La matematica dei fiocchi di neve Che forma hanno i fiocchi di neve? Il primo matematico a porsi questa domanda e a trovare un modello che descrivesse i fiocchi di neve fu Keplero che nel 1611 pubblico il saggio Strena seu de nive sexangula (Sul fiocco di neve a sei angoli) 1. Il modello proposto da Keplero si basava su una forma molto semplice: un esagono regolare, ma se guardiamo attentamente un cristallo di neve scopriremo facilmente che questo ha una forma particolare, molto ramificata e spesso irregolare. Può la matematica descrivere semplicità dell esagono e irregolarità dei fiocchi contemporaneamente? LA SEMPLICITÀ DELL IMPERFEZIONE Tutto ha origine nell esagono I cristalli di ghiaccio (ne possiamo vedere alcuni in figura) hanno una grande varietà di forme che dipende da una serie di complesse condizioni che si verificano sulla superficie del cristallo di cui la temperatura è la più importante. La forma più semplice di cristallo, la lamina esagonale, nasce a temperature appena al di sotto del punto di congelamento (tra 0 e - 3 ) e a bassi livelli di sovrassaturazione (meno del 30%). La ragione è che a tali temperature un bordo diritto di un cristallo di ghiaccio si sviluppa in modo stabile: qualsiasi piccola irregolarità viene riempita e il bordo rimane dritto mentre si sviluppa. Ci si può chiedere perché proprio un esagono, e la risposta sta semplicemente nella forma esagonale del reticolo cristallino del ghiaccio (nella figura a destra). Nel suo libro del 1611, Strena seu De nive sexangula, Keplero tenta di spiegare la forma dei cristalli avvalorando la teoria di Democrito per cui la simmetria del fiocco è dovuta alla struttura atomica dei fiocchi di neve: se la materia è fatta da minuscole particelle identiche, la sua struttura a livello macroscopico dipenderà dalla loro disposizione. Keplero paragonò il fiocco di neve al nido d ape, anch esso esagonale, e scrisse che questa configurazione è cosí 1 Per chi volesse approfondire http://www.nature.com/nature/journal/v480/n7378/full/480455a.html
comune poiché è quella che permette di ammassare il massimo numero di elementi nel minimo spazio 2. Per provare a vedere se ciò sia vero oppure no immaginiamo che la neve sia approssimabile da dei piccoli dischi e prendiamo 7 monetine tutte della stessa dimensione. Posta una di esse sul tavolo, posizioniamo le altre tutte intorno, ottenendo una forma che si può ricondurre all esagono. Andando avanti otteniamo un reticolo esagonale, molto somigliante a un favo (come in figura). La matematica dell esagono Abbiamo detto che tutto parte da un esagono e abbiamo aggiunto che gli angoli hanno un ampiezza di 120. Possiamo quindi considerare il fiocco di neve approssimabile a un esagono regolare. Vediamo come possiamo costruire questa forma geometrica. Costruzione di un esagono regolare Per costruire un esagono regolare abbiamo bisogno di: Foglio di carta Compasso Righello Matita Gomma da disegno Possiamo procedere nel modo seguente. 1. Innanzitutto disegniamo una circonferenza di centro O e raggio casuale col compasso. 2. Sia A un punto sulla circonferenza e tracciamo il diametro AD. 3. Con la misura del raggio AO puntiamo il compasso in A e tracciamo un arco, otteniamo come intersezione tra l arco e la circonferenza i punti B e F. Sempre con lo stesso raggio puntiamo in B e ripetiamo l operazione, i punti ottenuti saranno C ed E. 4. Col righello uniamo i punti trovati e otteniamo così un esagono regolare ACDBEF. 2 Per la dimostrazione della congettura di Keplero si dovette attendere il 1930, quando Fejes Tóth dimostrò proprio che questa è la disposizione più densa che si può ottenere nel piano.
LE ISOMETRIE SIMMETRIA ASSIALE (O BILATERALE) Questa simmetria domina nel regno animale, ed è anche la più semplice. La simmetria assiale è quella trasformazione che, data una retta r nel piano, associa ad ogni punto P il punto P, simmetrico di P rispetto ad r. La retta r si chiama asse di simmetria. La simmetria assiale è una isometria in quanto mantiene: 1. l allineamento dei punti, 2. l incidenza e il parallelismo delle rette, 3. la lunghezza dei segmenti, 4. l ampiezza degli angoli. Gli unici punti uniti presenti in una simmetria assiale sono i punti dell asse; le rette unite sono, oltre all asse, tutte le rette perpendicolari ad esso (ma non sono formate da punti uniti). Questo tipo di simmetria è evidente in tanti animali e vegetali, anche nella forma esterna del corpo umano (ma non in quella interna). Le forme bilateralmente simmetriche hanno normalmente soltanto una simmetria di riflessione, mentre altre possono averne un numero maggiore. I fiocchi di neve, per esempio, hanno diverse simmetrie di riflessione, anche se la psicologia umana fa sì che noi ci concentriamo in maniera molto più forte sulla simmetria rotazionale esagonale. In realtà, ogni fiocco di neve perfettamente simmetrico ha sei distinte simmetrie di riflessione: in figura tre sono evidenziate con il giallo e uniscono un vertice con quello diametralmente opposto, mentre altre tre sono evidenziate in azzurro e uniscono il punto medio di un lato con quello diametralmente opposto. Tutte le linee si incontrano al centro dell esagono e gli angoli tra due linee speculari vicine sono esattamente di 30. SIMMETRIA ROTAZIONALE E ROTAZIONE Si dice che una figura piana f ha una simmetria rotazionale se f coincide con la sua trasformata in una rotazione (diversa dall applicazione identica) intorno a una retta r detta asse di simmetria rotazionale: ciò significa che ogni punto P di f viene portato dalla rotazione in un punto P che pure appartiene a f. Detta α l ampiezza di rotazione, se α è un sottomultiplo di 360,iterando la rotazione di ampiezza α per 1, 2, 3,..., n volte, la figura si sovrappone sempre a se stessa e specificamente all'nesima iterazione non soltanto la figura ritorna su se
