MODULI DI LINEAMENTI DI MATEMATICA

R. MANFREDI - E. FABBRI - C. GRASSI TRIENNIO licei scientifici MODULI DI LINEAMENTI DI MATEMATICA per il triennio della scuola secondaria di secondo grado L CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E ELEMENTI DI STATISTICA INFERENZIALE

R. Manfredi - E. Fabbri - C. Grassi MODULI DI LINEAMENTI DI MATEMATICA per il triennio dei licei scientifici L Calcolo delle probabilità e elementi di statistica inferenziale

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3 Indice CAPITOLO Eventi, probabilità 5 Eventi, 5. Spazio dei risultati. Eventi, 5. Eventi elementari. Evento certo. Evento impossibile. Eventi aleatori, 7. Operazioni con gli eventi, 7. Eventi compatibili ed eventi incompatibili. Partizione dello spazio degli eventi, 8. Eventi unici ed eventi ripetibili. Frequenza, 0. Definizione classica di probabilità,. Limiti della definizione classica di probabilità, 4. Definizione frequentista di probabilità, 4. Probabilità e frequenza. Legge empirica del caso, 4. Definizione frequentista di probabilità, 5. Limiti della definizione frequentista di probabilità, 5. Definizione soggettivistica di probabilità, 6. Teoria assiomatica della probabilità, 7. Esercitazioni di laboratorio, 20. Esercizi, 23. CAPITOLO 2 Teoremi sulla probabilità 34 Probabilità totale, 34. Probabilità totale di eventi incompatibili, 34. Probabilità totale di eventi compatibili, 35. Probabilità contraria, 38. Probabilità condizionata, 39. Dipendenza stocastica e probabilità composta, 42. Dipendenza stocastica. Eventi indipendenti, 42. Probabilità composta, 43. Applicazione dei teoremi sulla probabilità, 45. Formula di Bayes, 48. Formula di Bayes, 5. Esercizi, 54. CAPITOLO 3 Variabili casuali discrete 72 Definizione di variabile casuale discreta, 72. Somma e prodotto di una variabile casuale e di una costante, 76. Valor medio, moda e mediana, 77. Valor medio, 77. Proprietà del valor medio, 79. Moda e Mediana, 80. Varianza e scarto quadratico medio, 82. Variabilità di una variabile casuale, 82. Varianza, 83. Proprietà della varianza, 84. Funzione di ripartizione, 86. Definizione della funzione di ripartizione, 86. Proprietà della funzione di ripartizione, 88. Il teorema di Čebyšev, 90. Cenni di teoria dei giochi, 92. Speranza matematica, 92. Giochi equi, 93. Esercitazioni di laboratorio, 95. Esercizi, 97. CAPITOLO 4 Distribuzioni tipiche delle variabili casuali discrete 5 Distribuzione binomiale, 5. Introduzione, 5. Il problema delle prove ripetute, 7. Variabile casuale a distribuzione binomiale, 8. Media e varianza di una variabile casuale a distribuzione binomiale, 9. Valore modale di una variabile a distribuzione binomiale, 22. Il caso testa-croce, 23. La legge dei grandi numeri, 24. La distribuzione di Poisson, 25. Proprietà della distribuzione di Poisson, 27. Distribuzione geometrica, 30. Funzione di ripartizione della distribuzione geometrica, 32. Esercitazioni di laboratorio, 33. Esercizi, 37. CAPITOLO 5 Variabili casuali continue 48 Indice Introduzione, 48. Variabili casuali continue e funzione di ripartizione, 49. Altre proprietà della funzione di ripartizione, 52. La funzione di densità di probabilità, 53. La funzione di probabilità, 53. Densità puntuale di probabilità. Funzione di densità di probabilità, 55. Proprietà della funzione di densità, 56. Valor medio, 59. Varianza e scarto quadratico medio, 6. Moda e mediana, 64. Somma e prodotto di una variabile casuale continua e di una costante, 65. Teorema di Cebysev, 69. Esercizi, 7. CAPITOLO 6 Distribuzioni tipiche delle variabili casuali continue 87 Distribuzione uniforme, 87. Distribuzione esponenziale, 89. Distribuzione gaussiana, 92. Distribuzione gaussiana standardizzata, 92. Distribuzione gaussiana: caso generale, 94. I parametri m e, 94. Utilizzo delle tavole della funzione di ripartizione: variabile standardizzata, 96. Utilizzo delle tavole della funzione di ripartizione: variabile non standardizzata, 97. Intervalli tipici di scostamento, 97. Distribuzione binomiale e distribuzione gaussiana, 98. Applicazioni della distribuzione gaussiana, 200. Esercitazioni di laboratorio, 202. Esercizi, 205.

4 CAPITOLO 7 Statistica descrittiva bivariata 23 Richiami, 23. Tabelle semplici, composte, a doppia entrata, 24. Tabelle composte, 24. Tabelle a doppia entrata, 25. Distribuzioni statistiche, 25. Distribuzioni semplici, 25. Distribuzioni congiunte, 25. Distribuzioni condizionate, 25. Distribuzioni marginali, 26. Regressione, 26. Interpolazione matematica e interpolazione statistica, 26. Il problema della regressione, 27. Grado di accostamento. Metodi di regressione, 29. Regressione lineare, 22. Regressione quadratica, 222. Regressione esponenziale, 224. Correlazione, 226. Il coefficiente di correlazione del Bravais, 226. Esercitazioni di laboratorio, 229. Esercizi, 233. CAPITOLO 8 Inferenza statistica 250 Concetti fondamentali, 250. Universo e campioni, 250. L inferenza statistica, 25. Formazione del campione ed elaborazione delle statistiche, 252. Parametri e statistiche campionarie, 253. Distribuzioni campionarie, 253. La media campionaria, 255. La varianza campionaria, 256. La proporzione campionaria, 257. Problemi di stima, 260. Stime puntuali, 26. Stima puntuale della media, 26. Stima puntuale della proporzione, 26. Stime per intervallo, 262. Stima per intervallo della media per grandi campioni, 262. Stima per intervallo della proporzione per grandi campioni, 265. Stima per intervallo della media per piccoli campioni, 266. Analisi statistica degli errori di misura, 267. Cause degli errori. Errori sistematici ed errori casuali, 267. Distribuzione degli errori e delle misure, 268. Stime della grandezza, 269. Intervalli tipici, 27. Esercitazioni di laboratorio, 272. Esercizi, 276. APPENDICE Risoluzione di alcuni problemi proposti agli esami di stato 288 APPENDICE 2 Tavole 298 Indice

