L unità immaginaria si indica con la lettera i oppure con la lettera j

I s t i t u t o P r o f e s s i o n a l e d i S t a t o p e r l I n d u s t r i a e l A r t i g i a n a t o CAVOUR-MARCONI Loc. Piscille Via Assisana, 40/d-06154 PERUGIA Tel. 075/5838322 Fax 075/32371 e-mail: i p s i a p g @ t in. i t - sito internet: w w w. i p s i a p g. i t Premessa: la verifica scritta di recupero avrà per oggetto un esercizio sul sistema trifase (assegnato un sistema di tensioni trifase, calcolare le correnti, disegnare il diagramma di Gauss, calcolare le potenze e disegnare il triangolo delle potenze). Avviso: i documenti sono in word, estensione.docx. Si faccia attenzione a non convertirli, si rischiano di perdere le lettere greche e le equazioni o parti di esse. Si terrà il corso di recupero (corso IDEI) secondo il calendario che sarà pubblicato dalla scuola (stessi giorni del corso di matematica). Si consigliano tutti gli studenti con debito di frequentare il corso di recupero. Da 120 anni (vale a dire dalla nascita dell elettrotecnica) i numeri complessi sono fondamentali nello studio dell elettrotecnica. Nessuno è sinora riuscito a trovare un modo più semplice per studiare l elettrotecnica. Se non si conoscono i numeri complessi e le operazioni fra numeri complessi non è possibile risolvere degli esercizi né eseguire alcun tipo di calcolo elettrotecnico o impiantistico. E fondamentale imparare ad usare i numeri complessi, saper svolgere le 4 operazioni fondamentali fra numeri complessi, saper calcolare il modulo e l argomento di un numero complesso, conoscere le forme algebrica, trigonometrica e polare di un numero complesso e conoscere bene la rappresentazione nel piano di Gauss. Questo modulo è parte del programma del II anno di corso, ripassato a lezione anche quest anno. Numeri immaginari Se, nel campo dei numeri reali, tentiamo di risolvere equazioni come: x 2 + 1 = 0, andiamo incontro ad una difficoltà insormontabile. L'equazione infatti può essere scritta come x 2 = 1, ma sappiamo che non esiste alcun numero reale il cui quadrato sia negativo. Non siamo in grado di eseguire l'operazione di estrazione di radice quadrata di numeri negativi in campo reale, per cui una soluzione come x = 1viene considerata priva di senso. Per molto tempo si è evitato il problema semplicemente ammettendo che l'equazione x 2 + 1 = 0 non possieda soluzioni in campo reale. Il problema viene risolto introducendo la quantità i= 1, detta unità immaginaria. L unità immaginaria si indica con la lettera i oppure con la lettera j

CONSIGLI 1 consiglio: per l unità immaginaria usare la lettera j, scrivendo la i la si può confondere con il numero 1: 2 consiglio: scrivere prima la j e poi il coefficiente, scrivere quindi j18 e non 18j (entrambi i modi sono corretti e del tutto equivalenti, ma considerando le normali distrazioni umane se si scrive la j prima del numero si evita di dimenticare la j. Dimenticare una j comporta un errore nei calcoli e quindi comporta sempre un errore nell esercizio). 1 consiglio e 2 consiglio messi insieme: scrivere quindi j 15 e non i 15, oppure 15 i oppure 15 j (i quattro modi di scrivere sono uguali e tutti corretti ma l esperienza dimostra che gli studenti seguendo i due consigli commettono meno errori). Una prima proprietà dell'unità immaginaria è la seguente: i 2 = i i= ( 1) 2 = 1. Conseguentemente abbiamo anche: i 3 = i i i= I, i 4 = 1. Consideriamo le quantità 2i, 5 i, - 3i, 26i (sono scelti a caso): oggetti di questo tipo prendono il nome di numeri immaginari e sono formati dal 'prodotto' di un numero reale per l'unità immaginaria stessa. Possiamo creare nuovi numeri immaginari sommando (o sottraendo) ripetutamente i a se stessa: i+ i+ i= 3i, o moltiplicando i per un numero reale: 2,718 i, 5/3 i, 2 i, ecc. In generale sarà possibile sommare due numeri immaginari applicando le regole algebriche (3) per i monomi, così: 2i+ 3i= 5i. Analogo discorso per la moltiplicazione, tenendo presente la proprietà di i prima enunciata: 2i x 3i = 6i 2 = 6( 1) = 6. Questo può essere evidenziato affermando che il prodotto di due numeri immaginari qualsiasi è sempre un numero reale. Somma, differenza e prodotto Possiamo sommare numeri reali a numeri immaginari, ottenendo oggetti del tipo a + ib (oppure a + jb). Per queste entità definiamo somma, prodotto e differenza sulla scorta di quanto fatto in algebra per i binomi, ricordando la proprietà di i prima enunciata. Somma: (a+jb) + (c+jd) = (a+c) +ji(b+d) Differenza: (a+jb) (cjid) = (a c) + j(b d) Prodotto: (a+jb) (c+jd) = (ac bd) + j(ad + bc) Con queste definizioni è possibile dimostrare che oggetti matematici come a + ib godono effettivamente di tutte le proprietà caratteristiche dei numeri e quindi sono da considerarsi numeri a tutti gli effetti. Essi prendono il nome di numeri complessi.

