orso 01/013 METODO DEGI EEMENTI FINITI Analisi di Problemi di Instabilità (ckling) Il fenomeno dell'instabilità rigarda i corpi con almeno na dimensione molto piccola rispetto alle altre (ad esempio na trae lnga rispetto alle dimensioni della sezione trasersale, n pannello piano o cro di piccolo spessore, ecc.), soggetti a qalnqe sollecitazione, prchè non di semplice trazione. Si consideri per esempio il caso della trae snella incolata come in figra, in eqilibrio sotto l'azione di na forza esterna, P, perfettamente centrata nella sezione estrema. Se la trae iene momentaneamente inflessa per azione di P na casa esterna temporanea, la forza non è più allineata con i baricentri delle sezioni e prodce n momento, M e, che tende a incrare lteriormente la trae. D'altro canto, per effetto della reazione elastica della trae inflessa, nasce n momento, M i, che tende a raddrizzarla. Dnqe se rislta M e <M i la trae effettiamente si raddrizza e si dice che l'eqilibrio è stabile; se inece rislta M e >M i la trae si incra maggiormente fino al collasso e si dice che y l'eqilibrio è instabile.
orso 01/013 METODO DEGI EEMENTI FINITI Analisi di Problemi di Instabilità (ckling) Si osseri che il momento M i in na sezione dipende nicamente dalla cratra l/r della trae in qella sezione e non dipende da P: M i =EJ/r; inece M e =Py dipende dalla deformazione e da P. Pertanto il alore di P condiziona la configrazione della trae: se P è piccola rislta preedibilmente M e <M i (eqilibrio stabile), mentre se è grande rislta M e >M i (eqilibrio instabile). Esiste allora n certo alore della forza, P crit, per il qale rislta M e =M i ; in corrispondenza di tale alore la trae rimane nella configrazione inflessa (eqilibrio indifferente), che è però pericolosa qanto la configrazione di eqilibrio instabile, giacché n incremento anche piccolo di P, o la presenza di ineitabili imperfezioni della trae e nel centraggio della forza, possono comportare M e >M i e qindi l'instabilità. Allora rislta necessario, nei casi in ci si teme il destarsi di fenomeni di instabilità, calcolare il alore della forza P crit che determina la configrazione di eqilibrio indifferente ed accertarsi che il carico di esercizio sia opportnamente inferiore a tale alore critico. Il carico critico è calcolabile analiticamente per strttre dalla configrazione semplice; per strttre più complesse pò essere calcolato col metodo degli elementi finiti.
orso 01/013 METODO DEGI EEMENTI FINITI Analisi di Problemi di Instabilità (ckling) 'espressione dell'energia potenziale totale per na strttra discretizzata in elementi finiti si scrie, come è noto: a condizione di eqilibrio comporta che: = 0 a configrazione è di eqilibrio stabile, instabile o indifferente secondo che si abbia, rispettiamente: > 0 < 0 = 0 Si ha eidentemente: 1 T U W d K d d F T T T d Kd d F d T Kd a condizione critica è, come si è detto, = 0, e doendo essere {d}0, dee essere: det [K]=0
orso 01/013 METODO DEGI EEMENTI FINITI Analisi di Problemi di Instabilità (ckling) Poiché al bckling si hanno eleati spostamenti, il legame tra deformazioni e spostamenti non pò più essere considerato lineare (non linearità geometrica), mentre contina a considerarsi lineare nel presente caso il legame tra tensione e deformazione. a non linearità geometrica comporta che la matrice di rigidezza della strttra, in prossimità della instabilità, si pò pensare costitita da n termine costante, [K 0 ], e da no, [K σ ], dipendente dalla componente non lineare del legame spostamento-deformazione, dipendente a sa olta dal carico (. a titolo di esempio il sccessio pnto 3.1); si pò scriere cioè: det [K] = det ([K 0 ]+[ K σ ]) = 0 Ipotizzando che la matrice non costante sia semplicemente n mltiplo di n so alore iniziale, [K σ ] pò essere calcolata per n carico arbitrario qalnqe, in particolare nitario, e si pò porre [K σ ]=[ K σ1 ]; la condizione critica dienta: det [K] = det ([K 0 ]+[ K σ1 ]) = 0 nella qale rappresenta n fattore di carico, che moltiplicato per il carico arbitrario considerato annlla il determinante e fornisce il richiesto carico critico.