5 Eventi, probabilità Eventi Definizione classica di probabilità Definizione frequentista di probabilità Definizione soggettivista di probabilità Teoria assiomatica della probabilità Esercitazioni di laboratorio Osservazioni. Il presente capitolo riprende e approfondisce i temi introdotti, nel biennio, nel modulo E. I concetti allora esposti in modo intuitivo vengono qui affrontati criticamente e fondati con maggior rigore. Prerequisiti per lo studio di questo capitolo sono i concetti fondamentali della teoria degli insiemi e della logica (modulo K) e la conoscenza del calcolo combinatorio (modulo D, capitolo 4). Lo studio, nel biennio, del capitolo sopra citato, per quanto utile non è un prerequisito essenziale, in quanto l argomento viene ripreso, con una diversa prospettiva, a partire dalle sue basi. Eventi In questo modulo, oltre a sviluppare e approfondire il tema del calcolo delle probabilità, riconsidereremo criticamente anche i concetti di evento e di probabilità, già introdotti nel cap. E del modulo E del biennio, cercando di fondarli in modo più rigoroso. Occorre però premettere che le definizioni di evento e probabilità via via proposte nel corso della storia della matematica, sono state oggetto di critiche e revisioni che, cominciando con la definizione classica di probabilità, hanno portato alla definizione frequentista e alla definizione soggettiva di probabilità, fino alla formulazione della teoria assiomatica della probabilità; quest ultima, similmente ad altre teorie matematiche, fonda il calcolo delle probabilità su di un sistema di assiomi. Nel contesto della teoria assiomatica il concetto di probabilità non è definito, ma assunto come primitivo, come nella geometria si assumono come primitivi concetti quali quelli di punto, retta e piano. In questo capitolo affronteremo sinteticamente prima tali definizioni di probabilità e quindi la teoria assiomatica della probabilità. Spazio dei risultati. Eventi 2 D Si dice spazio dei risultati o spazio campione l insieme di tutti i possibili esiti, tra loro incompatibili (*), di un osservazione o di un esperimento. Si dice evento ogni sottoinsieme dello spazio campione. Se il risultato Eventi, probabilità TEORIA (*) Precisiamo che affermare che gli esiti dell esperimento o osservazione sono tra loro incompatibili significa affermare che il verificarsi di uno di essi esclude il verificarsi degli altri.

6 r dell osservazione o esperimento è un elemento dell evento E, si dice che l evento E è verificato o anche che è realizzato. Se invece r 62 E si dice che l evento E non è verificato. Nel seguito diremo prova l esecuzione dell esperimento o dell osservazione. In riferimento a un prefissato evento E, diremo successo l esecuzione di una prova in cui si verifica tale evento e insuccesso l esecuzione di una prova in cui non si verifica. Consideriamo, come esperimento, il lancio di un dado a sei facce, numerate da a 6. Assumiamo come esito dell esperimento il numero riportato sulla faccia volta verso l alto. Lo spazio dei risultati (fig. ) in tal caso è l insieme S ¼f ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6g. Sono eventi, ad esempio, i seguenti sottoinsiemi di S: A ¼f6g ossia l uscita del numero 6. B ¼f2 ; 4 ; 6g ossia l uscita di un numero pari. C ¼f ; 2g ossia l uscita di un numero minore di 3. Se lanciando il dado esce il numero (ossia se l esito dell esperimento è ), è verificato l evento C mentre non sono verificati gli eventi A e B. Se esce il numero 2, sono verificati gli eventi B e C, mentre non è verificato l evento A. Spazio degli C eventi 3 4 2 B A 6 TEORIA Eventi, probabilità 5 Figura 2 Consideriamo l osservazione di un pezzo meccanico, prodotto da una fabbrica di ricambi, effettuata da un addetto al controllo qualità, il quale deve stabilire se il pezzo non ha difetti, oppure se ha lievi difetti che non ne pregiudicano la vendibilità oppure se ha gravi difetti che lo rendono invendibile. L esito dell osservazione è la formulazione di uno di questi tre giudizi. Lo spazio dei risultati, costituito da tre elementi, è S ¼fnon difettoso; lievemente difettoso; gravemente difettosog. Sono eventi, ad esempio: Il pezzo è vendibile che corrisponde al sottoinsieme fnon difettoso; lievemente difettosog S. Il pezzo è invendibile che corrisponde al sottoinsieme fgravemente difettosog S. 3 Consideriamo come esperimento il lancio di una moneta, ripetuto fino a quando non esce testa. I possibili esiti, ossia gli elementi dello spazio dei risultati, sono: A : esce testa al primo lancio; A 2 : esce testa per la prima volta al secondo lancio; A 3 : esce testa per la prima volta al terzo lancio; ecc. Si noti che in questo caso lo spazio dei risultati ha infiniti elementi.

7 Eventi elementari. Evento certo. Evento impossibile. Eventi aleatori 3 Formuliamo ora alcune importanti definizioni. D Si dice evento elementare qualunque sottoinsieme dello spazio dei risultati S costituito da un solo elemento. D Si dice evento certo lo stesso insieme S, spazio dei risultati. D Si dice evento impossibile l insieme vuoto [. D Si dice evento aleatorio o anche evento casuale qualunque evento diverso dall evento certo e dall evento impossibile. In base alle definizioni ora formulate risulta evidente che: a ogni singolo risultato della prova corrisponde un evento elementare; l evento certo è verificato qualunque sia l esito della prova: infatti qualunque sia il risultato r, siha sempre che r 2 S, per l ovvio motivo che l insieme S, per definizione di spazio dei risultati, contiene tutti i risultati possibili; l evento impossibile non è verificato qualunque sia l esito della prova: infatti qualunque sia il risultato r, si ha sempre che r 62 [, per l ovvio motivo che l insieme vuoto [ non contiene alcun elemento; di un evento aleatorio non è possibile affermare a priori che sia verificato o meno: ciò dipende dall esito della prova, ossia dal caso (latino: alea). Con riferimento all esempio del numero precedente, sono eventi elementari E ¼fg (uscita del numero ), E 2 ¼f2g (uscita del numero 2) ecc. L evento certo S ¼f ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6g potrebbe essere descritto come uscita di un numero intero compreso tra e 6 oppure come uscita di un numero minore di 0 o anche uscita di un numero pari o dispari o in altri modi ancora. L evento [ potrebbe essere descritto come uscita di un numero maggiore di 6, oppure uscita di un numero intero contemporaneamente pari e dispari. Evidentemente, qualunque sia l esito dell esperimento, ossia qualunque numero esca, l evento S è verificato mentre l evento [ non è verificato. Qualunque altro evento diverso da S eda[, come lo sono gli eventi A, B e C dell esempio citato, è un evento aleatorio: non è possibile affermare a priori che un tale evento sia verificato o meno: ciò dipende dall esito dell esperimento, ossia dal numero che esce quando si lancia il dado. Osservazione: casualità di un evento. Spesso quando si pensa a un evento casuale si pensa a un evento futuro. La casualità è allora dovuta al fatto che, non essendo ancora stato eseguito l esperimento o l osservazione, non se ne conosce l esito, e non si può quindi sapere se l evento considerato sarà verificato o no. Ma in realtà la casualità di un evento non è determinata tanto dal suo collocarsi nel futuro, quanto dalla mancanza o incompletezza di informazioni sull esito della prova. Anche un evento come ieri a Stoccolma è piovuto, pur ponendosi nel passato, può essere considerato un evento aleatorio, perlomeno fintanto che manchi una completa informazione sulle condizioni meteorologiche di Stoccolma nella giornata di ieri. Ha senso effettuare una scommessa su tale evento come ha senso effettuare una scommessa sul numero che uscirà lanciando un dado. Si potrà conoscere l esito della scommessa dopo aver raccolto le informazioni necessarie, ossia dopo essersi informati sul tempo ieri a Stoccolma o, rispettivamente, dopo aver lanciato il dado. Eventi, probabilità TEORIA Operazioni con gli eventi 4 Avendo definito gli eventi come sottoinsiemi dell insieme S, spazio dei risultati, risulta naturale estendere le note definizioni delle operazioni insiemistiche agli eventi.