Esempi: 4 j 3-5 + j 6-3 j 28 7 + j 11 sono quattro esempi di numeri complessi, ciascuno di essi ha una parte reale ed un coefficiente che moltiplica l unità immaginaria j. Il numero a ( oppure c) è detto parte reale del numero complesso, mentre b (oppure d) è la parte immaginaria. Se z = a +jb, allora Re(z) = a, parte reale di z e Im(z) = b, parte immaginaria di z. Notiamo che per indicare un numero complesso usiamo un carattere tipografico in grassetto, oppure z, carattere sopralineato Numeri complessi coniugati Abbiamo visto prima che i 2 = 1, per cui i ( i) = 1. Questo è vero qualsiasi sia il numero immaginario. Ad esempio: i7 ( i7) = i 2 49 = 49. Numeri di questo tipo si dicono numeri immaginari coniugati. Differiscono solo per il segno e moltiplicati tra loro danno sempre un numero reale positivo, che è il quadrato della parte immaginaria del numero immaginario stesso: ib ( ib) = b 2. Generalizzando: a+ib e a ib sono numeri complessi coniugati. Essi differiscono solo per il segno della parte immaginaria. Se moltiplichiamo due numeri complessi coniugati tra loro otteniamo: (a + ib) (a ib) = a 2 + iba iab i 2 b 2 = a 2 + b 2. Abbiamo usato la proprietà commutativa: ba = ab. La radice quadrata di questa grandezza, sempre positiva, a 2 + b 2 è detta modulo del numero complesso. Chiamando z= a + ib e z * = a ib, avremo quindi : z z * = a 2 + b 2 = z 2. Il complesso coniugato di z= a +ib, è indicato anche con z= a ib. Spesso il modulo è indicato con la lettera r: z = r = a 2 + b 2 Divisione Divisione tra numeri complessi, ecco un esempio:

per evitare la complicazione di un denominatore complesso, si sfrutta la proprietà dei complessi coniugati e si assume che una frazione complessa (come una frazione algebrica) non vari moltiplicando numeratore e denominatore per lo stesso numero (complesso). In questo caso moltiplicheremo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore: ottenendo così un denominatore reale, che sappiamo facilmente trattare. La geometria dei numeri complessi Abbiamo visto come si eseguono le operazioni fondamentali con i numeri complessi, ma questo non ci fa ancora comprendere quale sia la loro vera potenza. Perciò è opportuno ricorrere ad una rappresentazione geometrica dei numeri complessi. 1.2.1 - Il piano di Gauss I numeri reali vengono normalmente rappresentati come punti di una retta, una volta fissata la posizione dello zero e determinato il verso positivo. Figura 1. La retta reale: ogni numero reale corrisponde ad un suo punto Questa retta viene spesso chiamata retta reale. Ad ogni suo punto (i punti sono infiniti) viene associato, senza possibilità di ambiguità, uno ed un solo numero reale. Si dice cioè che esiste una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali e i punti della retta. Nella figura 1 si sono rappresentati numeri razionali (3/4 e-3/4) e alcuni numeri reali, con i loro simmetrici rispetto all'origine. È possibile una rappresentazione analoga per i numeri complessi? Sorge subito la difficoltà di rappresentare i= 1. Semplicemente non esiste alcun punto della retta a cui associare l'unità immaginaria i, dal momento che i non è un numero reale.

