LA RICERCA DELL ALTEZZA DEL SOLE

LA RICERCA DELL ALTEZZA DEL SOLE 17 METODO DELLO GNOMONE E USO DI FACILE FORMULA MATEMATICA CALCOLO DELL ALTEZZA SOLO CON FORMULA MATEMATICA METODO DEL GONIOMETRO CON QUADRANTE FISSO QUADRANTE MOBILE pag. 18 pag. 22 USO DELLO STRUMENTO ALTAZIMUT pag. 25

18 RICERCA DELL ALTEZZA DEL SOLE L altezza del Sole sull orizzonte è la seconda coordinata assieme all azimut che identifica la posizione del nostro astro sulla volta celeste ad un determinato istante di una certa data. Può essere direttamente ricavata da software di Astronomia, oppure determinata in altri modi. 1) METODO DELLO GNOMONE Anche questo metodo si basa sull ombra proiettata da un punto presente su di un elemento verticale (o l ombra della punta dell elemento stesso) su di una superficie piana in istanti qualsiasi di una qualsiasi data e necessita di un successivo facile calcolo. Il valore ottenuto va confrontato con quello ricavato da software. PRINCIPIO TEORICO DI BASE: COME SI CALCOLA IN MODO INDIRETTO L ALTEZZA DEL SOLE PREMESSA. Osservando la figura 1 si deduce che AB è lo gnomone che proietta l'ombra del Sole su un piano orizzontale indicata come BC. Gnomone e sua ombra assieme al raggio di luce AC, formano un triangolo rettangolo dove l'angolo h rappresenta l'altezza del Sole. Questa può essere misurata con un metodo indiretto per mezzo di un semplice calcolo trigonometrico, note le lunghezze dei due cateti secondo la formula: h = arctan (AB/BC) IL METODO A) Si utilizza il solito filo a piombo con alcuni opportuni indicatori sferici oppure un bastone esattamente verticale che generano un ombra abbastanza omogenea. B) Si misurano l'altezza dello gnomone e la lunghezza dell'ombra e, applicando la funzione arcotangente, si ricava l'altezza del Sole, (h)

19 ESEMPI di CALCOLO per località di Cerea (VR) via Galvani 5 λ longitudine = 11 12 52 est di Gw φ latitudine = 45 11 22 Calcolo nella data 03/04/2016. Istanti di misurazione AB (mm) BC (mm) media aritmetica AB/BC arcotan AB/BC (h) Sole valore di altezza secondo Stellarium 12 h 57 m 50 s 730 604,5 1,2076 50,3722 50 22 20 50 07 42 14 h 29 m 16 s 730 674,5 1,0823 47,2634 47 15 48 47 29 32 PRECISIONE DELLA MISURA Qualsiasi strumento si decida di usare per applicare questo metodo, è necessario tener presenti alcuni aspetti tecnici fondamentali: a) Il piano su cui si proietta l'ombra deve essere orizzontale. Si controlla l'orizzontalità con una livella. b) Lo gnomone deve essere verticale. Se si tratta di un bastone, la sua verticalità va controllata con un filo a piombo. Se usiamo un semplice schermo con foro gnomonico applicato al vetro di una finestra. dobbiamo identificare accuratamente la posizione del piede della verticale, cioè il punto B. c) Quanto maggiore è l'altezza dello gnomone, tanto maggiore è la lunghezza dell'ombra e quindi la precisione teorica della misura. Tuttavia l aumento dell altezza dello stilo porta ad un accentuazione dell effetto penombra. EFFETTO PENOMBRA E POSSIBILI SOLUZIONI Il Sole non è una sorgente puntiforme per cui se si usa un bastoncino, la sua ombra proiettata su un piano orizzontale ha contorni molto nitidi solo nei pressi della base mentre essi diventano via via più sfumati verso l'estremità, dove la fascia di penombra raggiunge la sua massima ampiezza. Visto che lo scopo prefissato è misurare l'altezza del centro dei disco solare, bisogna individuare il punto medio della fascia di penombra che si trova all'estremità dell'ombra dei bastoncino (fig.8).

