Esercizi di Ricerca Operativa II Raffaele Pesenti January 12, 06 Domande su utilità 1. Determinare quale è l utilità che un giocatore di roulette assegna a 100,00 Euro, nel momento che gioca tale cifra sul rosso. Supporre che si stia giocando alla roulette americana che prevede lo zero e il doppio zero. Si assuma infine che la curva di utilità abbia struttura u(x) = a be rx, e si determini l utilità di 50,00 Euro 2. Determinare quale dei seguenti due giocatori di roulette assegna maggiore utilità a 100,00 euro. Il primo giocatore decide per un unica puntata di 100,00 euro sul rosso. Il secondo giocatore, supponendo che non gli sia concesso di comportarsi come il primo giocatore, decide per due puntate successive di 50,00 euro sul rosso. Discutere le scelte di un decisore razionale che abbia la possibilità di scegliere fra le seguenti alternative i) non giocare, ii) puntare una sola volta come il primo giocatore, iii) puntare due volte come il secondo giocatore. Considerare entrambe le possibilità che il decisore si avverso o propenso al rischio. Discutere inoltre come cambierebbe il comportamento del decisore razionale se non gli fosse data la prima alternativa, cioè se fosse obbligato a giocare. Supporre che si stia giocando alla roulette americana che prevede lo zero e il doppio zero. Giustificare le risposta calcolando l utilità dei 100,00 euro nelle varie situazioni. 3. Determinare quale dei seguenti due giocatori di roulette assegna maggiore utilità a 100,00 euro. Il primo giocatore decide per un unica puntata di 100,00 euro sul rosso. Il secondo giocatore, supponendo che non gli sia concesso di comportarsi come il primo giocatore, decide per una prima puntata di 50,00 euro sul rosso e, nel caso perdesse, per una seconda puntata sul rosso con i rimanenti 50,00 euro. Supporre che si stia giocando alla roulette americana che prevede lo zero e il doppio zero. Giustificare la risposta calcolando l utilità dei 100,00 euro nelle due situazioni, se necessario assumere che le funzioni utilità abbiano struttura u(x) = a be rx. 4. Ripetere gli esercizi (1-3) assumendo di essere in un contesto commerciale cioè che la lotteria favorisca il giocatore (investitore). In particolare ritenere che la probabilità di successo, i.e., che esca il rosso, sia. Discutere come cambiano i risultati degli esercizi (1-3). 1
5. Intervistando un vostro cliente per stimare la sua curva di utilità avete ottenuto i risultati indicati nella tabella successiva. payoff (in euro) Utilità -1000,00 0 00,00 65 6000,00 80 7000,00 95 10000,00 100 Disegnare i punti della curva di utilità, indicare se il vostro cliente appare propenso o avverso al rischio, evidenziare eventuali andamenti inattesi della curva di utilità. 6. Siano dati due decisori. Il primo amministratore di una piccola azienda familiare con fatturato intorno ai 300.000,00 euro l anno. L altro amministratore di una grande azienda. Indicare, giustificando la risposta quale tra i due decisori ritiene che 100.000,00 euro abbiano maggiore utilità nel seguente contesto. E disponibile un appalto di cui costi di partecipazione sono 100.000,00 euro, vi è l 80% di probabilità che non sorgano problemi e che quindi si abbia un ricavo di 1.000,00 euro, nel rimanente % dei casi si andrà invece incontro ad un ricavo ridotto uguale a 75.000,00 euro. 7. Un vostro cliente deve decidere tra due investimenti. Il primo investimento produce un ricavo di Keuro con probabilità 1 2, di 40 Keuro