LA DURATION E LA GESTIONE DEL PORTAFOGLIO OBBLIGAZIONARIO

LA DURATION E LA GESTIONE DEL PORTAFOGLIO OBBLIGAZIONARIO FLAVIO ANGELINI Sommario. In queste note si vuole mostrare come la Duration venga utilizzata quale strumento per la gestione del portafoglio obbligazionario. La logica operativa è esposta in maniera schematica per motivi di chiarezza e per evidenziare i concetti fondamentali. Le definizioni e i concetti di base relativi alla duration, per i quali si fa riferimento al libro di testo del corso (1), sono date per assunte. Si consiglia di approfondire le questioni di calcolo tramite le cartelle excel suggerite. 1. Richiami sulla duration di portafoglio Si ricorda che la Duration di un portafoglio è facilmente calcolabile a partire dalle Duration dei titoli presenti nel portafoglio ((1), Formula (10.16) ). In particolare, se X e Y sono due titoli o portafogli e α X e α Y indicano il numero di quote rispettivamente di X e di Y detenute, si ha che (1.1) D(α X X + α Y Y ) = α X V (X) V (α X X + α Y Y ) D(X) + α Y V (Y ) D(Y ). V (α X X + α Y Y ) Si è indicato con V ( ) il valore all istante di valutazione di un titolo o portafoglio cosicché il termine V (α X X + α Y Y ) = α X V (X) + α Y V (Y ) rappresenta il valore totale del portafoglio, mentre i termini α X V (X) e α Y V (Y ) rappresentano i soldi investiti rispettivamente in X e in Y. I pesi o percentuali investite rispettivamente nel titolo X e nel titolo Y sono p X = α X V (X) V (α X X + α Y Y ), p Y = α Y V (Y ) V (α X X + α Y Y ). Cosicché, se il valore dell investimento all istante di valutazione viene denotato con C, e dunque C = α X V (X) + α Y V (Y ), 1

2 FLAVIO ANGELINI le percentuali sono p X = α XV (X) e p C Y = α Y V (Y ). Indicando con (p C X, p Y ) il portafoglio, si ha ((1), Formula (10.16)) (1.2) D((p X, p Y )) = p X D(X) + p Y D(Y ). Si osservi che una delle due percentuali, ad esempio p X, può essere negativa. Ciò significa che il titolo X è stato venduto allo scoperto per investire il ricavato sul titolo Y e dunque p Y è maggiore del 100%, ovvero si sta investendo su Y più del capitale posseduto. Nel caso entrambi i pesi siano positivi, sono ovviamente entrambi minori di 1. In questo caso, dalla (1.2) si vede che la duration del portafoglio D((p X, p Y )) è un numero compreso tra D(X) e D(Y ) e sarà tanto più vicino a D(X) quanto maggiore è p X e viceversa. Nel caso particolare che D(X) = D(Y ) allora qualunque siano p X e p Y. D(α X X + α Y Y ) = (p X + p Y )D(X) = D(X) Esempio 1.1. Un investitore ha C = 100 mila euro investiti in due titoli, un titolo X che costa 1 per ogni quota acquistata e un titolo Y che costa 1.017 per ogni quota acquistata. L investitore possiede α X = 40 mila quote di X e α Y = 59 mila quote di Y. Dunque la percentuale di capitale investita in X è p X = 40000 1 100000 = 40% e la percentuale investita in X è 59000 1.017 p Y = 60%. 100000 Se D(X) = 2 e D(Y ) = 4 si ha che la duration del portafoglio è D((40%, 60%)) = 0.4 2 + 0.6 4 = 3.2. 2. Strategie di gestione Una strategia di gestione di un portafoglio, in particolare quello obbligazionario di cui ci stiamo occupando, è finalizzata alla riduzione delle perdite dovute a movimenti avversi del mercato. Dato che la Duration misura l intensità delle perdite, si cerca di tenere la Duration corta. Nel caso di operazioni di investimento, si ha anche l obiettivo di aumentare i guadagni. Per raggiungere tali obiettivi, il gestore monitora e modifica la composizione del portafoglio seguendo in sostanza la seguente filosofia: Se si prevede un aumento dei tassi si accorcia la Duration, cioè la si rende più breve modificando la composizione del portafoglio. Questa procedura consente di limitare le perdite.

