Il moto di un proiettile

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1 Il moto di n proiettile Capitolo 6 La descrizione del moto Composizione dei moti Abbiamo stdiato i moti nidimensionali di na particella. ra estendiamo il discorso ai moti che avvengono in n piano, che sono moti bidimensionali. Per descrivere n moto nel piano bisogna introdrre innanzittto n sistema di coordinate bidimensionale. Scegliamo dnqe n origine,, e n verso positivo per l asse e per l asse, come mostrato in figra. + figra Sistema di coordinate bidimensionale + Consideriamo la sitazione mostrata in figra 2a, che descrive n moto bidimensionale con velocità costante. Una tartarga parte dall origine nell istante t = 0 e si move con velocità scalare costante = 0,26 m/s nella direzione che forma n angolo di 25 al di sopra dell asse. Di qanto si è spostata la tartarga nelle direzioni e dopo 5,0 secondi? Innanzittto, osserviamo che la tartarga percorre in linea retta na distanza: d = t = (0,26 m/s)(5,0 s) =,3 m come indicato in figra 2a. Per la definizione di seno e coseno, possiamo scrivere: = d cos 25 =,2 m = d sen 25 = 0,55 m Un modo alternativo per affrontare il problema è qello di trattare separatamente i moti nelle de direzioni e. Per prima cosa determiniamo la velocità della tartarga in ciascna direzione; riferendoci alla figra 2b, vediamo che la componente della velocità è: = cos 25 = 0,24 m/s e la componente è: = sen 25 = 0, m/s Determiniamo ora la distanza percorsa dalla tartarga in direzione e in direzione moltiplicando la velocità in ciascna direzione per il tempo: = t = (0,24 m/s)(5,0 s) =,2 m = t = (0, m/s)(5,0 s) = 0,55 m Qesti risltati sono natralmente in accordo con qelli ottenti prima. Per riassmere, possiamo considerare il moto della tartarga come na combinazione di moti separati in direzione e in direzione. d = t = d sen = t = 25 a) = d cos = sen = 25 = cos b) = t figra 2 Moto bidimensionale con velocità costante

2 In generale, se spponiamo che la tartarga parta da na posizione = 0 e = 0 nell istante t = 0, possiamo scrivere le eqazioni del moto in e in : = 0 + t = 0 + t È merito di Galileo l aver capito che la procedra che abbiamo appena applicato in na semplice sitazione vale per qalnqe moto nel piano: i moti lngo l asse e lngo l asse sono indipendenti e la loro composizione fornisce il moto bidimensionale complessivo. Qesto principio di indipendenza dei moti è alla base della descrizione del moto in de dimensioni. Le leggi del moto di n proiettile Applichiamo ora l indipendenza dei moti orizzontale e verticale al moto dei proiettili. Ma che cosa intendiamo in fisica con il termine proiettile? Un proiettile è qalnqe oggetto scagliato, battto o lanciato in qalsiasi altro modo e lasciato poi libero di segire na traiettoria determinata soltanto dall azione della gravità. Avremo qindi a che fare con proiettili in na grande varietà di sitazioni fisiche. Nello stdio del moto di n proiettile facciamo le segenti ipotesi: la resistenza dell aria viene ignorata; l accelerazione di gravità è costante, verso il basso e ha modlo gale a 9,8 m/s 2 ; la rotazione della Terra viene ignorata. Consideriamo il moto di n proiettile, ad esempio na palla da tennis, lanciato con n angolo rispetto all orizzontale, come in figra 3. Spponiamo che il proiettile parta da n pnto di coordinate ( 0 ; 0 ). Poiché abbiamo scelto l asse con il verso positivo in alto, la componente dell accelerazione è negativa: a = -g = -9,8 m/s 2 La gravità non prodce alcna accelerazione in direzione. Perciò la componente dell accelerazione è zero: a = 0 Le componenti della velocità iniziale _ v 0 sono: = cos = sen Il proiettile ha n moto niforme con velocità = cos nella direzione e n moto niformemente accelerato con velocità iniziale = sen e accelerazione a = -g nella direzione. Le se leggi del moto sono dnqe: Moto di n proiettile = 0 + t = 0 + t - 2 gt2 v = v = - gt Se scegliamo gli assi in modo che il proiettile parta dall origine, avremo allora 0 = 0 = 0 e le leggi del moto diventano: Moto di n proiettile (partenza dall origine) = t = t - 2 gt2 v = v = - gt ( 0 ; 0 ) a v v0 0 a = 0 a = -g figra 3 Lancio di n oggetto Una palla da tennis viene lanciata con n angolo rispetto all orizzontale.