Se moltiplichiamo 1 per i 2 otteniamo 1, che è reale ed è rappresentato da un punto sulla retta. Potremmo quindi pensare che i trasformi 1 nel suo opposto 1, che corrsiponde geometricamente ad una rotazione di 180 del segmento [0,1]. Ma allora moltiplicare 1 per i non potrebbe significare ruotare il segmento [0,1] di 90 e che quindi i1 sia rappresentabile da un punto su una retta perpendicolare all'asse reale? Gauss (1831) ed altri ebbero la geniale idea di rappresentare i, e tutti gli altri numeri immaginari, su di un'altra retta perpendicolare alla retta reale. Figura 2. Piano di Gauss. L'asse reale e l'asse immaginario sono perpendicolari Questa retta prende il nome di retta immaginaria o asse immaginario. Nel piano di Gauss (d'ora in poi lo chiameremo così) ogni numero complesso z= a+ib è rappresentato da un punto, identificato da una coppia ordinata di numeri: z = (a,b) in cui il primo elemento della coppia è la parte reale ed il secondo la parte immaginaria di z. I numeri reali sono rappresentati da tutte le coppie del tipo (a,0), i numeri immaginari da tutte le coppie (0,c). In particolare l'unità immaginaria i è rappresentata dalla coppia (0,1) e quindi 1 = (0,1). Numeri complessi e vettori Abbiamo già evidenziato che il prodotto di un numero complesso per il suo coniugato fornisce una grandezza reale, sempre positiva: z z * = a 2 + b 2, la cui radice quadrata r = z = a 2 + b 2 abbiamo chiamato modulo del numero complesso. Nel piano di Gauss, z rappresenta la distanza (euclidea) del punto z dall'origine. Questo conduce a pensare al numero complesso, non solamente come un punto nel piano di Gauss, ma come un vettore di modulo z che rappresenta la posizione del punto z rispetto all'origine degli assi.

Anche qui però dobbiamo porre attenzione al fatto che non basta semplicemente dare un nome ad una grandezza: se affermiamo che zè un vettore dobbiamo provare che si comporta effettivamente come un vettore. Per esempio dovremmo verificare che i vettori rappresentativi di numeri complessi si sommano secondo la regola del parallelogrammo. Questo in effetti lo si può vedere facilmente sulla lavagna di sinistra. Dato allora un numero ze un numero w, visualizziamo il numero s = z + w ed i vettori corrispondenti Anche la differenza d = z w ha il suo corrispondente nella differenza tra vettori. Il vettore differenza dè semplicemente il vettore differenza (tratteggiato) trasposto ed applicato all'origine. Prodotto e divisione rappresentati sul piano di Gauss come vettori meritano un discorso a parte, che riprenderemo dopo aver introdotto un altro tipo di rappresentazione dei numeri complessi: la forma polare. L' unità immaginaria come operatore di rotazione Particolarmente importante e interessante è il ruolo geometrico che riveste l'unità immaginaria i, la quale è a sua volta rappresentata da un vettore di modulo unitario. Dopo aver caricato la lavagna, osserviamo cosa accade quando moltiplichiamo un numero complesso qualsiasi per i. Supponiamo, ad esempio, di moltiplicare per i il numero z = 3 + i2, applicando la definizione di prodotto e la proprietà dell'unità immaginaria i 2 = 1: (3 + i2) i = 3i+ i 2 2 = 2 + i3 Notiamo che il modulo resta invariato (la parte reale e la parte immaginaria si scambiano di ruolo), ma il vettore z i viene ruotato di 90 (π/2 radianti)in senso antiorario rispetto a z. Cosa succede se dividiamo z per i? 3 + i2 (3 + i2)( i) 3i i 2 2 3i+2 = = = i i( i) i 2 1 Qui abbiamo moltiplicato numeratore e denominatore per i (il complesso coniugato di i) per avere 1 al denominatore, quindi: (3 + i2)/ i = 2 i3.