LA DURATION 3 Se si prevede un ribasso dei tassi si allunga la Duration, cioè si rende più lunga. Ciò consente di amplificare i guadagni. Per calcolare in modo preciso le modifiche da apportare al portafoglio per operare la strategia descritta, si possono usare le formule (1.1) o (1.2). Vediamo come: il gestore ha un capitale C investito in un portafoglio di titoli X. Al momento del monitoraggio dunque tutto il capitale è investito in X. Il gestore conosce bene la duration D(X) di X, ma ora vuole modificare il portafoglio in maniera da cambiarla. Indichiamo con D il livello di duration che il gestore si propone. Come visto potrebbe essere D > D(X) o D < D(X) a secondo delle sue previsioni sui tassi. Le dinamiche precise della scelta di D sono aldilà degli scopi di queste note e fanno parte delle capacità di gestione. Il gestore dovrà dunque acquistare e vendere titoli. Supponiamo per fissare le idee che il gestore abbia selezionato un titolo Y da acquistare 1. Quanta percentuale p Y dovrà investire in Y per raggiungere il livello di duration D? La risposta è molto semplice: ricordando che p X = 1 p Y e usando la formula (1.2), la duration del nuovo portafoglio in funzione di p Y è D((p X, p Y )) = (1 p Y )D(X) + p Y D(Y ). Dato che si richiede che la nuova duration D((p X, p Y )) sia D, p Y dovrà soddisfare (2.1) D = (1 py )D(X) + p Y D(Y ) e dunque si ricava (2.2) p Y = D D(X) D(Y ) D(X) Appare chiaro dalle formule che se si vuole allungare la duration D > D(X) e non si vogliono effettuare vendite di Y, si dovrà usare un titolo Y che ha duration D(Y ) > D(X), altrimenti p Y verrebbe negativo. Simmetricamente, se si vuole D < D(X), si cercherà un titolo con D(Y ) < D(X). Si osservi inoltre che se D(Y ) = D(X) la duration non si riesce a modificare. Esempio 2.1. ((2), gestioneportafogli.xls, foglio 1). Consideriamo un capitale C = 1 milione EURO investito interamente in un BTP X con duration D(X) = 1.05 anni. Il gestore di tale capitale vuole modificare la sua duration acquistando un BTP Y che ha duration D(Y ) = 3 1 Anche perché, se il titolo non è già in portafoglio, si dovrebbe ricorrere a una vendita allo scoperto, che non sempre è consentita. Tale titolo non è comunque escluso che sia già in portafoglio e in tal caso si tratta solo di cambiarne la percentuale, ovvero di cambiarne il numero di quote possedute.

4 FLAVIO ANGELINI anni. Se investe il p Y = 10% del capitale nel BTP Y tenendo il p X = 90% nel BTP X, la duration che ne risulta è calcolabile da (1.2) ed è D((90%, 10%)) = 1.245 anni. Supponiamo che invece il suo obiettivo sia di raggiungere duration D = 1.2 anni. Naturalmente sa che dovrà investire meno in Y e userà la formula (2.2) per calcolare precisamente p Y 7.69%, da cui p X 92.31% Dunque investirà circa 76900 EURO in Y che ricaverà dalla vendita di quote di X e lascerà 923100 investiti in X. Si noti che X non necessariamente deve essere un singolo titolo (e anche Y, ma in pratica conviene selezionare un vero e proprio titolo per limitare le operazioni da effettuare e dunque i costi di transazione). Anzi, nella pratica tipicamente X è un portafoglio composto da diversi titoli sul mercato. Tutti i conti che sono stati fatti continuano a funzionare. Supponiamo ad esempio che X sia un portafoglio composto dal 60% di un titolo A e dal 40% di un titolo B. Il risultato dell esempio ci dice che si deve mantenere il 92.31% di X e dunque il 55.38% di A e il 36.92% di B e vendere dunque il 4.62% di A e il 4.08% di B (per un calcolo con un portafoglio X composto da due titoli si veda (2), gestioneportafogli.xls, foglio 2). 3. L hedge ratio In generale una strategia di copertura o di immunizzazione o di hedging è una strategia che si propone di minimizzare, eventualmente annullare, i rischi derivanti da un esposizione finanziaria. Nel mercato obbligazionario l obiettivo è quello di minimizzare il rischio derivante dai cambiamenti dei tassi d interesse. Si consideri il caso in cui si intenda proteggere una posizione in un portafoglio obbligazionario o in un titolo del mercato monetario X il cui valore all istante di valutazione è V (X) e la cui duration è D(X). Si è preoccupati che una cambiamento della curva dei tassi provochi una perdita di valore del portafoglio. Se si vuole immunizzare o coprire il portafoglio dal rischio di perdite bisognerà cambiare la composizione del portafoglio, cioè introdurre nel portafoglio una posizione che bilanci le perdite potenziali del portafoglio originario. Analogamente alla sezione precedente, se si assume che i movimenti futuri della curva avvengano per shift paralleli, un modo per attuare tale strategia di copertura è quella di rendere il più breve possibile la duration totale, in particolare di renderla nulla. La differenza con la gestione della sezione precedente è che tale strategia è indipendente dalle aspettative sui tassi futuri, nel senso che l obiettivo principale è quello di coprirsi il più possibile dai rischi senza tentare di alzare i profitti.