8 D Si definisce unione di due eventi A e B, e si indica con A [ B, quell evento che si verifica se e solo se si verifica almeno uno dei due eventi A e B. D Si definisce intersezione di due eventi A e B, e si indica con A \ B, quell evento che si verifica se e solo se si verificano entrambi gli eventi A e B. D Si definisce evento complementare o contrario, o anche negazione di un evento A, e si indica con A, quell evento che si verifica se e solo se non si verifica A. Le ragioni di tali definizioni sono abbastanza evidenti: riguardo la definizione di unione osserviamo che dire si verifica almeno uno dei due eventi A o B significa affermare che l esito r della prova appartiene ad almeno uno dei due insiemi A o B; ma ciò significa che r 2 A [ B ossia che è verificato l evento A [ B. Perciò la precedente definizione di unione di due eventi non è in realtà che una riformulazione della già nota definizione di unione di due insiemi. Analoghe considerazioni si possono svolgere riguardo l intersezione di due eventi e l evento complementare. In ragione delle definizioni date, le proprietà delle operazioni insiemistiche si estendono immediatamente alle operazioni tra eventi: Proprietà commutativa: A [ B ¼ B [ A A\ B ¼ B \ A Proprietà associativa: A [ðb [ CÞ ¼ðA [ BÞ[C A\ðB \ CÞ ¼ðA \ BÞ\C Proprietà distributiva: A [ðb \ CÞ ¼ðA [ BÞ\ðA [ CÞ A \ðb [ CÞ ¼ðA \ BÞ[ðA \ CÞ Proprietà di idempotenza: A [ A ¼ A A\ A ¼ A Leggi di De Morgan: A [ B ¼ A \ B A \ B ¼ A [ B Leggi della complementarità: A [ A ¼ S A ¼ A A\ A ¼ [ TEORIA Eventi, probabilità Sempre in riferimento all esempio del n. 2, ove l esperimento è il lancio di un dado, consideriamo ancora gli eventi: A ¼f4 ; 5 ; 6g: uscita di un numero maggiore di 3. B ¼f2 ; 4 ; 6g: uscita di un numero pari. C ¼f ; 2g: uscita di un numero minore di 3. Si ha A [ B ¼f2 ; 4 ; 5 ; 6g, ossia l unione degli eventi A e B è l evento uscita di un numero pari o maggiore di 3. Si ha A \ B ¼f4 ; 6g, ossia l intersezione degli eventi A e B è l evento uscita di un numero pari e maggiore di 3. Si ha C ¼f3 ; 4 ; 5 ; 6g, ossia l evento complementare dell evento C è l evento uscita di un numero maggiore o eguale a tre. Si ha poi A \ C ¼ [, ossia l intersezione degli eventi A e C è l evento impossibile uscita di un numero minore di 3 e maggiore di 3. L evento ða [ BÞ\C si determina eseguendo prima l unione A [ B ¼f2 ; 4 ; 5 ; 6g e quindi l intersezione dell evento così ottenuto con l evento C. Risulta ða [ BÞ\ C ¼f2g. Eventi compatibili ed eventi incompatibili. Partizione dello spazio degli eventi 5 D Due eventi A e B si dicono compatibili se si possono verificare contemporaneamente, ossia se A \ B 6¼ [. Se invece i due eventi non si possono verificare contemporaneamente, ossia se A \ B ¼ [, essi si dicono incompatibili. Nella definizione ora formulata abbiamo affermato che i due eventi si possono verificare contemporaneamente se e solo se A \ B 6¼ [ e, viceversa, che i due eventi non si possono verificare contemporaneamente se e solo se

9 A \ B ¼ [. Infatti se A e B si verificano contemporaneamente, l esito r della prova appartiene sia ad A sia a B e quindi A \ B 6¼ [. Viceversa, se A e B non si possono verificare contemporaneamente significa che non esiste alcun esito della prova che appartenga sia ad A sia a B, e quindi A \ B ¼ [. Si vedano le figure 2 e 3. Si può anche dire che due eventi sono incompatibili se e solo se la loro intersezione è l evento impossibile. Eventi compatibili Eventi incompatibili A A B B Figura 2 Figura 3 D Si chiama partizione dello spazio degli eventi una famiglia (*) di eventi P ¼fE ; E 2 ; :::g a due a due incompatibili e tali che la loro unione sia lo spazio degli eventi S, ossia: i 6¼ k ¼) E i \ E k ¼ [; E [ E 2 [ ::: ¼ S: Si noti che questa definizione non è altro che una riformulazione della definizione di partizione già nota dalla teoria degli insiemi. Affermare che gli eventi sono a due a due incompatibili equivale ad affermare che non si possono verificare contemporaneamente due eventi distinti di P, mentre affermare che l unione degli eventi di P è lo spazio degli eventi S, ovvero è l evento certo, significa dire che, tra gli eventi di S, se ne deve verificare almeno uno; si veda anche la figura 4 dove la partizione dello spazio degli eventi S è costituita da una famiglia di 9 insiemi. S E E 2 E 3 E 4 E 5 E 6 E 7 E 8 E 9 Figura 4 Quindi se P è una partizione dello spazio degli eventi effettuando una prova si deve verificare uno e un solo evento tra gli eventi E, E 2,... che costituiscono la partizione P. Consideriamo ancora il lancio di un dado a sei facce. Gli eventi A ¼f2 ; 4 ; 6g ossia uscita di un numero pari, e B ¼fg ossia uscita di Eventi, probabilità TEORIA (*) Il termine famiglia è usato come sinonimo di insieme. Quindi una famiglia di eventi non è altro che un insieme di eventi. Ma essendo gli eventi a loro volta insiemi, si parlerebbe così di insieme di insiemi. Ciò non sarebbe scorretto, ma potrebbe provocare confusioni. Perciò si preferisce ricorrere a un sinonimo.

