ESERCITAZIONE N. 1 (23 MARZO 2005) Verifica idraulica di un canale chiuso a sezione circolare e di un canale aperto a sezione composta PROBLEMA 1 Una portata Q di 1260 m 3 /h scorre in un canale circolare realizzato in calcestruzzo avente diametro D pari a 800 mm e pendenza costante pari allo 0,1%. Verificare che, per la portata assegnata, il canale sia stato dimensionato correttamente (calcolare il franco di sicurezza e la velocità, supposto il moto uniforme) Si richiede di eseguire le verifica idraulica con le diverse modalità di calcolo disponibili: formula di Marchi; formula di Gauckler-Strickler (scala di deflusso tradizionale, scala di deflusso specifica, scala di deflusso normalizzata). SOLUZIONE Si adopera la formula di Chezy, specializzata al moto uniforme: Q = A χ Ri (1a) Q portata χ coefficiente di conduttanza A area bagnata R raggio idraulico i pendenza o, adimensionalizzando il coefficiente di conduttanza χ: Q = A C gri (1b) C indice di conduttanza 1) Formula di Marchi Per la determinazione dell indice C si applica la formula di Marchi: ν ε C = 5,75log + 3 / 2 4ϕR gi 13,3ϕ R con ν viscosità cinematica ϕ coefficiente di forma ε scabrezza di Marchi (2) Al variare dell altezza h 0, scelta arbitrariamente, e calcolato il corrispondente grado di riempimento h 0 /r con r raggio del canale, si ricavano (vedi Tabella 12.2 di Sistemi di Fognatura Manuale di Progettazione) i valori delle seguenti grandezze adimensionali: A/r 2, da cui l'area bagnata A R/r, da cui il raggio idraulico R 1
Quindi, applicando la formula di Marchi, si calcola il valore dell'indice di conduttanza C che sostituito nella formula di Chezy fornisce la portata Q. I risultati dei calcoli sopra descritti sono riportati in Tabella 1, avendo assunto ε = 3 mm, ν = 10-6 m 2 /s, ϕ = 1. Tabella 1. A/r 2 ho [m] (da Manuale) A [m 2 ] R/r (da Manuale) R [m] i C da (2) Q [m 3 /s] da (1b) 0 - - - - - - 0 0 V[m/s] 0,02 0,021 0,00336 0,033 0,0132 0,001 9,929793 0,000379 0,112938 0,04 0,059 0,00944 0,065 0,026 0,001 11,68716 0,001761 0,186556 0,06 0,107 0,01712 0,097 0,0388 0,001 12,71643 0,004245 0,247967 0,08 0,164 0,02624 0,127 0,0508 0,001 13,40635 0,007849 0,299127 0,1 0,227 0,03632 0,157 0,0628 0,001 13,94782 0,012567 0,346018 0,12 0,296 0,04736 0,186 0,0744 0,001 14,37979 0,018389 0,388286 0,16 0,447 0,07152 0,241 0,0964 0,001 15,03868 0,033059 0,462233 0,2 0,614 0,09824 0,293 0,1172 0,001 15,53467 0,051721 0,526476 0,24 0,793 0,12688 0,342 0,1368 0,001 15,92673 0,07399 0,583153 0,28 0,98 0,1568 0,387 0,1548 0,001 16,23982 0,09918 0,632528 0,32 1,174 0,18784 0,429 0,1716 0,001 16,50058 0,127104 0,676661 0,36 1,371 0,21936 0,466 0,1864 0,001 16,70983 0,156663 0,714181 0,4 1,571 0,25136 0,5 0,2 0,001 16,88788 0,187931 0,747658 0,44 1,771 0,28336 0,53 0,212 0,001 17,03514 0,220021 0,776473 0,48 1,968 0,31488 0,555 0,222 0,001 17,15159 0,251906 0,800007 0,52 2,162 0,34592 0,576 0,2304 0,001 17,2454 0,283467 0,819459 0,56 2,349 0,37584 0,593 0,2372 0,001 17,31885 0,313829 0,835006 0,6 2,527 0,40432 0,603 0,2412 0,001 17,36108 0,341274 0,84407 0,64 2,694 0,43104 0,608 0,2432 0,001 17,38193 0,365772 0,84858 0,68 2,846 0,45536 0,607 0,2428 0,001 17,37778 0,385999 0,847679 0,7 2,915 0,4664 0,603 0,2412 0,001 17,36108 0,393674 0,84407 0,72 2,978 0,47648 0,596 0,2384 0,001 17,3316 0,399162 0,837731 0,74 3,035 0,4856 0,587 0,2348 0,001 