Soluzioni degli esercizi proposti

Soluzioni degli esercizi proposti.9 a La cardinalità dell insieme dei numeri,..., 0 n che sono multipli di 5 è 0n 5. Dunque, poiché siamo in una condizione di equiprobabilità, la probabilità richiesta è 0 n 5 0 n = 5 b La cardinalità dell insieme dei numeri,..., 0 n che sono multipli di 5 è 0n 5. Inoltre l insieme dei multipli di 5 è contenuto nell insieme dei multipli di 5. Dunque quelli che sono multipli di 5 ma non di 5 sono 0n 5 0n 5 = 0n 5 e la probabilità richiesta è 5..0 Indichiamo con A i l evento il dado del giocatore ha dato i, i =,..., e con G l evento il giocatore vince. È chiaro che PA i =, perché, per come è posto il problema, non c è motivo di non supporre i dadi equilibrati. Evidentemente PG A = 0, perché se il dado del giocatore dà, il giocatore perde qualunque sia il risultato del banco. Invece se il dado del giocatore dà, allora egli vince se il banco ha e perde altrimenti. Dunque PG A =. In maniera del tutto analoga si trova che PG A 3 = 3, PG A =, PG A 5 = 3, PG A = 5 Per la formula delle probabilità totali., PG = PG A PA +... + PG A PA = = 0 + + 3 + + 3 + 5 5 = 3 = 5 = 0. Paolo Baldi Calcolo delle Probabilità McGraw-Hill 0

Soluzioni degli esercizi proposti. Indichiamo con A l evento la persona prescelta è affetta dalla malattia A e analogamente per B. I dati del problema affermano che PA = 0., PB = 0.07 e PA B = 0.03. a L evento la persona prescelta è affetta da almeno una delle due malattie non è altro che PA B. Per la formula.8 della probabilità della unione di due eventi non necessariamente disgiunti, PA B = PA + PB PA B = 0. + 0.07 0.03 = 0.5. a Si tratta di calcolare la probabilità condizionale PA B A B. Poiché A B A B, PA B A B = PA B PA B = 0.03 0.5 = 0.. b L evento si verifica A ma non B è A B c, l evento si verifica B ma non A è B A c, dunque C = A B c B A c. Alternativamente si sarebbe potuto osservare che l evento C non è altro che A B \ A B. b Si ha PB A c = PB PA B è la. e quindi, scambiando i ruoli di A e B, anche PA B c = PA PA B. Inoltre A B c e B A c sono disgiunti, perché il primo è contenuto in A mentre il secondo è contenuto in A c. Dunque PC = PA B c + PB A c = PA + PB PA B Questa formula è immediata anche a partire dalla relazione C = A B \ A B, mettendo insieme le.8 e.. b3 Utilizzando i punti b e b qui sopra, si trova subito che la probabilità che una persona sia affetta da una sola delle due malattie è PA + PB PA B = 0... a Indichiamo con A i l evento lo i-esimo partecipante festeggia il compleanno in uno dei giorni del viaggio. Trascurando gli anni bisestili e facendo l ipotesi che la probabilità di nascere in un determinato giorno dell anno sia uniforme, si ha evidentemente PA i = 35 = 0.0. Il problema consiste nel calcolo di PA... A 0. Per come è posto il problema è ragionevole supporre che gli eventi A i, i =,..., 0, siano indipendenti e quindi conviene piuttosto passare al calcolo della probabilità del complementare, usando la.7 e osservando che evidentemente PA c i = PA i = 35 : PA... A 0 = PA c... Ac 0 = 35 0 = 0.3. Si tratta di una probabilità non trascurabile, ma non particolarmente alta. b Ripetendo il ragionamento del punto precedente, si vede che se i partecipanti fossero k ed il viaggio durasse n giorni, allora la probabilità che uno dei compleanni cada durante il viaggio sarebbe. n 35 k. Per x = 0.5 oppure x = 0.9, dobbiamo risolvere la disuguaglianza n 35 0 x

