5 a Esercitazione: soluzioni

5 a Esercitazione: soluzioni A cura di Monica Bonacina Corso di Microeconomia A-K, a.a. 2013-2014 Questo eserciziario sostituisce gli esercizi di fine capitolo del vostro libro di testo. La struttura degli esercizi è analoga a quella che troverete all esame. Ciascun capitolo dell eserciziario si compone di tre sezioni. Nella prima sezione, chiamata "A-Definizioni", vi si chiede di definire sinteticamente alcuni termini. Qualora fosse necessario potrete avvalervi dll aiuto di formule o/o grafici. Nella seconda sezione, chiamata "B-Vero/Falso", vi si chiede di dire se gli enunciati riportati sono da considerarsi veri, falsi o incerti e di fornire una spiegazione della vostra risposta. Mi raccomando, concentratevi sulla spiegazione perchè è la parte più importante. La terza sezione, chiamata "C-Esercizi", contiene degli esercizi. Gli esercizi possono essere sia numerici che di analisi grafica. Buon lavoro!! La maggior parte dei quesiti riportati di seguito è tratta da temi d esame Argomenti trattati in questa esercitazione: le decisioni di produzione. Prerequisito allo svolgimento dei quesiti contenuti nell esercitazione è lo studio dei Capitoli 9 e 10 del Libro di Testo, Robert H. Frank, Microeconomia, McGraw-Hill (ed.), 5 a edizione a cura di Romano Piras, ISBN 978 88 386 6653-7. Ragazzi, se avete bisogno di contattarmi, la mia mail è monica.bonacina@unibocconi.it! 1

1 A - Definizioni. Si definiscano sinteticamente i termini anche con l ausilio, qualora necessario, di formule e grafici. Per ogni definizione corretta viene attribuito 1 punto. Def. 1. Prodotto marginale del lavoro. Soluzione. Quantità addizionale di output che l impresa può produrre utilizzando un unità aggiuntiva di lavoro. Supponendo che la funzione di produzione sia del tipo Q(K,L), il prodotto marginale del lavoro è MP L = Q(K, L)/ L. Def. 2. Saggio marginale di sostituzione tecnica. Soluzione. Indica in quale rapporto una data tecnologia consente di sostituire un fattore produttivo con un altro mantenendo inalterato il livello di produzione. E pari alla pendenza dell isoquanto in valore assoluto. Def. 3. Prodotto medio del lavoro. Soluzione. Indica quanto output producono mediamente i lavoratori impiegati. Supponendo che la funzione di produzione sia del tipo Q(K,L), il prodotto medio del lavoro è AP L = Q(K, L)/L. Def. 4. Funzione di produzione di tipo additivo. Soluzione. Si tratta di una funzione di produzione del tipo Q(K,L)=aL+bK dove L e K sono i due input impiegati nella produzione (che in questo caso sono perfetti sostituti) mentre a, b sono parametri positivi. Quando la funzione di produzione è di tipo additivo gli isoquanti di produzione sono rette aventi pendenza costante e pari, in valore assoluto, ad a/b (MRTS=a/b). Def. 5. Funzione di produzione di breve periodo. Soluzione. Si tratta di una funzione di produzione del tipo Q( K,L) dove ho usato K per indicare che il fattore capitale è fisso; dunque il lavoro, L, è il solo fattore variabile per l impresa considerata. Def. 6. Rendimenti marginali decrescenti del fattore capitale. Soluzione. Sono in presenza di rendimenti marginali decrescenti nel fattore capitale quando all aumentare delle unità di capitale che l impresa impiega l output aumenta ma in misura meno che proporzionale (MP K è decrescente). Def 7. Isoquanto. 2

