Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo

Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo Valentino Liberali Dipartimento di ecnologie dell Informazione Università di Milano, 2613 Crema e-mail: liberali@i.unimi.it http://www.i.unimi.it/ liberali Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 1 Programma parte 3 3. Analisi di circuiti nel dominio del tempo. (a) Segnali analogici e segnali digitali. (b) Segnali continui e segnali campionati. (c) Segnali periodici; periodo e frequenza. (d) Condensatore. (e) Induttore. (f) Energia immagazzinata. (g) Potenza istantanea e potenza media. (h) Analisi nel dominio del tempo. Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 2 1

Segnali nel dominio del tempo Una grandezza elettrica che varia nel tempo secondo una legge determinata costituisce un segnale. I segnali possono essere di tensione oppure di corrente, a seconda che la grandezza elettrica che ci interessa sia una tensione o una corrente. Per esprimere in modo esplicito la dipendenza dal tempo, scriviamo: v(t) per un segnale di tensione i(t) per un segnale di corrente alvolta la dipendenza dal tempo viene sottintesa; il carattere minuscolo indica comunque che si tratta di una grandezza variabile nel tempo. Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 3 Convenzioni tipografiche tipo di carattere significato esempio Maiuscolo, pedice Maiuscolo Valore in continua (punto di lavoro) V B, I C minuscolo, pedice Maiuscolo Valore istantaneo (funzione del tempo) v B, i C minuscolo, pedice minuscolo Segnale (valore istantaneo continua) v b, i c v V B v b (t) v B (t) t v B (t)=v B + v b (t) Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 4 2

Segnali analogici e segnali digitali Un segnale è analogico quando il suo contenuto di informazione varia con continuità, potendo assumere un infinità di valori possibili (entro un certo intervallo). Un segnale è digitale quando il suo contenuto di informazione varia in modo discreto (cioè a passi), potendo assumere soltanto un numero finito di valori possibili. Il segnale digitale più semplice è il segnale binario, che può assumerre solo i valori (zero) e 1 (uno), che in genere corrispondono ai valori bassi e alti di una grandezza fisica variabile con continuità. Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 5 Segnali continui e segnali campionati Un segnale è continuo nel tempo quando il suo valore può cambiare in qualsiasi istante. Un segnale è campionato quando il suo valore cambia solo in istanti prestabiliti, in sincronia con un segnale di temporizzazione ( clock ), e il valore viene mantenuto costante fino al successivo evento di temporizzazione. v segnale continuo segnale campionato s t Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 6 3

Segnali periodici Un segnale è periodico quando si ripete identicamente dopo un intervallo di tempo, detto periodo: x(t+)= x(t), t L inverso del periodo è la frequenza: f= 1 Dimensionalmente, la frequenza è l inverso di un tempo e si misura in hertz (Hz). Per un moto rotatorio, la frequenza f è legata alla velocità angolareωdalla relazione:ω=2π f. La velocità angolare si misura in radianti al secondo (rad/s). Poiché l angolo giro è pari a 2π rad, risulta: 1 Hz = 1 giro/s = 2π rad/s. Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 7 Esempi di segnali periodici (1/3) Sinusoide: v V A V A 2V A t Analiticamente può essere espressa come: v(t)=v A sin2π f t con f= 1 Il valore di picco dell ampiezza è V A ; il valore picco-picco, cioè la differenza tra il massimo e il minimo, è 2V A. Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 8 4

Esempi di segnali periodici (2/3) Onda quadra: v V A t Un esempio di onda quadra è costituito dal segnale di clock di un sistema digitale sincrono. Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 9 Esempi di segnali periodici (3/3) Onda trapezoidale: v V A t r t f t Nella realtà l onda quadra ideale non esiste; un approssimazione più adeguata del segnale di clock di un sistema digitale sincrono è costituito dall onda trapezoidale, avente tempi di salita (t r, rise time ) e di discesa (t f, fall time ) diversi da zero. Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 1 5

Valor medio e valore efficace Il valor medio V m di un segnale periodico è: V m = 1 v(t) Il valore efficace o valore quadratico medio o valore rms ( root-mean-square ) V rms di un segnale periodico è: V rms = 1 (v(t)) 2 Il valore efficace ha questo nome perchè, se viene applicata una continua con questo valore ai capi di una resistenza, si produce IN MEDIA la stessa dissipazione di potenza del segnale variabile v(t) applicato alla stessa resistenza. Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 11 Esercizi 1. Calcolare il valore efficace di un segnale di tensione sinusoidale avente valore di picco V A. Soluzione: Applicando la definizione, si ha: 1 V rms = 1 = = V A 1 VA 2 (v(t)) 2 = 2 = V A 2 ( 1 2 1 4πt cos 2 1 ( V A sin 2πt ) 2 = ) 1 =V A 2. Calcolare il valore di picco della tensione della rete elettrica, che ha un valore efficace V rms = 23 V. 1 2 = Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 12 6

Leggi per grandezze variabili nel tempo R + - i(t) v(t) La legge di Ohm per grandezze variabili nel tempo è: v(t)=ri(t) La corrente è legata alla carica elettrica dalla relazione: i(t)= dq(t) Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 13 Energia interna di un bipolo Esistono elementi circuitali il cui comportamento non dipende solo dal valore istantaneo delle grandezze elettriche, ma anche dai valori assunti in precedenza. Questi elementi circuitali hanno memoria, cioè mantengono al loro interno un informazione legata al loro funzionamento passato. L informazione è fisicamente immagazzinata sotto forma di energia variabile nel tempo w(t). L energia assorbita da un bipolo all istante t è: w(t)= = t t p(t)= p(t)+w() Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 14 7

