Corso di Matematica per l Economia - Appunti -
Università Ca Foscari di Veneia Dipartimento di Economia Appunti per un corso di Matematica per l Economia Luciano Battaia Versione del febbraio 5
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Se gli allievi non capiscono, il torto è dell insegnante che non sa spiegare. Né vale addossare la responsabilità alle scuole inferiori. Dobbiamo prendere gli allievi così come sono, richiamare ciò che essi hanno dimenticato, o studiato sotto altra nomenclatura. Se l insegnante tormenta i suoi alunni, e invece di cattivarsi il loro amore, eccita odio contro sé e la sciena che insegna, non solo il suo insegnamento sarà negativo, ma il dover convivere con tanti piccoli nemici sarà per lui un continuo tormento. Giuseppe Peano (858 93)
Indice Premessa iii. Funioni di più variabili.. Introduione illustrata alle funioni di due variabili................... Qualche esempio significativo..............................3. Funioni reali di tre o più variabili.......................... 4.4. Richiami sui vettori................................... 4.5. Operaioni sulle funioni................................ 6.6. Cenno su limiti e continuità.............................. 7.7. Rette, piani, iperpiani................................. 9.8. Linee di livello e interseioni con piani verticali.................... Calcolo differeniale 5.. Derivate pariali per funioni di due variabili.................... 5.. Derivate direionali per funioni di due variabili................... 9.3. Derivaione delle funioni composte.......................... 3.4. Funioni implicite.................................... 3.4.. Due esempi elementari............................. 3.4.. Il teorema di Dini per le curve del piano................... 34.5. Funioni di tre o più variabili............................. 37 3. Ottimiaione 4 3.. Ottimiaione libera in due variabili......................... 4 3.. Ottimiaione vincolata in due variabili....................... 44 3.3. Ottimiaione globale su insiemi chiusi e limitati, in due variabili......... 5 3.4. Ottimiaione libera in tre o più variabili...................... 5 3.5. Ottimiaione vincolata in tre variabili....................... 53 3.5.. Funione di tre variabili con un vincolo.................... 53 3.5.. Funione di tre variabili con due vincoli................... 55 4. Esercii 59 A. Cenni su determinante e rango di una matrice 6 A.. Determinante di una matrice quadrata........................ 6 A.. Rango di una matrice 3.............................. 6 Notaioni utiliate 63 Alfabeto greco 65 Indice analitico 67 i
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Premessa Questi appunti contengono alcuni degli argomenti di un corso di Matematica per l Economia per il corso di laurea in Economia. Gli studenti sono pregati di segnalare eventuali, inevitabili, errori all indirio di posta elettronica batmath@gmail.com. iii
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. Funioni di più variabili Ci occupiamo in questo capitolo delle funioni reali di più variabili reali. Per favorire un più proficuo approccio a questo argomento cominceremo a considerare le funioni di due variabili, per le quali esiste la possibilità di una rappresentaione grafica simile a quanto visto per il caso delle funioni di una variabile. Passeremo poi al caso delle funioni di tre o più variabili, per le quali questo tipo di rappresentaione grafica non è più possibile... Introduione illustrata alle funioni di due variabili Richiamiamo alcuni concetti fondamentali relativi alla rappresentaione delle funioni di una variabile, fissando l attenione su quanto sarà utile per affrontare con sicurea il caso di due variabili. Se consideriamo la funione che ad ogni numero reale fa corrispondere la sua metà, possiamo costruire una tabella a doppia entrata in cui su una colonna mettiamo il valore di (variabile indipendente) e sull altra il corrispondente valore di = f() (variabile dipendente). Naturalmente potremo scrivere esplicitamente la tabella solo in corrispondena a un numero finito di valori di, per esempio per alcuni valori naturali, come nella tabella.. / / 3 3/ 4 5 5/ Tabella.. Rappresentaione tabulare di una funione di una variabile I dati di questa tabella possono essere riportati in un grafico cartesiano, come nella figura.. 3 A B C D E 3 4 5 6 Figura.. Grafico cartesiano relativo alla tabella. Ci interessa osservare che questo grafico può essere desunto compattando un grafico a frecce : da ogni punto dell asse delle ascisse facciamo partire una freccia verticale fino alla quota f(),
. Funioni di più variabili Matematica per l Economia: appunti cioè fino al punto (, f() ) ; a partire da questa quota la freccia piega oriontalmente fino a incontrare l asse delle esattamente in corrispondena del valore f(), come nella figura.. 3..5..5..5 A B C D E.5 3 4 5 6 Figura.. Grafico cartesiano con frecce, relativo alla tabella. Se si riportano nel grafico della figura. anche i punti corrispondenti ai valori di che non compaiono nella tabella, si ottiene il risultato visualiato nella figura.3: i punti rappresentativi non si dispongono casualmente nel piano, ma su una linea, in questo caso su una linea retta, in casi più generali su una linea più complessa, come abbiamo già avuto modo di constatare studiando le funioni di una variabile. 3..5..5..5 A B C D E.5 3 4 5 6..5 Figura.3. Grafico della funione = /, comprendente i punti della figura. Le funioni reali di due variabili sono funioni in cui il dominio è un sottoinsieme di R e il codominio è l insieme R dei numeri reali. Se indichiamo con (, ) un generico punto di R, ovvero una generica coppia di numeri reali (è questa coppia che costituisce la variabile indipendente), e indichiamo con il numero reale corrispondente a questa coppia, potremo usare una scrittura del tipo (.) = f(, ) Se consideriamo per esempio la funione di due variabili data dalla legge f(, ) = +, potremo ancora costruire una tabella come la., ma dovremo utiliare tre colonne: due per le variabili indipendenti e una per la variabile dipendente. Naturalmente anche qui la tabella potrà essere effettivamente costruita solo per alcune coppie di valori (, ). Luciano Battaia