LA DURATION 5 Sia dunque F un titolo del mercato monetario 2 e indichiamo con V (F ) il suo valore e con D(F ) la sua duration, che supponiamo diversa dalla duration D(X) di X. Si consideri un portafoglio composto dal portafoglio X e da α quote del titolo F. La duration del portafoglio è, utilizzando la formula (1.1), D(X + αf ) = V (X) αv (F ) D(X) + D(F ). V (X + αf ) V (X + αf ) Si vuole ora determinare il valore α che rende nulla la duration del portafoglio D(X + αf ) = 0. Si trova che α = V (X)D(X) V (F )D(F ). Il numero di quote α da investire in F si dice hedge ratio o rapporto di copertura basato sulla duration. Esempio 3.1. Un gestore di un fondo ha C = 1 milione di euro investito in un portafoglio obligazionario con duration 4. Data l alta volatilità dei tassi decide di coprire la posizione acquistando o vendendo un titolo F con duration D(F ) = 6 anni che costa 97 per ogni 100 di valore facciale. L hedge ratio è α = 1000000 4 = 6872.85. 97 6 Ciò significa che si devono vendere allo scoperto 6872.85 quote di F per annullare la duration per un valore facciale complessivo di 687285. L idea della strategia di copertura è la seguente: se i tassi salgono e X rappresenta una posizione long in titoli obbligazionari, ci sarà una perdita nel valore del portafoglio X. Dato che in tal caso si opera una vendita allo scoperto di F, si avrà un guadagno nella posizione corta su F, andando a bilanciare la perdita nella posizione in X. Naturalmente, nel caso che i tassi scendono, il valore del portafoglio X incrementerà il suo valore mentre si avrà una perdita nella posizione corta su F. Vediamo questo argomento con un semplice esempio. Esempio 3.2. ((2) solesercizi9.xls es.9, cambiando i dati di input) Nell esempio precedente si supponga che il portafoglio X sia composto da uno ZCB con scadenza 4 anni e F sia uno ZCB con scadenza 6 anni. Si supponga che si sia in presenza di una struttura dei tassi piatti con yield h(0) = 0.05. In tal caso il valore di F è V (F ) = 100 e h(0) 6 = 74.08 e l hedge ratio è α = 8999.06 e il valore facciale complessivo di 2 Nella pratica operativa vengono utilizzati titoli futures, ma per semplicità di trattazione penseremo sia un titolo obbligazionario semplice, come uno ZCB.

6 FLAVIO ANGELINI F da vendere allo scoperto è 899906. Si supponga che i tassi cambiano con shift parallelo e che il corrispondente yield sia h(0+) = 0.055. In tal caso il titolo X subirà una perdita dato che il suo valore post-shift sarà V (X) = 1000000 e h(0+) 4 = 980198.67 con una perdita di V (X) e h(0) 4 V (X) = 19801.33 euro. Il valore della posizione in F passerà da V F = α V (F ) = 666667.67 a V F = α V (F ) = α 100 e h(0+) 6 = 646963.69. La posizione corta porterà un guadagno pari a V F V F = 19702.98. Di conseguenza, la variazione di valore della posizione si ottiene considerando la perdita nella posizione in X e il guadagno nella posizione in F e è pari a = 19702.98 19801.33 = 98.35, cioè una perdita limitata considerando la potenziale perdita della sola posizione in X. Il fatto che la variazione non sia esattamente nulla è ovviamente dovuto al fatto che la duration fornisce solo un approssimazione del primo ordine della variazione di valore del portafoglio. Nel caso che i tassi scendano, h(0+) = 0.045, si ha un guadagno V (X) V (X) = 20201.34 euro nella posizione lunga e una perdita V F V F = 20303.02 nella posizione corta con una perdita netta di = 101, 68 euro. La copertura è dunque efficace nel caso di spostamenti paralleli della curva. Verifichiamo ora la correttezza della copertura nel caso il movimento della curva sia non parallelo. Sia dunque h(0+, 4) = 0.055 e h(0+, 6) = 0.045. In tal caso il titolo X subirà una perdita dato che il suo valore post-shift sarà V (X) = 1000000 e h(0+,4) 4 = 980198.67 e h(0) 4 con una perdita di V (X) V (X) = 19801.33 euro. Il valore della posizione in F passerà da V F = α V (F ) = 666667.67 a V F = α V (F ) = α 100 e h(0+,6) 6 = 686969.69. Stavolta anche la posizione corta porterà una perdita pari a V F V F = 20303.02. Di conseguenza, la posizione globale dimunirà di valore subendo una perdita complessiva ottenuta sommando le due perdite, la quale risulta pari a = 20303.02 19801.33 = 40104.35. Se ne conclude che la strategia di copertura deve essere effettuata con molta cautela e deve essere corredata da una oculata previsione dei movimenti della curva dei tassi. Un ulteriore ambito di applicazione della duration è quello dell immunizzazione classica. I suoi principi, corredati da un esempio, sono descitti in (1), par. 10.2.5. I conti dell esempio 10.2.4 sono svolti in gestioneportafogli.xls, foglio immunizzazione. Riferimenti (1) G. Castellani, M. De Felice, F. Moriconi, Manuale di finanza, vol I. Tassi d interesse. Mutui e obbligazioni, 2005, il Mulino.

(2) http://www.unipg.it/angelini/matfin.htm LA DURATION 7 Sezione di Finanza Matematica, Dipartimento di Economia, Finanza e Statistica, Università di Perugia E-mail address: angelini@unipg.it