Esercizio. 3 che risolta dà n 35 x 0. Sostituendo i valori x = 0.5 e x = 0.9 si trova n 5 e n 7 rispettivamente. c Riprendendo la., dobbiamo risolvere la disuguaglianza 35 k x stavolta nell incognita k. Questa disuguaglianza equivale a ovvero log x k log 35 k log x log 35 attenzione: quando si divide per il logaritmo di una probabilità bisogna sempre cambiare il verso della disuguaglianza, perché il logaritmo di un numero più piccolo di è negativo!. Sostituendo i valori x = 0.5 e x = 0.9 si trova k e k 5 rispettivamente..3 Indichiamo con M l evento il paziente è malato ; M c è dunque l evento il paziente è sano. Indichiamo poi con T l evento il risultato del test è positivo. I dati del problema permettono di affermare che PM = 0.03, PT M = 0.95, PT M c = 0.. a Per la formula delle probabilità totali. PT = PT MPM + PT M c PM c = 0.95 0.03 + 0. 0.97 = 0.5 =.5%. b Si tratta di calcolare PM T. Per la formula di Bayes, PM T = PT MPM PT = 0.95 0.03 0.5 = 0.8 =.8%. Quindi un paziente che risulta positivo al test non deve disperare... c La probabilità che un paziente risulti negativo al test è PT c = PT =.7775. La questione proposta non è altro che il calcolo di PM T c. Ma PM T c = PM T c PT c = PT c MPM PT MPM PT c = PT c = 0.95 0.03 = = 0.009 = 0.9%. 0.7775. a Indichiamo cona 0 ea rispettivamente gli eventi viene scelta una moneta equilibrata e viene scelta una moneta truccata. Indichiamo con E l evento in tre lanci viene ottenuto

Soluzioni degli esercizi proposti T T T. Chiaramente PA 0 = 5 e PA = 5, mentre PE A 0 = 8 e PE A = 3 3 = 8 7. Dunque per la formula delle probabilità totali. PE = PA 0 PE A 0 + PA PE A = 5 b Si tratta di calcolare PA 0 E. La formula di Bayes dà PA 0 E = PA 0PE A 0 PE 8 + 5 = 0.3. 8 7 = 0.. Evidentemente PA E = PA 0 E = 0.37. Quindi, nonostante le tre teste consecutive siano un indizio che si tratti di una moneta truccata, il fatto che sia equilibrata resta il più probabile. b Indichiamo con E l evento anche il quarto lancio dà testa. Si tratta di calcolare PE E = PE E PE Abbiamo già calcolato PE; la probabilità PE E si calcola allo stesso modo: evidentemente PE E A 0 = probabilità di ottenere teste in lanci con una moneta equilibrata e PE E A = 3 = 8, quindi e PE E = PA 0 PE E A 0 + PA PE E A = 5 PE E = PE E PE = 0.09 0. = 0.5 + 5 8 = 0.09 c Indichiamo con E n l evento la moneta lanciata n volte ha dato n volte testa. Allora evidentemente PE n A 0 =, n PE n A = n 3 n e dunque PE n = PE n A 0 PA 0 + PE n A PA = 5 PE n A 0 = PE n A 0 PA 0 PE n Perché questa quantità sia occorre che sia = 3 n ovvero, passando ai logaritmi, log + n log 3 0, ovvero n log log 3 n + n 5 3 n 5 n 5 n + = 5 n 3 n + 3 n =.8.