Soluzione. Un isoquano individua l insieme di tutte le combinazioni di input che consentono all impresa la produzione di un analogo livello di output. Nel caso in cui l impresa in questione desideri produrre il livello di output Q e si avvalga di una tecnologia di produzione di tipo Cobb-Douglas (ovvero tale per cui Q(K,L)=L a K b con a,b parametri positivi), l equazione dell isoquanto associato al livello di output desiderato è Q = L a K b. Def 8. Isocosto. Soluzione. Un isocosto individua l insieme di tutte le combinazioni di input che comportano il medesimo costo totale per un impresa. Nel caso in cui l impresa utilizzi per produrre il proprio output esclusivamente lavoro (L) e capitale (K) i cui prezzi sono dati e pari a w e r, rispettivamente, l equzione del generico isocosto è TC=wL+rK. Def. 9. Rendimenti di scala (crescenti, decrescenti, costanti). Soluzione. I rendimenti di scala misurano la relazione fra l incremento percentuale dell output e quello degli input quando questi ultimi aumentano contemporaneamente della stessa percentuale. I rendimenti di scala sono crescenti (decrescenti, costanti) quando l incremento percentuale dell output è maggiore (minore, uguale) di quello degli input. Def. 10. Funzione di produzione à la Leontief. Soluzione. Si tratta di una funzione di produzione del tipo Q(K,L)=min(aL; bk), con a,b parametri positivi ed L,K ad indicare gli input produttivi impiegati dall impres per produrre l output desiderato. Tale funzione di produzione si caratterizza per isoquanti dalla caratteristica forma ad "L". I fattori produttivi sono perfetti complementi (quindi il saggio marginale di sostituzione tecnica assume valore infinito, indefinito o nullo a seconda della porzione di isoquanto considerato) e la combinazione ottima di fattori è tale per cui K=(a/b)L. 3

2 B - Vero/Falso. Si stabilisca se gli enunciati sono veri, falsi, o incerti. Si fornisca una spiegazione (anche grafica se opportuno) e si argomenti compiutamente la risposta. L argomentazione è più importante della corretta classificazione. Per ogni vero/falso corretto viene attribuito 1 punto. Vero/Falso 11. Se nel breve periodo il prodotto marginale del lavoro è costante (ad esempio MP L = 2), allora un aumento nel numero di lavoratori impiegato dall impresa non comporterebbe alcuna variazione nel livello di produzione della stessa. Soluzioni. FALSO. Ogni lavoratore aggiuntivo impiegato dall impresa comporta un aumento nell output esattamente pari a MP L ; quindi nel caso in cui il prodotto marginale del lavoro sia costante, tutti i lavoratori risultano egualmente produttivi e un aumento nel numero di lavoratori impiegati dall impresa comporta un aumento proporzionale nell output totale. Vero/Falso 12. Se una tecnologia è caratterizzata da rendimenti marginali decrescenti in entrambi i fattori produttivi, allora presenta rendimenti di scala decrescenti. Soluzioni. FALSO/INCERTO. I rendimenti marginali decrescenti non implicano rendimenti di scala decrescenti (ad esempio Q(K, L) = L 1/2 K 1/2 e Q(K, L) = L 1/2 K 3/4 ). Vero/Falso 13. L impresa gamma produce il bene Q impiegando esclusivamente lavoro e capitale secondo una funzione di produzione di tipo Cobb-Douglas. Se la tecnologia produttiva si caratterizza per rendimenti marginali costanti e positivi in entrambi i fattori produttivi, allora essa presenterà rendimenti di scala crescenti. Soluzioni. VERO. Sono in presenza di rendimenti marginali costanti in entrambi i fattori produttivi se la mia funzione di produzione è del tipo Q(K,L)=L a K b con a=b=1 (ovvero se gli esponenti di ambedue i fattori produttivi sono pari ad 1); quindi i rendimenti di scala saranno crescenti a+b=1+1=2>1. Vero/Falso 14. Se una tecnologia è caratterizzata da rendimenti di scala decrescenti, allora si caratterizzerà per rendimenti marginali in entrambi i fattori decrescenti. Soluzioni. VERO. Sono in presenza di rendimenti di scala decrescenti se la mia funzione di produzione è del tipo Q(K,L)=L a K b con a+b<1 (ovvero se la somma degli esponenti è inferiore ad 1); quindi i rendimenti marginali di ambedue i fattori saranno decrescenti (ovvero sia a che b dovranno essere inferiori ad 1). Vero/Falso 15. Nel caso di input perfetti sostituti il prodotto marginale di entrambi i fattori è decrescente. 4

