Calcolatori: Sistemi di Numerazione
Sistemi di Numerazione: introduzione In un Calcolatore, i Dati e le Istruzioni di un Programma sono codificate in forma inaria, ossia in una sequenza finita di e. Un Calcolatore può trattare diversi tipi di Dati: numeri (interi, frazionari, reali), testi, immagini, suoni Tutti questi tipi di Dati devono essere trasformati in sequenze inarie per poter essere elaorati, sequenze che rappresentano numeri inari
Sistemi di Numerazione Posizionali () Cosa intendiamo quando ad esempio scriviamo: 345564 duemilionitrecentoquarantacinquemilacinquecentosessantaquattro? Questo si ottiene come: duemilioni + trecentomila + quarantamila + + sessanta + quattro Ogni cifra viene moltiplicata per un peso associato alla sua posizione (da destra a sinistra i pesi sono,,,,..., ) e il totale si ottiene sommando i numeri ottenuti: * + 3* + 4* + + 6* + 4* 3
Sistemi di Numerazione Posizionali () Criterio per la rappresentazione di un insieme infinito di numeri mediante un insieme limitato di simoli. Un sistema di numerazione posizionale è costituito da: ) Una ase (es: ); ) Un insieme ordinato di cifre (es:,,,3,4,5,6,7,8,9); 3) Un codice di interpretazione (interpretazione posizionale); 4) Un insieme di algoritmi per le 4 operazioni aritmetiche fondamentali. 4
Sistemi di Numerazione in Base () Il codice di interpretazione specifica che ad ogni posizione è associato un peso; Ogni cifra associata ad una posizione indica il numero delle volte che deve essere considerato il peso corrispondente a quella posizione; Sistema di numerazione in ase : sistema di numerazione posizionale la cui ase per i pesi è ; ovvero: sistema di numerazione posizionale in cui i pesi sono espressi come potenze della ase. 5
Sistemi di Numerazione in Base () Numero in ase : Numero rappresentato utilizzando il sistema di numerazione in ase ed una sequenza di cifre del tipo: (c n- c n- c.c - c -m ) ; Il simolo. (punto di separazione) separa la parte intera da quella frazionaria; c ha peso c c - -. 6
Forma Polinomia Vale la relazione (conseguenza della definizione di numero in ase ): (c n- c n- c.c - c -m ) c n- n- +c n- n- + +c + c - - c -m -m Tale somma di prodotti è detta Forma Polinomia 7
Sistema di Numerazione Base ( ): in Base Cifre c i {,,, 9} Esempio: (7.3) + + 7 + 3-8
Sistema di Numerazione in Base Base ( ): Cifre c i {,} Esempio: (.) + + + - + - (5.5) Conseguenza: La forma polinomia rappresenta l algoritmo di conversione inario decimale; In generale: Forma Polinomia sistema in ase sistema decimale 9
Algoritmi di Conversione Decimale Base Si distinguono due casi: Numeri interi (Algoritmo delle Divisioni Successive); Numeri frazionari (Algoritmo delle Moltiplicazioni Successive); In caso di numeri reali con parte intera e frazionaria i due algoritmi vengono applicati separatamente e cominati i risultati.
Metodo delle Divisioni Successive () Dato (N) N determinare la successione di cifre inarie (quindi ) c n- c n- c tale che: N c n- n- +c n- n- + +c Dividendo per entrami i memri: Essendo N Q+R N/ Q+R/ (R o ) Si ha: N/ Q + R/ c n- n- +c n- n-3 + +c + c - Q R/ Quindi R c ovvero c è il resto della divisione di (N) per.
Metodo delle Divisioni Successive () Q c n- n- +c n- n-3 + +c Dividendo per entrami i memri: Essendo Q Q +R Q/ Q +R / (R o ) Si ha: Q/ Q + R / c n- n-3 +c n- n-4 + +c + c - Q R / Quindi R c ovvero c è il resto della divisione di (Q) per.
