INTRODUZIONE ALLE SERIE DI FOURIER REALI E COMPLESSE

INTRODUZIONE ALLE SERIE DI FOURIER REALI E COMPLESSE 1. Nozioni geometriche e definizioni di base Prendiamo in esame funzioni periodiche a valori reali e complesse, quindi funzioni f : R R, o f : R C tali che f(t + t) = f(t) e f(t + t) = f(t), per un qualche T detto periodo e per ogni t R. In particolare assumiamo che T = ; senza perdere di generalità possiamo restringerci a considerare funzioni f e f definite solo da (, ]. Il nostro obiettivo e decomporre un onda (una funzione periodica), come somma di armoniche, cioè scriverla come una somma, eventualmente infinita, di funzioni che conosciamo bene. Più precisamente chiamiamo polinomi trigonometrici reali le funzioni della seguente forma ( s n (x) = a 0 + ak cos(kx) + b k sin(kx) ), n N, al variare di a 0, a k, b k R. Analogamente chiamiamo polinomi trigonometrici complessi le funzioni della seguente forma ( s n (x) = ck e ikx), n N, al variare di c k C. Nel nostro procedimento ci lasceremo guidare da alcune idee geometriche. Introduciamo quindi lo spazio vettoriale reale (1.1) L ( (, ), R ) := {f : (, ) R e lo spazio vettoriale complesso (1.) L ( (, ), C ) := {f : (, ) C f (x)dx < } f(x) dx < } entrambi di dimensione infinita. Ricordo che un insieme V è detto spazio vettoriale reale (o complesso) se verifica la seguente proprietà per ogni v, w V e per ogni a, b R (risp. a, b C) av + bw V. In entrambi gli spazi sono definiti una nozione di distanza, che è indotta da una norma e che è a sua volta indotta da un prodotto scalare. Iniziamo dalla norma che serve per misurare la lunghezza dei vettori. Ricordo che una norma è una applicazione continua : V [0, + ) che gode di determinate proprietà, tra cui le più importanti sono le seguenti (dis. triangolari) (1.3) v + w v + w, αv = α v v w v w per ogni vettore v, w V e per ogni scalare α (reale o complesso a seconda se V è uno spazio reale o complesso. Nel nostro caso, dato f L definiamo la norma di 1

INTRODUZIONE ALLE SERIE DI FOURIER REALI E COMPLESSE f, indicata con f come segue: ( f := f dx ) 1/ dove per il caso reale per f si intende il valore assoluto e per il caso complesso il modulo. Ricordo che in entrambi i casi si tratta di integrali reali e che ogni elemento di L ha norma finita come si vede dalla definizione. Si può verificare (ma è difficile) che la norma introdotta è effettivamente una norma e soddisfa le proprietà enunciate in (1.3). La norma di L è in realtà indotta da un prodotto scalare (<, >). Quindi abbiamo anche una nozione di di ortogonalità (gli spazi con tali proprietà vengono detti spazi di Hilbert). Rispettivamente per f, g L ( (, ), R ) e f, g L ( (, ), C ) definiamo < f, g >:= f(x)g(x)dx, < f, g >:= f(x) g(x)dx, dove g(x) denota il coniugato di g(x). Si osserva che il prodotto scalare dello spazio complesso coincide con quello del caso reale se f e g sono reali. Ricordo che dato uno spazio vettoriale V chiamiamo prodotto scalare una applicazione bilineare simmettrica da V V in R (o C), che verifica tra le altre proprietà la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz < v, w > v w per ogni v, w V, e che permette di definire una norma (quindi il prodotto scalare deve essere definito positivo), nel modo seguente f := < f, f >. Si può verificare (ma è difficile), che (1.1) e (1.) inducono effettivamente un prodotto scalare su R e su C. Infine la norma induce una distanza d(f, g) = f g (che misura lo scarto quadratico medio). Questo prodotto scalare ci permette di definire il concetto di ortogonalità e di angolo nel modo seguente: l angolo compreso tra f e