3 ESERCIZI. Un proiettile viene lanciato dall origine con velocità iniziale di modlo 20,0 m/s e con n angolo di 35,0 sopra l orizzontale. Determina le posizioni e del proiettile nell istante t = 0,500 s. Calcoliamo innanzittto le componenti cartesiane della velocità istantanea: = v cos = (20,0 m/s)0,89 = 6,4 m/s = v sen = (20,0 m/s)0,574 =,5 m/s Sostitendo il valore di t nelle relazioni = t e = t - 2 gt2, otteniamo: = t = (6,4 m/s)(0,500 s) = 8,20 m = t - 2 gt2 = (,5 m/s)(0,500 s) - 2 (9,8 m/s2 )(0,500 s) 2 = 4,52 m 2. Determina le componenti e della velocità del proiettile dell esercizio nell istante t = 0,500 s. Sostitendo il valore di t nelle relazioni v = e v = - gt, otteniamo: v = 6,4 m/s v =,5 m/s - (9,8 m/s 2 )(0,500 s) = 6,59 m/s Traiettoria di n proiettile La figra 4 mostra il moto del proiettile trattato negli esercizi precedenti, lanciato dall origine con velocità iniziale di modlo 20,0 m/s e con n angolo di 35,0 sopra l orizzontale. Le posizioni mostrate nel diagramma corrispondono agli istanti t = 0, s; 0,2 s; 0,3 s; Il pnto rosso indica la posizione considerata negli esercizi e 2. (m) (m) figra 4 Istantanee di na traiettoria Notiamo che i pnti riportati in figra non sono galmente spaziati, anche se si riferiscono a intervalli di tempo gali. Infatti i pnti sono raggrppati nella zona più alta della traiettoria e ciò significa che il proiettile resta na frazione di tempo relativamente lnga nei pressi del pnto più alto. La traiettoria mostrata in figra ha n aspetto caratteristico: si tratta di na parabola. La traiettoria del moto di n proiettile è infatti sempre na traiettoria parabolica, come aveva già scoperto Galileo. sserviamo che, man mano che il proiettile sale in alto, la componente lngo della sa velocità diminisce, fino a che, dopo essersi annllata per n istante in corrispondenza dell altezza massima, cambia segno qando il proiettile comincia a cadere. L altezza massima si trova qindi imponendo la condizione v = 0, come vedremo nel problema che sege.

