Scattering inelastico con neutrini
Deep Inelastic Scattering con neutrini I neutrini sono delle sonde eccezionali per studiare il nucleone: ν + N + adroni A livello di partoni quindi ν l può interagire solo con quark d e anti-u ν l sinistrorso e interagisce con d sinistrorsi e anti-u destrorsi Diverse distribuzioni angolari per scattering L+L e L+R e le relazioni CP coniugate per l antineutrino. Permette di separare i sapori dei quark Permette di separare quark ed anti-quark Pone però notevoli difficoltà sperimentali: Bassa sezione d urto: σ ν G F σ e α / Q 4 richiede fasci intensi e rivelatori di grosse dimensioni. Non si conosce il momento iniziale del neutrino necessita di riscostruire lo stato finale.
Correnti destrorse e sinistrorse Sappiamo che una corrente vettoriale separa le componenti L e R di uno spinore: ψγ µ ψ = ψ R γ µ ψ R +ψ L γ µ ψ L ψ R/L = 1 ( 1±γ 5)ψ I tensori che poi compaiono negli elementi di matrice delle correnti diventano (sommando sugli spin): J µ R = u( k!)γ µ 1 ( 1+γ 5 )u(k) L µν = k µ k! ν + k ν k! µ k k " J µ L = u( k!)γ µ 1 ( 1 γ 5 )u(k) L µν = k µ k! ν + k ν k! µ k k " Si noti che: C è una componente antisimmetrica ( ( ) g µν ) + iε αµβν k α! Le correnti L e R soddisfano separatamente il vincolo q µ L µν = q ν L µν = 0 q = k k" Come ci aspettiamo la somma dà il termine vettoriale che conosciamo. k β ( ( ) g µν ) iε αµβν k α! k β = + 3
Scattering L-L (R-R) Applicando la stessa decomposizione ai due fermioni che partecipano nell interazione, possiamo vedere che il contributo alle correnti dell elemento di matrice è dato da: 1 1 Lµν L! µν = k µ k! ν + k ν k! µ k k " ( ( ) g µν ) p µ! #( )( k" p" ) + ( k p" )( k" p % ) = $ k p ( )( " ) ( p ν + p ν p! µ ( p p ") g µν ) εαµβν k α k! β ε γµδν p γ! = 4 k p k p" 1 Se le masse sono trascurabili, risulta: 1 Lµν L! µν = s Chiaramente lo stesso vale per scattering R-R & p δ + δ α γ δ β δ δ α β ( δ δ γ )k α k! β p γ! + $ %( k p) ( k" p" ) k p" p δ ( )( k" p) & ' 4
Scattering L-R (R-L) Applicando la stessa decomposizione ai due fermioni che partecipano nell interazione, possiamo vedere che il contributo alle correnti dell elemento di matrice è dato da: 1 1 Lµν L! µν = k µ k! ν + k ν k! µ k k " ( ( ) g µν ) p µ! #( )( k" p" ) + ( k p" )( k" p % ) = $ k p ( )(! ) ( p ν + p ν p! µ ( p p ") g µν ) + εαµβν k α k! β ε γµδν p γ! = 4 k p" k p 1 Se le masse sono trascurabili, risulta: 1 Lµν L! µν = s 4 Chiaramente lo stesso vale per scattering R-L & * ( 1+ cosθ ) p δ δ α γ δ β δ δ α β ( δ δ γ )k α k! β p γ! $ %( k p) ( k# p# ) k p# p δ ( )( k# p) & ' Angolo di scattering nel sistema del centro di massa 5
Scattering LL/RR vs. RL/LR Il diverso risultato ha una semplice interpretazione geometrica: I fermioni non possono modificare la loro chiralità Se i fermioni hanno la stessa chiralità: J z =0 Ogni angolo di scattering è permesso k k θ k p p k θ p p Se i fermioni hanno chiralità opposta: J z =±1 Lo scattering all indietro è proibito: inverte la direzione di J k k θ k p p k θ p p 6