Potenza istantanea L espressione della potenza dissipata da un bipolo qualsiasi è data dal prodotto della tensione per la corrente. Esplicitando la dipendenza dal tempo: p(t) = v(t)i(t) Quando la potenza varia nel tempo, si parla di potenza istantanea. La potenza istantanea p(t) può essere positiva o negativa: è positiva quando aumenta l energia immagazzinata nel bipolo, è negativa quando l energia immagazzinata diminuisce. Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 15 Condensatore (1/5) i(t) + C v(t) Il condensatore (in inglese: capacitor ) è costituito da due superfici metalliche parallele separate da un isolante. La carica immagazzinata è proporzionale alla tensione applicata: q(t) = Cv(t) La costante C è la capacità del condensatore, che si misura in farad (F): 1 F = 1 C / 1 V Il farad è un unità di misura molto grande; di solito si usano i suoi sottomultipli:µf, nf, pf e ff. Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 16 8

Condensatore (2/5) i(t) + C v(t) Dalle due equazioni q(t)=cv(t) e i(t)= dq(t) si ottiene: i(t)=c dv(t) La corrente è proporzionale alla derivata della tensione. Se la tensione è costante, la derivata è nulla e non passa corrente per la continua il condensatore si comporta come un circuito aperto. Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 17 Invertendo l equazione: si ricava: Condensatore (3/5) v(t)= 1 C i(t)=c dv(t) t i(t) + v() La tensione è proporzionale all integrale della corrente. La tensione v() (che matematicamente rappresenta la costante di integrazione) è la condizione iniziale: v()=v(t=) In SPICE la condizione iniziale è specificata con il parametro IC ( initial condition ). Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 18 9

Condensatore (4/5) L energia immagazzinata in un condensatore è: w(t)= 1 2 C(v(t))2 Per semplicità, sottintendendo t, possiamo scrivere: w= 1 2 Cv2 Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 19 Condensatore (5/5) Si vede facilmente che derivando l energia si ottiene la potenza istantanea: p(t)= dw(t) = Cv(t) dv(t) L energia aumenta (e quindi la potenza viene assorbita) quando il valore assoluto della tensione ai capi del condensatore aumenta; l energia diminuisce (e quindi la potenza viene erogata) quando il valore assoluto della tensione ai capi del condensatore diminuisce. Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 2 1

Esercizio Un generatore di tensione sinusoidale di ampiezza V A = 1 V e frequenza f= 1 khz è collegato ad un condensatore di capacità C = 1 nf. Calcolare l intensità della corrente nel condensatore. Soluzione: L espressione della tensione del generatore è: v(t)=v A sin2π f t La stessa tensione è applicata ai capi del consensatore. La corrente è data da: i(t)= C dv(t) = 2π fcv A cos2π f t La corrente ha un andamento cosinusoidale, con ampiezza I A = 2π fcv A = 6.28µA e frequenza f= 1 khz. Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 21 Induttanza (1/6) i(t) + L v(t) L induttore (in inglese: inductor ) è solitamente costituito da un filo avvolto a spirale (solenoide). All interno dell avvolgimento, si ha un flusso magnetico Φ proporzionale alla corrente nel filo: Φ(t) = Li(t) Il flusso magneticoφsi misura in weber (Wb): 1 Wb = 1 m2 kg. A s 2 La costante L è l induttanza dell induttore, che si misura in henry (H): 1 H = 1 Wb / 1 A Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 22 11

Induttanza (2/6) i(t) + L v(t) Una variazione nel tempo del flusso magnetico produce una differenza di potenziale ai capi dell induttore (legge di Faraday-Henry): v(t)= dφ(t) Combinando le due equazioni:φ(t)=li(t) e v(t)= dφ(t) si ottiene: v(t)=l di(t) Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 23 Induttanza (3/6) i(t) + L v(t) v(t)=l di(t) La tensione è proporzionale alla derivata della corrente. Se la corrente è costante, la derivata è nulla e non c è tensione ai capi del bipolo per la continua l induttore si comporta come un cortocircuito. Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 24 12

Invertendo l equazione: si ricava: Induttanza (4/6) i(t)= 1 L v(t)=l di(t) t v(t) + i() La corrente è proporzionale all integrale della tensione. La corrente i() (che matematicamente rappresenta la costante di integrazione) è la condizione iniziale: i()=i(t=) In SPICE la condizione iniziale è specificata con il parametro IC ( initial condition ) anche per l induttanza. Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 25 Induttanza (5/6) L energia immagazzinata in un induttore è: w(t)= 1 2 L(i(t))2 Per semplicità, sottintendendo t, possiamo scrivere: w= 1 2 Li2 Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 26 13

Induttanza (6/6) Derivando l energia, si ottiene la potenza istantanea: p(t)= dw(t) = Li(t) di(t) L energia aumenta (e quindi la potenza viene assorbita) quando il valore assoluto della corrente nell induttanza aumenta; l energia diminuisce (e quindi la potenza viene erogata) quando il valore assoluto della corrente nell induttanza diminuisce. Elettronica I Circuiti nel dominio del tempo p. 27 14