g di L sarà definito da < f, g >= f g cos(θ) cos(θ) = < f, g > f g e funzioni si diranno ortogonali se < f, g >= 0. Diremo che funzioni f e g sono linearmente dipendenti se esiste c R (o C) tale che f = cg e linearmente indipendenti altrimenti. E facile vedere che se vettori sono ortogonali tra loro sono linearmente indipendenti. Utilizzeremo questi concetti per misurare gli angoli, tramite il prodotto scalre, la lunghezza (norma) di un vettore, quanto differiscono tra loro funzioni f e g diverse, (ad esempio onde sonore) valutando d(f, g). D ora in poi cercheremo un sistema di riferimento ortogonale per L, analogamente al caso degli spazi R n. Ricordo che in R 3, ad esempio, si utilizza la cosiddetta base canonica e 1 = (1, 0, 0), e = (0, 1, 0) ed e 3 = (0, 0, 1), che è formata da vettori ortogonali di norma 1. Questo ci permette di identificare vettori di R 3 e terne di numeri: il vettore v = (a 1, a, a 3 ) R 3 è tale che v = a 1 e 1 + a e + a 3 e 3. Si noti che a i è il valore della proiezione di f su e i, quindi a i =< f, e i >. L analogo della base canonica per L è dato dall insieme dei polinomi trigonometrici reali 1, sin(kx), cos(kx) per k N nel caso reale e dai polinomi trigonometrici complessi e ikx per k N

INTRODUZIONE ALLE SERIE DI FOURIER REALI E COMPLESSE 3 nel caso complesso. Utilizzando questi sistemi di riferimento ortogonali cercheremo di scrivere le funzioni f di L come somme infinite di queste funzioni note, nel modo seguente f(x) = a 0 + + f(x) = k Z c k e ikx a k cos(kx) + b k sin(kx) dove i coefficienti a k, b k e c k saranno le proiezioni di f e f su cos(kx), sin(kx) e e ikx (moltiplicate per un fattore che dipende dal fatto che i polinomi trigonometrici non hanno norma 1). Chiamiamo F n lo spazio dei polinomi trigonometrici reali di grado minore o uguale ad n e analogamente F n lo spazio dei polinomi trigonometrici complessi di grado minore o uguale ad n ( F n := {s n (x) = a 0 + ak cos(kx) + b k sin(kx) ) a 0, a k, b k R} F n := { s n (x) = (c n e ikx ) c k C}. Si osserva facilmente che entrambi gli spazi hanno dimensione finita pari a n+1. Lo spazio complesso può anche essere interpretato come uno spazio reale di dimensione doppia (4n+) ed è costituito dal prodotto cartesiano di F n per sè stesso. Ne segue quindi che si può identificare F n con l insieme delle parti reali delle funzioni di Fn e allo stesso modo si può identificare L ( (, ), R ) con l insieme delle parti reali delle funzioni di L ( (, ), C ). Con un semplice conto vediamo il seguente risultato 1.1. Proposizione. Le funzioni 1, cos(kx), sin(kx) costituiscono una base ortogonale per F n e le funzioni e ikx formano una base ortogonale per F n. Inoltre gli elementi della prima base hanno tutti norma pari a in L e gli elementi della seconda hanno tutti norma. Proof. Facciamo la dimostrazione nel caso complesso. Siano l, m Z, l m. Allora < e ilx, e imx >= e ilx e imx dx = e i(l m)x = [ e i(l m)x ] l m = ei(l m) e i(l m) l m dove nell ultima espressione abbiamo usato la periodicità dell esponenziale complesso. Inoltre se prendo l = m trovo ( e ilx ) :=< e ilx, e ilx >= e ilx e ilx dx = 1 = La dimostrazione nel caso reale si ottiene utilizzando le formule di Prostaferesi e di bisezione. Oppure si può dedurre il caso reale da quello complesso utilizzando le relazioni tra i coefficienti a k, b k, c k spiegate qui sotto. Ne segue quindi che ogni elemento di F n puo essere scritto in modo unico come somma finita (n+1 elementi) di seni, coseni e costanti; analogamente ogni elemento di Fn puo essere scritto in modo unico come somma finita (n + 1 elementi) di funzioni e ikx. E facile vedere che data una funzione reale f F n F n ho decomposizioni con la seguente relazione tra i coefficienti. (1.4) c 0 = a 0, c k = a k ib k, c k = a k+ib k a 0 = c 0, a k = c k + c k, b k = i(c k c k ) per,..., n = 0