Esercizio. 5 Occorre quindi una sequenza di almeno 5 teste consecutive per poter affermare che sia più probabile che la moneta sia truccata..5 a La probabilità che tutte le linee siano giù è 0. n. La probabilità richiesta vale dunque 0. n. Perché ci sia collegamento con probabilità più grande di 0.99, occorre che sia n log 0.0/ log 0. =.8. Deve quindi essere n 3. b Indichiamo con B i l evento la linea i-esima è operativa. La probabilità che tutte le linee siano operative è quindi PB... B n = PB... PB n = 0.8 n, dato che i comportamenti delle singole linee sono supposti indipendenti. La probabilità che ci sia almeno una linea interrotta è quindi 0.8 n. Indichiamo con A l evento almeno una linea è operativa e con B tutte le linee sono operative. Sappiamo da a che PA = 0. n e da b che PB = 0.8 n. La probabilità che ci sia almeno una linea interrotta, sapendo che le due sedi sono comunque in collegamento è dunque PB c A = PB A. Osserviamo che B A, dato che se tutte le linee sono operative, a maggior ragione le due sedi sono collegate. Quindi PB c A = PB A = PB A PA = PB PA = 0.8n 0. n c Nelle notazioni dei punti precedenti, si tratta di calcolare PB A. Per la formula di Bayes PB A = PA B PB PA Tenendo conto che PA B = se la linea è funzionante, a maggior ragione almeno una linea è operativa e che PB = 0.8, si trova PB A = 0.8 0. n. Indichiamo A = la prima pallina estratta è rossa o gialla, B = la prima pallina estratta è blu e C = la seconda pallina estratta è blu. Per i dati del problema, poiché è ragionevole supporre le tre palline equiprobabili, si ha PA = 3, PB = 3 Inoltre PC A =, perché se alla prima estrazione si ottiene una pallina rossa oppure gialla, allora nella scatola, al momento della seconda estrazione, ci sono quattro palline di cui una sola blu. Viceversa PC B =, perché se alla prima estrazione si ottiene una pallina blu, allora nella scatola ci saranno quattro palline di cui due blu. a Si tratta di calcolare PB. Per la formula delle probabilità totali. PC = PC APA + PC BPB = 3 + 3 = 3

Soluzioni degli esercizi proposti Forse questo risultato era da prevedere poiché, per motivi di simmetria non c è ragione di ritenere che uno dei tre colori debba essere più probabile degli altri alla seconda estrazione. b Si tratta di calcolare PB C, quindi di applicare la formula di Bayes: PB C = PC BPB PC =.7 a Come visto nell Esempio.0, se la moneta è equilibrata tutte le sequenze sono equiprobabili anche se alcune sembrano più casuali di altre. b Ora la probabilità di una sequenza è uguale a p k p 8 k, dove k è il numero di T nella sequenza. Dato che p = 3 >, sono più probabili le sequenze con più teste. La prima sequenza è la più probabile..8 a Possiamo considerare le 5 carte del mazzo divise in due gruppi, uno composto dalle 3 carte di fiori e l altro dalle 39 carte degli altri semi. La probabilità di ottenere tredici carte dal secondo gruppo e zero carte dal primo è data dalla legge ipergeometrica, poiché siamo in una situazione senza rimpiazzo. La probabilità richiesta dunque vale. 3 39 0 3 3 = 7... 39 0... 5 = 0.03 := p =.3%. b Se indichiamo con N l evento non si riceve nessuna carta di fiori e con N, N, N rispettivamente lo stesso evento riferito agli altri semi, abbiamo appena visto che PN = 0.03. Evidentemente si ha anche PN = PN = PN = 0.03. L esercizio richiede ora il calcolo della probabilità PN N N N. Questo si può fare facilmente con la formula di inclusione-esclusione Proposizione.0. Per fare questo bisogna calcolare le probabilità delle intersezioni a due a due, a tre a tre e a quattro a quattro degli eventi N, N, N e N. Vediamo quanto vale ad esempio PN N. N N corrisponde all evento non si ricevono né carte di fiori né carte di cuori. Si tratta quindi della probabilità di scegliere tredici carte da un gruppo di ventisei le carte di quadri e di picche insieme e zero dal gruppo delle altre ventisei fiori e cuori. La legge ipergeometrica dà ancora.3 PN N = 0 3 3 =... 39 7... 5 = 0.0000 := p. Osserviamo che questa probabilità è molto piccola rispetto a quella calcolata in.. Naturalmente quella calcolata in.3 è anche la probabilità degli eventi PN N, PN N... in tutto le intersezioni a due a due sono sei. Dobbiamo poi calcolare la probabilità delle intersezioni a tre a tre di questi eventi. Il ragionamento è identico: PN N N è la probabilità di ricevere solo carte di picche. Con le solite formule della legge ipergeometrica, questa probabilità vale 39 3 0 3 3 := p 3.

