Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n. 35 13.04.2016 Induzione elettromagnetica Anno Accademico 2015/2016
La scoperta di Faraday Ricordiamo la scoperta di Oersted del 1820 sulla generazione di forze magnetiche con le correnti elettriche Dopo questa scoperta parte una intensa attività sperimentale e teorica Fra le altre cose si cercano nelle correnti fenomeni analoghi a quelli classificati come "induzione elettrostatica" Si cerca di capire se le correnti possono "indurre" correnti Pioniere di questi studi fu Michael Faraday, intorno al 1830 Inizialmente gli studi furono poco fruttuosi Un corrente circolante nel solenoide esterno NON induce una corrente in quello interno Tuttavia una VARIAZIONE di corrente induce una corrente Ad esempio all'apertura o alla chiusura dell'interruttore Con questi studi Faraday scopre l'importante fenomeno dell'induzione elettromagnetica Ci permetterà di completare l'equazione del rotore di E Prima di passare alla formulazione definitiva del fenomeno studiamolo alla luce di quanto già conosciamo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 126
Barretta conduttrice in moto (B 0) Consideriamo una regione dello spazio in cui è presente un campo magnetico B, diretto lungo l'asse z Utilizziamo un sistema inerziale S Il campo B è uniforme e non varia nel tempo Non ci sono campi elettrici Consideriamo adesso una barretta conduttrice orientata parallelamente all'asse x La barretta si muove con velocità costante v diretta lungo l'asse y Poiché si tratta di un conduttore al suo interno ci sono portatori di carica che possono muoversi Tutte le cariche della barretta hanno una velocità v Appare una forza di Lorentz La forza è diretta nel senso positivo delle x per le cariche positive Sotto l'azione della forza le cariche si muovono Tuttavia si giunge presto ad una condizione stazionaria Le cariche spostandosi generano un campo elettrico E In ogni punto all'interno della barretta la forza di Lorentz è bilanciata dalla forza elettrica qe Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 127
Barretta conduttrice in moto (B 0) Le cariche elettriche si distribuiscono sulla superficie della barretta in modo da generare all'interno un campo elettrico uniforme La forza di Lorentz è uniforme dentro la barretta La forza elettrica bilancia la forza magnetica La carica sulla superficie della barretta genera un campo anche all'esterno della barretta Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 128
Barretta conduttrice in moto (B 0) Esaminiamo adesso il fenomeno descritto in un sistema inerziale S in cui la barretta conduttrice è a riposo In questo sistema il campo magnetico è differente Appare anche un campo elettrico Ricordiamo il tensore campo elettromagnetico La trasformazione in S è F = ΛFΛ Τ È facile verificare che La matrice Λ è Nel sistemas il campo magnetico B è ancora diretto lungo l'asse z ed è diventato più intenso per il fattore relativistico γ È comparso un campo elettrico E diretto lungo l'asse x Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 129
Barretta conduttrice in moto (B 0) Interpretiamo quello che succede nella barretta conduttrice nel sistema S C'è un campo magnetico B ma la barretta è ferma Non ci sono forze magnetiche sulle cariche all'interno Nel sistemas è presente un campo elettrico E Le cariche si distribuiscono sulla superficie del conduttore in modo da annullare il campo elettrico al suo interno Come abbiamo studiato in elettrostatica In S la situazione è statica Riepiloghiamo le due interpretazioni Nel sistema S la barretta si muove e dentro la barretta c'è una forza magnetica che causa una redistribuzione della carica sulla superficie La distribuzione di carica genera un campo elettrico che bilancia la forza magnetica Nel sistema S c'è un campo elettrico E La carica si redistribuisce sulla superficie del conduttore e genera un campo elettrico che, sommato a E, annulla il campo all'interno del conduttore Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 130
Barretta conduttrice in moto (B 0) Nel sistema inerziale S Nel sistema inerziale S Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 131