orso 01/013 METODO DEGI EEMENTI FINITI Analisi di Problemi di Instabilità (ckling) Si pò anche scriere: ([K 0 ]+[ K σ1 ]) {d}= 0 che consente il calcolo degli atoalori e dei corrispondenti atoettori {d}; nel caso trattato il alore di da assmere è pari al più piccolo degli atoalori. Si osseri che l ltima relazione corrisponde ad n sistema omogeneo, che da logo alla solzione banale caratterizzata da spostamenti ttti nlli; per esso è possibile calcolare solo i rapporti tra gli spostamenti di ogni pnto rispetto a qello di no (spostamenti normalizzati). Pertanto il tipo di problema dà logo ad infinite linee elastiche, ttte affini tra loro, ttte caratterizzate, cioè, dal fatto che i rapporti tra gli spostamenti in de pnti della strttra si mantengono costanti. Qesto discende dalla condizione di eqilibrio indifferente e determina la pericolosità della configrazione: ttte le linee elastiche affini sono di eqilibrio, per ci si pò passare da na ad n altra con irrisorio impiego di energia e qindi possono raggingersi frecce anche eleatissime, che possono condrre alla rottra.
orso 01/013 METODO DEGI EEMENTI FINITI Analisi di Problemi di Instabilità (ckling) Eidentemente nelle condizioni dette la cra carichi-spostamenti prima del bckling è lineare ([K] costante - cra a di figra), per ci il procedimento è alido per le strttre che manifestano l'instabilità in modo improiso, come per esempio per le trai e lastre soggette a compressione, per i tbi soggetti a compressione e a pressione esterna, per le lastre sferiche soggette a pressione esterna, sollecitati in campo elastico. In molti altri casi, inece, la strttra mostra n comportamento non lineare geometrico già in fase di pre-bckling F a (cra b) ed il carico critico pò essere troato soltanto condcendo n'analisi non lineare e segendo la cra carichi-spostamenti per b indiidare il pnto doe la matrice di rigidezza tangente dienta non definita positia. Pertanto i risltati delle analisi di bckling lineare sono generalmente non conseratii. d
orso 01/013 METODO DEGI EEMENTI FINITI omponenti del secondo ordine delle deformazioni Vettore deformazioni di Green
orso 01/013 METODO DEGI EEMENTI FINITI 3.1 Esempio di calcolo della matrice di rigidezza nel caso di non linearità geometrica Si consideri l elemento monodimensionale di figra, aente sezione A, lnghezza e modlo di elasticità E. Essa trasferisca soltanto carichi assiali (elemento asta). Sotto l azione del carico agente sll asta e sgli altri elementi della strttra, l asta si sposti dalla posizione originaria in, mentre il nodo assma gli spostamenti, ed il nodo assma gli spostamenti,. a deformazione nella direzione dell asta ale, nell ipotesi che gli spostamenti, non piccoli, abbiano logo nel piano y: 1 onsiderando na ariazione lineare degli spostamenti con, si ha: = 0 + 1 = + 3 e, risolendo per =0 ed =, si ha: Analisi di Problemi di Instabilità (ckling) y
orso 01/013 METODO DEGI EEMENTI FINITI Analisi di Problemi di Instabilità (ckling) risolendo per =0 ed =, si ha: 0 = = cioè la legge di ariazione degli spostamenti ale: e qindi: 3 1 (a) y
orso 01/013 METODO DEGI EEMENTI FINITI Analisi di Problemi di Instabilità (ckling) Nell ipotesi di linearità del materiale, cioè di legame lineare tensionedeformazione, l energia di deformazione è calcolata dalla: Eliminando dall espressione dell energia di deformazione il termine di ordine speriore, 1 U E dv AE AE d V 1 0 0 AE 4 0 4 1 4 d, e sostitendo in essa le (a) si ottiene: d U AE d 0 AE AE d d 3 0 o AE AE
orso 01/013 METODO DEGI EEMENTI FINITI Analisi di Problemi di Instabilità (ckling) Si noti che anche per spostamenti eleati la qantità pò considerarsi costante e pari alla forza F agente nell asta. Si ha allora: AE U AE F Infine è possibile ottenere le relazioni forza-spostamento per ognno dei gradi di libertà dei nodi dell asta: Q U AE U F Q y Q U AE Q y U F che in forma matriciale si scriono:
orso 01/013 METODO DEGI EEMENTI FINITI Analisi di Problemi di Instabilità (ckling) Q Q Q Q y y AE 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 F 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 In tale relazione, come si pò notare, la rigidezza totale dell elemento consta della parte costante, [k 0 ], già incontrata in precedenza, e della parte dipendente dal carico, [k σ ], cioè il legame tra {Q} e {q} è costitito da na componente lineare e da na non lineare: k k q Q 0