Calcolo del tensore adronico Tenendo conto anche delle componenti antisimmetriche, la forma più generale è: W µν 4πm N = W 1 g µν + W m N pµ p ν i W 3 m N ε µναβ p α q β + W 4 m N qµ q ν + W 5 m N (pµ q ν + p ν q µ )+ i W 6 m N (pµ q ν p ν q µ ) Avendo W una componente antisimmetrica, bisogna testare entrambe le contrazioni: Si noti che il temine in W 3, si annulla sicuramente. " q µ W µν = W 1 + W 4 m q + W 5 ( qp) + i W % " 6 $ ( qp) 'q ν + W $ # N m N m N & # m N " q ν W µν = W 1 + W 4 m q + W 5 ( qp) i W % " 6 $ ( qp) 'q µ + W $ # N m N m N & # m N Da cui ricaviamo immediatamente: W 6 = 0 W 5 = W qp q W 1 +W 4 q m N W ( qp) m N q = 0 W 4 = W 1 m N q +W ( qp) + W 5 m q i W 6 N m N q ( qp) + W 5 m q + i W 6 N qp ( ) q 4 m N q % ' p ν = 0 & % ' p µ = 0 & 7
L elemento di matrice E sostituendo: W µν " = W 1 g µν + qµ q ν % $ '+ W " qp p µ p ν + q µ q ν 4πm N # q & m $ N # q 4 W µν " = W 1 g µν + qµ q ν % $ '+ W " 4πm N # q $ & m N # ( p µ qp ) Contraendo con il tensore del neutrino: ( ) % q µ q & ' " $ p ν qp # q = 4W 1 (k k!)+ W (kp)( k! p) (k k!)m N m N ( qp ) p µ q ν + p ν q µ q ( ) ( ) q ν % ' i W 3 & m ε µναβ p α q β N ( p µ qp ) % ' i W 3 & m ε µναβ p α q β N L µν W µν $ = $ k µ k! ν + k ν k! µ ( k k! ) g & % µν ' 4πm W ( g µν qµ q ν + * -+ W ( + (. q µ 1 N ) q, m * N ) q - pν qp. * %,) q # + ( iε µνγδ k γ k" δ ) i W 3 m ε & % µναβ p α q β ( $ N ' ( ) + W 3 ((kp)( k! q) ( k! p)(kq) ) m N L µν W µν = 4W 1 (k k!)+ W (kp)( k! p) (k k!)m N 4πm N m N ( ) + W 3 ( ) m (k k!) (kp)+ ( k! p) N ( ) q ν + & / -, / ' 8
L elemento di matrice L µν W µν = 4W 1 (k k!)+ W (kp)( k! p) (k k!)m N 4πm N m N E sostituendo: ( ) + W 3 ( ) m (k k!) (kp)+ ( k! p) N L µν W µν 4πm N = sxyw 1 + W m N L µν W µν 4πm N = sxyw 1 + W m N s s ( (1 y) sxym N ) + W 3 m N " $ # (1 y) xy m N s sxy( s + s(1 y) ) % '+ W " 3 & m s xy 1 y % $ ' N # & 9
Sezione d urto La sezione d urto differenziale la possiamo ricavare partendo da quella elettromagnetica: dσ ep dxdy = πm y α N Ed effettuando la sostituzione e q G F Che diventa per il neutrino: dσ ν p dxdy = π 16π m y 4G L µν W F µν N = G F 4πm N 4π m y Lµν W µν N 4πm N = G Fs ( " π xy m N W 1 + 1 y xy m % N $ ' sy " % W + $ y y ' sy + * W 3 - ) # s & m N # & m N, Utilizzando le funzioni adimensionali: q 4 L µν W µν 4πm N s = m N E F 1 = m N W 1, F = νw, F 3 = νw D ora in poi trascureremo il ν = E E " = Ey 3 termine di massa d σ ν p dxdy = G Fs ( " π xy F 1 + 1 y xy m % " % + N * $ 'F + $ y y 'F 3 - ) # s & # &, Normalmente avremmo 4G F /, ma la definizione della corrente adronica nelle funzioni di struttura segue la normalizzazione di Fermi (1-γ 5 ) invece della nostra (1-γ 5 )/ 10
Sezione d urto Per lo scattering neutrino-nucleone: d σ ν N dxdy = G Fs ( " % + π xy F ν 1 + ( 1 y)f ν + $ y y ν * 'xf 3 - ) # &, Per lo scattering antineutrino-nucleone d σ ν N dxdy = G Fs ( " % + π xy F ν 1 + ( 1 y)f ν $ y y ν * 'xf 3 - ) # &, 11