20 Soluzione 1: doppia misurazione Si potrebbe eseguire una doppia misurazione identificando due punti sul piano orizzontale: il punto di transizione tra l'ombra piena e la penombra e quello tra la penombra e la luce piena, quindi misurare le lunghezze dell'ombra massima e dell'ombra minima (fig.9). La media aritmetica tra le due misure (ombra media) è il dato utile per i calcoli successivi. Soluzione 2: tecnica del foro gnomonico. All'estremità dello gnomone (punto A di fig.7) si applica uno schermo forato attraverso il quale passa un fascio di luce che si proietta sul piano formando un'ellisse luminosa. Anche questo "occhio di luce" presenterà l'effetto di penombra sui bordi, ma ci risulterà senz'altro più facile individuarne il centro, intersecando i suoi assi (fig. 10). Il foro deve essere abbastanza grande da proiettare una macchiolina di luce evidente, ma non troppo grande da rendere imprecisa l'individuazione dei centro. Come esempio. per uno gnomone di una ventina di centimetri 2 altezza il diametro ottimale del foro è tra uno e due millimetri. E molto utile costruire una serie di gnomoni di cartoncino con foro gnomonico come quello indicato nella figura 11. I triangoli isosceli dovrebbero avere una altezza di circa 20 centimetri e base non vincolante: sarà la piega eseguita lungo questo segmento (fig 11) a rappresentare il cateto AB del triangolo rettangolo di figura 7. IL CALCOLO DELL ALTEZZA CON FORMULE MATEMATICHE Anche qui il calcolo è per coloro che hanno conoscenza di trigonometria ed amano la matematica. La formula calcola l altezza del Sole per una certa ora e certa data e richiede i valori di alcuni dati del Sole preventivamente ricavati da software. Il valore calcolato va confrontato con quello fornito da software e così pure con quello calcolato con il precedente metodo. La formula per ricavare l'altezza del Sole per l'ora e località stabilite è la seguente: sen h = sen δ sen φ + cos δ cos φ cos ω dove, come nel calcolo dell azimut: h altezza del Sole (sempre positiva). E ricavabile direttamente da software. δ declinazione del Sole (positiva per date di primavera ed estate negativa per date di autunno ed inverno). Anche questa è ricavabile direttamente da software. ω angolo orario del Sole (positivo per ore pomeridiane, negativo per ore antimeridiane). Ricavabile da software con alcuni possibili aggiustamenti di calcolo ESEMPI di CALCOLO per località di Cerea (VR) via Galvani 5

21 Primo calcolo. Ore 12.57.50 (ora legale) del 03/04/2016. Istante calcolato in precedenza con l ombra dello gnomone. Dati del Sole valori angolari sessagesimali valori angolari sessadecimali (nota 1) seno coseno δ declinazione 05 34 05 5,57 0,0970 0,9953 ω angolo orario -5 07 15 (vedi calcolo) 5,12 0,9960 (nota2) φ latitudine 45 11 22 45,19 0,7094 0,7048 Anche qui riportiamo le stesse osservazioni fatte per l azimut. Nota 1. Per la trasformazione da sessagesimale a sessadecimale e viceversa è agevole l uso di convertitori on line es. ore e gradi nei due formati Rete di Eratostene. Nota 2. Il programma Stellarium fornisce un valore di angolo orario ω contato a partire da sud in senso orario, sempre positivo ed in misure di tempo, variabile da 0 h 24 h. Per il calcolo delle funzioni trigonometriche dell angolo ω si procede in questo modo: - se il valore fornito da Stellarium non supera le 12 h (ore pomeridiane) il numero da convertire sarà lo stesso; - se il valore fornito da Stellarium supera le 12 h (ore antimeridiane) il numero da convertire sarà dato dalla seguente differenza: valore della misura fornita da Stellarium 24h Successivamente si procede alla conversione del valore di tempo in valore di angolo. Nel nostro caso il valore dell angolo ω fornito da Stellarium è 23 h 39 m 31 s ovvero molto superiore alle 12 h per cui: ω = 23 h 39 m 31 s - 24 h = - 0 h 20 m 29 s - 5 07 15 perché: 0 h * 15 = 0 20 m * 15 = 300 = 5 29 s * 15 = 435 = 07 15 ------------- totale - 5 07 15 Applicando la formula avremo: sen h = 0,0970 * 0,7094 + 0,9953 * 0,7048 * 0,9960 = 0,7675 ed operando all inverso: h s = arcoseno 0,07675 = 50,1299 = 50 07 48 50 07 42 (valore di Stellarium) 50 22 20 (valore calcolato con lo gnomone) Secondo calcolo. Ore 14.29.16 (ora legale) del 03/04/2016. Istante calcolato in precedenza con l ombra dello gnomone. Dati del Sole valori angolari sessagesimali valori angolari sessadecimali (nota 1) seno coseno