Matematica per l Economia: appunti.. Introduione illustrata alle funioni di due variabili Quello che si ottiene è un insieme di terne di numeri e le terne di numeri possono essere rappresentate nello spaio dove si sia introdotto un sistema di 3 assi cartesiani ortogonali, O. + 3 3 3 4 3 Tabella.. Rappresentaione tabulare di una funione di due variabili Scegliamo, come è tradiione, di rappresentare le coppie (, ) che stanno nel dominio di f sul piano O. Da ciascuno di questi punti facciamo partire una freccia verticale fino alla quota f(, ), cioè fino al punto (,, f(, ) ) ; a partire da questa quota la freccia piega oriontalmente fino a incontrare l asse in corrispondena al valore f(, ), come mostra la figura.4 per un singolo punto (, ) del dominio.,, f, f,, O Figura.4. Procedimento per tracciare il grafico di una funione di due variabili Naturalmente, come già per le funioni di una variabile, scegliamo alcuni punti nel dominio, per esempio quelli individuati da una griglia tracciata nel piano O, e da ognuno innaliamo la freccia fino alla quota f(, ): ne viene un boschetto di frecce, come nella figura.5. Luciano Battaia 3
. Funioni di più variabili Matematica per l Economia: appunti O Figura.5. Un boschetto di frecce Nei casi che interesseranno, le punte delle frecce, cioè i punti di coordinate (,, f(, ) ), non si distribuiscono a casaccio nello spaio, ma su una superficie, che possiamo evideniare per esempio con una piastrellatura. O Figura.6. Una superficie-grafico 4 Luciano Battaia
Matematica per l Economia: appunti.. Introduione illustrata alle funioni di due variabili Per rendere più significativo il grafico si possono introdurre anche coloraioni come nella figura.7.,, f, f,, O Figura.7. Uso di coloraioni per le superfici-grafico Non tutte le caratteristiche che si evideniano nel grafico delle funioni di una variabile potranno essere trasferite ai grafici di funioni di due variabili; per esempio non avrà alcun senso parlare di crescena o decrescena, mentre potremo ancora considerare (e la cosa sarà per noi della massima importana) i concetti di di massimo e minimo (relativo o assoluto). Come suggerisce la figura.8, potremo usare l appellativo monte e cima per riferirci ai massimi, l appellativo valle e fondovalle per riferirci ai minimi...5..5 Figura.8. Massimi e minimi in una funione di due variabili Luciano Battaia 5
. Funioni di più variabili Matematica per l Economia: appunti La figura.9 mostra, come ulteriore esempio, una situaione in cui sono presenti due monti e una valle. Valori sull'asse Valori sull'asse Valori sull'asse Figura.9. Una funione con due monti e una valle In queste figure non sono tracciati gli assi con le stesse convenioni usate per le funioni di una variabile, per non complicare il grafico: è una scelta che si fa normalmente nei grafici tridimensionali, dove si racchiude la parte di superficie che interessa in un bo, riportando sugli spigoli i valori delle variabili sui tre assi. A volte, invece di tracciare sulla superficie una piastrellatura che riproduca la griglia del piano O, conviene tracciare altre linee. Una delle scelte più comuni è quella delle linee di livello, o linee di quota: si tratta di evideniare sulla superficie tutti i punti che si trovano a una determinata quota, punti che nelle situaioni comuni si distribuiscono su una linea che si può pensare ottenuta intersecando la superficie con un piano oriontale (parallelo al piano O). La figura. mostra alcune di queste linee per la stessa superficie della figura.9. 6 Luciano Battaia
Matematica per l Economia: appunti.. Introduione illustrata alle funioni di due variabili Figura.. Linee di livello La consideraione delle linee di livello consente di costruire un rappresentaione grafica bidimensionale della stessa superficie: sarà sufficiente raccogliere tutte queste linee sul piano O e magari usare colori via via più chiari per indicare le cime e via via più scuri per indicare le valli. Si tratta della convenione che viene normalmente adottata nelle carte geografiche. Si può vedere questa rappresentaione per la stessa superficie della figura.9 nella figura.. 3 3 Figura.. Linee di livello raccolte sul piano O La figura. mostra come si ottiene una delle linee di livello mediante interseione della superficie con un piano oriontale. Luciano Battaia 7
. Funioni di più variabili Matematica per l Economia: appunti - - - Figura.. Seione di una superficie con un piano oriontale Ritornando alla piastrellatura della figura.9, possiamo osservare che le linee della piastrellatura non sono altro che le interseioni della superficie con piani verticali paralleli o al piano O o al piano O. - - - - - - Figura.3. Seione di una superficie con piani verticali paralleli a O e a O Nel seguito saremo interessati a considerare anche questo tipo di seioni. Osserviamo anche esplicitamente che i massimi e minimi per funioni di due variabili godono di proprietà grafiche simili a quelle delle funioni di una variabile: per le funioni di una variabile (opportunamente regolari e in particolare sena spigoli) nei massimi e minimi interni al dominio la retta tangente al grafico risultava oriontale, ovvero parallela all asse ; per le funioni di due variabili (sempre opportunamente regolari) nei massimi e minimi interni al dominio sarà il piano tangente ad essere oriontale, cioè parallelo al piano O. Le immagini della figura.4 mostrano i piani tangenti in corrispondena di un massimo e di un minimo; la prima immagine mostra la superficie vista dall alto, la seconda vista dal basso, per evideniare meglio i piani tangenti. 8 Luciano Battaia
Matematica per l Economia: appunti.. Introduione illustrata alle funioni di due variabili..5..5..5..5 Figura.4. Piani tangenti in un punto di massimo e in un punto di minimo Trattando le funioni di una variabile, oltre ai massimi e minimi, abbiamo considerato anche i flessi a tangente oriontale (come caso particolare di quelli a tangente obliqua). Non esiste nulla di simile per le funioni di due variabili, nella quali però compare un fenomeno completamente nuovo: i punti di sella, dove, come vedremo, la situaione è decisamente più complessa che non con i flessi in una variabile. Figura.5. Un flesso a tangente oriontale Per le funioni di una variabile l idea fondamentale (per funioni regolari) è che un punto di flesso (in particolare a tangente oriontale) è un punto dove si ha un cambio di concavità. Completamente diversa la situaione per funioni di due variabili: si definisce punto di sella un punto in cui il piano tangente è oriontale e in cui vale