Soluzioni degli Esercizi da Svolgere Capitolo 8 Esercizio 8.19 1. Sia p = 3 + 2 = 7 e q = 4 + 4 = 8 ; la formalizzazione dell enunciato in esame è quindi p q che risulta VERO, essendo la premessa dell implicazione falsa (e la conseguenza vera). 2. Sia p = 2+2 = 5 e q = 4+4 = 10 ; la formalizzazione dell enunciato in esame è quindi (p q) che risulta FALSO, essendo vera la doppia implicazione di due enunciati falsi. 3. Sia p = Parigi è in Inghilterra e q = Londra è in Francia; la formalizzazione dell enunciato in esame è quindi p q che risulta FALSO, essendo falsa la disgiunzione di due enunciati falsi. 4. Sia p = 1 + 1 = 3 e q = 2 + 1 = 3 ; la formalizzazione dell enunciato in esame è quindi (p q) che risulta FALSO, essendo vera la disgiunzione di due enunciati uno falso e uno vero. 5. Siano p e q definiti come nel punto 3; la formalizzazione dell enunciato in esame è quindi (p q) che risulta FALSO, essendo vera un implicazione con premessa falsa. Esercizio 8.20 1. p q p q (p q) q p (q p) (p q) (q p) F F F V V F V F V F V F V V V F F V F V V V V V F V F F 1
2. p q p q q p q (p q) (p q) (p q) F F V V F V V F V V F V F V V F F V V F F V V V F F V V 3. A B C p q r q q r p A r p r q B C A C F F F V V V V F F V V F F V V V V F V V F F F V F F F V V F V F F F V V F V V F V V F F V F F V V V V V V F F V F V V V V F F F V V V V F F F F V V V F F V V V F V V F F V F F Esercizio 8.21 1. 2. p q p q (p q) p q p q F F F V V V V F V F V V F V V F F V F V V V V V F F F F p q p q (p q) q p q p p q F F V F V F V F F V F V F V V V V F F V V V F V V V V F F F F F Esercizio 8.22 1. Usando le equivalenze 8.4(1) e 8.4(3), abbiamo che (p q) p q. 2. Usando le equivalenze 8.21(2) e 8.4(3), abbiamo ( p q) p q. 3. Usando le equivalenze 8.4(2) e 8.4(3), abbiamo che ( p q) p q. 2
Esercizio 8.23 1. Le rose sono rosse e le violette non sono blu. 2. Non fa freddo oppure non piove. 3. Luigi non è basso e non è bello. 4. Fa freddo e non piove. 5. Piove e non fa freddo. 6. Le rose sono rosse se e solo se le violette non sono blu. Esercizio 8.24 Mostreremo le equivalenze dell esercizio 8.4 con i tableau e quelle dell esercizio 8.21 con Gentzen; assumiamo che il lettore sappia ormai tradurre una dimostrazione nell altra senza problemi. 8.4(1): 8.4(2): ( (p q) ( p q)) ( (p q) ( p q)) (( p q) (p q)) (p q), ( p q) ( p q), (p q) p, q, ( p q) p, q, p q p, q, p p, q, q p, q, p p, q, q ( (p q) (p q)) ( (p q) (p q)) ((p q) (p q)) (p q), (p q) p q, (p q) p, q, (p q) p, q, p q p, q, p p, q, q p, q, p p, q, q 3
8.4(3): ( p p) ( p p) (p p) p, p p, p p, p 8.21(1): p, p, q q, p, q 8.21(2): dove p, q, p, q p q, p, q p q, p q (p q) ( p q) p q, p q e (p q) (p q) p q, p q (p q) ( p q) (p q) (p q) p, q, q, p p q, q p p, q, (p q), q p, q, (p q), p p, p, q q, p, q p q, p q ( p q), p, q ( p q), (p q) ( p q) (p q) (p q) (p q) q, p, p, q q p, p q (p q) (p q) q p, p q q, p, q, p q p, q p p, q, (p q), (q p) p, p, (p q), (q p) p, ( q p), (p q), (q p)... q, ( q p), (p q), (q p) (p q), ( q p), (p q), (q p) (p q), (p q) (p q) (p q) La prova per (p q) ( p q) è simile. 4