0 sono evidentemente incompatibili. In questo caso A e B non costituiscono una partizione dello spazio degli eventi S ¼f ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6g, in quanto A [ B 6¼ S. 2 Consideriamo i due eventi C ¼f2 ; 4 ; 6g ossia uscita di un numero pari, e D ¼f ; 3 ; 5g ossia uscita di un numero dispari". P ¼fC ; Dg costituisce una partizione dello spazio degli eventi S ¼f ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6g, in quanto C \ D ¼ [ (C e D sono incompatibili) e C [ D ¼ S. Si osservi che lanciando un dado, dei due eventi A e B se ne verifica uno e uno solo. Eventi unici ed eventi ripetibili. Frequenza 6 Un evento si dice unico o anche singolo se l esperimento o l osservazione cui si riferisce può essere eseguito una sola volta. Se invece tale esperimento o osservazione può essere eseguito un numero indefinito di volte, l evento si dice ripetibile. L evento l Italia vincerà i campionati mondiali di calcio del 200 è un evento unico: l esperimento che può verificare tale evento infatti è lo svolgimento, nel 200, dei campionati mondiali di calcio e, come è evidente, tale prova non può essere ripetuta. Invece l evento lanciando un dado esce 6 è ripetibile, perché l esperimento in questione, ossia il lancio di un dado, può essere ripetuto quante volte si vuole. Se un evento E è ripetibile, si può definire la sua frequenza. D Se su n prove l evento ripetibile E si è verificato m volte, si definisce frequenza di tale evento il rapporto tra numero di successi e numero di prove: TEORIA Eventi, probabilità f ¼ m n : Si osservi che il numero di successi è un intero non negativo ed evidentemente minore o eguale al numero di prove n: 0 m n; dividendo tutti i termini di tale relazione per n si ottiene: 0 f : La frequenza di un evento ripetibile è un numero non negativo minore o eguale a. In particolare la frequenza è zero se l evento non si è mai verificato in alcuna prova, mentre è se si è verificato in tutte le prove. Osserviamo anche che, se un evento è certo, esso si verifica in tutte le prove: in tal caso il numero di successi è eguale al numero di prove: n ¼ m, e pertanto la frequenza di un evento certo è. Analogamente se un evento è impossibile esso non si verifica in alcuna prova, e quindi m ¼ 0; dunque la frequenza di un evento impossibile è 0. Si presti attenzione al fatto che queste affermazioni non sono però invertibili; ad esempio lanciando un dado 0 volte potrebbe non uscire mai il 6: la frequenza di tale evento sarebbe in tal caso 0, ma ciò non basta certo ad affermare che l uscita del 6 sia impossibile. Si lancia un dado 50 volte, ottenendo i seguenti esiti: FACCIA 2 3 4 5 6 N. USCITE 2 23 30 26 22 28 Il numero di prove è 50.

L evento uscita del numero 6 si è verificato 28 volte e quindi la sua frequenza è 28 50 ¼ 4 ¼ 0; 86666::: 75 L evento uscita di un numero pari si è verificato 23 þ 26 þ 28 ¼ 77 volte e quindi la sua frequenza è 77 ¼ 0; 53333::: 50 Definizione classica di probabilità 7 Presenteremo ora, come abbiamo anticipato all inizio del capitolo, le varie definizioni di probabilità di un evento, cominciando dalla definizione classica. Premettiamo che indicheremo la probabilità di un evento E con la scrittura pðeþ. D La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero di esiti che verificano l evento e il numero totale di esiti possibili, supposto che essi abbiano tutti la stessa possibilità di verificarsi. L ipotesi che tutti gli esiti siano egualmente possibili (che come vedremo nel prossimo paragrafo è uno dei punti deboli della definizione classica), equivale a dire che non c è nessuna ragione per cui un esito possa verificarsi più facilmente di un altro. Si osservi che in base alle definizioni formulate nei precedenti paragrafi il numero di esiti che verificano E non è altro che il numero di elementi dell insieme E, sottoinsieme dello spazio dei risultati S, mentre il numero totale di esiti possibili è il numero di elementi dello spazio dei risultati. Se indichiamo con m il numero degli esiti favorevoli al verificarsi di un evento E (ossia il numero di elementi di E), con n il numero totale di esiti (ossia il numero di elementi dello spazio dei risultati S, che supponiamo siano tutti egualmente possibili), in base alla definizione classica si ha: pe ð Þ ¼ m n : In particolare: Se E è l evento impossibile, siham ¼ 0, perché per definizione l evento impossibile è l insieme vuoto, e dunque risulta p(e) =0. Se E è l evento certo, siham ¼ n, perché per definizione l evento certo è lo stesso spazio dei risultati, e dunque ha lo stesso numero di elementi di questo, per cui risulta p(e) =. Se E è un evento aleatorio, siha0< m < n, perché E è un sottoinsieme proprio e non vuoto dello spazio dei risultati che contiene n elementi, per cui risulta 0<p(E) <. La probabilità dell evento impossibile è 0, la probabilità dell evento certo è, la probabilità diun evento aleatorio è un numero positivo minore di. In generale, la probabilità di un evento è un numero appartenente all intervallo ½0 ; Š: 0 pðeþ : Eventi, probabilità TEORIA Calcolare la probabilità che, lanciando un dado, esca il numero 6. Lo spazio dei risultati è l insieme S ¼f ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6g e contiene 6 elementi, o in altre parole, i casi possibili sono 6. Dunque si ha n ¼ 6. L evento considerato è E ¼f6g e contiene un solo elemento o, in altre parole, vi è un solo caso favorevole al verificarsi dell evento considerato. Dunque si ha m ¼.