22 δ declinazione 5 35 32 5,59 0,0974 0,9952 ω angolo orario 17 44 30 (vedi calcolo) 17,74 0,9524 (nota2 predecente) φ latitudine 45 11 22 45,19 0,7094 0,7048 Nel nostro caso il valore dell angolo ω fornito da Stellarium è 1 h 50 m 58 s ovvero molto inferiore alle 12 h per cui: ω = 1 h 10 m 58 s 27 44 30 perché: 1 h * 15 = 15 10 m * 15 = 150 = 2 30 58 s * 15 = 870 = 14 30 ------------- totale 17 44 30 Applicando la formula avremo: sen h = 0,0974 * 0,7094 + 0,9952 * 0,7048 * 0,9524 = 0,7371 ed operando all inverso: h s = arcoseno 0,7371 = 47,4850 = 47 29 06 47 29 32 (valore di Stellarium) 47 15 48 (valore calcolato con lo gnomone) 2) METODO DEL GONIOMETRO Si basa sul principio del sestante e prevede una misurazione diretta da confrontare poi con il valore fornito da software. PRINCIPIO TEORICO DI BASE: MISURAZIONE DIRETTA DELL ALTEZZA DEL SOLE PREMESSA. L uso del goniometro nel suo quadrante che va da 0 a 90 permette la misura diretta dell altezza del Sole, attraverso l uso di espedienti costruttivi tali da rilevare traccia dell astro. Al proposito si possono distinguere due categorie fondamentali di strumenti: i quadranti mobili ed i quadranti fissi. QUADRANTE MOBILE Mentre nei casi precedenti è necessario

23 controllare l'orizzontalità del piano e individuare il punto verticale, con il quadrante mobile si utilizza esclusivamente la verticalità del filo a piombo (fig.12). Il lato che corrisponde ai 90 va allineato nella direzione dei raggi solari e l'angolo h, che è l'altezza del Sole da misurare, va letto utilizzando il filo a piombo come indicatore. Un semicerchio mobile, con le stesse funzioni del quadrante, di facile utilizzo, può essere quello indicato nella foto e realizzato con materiale facilmente reperibile. Si tratta di due goniometri del raggio di circa 20 cm fatti coincidere in modo opposto l uno all altro (sarebbe sufficiente anche un solo goniometro). Attraverso il centro del goniometro è stato fatto passare un filo a piombo ed alla sua base è stato inserito un tubo di plastica con all interno due coppie di chiodi, una alla fine e l altra all inizio del tubo, il cui incrocio rappresenta il centro del lume. Inoltre vicino ad una delle due entrate del tubo è presente uno schermo rimovibile posto ortogonale al tubo la cui funzione è di raccogliere l immagine del Sole. Questo strumento ricorda il sestante un tempo usato dai marinai. Con esso si possono eseguire, senza lo schermo di proiezione ma traguardando in modo diretto, anche misure di altezza delle stelle come la Stella Polare che, come noto, ci fornisce direttamente il valore di latitudine geografica del luogo (vedi introduzione). L utilizzo può essere inoltre esteso per la misurazione dell angolo di altezza di qualsiasi altro oggetto posto in alto (es. campanile o finestra vedi foto sotto) aprendo così tutta una serie di calcoli atti determinarne le relative altezze lineari o distanze. IL METODO A) Si può porre lo strumento su di un cavalletto da fotografia (oppure può essere semplicemente tenuto in mano) ad una altezza di circa 1-1,5 m. B) Si orienta il tubo in direzione del Sole fino al giusto allineamento. Questo si raggiunge quando un fascio di luce attraversa il tubo e la sua ombra si trasforma sullo schermo ortogonale in una esatta circonferenza illuminata al centro. A sua volta il centro è identificato dall incrocio delle ombre dei chiodi all inizio e alla fine del tubo. Non si deve mai per traguardare il Sole direttamente ponendo gli occhi nel tubo! C) Si attende che il filo si assesti e si legge la misura dell angolo indicata dal filo. Eventualmente si eseguono delle correzioni di calcolo rispetto ai numeri realmente indicati sul goniometro. E possibile usare anche una livella elettronica per avere la giusta misura angolare.