4 INTRODUZIONE ALLE SERIE DI FOURIER REALI E COMPLESSE Vogliamo far vedere che i polinomi trigonometrici reali (rispettivamente complessi) formano una base ortogonale per tutto L nel caso reale (risp. complesso) e che quindi generano tutto lo spazio. In tal modo sarà possibile scrivere ogni funzione di L come combinazione lineare di seni, coseni e costanti (esponenziali complessi). Data una funzione f L ne cerchiamo la proiezione su F n e su F n denotate rispettivamente con S n [f] e S n [ f]. Come negli spazi a dimensione finita risulta che S n [f] è l elemento di F n più vicino ad f, e quindi è il polinomio trigonometrico di grado n che approssima meglio f. Definiamo i coefficienti di Fourier come le proiezioni delle funzioni f e f, lungo le direzioni definite dai polinomi trigonometrici (in realtà per comodità queste proiezioni vengono tutte moltiplicate per un fattore costante nel caso reale e nel caso complesso). In pratica a 0 := 1 < f(x), 1 >= 1 b k := 1 < f(x), sin(kx) >= 1 f(x) dx, a k := 1 < f(x), cos(kx) >= 1 f(x) sin(kx)dx, c k := 1 < f(x), e ikx >= 1 Nella definizione di c k si è utilizzato il fatto che il coniugato di e ikx è e ikx. Ricordando che i polinomi trigonometrici hanno norma (caso reale) e (caso complesso) e sono tra loro ortogonali le proiezioni di f e f su F n e F n risultano essere: (1.5) S n [f] := a 0 + ( ak cos(kx) + b k sin(kx) ) = [ ] = 1 < f(x), 1 > 1 n + < f(x), cos(kx) > cos(kx)+ < f(x), sin(kx) > sin(kx) S n [ f] := [ cn e ikx] = 1 [ n < < f(x), e ikx > e ikx] Utilizzando i coefficienti di Fourier possiamo definire, a partire da una funzione assegnata, la serie di Fourier come limite per n di S n [f] nel caso reale e di S n [ f] nel caso complesso. f(x) cos(kx)dx f(x)e ikx dx. (1.6) S[f](x) := a 0 + S[ f](x) := k Z + [ cn e ikx] ( ak cos(kx) + b k sin(kx) ). Teorema di Pitagora e convergenza semplice Come già detto, vogliamo provare che sotto ipotesi molto deboli su f e f, le serie S[f](x) e S( f)(x) convergono alla funzione f e f di partenza. Il primo passo è generalizzare il teorema di Pitagora e la seguente affermazione. Abbiamo detto che in R 3 dato v = (a 1, a, a 3 ) risulta v = 3 i=1 (a ie i ). Osserviamo inoltre che (.1) 3 < v, e i > = a 1 + a a 1 + a + a 3 = < v, e i > = ( v ) i=1 Siamo ora pronti per ricavare il seguente importante risultato, che generalizza la prima disuguaglianza in (.1) i=1

INTRODUZIONE ALLE SERIE DI FOURIER REALI E COMPLESSE 5.1. Teorema (Disuguaglianza di Bessel). Siano f : (, ] R, f : (, ] C funzioni limitate e integrabili. Allora risulta (.) 1 1 ed inoltre (.3) f(x) S n [f](x) dx = 1 f(x) S n [ f](x) dx = 1 [ ] f(x) a 0 dx + [(a k ) + (b k ) ] f(x) dx [ c k ] a 0 + [(a k ) + (b k ) ] 1 [ c k ] 1 f(x) dx = f f(x) = f Prima della dimostrazione osseviamo che S n [f] = a 0 + n [(a k) + (b k ) ], S n [ f] = n [ c k ]. Infatti < e ijx, S n [ f] >=< e ijx, c k e ikx >= c k < e ijx, e ikx >= c j < e ijx, e ijx >= c j dove nella prima uguaglianza abbiamo usato la definizione, nella seconda la linearità del prodotto scalare, nella terza il fatto che i monomi trigonometrici sono ortogonali tra loro e nella quarta che la loro norma è. Quindi ( S n [ f] ) n =< c j e ijx, S n [ f] >= c j < e ijx, S n [ f] >= c j c j = c j Inoltre se f = f è una funzione reale allora risulta S n [f] = S n [f]. Inoltre (.) esprime il teorema di Pitagora in questo