la seguente proprietà: se passiamo per il punto in certe direioni il punto si presenta come un massimo, mentre in certe direioni si presenta come un minimo. Geograficamente un punto di sella corrisponde a un valico di montagna: per chi lo attraversa il valico è il punto più alto, per chi invece segue il crinale da una cima all altra è il punto più basso. Il nome punto di sella ricorda proprio la sella di un cavallo: il punto in cui il cavaliere è seduto è un massimo nella direione destra-sinistra, è un minimo nella direione avanti-dietro. Osserviamo anche che se su una normale sella di cavallo dovesse sedersi una scimmia, essa avrebbe difficoltà a sistemare la coda; esistono anche situaioni in cui la superficie ha un punto in cui potrebbe sedersi una scimmia, facendo posto sia alle gambe che alla coda (anche se non si conoscono cavalli su cui fissarla!), e si potrebbe parlare in questo caso di selle di scimmia. La figura.6 mostra una sella nel senso ordinario del termine, con evideniate due direioni lungo le quali sulla superficie si ha un massimo e un minimo rispettivamente. La figura.7 mostra invece un Luciano Battaia 9
. Funioni di più variabili Matematica per l Economia: appunti punto a sella di scimmia su una superficie, e qui non si hanno direioni lungo le quali si ha un massimo e direioni lungo le quali si ha un minimo: dal punto di vista formale la situaione è ancora più complessa..5..5...5.5....5..5. Figura.6. Una sella di cavallo..5..5...5..5...5..5 Figura.7. Una sella di scimmia. Luciano Battaia
Matematica per l Economia: appunti.. Qualche esempio significativo.. Qualche esempio significativo Proponiamo alcuni esempi di grafici di funioni di due variabili, che ci saranno utili nel seguito. Le figure rappresentano le superfici sia utiliando una piastrellatura che curve di livello.. Piano = + 3, o anche + 3 =. 5 5 5 5 Figura.8. Piano = + 3. Paraboloide = +. Si tratta della superficie ottenuta per rotaione della parabola =, attorno all asse. Le sue curve di livello sono circonferene con centro sull asse. 4 4 3 3 Figura.9. Paraboloide = + Luciano Battaia
. Funioni di più variabili Matematica per l Economia: appunti 3. Paraboloide a seione ellittica: = 3 +. Superficie simile a quella della figura.9, ma con curve di livello a seione ellittica con centro sull asse. 4 4 3 3..5..5...5..5. Figura.. Paraboloide a seione ellittica: = 3 + 4. La sella =. 4 4 4 4 Figura.. La sella = Luciano Battaia
Matematica per l Economia: appunti.. Qualche esempio significativo 5. La superficie =. Si tratta della superficie ottenuta traslando la parabola = lungo l asse delle. 4 4 - - -4-4 5 5 5 5-4 -4 - - 4 4 Figura.. La superficie = 6. La superficie = e +. Molto simile a un paraboloide, ma si osservi la grande differena di unità di misura tra gli assi e da un lato e l asse dall altro. Si noti anche che, in questo caso, il vertice si trova a quota sull asse, mentre nel paraboloide si trova sull origine. - - 5 5 5 5 - - Figura.3. La superficie = e Luciano Battaia + 3
. Funioni di più variabili Matematica per l Economia: appunti.3. Funioni reali di tre o più variabili Il passaggio dalle funioni reali di una variabile a quelle di due variabili ha comportato alcune difficoltà, come per esempio la rinuncia alla possibilità di parlare di funioni crescenti e decrescenti (), tuttavia le loro caratteristiche importanti possono ancora essere illustrate utiliando un grafico cartesiano. Quando si passa a trattare le funioni reali di tre o più variabili le cose si complicano in quanto per tabulare una funione, per esempio, di tre variabili abbiamo bisogno di quattro colonne: tre per le variabili indipendenti e una per la variabile dipendente. Una rappresentaione grafica necessiterebbe dunque di uno spaio a quattro dimensioni, che non è possibile visualiare mediante illustraioni, anche se la trattaione matematica è perfettamente legittima. Le cose si complicano ulteriormente aumentando il numero di variabili. Nonostante questo è ancora possibile parlare di massimi e minimi (relativi o assoluti), ovvero di problemi di ottimiaione che sono quelli che interessano maggiormente l economia. Per le funioni di tre o più variabili possiamo usare notaioni simili alla., usata per il caso di due variabili. Avremo naturalmente necessità di introdurre nuove lettere per le variabili indipendenti, che aumentano di numero. È più utile però utiliare la con un indice per indicare le variabili indipendenti e la per indicare la variabile dipendente: (.) = f(, ), = f(,, 3 ), = f(,, 3, 4 ),....4. Richiami sui vettori. Definiione.. Si dice vettore n-dimensionale, o semplicemente vettore, una n-upla ordinata di numeri reali: u = (u, u,..., u n ). L insieme dei vettori n-dimensionali si indica con R n : esso non è altro che il prodotto cartesiano di R per se stesso n-volte. Due vettori (u, u,..., u n ) e (v, v,..., v n ) sono uguali se e solo u = v,..., u n = v n. Il vettore = (,,..., ) (cioè l n-upla costituita da tutti eri), si chiama vettore nullo di R n. Definiione.. Dati due vettori u = (u, u,..., u n ) e v = (v, v,..., v n ) si chiama loro somma il vettore u + v = (u, u,..., u n ) + (v, v,..., v n ) = (u + v, u + v,..., u n + v n ). Definiione.3. Dato un vettore u = (u, u,..., u n ) di R n e un numero reale k si chiama prodotto del vettore u per il numero reale k il vettore k u = (ku, ku,..., ku n ) Nell insieme R n si possono dunque eseguire due operaioni, la somma, detta operaione interna perché sia i due addendi che il risultato sono vettori, e la moltiplicaione per un numero (si dice anche moltiplicaione per uno scalare), detta operaione esterna perché dei tre oggetti coinvolti (due in partena e uno in arrivo) uno non è un vettore. Per l operaione di somma tra vettori valgono le usuali proprietà della somma tra numeri: commutativa, associativa, esistena dell elemento neutro (il vettore nullo) e dell opposto (che si indica con u). Per l operaione di prodotto per un numero valgono alcune proprietà, simili (ma ovviamente non identiche perché qui moltiplico tra di loro oggetti diversi: un numero e un vettore) alle proprietà del prodotto fra numeri. Ulteriori difficoltà si incontreranno, come vedremo, con il concetto di derivata. 4 Luciano Battaia