In questo caso il vettore z/i ha ancora lo stesso modulo di z, ma viene ruotato di 90 in senso orario ( rotazione di 90, π/2 radianti). Da ciò possiamo anche comprendere che dividere per iequivale a moltiplicare per i: 1 ( i) i i = = = i i( i) i 2 1 = i In conclusione, l'unità immaginaria i può essere pensata come un operatore di rotazione di 90 o π/2 radianti: z i ruota z di +90 (rotazione di 90 in senso antiorario) z ( i) ruota zdi 90 (rotazione di 90 in senso orario, equivale a z/i) Possiamo moltiplicare ripetutamente per i: z i i = z i 2 = z ( 1) = z esempio:(3 + i2) i 2 = (3 + i2) ( 1) = 3 i2, che equivale a far ruotare il vettore di 180. Cosi, moltiplicare per i 3 equivale a moltiplicare per i 2 i = ( 1) i = i, che rappresenta una rotazione di 270 oppure di 90. Invece moltiplicare per i 4 = i 2 i 2 = ( 1)( 1) = 1 equivale a una rotazione di 360. Riassumendo: moltiplicazione rotazione per i 90 i 2 180 i 3 270 ( i ) ( 90 ) i 4 360 Forma trigonometrica e polare dei numeri complessi Oltre alla forma algebrica a +ib di un numero complesso, sono possibili altre due importanti forme rappresentative dei numeri complessi: la forma trigonometrica e la forma polare.

1.3.1 - La forma trigonometrica dei numeri complessi Ricordiamo il significato di alcuni simboli: z = a +ib, r z = a 2 + b 2 è il modulo del numero complesso ed anche del vettore che lo rappresenta nel piano di Gauss. Il modulo r z coincide con il raggio della circonferenza su cui muoviamo il punto z. Ora immaginiamo di proiettare il vettore z sull'asse reale. Il vettore forma l'angolo α con l'asse reale, l'angolo αè detto argomento del numero complesso z, si indica con Arg(z) e a volte è anche chiamato angolo di fase o semplicemente fase. La proiezione, grazie alle relazioni trigonometriche di un triangolo rettangolo è data da r z cos(α). Allo stesso modo proiettiamo z sull'asse immaginario. Questa proiezione è data da r z sin(α).ma r z cos(α) = a e r z sin(α) = b, quindi: z = a +ib = r z cos(α) +ir z sin(α) = r z [cos(α) + isin(α)] La forma trigonometrica del numero complesso z è allora: z= r z [cos(α) + isin(α)] La rappresentazione in forma trigonometrica dei numeri complessi non è univoca, infatti, a causa della periodicità delle funzioni seno e coseno, si ha anche: z= r z [cos(α + 2kπ) + isin(α + 2kπ)] (k = 0, 1, 2,...) Se si vuole evitare questa ambiguità si può considerare π < α < +π,nel qual caso α prende il nome di determinazione principale di Arg(z) e talvolta si indica con arg(z). Il complesso coniugato di z è: z* = r z [cos(α) isin(α)] Possiamo ora dimostrare quanto visto nel paragrafo precedente relativamente a prodotto e divisione. La forma trigonometrica per il numero w di modulo w e argomento β è: w= r w [cos(β) + isin(β)] Forma polare dei numeri complessi Le considerazioni svolte nel paragarfo precedente ci consentono di individuare un'altra modalità di rappresentazione dei numeri complessi: la cosiddetta forma polare, in cui viene messo in evidenza il modulo e l'argomento secondo la notazione: modulo argomento, in cui il primo numero rappresenta il modulo del vettore, il secondo l'angolo con l'asse reale (in gradi o

radianti : nella pratica tecnica il grado è preferito), separati dal simbolo con cui si indica che il numero che lo segue rappresenta appunto un angolo. Passare dalla forma algebrica alla forma polare e viceversa Se il numero complesso è espresso in forma algebrica, ad esempio z = 4 + i3, bisogna calcolare il modulo r z = 4 2 + 3 2 = 16 + 9= 25= 5, e successivamente l'argomento. Per questa operazione notiamo che la tangente dell'argomento α è data dal rapporto tra parte immaginaria e parte reale del numero complesso, nel nostro caso tan(α) =3/4 = 0.75 quindi α = arctan(0.75) = 36.87 ovvero 0.64 radianti. In forma polare avremo: z = 5 36.87 oppure z = 5 0.64 Quindi per passare dalla forma algebrica alla forma polare: a + i b a 2 + b 2 arctan(b/a) Riassumendo: se z= a +ib = r z [cos(α) + isin(α)], la sua forma polare è: z= r z α il complesso coniugato z* = r z [cos(α) isin(α)], in forma polare è: z*= r z α π < α < +π,è la determinazione principale di Arg(z). Spesso, soprattutto nell'uso tecnico, α è espresso in gradi e allora 180 < α < +180 Per la trasformazione inversa, da forma polare ad algebrica si usa la forma trigonometrica: z α r z [cos(α) + i sin(α)]

