Laboratorio 2B A.A. 2012/2013
Facciamo conoscenza Fortunato Neri Dipartimento di Fisica e di Scienze della Terra tel. 090 676-5007 e-mail: fneri@unime.it Webpage: http://dfmtfa.unime.it/profs/neri
Dettagli del corso Lezioni: Lun 11 14 Mer 11 13 Gio 9-11, dal 4/3 al 6/6/2010 Lezioni teoriche: Aula A (I piano, corpo D) Esercitazioni : Laboratorio didattico (I piano, corpo D) Modalità esame: Valutazione relazioni predisposte durante le esercitazioni di laboratorio Esame orale Testi utilizzabili: Elaborazione dei dati sperimentali - Dapor, Ropele (Springer 2005).. Altro materiale didattico Slides lezioni Schede singole esperienze Appunti
Laboratorio 2B: argomenti del corso Analisi e trattamento dati sperimentali Trattamento degli errori Fornire conoscenze su esperimenti di: Ottica geometrica (formazione di immagini con lenti e specchi) Ottica fisica (dispersione, diffrazione, interferenza, polarizzazione, coerenza) Spettroscopia ottica
BOZZA PROGRAMMA
Grandezze fondamentali e derivate Una delle operazioni fondamentali nella sperimentazione e nella ricerca scientifica è quella di misurare. Tutte le caratteristiche (proprietà) dei corpi che si possono determinare quantitativamente, cioè misurare, sono chiamate grandezze fisiche. Misurare significa confrontare una grandezza fisica con un altra, ad essa omogenea, assunta come campione. Il confronto permette di stabilire quante volte tale campione è contenuto nella grandezza stessa e di esprimere il rapporto tra la grandezza fisica e il campione attraverso un valore numerico. Le grandezze fisiche scelte come fondamentali sono lunghezza, massa, tempo, intensità di corrente elettrica, temperatura termodinamica, quantità di materia e intensità luminosa. Queste sette grandezze fisiche identificano il sistema di unità di misura noto come Sistema Internazionale (SI). Tutte le altre (grandezze derivate) dipendono da quelle fondamentali, da cui possono essere ricavate mediante l uso di espressioni algebriche.
Il Metodo Scientifico Analisi del fenomeno ed individuazione delle grandezze da misurare Formulazione di ipotesi Progettazione dell esperimento e della procedura di misura Analisi dei risultati ottenuti e verifica delle ipotesi Formulazione della legge In ogni singola fase lo sperimentatore deve porre la massima accortezza, procedere con molta attenzione e non sottovalutare alcun evento. L esperimento può essere ripetuto più volte purchè in condizioni accessibili, controllabili e misurabili. Gli studenti nel verificare attraverso gli esperimenti leggi fisiche ormai ben note, devono assumere un comportamento metodico, critico e responsabile; devono essere consci che l obiettivo fondamentale del loro lavoro è quello di acquisire una mentalità e una pratica sperimentali utili per un futuro lavoro di ricerca.
Uso combinato di Teoria ed Esperimento. (Galileo Galilei XVI- XVII secolo) Interpretazione dei fenomeni naturali sulla base di leggi matematiche. Metodo Induttivo Osservazione Esperimento Correlazione fra le misure Definizione di un modello fisico Elaborazione di un modello matematico Formalizzazione della teoria Il Metodo Scientifico Riproducibilità
Misure dirette e indirette Misura di una grandezza fisica: confronto tra la grandezza fisica e un altra, ad essa omogenea, assunta come campione. Quando si confronta direttamente la grandezza fisica con la sua unità di misura, la misura si dice diretta in quanto fornisce direttamente il risultato (solo nel caso di alcune misure di lunghezza). Per le grandezze derivate, si misurano in modo diretto le grandezze fisiche fondamentali correlate e, mediante il calcolo di una relazione algebrica, si deduce il valore della misura della grandezza derivata. Questo tipo di misura si dice indiretto. Sia che la misura venga effettuata in modo diretto o indiretto, è necessario saper valutare quanto il risultato ottenuto sia attendibile. Infatti, la misura non fornisce mai il valore vero della grandezza in esame, che rimane sconosciuto (indeterminazione).
