Liceo Cantonale Lugano Viale C. Cattaneo CH-69 Lugano Lugano, venerdì giugno ESAME SCRITTO DI MATURITÀ / OPZIONE SPECIFICA FISICA ED APPLICAZIONI DELLA MATEMATICA Durata dell esame: Tre ore (dalle 3.3 alle 6.3) Sussidi ammessi: -calcolatrice tascabile senza schermo grafico, non programmabile e senza calcolo simbolico. -riassunto personale manoscritto di 5 fogli A al massimo. -raccolte di formule (testi ufficiali). Valutazione: I quattro problemi hanno lo stesso peso ai fini della valutazione. Con l equivalente di tre esercizi risolti correttamente e integralmente si ottiene il voto 6.
/ L esercizio è composto di due parti indipendenti... Cammino aleatorio (stocastico) con barriere riflettenti Secondo un ipotetico modello, una particella cambia - di minuto in minuto - casualmente tra quattro stati energetici E, E, E3 ed E, con E < E < E3 < E. La particella abbia probabilità p di passare, per unità di tempo, ad uno stato energetico superiore e probabilità q = p di passare ad uno inferiore, a meno che si trovi in E, nel qual caso passa dopo un minuto allo stato E, oppure che si trovi nello stato E, nel qual caso passa dopo un minuto nello stato E 3. Si dice che gli stati E ed E sono barriere riflettenti. Sia X n lo stato energetico della particella dopo n minuti. Si tratta di una E, E, E, E. catena di Markov con spazio degli stati { } 3 a) Rappresenta il diagramma di transizione relativo al cambiamento degli stati energetici della particella e determina la corrispondente matrice di transizione T. b) La particella si trovi all istante t = min nello stato E 3. Determina la distribuzione di probabilità relativa ai possibili stati energetici della particella dopo che sono trascorsi 3 minuti. Con quale probabilità la particella, nel minuto successivo, si trova al livello energetico superiore E? c) Sia ora p =. Calcola i valori propri corrispondenti ai vettori propri u 3, u e u 3 (vedi sotto) della matrice di transizione T. Determina il quarto spazio proprio di T. n la particella oscilla (alternandole di minuto d) Verifica con il calcolo che a lungo andare ( ) in minuto) tra due possibili distribuzioni di probabilità, considerando il vettore di stato iniziale v (vedi sotto). Dati: u =, u =, u3 3 = 6, v 7 =. 6 7.. Equazioni differenziali e campi direzionali: ipotesi originaria di Galileo sulla velocità di caduta di un grave Galileo Galilei aveva ricavato la legge della caduta libera di un grave, posizione raggiunta in funzione del tempo trascorso x( t) = g t, dall ipotesi che la velocità di una massa (puntiforme) che cade x = ) sia direttamente liberamente dalla posizione di riposo (con condizione iniziale ( ) proporzionale al tempo di caduta: v( t) = g t. a) Verifica la correttezza dell ipotesi di Galileo, risolvendo la corrispondente equazione differenziale alla condizione iniziale data. v t fosse direttamente proporzionale alla b) Galileo, inizialmente, aveva però supposto che ( ) distanza percorsa durante la caduta. Formula l ipotesi come equazione differenziale per x( t ) e mostra che, con la condizione iniziale data, si giunge ad una conseguenza assurda. Cosa farebbe il corpo? c) Per entrambi i casi, rappresenta nel sistema di riferimento Otx alcune isocline e almeno una soluzione particolare e motiva perché nella ipotesi corretta si conferma che, se due masse cadono da altezze differenti, dopo lo stesso lasso di tempo raggiungono la stessa velocità mentre per quella erronea raggiungono la stessa velocità alla stessa distanza dall origine. Liceo di Lugano Esame di maturità OS FAM
/ Interferenza in una lamina sottile I colori che osserviamo quando la luce bianca del Sole cade su una bolla di sapone o su una macchia d olio sono prodotti dall interferenza delle onde luminose riflesse dalle due superfici, superiore e inferiore, di una sottile pellicola trasparente (lamina). Un raggio viene riflesso direttamente dalla superficie superiore mentre il secondo penetra nella pellicola cambiando direzione (rifrazione) e viene riflesso dalla superficie inferiore. I due raggi, a e b, si sovrappongono interferendo all esterno della prima superficie. Consideriamo il caso più semplice in cui i raggi incidono perpendicolarmente a due superfici parallele di una sottile lamina di acqua, come indicato nella figura. a b n = aria v = c (v aria v vuoto = c) λ n = n λ d acqua v = v L indice di rifrazione n i è il rapporto tra la velocità della luce