Soluzioni. FALSO. Nel caso di perfetti sostituti la funzione di produzione sarà del tipo Q(K,L)=aL+bK ed il prodotto marginale di ciascun input è costante e pari a, rispettivamente, MP L = a; MP K = b. Vero/Falso 16. L impresa Pie produce il bene Q impiegando esclusivamente lavoro (L) e capitale (K) secondo la funzione di produzione Q(K, L) = LK. Allora in corrispondenza della combinazione ottima di input, il prodotto marginale del lavoro sarà pari a quello del capitale. Soluzioni. FALSO/INCERTO. La combinazione ottima di fattori produttivi dev essere tale per cui MRTS=w/r con MRTS=MP L /MP k, quindi sostituendo abbiamo che la combinazione ottima di input dev essere tale per cui MP L /MP k =w/r. In corrispondenza della combinazione ottima il prodotto marginale dei due input dev essere lo stesso se e solo se w=r. Vero/Falso 17. Si consideri la funzione di produzione Q = min(l; 2K). Si supponga che attualmente la combinazione di fattori utilizzati sia L = 8 e K = 3. Allora il prodotto marginale del capitale è 2. Soluzioni. VERO. Aumentando di una unità l impiego del fattore capitale l output aumenterebbe di 2 unità. Ma ulteriori aumenti di capitale (da 4 a 5 unità ad esempio) se non affi ancati da aumenti di lavoro non porteranno ad ulteriori aumenti nell output. Vero/Falso 18. Un impresa che usa lavoro e capitale ha una tecnologia descritta da una funzione di tipo Cobb-Douglas. Allora, se il salario unitario è troppo elevato l impresa deciderà di produrre il livello di output desiderato impiegando esclusivamente capitale. Soluzioni. FALSO. L impresa considerata impiegherà lavoro fintanto che MP L /MP k =w/r. Dunque l impresa considerata impiegherà lavoro fintanto che il valore dell ultimo euro speso in lavoro (MP L /w) risulterà pari al valore dell ultimo euro speso in capitale (MP k /r), formalmente MP L /w =MP k /r. Vero/Falso 19. Sono in presenza di rendimenti di scala costanti quando la funzione di produzione è del tipo Q(K, L) = L a K b, dove Q indica la quantità prodotta mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale (unici input di produzione). Soluzioni. INCERTO. Se a+b<1 allora sono in presenza di diseconomie di scala (rendimenti di scala decrescenti); se a+b=1 sono in presenza di rendimenti di scala costanti; infine se a+b>1 sono in presenza di economie di scala (rendimenti crescenti di scala). Vero/Falso 20. Un impresa produce gomme da masticare attraverso la seguente funzione di produzione Q(K, L) = 3L+K, dove Q indica la quantità prodotta mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale. Allora potrà minimizzare i suoi costi 5

impiegando solo il fattore lavoro. Soluzioni. INCERTO. L impresa minimizza i costi di produzione impiegando solo il fattore lavoro se MRTS>w/r. Nel caso in esame MRTS=3 ma non conoscendo i prezzi dei due input non possiamo dire se la condizione sia eff ettivamente verificata. Vero/Falso 21. L impresa Delta produce il bene Q impiegando esclusivamente lavoro (L) e capitale (K) secondo la funzione di produzione Q(K, L) = LK. Essendo i rendimenti marginali di entrambi i fattori produttivi costanti, l impresa minimizzerà i propri costi impiegando un analogo numero di unità di lavoro e di capitale. Soluzioni. FALSO/INCERTO. La combinazione ottima di fattori produttivi dev essere tale per cui MRTS=w/r. Dalla funzione di produzione ricaviamo che MRTS=K/L, quindi sostituendo abbiamo che la combinazione ottima di input dev essere tale per cui K/L=w/r. L impresa minimizza i costi impiegando un analogo numero di unità di lavoro e di capitale (ovvero scegliendo K=L) se e solo se w=r. Vero/Falso 22. Considerate la seguente funzione di produzione Q(K, L) = 2L + 3K, dove Q indica la quantità prodotta mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale. Il prodotto marginale del lavoro è crescente. Soluzioni. FALSO. Il prodotto marginale del lavoro è costante e pari a 2. 6

3 C - Esercizi. Si risolvano i seguenti esercizi. Per ogni esercizio corretto vengono attribuiti 10 punti. Esercizio 1. La tecnologia dell impresa Gamma è rappresentata dalla seguente funzione di produzione: Q(K, L) = 3K + L, dove Q indica la quantità prodotta mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale (unici input di produzione). 1. Discutete la relazione che lega i due input e rappresentate in un opportuno grafico gli isoquanti associati ai livelli di output Q 1 = 90 e Q 2 = 120. 2. Sapendo che i prezzi dei fattori sono w = 4 e r = 8, scrivete l espressione analitica del generico isocosto e trovate la combinazione dei fattori necessaria per produrre 120 unità di output. 3. Supponete ora che il produttore voglia raddoppiare la sua attuale produzione. Stabilite la nuova combinazione ottimale degli input e rappresentatela graficamente. Soluzioni. (1) Capitale e lavoro sono perfetti sostituti; infatti il saggio marginale di sostituzione tecnica (che è pari al rapporto tra la produttività marginale del fattore lavoro, MP L = 1, e quella del fattore capitale, MP K = 3) è costante e pari ad 1/3. Isoquanto 90 90 = 3K + L K=30-(1/3)L Isoquanto 120 120 = 3K + L K=40-(1/3)L K 40 30 Isoquanto 120 Isoquanto 90 1/3 1/3 90 120 L (2) Il generico isocosto è T C = wl + rk K = T C/8 (1/2)L e si caratterizza per una pendenza pari a -1/2 (-w/r). Dato che il valore assoluto della pendenza dell isocosto (1/2) è maggiore del valore assoluto della pendenza dell isoquanto (1/3), l impresa sceglierà di impiegare solo capitale; quindi per produrre 120 unità impiegherà L =0, K =40 sostenendo un costo complessivo T C = rk = 320 7