contesto, e (.3) una sua diretta conseguenza. Infatti (.) dice che il quadrato della distanza di f (rispettivamente f) dalla sua proiezione su F n (risp. su F n ), è pari alla differenza tra il quadrato della norma di f (risp. f) e il quadrato della norma della proiezione di f su F n (risp. su F n ). Proof. Osserviamo innanzitutto che (.3) segue da (.), essendo l integrale al primo membro di (.) sempre maggiore o uguale a 0. Proviamo ora (.) con la notazione del prodotto scalare, (.4) f S n [ f] =< f S n [ f], f S n [ f] >=< f, f > < f, S n [ f] > + < S n [ f], f > + + < S n [ f], S n [ f] >= ( f ) + ( Sn [ f] ) < Sn [ f], f > < S n [ f], f, > Usando la linearità del prodotto scalare e la definizione dei coefficienti di Fourier troviamo < S n [ f], f >= c j < e ijx, f >= c j c j = c j = ( S n [ f] ) (.5) Quindi < S n [ f], f > è reale e coincide con il suo coniugato. Sostituendo (.5) in (.4) troviamo f S n [ f] = f + ( S n [ f] ) ( Sn [ f] ) = f [ c k ]

6 INTRODUZIONE ALLE SERIE DI FOURIER REALI E COMPLESSE Con lo stesso ragionamento si prova l affermazione anche per il caso reale. Osserviamo che le disuguaglianze di Bessel sono vere anche al limite: a 0 (.6) + a k + b k f, [ c k ] f Proveremo che vale l identità di Parseval e che quindi nelle precedenti disequazioni (.6) vale il segno uguale. Questo equivale a provare l uguaglianza in (.1) che si ha appunto quando il nostro sistema di riferimento fatto di polinomi trigonometrici è una base completa per tutto L. In altre parole dobbiamo far vedere che F n ed F n coincidono con L nel caso reale e complesso rispettivamente. Dalla condizione necessaria di convegenza delle serie deduciamo che le successioni a n, b n, c n, c n sono infinitesime per n + e quindi vale il seguente Corollario... Corollario (Teorema di Riemann-Lebesgue). Siano f e f funzioni limitate e integrabili. Allora k Z lim n + f(x) sin(nx)dx = lim n + f(x) cos(nx)dx = 0 lim f(x)e inx n + dx = lim f(x)e inx n + dx = 0 Ricordo che una fuzione f di variabile reale viene detta regolare a tratti se è di classe C 1 a parte un insieme discreto di punti in cui limite destro e sinistro della funzione e della sua derivata (indicati rispettivamente con f(x ± ) e f (x ± )) esistono e sono finiti, ma possono non coincidere. Ci proponiamo ora di dimostrare il seguente risultato fondamentale..3. Teorema (Convergenza semplice delle serie di Fourier). Siano f e f funzioni periodiche di periodo e regolari a tratti. Allora per ogni x R le serie di Fourier S[f](x) e S[ f](x) convergono a f(x + )+ f(x ) e f(x + )+ f(x ) rispettivamente. Si noti che le serie convergono al valore della funzione f di partenza nei punti in cui questa è continua. Per dimostrare questo risultato è necessario introdurre alcuni Lemmi tecnici.4. Lemma. 1 Per ogni n N ed ogni x R vale (.7) D n (x) := 1 e ikx = 1 n + cos(nx) = sin[(n + 1/)x] sin(x/) La funzione D n (x), detta nucleo di Dirichlet, gode delle seguenti proprietà: D n (x) è pari D n (x) è periodica di periodo D n(x)dx = 0 D n(x) = Proof. Il fatto che la sommatoria di coseni ed esponenziali complessi coincidano segue dalla definizione di esponenziale complesso. Inoltre e ikx = e inx (1 + e ix + e ix + + e inx inx 1 ei(n+1)x ) = e 1 e ix dove nell ultima uguaglianza abbiamo usato la regola per sommare le prime n + 1 potenze di un numero. Quindi D n (x) = e inx e i(n+1)x 1 e ix = e i(n+1/)x e i(n+1/)x sin[(n + 1/)x] = e ix/ e ix/ sin(x/) Nell ultima uguaglianza abbiamo utilizzato la definizione di seno e di esponenziale complesso. 1 La dimostrazione di questo Lemma non mi interessa, ma la inserisco per completezza.

