Argomenti di questa lezione (esercitazione)

Lezione mecc n.19 pag 1 Argomenti di questa lezione (esercitazione) Moti kepleriani (leggi di conservazione sotto l effetto di una sola forza centrale, e relative conseguenze) Esercizi vari (tratti da prove d esame) su: leggi di conservazione moti armonici moti di caduta libera carrucole pesanti (macchina di Atwood) pendoli fisici moti di puro rotolamento

Lezione mecc n.19 pag 2 Forze centrali e moti sotto forze centrali. Esempi: forza elastica forza Coulombiana fra cariche puntiformi (o distribuzioni a simm. sferica) Forza gravitazionale fra oggetti puntiformi (o sferici) Abbiamo dimostrato che le forze centrali sono conservative. Per la forza gravitazionale abbiamo ricavato l espressione dell energia potenziale U(r)= GMm/r U(r) r

Lezione mecc n.19 pag 3 Se si sceglie come polo il centro di attrazione, la forza centrale ha sempre braccio nullo, per cui L resta costante Come prima conseguenza, se ne deduce che la traiettoria giace su un piano. Moti Kepleriani. Pensiamo al moto di pianeti intorno al Sole. Prima legge: le traiettorie hanno la forma di coniche. Seconda legge: la velocità areolare è costante, ovvero il raggio vettore (congiungente fra pianeta e sole) copre aree uguali in tempi uguali. L=rΛp= costante L=r p sinθ=r m v sinθ Terza legge: per tutti i pianeti, ha un valore fissato il rapporto fra il quadrato del periodo e il cubo della misura del semiasse maggiore dell orbita. Dimostrazione limitata al caso di orbite circolari:

Lezione mecc n.19 pag 4 17 gennaio 2007 Esercizio 1 Un corpo di massa M, inizialmente fermo, dall istante t=0 cade per un tratto h sotto la sola azione della forza peso, fino ad urtare in maniera perfettamente anelastica un secondo corpo di massa 2M che fino al momento dell urto sta fermo, su una molla di costante elastica k alla quale è agganciato. a) chiarire quali quantità (fra quelle utili per rispondere ai quesiti seguenti) si conservano prima, durante e dopo l urto. b) calcolare a quale istante avviene l urto e la velocità dei due corpi subito prima e subito dopo l urto c) calcolare l ammontare dell energia dissipata nell urto d) calcolare la massima compressione della molla e l ampiezza delle oscillazioni che si hanno dopo l urto. e) scrivere e risolvere l equazione di moto dei due corpi dopo l urto

Lezione mecc n.19 pag 5 17 gennaio 2007 Esercizio 2 Da una lamiera omogenea avente una densità superficiale di massa pari a σ, si taglia una bandierina a forma di triangolo rettangolo di cateti a e b, la quale poi viene sospesa in modo che possa ruotare intorno al cateto lungo a, che è disposto orizzontalmente. a) Si calcoli massa e momento d inerzia della bandierina. b) Si calcoli la pulsazione di piccole oscillazioni della bandierina intorno alla sua posizione d equilibrio. c) Si determini l intensità e la direzione della reazione vincolare quando la bandierina transita su un piano orizzontale avendo un energia meccanica totale appena sufficiente a compiere rotazioni complete.

Lezione mecc n.19 pag 6 16 aprile 2004 Esercizio 1 Un disco omogeneo di massa M e raggio r è vincolato a ruotare intorno ad un punto P che dista r/2 O dal suo centro. Esso viene tenuto fermo come in P figura (con il centro alla r, M stessa altezza del fulcro) mediante una corda bloccata al suolo, disposta verticalmente. Ad un certo istante la corda si rompe, così che il disco inizia a ruotare. Calcolare a) la reazione vincolare e la tensione della corda prima della rottura della corda stessa; b) l accelerazione angolare iniziale del disco; c) la velocità angolare massima assunta dal disco; d) la reazione vincolare all istante in cui il disco transita dalla posizione di equilibrio. g

