalmente sopa a. Quanto dista da ttenzione: sulla alolatie si può digitae sia os(71,82 ) he os(71 49 12 ) puhé la alolatie sia impostata on i gadi ( D o Deg sul display; G o Gad india un alta unità di misua!). 20 60 71.82 C.44 ( ). Sono in baa a vela e pato dalla boa i pe aggiungee la boa f. Inizio la navigazione peoendo un tatto lungo 1km nella diezione he foma un angolo di 10 ispetto al tatto i f. Poi vio pe iavviinami a i f e peoo un tatto di 2km nella diezione he foma un angolo di 10 ispetto a i f. Ripeto la viata di 10 pe iavviinami alla ongiungente i f e peoo di nuovo 2km. Faio un ultima viata di 10 he, peoendo 1km, mi pota esattamente a f. Quanto dista i da f
Sezione C.10. Eseizi 603 10 10 i 10 10 f C.45 ( ). Faio una ditta salita he sepaa due loalità distanti in linea d aia 5 km. Se la pendenza della salita è di 8 ostanti, qual è (in meti) la diffeenza di quota delle due loalità C.46 ( ). In baa a vela mi muovo dalla boa i alla boa f faendo un peoso a zig zag in ui iasun tatto foma angoli di 25 ispetto al segmento i f. Dopo ave navigato pe quatto tatti, di ui il pimo lungo 4 km e i estanti 8 km, quanto peoso è stato fatto nella diezione i f 25 25 25 i 25 f C.47 ( ). Devo stendee un avo dell impianto paafulmine lungo il tetto e la paete di una asa faendolo poi affondae nel teeno pe 10m. Quale deve essee la lunghezza minima del avo sapendo he il paafulmine è posto sul punto più alto del tetto (vedi figua) e la asa è omposta da un pian teeno ed un pimo piano ompleti di altezza standad (ioè 3m iasuno), è laga 9m, ha un tetto ad una falda inlinata di 16 (La figua appesenta la sezione della asa). C.48 ( ). Peoo una salita ettilinea on pendenza di 10 patendo da una loalità posta a 400 m d altezza e aivo ad una loalità posta a quota 700 m. Quanto dista da C.49 ( ). Dalla ima di un palo alto 1,30 m un tizio alto 1,70 m osseva la punta di un obeliso sotto un angolo di 40. Con un lase misua la distanza ta il suo ohio e la ima dell obeliso e tova 74 m. Quanto è alto l obeliso ttenzione: ossevae un oggetto sotto un angolo signifia he la etta ongiungente il nosto ohio on l oggetto ossevato foma un angolo on una etta oizzontale. C.50 ( ). Una mansada è alta 5 m e la sua sezione è un tiangolo isosele on angoli alla base di 50. Quant è laga la mansada (Rioee solo alla tigonometia; usae sia la fomula dietta della poiezione sia la fomula invesa). Poblemi sulle foze C.51 ( ). Pe tainae un vagone femo su un binaio uso un loomotoe posto in un binaio paallelo ed un avo in aiaio he, in tazione, foma un angolo di 22 ispetto ai binai. Sapendo he l intensità della foza di tazione lungo il avo è di 35 000 N, qual è il modulo della foza he fa muovee il vagone C.52 ( ). Pe estae un maniotto (ioè un ilindo avo) inastato in un paletto, eseito una foza di 150 N tamite un filo he, teso duante la tazione, foma un angolo di 20 ispetto all asse del paletto. Di he intensità è la foza he saebbe stata suffiiente da ap-
604 Capitolo C. Tigonometia pliae lungo l asse del paletto pe estae il maniotto C.53 ( ). Pe tainae un vagone lungo un binaio devo eseitae una foza minima di 20 000 N lungo la diezione del binaio. Qual è l intensità minima della foza he devo eseitae sul vagone pehé si sposti sapendo he la diezione della foza he posso appliae foma un angolo di 40 on la diezione del binaio C.54 ( ). Una mansada è alta 5 m e la sua sezione è un tiangolo isosele on angoli alla base di 50. Quant è laga la mansada C.55. Come si può misuae l altezza di un edifiio, senza salivi in ima, disponendo di un meto a nasto e di un teodolite in gado di misuae a vista angoli sul piano vetiale C.56 ( ). Dal tetto di una asa alta 9m un bimbo alto 1 m osseva sotto un angolo di 6 la punta di un obeliso he, in base ad una mappa, dista 232 m dalla