24 QUADRANTE FISSO L'uso dei quadrante fisso si effettua con una misura diretta ed è una variante del metodo dello gnomone. Si utilizza un quadrante graduato posizionato in modo da rispettare l'orizzontalità del lato che corrispondente a O e un piolo, posto perpendicolarmente al centro di esso, che proietta l'ombra sul quadrante. L'ombra è utilizzata come indicatore della misura dell'angolo h (fig.13). Su questo principio si basa il plinto tolemaico, uno strumento antico, descritto da Tolomeo nel II secolo d.c. con cui si misurava ogni giorno l altezza del Sole sull orizzonte al mezzogiorno vero solare. Con una semplice scatola di cd ed un ago o uno stuzzicadenti è possibile costruire una sorta di plinto portatile, facile e comodo da usare. Si disegnano o si fotocopiano due quarti di goniometro di uguali dimensioni e simmetrici, con la gradazione da 0 a 90 ', su carta o cartoncino che a loro volta si incollano sulle pareti laterali, avendo cura di allineare lo 0 con il bordo superiore del cd e i 90 con il bordo verticale. Lo stuzzicadenti o ago, che funziona da stilo va fissato con nastro adesivo sullo spigolo della scatola perpendicolarmente alle facce laterali del cd, nel centro del quarto di goniometro (fig.14). IL METODO A) Si appoggia la scatola su di un piano orizzontale e si orienta la base lungo la linea meridiana. B) Si effettuano le misure osservando dove si posiziona l ombra dello stilo, tenendo presente che al mattino i raggi solari illuminano la faccia orientale del cd e dopo mezzogiorno l altra. Al mezzogiorno solare l'ombra su entrambi i lati indica l'angolo di altezza del Sole in meridiano.

25 USO DELLO STRUMENTO ALTAZIMUT Si può misurare contemporaneamente l'altezza del Sole sull orizzonte e il suo azimut utilizzando un teodolite o tacheometro costruito in modo artigianale ma egualmente funzionante pur all interno di una qualche approssimazione nei valori. Anche in questo caso i valori delle due coordinate vanno confrontati con quelli forniti da software. Lo strumento è formato da una base avente la forma di un segmento circolare di ampiezza superiore ai 180 sulla quale sono riportati i valori dell azimut a sua volta sormontata perpendicolarmente al centro da un quarto di goniometro in legno con i valori dell altezza e che può completamente ruotare sulla base (vedi figura). I valori dell azimut è utile esprimerli partendo da Sud (azimut 0 ) e con segno positivo verso Ovest (ore pomeridiane) e negativo verso Est (ore antimeridiane). Una volta orientato in modo esatto lo strumento una barra metallica solidale con il quarto di goniometro indicherà l azimut e l altezza sui due goniometri orizzontale e verticale. IL METODO A) Si appoggia lo strumento orientato in modo che la sua linea mediana, dove è indicato lo 0 azimut, coincida con la direzione Nord-Sud di una linea meridiana preventivamente tracciata oppure, come in figura, una bussola che tenga conto dell angolo di declinazione magnetica (vedi introduzione). B) Per l azimut si ruota il quarto di goniometro sino a far coincidere sul foglio posto nella parte posteriore della base in una unica macchia le ombre delle teste di due chiodi piantati sopra e posteriormente nel legno del goniometro. Il valore angolare sarà indicato dalla direzione della barra metallica. C) Per ottenere l altezza, invece, mantenendo la posizione, si solleva il tubicino in direzione del Sole fino a far proiettare sul foglio bianco una nitida immagine ovale di luce con al centro il punto di incrocio delle ombre dei due chiodini interni (vedi figura sopra)