Interpretazione partonica La sezione d urto ν+q (L) : dσ νq dy = M 16πŝ = 1 16πŝ Il contributo alla sezione d urto differenziale è quindi dσ νq E contribuisce a F 1 : F : F 3 : = G F π ŝ s dxdy = G F π xf q(x)! 4G # F " $ & % 8(kp)( k ' p ') σ ( ν + f T3 = 1/ + f T3 =+1/ ) = G F π ŝ f q (x) xf q (x) f q (x) d σ ν N dxdy = G Fs ( " % + π xy F ν 1 + ( 1 y)f ν + $ y y ν * 'xf 3 - ) # &, La sezione d urto ν+anti-q (R) : dσ νq dy Il contributo alla sezione d urto differenziale è quindi E constribuisce a F 1 : F : F 3 : = M 16πŝ = 1! 4G # F 16πŝ " = G F π ŝ ( 1 y ) $ & 8(k p ')( k' p) % σ ( ν + f T3 = 1/ + f T3 =+1/ ) = G F 3π ŝ dσ νq s dxdy = G F π x( 1 y ) f q (x) f q (x) xf q (x) f q (x) e analogamente per la sezione d urto di antineutrini 1
Riepilogo funzioni di struttura Elettromagnetiche: Protone 1 x F ep = 4 [ 9 u v + u s + u s ] + 1 [ 9 d v + d s + d s ] + 1 [ 9 s s + s s ] Neutrone: 1 x F en = 1 [ 9 u v + u s + u s ] + 4 [ 9 d v + d s + d s ] + 1 [ 9 s s + s s ] Bersaglio isoscalare 1 x F en = 5 [ 18 u v + u s + u s ] + 5 [ 18 d v + d s + d s ] + 1 [ 9 s s + s s ] In prima approssimazione: u s = u s = d s = d s = s s = s s = S Correnti cariche deboli: Protone ν F p = x V ud [ d v + d s + u s ] + x V us [ s s + u s ] ν F p 3 = V ud [ d v + d s u s ] + V us [ s s u s ] ν F p = x V ud [ u v + u s + d s ] + x V us [ u v + u s + s s ] ν F p 3 = V ud [ u v + u s d s ] + V us [ u v + u s s s ] Neutrone: F νn = x V ud [ u v + u s + d s ] + x V us [ s s + d s ] F νn 3 = V ud u v + u s d s [ ] + V us [ s s d s ] ν F n = x V ud [ d v + d s + u s ] + x V us [ d v + d s + s s ] ν F n 3 = V ud [ d v + d s u s ] + V us [ d v + d s s s ] Bersaglio isoscalare ν F N = x V ud [ q + q ] + x V us [ s s + q ] ν F N 3 = V ud [ q q ] + V us [ s s q ] ν F N = x V ud [ q + q ] + x V us [ q + s s ] ν F N 3 = V ud [ q q ] + V us [ q s s ] Dove si è posto q = u v + u s + d v + d s, q = u s + d s 13
Fasci di neutrini L'idea di un fascio di neutrini nasce nei primi anni 60 Lederman, Schwartz e Steinberger furono insigniti del premio Nobel nel 1988 per la realizzazione del primo fascio di neutrini che consentì loro di dimostrare che ν e e ν µ sono leptoni distinti Nella sua lezione in occasione del conferimento del premio Schwartz sottolinea l'importanza delle discussioni che si tenevano giornalmente nella caffetteria della Columbia University sotto lo stimolo di T.D. Lee Nella stessa lezione Schwartz ricorda anche che Bruno Pontecorvo era arrivato a proposte simili alle loro indipendentemente e riconosce il notevole contributo da lui dato alla fisica del neutrino Le principali sorgenti di neutrini per la realizzazione di fasci di alta energia sono i decadimenti π ± µ ± + ν µ ( ν µ ) 100% K ± µ ± + ν µ ( ν µ ) 63.5% In entrambi i casi si tratta di sorgenti di neutrini muonici In entrambi i casi si tratta di decadimenti a corpi Il fondo principale ( per la forma dello spettro ) è il decadimento K ± π 0 + µ ± + ν µ ( ν µ ) 3.% Il fondo principale per la purezza del fascio è il decadimento K ± π 0 + e ± + ν e ( ν e ) 4.8% 14