K Combinazione ottima 40 Isoquanto 120 Isocosto in corrispondenza della combinazione ottima 1/2 1/3 120 L (3) La funzione di produzione considerata si caratterizza per rendimenti marginali costanti per entrambi i fattori; quindi per raddoppiare la produzione è suffi ciente raddippiare l impiego di capitale. La combinazione ottima per produrre 240 unità è.l =0, K =80. Esercizio 2. L impresa Confit2011 produce marmellata di fragole utilizzando esclusivamente lavoro e capitale secondo la seguente funzione di produzione: Q(K,L) = min(l; 2K) dove Q indica la quantità prodotta mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale (unici input di produzione). 1. Discutete la relazione che lega i due input e rappresentate in un opportuno grafico gli isoquanti associati ai livelli di output Q 1 = 6 e Q 2 = 12. 2. I prezzi dei fattori sono w = 1 e r = 2. Supponendo che Confit2011 voglia produrre 12 unità di output, calcolate la combinazione ottima di fattori. 3. Supponete che il prezzo di entrambi i fattori raddoppi. Senza fare troppi calcoli discutete gli effetti di tale aumento sulla scelta ottima di Confit2011 ipotizzando che l impresa voglia continuare a produrre 12 unità di output. 8

Soluzioni. (1) Capitale e lavoro sono perfetti complementi. A seconda delle combinazioni dei due input il saggio marginale di sostituzione tecnica è infinito (tratto verticale dell isoquanto), nullo (tratto orizzontale dell isoquanto) o non definito (punto angoloso). Isoquanto 6 6=min(L; 2K) Isoquanto 12 12 =min(l; 2K) K Isoquanto 12 Isoquanto 6 Retta dei vertici 2K=L 6 3 6 12 L (2) La combinazione ottima di input stante l obiettivo di produzione è { { Isoquanto 12 12 = min(l, 2K) Retta dei vertici 2K = L { 12 = min(l, L) L = 12, K = 6 2K = L (3) Il cambiamento nei pezzi degli input non modifica la scelta ottima dell impresa ma aumenta i costi totali di produzione. Esercizio 3. Un impresa produce il suo output Q con la funzione di produzione Q(K,L)=K 1/3 L 1/3, dove K e L sono le quantità di capitale e lavoro utilizzate. Il costo unitario del lavoro è w = 5, e quello del capitale è r = 2. 1. Fornite le definizioni e le espressioni con i dati a disposizione, delle seguenti nozioni: isocosto (in corrispondenza di un generico costo totale, TC), e saggio marginale di sostituzione tecnica. 2. Supponete che l impresa operi nel breve periodo, con una dotazione di capitale pari a K 1 = 10. Qual è il minimo costo al quale l impresa può produrre la quantità Q 1 = 10? 3. Supponete che l impresa operi nel lungo periodo. Qual è il minimo costo al quale l impresa può produrre la quantità Q 1? Commentate la differenza rispetto al caso precedente. 9