Metodo delle Divisioni Successive (3) I coefficienti della forma polinomia in ase di (N) intero, sono rappresentati dai resti delle divisioni successive di (N) per. L algoritmo termina quando si ottiene un quoziente uguale a zero. 3
Metodo delle Divisioni Successive (es.) (N) 3 N/ 3/ Q 6 R c Q/ 6/ Q 3 R c Q/ 3/ Q R c Q/ / Q R c 3 (N) 3 (N) () (N) () (N) ( 3 + + + ) (3) 4
Metodo delle Moltiplicazioni Successive () Dato (F), parte frazionaria di un numero reale, determinare la successione di cifre inarie () c - c - c -m tale che: F c + c +... c + Moltiplicando entrami i memri per : F c { Parte Intera m m+ + c +... + cm 444 44 3 4 P M Parte Frazionaria m P+ M P c -, ovvero la parte intera del prodotto F rappresenta la cifra inaria di (F) immediatamente successiva al punto 5
Metodo delle Moltiplicazioni Successive () M c... m+ + c3 + + cm Moltiplicando entrami i memri per : M m+ c... ' { + c3 + + cm P+ M 444 4443 P' M ' ' P c - ovvero la parte intera del prodotto M rappresenta la seconda cifra inaria di (F) immediatamente successiva al punto. 6
Metodo delle Moltiplicazioni Successive (3) I coefficienti della forma polinomia in ase di (F) frazionario, sono rappresentati dalle parti intere delle moltiplicazioni successive di (F) per L algoritmo termina: quando si ottiene una parte frazionaria (M) uguale a zero (rappresentazione esatta); Oppure: - dando un numero massimo di moltiplicazioni da eseguire (n massimo di cifre inarie da calcolare) (approssimazione per difetto) Per un approssimazione migliore occorre iterare ulteriormente il procedimento con nuove moltiplicazioni. 7
Metodo delle Moltiplicazioni Successive (es. ) ( F).3 M.3.6 M.6.4 P M. 3 P c M. 6 P c M. 4 M.4.48 P c 3 M. 48 M.48.96 c 4 M.96.9 c 5 ( F).3 ( F) ) P M. 96 P M. 9 (. Approx per difetto 5 ( F) (.) ( F) +.85 8
Metodo delle Moltiplicazioni Successive (es. ) ( F). M. M.4.4.8 M.8.6 c 3 P M. P c M. 4 P c M. 8 P M. 6 M.6. P c 4 M. M..4 c 5 P M. 4 Si presenta un ciclo infinito (numero frazionario periodico), è necessario specificare il numero di cifre inarie che vogliamo rappresentare affinché l Algoritmo termini. 9
Relazioni decimale-inario () Qual è il numero massimo in ase rappresentaile con n cifre inarie? Tale valore si ottiene dalla forma polinomia su n cifre, ponendo tutti i c : + + + + n n n n n ) (... Esempio: se n7, allora posso rappresentare tutti i numeri interi da a 7.
Relazioni decimale-inario () Dato (N) intero qual è il numero n di cifre inarie necessarie per la corrispondente rappresentazione inaria? n È il più piccolo n tale che: essendo n - il massimo valore rappresentaile con n cifre inarie, ed essendo n- - < per definizione di n: n + n log ( + ) n log( + ) Esempi: se N 54, si ha 5 3 e 6 64, quindi n 6, se N 89, si ha 48 e 496, quindi n.
Somma e sottrazione in ase () Regole per la somma + + + + Regole per la sottrazione Riporto Prestito
Somma e sottrazione in ase () Esempio di somma: + 3
Somma e sottrazione in ase (3) Esempio di sottrazione: - 4
Moltiplicazione e divisione in ase Regole per la moltiplicazione Divisione: La divisione inaria è calcolata in maniera analoga alla divisione decimale. 5
Sistemi di numerazione in ase 8 e 6 Sistema ottale (ase 8):,...,7 cifre: c i { } es. forma polinomia:( 53. 76) 5 8 + 3 8 + 7 8 + 6 8 43 96875 8. Sistema esadecimale (ase 6): cifre: {,...,9, A, B, C, D, E F} c i, es. forma polinomia: ( D3. B) 3 6 + 3 6 + 6. 6875 6 Le regole per le operazioni fondamentali sono analoghe a quelle inarie 6
Conversione Binario-Ottale () In generale, non è possiile convertire direttamente un numero in ase in un numero in ase, a meno che, ovviamente, una delle due asi non sia la ase. Bisogna prima passare dalla ase alla ase (attraverso la forma polinomia), e poi passare dalla ase alla ase (attraverso il metodo delle divisioni successive e/o delle moltiplicazioni successive). Ci sono però dei casi in cui la conversione diretta è possiile. 7
Conversione Binario-Ottale () Osservazione: se c i {, } c + c + c 7 Al variare di c c c in {,}, il trinomio precedente rappresenta una cifra d i {,,, 7}, ovvero una cifra del sistema di numerazione in ase 8. 8
