Programma del Corso di Matematica Discreta (Elementi) lettere P-Z anno accademico 2004/2005 27 gennaio 2005 1. Logica 2. Insiemi e Funzioni 3. Numeri naturali 4. Numeri interi 5. Relazioni 6. Classi di resto 7. Strutture algebriche 8. Cardinalità 9. Reticoli 10. Grafi Libri di testo: FACCHINI, Algebra e Matematica discreta, Decibel-Zanichelli, Bologna, 2000. ROSEN, Discrete mathematics and its Applications, McGraw-Hill, 2004. Inoltre sono stati preparati degli Appunti di Teoria dei Gruppi. 1
1. Logica (a) Proposizioni. (b) Connettivi logici: negazione, congiunzione, disgiunzione, implicazione, doppia implicazione. (c) Tavole di verità. (d) Tautologie, contraddizioni. (e) Predicati. Quantificatori. (f) Negazione di proposizioni contenenti quantificatori. Per questo argomento si è seguito il libro di ROSEN. 2. Insiemi e Funzioni (a) Insiemi e sottoinsiemi. Operazioni sugli insiemi: intersezione, unione, insieme complementare. (b) Prodotto cartesiano, insieme delle parti. (c) Corrispondenze e funzioni. (d) Dominio, codomio, immagine, controimmagine, (e) Funzione composta. (f) Iniettivita, suriettivita. (g) Inverso a sinistra o a destra di una funzione. (h) Applicazione identica. Corrispondenze biunivoche. Funzione inversa. (i) Restrizione di una funzione. Inclusione di un insieme in un altro. (j) Un applicazione di un insieme finito in sé è iniettiva se e solo se è suriettiva. 3. Numeri naturali (a) Principio del buon ordinamento. (b) Indici e notazioni compatte per somma, prodotto, unione e interesezione. (c) Principio di induzione: prima e seconda forma. (d) Dimostrazione del principio di induzione a partire dal principio del buon ordinamento. (e) Fattoriale di un numero naturale. 4. Numeri interi (a) Divisione euclidea. Divisori e multipli. 2
(b) Massimo Comun Divisore. (c) Esistenza del Massimo Comun Divisore. (d) Teorema di Bézout: se a e b sono numeri interi non entrambi nulli, esistono dei numeri interi m,n tali che M.C.D.(a,b) = ma + nb.. (e) Algoritmo euclideo per il calcolo del Massimo Comun Divisore. (f) Numeri primi e coprimi. (g) Teorema di fattorizzazione unica. Dimostrazione basata sul principio di induzione. (h) Equazioni diofantee: se a, b, c Z, l equazione diofantea ax + by = c ha soluzioni intere se e soltanto se M.C.D.(a,b) c. 5. Relazioni (a) Relazioni su un insieme. Proprietà riflessiva, simmetrica, antisimmetrica e transitiva. (b) Relazioni d ordine. (c) Relazioni di equivalenza. (d) Classi di equivalenza, insieme quoziente. (e) Partizioni e relazioni di equivalenza. 6. Classi di resto (a) Relazione di congruenza modulo n su Z. (b) Definizione di Z n come insieme quoziente. (c) Z n = {[0] n,[1] n,...,[n 1] n }. (d) Le operazioni di somma e prodotto su Z n : sono ben definite e (Z n,+, ) è un anello commutativo. (e) Caratterizzazione degli elementi di Z n che sono invertibili rispetto al prodotto. (f) Il gruppo (U n, ) degli elementi inertibili di Z n. (g) Condizione affinché (Z n,+ ) sia un campo. (h) Definizione della funzione ϕ di Eulero. (i) Teorema di Eulero. (j) Piccolo teorema di Fermat. Per questo argomento si vedano il volume di FACCHINI e gli Appunti di Teoria dei Gruppi. 7. Strutture algebriche 3
(a) Operazioni su un insieme (b) Associatività, commutatività. (c) Elemento neutro. Inverso a destra, a sinistra, bilatero. (d) Gruppi, gruppi commutativi (o abeliani) (e) Il gruppo delle permutazioni (o gruppo simmetrico) S n. (f) Regole di calcolo elementari in un gruppo: (x 1 ) 1 = x e (xy) 1 = y 1 x 1. Leggi di cancellazione. Equazioni ax = b e xa = b. (g) Sottoinsiemi chiusi di un gruppo. Sottogruppi. (h) Un sottoinsieme H G è un sottogruppo se e H, H è chiuso e per ogni x H, x 1 H. (i) Potenze e sottogruppo generato. (j) Ordine di un elemento g G. (k) L ordine di un elemento è uguale alla cardinalità del sottogruppo che esso genera. (l) Insiemi con due operazioni: proprietà distributiva, anelli, campi. (m) Laterali di un sottogruppo. Ha = Hb se e solo se ba 1 H. (n) Teorema di Lagrange. (o) Corollario: x o(g) = e. Per questo argomento si vedano il volume di FACCHINI e gli Appunti di Teoria dei Gruppi. 8. Cardinalità (a) Se A e B sono disgiunti A B = A + B. Idem per unioni finite. (b) Se A e B sono insiemi finiti A B + A B = A + B. (c) Se f : X Y, allora y Y f 1 (y) = X. (d) A B = A B (e) A n = A n (f) B A = B A (g) P(A) = 2 n (h) Se A = m, B = n, e X = {f : A B f è iniettiva} allora (i) S n = n!. (j) Coefficienti binomiali X = n! (n m)!. (k) ( ) ( ) n + 1 n = + k k 1 ( ) n. k 4
(l) Formula del binomio di Newton. (m) Definizione di P k (A). Se A = n, allora P k (A) = ( ) n k 9. Reticoli (a) Insiemi parzialmente ordinati. (b) Morfismi tra insiemi ordinati. (c) Maggioranti e minoranti, estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo. (d) Reticoli. (e) Morfismi e isomorfismi tra reticoli. (f) Principio di dualità. (g) Reticoli distributivi, limitati, complementati. (h) Reticoli M 3 ed N 5. (i) Un reticolo è distributivo se e soltanto se non contiene sottoreticoli isomorfi ad M 3 o N 5. 10. Grafi (a) Definizione di grafo e di multigrafo. (b) Isomorfismo di grafi e di multigrafi. (c) Punti adiacenti, lati incidenti. Estremi di un lato. (d) Grado di un vertice. (e) Formula del grado: L = 1 2 v V d(v). (f) Punti pari e punti dispari. (g) Un grafo contiene un numero dispari di vertici pari. (h) Grafo regolare di grado d. (i) Grafi completi. Un grafo completo su n vertici contiene n(n 1)/2 lati. (j) Sottografi e sottografi generati (k) Cammino fra due vertici. (l) Grafi connessi (m) Componenti connesse (n) Circuiti. Cammini euleriani e circuiti euleriani. Teorema di Eulero. 5