con probabilità 3 7 e di 80 Keuro per le probabilità rimanenti. Il secondo investimento produce un ricavo di Q 80 Keuro con probabilità 3 4, di Keuro con probabilità 1 4. In precedenza il decisore aveva valutato uguale a 65 Keuro la certezza monetaria equivalente di un investimento che produceva un ricavo di Keuro con probabilità 1 3 e di 80 Keuro con probabilità 2 3. Assumendo che la funzione di utilità del decisore abbia struttura u(x) = a + bx + c x, determinare se il decisore è avverso, propenso o indifferente al rischio. Determinare inoltre quale è il valore che deve assumere Q affinché il decisore consideri le due alternative equivalenti. Risposte agli esercizi (1) Dal testo del problema si evince quanto segue: il giocatore preferisce partecipare a una lotteria con premi di 0,00 euro e 0,00 euro con rispettiva probabilità 18 e piuttosto di avere la certezza monetaria di 100.00 euro, il valore atteso della puntata è 18 0 + 0 = 94, 73 euro. Tutto ciò implica immediatamente che, in una valutazione dell utilità che avvenga all interno di valori monetari che abbia come estremi 0,00 e 0,00 euro,il giocatore assegna le seguenti utilità u(0, 00) = 0, u(0, 00) = 100, u(100, 00) 18 = 47, 36, infatti deve valere quanto segue u(100, 00) P (0, 00)u(0, 00)+ P (0, 00)u(0, 00), dove P (x) rappresenta la probabilità di vincere la somma x. In altre parole l utilità attesa della puntata alla roulette deve essere maggiore dell utilità di avere 100,00 euro. 2
Un approccio alternativo, forse più contorto, potrebbe essere il seguente. Si può affermare che la certezza monetaria equivalente di 94,73 euro è non superiore a 100,00 euro, i.e., CME(94, 73) 100.00. Questo implica che il giocatore è, ovviamente, propenso al rischio. Conseguentemente l utilità di 100.00 euro è non superiore a quella che il giocatore assegnerebbe a 94,73 euro se egli fosse indifferente al rischio. Se si assegna u(0, 00) = 0 e u(0, 00) = 100, in condizioni di indifferenza al rischio l utilità di 94,73 euro risulterebbe essere di 47,36. Da cui, nella situazione descritta di propensione al rischio, si ottiene u(100, 00) 47, 36. Per determinare l utilità di 50,00 euro si deve, inizialmente, stimare i valori dei parametri della funzione di utilità. Ponendo u(0, 00) = 0, u(0, 00) = 100, u(100, 00) = 47, 36 si ottengono le condizioni a = b, a be 0r = 100, a be 100r = 47, 36, da cui si giunge all equazione 1 e 100r 1 e 0r = 47,36 100 e quindi 0, 4736e 0r e 100r + 0, 5264 = 0. Si ottiene e 100r = 1 e e 100r = 1, 11149. La prima soluzione non è ammissibile, mentre la seconda conduce a r = 0, 106 10 2, da cui a = b = 0 1 e 0r = 423. Dai conti precedenti si giunge infine a u(50) = 423(e 0,106 50 1) = 23, 02. (2) Poste le seguenti utilità di riferimento u 1 (0, 00) = u 2 (0, 00) = 0, u 1 (0, 00) = u 2 (0, 00) = 100, l utilità percepita dal primo giocatore per 100.00 euro è u 1 (100, 00) 47, 36 (vedi soluzione dell esercizio precedente). Per determinare l utilià u 2 (100, 00) del secondo giocatore bisogna osservare che in conseguenza della sua strategia di gioco possono ottenersi i seguenti risultati: i) il giocatore realizza 0,00 euro, la probabilità di tale evento è P (0, 00) = ( 18 ) 2 = 0, 224, ii) il giocatore realizza 100,00 euro, la probabilità di tale evento è P (100, 00) = 2 18 = 0, 498, iii) il giocatore realizza 0,00 euro, la probabilità di tale evento è P (0, 00) = ( ) 2 = 0, 277. Dato che il secondo giocatore ha deciso di puntare ne consegue