Esercizio 8.25 Proveremo la prima e la terza equivalenza con i tableau, mentre la seconda con Gentzen; al lettore è lasciato il semplice compito di sviluppare le restanti prove. 1. (((p q) r) (p (q r))) (((p q) r) (p (q r))) ((p (q r)) ((p q) r)) (p q) r, (p (q r)) p (q r), ((p q) r) p, q, r, (p (q r)) p, q, r, ((p q) r) p, q, r, p p, q, r, (q r) p, q, r, (p q) p, q, r, r p, q, r, q p, q, r, r p, q, r, p p, q, r, q 2. q, r, p, q q, r, p, r q, p, p, r q, r, p, r p, p, q (q r), p, q p, p, r (q r), p, r q, (p r), p, q q, (p r), p, r (p (q r)), p, q (p (q r)), p, r p, (p r), p, q r q, (p r), p, q r (p (q r)), p q (p (q r)), p r (p q), (p r), p, q r (p (q r)), (p q) (p r) (p (q r)) ((p q) (p r)) ((p q) (p r)), p (q r) ((p q) (p r)) (p (q r)) 3. (p (q r)) ((p q) (p r)) ((p (q r)) ((p q) (p r))) ((p (q r)) ((p q) (p r))) (((p q) (p r)) (p (q r))) p (q r), ((p q) (p r)) ((p q) (p r)), (p (q r)) p, ((p q) (p r)) q r, ((p q) (p r)) p q, p r, p, (q r) p, (p q) p, (p r) q, r, ((p q) (p r)) p, p r, p, (q r) q, p r, p, (q r) p, p, q p, p, r q, r, (p q) q, r, (p r) q, p, p, (q r) q, r, p, (q r) q, r, p, q q, r, p, r q, p, p, q q, p, p, r q, r, p, q q, r, p, r 5
Esercizio 8.26 Risolveremo alcuni esercizi con i tableau, altri con Gentzen; lasciamo al lettore il semplice compito di riscrivere le prove date nell altro modo. 1. L enunciato dato è una tautologia: (((A B) C) ((A C) (B C))) (A B) C, ((A C) (B C)) (A B) C, (A C), (B C) (A B) C, A, C, B, C (A B), A, C, B, C C, A, C, B, C A, B, A, C, B, C 2. L enunciato dato è una tautologia: A, (B C), A, B, C C, (B C), A, B, C 3. L enunciato dato è una tautologia: 4. L enunciato dato è una tautologia: (A C), (B C), A, B, C (A C), (B C), (A B), C (A C), (B C), (A B) C ((A C) (B C)), (A B) C ((A C) (B C)) ((A B) C) ( (A B) ((A C) B)) (A B), ((A C) B) A, B, (A C), B A, B, B, C, C, A A B, B C, C A (A B) (B C) (C A) 6
5. L enunciato dato è una tautologia: ((A B) ((A C) (A (B C)))) A B, ((A C) (A (B C))) A B, A C, (A (B C)) A B, A C, A, (B C) A, A C, A, (B C) B, A C, A, (B C) B, A, A, (B C) B, C, A, (B C) B, C, A, B B, C, A, C 6. L enunciato dato è una tautologia: (((A C) (B C)) ((A B) C)) (A C) (B C), ((A B) C) (A C) (B C), A B, C A C, B C, A B, C A C, B C, A, C A C, B C, B, C A, B C, A, C C, B C, A, C A, B C, B, C C, B C, B, C A, B, B, C A, C, B, C Esercizio 8.27 Svolgiamo la prima parte con i tableau e la seconda con Gentzen. 1. Tutti gli F n sono tautologie, per n 1. La prova è per induzione: 7
Base: (A (B (A B))) A, (B (A B)) A, B, (A B) A, B, A, B Induzione: per ipotesi, il tableau di F n è chiuso; dimostriamo che anche il tableau di F n+1 è chiuso: (A (B F n )) A, (B F n ) A, B, F n Ciò segue dal fatto che, se aggiungiamo gli enunciati A e B a tutti i nodi di un tableau chiuso (quello di F n nel nostro caso) abbiamo ancora un tableau chiuso. Si noti, invece, che il tableau di F 0 resta aperto: (A B) A, B Pertanto, F 0 non è una tautologia: infatti, la formula è falsificabile prendendo A vero e B falso. 2. Tutti i G n sono tautologie. Base: A, B, A A, B A A (B A) Induzione: per ipotesi, esiste in Gentzen una dimostrazione per G n ; dimostriamo che esiste una dimostrazione in Gentzen anche 8