Soluzioni. (1) L isoquanto Q 1 è l insieme di tutte le combinazioni di fattori produttivi che consentono all impresa di ottenere un volume di produzione pari a Q 1. Nel caso in esame abbimo che Isoquanto 10 10 = K 1/3 L 1/3 K = 10 3 /L Il generico isocosto TC è l insieme di tutte le combinazioni di fattori produttivi associate ad un costo totale TC. Isocosto TC T C = rk + wl K = T C/2 (5/2)L Il saggio marginale di sostituzione tecnica (MRTS), espresso in valore assoluto, è il saggio al quale il capitale (in ordinata) può essere sostituito al lavoro (in ascissa), lasciando invariato livello dell output. Geometricamente, è l inclinazione di un isoquanto in un dato punto. MRT S = K L = MP L MP K in quanto MP L = (1/3)K 1/3 L 2/3 e MP K = (1/3)K 2/3 L 1/3. (2) Se si vuole produrre un output pari a 10 usando un ammontare fisso di capitale ( K) pari a 10, data la funzione di produzione occorre che sia soddisfatta la condizione = K L 10 = K 1/3 L 1/3 10 = 10 1/3 L 1/3 L = 100 Dati i prezzi dei fattori, il costo totale da sostenere nel breve periodo sarà dunque r K + wl = 2 10 + 5 100 = 520 (3) Nel lungo periodo entrambi i fattori sono variabili e la combinazione ottima di input si ottiene risolvendo il sistema { { { Isoquanto 10 K = 10 Tangenza isocosto-isoquanto 3 /L K = 10 MRTS=w/r 3 /L K/L = 5/2 da cui si ottiene L = 20 e K = 50. Il costo totale in corrispondenza di tale situazine è rk + wl = 2 50 + 5 20 = 200 < 520 La possibilità di variare entrambi gli input consente all impresa una minimizzazione dei costi di produzione (non possibile nel breve periodo dove un input era fisso). Esercizio 4. Si consideri la seguente funzione di produzione Q(K,L)=K a L b, dove Q è l output, e L e K le quantità, rispettivamente, di lavoro e capitale impiegate. 1. Si definisca la nozione di prodotto (o rendimento) marginale di un generico fattore di produzione; per la funzione di produzione considerata, si fornisca l espressione dei prodotti marginali dei due fattori, e si dica se e quando essi sono crescenti, decrescenti, o costanti; si definisca il saggio marginale di sostituzione tecnica e se ne fornisca l espressione per la funzione di produzione considerata, spiegando a parole il significato di tale espressione. 2. Si definisca la nozione di rendimenti di scala per una generica funzione di produzione; per la funzione di produzione considerata, si indichi come vanno valutati i rendimenti di scala, e se e quando essi sono crescenti, decrescenti, o costanti. 10

3. Si consideri infine una funzione di produzione, del tutto diversa dalla precedente, che ha per argomento il solo fattore L. Le uniche informazioni che abbiamo sono che il prodotto medio ha intercetta nulla, è inizialmente crescente, e poi decrescente. Si tracci il grafico del prodotto medio e di quello marginale. Soluzioni. (1) Il prodotto (o rendimento) marginale di un fattore indica di quanto aumenta l output se la quantità di quel fattore aumenta di una unità mantenendo invariata la quantità dell altro fattore. Considerando la funzione di produzione Q(K,L)=K a L b abbiamo un prodotto marginale del fattore lavoro pari a MP L = Q(K,L) L ed un prodotto marginale del fattore capitale MP K = Q(K,L) K = bk a L b 1 = ak a 1 L b Questi prodotti marginali sono crescenti, decrescenti o costanti a seconda dell esponente del corrispondente fattore. MP L MP K crescente b-1>0 a-1>0 costante b-1=0 a-1=0 decrescente b-1<0 a-1<0 Il saggio marginale di sostituzione tecnica (MRTS), considerando il lavoro in ascissa, è il tasso a cui il capitale deve essere sostituito al lavoro per lasciare l output invariato, ovvero misura di quanto deve diminuire il capitale quando il lavoro aumenta di una unità e vogliamo rimanere sul medesimo isoquanto (è dunque l inclinazione dell isoquanto). Nel caso della funzione considerata abbiamo MRT S = K L = MP L MP K = b K a L (2) I rendimenti di scala indicano di quanto varia l output se le quantità di tutti i fattori aumentano nella medesima proporzione. In particolare, i rendimenti di scala di una funzione di produzione si dicono crescenti se l output aumenta in maniera più che proporzionale rispetto agli input; costanti se l output aumenta in maniera proporzionale agli input; decrescenti se l output aumenta in maniera meno che proporzionale rispetto agli input. Indichiamo con Q 0 il livello di output associato all impiego di un quantitativo L 0 di lavoro e K 0 di capitale Q 0 = (K 0 ) a (L 0 ) b moltiplicando entrambi gli input per lo stesso numero λ (questo significa farli aumentare nella stessa proporzione) otterremmo Q 1 = (λk 0 ) a (λl 0 ) b = λ a+b (K 0 ) a (L 0 ) b = λ a+b Q 0 Nel caso in esame λ a+b è l aumento di output conseguente ad un aumento di λ volte di entrambi i fattori produttivi. Ho rendimenti di scala crescenti se rendimenti di scala costanti se λ a+b > λ a + b > 1; λ a+b = λ a + b = 1; 11