Errori nelle misure Quando si esegue la misura di una grandezza fisica, si commettono inevitabilmente degli errori che impediscono di conoscere il valore vero della grandezza stessa (limite intrinseco alla misura). Occorre riuscire a quantificare nel miglior modo possibile questi errori e cercare di ridurli al minimo, conoscendo l origine, la tipologia, le cause e l entità di questi errori. Sia che la misura venga effettuata in modo diretto o indiretto, è necessario saper valutare quanto il risultato ottenuto sia attendibile. Infatti, la misura non fornisce mai il valore vero della grandezza in esame, che rimane sconosciuto (indeterminazione).
Errori nelle misure - 2 Le incertezze si possono ridurre ma non eliminare, essendo legate intrinsecamente alla natura della grandezza e al processo di misura. Occorre cercare di stabilire le cause degli errori, anche se molteplici e spesso difficilmente individuabili. Sono principalmente attribuibili alla strumentazione utilizzata, alla procedura operativa, all azione dello sperimentatore, ad agenti ambientali ed esterni: Erronea taratura dello strumento Malfunzionamento dello strumento per variazioni di condizioni ambientali Presenza di vibrazioni, di piccoli spostamenti d aria, di contaminazioni, di inadatta luminosità, di instabilità della alimentazione di rete Usura dello strumento o di parti dello stesso Limitate caratteristiche (sensibilità e prontezza) dello strumento Scelta della strumentazione inadeguata Errori di riflesso, di allineamento, di parallasse Errori di definizione (grandezza da misurare non definita con esattezza) Errori umani di lettura, di disattenzione, di trascrizione
Errori casuali ed errori sistematici Le misure sono sempre affette da errori, generati da cause diverse, risultando tra loro differenti e distinti in errori sistematici e casuali. L errore su una misura possiede una componente sistematica ed una casuale, non distinguibili tra loro e di diversa origine. Gli errori sistematici incidono sulla misura in modo costante, sempre in una direzione, in eccesso (maggiore valore vero) o in difetto (minore). L origine degli errori sistematici è da ricercarsi in deficienze strumentali, di metodo o procedura, in distorte letture di scala. Il loro riconoscimento non è sempre facile: non esistono infatti indicazioni o regole generali per individuarli, nè tanto meno la ripetizione delle misure può servire a svelarli (non trattabili statisticamente). Errori casuali: risultato di effetti deterministici derivanti da molte cause, il cui numero elevato conferisce il carattere aleatorio (casuale). Possono essere messi in evidenza ripetendo più volte la misura con strumenti sufficientemente sensibili. L analisi statistica degli errori casuali, dopo aver accertato (ipotizzato) che l entità degli errori sistematici è trascurabile, consentirà di esprimere una stima realistica della loro entità e caratterizzare al meglio la misura.
Errore assoluto in misure dirette Data una grandezza fisica G, la sua misura g si esprime: Nel caso di una misura singola l errore assoluto eè stimabile come metà della più piccola divisione della scala dello strumento. Se le misure sono invece ripetute il valore misurato della grandezza g è uguale alla migliore stima di g (vedremo poi essere il valor medio), con edato dalla semidispersione
La media come migliore stima Supponiamo di aver misurato una grandezza fisica, ottenendo come risultato della misura n valori, non tutti uguali tra loro. La misura è influenzata da un indeterminazione, perciò è impossibile conoscere il valore vero della grandezza in esame. Qual è il valore più significativo (rappresentativo) della grandezza misurata, tenuto conto di tutti gli n dati ottenuti dalla misura? Moda: contare quante volte ognuno dei valori si è presentato e decidere di assumere come più rappresentativo della misura quello che si è presentato con maggior frequenza (difficoltoso e non univoco). Mediana: il valore che divide a metà un insieme di dati, ordinati in modo crescente o decrescente, in due parti uguali. Media aritmetica: scelta più ragionevole ed adatta in quanto tiene conto di tutti i valori misurati x 1, x 2, x n di una grandezza X.