2 Se il dado non è truccato non vi è alcuna ragione per pensare che una faccia possa uscire più facilmente di un altra, dunque tutti gli esiti sono egualmente possibili. Possiamo dunque concludere che la probabilità richiesta è pðeþ ¼ 6 : 2 Calcolare la probabilità che, lanciando un dado, esca un numero pari. Lo spazio dei risultati è ovviamente quello dell esempio precedente, mentre l evento considerato è E ¼f2 ; 4 ; 6g e contiene 3 elementi, ossia 3 sono i casi favorevoli. Dunque è pðeþ ¼ 3 6 ¼ 2 : TEORIA Eventi, probabilità 3 Da un mazzo di 40 carte da gioco se ne estrae una. Calcolare la probabilità degli eventi: A : estrazione di una figura e B: estrazione di una carta di fiori Per entrambi gli eventi i casi possibili sono 40, ossia uno per ogni carta del mazzo, ed essi si possono considerare tutti egualmente possibili. Per l evento A i casi favorevoli sono 2, ossia tanti quante sono le figure nel mazzo, mentre per l evento B sono 0, quante sono le carte di fiori. Dunque si ha: pðaþ ¼ 2 40 ¼ 3 0 ; pðbþ ¼ 0 40 ¼ 4 : 4 Si lanciano 3 monete; calcolare la probabilità di ottenere 2 teste e croce. A ognuna delle due facce della prima delle tre monete si può associare una delle due facce della seconda, ottenendo per le prime due monete 2 2 ¼ 4 combinazioni; a ciascuna di tali combinazioni si può associare una delle due facce della terza moneta, ottenendo così in totale 2 2 2 ¼ 8 combinazioni, egualmente possibili, che possiamo rappresentare con le seguenti terne TTT TTC TCT TCC CTT CTC CCT CCC: I casi possibili sono dunque 8. I casi favorevoli sono 3, ossia le terne TTC, TCT, CTT e la probabilità dell evento considerato è quindi: p ¼ 3 8 : 5 Calcolare la probabilità che, lanciando k monete, escano tutte teste. Con ragionamenti analoghi a quelli svolti nell esempio precedente, non è difficile arrivare alla conclusione che i casi possibili sono 2 k. Si può giungere alla stessa conclusione considerando che le possibili combinazioni delle facce delle k monete sono le disposizioni con ripetizione di classe k dei due elementi T e C, e sono quindi in numero di D 0 2;k ¼ 2 k.vièun solo caso favorevole: quello in cui ciascuna moneta cade mostrando la testa. Dunque la probabilità dell evento considerato è 2. k 6 Da un urna, che contiene 6 palline bianche e 9 palline blu, se ne estraggono 2 contemporaneamente. Calcolare la probabilità degli eventi: A: le palline estratte sono entrambe bianche ; B: le palline estratte sono una blu e una bianca. I casi possibili sono tutti i gruppi di 2 palline che si possono estrarre dall urna, ossia i sottoinsiemi di due elementi dell insieme delle 5 palline contenute nell urna. Il loro numero è dunque quello delle combinazioni di 5 oggetti di classe 2: n ¼ C 5;2 ¼ 5 ¼ 05: 2

3 I casi favorevoli all evento A corrispondono ai gruppi di due palline bianche che si possono formare, ossia i sottoinsiemi di due elementi dell insieme delle 6 palline bianche. Il loro numero è dunque quello delle combinazioni di 6 oggetti di classe 2: m ¼ C 6;2 ¼ 6 ¼ 5: 2 La probabilità dell evento A è dunque: pðaþ ¼ 5 05 ¼ 7 : I casi favorevoli all evento B corrispondono ai gruppi costituiti da una pallina blu e una bianca; ciascuno di tali gruppi si ottiene associando, a una delle 6 palline bianche, una delle 9 palline blu. Tali gruppi sono quindi in numero di m ¼ 6 9 ¼ 54. La probabilità dell evento A è dunque: pðbþ ¼ 54 05 ¼ 8 35 : 7 Calcolare la probabilità che, lanciando 0 monete, escano esattamente 3 teste. Il numero di casi possibili si ottiene ragionando come negli esempi 4 e 5; essi sono n ¼ 2 0. Per calcolare il numero di casi favorevoli è sufficiente considerare che a ogni esito favorevole è possibile associare un sottoinsieme formato da tre delle dieci monete, e precisamente quelle tre monete su cui è uscita testa. Pertanto il numero di casi favorevoli è il numero dei sottoinsiemi di tre elementi dell insieme delle dieci monete, ossia m ¼ C 0;3 ¼ 0 ¼ 20: 3 Pertanto la probabilità dell evento considerato è p ¼ 20 5 ¼ 2 0 28 : 8 Calcolare la probabilità di vincere un terno al lotto giocando tre numeri su una determinata ruota. Nel gioco del lotto si estraggono, per ciascuna ruota, 5 numeri da un urna contenente i numeri da a 90. Gli esiti possibili sono pertanto i gruppi di 5 numeri che si possono formare con i 90 presenti nell urna, e quindi sono in numero di n ¼ C 90;5 ¼ 90 : 5 I casi favorevoli sono tutti quei gruppi di 5 numeri che contengono, oltre ai tre numeri che sono stati giocati, due numeri qualsiasi tra i restanti 87. Il loro numero è dunque pari a quello dei sottoinsiemi di due elementi di un insieme di 87, ossia: La probabilità cercata è dunque 87 2 p ¼ ¼ 90 5 m ¼ C 87;2 ¼ 87 2 : 87 86 2 5 4 3 2 90 89 88 87 86 ¼ :748 : Eventi, probabilità TEORIA