Matematica per l Economia: appunti.4. Richiami sui vettori. (h + k) u = h u + k u, h( u + v) = h u + h v (proprietà distributive).. h(k u) = (hk) u. 3. u =, u = u, u = u. In molte situaioni conviene scrivere i vettori con gli elementi disposti su una colonna aniché su una riga: u u u =.. u n Nell insieme dei vettori si introduce una ulteriore operaione, come precisato nella seguente definiione. Definiione.4. Dati due vettori u = (u, u,..., u n ) e v = (v, v,..., v n ) si chiama loro prodotto scalare il numero reale u v = u v + u v + + u n v n. Si noti che anche questa operaione è esterna, perché dei tre oggetti coinvolti l ultimo, cioè il risultato, non è un vettore. Esempio.. Una fabbrica produce tre oggetti, P, P, P 3, venduti al preo unitario di 3, 5, e 4 rispettivamente, e ha tre stabilimenti, A, B, C, che producono le seguenti quantità dei tre oggetti: A B C P 5 8 P 6 3 P 3 5 8 5. Possiamo introdurre un vettore di produione per ciascuno stabilimento: 5 8 A = 6, B =, C = 3, 5 8 5 e un vettore preo unitario : Il totale della produione sarà Il ricavo di ciascuno stabilimento sarà: p = 3 5 4. T = A + B + C = 3 9 58. A p = 5, B p = 37, C p = 35. Il ricavo totale si potrà ovviamente trovare o sommando i tre ricavi o facendo T p: si tratta di un semplice esempio di applicaione della proprietà distributiva del prodotto scalare. Ci interesserà anche nel seguito il concetto di norma di un vettore. Luciano Battaia 5
. Funioni di più variabili Matematica per l Economia: appunti Definiione.5. Dato un vettore u = (u, u,..., u n ), chiameremo norma di u il numero reale positivo (.3) u = u + u + + u n. Diremo poi versore un vettore di norma. Al posto di norma si può anche usare la dicitura modulo, anche se non bisogna fare confusione con il modulo di un numero reale. Utiliando le notaioni vettoriali potremo anche uniformare le scritture delle funioni: (.4) = f( ). Naturalmente dovrà essere chiaro dal contesto se = (, ) oppure = (,, 3 ), ecc. A volte sarà utile chiamare punti gli elementi di R n, ed indicarli con P, Q,... : (.5) P = (, ), P = (,, 3 ),... Potremo anche scrivere f(p ) al posto di f( ). Nel caso n = i punti sono semplicemente numeri reali..5. Operaioni sulle funioni Come per le funioni di una variabile, anche le funioni di più variabili si possono sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere (quest ultima operaione con le solite limitaioni sul denominatore): in effetti sommare, sottrarre, moltiplicare o dividere due funioni reali significa eseguire queste operaioni sul codominio, che, per i casi che abbiamo considerato noi, rimane sempre R. Ci interessa esaminare in dettaglio un altra operaione importante sulle funioni e precisamente la composiione di due funioni: date due funioni f e g si tratta di farle agire in successione, ovvero usare il risultato della prima (in termini informatici diremmo l output) come input per la seconda, ottenendo alla fine il risultato voluto. Se la prima funione è f e la seconda funione è g allora la composta si indica con g f e il risultato (output) finale si indica con g(f()): si presti particolare attenione al fatto che la prima funione è la più interna nella scrittura, la seconda la più esterna. Per rendere ancora più chiara la successione delle operaioni si potranno anche usare scritture del tipo (.6) f f() g g(f()) oppure A f B C g D, dove A e B sono il dominio e codominio di f, C e D il dominio e codominio di g. Per poter eseguire questa operaione l insieme immagine della prima funione deve essere contenuto nel dominio della seconda, altrimenti la composiione non si può fare. Già nel caso di funioni di una variabile si presentava questo problema, che comunque poteva di norma essere risolto con opportune restriioni. Per esempio se la prima funione è f() = e la seconda è g() =, la composta non si può fare a cuor leggero perché se, per esempio, =, la prima dà come risultato, che non può essere dato in pasto alla seconda. Il problema può essere risolto semplicemente restringendo il dominio di f agli. Ben diverso il caso quando si passa a considerare funioni reali di più variabili. Se per esempio f eg sono funioni di due variabili (f, g : R R) non si potrà in alcun modo considerare la composta: il risultato di ciascuna delle due è un unico numero reale, che non può far parte del 6 Luciano Battaia
Matematica per l Economia: appunti.6. Cenno su limiti e continuità dominio dell altra, che è in ogni caso costituito da coppie di numeri reali. Se invece f è una funione di due variabili (f : R R) e g una funione di una variabile (g : R R) si potrà (salvo opportune restriioni) considerare la funione g f, mentre non avrà alcun senso f g: questo risulta chiaro da una scrittura come quella della (.6). (, ) f f(, ) g g(f(, )) oppure R f R g R. Esempio.. Siano f(, ) = + 3 3 e g() = sin. Allora (g f)(, ) = g(f(, )) = sin( + 3 3 ). La costruione della funione composta non richiede alcuna necessità di restriioni sul dominio di f. Esempio.3. Siano f(, ) = + e g() =. Allora (g f)(, ) = g(f(, )) = +, ma la costruione della funione composta richiede una restriione sul dominio di f: occorre che +, ovvero occorre considerare solo i punti esterni alla circonferena di centro l origine e raggio, con l aggiunta dei punti della stessa circonferena. In generale, per i tipi di funioni a cui siamo interessati in questo corso, potremo solo considerare composiioni in cui la funione più interna sia una f : R n R e la funione più esterna sia una g : R R: (.7) R n f g R R, R n g f R. L effettiva costruibilità della funione composta può comportare restriioni sul dominio di f..6. Cenno su limiti e continuità Per poter parlare di limiti e continuità per funioni di più variabili occorre introdurre i concetti di distana e di intorno. Definiione.6. Dati due punti P = (,,..., n ) e Q = (,,..., n) di R n, diremo loro distana il numero reale positivo (.8) d(p, Q) = ( ) + ( ) + + ( n n). Si tratta nella sostana della generaliaione della usuale distana tra due punti determinata con il teorema di Pitagora. Definiione.7. Dato un punto P di R n, diremo palla o palla aperta di centro P e raggio r l insieme di tutti i punti che hanno da P distana minore di r; diremo palla chiusa di centro P e raggio r l insieme di tutti i punti che hanno da P distana minore o uguale a r. Luciano Battaia 7