per G n+1 : A, B, G n Esercizio 8.28 A, B G n A (B G n ) Ciò segue dal fatto che, se aggiungiamo gli enunciati A e B a tutti gli insiemi di formule di una dimostrazione di Gentzen (quella di G n nel nostro caso) abbiamo ancora una dimostrazione in Gentzen. 1. Per ipotesi, U A (B C); per il teorema deduttivo, questo equivale a U {A} B C che, per contrapposizione, implica U {A} C B; di nuovo per il teorema deduttivo, U A ( C B). 2. Per ipotesi, U A B; per il teorema deduttivo, questo equivale a U {A} B che, per doppia negazione, implica U {A} B; di nuovo per il teorema deduttivo, U A B. 3. Per ipotesi, U A (B C) e U A (C D); per il teorema deduttivo, ciò equivale a U {A} B C e U {A} C D; per transitività, ciò implica U {A} B D; di nuovo per il teorema deduttivo, U A (B D). Esercizio 8.29 1. {A} (A B) (B (A B)) Assioma 1 2. A ((A B) (B (A B))) Teor.Ded. 3. (A B) (A (B (A B))) Scambio Prem. Esercizio 8.30 1. {A (B C)} A (B C) Ipotesi 2. {A (B C} B (A C) Scambio Prem. 3. (A (B C)) (B (A C)) Teor.Ded. Esercizio 8.31 1. {A, B C} A Ipotesi 2. {A} (B C) A Teor.Ded. 3. {A} A (B C) Contrapposizione 4. A ( A (B C)) Teor.Ded. 5. A (A (B C)) Def. di e 9
Esercizio 8.32 1. A ((B C) D) (A ((B C) D)) ((A (B C)) (A D)) Ax.2 2. A ((B C) D) A ((B C) D) Ipotesi 3. A ((B C) D) (A (B C)) (A D) M.P. 4. A ((B C) D) (A D) (A (B C)) Contrapp. 5. (A ((B C) D)) ( (A D) (A (B C))) Teor.Ded. 6. (A ((B C) D)) ( (A D) (A (B C))) Def. di e Esercizio 8.33 1. {A, A} A ( B A) Ax.1 2. {A, A} A Ipotesi 3. {A, A} B A M.P. 4. {A, A} A B Contrapp. 5. {A, A} A Ipotesi 6. {A, A} B M.P. 7. A ( A B) Teor.Ded. (2 volte) L esercizio può essere anche risolto in maniera più veloce usando la generalizzazione delle regole di contrapposizione e di doppia negazione date nell esercizio 8.28: 1. A ( B A) Ax.1 2. A ( A B) Contrapp. e Doppia neg. general. Esercizio 8.34 Ottenibile banalmente dalla proposizione 8.7 sostituendo A con A e applicando la doppia negazione. Esercizio 8.35 Basta notare che A (A B), riscritto solo in termini di e, diventa A ( A B); basta quindi vedere l esercizio 8.33. Esercizio 8.36 1. A B, C A, C C A Ipotesi 2. A B, C A, C C Ipotesi 3. A B, C A, C A M.P. 4. A B, C A, C A B Ipotesi 5. A B, C A, C B M.P. 6. (A B) (( C A) ( C B)) Teo.Ded. (3 volte) 7. (A B) ((C A) (C B)) Def. di 10
Esercizio 8.37 1. ( A B) C, A, B ( A B) C Ipotesi 2. ( A B) C, A, B C ( A B) Contrapp. 3. ( A B) C, A, B A ( C B) Sc.Prem. 4. ( A B) C, A, B A Ipotesi 5. ( A B) C, A, B C B M.P. 6. ( A B) C, A, B B C Contrapp. 7. ( A B) C, A, B B Ipotesi 8. ( A B) C, A, B C M.P. 9. ( ( A B) C) ( A ( B C)) Teo.Ded. (3 volte) 10. ((A B) C) (A (B C)) Def.di Esercizio 8.38 Basta scambiare i ruoli di A e A nell esercizio 8.33 per ottenere una prova di 8 passaggi (si noti che nell esercizio 8.33 abbiamo accorpato due applicazioni del teorema deduttivo). Esercizio 8.39 1. Il caso base per F n (con n = 0) è banalmente un istanza del primo assioma. Per induzione, sappiamo che F n ; allora, {A} F n. Usando il teorema deduttivo, otteniamo che A F n, cioè F n+1. 2. Il caso base per G n (con n = 0) è banalmente un istanza del primo assioma. Per induzione, sappiamo che G n ; allora, {A, B} G n. Usando due volte il teorema deduttivo, otteniamo che A (B G n ), cioè G n+1. 11