4 8 Come il lettore avrà notato, buona parte degli esempi presentati nel Limiti della definizione paragrafo precedente per illustrare la definizione classica di probabilità sono classica ispirati a giochi d azzardo: giochi di dadi, di carte, lanci di monete. Ciò non di probabilità deve stupire, perché il concetto stesso di probabilità viene introdotto per la prima volta proprio in relazione a studi sui giochi d azzardo, e la definizione classica, dovuta a Lagrange, si adatta molto bene alle situazioni correlate a tali giochi. Tuttavia tale definizione ha dei limiti: essa è applicabile quando tutti i possibili esiti della prova hanno la stessa possibilità di verificarsi. In tutte quelle situazioni in cui ciò non accade la definizione classica è inutilizzabile. Si pensi ad esempio a un incontro di calcio Juventus-Acireale. Gli esiti possibili sono tre: vittoria della squadra di casa, pareggio, vittoria della squadra ospite, ma non si può certo affermare che tali esiti abbiano tutti la stessa probabilità di verificarsi! O ancora, i pezzi meccanici prodotti da una macchina possono essere difettosi o no: gli esiti possibili sono dunque due, ma non è ragionevole ipotizzare che tali esiti abbiano la stessa possibilità di verificarsi. La definizione classica è criticabile anche da un punto di vista logico: dicendo che tutti i casi possibili devono avere la stessa possibilità di verificarsi si afferma implicitamente che essi devono avere la stessa probabilità di verificarsi: dunque nel definire il concetto di probabilità si utilizza lo stesso concetto che si vuole definire. Infine la definizione classica si può applicare solo se lo spazio dei risultati contiene un numero finito di elementi. Definizione frequentista di probabilità TEORIA Eventi, probabilità Probabilità e frequenza. Legge empirica del caso 9 La frequenza di un evento ripetibile, definita al paragrafo 6, ha alcune proprietà simili a quelle della probabilità. Entrambe, frequenza e probabilità, sono numeri maggiori o eguali a zero e minori o eguali a, frequenza e probabilità dell evento certo sono entrambe eguali a, così come frequenza e probabilità di un evento impossibile sono entrambe eguali a 0. Tuttavia i due concetti non coincidono: ad esempio se la probabilità di un evento è 0, l evento è impossibile ma, come abbiamo già osservato al paragrafo 6, non si può affermare la stessa cosa se è 0 la sua frequenza. In realtà probabilità e frequenza sono concetti eterogenei: in base alla definizione classica la probabilità di un evento è definita in modo astratto, e può essere determinata a priori, mentre la frequenza è un concetto empirico: per calcolarla occorre effettuare concretamente le prove. Tuttavia non è possibile negare un legame tra i due concetti. A tale proposito occorre ricordare alcuni storici esperimenti. Georges-Louis Leclerc, conte di Buffon (707-788), lanciò per 4040 volte una moneta, ottenendo testa per 2048 volte, con una frequenza quindi pari a 0; 50693:::; l esperimento fu ripetuto due volte da Karl Pearson (857-936), con due serie, la prima di 2.000 e la seconda di 24.000 lanci, ottenendo rispettivamente 609 e 202 volte testa, con frequenze quindi pari a 0; 5058::: e 0; 5005. Questi esperimenti e altri simili portarono a formulare la seguente legge. Legge empirica del caso Se si esegue un grande numero di prove, tutte nelle stesse condizioni, la frequenza di un evento assume valori prossimi alla sua probabilità, e l approssimazione cresce all aumentare del numero di prove. Tale legge è di carattere empirico; essa mette in relazione due concetti appartenenti a sfere diverse e non può essere dimostrata ma solo verificata sperimentalmente. L importanza di tale legge è duplice: da un lato essa permette di prevedere, almeno approssimativamente, la frequenza con cui si presenterà un evento di cui si conosce la probabilità, dall altro essa permette di stimare, mediante la frequenza, la probabilità di un evento nel caso non si sia in grado di determinarla applicando la definizione classica.

5 Definizione frequentista di probabilità 0 Le considerazioni svolte nel paragrafo precedente giustificano la seguente definizione di probabilità, detta frequentista perché basata su quella coincidenza tendenziale di probabilità e frequenza stabilita dalla legge empirica del caso. D La probabilità di un evento è la sua frequenza, calcolata su un numero molto grande di prove eseguite nelle stesse condizioni. Una casa automobilistica vuole offrire ai suoi clienti una speciale garanzia contro i guasti di qualunque tipo per un certo modello di automobile nei primi tre anni dall acquisto. Allo scopo di valutare il costo di una tale garanzia vuole conoscere la probabilità dell evento guasto entro i primi tre anni. Viene commissionata perciò un apposita statistica, da cui risulta che, su 2.52 auto, 43 hanno avuto almeno un guasto nei primi tre anni di vita. In base a tali risultati si può affermare che la probabilità che quel modello di automobile abbia un guasto nei primi 43 tre anni di vita è ¼ 0; 03444::: 2:52 2 Un urna contiene 3000 gettoni, in parte bianchi e in parte neri. Se ne estraggono 20, reinserendo ogni volta nell urna il gettone estratto, e di questi 85 risultano neri e 35 bianchi. Stimare la composizione dell urna. Le frequenze degli eventi "estrazione di un gettone nero" e "estrazione di un gettone bianco" sono rispettivamente: 85 20 ¼ 7 24 e 35 20 ¼ 7 24 : Tali frequenze possono essere considerate delle approssimazioni delle probabilità dei due eventi. Ma, in base alla definizione classica di probabilità, tali probabilità sono rispettivamente n 3000 e b 3000 essendo n e b il numero di gettoni neri e bianchi contenuti nell urna. Dunque si deve avere: n 3000 7 24 7! n 3000 ¼ 225; 24 b 3000 7 24! b 7 3000 ¼ 875: 24 Si può quindi concludere che nell urna vi sono circa 225 gettoni neri e 875 gettoni bianchi. Limiti della definizione frequentista di probabilità Applicando la definizione frequentista di probabilità si confonde il concetto di probabilità di un evento con quello di frequenza. Ma la legge empirica del caso, su cui è basata tale definizione, afferma che il valore della frequenza approssima il valore della probabilità, non che i due valori coincidono. Dunque applicando la definizione frequentista non si ottiene il valore esatto della probabilità di un evento, ma solo una sua approssimazione. Ciò èevidente se si applica la definizione frequentista a eventi ripetibili la cui probabilità è calcolabile anche mediante la definizione classica: come risulta dagli esperimenti citati nel precedente paragrafo 9, i valori che si ottengono non sono esatti. Tali considerazioni però non inficiano la validità della definizione frequentista, purché si tenga presente che, laddove è possibile, le si deve preferire la definizione classica, che è in grado di fornire valori esatti della probabilità. La definizione frequentista infatti risulta indispensabile in tutti i quei casi in cui si voglia calcolare la probabilità di un evento ripetibile per cui non si possa calcolare il valore esatto della probabilità con la definizione classica: in tali casi è inevitabile ricorrere al valore della frequenza. Eventi, probabilità TEORIA