Fasci di neutrini: Narrow Band Beam Elementi del Fascio Narrow Band: fascio estratto di protoni bersaglio in cui i protoni interagiscono e producono mesoni π o K sistema di magneti (dipoli) e collimatori per selezionare segno e impulso delle particelle prodotte un tunnel di decadimento molto lungo ( ~ 300 m ) i mesoni π o K decadono nel tunnel e producono neutrini o antineutrini un assorbitore anch'esso molto lungo (~400 m ) dove sono assorbiti: i prodotti di decadimento (esclusi i neutrini) gli adroni che non hanno interagito i neutrini attraversano l'assorbitore e raggiungono il rivelatore dove, raramente, interagiscono per finire, un sistema di monitor misura il passaggio delle particelle in vari punti e permette di calcolare il flusso di neutrini 15
Decadimento di pioni e kaoni consideriamo il decadimento a corpi X µ + ν nel sistema del centro di massa di X m X = E ν + E µ il momento delle due particelle prodotte è dato da p* = m X m µ m X l'energia del neutrino nel laboratorio si ottiene con una trasformazione di Lorentz θ * m X = p* + m µ + p* p T * = p* sinθ * p L * = p* cosθ * p L = E ν *γ X β X + p L *γ X E ν = E ν *γ X + p L *γ X β X E ν = p* γ X + p* γ X β X cosθ * Nel nostro caso la particella X ( π o K ) ha spin 0 e pertanto la distribuzione angolare nel c.m. è uniforme dn d cosθ = 1 * Alcuni dati su µ, π e K m µ = 105.7 MeV m π = 139.6 MeV m K = 493.7 MeV infine per il pione per il kaone p T = p T * τ µ =. 10 6 s τ π =.6 10 8 s τ K = 1. 10 8 s p* = 30 MeV p* = 36 MeV 16
Decadimento di mesoni π e K La distribuzione di energia del neutrino è anch'essa uniforme. Infatti dn dn d cosθ * = de ν d cosθ * de ν ricordando dn de ν = cosθ * = E ν p* γ X p* γ X β X d cosθ * 1 = de ν γ X β X p* p* = m X m µ m X 1 " p X 1 m µ % $ m ' # π & che dimostra che se l'energia della particella X è fissata la distribuzione dell'energia è uniforme In pratica l'energia della particella X è sempre molto elevata ed è ragionevole approssimare E X p X β X 1 posto ξ = E ν dn dξ E X otteniamo dn dξ = 1 1 m µ m X 1 m µ m π 1 m µ m K ξ 17
Decadimento di mesoni π e K La distribuzione angolare dei neutrini nel sistema di laboratorio si calcola facilmente Ricordiamo p L = E ν *γ X β X + p* cosθ *γ X p L = p* γ X β X + p* cosθ *γ X p T = p* sinθ * approssimando β X 1, otteniamo tanθ = p* sinθ * p* γ X β X + p* cosθ *γ X tanθ = 1 γ X sinθ * 1+ cosθ * θ * tanθ = 1 sin cosθ* γ X cos θ * tanθ = 1 tan θ * γ X p* = m X m µ m X abbiamo inoltre visto che esiste una relazione fra l'energia del neutrino e l'angolo di decadimento nel cm E ν = p* γ X + p* γ X β X cosθ * approssimando β X 1 ancora si ha p ν = E ν = γ X p* ( 1+ cosθ * ) E ν = γ X p * cos θ * E ν = γ X p * 1+ tan θ * E ν = γ X p * 1+γ X tan θ! E ν = E X 1 m $ µ 1 # " m & X % 1+γ X tan θ 18