Esercizio.30 7 Il lettore avrà già capito che questa probabilità è piccolissima e quindi trascurabile in pratica è infatti dell ordine di 0. Infine la probabilità dell evento N N N N è uguale a 0, perché l evento è vuoto. La formula d inclusione-esclusione dice che la probabilità PN N N N à uguale alla somma delle probabilità degli eventi N, N, N, N = p meno la somma delle probabilità delle loro intersezioni a due a due = p più la somma delle probabilità a tre a tre sono quattro, ma abbiamo detto che il loro contributo è trascurabile. Dunque PN N N N p p = 0.05 in realtà anche il contributo delle intersezioni a due a due è molto modesto..9 L insieme dei possibili risultati è composto dalle coppie ordinate k, m con k e m che possono prendere i valori da a. Si tratta di 3 elementi. a L evento B = {la somma dei dadi è uguale a 7} è composto dai elementi,,, 5, 3,,, 3 e 5,. Poiché è ragionevole supporre su la probabilità uniforme, PB = #B # = 3 = b L evento A = {il dado ha dato } è composto dai elementi,,,,, 3,,, 5 e, ed ha probabilità uguale a. L evento A B è formato dal solo elemento, 5. Dunque PA B PB A = = = PA che è un risultato abbastanza intuitivo: se il primo dado ha dato allora si ottiene 7 solo se il secondo dà 5, il che accade appunto con probabilità. c L evento C = {uno dei due dadi ha dato } corrisponde al sottoinsieme formato dalle coppie,,,,, 3,,,, 5,,,,, 3,,,, 5, e,, che sono attenzione a non contare, due volte. Dunque PC = 3. B C è invece formato dalle due coppie 5, e, 5, e dunque PB C = 3. Quindi PB C = 3 3 = che è una probabilità più piccola di quella relativa alla domanda del punto b..30 Possiamo considerare le 0 carte del mazzo divise in due gruppi, uno composto dagli assi, i due ed i tre si tratta di carte e l altro dalle 8 carte rimanenti. La probabilità che un singolo prefissato giocatore riceva una mano senza assi, senza due e senza tre è uguale alla probabilità di prendere 0 carte dal primo gruppo e 0 dal secondo. Usando le formule della legge ipergeometrica, questa probabilità vale 8 0 0 0 0 = 8 7... 9 0 39... 3 = 0.055.

8 Soluzioni degli esercizi proposti Con un ragionamento simile, la probabilità che due prefissati giocatori ricevano una mano senza assi, senza due e senza tre è 8 0 0 0 5. 0 0 La probabilità che tre prefissati giocatori ricevano una mano senza né assi né due né tre è zero, perché allora tutti gli assi due e tre dovrebbero stare nella mano del quarto giocatore, il che non è possibile perché quest ultimo ha solo 0 carte. Per la formula d inclusione-esclusione la probabilità richiesta vale dunque 8 0 0 0 0 8 0 0 0 0 8 0 0 0 0 evidentemente anche l intersezione dei quattro eventi è vuota. = 0.0.3 Usando le formule della legge ipergeometrica, la probabilità di scegliere senza rimpiazzo elementi da un gruppo formato da 8 individui di un tipo e 7 di un altro ottenendo una ripartizione k k è 8 7 k k 5 0 k. Da questa relazione è facile rispondere alle questioni proposte. a 8 7 5 = 0.9. b 8 7 0 + 8 7 5 + 8 7 5 = 0.00 + 0.033 + 0.9 = 0.3. c La probabilità di scegliere a caso un comitato in cui figuri non più di una donna è 8 7 0 + 8 7 5 5 = 0.03 = 3.% veramente un po pochino perché sia verosimile la favoletta del gioco del caso. Naturalmente qui siamo un po nell arbitrario: quanto avrebbe dovuto essere piccola questa probabilità perché si possa affermare che si tratta di una scelta deliberata? La scelta di questa soglia dipende dalle situazioni concrete ma un livello 5% viene spesso preso come valore tipico. In questo caso la probabilità trovata è più piccola del 5% e l affermazione che si tratta di discriminazione è sostenibile..3 a Poiché le estrazioni avvengono con reimbussolamento, i risultati delle due estrazioni sono indipendenti. Se indichiamo cona r l evento le due palline estratte sono entrambe rosse,