17,29317 0,402824 0,829539 0,76 3,083 0,49328 0,573 0,2292 0,001 17,23221 0,402861 0,816698 0,78 3,121 0,49936 0,553 0,2212 0,001 17,14247 0,398559 0,79814 0,8 3,142 0,50272 0,5 0,2 0,001 16,88788 0,375863 0,747658 Calcolato un numero sufficiente di punti aventi coordinate (Q, h 0 ), si costruiscono graficamente le scale di deflusso (Figg. 1 e 2), da cui si ricavano il valore dell altezza di moto uniforme h 0 corrispondente alla portata Q assegnata dal problema e la velocità V. (Con ε = 3 mm, per Q = 1260 m 3 /h: h 0 = 0,62 m, V = 0,85 m/s. Il franco suggerito per sezioni circolari (= 0,2D = 0,16 m) è soddisfatto e la velocità rientra nel range di valori accettabili) 2) Formula di Gauckler-Strickler Per la determinazione del coefficiente χ si applica la formula empirica di Gauckler-Strickler: 2
1/ 6 χ = k s R (3) con k s coefficiente di scabrezza di Gauckler-Strickler (tabellato in funzione del materiale) quindi, per sostituzione nella legge di Chezy: 2 / 3 1/ 2 Q = k s A R i (4) Scala di deflusso tradizionale: Al variare dell altezza h 0, scelta arbitrariamente, e calcolato il corrispondente grado di riempimento h 0 /r con r raggio del canale, si ricavano (vedi Tabella 12.2 di Sistemi di Fognatura Manuale di Progettazione) i valori delle seguenti grandezze adimensionali: A/r 2, da cui l'area bagnata A R/r, da cui il raggio idraulico R Quindi, applicando la formula (4), una volta scelto il valore del coefficiente di scabrezza k s, si ricava la portata Q. I risultati dei calcoli sopra descritti sono riportati in Tabella 2, avendo assunto k s = 70 m 1/3 /s. Tabella 2. A/r 2 ho (da Manuale) A [m 2 ] R/r (da Manuale) R [m] i k s Q [m 3 /s] da (4) 0 0 0 V[m/s] 0,02 0,021 0,00336 0,033 0,0132 0,001 70 0,000415 0,123637 0,04 0,059 0,00944 0,065 0,026 0,001 70 0,001834 0,194274 0,06 0,107 0,01712 0,097 0,0388 0,001 70 0,004343 0,253699 0,08 0,164 0,02624 0,127 0,0508 0,001 70 0,007967 0,303627 0,1 0,227 0,03632 0,157 0,0628 0,001 70 0,012702 0,349734 0,12 0,296 0,04736 0,186 0,0744 0,001 70 0,018545 0,391574 0,16 0,447 0,07152 0,241 0,0964 0,001 70 0,033285 0,465389 0,2 0,614 0,09824 0,293 0,1172 0,001 70 0,05208 0,530131 0,24 0,793 0,12688 0,342 0,1368 0,001 70 0,074567 0,5877 0,28 0,98 0,1568 0,387 0,1548 0,001 70 0,100067 0,638183 0,32 1,174 0,18784 0,429 0,1716 0,001 70 0,1284 0,683559 0,36 1,371 0,21936 0,466 0,1864 0,001 70 0,158448 0,722318 0,4 1,571 0,25136 0,5 0,2 0,001 70 0,190289 0,757039 0,44 1,771 0,28336 0,53 0,212 0,001 70 0,223011 0,787025 0,48 1,968 0,31488 0,555 0,222 0,001 70 0,255551 0,811584 0,52 2,162 0,34592 0,576 0,2304 0,001 70 0,287781 0,831929 0,56 2,349 0,37584 0,593 0,2372 0,001 70 0,318795 0,848219 0,6 2,527 0,40432 0,603 0,2412 0,001 70 0,346797 0,857728 0,64 2,694 0,43104 0,608 0,2432 0,001 70 0,371756 0,862463 0,68 2,846 0,45536 0,607 0,2428 0,001 70 0,3923 0,861517 0,7 2,915 0,4664 0,603 0,2412 0,001 70 0,400044 0,857728 0,72 2,978 0,47648 0,596 0,2384 0,001 70 0,405521 0,851077 0,74 3,035 0,4856 0,587 0,2348 0,001 70 0,409112 0,842487 0,76 3,083 0,49328 0,573 0,2292 0,001 70 0,408948 0,829038 0,78 3,121 0,49936 0,553 0,2212 0,001 70 0,404298 0,809633 0,8 3,142 0,50272 0,5 0,2 0,001 70 0,380578 0,757039 3