che u 2 (100, 00) P (0, 00)u 2 (0, 00) + P (100, 00)u 2 (100, 00) + P (0, 00)u 2 (0, 00) da cui u 2 (100, 00) P (0,00)u 2(0,00)+P (0,00)u 2 (0,00) 1 P (100,00) = 44, 75. Assumendo che il primo giocatore abbia deciso per la propria strategia rifiutando la strategia del secondo giocatore, e interessante notare che il primo giocatore attribuisce maggiore utilità a 100,00 euro che il secondo, ovvero il primo giocatore è meno propenso al rischio che il secondo. Questo risultato non meraviglia, infatti la roulette non è una lotteria fair (equa) e quindi, a parità di capitale giocato, il valore atteso di puntate multiple è inferiore al valore atteso di una singola giocata. Si osservi inoltre che nel calcolo dell utilità del secondo giocatore si è dovuto supporre che le uniche due alternative che gli si presentavano erano non giocare o fare una doppia puntata. Infatti se si fosse proposta anche l alternativa scelta dal giocatore due non sia sarebbe trovato nessun valore ammissibile per l utilità. Il sistema u 2 (100, 00) p 2 u 2 (0, 00) + 2p(1 p)u 2 (100, 00) + (1 p) 2 u 2 (0, 00), u 2 (100, 00) pu 2 (0, 00) + (1 p)u 2 (0, 00) non ammette soluzione per nessun p < 0.5 (e neanche per alcun p > 0.5) e quindi tanto meno per p = 18. Anche questo risultato non meraviglia, infatti un giocatore propenso al rischio avrebbe giocato come il primo giocatore in quanto vi sono maggiori probabilità di vincere qualcosa in più rispetto al capitale iniziale. Il giocatore avverso al rischio semplicemente non avrebbe giocato. 3
Diverso è il caso in cui un giocatore sia obbligato a giocare, debba cioè scegliere se comportarsi come il primo o come il secondo giocatore. In questa situazione se il giocatore è propenso al rischio giocherà come il primo giocatore, se è avverso al rischio come il secondo. (3) In questo esercizio, bisogna fare attenzione al fatto che affinché le utilità dei due giocatori possano essere paragonate i loro valori massimo (100) e minimo (0) devono corrispondere agli stessi valori monetari. Poste le seguenti utilità di riferimento u 1 (0, 00) = u 2 (0, 00) = 0, u 1 (0, 00) = u 2 (0, 00) = 100, l utilità percepita dal primo giocatore per 100.00 euro è u 1 (100, 00) 47, 36 (vedi soluzione dell esercizio precedente). Per determinare l utilià u 2 (100, 00) del secondo giocatore bisogna osservare che in conseguenza della sua strategia di gioco possono ottenersi i seguenti risultati: i) il giocatore realizza 150,00 euro, la probabilità di tale evento è P (150, 00) = 18 probabilità di tale evento è P (100, 00) = 18 = 0, 474, ii) il giocatore realizza 100,00 euro, la = 0, 249, iii) il giocatore realizza 0,00 euro, la probabilità di tale evento è P (0, 00) = ( ) 2 = 0, 277, iv) il giocatore realizza 0,00 euro, la probabilità di tale evento è P (0, 00) = 0. Il quarto risultato è fittizio, ma mostra come possa essere giustificato il valore u 2 (0.00) = 100 per il secondo giocatore. Dato che il secondo giocatore ha deciso di puntare ne consegue che u 2 (100, 00) P (0, 00)u 2 (0, 00) + P (150, 00)u 2 (150, 00) + P (100, 00)u 2 (100, 00) + P (0, 00)u 2 (0, 00). Da quest ultima disequazione non è possibile determinare u 2 (100) dato che non è noto a priori il valore di u 2 (150). E quindi necessaria aggiungere l ipotesi che u 2 (x) = a be rx. Imponendo u 2 (0, 00) = 0 e u 2 (0, 00) = 100 si ottiene u 2 (x) = 100 1 e rx 1 e 0r. Da cui la disequazione di interesse diventa e quindi 1 e 100r e 0r 18 01 + 1 e 0r 1 e 0r 1 