Energia dei neutrini La relazione che abbiamo appena trovato! p ν = E ν = E X 1 m $ µ 1 # " m & X % 1+γ X tan θ permette di determinare l'energia dei neutrini semplicemente misurando le coordinate della interazione Incertezze: energia dell'adrone ( ΔE/E 5% ) angolo dell'adrone Δθ ~ 0.1 mrad lunghezza del tunnel di decadimento L θ R tanθ = R L 19
Distribuzione di energia I fasci di neutrini utilizzati negli anni 80-90 utilizzavano adroni con energie dell' ordine di 100-00 GeV Nell'approssimazione β X 1 i neutrini sono sempre emessi nell'emisfero in avanti Il fattore γ era circa γ π 1400 γ K 400 il 99% dei neutrini è emesso ad un angolo compreso fra 0 o e 170 o nel cm tanθ = 1 tan θ * # γ X % tanθ π 0.008 $ &% tanθ K 0.09 l'angolo di emissione dei neutrini è pertanto molto piccolo Il tunnel di decadimento e l'assorbitore sono però molto lunghi e quindi anche angoli piccoli possono finire fuori dalla accettanza del rivelatore il range angolare determina la distribuzione dell'energia dei neutrini NBB 0
Fasci di Neutrini: Wide Band Beam I fasci Narrow Band hanno il vantaggio che l'energia dei neutrini è nota Lo svantaggio è che l'intensità del fascio è relativamente bassa Infatti la selezione dell'energia dell'adrone elimina buona parte dei mesoni π e K prodotti Nei primi anni 60 Simon van der Meer del CERN inventò un dispositivo per aumentare l'efficienza di raccolta degli adroni prodotti Consideriamo il fascio NBB precedente senza il sistema magnetico The Van der Meer Horn B = µ o πr I 1
Van Der Meer Horn Calcoliamo un ordine di grandezza della corrente necessaria Pertanto se la particella percorre una distanza Δl all'interno della regione con campo magnetico è deflessa di Δθ y Δθ Δ = RΔθ = p 0.3B Δθ R Δθ x La traiettoria della particella è un arco di circonferenza Il raggio R (metri) della circonferenza è legato al campo magnetico B (Tesla) e al momento p (GeV) della particella dalla relazione p = 0.3BR Assumendo che vogliamo deflettere la particella in modo che la sua traiettoria risulti parallela all'asse x dobbiamo compensare il momento trasverso pδθ = p T Nelle interazioni adroniche risulta tipicamente p T 00 MeV; pertanto 00 MeV pδθ = 0.3BΔ
Van Der Meer Horn abbiamo pertanto 00 MeV pδθ = 0.3BΔ pδθ = 0.3 µ o πr IΔ I = pδθπr 0.3µ o Δ Per valori tipici ( )( 0.1 m) ( ) 0. GeV I = 0.3 10 7 ( ) 3 m 111 ka! Si tratta solo di ordini di grandezza Il calcolo dettagliato delle traiettorie e dei parametri del corno richiede la soluzione numerica di equazioni differenziali CERN - Gargamelle CERN Gran Sasso 3
Fasci di Neutrini: Wide Band Beam Con la tecnica del Corno di van der Meer si riesce ad aumentare l'intensità del fascio fino ad un fattore 100 La principale limitazione dei fasci WBB è che non si può più determinare l'energia dei neutrini In un fascio WBB l'energia media dei neutrini è circa 1/10 dell'energia dei protoni incidenti In comune ai due tipi di fasci a causa del fatto che la produzione di adroni positivi è più intensa di quelli negativi: i fasci di neutrini sono più intensi dei fasci di antineutrini per lo stesso motivo la contaminazione di neutrini della specie opposta a quella selezionata è più alta nei fasci di antineutrini WBB NBB 4