Spira in campo non uniforme Sostituiamo adesso la barretta con una spira conduttrice di lato w che si muove con velocità v lungo l'asse y C'è sempre un campo uniforme B Il campo elettrico è nullo Siamo in una situazione analoga a quanto già visto I due lati della spira si caricano positivamente e negativamente Non succede altro Immaginiamo tuttavia che il campo magnetico non sia uniforme anche se è costante nel tempo Abbiamo già analizzato un problema simile (diapositiva 821 91 ) Supponiamo la spira vincolata a muoversi parallelamente all'asse y Sulle cariche all'interno dei lati paralleli all'asse y(lati 2 e 4) si esercitano forze perpendicolari al filo Sulle cariche dei lati paralleli all'asse x(1 e 3) le forze sono lungo il filo Calcoliamo la circuitazione della forza magnetica Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 132
Spira in campo non uniforme Pertanto viene compiuto un lavoro sui portatori di carica del conduttore della spira Se viene fatto un lavoro significa che è stata generata una corrente elettrica Nella spira è presente una forza elettromotrice È conveniente riscrivere questa relazione in funzione del flusso del campo magnetico B attraverso la superficie della spira Consideriamo due posizioni a e b della spira a due istanti di tempo t e t +dt Il flusso del campo magnetico è Calcoliamo la variazione del flusso Confrontando con l'espressione per E Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 133
Chi fa lavoro? Nell'analisi del sistema precedente abbiamo visto che ai portatori di carica viene trasferita energia Viene compiuto un lavoro A prima vista sembra che siano le forze magnetiche a compiere lavoro Abbiamo detto che le forze magnetiche non fanno lavoro Per approfondire questo punto consideriamo il sistema seguente Il sistema è immerso in un campo magnetico uniformebche entra nel piano Al tempo t il conduttore rosso è ad una distanza vt Il flusso concatenato è la forza elettromotrice è Questa forza elettromotrice mette in moto le cariche Se la resistenza del conduttore è R dissipa una potenza Consideriamo in dettaglio cosa succede al conduttore rosso Le cariche hanno due componenti della velocità La componente u y legata alla corrente La componente u x = v dovuta al moto della barretta La forza magnetica sui portatori di carica è pertanto F m Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 134
Chi fa lavoro? Assumiamo di essere in una condizione stazionaria La corrente è costante La velocità dalla barretta è costante Tutte le forze sono in equilibrio Scomponiamo la forza magnetica in una componente verticale e una orizzontale La componente orizzontale bilancia la forza esterna La velocità della barretta è costante La componente verticale mantiene costante la corrente contro l'effetto dissipativo delle collisioni con gli ioni Consideriamo il lavoro fatto dalle forze nell'unità di tempo La componente verticale della forza magnetica effetto Joule contro F R La componente orizzontale della forza magnetica si oppone alla forza esterna Osserviamo che la potenza totale P x + P y della forza F m è nulla La forza magnetica non compie lavoro Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 135
Chi fa lavoro? Notiamo infine che le potenze sono tutte uguali in modulo L'agente esterno che applica F ext eroga una potenza qbu x u y =qbvu y La forza magnetica si oppone all'agente esterno e dissipa qbu x u y La forza magnetica eroga la potenza necessaria a mantenere la corrente pari a qbu x u y L'effetto Joule dissipa una potenza qbu x u y Per finire un analogo meccanico Un piano inclinato senza attrito Il diagramma delle forze è lo stesso di quello della diapositiva precedente La forza normale non compie lavoro La reazione normale si scompone in due componenti La forza esterna orizzontale compie un lavoro aumentando l'altezza e quindi l'energia potenziale gravitazionale della massa Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 136
Il flusso del campo magnetico Nel calcolo precedente abbiamo utilizzato una spira piana La superfice che abbiamo utilizzato era anch'essa piana Tuttavia si tratta di restrizioni non essenziali La spira potrebbe non essere piana e la superficie utilizzata potrebbe essere una qualunque Ad esempio il flusso attraverso la superficie S 1 delimitata dal cammino C Oppure attraverso la superficie S 2 Dimostriamo che Consideriamo la superficie chiusa formata da S 1 + S 2 Le normali alle superfici sono verso l'esterno Ma si ha da 3 = da 2 Nel sistema MKS il flusso si misura in Weber Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 137