INTRODUZIONE ALLE SERIE DI FOURIER REALI E COMPLESSE 7 Visto che sin[(n+1/)x] sin(x/) è pari e periodica abbiamo provato le prime due proprietà. Ricordando che cos(kx)dx = 0 per ogni k 0, da D n(x) = 1 + n cos(nx) otteniamo l ultima proprietà..5. Lemma. Nelle ipotesi del Teorema.3, per ogni fissato n N si ha (.8) s n [f](x) = 1 f(x + t)d n (t) s n [ f](x) = 1 f(x + t)d n (t)dt Proof. Proviamo il Lemma nel caso complesso, la dimostrazione per il caso reale è identica. Utilizzando le definizioni e il fatto che le somme finite possono sempre passare dentro e fuori dagli integrali troviamo: s n [ f](x) = 1 = 1 e ikx( f(y)d n (x y)dy ) f(y)e iky dy ) = 1 ( f(y)e ik(x y)) dy = Utilizzando poi la parità della funzione e ponendo poi t = y x troviamo s n [ f](x) = 1 f(y)d n (y x) = 1 x x f(t + x)d n (t)dt Infine osserviamo che se g è periodica di periodo troviamo g(t)dt = +T +T g(t)dt. Utilizzando questa osservazione nell ultimo integrale troviamo: s n [ f](x) = 1 f(x + t)d n (t)dt Siamo ora pronti per dimostrare il Teorema.3 Proof. Le dimostrazioni nel caso reale e complesso sono molto simili, sviluppiamo quindi solo quella del caso complesso. Fissato x vogliamo provare che s n [ f](x) f(x + )+ f(x ) 0 per n. Utilizzando il Lemma precedente e il fatto che f è pari si ottiene s n [ f](x) = 1 0 f(x + t)d n (t)dt = 1 0 inoltre, dato che D n(t) =, possiamo scrivere f(x + ) R f(x 0 ) = f(x )D n(t)dt (.9) s n [ f](x) f(x + ) + f(x ) Poniamo. Quindi troviamo = 1 0 f(x + t)d n (t)dt ; = ( f(x+t) f(x + ) ) D n (t)dt+ 1 f(x+t) f(x + ) sin(t/) 0 < t F (t) = 0 t = 0 f(x+t) f(x ) sin(t/) t < 0. R 0 0 f(x + )D n(t)dt, e ( f(x+t) f(x ) ) D n (t)dt Si osserva che F (t) è limitata e continua a tratti poichè, utilizzando gli sviluppi del seno si trova facilmente F (0 + ) = lim t 0 + f(x+t) f(x + ) t t/ sin(t/) = f (0 + ) (dalla anche la dimostrazione di questo Lemma la inserisco solo per completezza

8 INTRODUZIONE ALLE SERIE DI FOURIER REALI E COMPLESSE definizione di derivata destra e dal limite notevole) e analogamente F (0 ) = f (0 ). Usando la definizione di F possiamo riscrivere (.9) nel modo seguente (.10) s n [ f](x) f(x + ) + f(x ) = 1 = 1 F (t) cos(t/) sin(kt)dt + 1 F (t) sin [ (k + 1 )t] dt = F (t) sin(t/) cos(kt)dt Quindi, poichè F (t) cos(t/) e F (t) sin(t/) sono entrambe limitate e continue a tratti possiamo applicare il Lemma di Riemann- Lebesgue e trovare che il membro di destra di (.10) tende a 0 per n. Il precedente Teorema porta anche all indentità di Parseval per funzioni regolari a tratti. 3. Covergenza uniforme e in norma L Ci chiediamo ora in che caso la serie di Fourier converga uniformemente. Infatti se la convergenza è uniforme posso scambiare i limiti in n e in x e serie ed integrali (fatti su intervalli compatti). Al Teorema sulla convergenza uniforme premettiamo il seguente Lemma che ha importanza ingegneristica. 3.1. Lemma. Siano f ed f periodiche continue e regolari a tratti. Allora chiamati a k, b k e c n i coefficienti di Fourier delle funzioni f e f si ha per ogni k N e per ogni n Z. a k = kb k, b k = ka k, c n = inc n Proof. Osserviamo innanzitutto che, poichè f è regolare a tratti e continua f è limitata e integrabile. Quindi i coefficienti di Fourier di f sono ben definiti e per essi vale il Lemma di Riemann-Lebesgue. Facciamo la dimostrazione solo nel caso complesso; il caso reale si ottiene allo stesso modo o utilizzando le relazioni tra i coefficienti definite in (1.4). Integrando per parti e usando la periodicità di e inx e di f trovo: c n = 1 [ ] f(x)e f (x)e inx inx dx = + in f (x)e inx dx = inc n Dal punto di vista applicativo le serie di Fourier vengono utilizzate per convertire un segnale analogico (un onda sonora ad esempio) in uno digitale (la successione dei coefficienti che mi dice l intensità del segnale su ogni frequenza fissata). Dal Teorema di Riemann-Lebesgue sappiamo che i coefficienti diventano sempre meno importanti all aumentare della frequenza. Quindi non commetto un errore troppo grande se taglio le code, cioè se considero solo i primi coefficienti. Utilizzando il criterio del confronto asintotico infatti ho il seguente risultato. 