Lezione mecc n.19 pag 7 4 luglio 2003 Esercizio 1 Una cornice quadrata avente per lati quattro M sbarrette omogenee identiche di lunghezza L e g L massa M, è sospesa ad un punto situato sul centro di un suo lato. Una particella di massa M (uguale a quella di ogni lato) cade da un altezza L e urta elasticamente, da sopra, un angolo della L, M cornice (vedi figura). a) Stabilire quali grandezze meccaniche del sistema (fra quelle utili a studiare il problema) si conservano prima, durante e dopo l urto. b) Calcolare il momento d inerzia I della cornice rispetto al punto di sospensione. Assumendo noto il momento d inerzia I di cui si è calcolata l espressione al punto precedente, c) impostare le equazioni necessarie a calcolare la velocità angolare della cornice dopo l urto; d) calcolare la velocità angolare della cornice dopo l urto; e) calcolare l impulso ricevuto dalla particella nell urto; f) calcolare la frequenza di piccole oscillazioni della cornice. Esercizio 1 del 4 luglio 2003 Conservazioni: Energia: Prima dell urto agisce solo il peso sulla particella e peso e la reazione vincolare sulla cornice. Solo il peso della particella lavora. Il peso è una forza conservativa, perciò

Lezione mecc n.19 pag 8 possiamo affermare che l energia meccanica totale si conserva. L energia si conserva anche nell urto (il testo dice che è elastico), e dopo l urto (a lavorare sono nuovamente solo forze peso). Quantità di moto: Le forze peso e la reazione vincolare sono forze esterne, non ci sono motivi per ritenere che sommino a zero, per cui la quantità di moto non si conserva (né prima, né durante, né dopo l urto). Momento angolare L urto è istantaneo, e quindi è lecito limitarsi a computare le forze esterne impulsive, e fra queste, c è solo la reazione vincolare. Essa ha braccio nullo rispetto al punto di sospensione, pertanto nell urto si conserva il momento angolare rispetto a tale punto. Inoltre Si può osservare che, considerando la sola particella, si ha che nell urto su essa agisce una sola forza esterna impulsiva (esercitata dal lato superiore della cornice) che è diretta verticalmente, pertanto si conserva (resta nulla) la componente orizzontale della quantità di moto della particella. Calcolo del momento d inerzia Si può procedere in vari modi. Uno modo è moltiplicare per 4 il momento d inerzia di ogni lato calcolato (con Steiner) rispetto al centro della cornice, e poi usare ancore il teorema di Steiner per calcolare il momento d inerzia rispetto al punto di sospensione: I=4 [(ML 2 /12)+M(L/2) 2 ]+4M(L/2) 2 =7ML 2 /3. In alternativa, applicare direttamente il teorema di steiner per il quattro lati: uno ruota intorno al suo baricentro

Lezione mecc n.19 pag 9 due hanno il baricentro a distanza L/ 2 dall asse uno ha il baricentro a distanza L dall asse Calcolo di ω dopo l urto In base alle leggi di conservazione discusse prima, possiamo innanzitutto calcolare la velocità della particella un istante prima dell urto. Per la conservazione dell energia meccanica totale si ha mgl=mv 2 /2 e quindi v= (2gL). La conservazione dell energia nell urto, indicando con w la velocità della particella dopo l urto, permette di asserire che (1/2)Mv 2 =MgL=(1/2)Iω 2 +(1/2)Mw 2. Abbiamo detto che nell urto la particella subisce un impulso diretto verticalmente: oltre a v anche w è diretta verticalmente, e così la conservazione del momento angolare nell urto dà che Mv(R/2)=Mw(R/2)+Iω. Calcoli Risolvendo rispetto a w ed ω il sistema delle due equazioni impostate al punto c) per la descrizione dell urto si ottiene ω=(12/31)v/r=(12/31) (2g/L)

Lezione mecc n.19 pag 10 Contemporaneamente a ω si trova w=ωl/2-v= Dalla definizione di impulso si ricava che p=m(w-v). Come si è detto la direzione di p è quella verticale. Pulsazione di piccole oscillazioni La seconda equazione cardinale per la cornice, indicando con θ l angolo fra la verticale e la congiungente fra centro di massa e punto di sospensione, è Mg(L/2)sinθ=-Id 2 θ/dt 2. Approssimata per piccoli angoli (sinθ θ) questa diviene l equazione di un moto armonico di pulsazione Ω= [Mg(L/2)/I]= (3g/14L).

Lezione mecc n.19 pag 11 4 luglio 2003 Esercizio 2 Un cilindro di massa M, raggio R e momento d inerzia I rispetto all asse di simmetria, poggia su un binario orizzontale su cui rotola senza strisciare. Sul cilindro è avvolto del filo inestensibile di massa trascurabile che, tramite una carrucola (costituita da un cilindro identico al primo) sostiene un terzo cilindro identico ai primi due. Calcolare: a) le tensioni dei due tratti di filo liberi b) l accelerazione angolare della carrucola e del cilindro appoggiato c) la velocità del cilindro sospeso se il sistema è lasciato libero (da fermo) per il tempo t necessario a far compiere una rotazione completa alla carrucola d) la durata dell intervallo di tempo t.