Il valor medio - 2 Come sono distribuite le singole misure rispetto alla media? La valutazione dello sparpagliamento delle misure ci fornisce un importante indicazione di quanto le misure siano precise. Scarto quanto ogni singola misura x i si discosta dal valor medio? c è una relazione tra queste differenze e l errore sulla misura x i? In analogia con il calcolo della media aritmetica, proviamo a calcolare il valor medio dello scarto Abbiamo così ottenuto una importante proprietà di cui gode la media: la media degli scarti è identicamente nulla. Di conseguenza la media degli scarti non costituisce una grandezza utile per caratterizzare l errore sulla misura!
Deviazione standard Scarto quadratico medio o Varianza eleviamo tutti gli scarti al quadrato e consideriamone il valor medio In questo caso il risultato è diverso da zero e, per far sì che abbia anche le stesse dimensioni di x i, estraiamo la radice quadrata della varianza, ottenendo in tal modo la cosiddetta deviazione standard La deviazione standard è una grandezza sempre positiva, che esprime una stima del grado di attendibilità della misura. Si noti come, al crescere del numero delle misure n, diminuisca il valore numerico assoluto della deviazione standard e aumenti di conseguenza la precisione della misura.
Deviazione standard - esempio Prendiamo in considerazione i risultati ottenuti dalle sei misure del periodo di oscillazione del pendolo. La stima dell indeterminazione ottenuta come semidispersione offre una valutazione semplice ed immediata dell errore. Per mezzo della deviazione standard la stima è più precisa anche se il calcolo è più complesso.
Deviazione standard della media La scelta del valor medio come miglior stima del valore vero offre sufficienti garanzie di precisione? Esiste, cioè, una relazione tra la deviazione standard di una serie di misure e la precisione della media? L analisi statistica mostra che l indeterminazione sulla media è data dalla deviazione standard divisa per la radice quadrata del numero n di misure: La deviazione standard della media diminuisce, lentamente, al crescere di n: maggiore è il numero di misure effettuate, minore è l incertezza sulla media. Quindi il valor medio è ragionevolmente la stima più precisa di una serie di misure.
Deviazione standard della media - 2 Nella definizione di deviazione standard, la media degli scarti quadratici è stata calcolata dividendo per n, assumendo pertanto che n fosse il numero di parametri indipendenti del sistema. Lo stesso insieme di dati è già stato utilizzato per il calcolo della media; quindi il numero degli scarti indipendenti non è n, ma n-1. Gli scarti sono stati infatti ottenuti dalle differenze tra le singole misure ed il loro valor medio. La differenza nell usare n o (n-1) è concettualmente significativa, ma quasi sempre quantitativamente irrilevante: è comunque importante specificare, nella discussione dei risultati sperimentali, quale formula è stata utilizzata nei calcoli.
Cifre significative e arrotondamenti Esempio: Consideriamo le misure del periodo di oscillazione del pendolo, prima riportate. Il grado di approssimazione coincide con la sensibilità dello strumento (cronometro che apprezza i decimi di secondo) La misura certa è quella relativa ai secondi, mentre l incertezza interessa i decimi di secondo. Aggiungendo un dato, 1.8 s, le misure diventano sette e la media ottenuta con una calcolatrice con un display a 10 cifre, è: =1.885714286 s. L errore assoluto, calcolato come semidispersione, non è cambiato con l aggiunta di un dato, ed è rimasto pari a: = 0.1 s. Non ha alcun senso riportare come risultato della media un numero con nove cifre decimali, dal momento che esiste un incertezza sulla prima cifra decimale!
Cifre significative e arrotondamenti - 2 La definizione del numero di cifre significative del valore di una misura ci consente di stabilire e distinguere immediatamente il diverso grado di precisione di risultati apparentemente equivalenti. Ad esempio, i valori numerici 1.9 s, 1.90 s e 1.900 s, ottenuti da una misura di tempo, non sono fisicamente uguali; nel primo caso abbiamo una precisione al decimo di secondo, nel secondo caso al centesimo di secondo, nel terzo caso al millesimo di secondo. I valori dell errore che si ottengono dai calcoli spesso presentano un eccessivo numero di cifre; è dunque necessario effettuare il corretto arrotondamento.
Sommario errori Se la misura x della grandezza X ha dato il risultato Errore relativo: Errore percentuale: Propagazione degli errori: per funzioni di più variabili