Misura sezione d urto νn Wide band neutrino beam del CERN Phys. Lett. B46, 74 (1973) Articolo 8.4 del testo 5
Rivelatori per neutrini: GARGAMELLE Camera a bolle a liquidi pesanti: Freon, Propano (liquidi a temperatura ambiente) Dimensioni: lunghezza 4.9 m, diametro 1.9 m Volume fiduciale 3 m 3 pari a 5 ton di Freon Immersa in un campo magnetico di T ( 0 kg ) In funzione dal 1971 a ~ 1976 sul fascio del PS 6
Camera a bolle Rivelatore visualizzante Liquido vicino al punto di ebollizione. Il passaggio di particelle cariche funge da centro di ebollizione. Simile alla camera a nebbia ma con: Maggiore densità eventi con bassa sezione d urto assorbimento totale Maggiore risoluzione 7
Interazione di neutrino 15 foot bubble chamber Fermilab Analisi di fotogrammi di BEPC al CERN 8
Gli eventi osservati 9
Sezione d urto R 1 = σ ν N σ ν N σ ν N σ ν N 30
Anti-neutrino vs. neutrino Integrando le sezioni d urto differenziali: dσ νq s dxdy = G F π xf q(x) dσ νq s dxdy = G F π Otteniamo: σ ν p = G F s π σ νn = G F s π x( 1 y ) f q (x) " 1 $ dx xd(x) + 1 # 0 3 " 1 $ dx xu(x) + 1 # 0 3 % dx xu(x) ' & E per un bersaglio isoscalare σ ν N = G F s" $ π # 1 0 1 0 % dxxd (x)' & Il contenuto in d del n è uguale al contenuto in u del p 1 dxx[ u(x) + d(x) ] + 1 0 3 Q 1 0 Analogamente per un antineutrino Da cui si ricava: dxx[ u(x) + d (x)] Q σ ν N = G F s" 1 1 1 $ dxx[ u(x) + d(x) ] π 3 + dxx u(x) + d (x) # 0 0 = G F s! 1 # π " 3 Q + Q $ & % La misura dà % ' & R 1 = σ ν N σ Q Q = 3R 1 1 3 R 1 1+ 3(Q / Q) = ν N 3 + (Q / Q) R 1 = 0.38 ± 0.0 Q Q [ ] Rapporto tra momento di quark e antiquark = 0.05 ± 0.0 % ' & 31
Calorimetri traccianti Moderni esperimenti utilizzano rivelatori a lettura elettronica, ma mantengono i requisiti già visti: Grande massa Necessità di misurare l energia del sistema adronico (composto da fotoni e pioni carichi) Sciami di γ ed e: ~X 0 Sciami di adroni: ~λ I Materiali con X 0 ~ λ I X 0 λ I Identificazione dei muoni Sistema tracciante dopo l assorbimento del sistema adronico. 3
Esempio: CHARM II Piani alternati: Vetro (0.5 X 0, 0.1 λ I ) Tubi a streamer Spettrometro: Ferro magnetizzato Campo toroidale 33
Esempio: CHARM II vista x-z ν µ + N µ + c + X c µ + + X Vista y-z 34
Compatibilità di F Dal contronto tra: F en = 5 x( u(x)+ d(x)+ u(x)+ d (x)) 18 ν F N = x( u(x)+ d(x)+ u(x)+ d (x)) Otteniamo che: F en = 5 18 F ν N Compatibilità a livello di integrale già osservata a Gargamelle. ν ν µ 35
Determinazione di V cd V cd viene determinato da deep inelastic scattering di neutrini: V cd = 0.30 ± 0.011 funzioni di struttura V cd BR(c µνx) per il quark d # σ ν µ u(x)+ d(x) & dxx V cd + V cs s(x) $ % ' ( # σ ν µ u(x)+ d (x) & dxx% V cd + V cs s (x)( $ ' 36