Lezione mecc n.19 pag 12 Calcolo di T 1 e T 2 Si devono scrivere separatamente le equazioni della dinamica per i tre corpi. Indichiamo con ω 1 (α 1 ) la velocità (accelerazione) angolare del cilindro appoggiato, con ω 2 (α 2 ) quella della carrucola, e con a l accelerazione del corpo appeso, con T 1 e T 2 le tensioni del tratto di corda orizzontale e di quello verticale. Le equazioni della dinamica e le condizioni di inestensiblità della corda e di rotolamento puro permettono di asserire che I pc α 1 =T 1 2R, 2a cardinale cilindro appoggiato, con I pc =I CM +MR 2 =3MR 2 /2, per il teorema di Steiner I CM α 2 =(T 2 -T 1 )R, 2a cardinale carrucola, con I CM =MR 2 /2 Ma=Mg-T 2, 1a cardinale per il corpo appeso a=α 2 R, non strisciamento del filo sulla carrucola a=α 1 2R, rotolamento puro del cilindro appoggiato. Sono 5 equazioni nelle 5 incognite a, α 1, α 2, T 1, T 2. E un sistema lineare determinato, risolvendo il quale si ottiene, fra l altro, il valore di T 1 e T 2.

Lezione mecc n.19 pag 13 Velocità dopo un giro della carrucola Quando la carrucola compie un giro il corpo sospeso scende di 2πR, per cui la sua energia potenziale diminuisce di Mg2πR. Essendo il sistema conservativo (a lavorare c è solo il peso), questa energia deve essersi trasformata in energia cinetica. Tenendo conto del fatto che la velocità del corpo sospeso deve eguagliare ω 2 R, possiamo scrivere che Mg2πR=E k-cil-app +E k-carr +E k-cil-sosp = (1/2)I pc ω 1 2 +(1/2)I CM ω 2 2 +(1/2)M(Rω 2 ) 2 da qui si ricava ω 2 e quindi v, con la sola considerazione aggiuntiva che deve essere ω 2 =2ω 1 (per l inestensibilità del tratto di corda orizzontale). Durata del tempo t I coefficienti del sistema considerato sono costanti, perciò sono costanti anche le soluzioni, e in particolare l accelerazione. Quindi si ha a che fare con un moto uniformemente accelerato [che avviene con l accelerazione a determinata risolvendo il sistema del punto b)] e ci si chiede in quanto tempo viene percorso un tratto 2πR, ovvero per quale t si ha che 2πR=(1/2)a t 2 : deve essere t= (4πR/a).

Lezione mecc n.19 pag 14 7 ottobre 2003 Esercizio 1 Un oggetto cilindrico ha massa M, raggio R e F α g momento d inerzia I, rispetto all asse di simmetria (M, R ed I sono noti); esso poggia su un piano che è inclinato di un angolo α rispetto all orizzontale. Una forza F diretta orizzontalmente è applicata sul punto più alto del cilindro, così che esso resta fermo. Il sistema è soggetto alla gravità (accelerazione di gravità g). a) Quanto vale il modulo della forza F? b) Quanto vale (in modulo) la reazione normale N del piano sul cilindro? c) Quanto vale (in modulo) la reazione d attrito A del piano sul cilindro? Si tratta di attrito statico o dinamico? E cosa si può affermare riguardo al valore del coefficiente d attrito? d) Se ad un certo istante viene tolta la forza F, così che il cilindro inizia a scendere con un moto di puro rotolamento, qual è l accelerazione angolare del cilindro? Quanto vale la risultante delle forze applicate al cilindro? 7 ottobre 2003 Esercizio 2 Un blocco di massa M è agganciato ad una molla di costante elastica k e poggia su un piano orizzontale scabro. All inizio la molla è compressa di un tratto x ed il sistema è tenuto bloccato. Quando il blocco viene liberato esso inizia a spostarsi, poi quando la molla è allungata di un tratto x = x/2, il blocco si ferma e non si muove più. a) Calcolare quanta energia viene dissipata nel moto e calcolare il coefficiente d attrito dinamico µ D. b) Stabilire il valore minimo che deve avere il coefficiente d attrito statico. c) Scrivere l equazione del moto del sistema, valida nell intervallo di tempo in cui il blocco si muove. d) Identificare la posizione occupata dal blocco nell istante in cui esso ha accelerazione nulla e determinare l istante al quale ciò si verifica.

