Esercizi Diagrammi delle forze (di corpo singolo) per sistemi in equilibrio Per ciascun esercizio disegnare su ciascun corpo del sistema il diagramma delle forze, individuando e nominando ciascuna forza. Scrivere poi l equazione vettoriale del bilancio delle forze ed eventualmente quella del bilancio dei momenti. Avendo introdotto un opportuno sistema di riferimento cartesiano, proiettare le equazioni sugli assi e risolvere il sistema algebrico per ottenere i valori incogniti. Esercizio n. 1 Figura 1: Blocco fermo su piano orizzontale Esercizio n. 2 Figura 2: 2 blocchi uno sull altro, fermi, su piano orizzontale Esercizio n. 3 Figura 3: Blocco fermo su piano inclinato con attrito 1
I due esercizi che seguono si distinguono, pur essendo in realtà molto simili, per il fatto che nel primo sono le superfici di contatto tra i due corpi (di pesi p 1 e p 2 ) a presentare attrito mentre il piano d appoggio è liscio, per cui non possono essere le forze esterne al sistema dei due corpi ad assicurare l equilibrio lungo la direzione orizzontale; nel secondo, invece, le superfici di contatto non presentano attrito e se non fosse che per le forze esterne orizzontali non potrebbe esserci equilibrio. Trovare dunque tutti i valori delle forze e verificare l effettivo equilibrio. Esercizio n. 4 Figura 4: Blocco fermo su cuneo con attrito, a sua volta poggiato su piano orizzontale privo di attrito Esercizio n. 5 Figura 5: Blocchi fermi in contatto mediante superficie inclinata liscia, e poggiati su piano orizzontale con attrito 2
Altri esercizi (con carrucole senza massa, fili senza massa ed inestensibili e molle senza massa) Esercizio n. 6 Figura 6: Carrucole in equilibrio: nel primo caso nell approssimazione di massa trascurabile, nel secondo caso con massa e raggio Esercizio n. 7 Figura 7: Piano inclinato senza e con attrito; carrucola e filo ideali Esercizio n. 8 Figura 8: Doppio piano inclinato senza attrito con due blocchi, poggiato su un piano orizzontale liscio: 3 corpi, dunque (carrucola e filo ideali). 3
Esercizio n. 9 Figura 9: Piano orizzontale con attrito; carrucole (di cui una mobile) e filo ideali Esercizio n. 10 Figura 10: Molla ideale in verticale con corpo attaccato ad una estremità 4
Gli esercizi che seguono richiedono anche il bilancio dei momenti delle forze (relativamente ad un qualunque punto [chiamato polo]). Esercizio n. 11 Figura 11: Altalena con due blocchi in equilibrio Esercizio n. 12 Figura 12: Asticella poggiata su piano orizzontale liscio e retta da un filo attaccato all estremità superiore Esercizio n. 13 Figura 13: Asta appoggiata ad una parete verticale liscia e su un piano orizzontale con attrito 5
Esercizio n. 14 Figura 14: Sbarra in equilibrio in posizione orizzontale con 2 molle (ideali) diverse e corpo appoggiato Esercizio n. 15 Con riferimento alla Figura 10, un corpo C di peso p = m g (il corpo può essere considerato, per i nostri fini, puntiforme) è attaccato alla estremità libera di una molla ideale (cioè di massa trascurabile) la cui lunghezza a riposo è l 0 = 80 cm e la costante elastica k = 25 N/m; questa è appesa ad un supporto ed è libera di oscillare nel vuoto lungo la verticale (si consideri trascurabile la resistenza dell aria). Introdurre un asse di riferimento z (verso l alto) con origine O nel punto corrispondente alla posizione dell estremo libero quando alla molla non è attaccato alcun corpo ed essa è in riposo. a) Trovare l allungamento della molla ( l) e la quota (chiamiamo questa z c ) corrispondente alla posizione di equilibrio con il corpo attaccato e con i valori m 1 = 80 g, m 2 = 380 g e m 3 = 960 g della massa, dopo aver tracciato il diagramma delle forze ed aver applicato il bilancio delle forze. b) Consideriamo ora che il corpo C, con massa m 3, sia in moto oscillatorio. La sua legge oraria (come vedremo) è data da un moto armonico con pulsazione Ω = 5.1 s 1 e la quota del centro dell oscillazione, z c, è quella ricavata nella domanda precedente: z(t) = z c + A sin(ω t + φ 0 ). Determinare i valori dell ampiezza A (numero reale definito positivo) e della fase iniziale φ 0 (compresa tra 0 e 2π) in corrispondenza delle seguenti condizioni iniziali e disegnare i corrispondenti grafici orari: 1) il corpo C viene lasciato da fermo alla quota z(0) = z 0 = 0.3 m; 2) il corpo C transita ad un certo istante per la quota z(0) = z c con velocità v z (0) = 1.5 m/s; 3) qual è la velocità iniziale massima che può avere il corpo C nel transitare per z c affinché la molla non si comprima mai durante il moto? 6