rendimenti di scala decrescenti se λ a+b < λ a + b < 1. (3) Il prodotto marginale (MP) è uguale al prodotto medio (AP) in corrispondenza della "primissima" unità prodotta; inoltre AP è crescente quando MP>AP, costante quando MP=AP, decrescente quando MP<AP. Graficamente AP MP MP AP L Esercizio 5. La tecnologia dell impresa Alfa è rappresentata dalla seguente funzione di produzione: Q(K, L) = L + 4K, dove Q indica la quantità prodotta mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale (unici input di produzione). 1. Dite di che tipo di tecnologia si tratta, calcolate il saggio marginale di sostituzione tecnica e rappresentate in un opportuno grafico gli isoquanti associati ai livelli di output Q 1 = 40 e Q 2 = 80. 2. Sapendo che i prezzi dei fattori sono w=2 e r=6, scrivete l espressione analitica del generico isocosto e trovate (indicandola nel grafico) la combinazione dei fattori necessaria per produrre Q 2 = 80 unità di output. 3. Il governo locale decide di agevolare l impiego di lavoro ed introduce una tassa di ammontare t (t > 0) per ogni unità di fattore capitale impiegato. Indicate l effetto della manovra sul prezzo del capitale. Qual è il valore minimo della tassa per cui il lavoro è preferito al capitale? Discutete il risultato ottenuto. Soluzioni. (1) Capitale e lavoro sono perfetti sostituti; il saggio marginale di sostituzione tecnica è costante e pari ad 1/4 (MP L = 1, MP K = 4). Isoquanto 40 Isoquanto 80 40 = L + 4K 80 = L + 4K K = 10 (1/4)L K = 20 (1/4)L 12

da cui K 20 Isoquanto 80 10 Isoquanto 40 1/4 1/4 40 80 L (2) L espressione analitica del generico isocosto TC è Isocosto TC T C = rk + wl K = T C/6 (1/3)L Dal momento che i fattori sono perfetti sostituti e che il valore assoluto della pendenza dell isocosto (w/r=1/3) è maggiore del valore assoluto della pendenza di un isoquanto (MRTS=1/4), l impresa deciderà di impiegare esclusivamente capitale; dunque per produrre 80 unità impiegherà L = 0, K = 20 sostenendo un costo complessivo pari a wl + rk = 2 0 + 6 20 = 120 K Combinazione ottima 20 Isoquanto 80 10 Isoquanto 40 1/4 1/4 40 80 L (3) In seguito all introduzione della tassa il prezzo del capitale diventa r+t>r. La manovra incentiva l impiego di lavoro se la tassa è tale da far sì che MRT S w r+t 1 4 2 6+t t 2 Per valori della tassa inferiori a 2 la manovra non ha effetto, per valori superiori induce le imprese ad impiegare solo lavoro, quando t=2 qualunque combinazione di input appartenente all isoquanto rappresenta una possibile combinazione ottima. 13

Esercizio 6. Si consideri la seguente funzione di produzione Q(K, L) = min(ak, bl), dove Q è l output, e L e K le quantità, rispettivamente, di lavoro e capitale impiegate. 1. Fornite l espressione dei prodotti marginali dei due fattori e dite se (e quando) essi sono crescenti, decrescenti, o costanti. 2. Sapendo che i prezzi dei fattori sono w ed r, individuate sulla base delle informazioni a disposizione, la combinazione di fattori impiegata dall impresa per produrre una unità di output. 3. Supponete che il costo del capitale si riduca (r <r). Discutete l effetto di tale contrazione sulla combinazione ottima di fattori e sul costo torale di produzione ipotizzando di voler produrre sempre una sola unità di output. Soluzioni. (1) Il prodotto (o rendimento) marginale di un fattore indica di quanto aumenta l output se la quantità di quel fattore aumenta di una unità mantenendo invariata la quantità dell altro fattore. In generale, si tratta della derivata parziale della funzione di produzione rispetto a quel fattore. Nel caso della funzione considerata, la funzione Lentief", ovvero con fattori perfetti complementi, occorre però stare attenti. Il prodotto marginale del fattore lavoro è MP L = b se bl < ak 0 se bl ak infatti quando bl ak per aumentare l output è necessario un aumento del fattore capitale; similmente il prodotto marginale del capitale è a se bl > ak MP K = 0 se bl ak (2) La combinazione ottima di input per produrre un unità di output si ottiene risolvendo il sistema { { Isoquanto 1 1 = min(ak, bl) Retta dei vertici ak = bl da cui L = 1/b e K = 1/a con un costo complessivo di produzione wl + rk = w b + r a (3) La contrazione nel costo del capitale non modifica la scelta ottima dell impresa che resta L = 1/b e K = 1/a; modifica però il costo totale di produzione che si riduce (a parità di output prodotto). Esercizio 7. L impresa A è caratterizzata dalla seguente funzione di produzione: Q(K, L) = 4L + 3K, dove Q è l output, mentre L e K sono gli input. I prezzi degli input sono rispettivamente w = 2 e r = 6. 1. Rappresentate in un opportuno grafico la mappa di isoquanti (almeno 3 curve) e calcolate il saggio marginale di sostituzione tecnica tra capitale e lavoro. 2. Supponete che l impresa voglia produrre 24 unità di output (Q* = 24). Trovate la combinazione ottima di fattori produttivi necessaria a produrre tale quantità e calcolate il costo sostenuto dall impresa. Rappresentate la combinazione ottima di fattori nel grafico al punto precedente. 14