Esercizio.3 9 allora è chiaro che PA r = ; evidentemente anche per l analogo evento A b relativo al colore bianco, si ha PA b =. Ora l evento le due palline estratte hanno lo stesso colore non è altro che A r A b. Poiché i due eventi sono disgiunti non si possono estrarre due bianche e due rosse, dato che le palline estratte sono due in tutto, la probabilità della riunione è uguale alla somma delle probabilità, cioè. b Ora le due estrazioni non sono più indipendenti, dato che la composizione dell urna alla seconda estrazione dipende dal risultato della prima. Indichiamo ancora con A r l evento le due palline estratte sono entrambe rosse e con R e R rispettivamente gli eventi la prima risp. la seconda pallina estratta è rossa. Allora PA r = PR R = PR R PR. Si ha evidentemente PR =, mentre PR R = 7, perché, se la prima estrazione ha dato luogo ad una pallina rossa, ora nell urna ci sono palline rosse e 3 bianche. Dunque PA r = PR R PR =. Ripetendo gli stessi argomenti si ha anche PA b = per cui la probabilità richiesta vale 7. c Basta ripetere gli argomenti del punto b, solo che ora PR R = 3, perché, se la prima estrazione ha dato luogo ad una pallina rossa, ora nell urna ci sono 3 palline rosse e bianche. Dunque PA r = e la probabilità richiesta è 3..33 a Le formule della distribuzione ipergeometrica danno immediatamente 0 = 3 7 b Indichiamo con R l evento le prime due palline estratte sono rosse. Con le formule della legge ipergeometrica si ha PR = 0 0 = 5 Indichiamo B l evento la terza e quarta estratte sono bianche. Si tratta di calcolare PR B = PB R PR. Ma dopo le prime due estrazioni sono rimaste 8 palline, di cui rosse e bianche. Dunque, sempre con la legge ipergeometrica, Dunque PB R = 0 8 = 5 8 PR B = PB R PR = 5 5 8 = c Basta ripetere i ragionamenti del punto b, il risultato è sempre..3 Basta applicare le formule ricavate nell Esempio.8, per avere le risposte ad a e b.

0 Soluzioni degli esercizi proposti a 3 3 3 3 = 5 5 50 9 3! = 0.. b 3 3 3 0 3 0 = 3! 5 5 50 9 = 0.0 := p. c La probabilità p calcolata in b è naturalmente anche la probabilità di avere due carte di quadri e due di fiori, due di quadri e due di picche... Indichiamo con A, A,... questi eventi attenzione: per come è posto il problema l ordine non conta: A e A sono lo stesso evento. Sappiamo che essi hanno tutti la stessa probabilità p = 0.0 e che essi sono disgiunti se si ottengono due quadri e due fiori non si possono ottenere simultaneamente due quadri e due picche.... L evento si ottengono due carte di uno stesso seme e le altre due di uno stesso seme diverso dal primo non è altro che la riunione degli eventi A, A,... Si vede facilmente che questi sono dunque la probabilità richiesta vale p = 0.3. d In due modi diversi. Si può considerare l evento si ottengono solo carte di quadri e di cuori come la riunione disgiunta degli eventi si ottengono k carte di quadri e k di cuori, k = 0,,...,. Dunque, ricordando che 3 0 =, la probabilità richiesta vale q := 3 3 0 + 3 3 3 + 3 3 + 3 3 3 + 3 3 0 Più semplicemente, conviene considerare le 5 carte suddivise nei due gruppi cuori e quadri e fiori e picche. La probabilità richiesta è quella di ottenere in quattro estrazioni carte dal primo gruppo e 0 dal secondo. Dunque, semplicemente, usando le formule della legge ipergeometrica, q = 0 = 0.055..35 a p k non è altro che la probabilità dell evento C k le prime k estrazioni hanno dato tutte palline nere. Le formule della legge ipergeometrica danno quindi PC k = q k = 3 7 0 k 0 = k 0 k9 k8 k, 0 9 8 per k =,..., 7; naturalmente q 8 = 0, perché nell urna ci sono solo 7 palline nere. b C k è anche l evento dopo k estrazioni il gioco non è ancora finito. Dunque l evento il gioco finisce alla k-esima estrazione è F k = C k \ C k. Poiché C k C k, si ha F k C k = C k e gli eventi F k e C k sono disgiunti. Dunque la probabilità che il gioco finisca alla k-esima estrazione vale, se k =,... 8, p k = PF k = PC k PC k = q k q k = 3 0 k9 k, 0 9 8