. Funioni di più variabili Matematica per l Economia: appunti Se n = una palla è semplicemente un intervallo che ha centro su P, se n = è un cerchio di centro P, se n = 3 una sfera di centro P, se n > 3 non ne possiamo dare un interpretaione geometrica: potremo parlare di ipersfera di centro P. Definiione.8. Dato un punto P di R n diremo intorno di P una qualunque palla aperta cui P appartiene. Indicheremo con I(P ) un generico intorno di un punto P. Definiione.9. Dato un sottoinsieme A di R n, un punto P di R n si dice di accumulaione per A se in ogni intorno di P cadono infiniti punti di A. Esattamente come succedeva nel caso di R, un punto di accumulaione può appartenere o no all insieme A. Esempio.4. Sia A R, A = { (, ) R (, ) (, ) } (A è l insieme dei punti del piano diversi dall origine). Allora tutti i punti del piano (compresa l origine che non appartiene all insieme) sono di accumulaione per A. Questo insieme è il dominio, per esempio, della funione f(, ) = +. Esempio.5. Sia A R, A = { (, ) R } (A è l insieme dei punti del piano fuori dagli assi). Allora tutti i punti di A sono di accumulaione per A (e appartengono all insieme), ma anche tutti i punti sui due assi sono di accumulaione (e questi non appartengono all insieme). Questo insieme è il dominio, per esempio, della funione f(, ) = +. A questo punto la definiione di limite che è stata data per funioni di una variabile può essere estesa quasi con le stesse parole anche al caso di R n. Unica differena importante è che in R n non si possono introdurre i concetti di + e : si può parlare solo genericamente di punti all (sena segno), e si può chiamare intorno di in R n l esterno di una qualunque palla centrata sull origine. Con questa precisaione si può ripetere quasi pari pari la definiione data per funioni di una variabile. Definiione. (Limite in più variabili). Sia data una funione f(p ), di dominio D, e sia P un punto di accumulaione per D (non essendo escluso che P possa essere l infinito). Diremo che l (non essendo escluso che l possa essere uno dei due simboli di infinito () ) è il limite di f(p ) per P tendente a P, e scriveremo (.9) lim P P f(p ) = l se, scelto un arbitrario intorno I l di l, è possibile trovare in corrispondena un opportuno intorno I(P ) di P, in modo tale che i valori della funione calcolati in I(P ), tranne P stesso, cadano in I l. Valgono tutti i teoremi sui limiti, opportunamente adattati, e in particolare le regole di calcolo sulla retta reale estesa (ricordiamo che le funioni di più variabili hanno dominio in R n, ma codominio in R, esattamente come le funioni di una variabile). Si può anche introdurre il concetto di funione continua con una definiione sostanialmente identica a quella data per le funioni di una variabile. Il valore l del limite appartiene alla retta reale estesa, in quanto la funione f ha come codominio R. 8 Luciano Battaia
Matematica per l Economia: appunti.7. Rette, piani, iperpiani Definiione. (Continuità in più variabili). Sia data una funione f(p ), di dominio D, e sia P un punto di accumulaione per D, appartenente a D. La funione f si dice continua in P se lim P P f(p ) = f(p ). Anche qui è come dire che una funione è continua se il calcolo del limite si può fare semplicemente sostituendo P al posto di P nell espressione della funione: una bella facilitaione, se si riesce a scoprire a priori quali sono le funioni continue! E anche qui si può dimostrare che tutte le funioni costruite con tecniche elementari sono continue in tutti i punti del loro dominio. Purtroppo al di fuori delle funioni continue il calcolo dei limiti per funioni di più variabili è estremamente complesso e non alla portata di questo corso, per cui non ce ne occuperemo..7. Rette, piani, iperpiani Ricordiamo che una retta non verticale nel piano ha equaione = m + q, dove q rappresenta l ordinata (o quota) all origine mentre m dà la pendena o inclinaione della retta rispetto all asse delle. Una retta verticale (parallela all asse ) ha invece equaione = k. Le rette oriontali hanno equaioni del tipo = k, e quindi hanno m =, cioè pendena nulla, come è evidente. Per rendersi conto di questi fatti basta pensare che i punti appartenenti a rette verticali hanno tutti la stessa ascissa, mentre quelli appartenenti a rette oriontali hanno tutti la stessa ordinata. Per memoriare rapidamente queste proprietà si può osservare che nelle rette parallele all asse manca la, in quelle parallele all asse manca la. Passando allo spaio possiamo cominciare a considerare le equaioni di piani paralleli a uno dei piani coordinati, ottenendo = k per i piani (verticali) paralleli al piano O, = k per i piani (verticali) paralleli al piano O e infine = k per i piani (oriontali), paralleli al piano O. Anche qui per rendersi conto di questi fatti basta tenere conto che se un piano è parallelo, per esempio, al piano O, tutti i suoi punti hanno la stessa ; analogamente per gli altri casi. La figura.4 illustra queste tre situaioni. Ancora una volta per memoriare rapidamente queste proprietà si può osservare che nei piani paralleli al piano O mancano la e la, nei piani paralleli al piano O mancano la e la, nei piani paralleli al piano O mancano la e la. k k O O O k Figura.4. Piani = k, = k, = k, rispettivamente Passando ora a considerare piani non verticali, per ottenerne l equaione possiamo considerare la generaliaione dell equaione di una retta non verticale; se teniamo conto che ora la variabile dipendente, cioè la quota, si indica abitualmente con, otterremo una equaione del tipo (.) = m + n + q, Luciano Battaia 9
. Funioni di più variabili Matematica per l Economia: appunti dove q rappresenta la quota all origine. Per il significato di m ed n possiamo ragionare come segue (questo tipo di ragionamento ci sarà utile anche nel seguito). Se consideriamo un piano del tipo = m+n +q e lo intersechiamo con il piano = (cioé con il piano O), otteniamo una retta del piano O, di equaione = m + q. Dunque m rappresenta l inclinaione di questa retta rispetto all asse. Analogamente si prova che n rappresenta l inclinaione, rispetto all asse, della retta ottenuta intersecando = m + n + q con il piano =. Nelle due immagini della figura?? è rappresentata questa situaione per il piano di equaione = / + + /. Esaminando in dettaglio le equaioni di rette non verticali nel piano e piani non verticali nello spaio, possiamo concludere che essi sono il grafico di funioni di primo grado in una o due incognite = m + q oppure = m + n + q. Usando le notaioni che abbiamo indicato per le funioni potremo scrivere queste funioni in maniera similare: (.) = m + q oppure = m + m + q. In