e 150r 18 1 e 100r + 1 e 0r 1 e 0r + ( ) 2 1 e 0r 1 e 0r 271(1 e 100r ) 171(1 e 150r ) 271e 100r 171e 150r 100 0 Le soluzioni del equazione associata alla disuguaglianza sono rispettivamente r = 0 e r = 0.211 10 2. La prima soluzione non è ammissibile, mentre la negatività della seconda soluzione indica che il decisore è propenso al rischio. Si ottiene quindi u 2 (100.00) 100 1 e0.211 1 e 0.422 = 47, 74. Le utilità percepita di 100.00 euro dei due giocatori sono paragonabili. Infatti, la massima utilità percepita per 100.00 euro compatibile con le scelte del secondo giocatore è solo leggermente superiore alla massima utilità percepita per 100.00 euro compatibile con le scelte del primo giocatore. (5) Disegnando per punti la funzione di utilità si osserva che essa giace al di sopra della retta di indifferenza al rischio. Il decisore è quindi avverso al rischio. La curva presenta però un anomalia 4
nell intorno dei 6000,00 euro. Infatti essa presenta un andamento convesso non coerente con l avversione al rischio del decisore. Un decisore avverso al rischio ritiene infatti che la variazioni u di utilià indotte da una variazione x del payoff debbano decrescere al crescere del payoff stesso (da cui u(x) deve essere concava). In altre parole la variazione di utilità percepita dal decisore per una variazione del payoff di 10,00 euro deve essere minore nell intorno di 1000,00 euro piuttosto che nell intorno di,00 euro. (6) Per rispondere a questa domanda di devono fare un ipotesi aggiuntiva. In particolare si deve assumere che i decisori, avendo a disposizione lo stesso capitale, in situazioni identiche si comporterebbero nello stesso modo. Nel contesto proposto dalla domanda, se i decisori sono avversi al rischio, quello responsabile della piccola azienda darebbe maggiore utilità ai 100.000,00 euro che quello responsabile della seconda azienda. Infatti un eventuale perdita di 25.000,00 avrebbe maggiore impatto sulla piccola azienda che su quella grande. Sempre per gli stessi motivi, in caso di propensione al rischio, l amministratore della piccola azienda darebbe invece minore utilità ai 100.000,00 euro che l amministratore della seconda azienda. (7) Inizialmente si devono determinare i valori dei parametri della funzione di utilità del decisore. E possibile fare ciò in base alle informazioni sull investimento passato. Posto u() = 0 e u(80) = 100, il valore dell utilità attesa di tale investimento risulta essere 66,6. Poiché il decisore ritenne il valore monetario equivalente uguale a 65 Keuro si deduce che u(65) = 66, 6. Osservando che il valore atteso dell investimento è uguale a 60 Keuro si può concludere che il decisore è (o per lo meno fu) propenso al rischio. Si noti infatti, che in condizione di indifferenza al rischio, risulterebbe essere uguale a 66,6 l utilità di 60 Keuro e non quella di 65 Keuro. Imponendo le condizioni u() = 0, u(80) = 100, u(65) = 66, 6 si ottiene u(x) 114 + 2, 5x + 1290 x. (Si noti che i coefficienti della funzione di utilità sono volutamente arrotondati, in quanto è irrealistico pensare che si possano stimare in maniera esatta.) L utilità attesa del primo investimento risulta essere EU 1 = 1 2 u() + 3 7 u(40) + 1 14u(80) = 15.4. L utilità attesa del secondo investimento risulta essere EU 2 = 1 4 u()+ 3 967,5 4u(Q) = 85, 5+1, 875Q+ Q. Ponendo EU 1 = EU 2 si ottiene Q = 12, 5 e Q = 41, 3 dove il risultato Q = 12, 5 è da escludere in quanto fuori dall intervallo considerato. 5