stessa, ma anche le sue singole parti. Ovvero n applicazioni successive della rotazione equivalgono all applicazione identica, in questo caso n si chiama ordine della simmetria rotazionale. Se n è pari, cioè n = 2k, l' iterata k-esima della rotazione rappresenta il mezzo giro, cioè la simmetria rispetto alla retta r. Alcune forme sono simmetriche rispetto a qualsiasi rotazione, e hanno quindi una simmetria rotazionale continua, come il cerchio. Altre, come il fiocco di neve, hanno una simmetria rotazionale discreta, cioè soltanto alcuni angoli specifici vanno bene, per esempio 60, come in figura, o multipli di 72 nel caso dei fiocchi di neve a cinque punte. (La simmetria centrale è un caso specifico di rotazione, dove l angolo α vale 180.) LA GEOMETRIA FRATTALE Abbiamo detto che guardando un fiocco di neve viene immediato associarlo ad un esagono. E quindi basterebbe studiare le forme classiche della geometria euclidea per capire un fiocco di neve. Ma ingrandendo l oggetto del nostro studio con un microscopio ci accorgiamo invece che non è propriamente un esagono è qualcosa di più complesso, fatto di particolari molto piccoli, che prima non si percepivano. Questa forma viene a grandi linee descritta nel 1904 dal matematico svedese Helge von Koch, nella celebre forma che prende il suo nome: fiocco di neve di von Koch. Una sola accortezza: il fiocco di neve esiste nella realtà, il fiocco di Koch è un astrazione matematica. Il fiocco di Koch parte da una delle prime curve frattali di cui si conosca una descrizione (la curva di Koch) e considera l area che essa racchiude. La costruzione parte da un triangolo equilatero; si divide ogni lato parti congruenti e sul terzo centrale di ogni lato si disegna un triangolo equilatero di lato pari a un terzo del lato iniziale. Si ottiene così la nota stella di David, di perimetro uguale a 4. Si ripete il processo su ognuno dei dodici lati e così all infinito. La particolarità di questa figura è che l area in essa racchiusa è finita, mentre il perimetro è infinito 3. Possiamo quindi paragonare i due fiocchi e scoprire che entrambi hanno una forma complessa generata da regole semplici, siano esse matematiche o fisiche; entrambe presentano la caratteristica combinazione di ordine e disordine: l ordine è la simmetria esagonale, il disordine sono le complicate configurazioni ramificate. Per capire meglio il concetto di frattale da un punto di vista geometrico, possiamo dire che tutto parte dal concetto di autosimilarità. 3 Approfondimento per la dimostrazione
L AUTOSIMILARITÀ L autosimilarità è la proprietà di qualunque ingrandimento: una roccia piccola vista da vicino ha lo stesso aspetto di una roccia grande vista da lontano. Questo perché ogni piccola parte possiede una struttura molto simile a quella dell insieme. Si possono avere due tipi di autosimilarità: Esatta quando su scale diverse le strutture si ripetono esattamente identiche; Statistica quando su scale diverse le strutture conservano solo le qualità statistiche del disegno. Ci sono oggetti che hanno un genere più regolare di autosimilarità: piccole parti dell oggetto sono sue versioni in miniatura. In natura, questo genere di autosimilarità non è mai perfetto. I piccoli pezzi hanno una forte somiglianza con l oggetto nella sua totalità, ma ne differiscono nei dettagli. Un esempio di quanto stiamo dicendo può essere la felce: una serie di fronde disposte su entrambi i lati di un fusto centrale. Le fronde hanno la massima ampiezza alla base del fusto e si assottigliano man mano che si avvicinano alla punta. La stessa descrizione si può applicare alle fronde, e anche alle foglioline sulle fronde. Studiando le configurazioni naturali e costruendo forme ideali, cioè versioni più chiare e pulite delle strutture naturali, che sono meno regolari, i matematici sono riusciti a idealizzare l autosimilarità della natura, che è approssimativa, in una autosimilarità perfetta. Quindi, costruendo copie ridotte della forma originale perfette in ogni dettaglio, dovremmo poter ricostruire la forma nella sua interezza originale. Per poter idealizzare anche l autosimilarità statistica, si ragiona in modo simile: le copie più piccole dell oggetto e l oggetto intero devono avere la stessa distribuzione statistica delle caratteristiche. Lo stesso possiamo dire di un fiocco di neve: osservando un raggio del fiocco si vede che da esso partono altri raggi che a loro volta portano altri raggi e così via, in base alla complessità del fiocco. CONCLUSIONI La nostra ricerca ci ha portato a vagare tra tanti concetti matematici e dire che pensavamo che tutto si riducesse all esagono! Abbiamo capito che la matematica è un linguaggio che ci permette di interpretare la natura e che anche ciò che noi pensiamo distante dai numeri in realtà può essere descritto con essi. Concludiamo l intera unità didattica con un laboratorio che ci permetta di divertirci a costruire i più strani fiocchi di neve. A partire dagli origami fino ad arrivare alle forme più strane.