6 Osserviamo infine che la definizione frequentista si può evidentemente applicare solo a eventi ripetibili. Laddove sia impossibile effettuare il grande numero di prove, tutte nelle stesse condizioni richiesto dalla definizione frequentista, questa non è utilizzabile. Si pensi, ad esempio, ancora a un incontro di calcio. Abbiamo già detto che per calcolare le probabilità dei tre possibili esiti dell incontro non si può applicare la definizione classica. Ebbene in un caso come questo non si può applicare neppure la definizione frequentista: è evidente che non si può pensare di ripetere l incontro un gran numero di volte, sempre nelle stesse condizioni, allo scopo di calcolare le frequenze dei possibili esiti. Vedremo nel prossimo paragrafo come la definizione soggettiva di probabilità permetta di determinare la probabilità di un evento anche nei casi in cui non è possibile ricorrere né alla definizione classica né a quella frequentista. Definizione soggettivista di probabilità TEORIA Eventi, probabilità 2 Al fine di introdurre la definizione soggettivista di probabilità consideriamo il seguente esempio. Un giocatore A paga all allibratore B una somma s con l accordo di ricevere un euro se, estraendo una carta da un mazzo di 40, esce un asso. Ci domandiamo: chi trae vantaggio da un tale gioco? Ovviamente, se si effettua una singola estrazione e se è s <, guadagnerà il giocatore A se esce un asso, in caso contrario guadagnerà l allibratore B. Il quesito posto assume un senso diverso se si effettua un numero n di giocate molto grande. Poiché la probabilità che esca un asso è 4 ¼ 0;, la legge empirica del caso ci permette di affermare che il numero di successi di A sarà approssimativamente 0; n e 40 dunque il giocatore A riceverà (approssimativamente) 0; n euro, mentre avendo pagato s per ciascuno delle n estrazioni, avrà versato ns euro all allibratore. Dunque se ns < 0; n! s < 0; il gioco favorisce A, se si ha ns > 0; n! s > 0; il gioco favorisce B, se è ns ¼ 0; n! s ¼ 0; il gioco è equo. Il ragionamento fatto si può facilmente generalizzare: supponiamo che il giocatore A paghi una somma s all allibratore B con l accordo di ricevere un euro se si verifica un evento E di probabilità p. Sesi effettua un numero n di giocate molto grande, per la legge empirica del caso l evento E si presenterà con una frequenza approssimativamente eguale alla sua probabilità p, ossia se m è il numero di successi del giocatore A, si avrà m p ossia m np. Perciò al termine delle n giocate A avrà pagato ns e n avrà ricevuto (approssimativamente) np. Il gioco è equo, ossia non favorisce nessuno tra i due soggetti A e B, sesihans ¼ np! s ¼ p ossia se la somma s da pagare per ricevere un euro nel caso si verifichi l evento E, èeguale alla probabilità p che si verifichi l evento E che determina la vincita. Precisiamo che qui e nel seguito, quando ci riferiremo a un individuo razionale e coerente intenderemo un individuo in grado di svolgere ragionamenti come quelli appena esposti e in grado di non mutare il suo giudizio se agisce come giocatore piuttosto che come allibratore, ossia se ritiene equo pagare il prezzo s come giocatore per partecipare al gioco, deve anche ritenere equo ricevere lo stesso prezzo s in qualità di allibratore. Le considerazioni ora fatte suggeriscono che la somma che un individuo razionale e coerente riterrebbe equo pagare, con l accordo di ricevere un euro nel caso che si verifichi un prefissato evento E, è eguale alla probabilità p dell evento stesso. Viceversa, se un individuo razionale e coerente ritiene equo pagare una somma s con l accordo di ricevere un euro nel caso che si verifichi un prefissato evento E, dobbiamo ritenere che la probabilità p di E sia eguale a s.

7 Quest ultima osservazione suggerisce la seguente definizione di probabilità: D Definizione soggettivista di probabilità. La probabilità di un evento è il prezzo che un individuo razionale e coerente ritiene equo pagare per ricevere un euro al verificarsi dell evento. La precedente definizione è coerente con le definizioni classica e frequentista, in quanto se la probabilità p dell evento è determinabile in base a una di tali definizioni, il nostro individuo razionale e coerente, in base alle considerazioni svolte sopra, riterrà equo pagare p per ricevere un euro al verificarsi dell evento. Tale definizione è però applicabile anche a eventi la cui probabilità non è determinabile in base alle definizioni classica e frequentista. È comune che su eventi di questo tipo si effettuino scommesse: corse di cavalli, incontri di calcio ecc. In questi casi possiamo immaginare di chiedere, al nostro individuo razionale e coerente, quale somma riterrebbe equo pagare per ricevere un euro nel caso si verifichi l evento considerato: la sua risposta può essere considerata un attendibile valutazione della probabilità dell evento. Si osservi che tale valutazione è inevitabilmente soggettiva: essa dipende dal grado di fiducia che il soggetto, in base alle informazioni in suo possesso e alle sue opinioni, attribuisce al verificarsi dell evento. Non è quindi escluso che due individui, entrambi razionali e coerenti, ma in possesso di diverse informazioni oppure in possesso delle stesse informazioni ma di diverse opinioni, diano diverse valutazioni della probabilità di uno stesso evento. Ciò può accadere però solo nel caso di eventi cui non siano applicabili le altre definizioni di probabilità. Laddove si possa applicare la definizione classica o frequentista, le valutazioni dei due individui razionali e coerenti devono necessariamente coincidere tra loro e con il risultato ottenuto applicando tali definizioni. Si osservi in particolare che, anche secondo la definizione soggettivista, se un evento è impossibile la sua probabilità èzero: infatti, avendo la certezza di perdere la cifra pagata senza alcuna speranza di realizzare un guadagno, il nostro individuo razionale non sarà disposto a pagare nulla. Se invece l evento è certo la sua probabilità è. Infatti avendo la certezza di ricevere un euro, è da ritenersi equo il pagamento di un euro. Tizio decide di scommettere E 0 sulla vittoria in una corsa del cavallo Ronzinante, sapendo che in caso di vittoria incasserà E 75. Qual è la probabilità che egli attribuisce alla vittoria di Ronzinante? Occorre sapere quale prezzo Tizio sarebbe disposto a pagare per ricevere un euro in caso di vincita. Con una semplice proporzione si ottiene: p : ¼ 0 : 75! p ¼ 2 5 : Osservazione. Dal precedente esempio si desume che se il nostro individuo razionale e coerente ritiene equo pagare una somma s per ricevere una somma S nel caso si verifichi l evento E, la probabilità p che egli attribuisce all evento si trova risolvendo la semplice proporzione p : ¼ s : S! p ¼ s S ðþ Eventi, probabilità TEORIA Teoria assiomatica della probabilità 3 La teoria assiomatica della probabilità fonda il calcolo delle probabilità su di un sistema di assiomi, similmente a quanto avviene in altri campi della matematica. In tale contesto non si formula