4 Problem solving Un colpo difficile Un giocatore di golf lancia na pallina con n angolo di 54,0 sopra l orizzontale e na velocità = 3,5 m/s. Qal è l altezza massima ragginta dalla pallina? Descrizione del problema La figra mostra la pallina che parte dall origine, 0 = 0, 0 = 0, con n angolo di lancio di 54,0, e che descrive na parabola. Altezza, (m) , Distanza, (m) Strategia Solzione L altezza massima, ma, si trova imponendo la condizione di annllamento della componente verticale della velocità, cioè v = 0. Dalla relazione v = - gt = 0 si ricava il tempo t che, sostitito in = t - 2 gt2, permette di determinare ma. Dall eqazione v = - gt, imponendo la condizione v = 0 ricaviamo t: - gt = 0 t = g Calcoliamo e sostitiamo in t = v 0 g : = sen da ci t = v 0 sen g Inseriamo qesto valore di t nell eqazione = t - 2 gt2 e determiniamo ma : v ma = ( sen ) 0 sen - g 2 g sen a b 2 = v 2 0 sen 2 g 2g Sostitiamo i valori nmerici: ma = (3,5 m/s) 2 (sen 2 54,0 ) 2(9,8 m/s 2 = 6,08 m ) sservazioni Prova t Se la pallina atterra sl green allo stesso livello da ci è partita, dopo aver percorso na distanza orizzontale di 7,8 m, la sa coordinata in corrispondenza dell altezza massima è = 7,8 m/2 = 8,90 m. Dopo qanto tempo la pallina ricade a terra? [2,24 s]

5 Gittata di n proiettile La gittata, o range, R di n proiettile è la distanza orizzontale che il proiettile percorre prima di atterrare. Consideriamo il caso mostrato in figra 5, nel qale n proiettile viene lanciato con velocità con n angolo rispetto all orizzontale. Si pò dimostrare che la gittata di n proiettile è data dalla formla segente: Gittata di n proiettile v 2 0 R = sen 2 g Poiché R varia con l angolo come sen 2, la gittata massima si ottiene qando sen 2 è massimo, cioè qando sen 2 = (fig. 6). Poiché sen 90 =, sege che U = 45 è l angolo che rende massima la gittata. La gittata massima è qindi: v 2 0 R ma = g Proiettili con = 30 e = 60 segono traiettorie diverse, ma hanno la stessa gittata. R Altezza, (m) 5 2,5 0 7,5 5 2,5 0 = 60 = 45 = Distanza, (m) 40 Proiettile con gittata massima. figra 5 Gittata di n proiettile figra 6 Gittata e angolo di lancio in assenza di resistenza dell aria ESERCIZIo 3. In na partita di calcio il pallone viene calciato dal portiere e ricade a na distanza orizzontale di 60 m. Se il pallone è stato lanciato con n angolo di 40 sopra l orizzontale, qal era il modlo della sa velocità iniziale? v0 2 Dall eqazione R = g sen 2 ricaviamo : = gr sen 2 Sostitendo i valori nmerici otteniamo: = (9,8 m/s 2 )(60 m) sen 80 = 24 m/s

6 Lancio ad angolo zero Un caso particolare del moto di n proiettile è qello in ci l oggetto viene lanciato orizzontalmente, cioè in modo che l angolo fra la velocità iniziale e l orizzontale sia = 0. Spponiamo che na pallina cada da n tavolo da ping-pong di altezza h con na velocità di modlo, come mostrato in figra 7. Se scegliamo il livello del solo come = 0 e il pnto di rilascio della palla direttamente al di sopra dell origine, la posizione iniziale della palla è data da: 0 = 0 0 = h La velocità iniziale è orizzontale e corrisponde al caso = 0. Di consegenza, la componente della velocità iniziale è semplicemente il modlo della velocità iniziale: = cos 0 = e la componente della velocità iniziale è zero: = sen 0 = 0 Sostitendo qesti valori di e nelle leggi del moto di n proiettile otteniamo i segenti risltati per il lancio ad angolo zero ( = 0): Moto di n proiettile (lancio ad angolo zero) = t = h - 2 gt2 v = = costante v = - gt h figra 7 Proiettile lanciato orizzontalmente sserviamo che la componente della velocità rimane la stessa in ogni istante e che la componente decresce linearmente nel tempo. Di consegenza, cresce linearmente nel tempo e decresce proporzionalmente a t 2. In figra 8 sono mostrate le posizioni, a intervalli di tempo gali, di n proiettile lanciato ad angolo zero. Il moto orizzontale è niforme (distanze gali in tempi gali) (m) Il moto verticale è accelerato (l oggetto si move più velocemente in ogni sccessivo intervallo) (m) figra 8 Traiettoria di n proiettile lanciato orizzontalmente