Conversione Binario-Ottale (3) cifra Ottale numero Binario 3 4 5 6 7 9
Conversione Binario-Ottale (4) Conversione Binario Ottale: Si raggruppano le cifre inarie a gruppi di tre da destra verso sinistra per la parte intera, da sinistra verso destra per la parte frazionaria. Si aggiungono se necessario a sinistra (per la parte intera) e a destra (per la parte frazionaria) del numero. Si sostituisce ogni gruppo di tre cifre inarie con la corrispondente cifra ottale. Esempio: (.) (. ) (3.44) 8 Conversione Ottale Binario Si sostituisce ogni cifra ottale con il corrispondente gruppo di tre cifre inarie. 3
Conversione Binario-Esadecimale () Osservazione: se c i {, } 3 c3 + c + c + c F 5 Al variare di c 3 c c c in {,} il quadrinomio precedente rappresenta una cifra d i {,,, 9,A, F} del sistema di numerazione in ase 6; Si procede analogamente alla conversione inario-ottale, raggruppando le cifre inarie a gruppi di 4; Tali gruppi si convertono nella corrispondente cifra esadecimale. 3
Conversione Binario-Esadecimale () cifra Esadecimale numero Binario 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 3
Esempi di Conversione Binario-Ottale Binario-Esadecimale Binario - Ottale (.) (. ) (5.) 8 Binario - Esadecimale (.) D (. ) (.4) 6 NOTA: In generale la conversione diretta da un numero in ase ad un numero in ase è possiile tutte le volte che vale la seguente proprietà: t.c. se > oppure se > Dove indica il numero di cifre che compongono i gruppi. 33
Il Complemento a Definizione: Dato N > N rappresentato in ase su cifre si definisce complemento a di N il numero C (N) in ase tale che: + C ( ) C ( ) Es: C ( 68) 68 68 3 su cifre Osservazione: ( 3... ), cifre Infatti la forma polinomia di in ase è: + +... + da cui: ( 3... ), 34 cifre
Il Complemento a - Definizione: Dato N N rappresentato in ase su cifre si definisce complemento a - di N il numero C - (N) in ase tale che: + C ( ) Es: C ( 68) 68 99 68 3 9 su cifre Osservazione: (( 4 44 )( 4 )...( 44 3 )), cifre Infatti: ( ( ( ( )... )... )...( )) 35
Proprietà del Complemento. Dalla definizione di complemento si ha: N, C( N) C ( N) +. C C ( N)) N ( C ( C ( N)) N Importante: Durante le sottrazioni per il calcolo del complemento a - non si effettuano operazioni di prestito. Esempio: C - C 9 (356) ( 4 - ) 356 9999 356 7643 36
Complemento a Es. di complemento a su 4 cifre: C (( ) ) ( ) ( 443 4 ) Regola pratica per il calcolo del complemento a (vale quindi se la ase è ):. Inversione di tutte le cifre ( ). 37
Complemento a Es. di complemento a su 4 cifre: C (( ) ) 3 ( ) ( 4 ) Regole pratiche per il calcolo del complemento a : Regola (a):. Copia delle cifre a partire da quella più a destra fino al primo incluso;. Inversione delle cifre rimanenti ( ). Regola ():. Inversione di tutte le cifre ( ) e somma di. 38
Complemento a Esempio: Calcoliamo C () secondo le regole appena viste, Regola (a): C() (inversione)(copia) Regola (): C() (inversione) + Nota: la regola () è equivalente a considerare la proprietà C (N) C - (N) + 39
4 Teorema del Complemento Hp) X, Y rappresentati su cifre; X Y Ts) cifre su ) ( Y C X Y X + Calcolo la differenza tra X e Y eseguendo la somma tra X e C (Y) e scartando la cifra più significativa del risultato ( ). Dimostrazione: Y Y C Y C X Y X Y X + + ) ( ) ( c c c Y C X c c c Y C X... ) (...... ) ( cifre su + + Quindi: 3 cifre... ) ( X ) ( Y C Y C Y Y X + + Nota: la cifra a sinistra di c - è un riporto, quindi sarà
Sottrazioni nelle ipotesi del Teorema Complemento. Completare se necessario il minuendo e/o il sottraendo con lo stesso numero di cifre () aggiungendo zeri a sinistra;. Calcolare il complemento a del sottraendo; 3. Calcolare X+C (Y); 4. Si considerano le prime cifre della somma (equivalente a sottrarre al risultato). Esempi: In ase su cifre 35 3+ C( 5) 3+ 85 7 In ase su 4 cifre ( ) ( ) ( ) + C ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) su cifre ( ) 7 su 4 cifre ( ) 4