3. Ipotizzate ora che il salario raddoppi (w =4). Qual è l effetto di questo aumento nel costo del lavoro sulla combinazione ottima di input e sul costo totale di produzione? Supponete che l impresa continui a voler produrre 24 unità di output. Soluzioni. (1) Tecnologia con fattori perfetti sostituti. MRTS=4/3. (2) Dal momento che MRTS>P L /P K, l impresa usa solo fattore lavoro per produrre l output desiderato; quindi vaolendo produrre 24 unità di output e dato che K*=0, sostituendo nella funzione di produzione si ottiene L*=24/4=6. Il costo totale sostenuto dall impresa è TC(24)=wL*+rK*=12. (3) L impresa continuerà ad utilizzare solo lavoro per produrre l output, poichè MRTS è ancora maggiore di P L /P K. Non ci sarà impatto sulla combinazione ottima di input utilizzata (che sarà quindi ancora L*=6 e K*=0), ma il costo totale di produzione saràsuperiore al precedente: TC (24)=w L*+rK*=24. Esercizio 8. Si consideri un impresa che produce utilizzando due soli fattori di produzione. La funzione di produzione è Q(K,L)= KL, dove Q indica il livello di output mentre K e L indicano, rispettivamente, capitale e lavoro. Il salario è w = 2 mentre il costo del capitale è r = 3. 1. Stante la forma della funzione di produzione, cosa si può dire sui rendimenti marginali (di ciascun fattore) e sui rendimenti di scala di quest impresa? 2. Si supponga che nel breve periodo il capitale sia fisso al livello K = 1. Si ricavi la funzione di costo totale e il costo marginale di breve periodo. Quante unità di lavoro sono necessarie all impresa per produrre 6 unità di output? Che costi deve sostenere l impresa? 3. Supponete ora che l impresa operi nel lungo periodo e che quindi entrambi i fattori siano variabili. Calcolate la combinazione di input che minimizza la spesa necessaria a produrre 6 unità di output. I costi sostenuti dall impresa nel lungo periodo sono superiori o inferiori a quelli di breve periodo? 15

Soluzioni. (1) I rendimenti marginali di entrambi i fattori sono costanti ed i rendimenti di scala della funzione di produzione sono crescenti; infatti raddoppiando l impiego di entrambi gli input l output quadruplica ossia aumenta in maniera più che proporzionale. (2) L isocosto di breve periodo è TC=wL+rK = 2L + 3; inoltre dalla funzione di produzione nel breve periodo otteniamo che Q(1,L)=L ovvero la produzione di una unità di output richiede l impiego di un lavoratore (L=Q) quindi la funzione di costo di breve periodo dell impresa è TC(Q)=2Q+3 da cui si ottiene il seguente costo marginale: MC=2. Se l impresa vuole produrre 6 unità di output dovrà impiegare 6 lavoratori e sostenere dei costi complessivi pari a 15. (3) Nel lungo periodo l impresa puù far variare entrambi gli input e scegliere la combinzione che le consente di minimizzare i costi stante il suo obiettivo di produzione. Per individuare la cominazione ottima di input dobbiamo risolvere un sistema tra l isoquanto che ci interessa (ovvero l isoquanto con Q=6) e la condizione di tangenza tra isoquanto ed isocosto (MRTS=w/r). Formalmente { { 6 = KL L = 6/K K/L = 2/3 K 2 = 4 K = 2 e L = 3 ne consegue un costo di lungo periodo pari a 12 (inferiore a quello sostenuto dall impresa nel breve periodo quando il capitale era fisso). NB. Dal momeno che nel lungo periodo l impresa può modificare la quantità impiegata di entrambi gli input, il suo costo di lungo periodo sarà non superiore a quello di breve periodo. Esercizio 9. L impresa Alfa produce dolci (Q) utilizzando due fattori produttivi: lavoro (L) e farina (K). La funzione di produzione dell impresa è la seguente: Q(K,L)=L 0.5 K 0.5. 1. Stante la forma della funzione di produzione, cosa si può dire sui rendimenti marginali (di ciascun fattore) e sui rendimenti di scala di quest impresa? Motivate la risposta. 2. Supponendo che il salario sia pari a 12 e il costo della farina sia pari a 3, scrivete l equazione del generico isocosto, e rappresentatelo graficamente, indicando le intercette e la pendenza. 3. Individuate la combinazione ottima di input supponendo che l impresa desideri produrre 60 dolci. Fornite una rappresentazione grafica di tale scelta ottima. 4. Se l impresa volesse raddoppiare la sua produzione, quale sarebbe la sua nuova combinazione ottima di input? Motivate la risposta. [N.B. Non sono necessari calcoli]. Soluzioni. (1) Si tratta di una funzione di produzione di tipo Cobb-Douglas con esponenti per ciascun input pari a 0.5 e somma degli esponenti pari ad 1; quindi i rendimenti di scala sono costanti (0.5+0.5=1) mentre i rendimenti marginali di ambedue i fattori sono decrescenti (0.5<1). (2) Il generico isocosto è TC=wL+rK ovvero, sostituendo i dati forniti dall esercizio, TC=12L+3K e si caratterizza per un intercetta verticale (0; TC/3), per un intercetta 16