Calcolato un numero sufficiente di punti aventi coordinate (Q, h 0 ), si costruisce graficamente la scala di deflusso (Figg. 1 e 2), da cui si ricavano il valore dell altezza di moto uniforme h 0 corrispondente alla portata Q assegnata dal problema e la velocità V. (Con k s = 70 m 1/3 /s, per Q = 1260 m 3 /h: h 0 = 0,6 m e V = 0,86 m/s) Scala di deflusso specifica: Avendo a disposizione le scale di deflusso specifiche della sezione circolare con diametro pari a 0,8 m, costruita con riferimento ad un coefficiente di scabrezza k * s pari a 77 m 1/3 /s e ad una pendenza i * pari a 1 (Fig. 3a e 3b), si calcola la portata specifica Q sp equivalente alla portata assegnata Q: Q * *0,5 Qsp = k i 0,5 s k i s Entrando nella scala di deflusso di Fig. 3a con la portata Q sp calcolata, pari a 12,17 m 3 /s, si ricava il valore dell altezza di moto uniforme corrispondente h 0. Quindi, noto h 0 si ricava la velocità V dalla scala di Fig. 3b. (Con k s = 70 m 1/3 /s, per Q = 1260 m 3 /h: h 0 = 0,61 m e V = 0,86 m/s) Scala di deflusso normalizzata: Avendo a disposizione la scala di deflusso normalizzata per sezioni circolari (Fig. 4), si calcola il rapporto Q/Q r, essendo Q r la portata in condizione di totale riempimento pari a 0,38 m 3 /s. Entrando nella scala di deflusso normalizzata con il rapporto Q/Q r, si ricava il grado di riempimento h/r, con r raggio della sezione del canale, da cui il valore dell altezza di moto uniforme h 0. Quindi, di nuovo attraverso la scala di deflusso normalizzata, entrando con il grado di riempimento h/r, si ricava il rapporto V/V r, con V r velocità in condizione di totale riempimento pari a 0,76 m/s, da cui la velocità V. (Con k s = 70 m 1/3 /s, per Q = 1260 m 3 /h: h 0 = 0,6 m e V = 0,87 m/s) 4
Fig. 1 Scala di deflusso (portata) costruita con le formule di Marchi e di G.-S. (tradizionale). Scala di deflusso - portata 0,8 0,7 Marchi G-S 0,6 Altezza di moto uniforme [m] 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 Portata [m 3 /s] Fig. 2 Scala di deflusso (velocità) costruita con le formule di Marchi e di G.-S. (tradizionale). Scala di delfusso - velocità 0,8 0,7 0,6 Marchi G-S Altezza di moto uniforme [m] 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Velocità [m/s] 5
Fig. 3 Scala di deflusso specifica per sezione circolare con D = 0,8 m, k s * = 77 m 1/3 /s e i * = 1. Fig. 3a 0,8 0,7 0,6 Altezza di moto uniforme [m] 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5 12 13,5 15 Portata specifica [m 3 /s] Fig. 3b 0,8 0,7 0,6 Altezza di moto uniforme [m] 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 5 10 15 20 25 30 35 Velocità specifica [m/s] 6
Fig. 4 Scala di deflusso normalizzata per sezioni circolari. Scale di deflusso 2 1,8 1,6 Q G-S normalizzata V G-S normalizzata 1,4 1,2 h/r 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 Q/Qr e V/Vr 7
PROBLEMA 2 Un canale realizzato in terra con pendenza costante pari allo 0,5% ha la sezione composta schematizzata in Fig. 5. Verificare se il passaggio di una portata Q pari a 6000 l/s causa problemi di esondazione. Fig. 5 Sezione canale SOLUZIONE Il calcolo della scala di deflusso del canale viene effettuato dividendo la sezione composta in sottosezioni, Fig. 6. Per ciascuna sotto-sezione si costruisce per punti, utilizzando la formula di Gauckler e Strickler, la corrispondente scala di deflusso, Tab. 3; quindi a parità di altezza di moto uniforme h 0 si sommano le portate fornite dalle tre scale Q 1, Q 2 e Q 3 e si ottiene la portata complessiva Q; infine, l interpolazione grafica dei punti di coordinate (Q, h 0 ), così calcolati, fornisce la scala di deflusso globale del canale, Fig. 7. Dalla lettura della scala di deflusso globale si ricava che alla portata Q pari a 6 m 3 /s corrisponde un tirante idrico h 0 di 0,95 m, pertanto non sussitono rischi di esondazione. (Per Q = 6000 l/s: h 0 = 0,95 m) Fig. 6 Scomposizione sezione composta 8