3.. Corollario. Sia f una funzione periodica limitata e integrabile. Supponiamo che i coefficienti di Fourier siano decrescenti, per n +. Allora c n n 0 quando n +. Se inoltre anche f è limitato e integrabile allora c n n 3/ 0 quando n +. 3.3. Remark. L ipotesi che i coefficienti di Fourier siano decrescenti è difficile da verificare, ma questo corollario ci aiuta a capire quale sia di solito l andamento dei coefficienti di Fourier e come la derivabilità aumenti la rapidità della convergenza. In effetti si possono produrre successioni a n che vanno a 0 molto lentamente ma

INTRODUZIONE ALLE SERIE DI FOURIER REALI E COMPLESSE 9 tali che n=1 a n converga ad esmpio nel modo seguente. Prendo a n = 1/ n per n = k e a n = 0 se n non è una potenza di. L ipotesi di monotonia permette di evitare questo tipo di esempi patologici. Proof. Se f è limitata e integrabile dalle disuguaglianze di Bessel trovo che n Z c n è convergente. Poichè per ogni ɛ > 0 si ha n Z c n < ɛ n N 1/n = + e c n è decrescente si ha c n n 0 per n +. Analogamente se f è limitata e integrabile trovo che n Z c n = n Z n c n è convergente. Ragionando come sopra trovo che c n n 3 0 per n +. La conseguenza pratica di questo risultato è che se la funzione f è più regolare (ad esempio se non ha punti di discontinuità), i coefficienti della serie di Fourier diventano piccoli più rapidamente e posso utilizzarne meno per approssimare il segnale originale. Ad esempio se ho un onda triangolare posso troncare prima lo sviluppo rispetto al caso dell onda quadra, e se ho una funzione senza spigoli ancora prima. Inoltre grazie a questo risultato si riesce a provare il seguente teorema 3.4. Teorema. Siano f ed f funzioni periodiche di periodo, regolari a tratti. Le serie di Fourier di f ed f convergono uniformemente ad f ed f in ogni intervallo [a, b] in cui le funzioni sono continue. Proof. Esaminiamo solo il caso complesso: il caso reale è del tutto analogo. Supponiamo per semplicità di notazione che f sia continua su tutto R. Innanzitutto dal Teorema.3 so già che le serie convergono puntualmente a f. Poichè f è regolare a tratti e continua, f è limitata ed integrabile e posso applicare le disuguaglianze di Bessel. Quindi c n < n c n = n Z n Z Utilizzando il fatto che ab a + b per ogni a, b R e ponendo a = n c n e b = 1/ n trovo c n n c n + 1/n Quindi poichè le serie n Z n c n e n Z 1 n convergono anche la serie n Z c n converge. Osservando che c n = sup{ c n e inx x R} ottengo che la serie S n [ f(x) converge totalmente e quindi converge anche uniformemente ad f in ogni intervallo compatto in cui è continua. Utilizzando il fatto che le funzioni generalmente continue sono dense in L ([a, b]) e che per esse vale l identità di Parseval, con un argomento di densità troviamo che va a 0 anche lo scarto quadratico medio tra una funzione e la sua serie di Fourier nelle ipotesi del teorema.3. Quindi vale il seguente risultato. 3.5. Teorema. Siano f e f funzioni periodiche di periodo ottenute ripetendo periodicamente funzioni di L ((, ], R) e di L ((, ], C) rispettivamente. Allora S n [f](x) f(x) 0 e S n [ f](x) f(x) 0 per n +. Osserviamo infine che tutta la teoria puo essere generalizzata per funzioni di periodo arbitrario nel modo seguente: si pone ω = T, c n = 1 T/ f(x)e inωx T dx T/ e S n ( f) := n ( cn e inωx) e S( f) := ( n Z cn e inωx). Si ha quindi che, con ipotesi analoghe al caso di T =, la serie S( f) converge e converge alla media tra f(x + ) e f(x ). di Fourier