Somma fra numeri complessi Per la somma ci rifaremo sempre alle regole studiate nei monomi considerando i come parte letterale: esempio: sommare i due numeri complessi Z 1 = 2 + 3i e Z 2 = 4 + 5i Sommero' algebricamente la parte reale con la parte reale e la parte immaginaria con la parte immaginaria Z 1 + Z 2 = 2 + 3i + 4 + 5i = 6 + 8i altro esempio;sommare i due numeri complessi Z 1 = -7-4i e Z 2 = 3-5i Anche qui parte reale con parte reale parte immaginaria con parte immaginaria Z 1 + Z 2 = -7-4i + 3-5i = -4-9i Differenza fra numeri complessi Per la differenza bastera' procedere nel solito modo: cambieremo di segno i termini dopo l'uguale e procederemo a fare la somma algebrica della parte reale con la parte reale e della parte immaginaria con la parte immaginaria esempio: calcolare la differenza fra i due numeri complessi Z 1 = 2 + 3i e Z 2 = 4 + 5i Z 1 - Z 2 = 2 + 3i - ( 4 + 5i) = 2 + 3i - 4-5i = -2-2i altro esempio; calcolare la differenza fra i due numeri complessi Z 1 = -7-4i e Z 2 = 3-5i Anche qui cambio di segno poi parte reale con parte reale e parte immaginaria con parte immaginaria Z 1 - Z 2 = -7-4i - ( 3-5i ) = -7-4i - 3 + 5i = -10 + i

Prodotto fra numeri complessi Anche per il prodotto ci rifaremo sempre alle regole studiate nei polinomi considerando i come parte letterale e ricordando che i 2 =-1: esempio: moltiplicare i due numeri complessi Z 1 = 2 + 3i e Z 2 = 4 + 5i Z 1 Z 2 = (2 + 3i) (4 + 5i) = 8 + 10i + 12i + 15 i 2 = = 8 + 10i + 12i - 15 = -7 + 22i altro esempio;eseguire la moltiplicazione fra i due numeri complessi Z 1 = -7-4i e Z 2 = 3-5i Z 1 Z 2 = (-7-4i) (3-5i) = -21 + 35i - 12i + 20 i 2 = = -21 + 35i - 12i - 20 = - 41 + 23i Quoziente fra numeri complessi Per capire come funziona il quoziente basta considerare che i = (-1) Quindi un numero complesso al denominatore sara' da trattare come abbiamo trattato la razionalizzazione e precisamente la razionalizzazione a due termini; in tal modo il quoziente si ridurra' ad un prodotto perche' sparira' la radice al denominatore vediamo un esempio: eseguire la divisione fra i due numeri complessi Z 1 = 4 + 3i e Z 2 = 3-2i Z 1 4 + 3i ------- = ---------- = Z 2 3-2i Razionalizzo, cioe' moltiplico sopra e sotto per il denominatore con il segno in mezzo cambiato

4 + 3i 3 + 2i = ---------- ---------- = 3-2i 3 + 2i ora moltiplico al numeratore e' una moltiplicazione normale; al denominatore e' un prodotto notevole 12 + 8i + 9i + 6i 2 12 + 8i + 9i - 6 6 + 17i = ----------------------------- = ----------------------------- = ----------- 9-4i 2 9 + 4 13 il risultato e' il numero complesso 6 17i --- + ---- 13 13 altro esempio;eseguire la divisione fra i due numeri complessi Z 1 = 3-2i e Z 2 = 2 + i Z 1 3-2i ------- = ---------- = Z 2 2 + i Razionalizzo, cioe' moltiplico sopra e sotto per il denominatore con il segno in mezzo cambiato 3-2i 2 - i = ---------- ---------- =

2 + i 2 - i ora moltiplico al numeratore e' una moltiplicazione normale; al denominatore e' un prodotto notevole 6-3i - 4i + 2i 2 6-3i - 4i - 2 4-7i = ----------------------------- = ----------------------------- = ----------- 4 - i 2 4 + 1 5 il risultato e' il numero complesso 4 7i --- - ---- 5 5 Dividendo si ottiene: 0,8 i 1,4