questo modo è immediata la generaliaione al caso di più di due variabili: (.) = m + m + + m n n + q. Le funioni del tipo. si chiamano funioni affini e, se q = (ovvero se manca il termine noto) si chiamano anche funioni lineari. Come abbiamo visto, nel caso di una variabile hanno come grafico rette non verticali, nel caso di due variabili piani non verticali, nel caso di più di due variabili parleremo di iperpiani non verticali. Se manca il termine noto le rette, i piani o gli iperpiani passano per l origine. Le funioni lineari e le funioni affini hanno una grande importana nelle applicaioni. Possiamo valutare questo fatto, a livello elementare, con un semplice esempio nel caso di una variabile. Data la funione f() = ln, la retta tangente al suo grafico nel punto di ascissa è =. Questa retta tangente ha, nei pressi del punto =, un grafico che si discosta molto poco da quello della funione logaritmo, tanto che, almeno in prima approssimaione, si può pensare di confondere il grafico del logaritmo con quello della tangente trovata: la funione logaritmo, nei pressi del punto in esame, può essere lineariata con la sua retta tangente: una bella comodità, visto che i calcoli con una funione affine sono decisamente più semplici che non con una generica funione. Figura.5. Lineariaione della funione logaritmo in un intorno di Come è noto, per funioni di una variabile questa possibilità è assicurata nel caso di funioni derivabili. Vedremo che cosa succede per funioni di più variabili..8. Linee di livello e interseioni con piani verticali Nel caso, particolarmente importante, delle funioni di due variabili per le quali è possibile una rappresentaione grafica cartesiana, hanno interesse anche le linee di livello, di cui abbiamo già parlato, e le interseioni con piani verticali. Ne diamo ora una definiione formale. Luciano Battaia
Matematica per l Economia: appunti.8. Linee di livello e interseioni con piani verticali Definiione. (Linea di livello). Data un funione f(, ) una linea di livello k, che possiamo indicare con l k, è l insieme ottenuto come soluione del sistema (.3) { = f(, ) = k, ovvero è l insieme (di solito una linea nel senso intuitivo del termine) interseione tra la superficie grafico della funione e il piano oriontale a quota k. Questa linea (essendo un equaione in due variabili) va rappresentata sul piano O (piano base), ma può anche essere tracciata direttamente sopra la superficie grafico della funione. Esempio.6. Data f(, ) =, la linea di livello k è = k: se k si tratta di una iperbole, se k =, delle due rette = ±. Tre di queste linee sono rappresentate nella figura.6. k = k = k = 5 4 3 3 4 5 Figura.6. Tre linee di livello per la funione f(, ) = Esempio.7. Data f(, ) =, la linea di livello è la parabola della figura.7 3 4 5 6 7 8 Figura.7. Linea di livello per la funione f(, ) = Come vedremo, molto utili per studiare le proprietà delle funioni di due variabili sono le linee interseione della superfice-grafico della funione con piani verticali paralleli ai piani coordinati, cioè del tipo = k e = k. Queste linee si ottengono risolvendo uno dei seguenti due sistemi: (.4) { = f(, ) = k, = f(, k) { = f(, ) = k, = f(k, ). Come è evidente nel primo caso si ottiene una funione della variabile indipendente, il cui grafico si potrà rappresentare in un piano O, nel secondo caso si ottiene una funione della variabile indipendente, il cui grafico si potrà rappresentare in un piano O. Naturalmente si potrà sempre immaginare queste curve anche tracciate direttamente sul grafico della funione. Luciano Battaia
. Funioni di più variabili Matematica per l Economia: appunti Esempio.8. Sia data la funione f(, ) = 3 4, il cui grafico è rappresentato nella figura.8 (anche se in questo contesto il grafico è poco interessante)...5..5..5..5. Figura.8. Grafico della funione f(, ) = 3 4 L interseione con il piano = / conduce alla funione (della sola variabile!) = /8, il cui grafico è (come è ben noto) una parabola (nel piano O). L interseione con il piano = / conduce alla funione (della sola variabile!) = 3, il cui grafico (nel piano O) possiamo tracciare con le note regole per studiare le funioni di una variabile. Questi due grafici sono riportati nella figura.9. Figura.9. Interseioni della superficie = 3 4 con i piani = / e = / La figura.3 mostra i piani seionanti e le due curve direttamente sulla superficie. Luciano Battaia
Matematica per l Economia: appunti.8. Linee di livello e interseioni con piani verticali.5..5..5..5..5..5..5..5... Figura.3. Le interseioni della figura.9, tracciate sulla superficie Le due funioni ottenute per interseione sono, come già notato, funioni di una sola variabile e possono essere derivate, una o più volte, per valutare quando sono crescenti, decrescenti, concave, convesse, per trovare le rette tangenti, le eventuali formule di Talor, ecc. Come vedremo queste derivate hanno interesse non solo per le curve interseione, ma anche per la funione di due variabili nel suo complesso. Luciano Battaia 3
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. Calcolo differeniale Siamo ora interessati ad estendere il concetto di derivata ed in particolare quello di retta tangente e quindi di funione affine approssimante (vedi le consideraioni a pagina ), nonché i metodi per la ricerca di massimi e minimi al caso di funioni di più variabili. Purtroppo le cose sono un po più complesse rispetto al caso di una variabile e bisogna prestare la massima attenione. Cominceremo trattando il caso delle funioni di due variabili, più semplice in quanto, come più volte ricordato, è ancora possibile una rappresentaione grafica cartesiana... Derivate pariali per funioni di due variabili Definiione. (Derivate pariali). Data una funione = f(, ) e un punto (, ) interno al suo dominio, possiamo considerare la funione, della variabile, = f(, ) = g(), ottenuta fissando al valore e lasciando variare, ovvero la funione che si ottiene intersecando la superficie = f(, ) con il piano verticale =. Possiamo ora considerare il (.) lim f(, ) f(, ), ovvero il limite del rapporto incrementale della funione = g(). Se questo esiste ed è finito, esso si chiama derivata pariale prima rispetto a della funione f, nel punto (, ), e si indica con (.) f (, ) oppure f (, ). In maniera perfettamente analoga, possiamo considerare la funione, della variabile, = f(, ) = h(), ottenuta fissando al valore e lasciando variare, ovvero la funione che si ottiene intersecando la superficie = f(, ) con il piano verticale =. Possiamo ora considerare il (.3) lim f(, ) f(, ), ovvero il limite del rapporto incrementale della funione = h(). Se questo esiste ed è finito, esso si chiama derivata pariale prima rispetto a della funione f, nel punto (, ), e si indica con (.4) f (, ) oppure f (, ). In pratica il calcolo delle due derivate pariali in un punto generico (, ) interno al dominio si fa pensando la funione f(, ) come funione di una sola delle due variabili e trattando l altra come un parametro costante. Esempio.. Da f(, ) = +4+3, si ottiene f (, ) = +4+3, f (, ) = 4+6. Esempio.. Da f(, ) = sin( + ), si ottiene f (, ) = ( + ) cos( + ), f (, ) = cos( + ). 5