7 Problem solving Lascia cadere la palla! Un ragazzo sllo skateboard si move a na velocità costante di modlo,30 m/s e lascia cadere na palla da n altezza di,25 m rispetto al solo. Posto 0 = 0 e 0 = h =,25 m, determina: a) e per t = 0,500 s; b) il modlo v della velocità e la direzione del moto della palla nell istante t = 0,500 s. Descrizione del problema La palla parte dal pnto 0 = 0 e 0 = h =,25 m. La sa velocità iniziale è orizzontale, qindi = =,30 m/s e = 0. Inoltre, essa accelera a casa della gravità nel verso negativo dell asse, per ci a = -g, e si move con velocità costante in direzione, qindi a = 0. h =,25 m g Strategia Solzione sservazioni Prova t Le posizioni e sono date da = t e = h - 2 gt2 rispettivamente. Basta sostitire il tempo in qeste espressioni. Analogamente, le componenti della velocità sono v = e v = -gt. a) Sostitiamo t = 0,500 s nelle eqazioni del moto di e : = t = (,30 m/s)(0,500 s) = 0,650 m = h - 2 gt2 =,25 m - 2 (9,8 m/s2 )(0,500 s) 2 = 0,0238 m Notiamo che in qesto istante la palla è a poco più di 2 cm dal solo. b) Calcoliamo le componenti della velocità nell istante t = 0,500 s, tilizzando v = e v = -gt: v = =,30 m/s v = -gt = -(9,8 m/s 2 )(0,500 s) = -4,9 m/s Utilizziamo qeste componenti per determinare v e l angolo che individa la direzione del moto: v = v 2 + v 2 = (3,0 m/s) 2 + (-4,9 m/s) 2 = 5,08 m/s = tg - v a b = tg - a -4,9 m/s b v 3,0 m/s = -75,2 La posizione della palla non dipende dall accelerazione di gravità e la posizione non dipende dalla velocità iniziale orizzontale della palla. Ad esempio, se il ragazzo avesse na velocità maggiore qando lascia cadere la palla, la palla si moverebbe più velocemente in direzione orizzontale e lo segirebbe drante la sa cadta, ma il moto verticale non cambierebbe rispetto al caso analizzato; la palla cadrebbe a terra esattamente nello stesso tempo e rimbalzerebbe fino alla stessa altezza, come prima. Dopo qanto tempo la palla tocca terra? [se si osserva il risltato ottento per la domanda a), è chiaro che il tempo di cadta è leggermente speriore a 0,500 s; ponendo = 0 otteniamo il valore esatto del tempo: t = 2h/g = 0,505 s]

8 Risolvi i problemi. Vento in poppa Una barca a vela scivola spinta dal vento con na velocità costante di modlo 4,2 m/s in direzione 32 nord rispetto a ovest. Dopo n viaggio di 25 minti qale distanza ha percorso la barca: a) verso ovest? b) verso nord? [a) 5,3 km; b) 3,3 km] 2. Gita in collina Partendo da ferma, n atomobile accelera a 2,0 m/s 2 s na strada di collina inclinata di 5,5 sopra l orizzontale. Se viaggia per 2 secondi, qale distanza percorre: a) in direzione orizzontale? b) in direzione verticale? [a) 40 m; b) 4 m] 3. problema svolto Una particella passa dall origine di n sistema di riferimento con na velocità _ v = 6,2 m/s in direzione e n accelerazione _ a = -4,4 m/s 2 in direzione. a) Qali sono le posizioni lngo l asse e l asse dopo 5,0 s? b) Qali sono le velocità nella direzione e nella direzione dopo lo stesso intervallo di tempo? c) La velocità della particella nel tempo amenta, diminisce o prima amenta e poi diminisce? SLUZINE a) Il moto è niformemente accelerato lngo l asse, mentre è niforme lngo l asse. Applica le leggi del moto per determinare le posizioni. Nella direzione ottieni: = 2 a t 2 = 2 (-4,4 m/s2 )(5,0 s) 2 = -55 m e nella direzione : = v t = (6,2 m/s)(5,0 s) = 3 m b) Calcola la velocità lngo l asse : v = a t = (-4,4 m/s 2 )(5,0 s) = -22 m/s La velocità lngo l asse si mantiene costante ed è v = 6,2 m/s. c) Il modlo della velocità totale è dato dall espressione: v = 2 2 v + v = (a t) v da ci si poi dedrre che la velocità della particella amenta nel tempo. 