Tabella 3 Calcolo della scala di deflusso Q = Q 1 + Q 2 + Q 3. Q 1 Q 2 Q 3 Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 ho A R* k [m] [m 2 i s Q ho A R* k ] [m] [m 1/3 /s] [m 3 /s] [m] [m 2 i s Q ho A R* k ] [m] [m 1/3 /s] [m 3 /s] [m] [m 2 i s Q ho ] [m] [m 1/3 /s] [m 3 /s] [m] 0,00 - - - - 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 65 0,00 0,00 - - - - 0,00 0,00 0,00 0,00 0,05 - - - - 0,00 0,05 0,10 0,05 0,01 65 0,06 0,05 - - - - 0,00 0,05 0,10 0,06 0,10 - - - - 0,00 0,10 0,20 0,09 0,01 65 0,19 0,10 - - - - 0,00 0,10 0,20 0,19 0,15 - - - - 0,00 0,15 0,30 0,13 0,01 65 0,35 0,15 - - - - 0,00 0,15 0,30 0,35 0,20 - - - - 0,00 0,20 0,40 0,17 0,01 65 0,56 0,20 - - - - 0,00 0,20 0,40 0,56 0,25 - - - - 0,00 0,25 0,50 0,20 0,01 65 0,79 0,25 - - - - 0,00 0,25 0,50 0,79 0,30 - - - - 0,00 0,30 0,60 0,23 0,01 65 1,04 0,30 - - - - 0,00 0,30 0,60 1,04 0,35 - - - - 0,00 0,35 0,70 0,26 0,01 65 1,31 0,35 - - - - 0,00 0,35 0,70 1,31 0,40 - - - - 0,00 0,40 0,80 0,29 0,01 65 1,60 0,40 - - - - 0,00 0,40 0,80 1,60 0,45 - - - - 0,00 0,45 0,90 0,31 0,01 65 1,90 0,45 - - - - 0,00 0,45 0,90 1,90 0,50 - - - - 0,00 0,50 1,00 0,33 0,01 65 2,21 0,50 - - - - 0,00 0,50 1,00 2,21 0,55 - - - - 0,00 0,55 1,10 0,35 0,01 65 2,53 0,55 - - - - 0,00 0,55 1,10 2,53 0,60 - - - - 0,00 0,60 1,20 0,38 0,01 65 2,87 0,60 - - - - 0,00 0,60 1,20 2,87 0,65 - - - - 0,00 0,65 1,30 0,39 0,01 65 3,21 0,65 - - - - 0,00 0,65 1,30 3,21 0,70 - - - - 0,00 0,70 1,40 0,41 0,01 65 3,56 0,70 - - - - 0,00 0,70 1,40 3,56 0,75 - - - - 0,00 0,75 1,50 0,43 0,01 65 3,92 0,75 - - - - 0,00 0,75 1,50 3,92 0,80 - - - - 0,00 0,80 1,60 0,44 0,01 65 4,28 0,80 - - - - 0,00 0,80 1,60 4,28 0,85 0,05 0,05 0,01 40 0,02 0,85 1,70 0,47 0,01 65 4,74 0,85 0,07 0,05 0,01 40 0,03 0,85 1,83 4,78 0,90 0,10 0,09 0,01 40 0,06 0,90 1,80 0,50 0,01 65 5,21 0,90 0,15 0,09 0,01 40 0,09 0,90 2,05 5,36 0,95 0,15 0,13 0,01 40 0,11 0,95 1,90 0,53 0,01 65 5,70 0,95 0,23 0,14 0,01 40 0,17 0,95 2,28 5,98 1,00 0,20 0,17 0,01 40 0,17 1,00 2,00 0,56 0,01 65 6,21 1,00 0,30 0,18 0,01 40 0,27 1,00 2,50 6,65 1,05 0,25 0,20 0,01 40 0,24 1,05 2,10 0,58 0,01 65 6,74 1,05 0,38 0,21 0,01 40 0,38 1,05 2,73 7,36 1,10 0,30 0,23 0,01 40 0,32 1,10 2,20 0,61 0,01 65 7,28 1,10 0,45 0,25 0,01 40 0,51 1,10 2,95 8,11 1,15 0,35 0,26 0,01 40 0,40 1,15 2,30 0,64 0,01 65 7,84 1,15 0,53 0,28 0,01 40 0,64 1,15 3,18 8,89 1,20 0,40 0,29 0,01 40 0,49 1,20 2,40 0,67 0,01 65 8,42 1,20 0,60 0,32 0,01 40 0,79 1,20 3,40 9,70 1,25 0,45 0,31 0,01 40 0,58 1,25 2,50 0,69 0,01 65 9,01 1,25 0,68 0,35 0,01 40 0,94 1,25 3,63 10,54 1,30 0,50 0,33 0,01 40 0,68 1,30 2,60 0,72 0,01 65 9,62 1,30 0,75 0,38 0,01 40 1,10 1,30 3,85 11,40 * nel calcolo del perimetro bagnato non vanno considerate le lunghezze delle linee di separazione delle sotto-sezioni. A [m 2 ] Q [m 3 /s] 9
Fig. 7 Scala di deflusso globale Scala di deflusso 1,20 1,00 Altezza di moto uniforme [m] 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 11,00 12,00 Portata [m 3 /s] 10