. Calcolo differeniale Matematica per l Economia: appunti Esempio.3. Da f(, ) = e +, si ottiene f (, ) = e +, f (, ) = e +. Come mostrano gli esempi proposti, le derivate pariali, calcolate in un generico punto, sono esse stesse funioni di due variabili, e quindi posso riapplicare ad esse ancora la derivaione, ottenendo le derivate seconde; precisamente avendo ottenuto da una funione due derivate pariali prime, da ciascuna otterrò due derivate pariali, per un totale di quattro derivate pariali seconde della funione originaria: f sarà la derivata prima rispetto a della f ; f sarà la derivata prima rispetto a della f ; f sarà la derivata prima rispetto a della f ; f sarà la derivata prima rispetto a della f. Le prime due si chiamano derivate pariali seconde pure (), le ultime due si chiamano derivate pariali seconde miste. Esempio.4. Da f(, ) = + 4 + 3, si ottiene, come già visto, f (, ) = + 4 + 3, f (, ) = 4 + 6 e, successivamente, f (, ) =, f (, ) = 6, f (, ) = 4 + 6, f (, ) = 4 + 6. Si potrebbe naturalmente proseguire ottenendo le derivate tere, e così via, ma non saremo interessati al loro uso. Osserviamo invece che, nell esempio precedente, f (, ) = 4 + 6 = f (, ). La cosa, anche se a prima vista sorprendente, non è casuale. Vale infatti il seguente notevole teorema. Teorema. (Teorema di Schwart). Se le derivate seconde miste sono continue, allora esse sono uguali. Nei casi che ci interessano le cose andranno sempre nel senso previsto da questo teorema, ovvero le derivate seconde miste saranno sempre uguali. Come risulta dalle definiioni date, le derivate pariali sono le derivate della funione ottenuta intersecando la superficie grafico di una funione di due variabili con un piano verticale, rispettivamente parallelo all asse o all asse : come già osservato queste interseioni, nei casi che ci interessano sono delle curve, grafico di funioni di una sola variabile e quindi queste derivate pariali non sono altro che i coefficienti angolari delle rette tangenti a queste curve nel punto scelto. Le figure. e.f mostrano la superficie grafico di una funione di due variabili (), le due curve seione con due piani verticali paralleli all asse e all asse rispettivamente e, successivamente, le due rette tangenti a queste curve; nel grafico comprendente le rette tangenti abbiamo rappresentato solo una parte della superficie grafico, per maggiore chiarea. Spesso l appellativo pure si tralascia Per chi è interessato si tratta della funione f(, ) = ( + ) e +, mentre il punto scelto è il punto (.7,.3). 6 Luciano Battaia
Matematica per l Economia: appunti.. Derivate pariali per funioni di due variabili Figura.. Grafico di una funione di due variabili e due curve seione con piani verticali Figura.. Significato delle derivate pariali Nel caso delle funioni di una variabile la derivata in un punto consente la determinaione della retta tangente al grafico della funione e quindi la possibilità di approssimare, almeno in un intorno del punto scelto, la funione con una funione affine. Nel caso delle funioni di due variabili l esistena delle derivate pariali consente, come già osservato, di determinare le rette tangenti alle curve interseione tra la superficie grafico e il piano verticale parallelo al piano O oppure O. Purtroppo, in generale, questo non è sufficiente per garantire l esistena di un piano tangente (3) al grafico della superficie, cioè, anche se esistono le derivate pariali non è detto che sia possibile approssimare una funione, in un intorno del punto scelto, con una funione affine (che ha come grafico un piano). Naturalmente bisognerebbe dare un senso preciso al concetto di approssimaione e soprattutto di grado di approssimaione, ma questo esula dal contesto di questo corso e ci accontenteremo di una noione intuitiva (come del resto abbiamo fatto anche per le funioni di una variabile). Sena entrare troppo nei dettagli diremo che una funione è differeniabile in un punto se è possibile approssimarla opportunamente in un intorno del punto con una funione affine, cioè se 3 In realtà le cose sono ancora più complicate: se una funione ammette le derivate pariali in un punto non è nemmeno detto che sia continua in quel punto! Luciano Battaia 7
. Calcolo differeniale Matematica per l Economia: appunti in quel punto ammette piano tangente. Una condiione sufficiente, ma non necessaria, perché questo succeda è che le derivate pariali prime siano continue (4). Questo succede in tutti i casi di nostro interesse. In questi casi l equaione del piano tangente alla superficie grafico della funione nel punto (,, ), con = f(, ) è: (.5) = f(, ) + f (, )( ) + f (, )( ). Esempio.5. Riprendendo la funione f(, ) = +4 +3 già trattata prima e considerato il punto (, ), si ha f(, ) =, f (, ) =, f (, ) =, dunque l equaione del piano tangente in (,, ) è (.6) = + ( ) ( + ) = 3. Esempio.6. Procedendo come nell esempio precedente è facile provare che l equaione del piano tangente al grafico di =, in corrispondena al punto (, ) è: = + +. La situaione è rappresentata nella figura.3, dove sono rappresentate anche le due curve seione. 5 5 Figura.3. Superficie = e piano tangente in (, ) Per riunire in un certo senso le derivate pariali di una funione di due variabili in un unico concetto si dà la seguente definiione. Definiione.3 (Gradiente). Sia f(, ) una funione di due variabili e sia P = (, ) un punto del suo dominio dove esistono entrambe le derivate pariali. Si chiama gradiente della funione f nel punto P il vettore f(, ) = ( f (, ), f (, ) ). La scrittura f si legge nabla f o anche del f. Questo concetto ci servirà anche tra poco per parlare di derivata direionale. 4 Si noti che, mentre l esistena delle derivate pariali coinvolge solo i valori della funione sulla seione con un piano verticale per il punto scelto, cioè su un intorno unidimensionale del punto, la continuità delle stesse coinvolge invece tutto un intorno bidimensionale del punto. 8 Luciano Battaia