4. L elettrone nel tbo Un elettrone in n tbo a raggi catodici si sta movendo orizzontalmente alla velocità di 2,0 0 7 m/s, qando le placche di deflessione gli forniscono n accelerazione verso l alto di 5, m/s 2. a) Qanto tempo impiega l elettrone a percorrere na distanza orizzontale di 6,20 cm? b) Qal è il so spostamento verticale drante qesto tempo? [a) 2,95 ns; b) 2,3 cm] 5. Angolo di lancio di n proiettile Un proiettile viene lanciato con na velocità iniziale di modlo. Nel pnto di massima altezza la sa velocità è /2. Qal è stato l angolo di lancio del proiettile? [60 ] 6. Agri! Un tappo viene sparato da na bottiglia di champagne con n angolo di 35,0 sopra l orizzontale. Se il tappo cade a na distanza orizzontale di,30 m dopo,25 s, qal è il modlo della sa velocità iniziale? [,27 m/s] 7. Il volo del pallone Un pallone viene calciato con na velocità di modlo 9,85 m/s con n angolo di 35,0 sopra l orizzontale. Se il pallone atterra allo stesso livello da ci era stato calciato, per qanto tempo rimane in aria? [,5 s] 8. PREVEDI/SPIEGA Lanci na palla in aria con velocità iniziale di 0 m/s e n angolo di 60 sopra l orizzontale. La palla ritorna al livello dal qale era partita in n tempo T. a) Qale dei diagrammi A, B, C riportati in figra rappresenta meglio la velocità della palla in fnzione del tempo? b) Qale fra le segenti è la spiegazione migliore per la risposta? ) La gravità determina n amento del modlo della velocità drante il volo. 2) Nel pnto di massima altezza il modlo della velocità della palla è zero. 3) Il modlo della velocità della palla diminisce drante il volo, ma non si annlla. Velocità (m/s) A B C T T 2 Tempo [a) B; b) la 3; la e la 2 sono false]

9 Capitolo 6 La descrizione del moto 9. problema svolto Il prato a n livello più alto Un giocatore di golf colpisce na pallina con velocità iniziale di modlo 30,0 m/s e n angolo di 50,0 sopra l orizzontale. La pallina atterra s n prato che è 5,00 m al di sopra del livello di qello dove era stata battta. a) Per qanto tempo resta in aria la pallina? b) Qale distanza ha percorso la pallina in direzione orizzontale qando atterra? c) Qali sono il modlo e la direzione della velocità della pallina n istante prima dell atterraggio? Altezza (m) ,0 Distanza Solzione a) Poni = ( sen )t - 2 gt2 = 5,00 m e sostitisci i valori = 30,0 m/s e = 50,0 ; ottieni l eqazione di secondo grado in t: 4,90t 2-22,98t + 5,00 = 0 Risolvi l eqazione con la formla risoltiva: 22,98 ± t,2 = t = 0,229 s 9,8 t 2 = 4,46 s Nell istante t = 0,229 s la palla si sta movendo verso l alto, nell istante t = 4,46 s la palla sta scendendo. Scegli il secondo istante, t = 4,46 s. b) Sostitisci t = 4,46 s nell eqazione = ( cos )t per calcolare la distanza percorsa dalla pallina in direzione orizzontale: = (30,0 m/s)(cos 50,0 )(4,46 s) = 86,0 m c) Utilizza v = cos per calcolare v : v = (30,0 m/s)(cos 50,0 ) = 9,3 m/s Sostitisci t = 4,46 s in v = sen - gt per determinare v : v = (30,0 m/s)(sen 50,0 ) - (9,8 m/s 2 )(4,46 s) = = -20,8 m/s Calcola v e : v = (9,3 m/s) 2 + (-20,8 m/s) 2 = 28,4 m/s = tg - -20,8 m/s a 9,3 m/s b = -47, 0. Palle di neve Delle palle di neve vengono lanciate con na velocità di modlo 3 m/s da n balcone alto 7,0 m rispetto al solo. La palla A è lanciata diritta verso il basso; la palla B invece è lanciata in na direzione che forma n angolo di 25 sopra l orizzontale. a) Qando le palle di neve cadono a terra, il modlo della velocità di A è maggiore, minore o gale al modlo della velocità di B? Gistifica la risposta. b) Verifica la risposta al pnto a) calcolando il modlo della velocità di atterraggio di entrambe le palle di neve. [a) gale; b) v A = v B = 8 m/s]. Determina la direzione del moto delle de palle di neve del problema precedente nell istante in ci toccano terra. [ A = -90 ; B = -47 ] 2. PREVEDI/SPIEGA De tffatori si lanciano orizzontalmente dalla sporgenza di na scogliera. Il tffatore 2 si lancia con na velocità doppia di qella del tffatore. a) Qando i tffatori toccano l acqa, la distanza orizzontale percorsa dal tffatore 2 è il doppio, qattro volte maggiore o gale a qella percorsa dal tffatore? b) Qale fra le segenti è la spiegazione migliore per la risposta? ) Il tempo di cadta è lo stesso per entrambi i tffatori. 2) Lo spazio di cadta dipende da t 2. 3) Entrambi i tffatori, in cadta libera, percorrono la stessa distanza. [a) il doppio; b) la ; la 2 è corretta ma non pertinente; la 3 è falsa] 3. PREVEDI/SPIEGA De giovani tffatori si tffano da na piattaforma in n lago. Il tffatore si lascia cadere diritto verso il basso, mentre il tffatore 2 prende la rincorsa slla piattaforma e si lancia orizzontalmente con velocità iniziale di modlo. a) Al momento dell entrata in acqa, la velocità del tffatore 2 è maggiore, minore o gale rispetto a qella del tffatore? b) Qale fra le segenti è la spiegazione migliore per la risposta? ) Entrambi i tffatori sono in cadta libera, qindi entrano in acqa con la stessa velocità. 2) Qando entrano in acqa i de tffatori hanno la stessa velocità verticale, ma il tffatore 2 ha na velocità orizzontale maggiore. 3) Il tffatore che si lascia cadere verticalmente acqista na velocità maggiore rispetto a qello che si lancia orizzontalmente. [a) maggiore; b) la 2; la e la 3 sono false]

10 4. Un brtto tiro Un arciere tira na freccia orizzontalmente verso n bersaglio lontano 5 m. L arciere scocca la freccia esattamente in direzione del centro del bersaglio, ma lo colpisce 52 cm più in basso. Qal era il modlo della velocità iniziale della freccia? [46 m/s] 5. Le cascate Victoria Il grande fime Zambesi forma le imponenti cascate Victoria nell Africa centro-meridionale, alte approssimativamente 08 m. Se, appena prima di precipitare nella cascata, il fime scorre orizzontalmente con na velocità di 3,60 m/s, qal è il modlo della velocità dell acqa qando colpisce il fondo? Assmi che l acqa sia in cadta libera. [46,2 m/s] 7. Saltare n crepaccio Un alpinista nella traversata di n costone di ghiaccio si trova di fronte n crepaccio. Il lato opposto del crepaccio è 2,75 m più in basso e dista orizzontalmente 4,0 m. Per attraversare il crepaccio, l alpinista prende la rincorsa e salta in direzione orizzontale. a) Qal è la minima velocità iniziale necessaria per attraversare con sicrezza il crepaccio? b) In che pnto atterra l alpinista, se la sa velocità iniziale è 6,00 m/s? c) Qal è la sa velocità nell istante in ci atterra? 6. Gravità s Zircon Un astronata sl pianeta Zircon lancia n sasso orizzontalmente con na velocità di modlo 6,95 m/s. Il sasso, lanciato da n altezza di,40 m dal solo, atterra a na distanza orizzontale di 8,75 m dall astronata. Qal è il valore dell accelerazione di gravità s Zircon? [,77 m/s 2 ] h d g