8 una definizione di probabilità, ma la si assume come un concetto primitivo, di cui gli assiomi definiscono le proprietà. Le definizioni classica, frequentista e soggettivista di probabilità, applicate a un dato spazio dei risultati, permettono la costruzione di modelli della teoria assiomatica della probabilità. Ecco la formulazione della teoria assiomatica della probabilità. Sia dato un qualunque insieme S, che chiameremo spazio dei risultati, e una famiglia di sottoinsiemi di S, che chiameremo spazio degli eventi. Chiameremo eventi gli elementi di. Sia data poi una funzione p che associa a ogni sottoinsieme di S, che sia elemento di, un numero reale. Se E 2, ossia se E è un evento, chiameremo probabilità die e indicheremo con pðeþ il numero che la funzione p associa all evento E. Diremo che l insieme S, la famiglia di suoi sottoinsiemi e la funzione p sono un modello della teoria della probabilità se sono soddisfatti i seguenti assiomi. Assiomi sugli eventi A S 2, ossia lo spazio dei risultati è un evento (evento certo). A2 Se A 2 e B 2 allora anche A [ B 2, ossia se A e B sono eventi, anche la loro unione è un evento. A3 Se A 2 e B 2 allora anche A \ B 2, ossia se A e B sono eventi, anche la loro intersezione è un evento. A4 Se A 2 allora anche A 2, ossia se A è un evento, anche il suo complementare è un evento. TEORIA Eventi, probabilità Assiomi sulla probabilità A5 Qualunque sia l evento E 2, risulta pðeþ 0. A6 pðsþ ¼ (la probabilità dell evento certo è ). A7 Se A \ B ¼ [, ossia se A e B sono eventi incompatibili, allora pða [ BÞ ¼pðAÞþpðBÞ. Osservazioni. Gli assiomi A2, A3, A4 potrebbero essere sintetizzati dicendo che lo spazio degli eventi è chiuso rispetto alle operazioni insiemistiche di unione, intersezione e complementazione. Lo spazio degli eventi, nei casi più comuni, è l insieme pðsþ di tutti i sottoinsiemi di S, detto anche insieme delle parti di S; in tal caso risultano certamente soddisfatti gli assiomi A, A2, A3 e A4. Infatti l unione, l intersezione e il complementare di sottoinsiemi di S sono sempre sottoinsiemi di S. Tuttavia lo spazio degli eventi può essere una qualunque famiglia di sottoinsiemi di S, purché risultino soddisfatti gli assiomi A, A2, A3 e A4. Infine osserviamo che la teoria assiomatica della probabilità non indica come calcolare la probabilità di un evento: in tale teoria i concetti di evento e di probabilità non sono definiti se non implicitamente dagli assiomi. L utilità teorica dell assiomatizzazione della teoria della probabilità consiste nel fatto che tutte le conseguenze degli assiomi, ossia tutti i teoremi che si possono dimostrare a partire da essi, sono vere in tutti i modelli della teoria. Ecco alcuni semplici esempi di tali dimostrazioni. Dagli assiomi A e A4 discende che anche l insieme vuoto [ è un evento (evento impossibile). Infatti esso è il complementare dell evento certo S. Dagli assiomi A5 e A6 discende anche che pð[þ ¼0, ossia la probabilità dell evento impossibile è 0. Infatti S e [ sono eventi incompatibili, in quanto si ha S \ [ ¼ [; tenendo presente che è anche S [ [ ¼ S si ottiene pðs [ [Þ ¼pðSÞþpð[Þ!pðSÞ ¼pðSÞþpð[Þ! ¼ þ pð[þ!pð[þ ¼0:

9 Qualunque sia l evento E 2, siha0 pðeþ. Infatti, essendo E \ E ¼ [, ossia essendo l evento E incompatibile con il suo complementare, per l assioma A7 risulta pðe [ EÞ ¼pðEÞþpðEÞ: ðþ Ma è E [ E ¼ S, e quindi pðe [ EÞ ¼pðSÞ ¼, e dalla () si ottiene pe ð Þþp E ¼! pe ð Þ ¼ p E : Poiché, per l assioma A5, pðeþ 0siha pðeþ, ossia pðeþ. Poiché inoltre, ancora per A5, è pðeþ 0 si ottiene 0 pðeþ : Consideriamo come spazio dei risultati l insieme S ¼f ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6g dei possibili esiti del lancio di un dado. Lo spazio degli eventi sia ¼ pðsþ, insieme di tutti i sottoinsiemi di S. Se E è un evento, ossia un sottoinsieme di S, contenente m elementi, sia pðeþ ¼ m la sua probabilità. 6 Quello così costruito è un modello della teoria della probabilità. Infatti gli assiomi A, A2, A3 e A4, come già osservato, sono soddisfatti per aver scelto come spazio degli eventi l insieme di tutti i sottoinsiemi di S. È evidente che, preso un qualunque evento E, see contiene m elementi, essendo m 0, risulta pðeþ ¼ m 0, dunque è soddisfatto anche l assioma A5. 6 Lo spazio dei risultati S contiene 6 elementi, quindi pðsþ ¼ 6 ¼ edèperciò soddisfatto anche l assioma A6. 6 Infine siano A e B due eventi incompatibili, aventi rispettivamente a e b elementi. Poiché A e B non hanno elementi comuni, A [ B contiene a þ b elementi e quindi risulta: pðaþ ¼ a 6 ; pðbþ ¼ b a þ b ; pða [ BÞ ¼ 6 6 ed è soddisfatto anche l assioma A7.! pða [ BÞ ¼pðAÞþpðBÞ Osservazione. Il procedimento svolto nell esempio precedente per verificare gli assiomi del calcolo delle probabilità si può facilmente generalizzare: se lo spazio dei risultati S è costituito da eventi elementari aventi tutti la stessa probabilità di verificarsi, se come spazio degli eventi si assume l insieme delle parti di S, e se come probabilità di un evento si assume quella calcolata in base alla definizione classica, si ottiene un modello della teoria assiomatica della probabilità. Analogamente si potrebbe dimostrare che si ottiene un modello della teoria assiomatica della probabilità anche se si assume come probabilità di un evento quella fornita dalla definizione frequentista o dalla definizione soggettivista. Eventi, probabilità TEORIA