Matematica per l Economia: appunti.. Derivate direionali per funioni di due variabili.. Derivate direionali per funioni di due variabili Data una funione di due variabili e un punto P = (, ) del suo dominio abbiamo introdotto le derivate pariali considerando le seioni verticali del suo grafico con piani paralleli all asse e all asse. Possiamo generaliare questo procedimento considerando le seioni con piani verticali passanti per il punto, ma non paralleli a nessuno dei due assi: otterremo ancora generalmente una curva tracciata sulla superficie grafico della funione, e potremo ancora cercarne la tangente nel punto sul grafico corrispondente a P. Prima di dare la definiione formale vediamo una illustraione riferita sempre alla stessa funione e allo stesso punto considerato nelle figure. e.. Anche in questo caso, nella illustraione della tangente abbiamo visualiato solo una parte della superficie grafico, per maggiore chiarea. Figura.4. Grafico di una funione di due variabili e curva seione con un piano verticale non parallelo agli assi e Figura.5. Tangente alla curva seione della figura.4 Per introdurre in modo formale questo concetto consideriamo nel piano un punto P = (, ) e un versore v = (v, v ). È facile verificare (e comunque noi lo daremo per noto) che per ogni numero reale h il punto P = ( + hv, + hv ) Luciano Battaia 9
. Calcolo differeniale Matematica per l Economia: appunti appartiene alla retta passante per P e parallela al vettore v e ani, facendo variare h su tutto R, si ottengono tutti i punti di questa retta. Si veda per un esempio la figura.6 dove ( 3 P = (, ) e v = 5, 4 ). 5 3 P = ( +v, +v ) P = ( +v, +v ) v = (v,v ) P = (, ) 3 4 5 6 P 3 = ( v, v ) Figura.6. Retta per un punto e parallela ad un versore Si noti che se v = (, ) la retta risulta parallela all asse, se v = (, ) la retta risulta parallela all asse. Data ora una funione f(, ), un punto P = (, ) interno al suo dominio e un versore v = (v, v ), possiamo considerare la funione, della variabile h, g(h) = f( + hv, + hv ). Al variare di h i valori di questa funione forniscono le quote dei punti del grafico di f, in corrispondena ai punti della retta passante per P e parallela al versore v. Naturalmente h dovrà essere tale che il punto ( + hv, + hv ) non esca dal dominio della funione f. Poiché saremo interessati al limite per h e poiché il punto P è interno al dominio non ci sono problemi. Si dà allora la seguente definiione Definiione.4 (Derivata direionale). Si chiama derivata direionale della funione f nel punto P e secondo la direione orientata di v il g(h) g() f( + hv, + hv ) f(, ) (.7) lim = lim, h h h h se questo limite esiste finito. Questa derivata si indica con la scrittura (.8) f v (, ). Se v = (, ) la derivata direionale non è altro che la derivata pariale rispetto alla, mentre se v = (, ) la derivata direionale non è altro che la derivata pariale rispetto alla. Il concetto di derivata direionale dunque è una generaliaione di quello di derivata pariale. L esistena della derivata direionale secondo una data direione garantisce la possibilità di tracciare la tangente alla curva interseione del grafico di f con il piano verticale contenente la retta per P e parallela a v. Come abbiamo già avuto modo di segnalare, la sola esistena delle derivate pariali non garantisce la possibilità di tracciare il piano tangente alla superficie grafico di una funione. 3 Luciano Battaia
Matematica per l Economia: appunti.3. Derivaione delle funioni composte Purtroppo nemmeno l esistena delle derivate direionali secondo tutte le direioni (5) garantisce la possibilità di tracciare questo piano tangente: anche se la cosa può sembrare sconcertante, seionando il grafico di una funione di due variabili con una piano verticale qualunque passante per un punto P si può sempre ottenere una curva dotata di tangente, sena che vi sia un piano tangente alla superficie nel suo complesso. Non saremo comunque interessati a situaioni così patologiche. Segnaliamo invece che si dimostra che se una funione è differeniabile in un punto essa ammette derivate direionali in quel punto secondo ogni direione orientata, quindi in particolare anche le derivate pariali. Esempio.7. Sia f(, ) = una funione di due variabili, P = (, ) e v = ( 4 /5, 3 /5). Si ha ( g(h) = f( + hv, + hv ) = f + h 4 ) 5, + h4 = 3 + 7 5 5 h + h, g() = f(, ) = 3. Quindi ( ) g(h) g() 7 lim = lim h h h 5 h + = = f (, ). v Per le derivate direionali vale il seguente importante teorema, che facilita enormemente il calcolo delle derivate direionali. Teorema.5. Sia f(, ) una funione differeniabile (6) in un punto P interno al suo dominio e sia v un versore. Allora la derivata direionale di f nel punto P, secondo la direione orientata di v è il prodotto scalare tra il gradiente della funione nel punto e il versore v: (.9) f v (, ) = f(, ) v = f (, )v + f (, )v. Esempio.8. Riprendiamo in esame l esempio.7. Essendo si ha f = e f =, da cui f (, ) = 4 e f (, ) =, ( f 4 (, ) = (4, ) v 5, 3 ) = 6 5 5 6 5 =, esattamente come avevamo ottenuto per calcolo diretto in base alla definiione..3. Derivaione delle funioni composte Trattando le funioni di una variabile abbiamo già considerato la regola di derivaione delle funioni composte, regola particolarmente importante nelle applicaioni, in quanto la quasi totalità delle funioni di uso comune è costruita componendo opportunamente le funioni elementari. Richiamiamo, per completea, quella regola. Teorema.6. Siano f e g due funioni derivabili di una variabile, tali che sia possibile costruire la funione composta h = g f, ovvero h() = g(f()). Si ha allora (.) h () = g (f())f (). 5 Come segnalato già trattando le derivate pariali, purtroppo le cose sono ancora più complicate: l esistena delle derivate direionali secondo tutte le direioni non garantisce nemmeno la continuità della funione nel punto in esame! 6 Ricordiamo che una funione è differeniabile se il suo grafico ammette piano tangente in corrispondena al punto P e che una condiione sufficiente per questo è che le derivate pariali siano continue. Luciano Battaia 3