asa. Quanto è alto l obeliso C.57 ( ). Nella apiata di una attedale, la ui sezione è un tiangolo isosele, la lunghezza della atena (ioè della base del tiangolo isosele) è di 50 m e il tetto è inlinato di 15 ispetto al pavimento. Quanto è alta la apiata C.58 ( ). La gande piamide di Cheope ha una base quadata laga ia 230 m. Sapendo he le paeti sono inlinate di ia 52, quanto è alta la piamide ttenzione: l inlinazione ui si fa ifeimento è quella degli apotemi delle fae lateali ispetto al teeno. C.59 ( ). Si attibuise all ahitetto dell antio Egitto Imhotep l intuizione he l inlinazione delle paeti di una piamide non deve supeae i 53 pe evitae poblemi di slittamento dei blohi del ivestimento sotto l effetto di un sisma. mmesso di usae l inlinazione massima, quanto deve essee laga una piamide he debba aggiungee l altezza di 70 m E se, pe siuezza, si volesse usae un inlinazione di 45 Suggeimento: questo poblema si può isolvee usando l angolo omplementae a quello assegnato. C.60 ( ). Una mansada avente pe sezione un tiangolo isosele è alta 4 m e laga 15 m. Qual è l inlinazione del tetto C.61 ( ). La piamide di Meidum, osì ome modifiata sotto Snefu, ea alta 91,7 m e laga 144 m. Quanto eano inlinate ispetto al teeno le sue fae (i elativi apotemi) C.62 ( ). Dall venue des Champs-Élysées ossevo la sommità dell o di Tionfo napoleonio sotto un angolo di 36. Sapendo he l o è alto 50 m quanto disto dalla sua base Se mi tovo a 1,2 km dalla sua base, sotto he angolo ne ossevo la sommità C.63 ( ). Devo stendee un tiante he si aggania a tea e ad un palo, ai 3 5 della sua altezza. Sapendo he il palo è alto 3,34 m e he il avo si aggania al teeno a 3 m dalla sua base, he angolo foma il tiante ispetto al teeno C.64 ( ). Su un atello stadale vediamo l indiazione di una salita del 10%. Sapendo he questo signifia he ogni 100 m in oizzontale se ne peoono 10 in vetiale, alola l inlinazione in gadi della stada. È possibile supeae salite del 100% C.65 ( ). Una apiata ha una atena di 32 m ed è alta 8,9 m. Qual è l inlinazione dei suoi puntoni ttenzione: la apiata è la stuttua pe le opetue a apanna ; le tavi he la ostituisono fomano un tiangolo isosele; la atena è la tave di base, i puntoni sono le tavi oblique. C.66 ( ). La faiata di un tempio geo ha un basamento lago 22 m e alto 3 m, olonne alte 7,40 m e il fontone, lago quanto il basamento, ha falde inlinate di 15. Quanto è
Sezione C.10. Eseizi 605 alto il punto più elevato del tempio Volendo fagli aggiungee l altezza di 14 m quale inlinazione bisogneebbe dae ai lati obliqui del fontone C.67 ( ). Dall alto di una ampa lunga 300 m misuo la distanza dalla sommità di una toe he si eleva dalla base della ampa e aiva alla stessa altezza della mia testa. Sapendo he la suddetta distanza vale 271 m, qual è l inlinazione della ampa C.8 - Risoluzione di un tiangolo qualunque C.68. Detemina gli elementi inogniti di un tiangolo in ui b = 5, = 7 e = 74. C.69. In un tiangolo sono noti: b = 9, = 20 e β = 44. Quanto vale la lunghezza a C.70. In un tiangolo sono noti: a = 20, = 13 e β = 75. Quanto vale b C.71. Detemina l angolo β di un tiangolo in ui a = 10 km, b = 8 km e = 12 km. C.72. Detemina gli elementi inogniti di un tiangolo in ui a = 12, = 15 e β = 65. C.73. In un tiangolo sono noti: a = 20, = 35 e β = 20. Quanto vale la lunghezza b C.74. In un tiangolo sono noti: b = 12, = 4 e = 40. Quanto vale a C.10.2 Risposte C.42. 597,27 m. C.43. 44 km. C.44. 5,91 km. C.45. 695,87 m. C.51. 32 451 N. C.52. 140,95 N. C.53. 26 108,95 N. C.54. 8,39 m. C.61. 51,86. C.62. 68,82 m; 2,39. C.63. 33,74. C.46. 25,38 km. C.56. 34,38 m. C.64. 5,71. C.47. 25,36 m. C.48. 2 303,50 m. C.49. 59,68 m. C.50. 8,39 m. C.57. 6,70 m. C.58. 147 m. C.59. 105,50 m; 140 m. C.60. 28. C.65. 29,08. C.66. 13,35 m; 18,12. C.67. 25,4.