orizzontale (TC/12; 0) e per una pndenza, in valore assoluto, pari a 4. (3) Stante il tipo di tecnologia impiegata per individuare la combinazione ottima di input nell ipotesi di volet produrre 60 unità di output dobbiamo risolvere un sistema con isoquanto 60 e condizione di tangenza tra isoquanto ed isocosto; quindi { 60 = K 0.5 L 0.5 K/L = 4 { K = 4L 60 = 2L K = 120 e L = 30 La rappresentazione grafica della combinazione ottima di input è riportata nel grafico al punto (1). (4) Dal momento che i rendimenti di scala sono costanti l impresa per raddoppiare il volume di output dovrà impiegare una quantità doppia di ambedue gli input. Esercizio 10. L impresa Beta fronteggia la seguente funzione di produzione: Q = min (L, K), dove Q indica la quantità prodotta, mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale, gli unici fattori impiegati nel processo produttivo. 1. Stante la forma della funzione di produzione discutete della relazione tra i due fattori produttivi. Fornite una rappresentazione grafica di 3 isoqanti di produzione. 2. Sapendo che w=3, r=4 e che l impresa vuole produrre 60 unità di output, individuate la combinazione ottima di input e rappresentatela nel grafico al punto (1). 3. Supponete ora che il salario aumenti, w =7. supponendo che r=3 e che l impresa desideri ancora produrre 60 unità di output, che effetto avrà tale aumento sulla combinazione ottima di input? E sui costi di produzione dell impresa? Rispondete sia analiticamente che graficamente. Soluzioni. (1) Capitale e lavoro sono perfetti complementi; l impresa necessita di entrambi per la produzione dell output; in particolare necessita di 1 unità di K e di 1 unità di lavoro per ogni unità di output che desidera produrre. 17

(2) Se l impresa vuole produrre 60 unità di output avrà bisogno di 60 unità di lavoro e di 60 unità di capitale. La scelta ottima è rappresentata nel grafico al punto precedente. (3) Se l impresa vuole continuare a produrre 60 unità di output dovrà necessariamente cotinuare ad impiegare 60 unità di lavoro e 60 unità di capitale; dunque la combinazione ottima di input sarà la stessa del punto (2). Ma visto che il costo del lavoro è aumentato ora l impresa dovrà sopportare dei costi più elevati; infatti il costo totale di produrre 60 unità di output in corrispondenza dei prezzi iniziali degli input era TC(60)=420 mentre il costo di produrre 60 unità di output in corrispondenz dei nuovi prezzi degli input è TC (60)=600>TC(60)=420. Nel grafico al punto (1) riportiamo l isocosto TC(60)=420, l isocosto equivalente con i nuovi prezzi (quello tratteggiato più vicino all origine con la stessa intercetta verticale dell isocosto TC(60)=420 ) e l isocosto TC (60)=600 che ha la stessa pendenza dell isocosto tratteggiato ma è più lontano dall origine e consente all impresa di produrre 60 unità di output a minimo costo. 18