Lezione mecc n.19 pag 15 Soluzioni scritte da un anonimo frequentatore del forum, che ringraziamo) 7 ottobre 2003 Es.1 a,b,c)siccome il sistema è in equilibrio si impongono le condizioni della statica ΣF x =0 Mgsenθ-Fcosθ-A=0 somma delle forze lungo x ΣF y =0 N-Fsenθ-Mgcosθ=0 somma delle forze lungo y Στ z =0 MgRsenθ-2Rfcosθ=0 somma dei momenti di forza esterni=0 (i momenti sono calcolati scegliendo come asse quello passante per il punto di contatto del cilindro con il piano) Questo è un sistema di 3 equazioni in 3 incognite (A,F,N) Si tratta di attrito statico, infatti il cilindro rotola senza strisciare, quindi il valore del coefficiente di attrito statico non ha un valore determinato però si sa con certezza che deve essere µ>=a/n d) Quando la forza viene rimossa il cilindro inizia a muoversi, per calcolare la sua accelerazione angolare basta scrivere la 2a equazione cardinale MgRsenθ=Iα da cui α=(mgrsenθ)/i Dove I è il momento di inerzia calcolato rispetto ad un asse passante per il punto di contatto I=3/2MR 2 (dal teorema degli assi paralleli) Siccome il cilindro accelera, ci deve essere una forza che agisce su di esso F risult =Ma centro di massa (1a legge di Newton) a centro di massa =αr F risult =(M 2 gr 2 senθ)/i 7 ottobre 2003 Es.2 a) Il moto della massa avviene in presenza di forze non conservative (l attrito) quindi l energia meccanica totale non si conserva E=1/2k x 2 La variazione di energia meccanica totale è data dal lavoro fatto dalle forze non

Lezione mecc n.19 pag 16 conservative L noncons = E 1/4 xquadro=-mgµ S dove S e lo spazio percorso dalla molla cioè 3/2 x da qui si ricava il valore del coeficiente di attrito dinamico µ=-(k x)/3mg b)(k x)/(2mg)<=µ<=(k x)/(mg) c)ma=-k x-µmg quando il blocco è in movimento, su di lui agiscono 2 forze: quella di richiamo della molla e quella di attrito dinamico che dà lo smorzamento dell oscillazione d) per trovare la posizione del blocco quando ha accelerazione nulla basta porre =0 l accelerazione nell equazione del moto e si trova x=(µmg)/k che è la posizione di equilibrio L istante in cui ciò si verifica corrisponde a 1/4 del periodo di oscillazione T=π/(2ω) dove ω e la pulsazione cioè (k/m).

Lezione mecc n.19 pag 17 16 luglio 2013 Esercizio 2 La figura mostra un piano orizzontale su cui poggia un corpo di massa 3M. Tale corpo viene tirato da un filo ideale (inestensibile e massa trascurabile) che, tramite una carrucola di raggio R e di massa trascurabile, sostiene un identica carrucola a cui sono appesi, sempre con filo ideale, due altri corpi, rispettivamente di massa M e 2M. Sapendo che il corpo di massa 3M resta fermo, e che il tratto di corda che lo tira forma un angolo θ con l orizzontale, determinare il minimo valore possibile del coefficiente d attrito statico fra quel corpo e il piano. (Opzionale per il N.O.) Determinare inoltre il tempo necessario alla carrucola per fare un giro completo partendo da ferma. 3M θ 2M M

Lezione mecc n.19 pag 18 10 luglio 2012 Esercizio 2 Un cilindro omogeneo di massa M e raggio R ruota strisciando su due pareti oblique, perpendicolari fra loro ed orientate a 45 rispetto all orizzontale, come mostrato in figura. Pareti e cilindro interagiscono con una forza d attrito radente descritta dal coefficiente µ D. Si chiede di determinare a) l accelerazione angolare del cilindro e b) l intensità e direzione della forza totale scambiata fra cilindro e parete di destra (nel punto 1). [Si indichino con N 1, N 2 ed A 1, A 2 le reazioni normali e d attrito nei punti 1 e 2] R, M 2 ω 1 g