nel vuoto c e la velocità nel mezzo v i : n i = c/v i (dove v i < c). L indice di rifrazione dell aria è praticamente uguale a. a) La luce si propaga con velocità differenti in mezzi trasparenti diversi, come l aria e l acqua. Dimostra che la lunghezza d onda nel secondo mezzo vale λ = λ /n. b) L onda incidente, che si propaga nel mezzo con indice di rifrazione minore, quando incontra un diverso mezzo di propagazione viene in parte riflessa e in parte penetra nel secondo mezzo. Sull interfaccia superiore l onda incidente (in aria) si riflette contro un mezzo di maggiore indice di rifrazione (in acqua); ne risulta che il raggio riflesso è sfasato di mezza lunghezza d onda (ossia +π rad). Invece sull interfaccia inferiore l onda incidente si riflette contro un mezzo di minor indice di rifrazione, quindi l onda riflessa non subisce cambiamento di fase; e così pure fuoriuscendo di nuovo attraverso la prima interfaccia. Lo sfasamento φ = π l λ, dove l è la differenza di cammino, determina il tipo di interferenza tra i raggi a e b. Lo spessore della pellicola d acqua vale d = 35 nm e l indice di rifrazione dell acqua è n =,33. Calcola le prime tre lunghezze d onda più grandi che subiscono un interferenza costruttiva (tra i raggi a e b). Consiglio: trova la relazione tra d, n e un indice intero m (m =,, 3). Calcola le prime tre lunghezze d onda più grandi che subiscono un interferenza distruttiva (tra i raggi a e b). c) Utilizzando la relazione A tot = A + A + A A cos φ determina l ampiezza totale A tot in funzione di A e A nei casi di interferenza costruttiva e distruttiva. Calcola infine la diminuzione percentuale dell ampiezza relativa alla lunghezza d onda λ = 7 nm supponendo che le ampiezze A e A siano, per semplicità, il 5 % di una generica ampiezza iniziale. d) Per raggi incidenti con una inclinazione α = 3 rispetto alla normale della pellicola di acqua la relazione per l interferenza costruttiva assume la forma d n sin (α) = (m + /) λ, con m =,,, 3,. Calcola i due spessori minimi d che producono interferenze costruttive in una pellicola di acqua per una lunghezza d onda incidente λ = 9 nm. Liceo di Lugano Esame di maturità OS FAM
3/ Numeri complessi, fasori, regressione lineare e interferenza di funzioni periodiche a) Verifica con il calcolo che relazioni. π π 6π 8π i i i i i 5 5 5 5 e + e + e + e + e = e mostra che valgono le seguenti π π 6π 8π cos + cos + cos + cos + cos = 5 5 5 5 π π 6π 8π sin + sin + sin + sin + sin = 5 5 5 5 I. ( ) II. ( ) =, semplifica l espressione π π π π 6π 6π 8π 8π cos sin + cos sin + cos sin + cos sin + cos sin 5 5 5 5 5 5 5 5. Verifica, sfruttando la relazione (II), che il valore dell espressione (III) è pari a. b) Utilizzando la formula di duplicazione cos( α ) sin( α ) ( sin ( α )) III. ( ) ( ) In laboratorio un esperimento sulla sovrapposizione di correnti alternate in un circuito elettrico ha fornito sull oscilloscopio la seguente curva. y(t) Lo sperimentatore suppone che si tratti di una funzione che si lascia approssimare da f t = aˆ + aˆ cos ω t + aˆ sin ω t e che abbia periodo T = π. I risultati sperimentali (tutti i ( ) ( ) ( ) dati sono stati riscalati e resi adimensionali) sono riassunti nella tabella seguente e sono relativi a un periodo di f ( t ). t T/5 T/5 3T/5 T/5 y = f(t).33.58...63 c) Mediante regressione lineare, determina la funzione fˆ ( t) aˆ aˆ cos ( ω t) aˆ sin ( ω t) = + + che meglio approssima i dati sperimentali, ossia trova i valori dei coefficienti aˆ, aˆ ˆ, a, sfruttando i risultati ottenuti nei punti precedenti oltre alle relazioni seguenti e arrotondando a quattro cifre decimali. Vale: IV. ( ) π π 6π 8π 5 sin + sin + sin + sin + sin = 5 5 5 5 V. ( ) π π 6π 8π 5 cos + cos + cos + cos + cos = 5 5 5 5 sin ( ) cos( ) Cenno: considera i vettori u =, s = e c =. sin( 8π 5) cos ( 8π 5) d) Determina il valore iniziale f ( ) ed estrapola quello di f ( t ) per t = 8. t Liceo di Lugano 3 Esame di maturità OS FAM
/ Oscillatore armonico e trasformazioni di energia Una molla di costante elastica k e massa trascurabile è vincolata ad un supporto verticale. Alla molla viene appeso un oggetto di massa M e la molla si allunga verticalmente fino a raggiungere una posizione di equilibrio z equilibrio. Successivamente l oggetto, attaccato alla molla, viene spostato ulteriormente verso il basso di un tratto l e viene lasciato libero di oscillare attorno alla posizione di equilibrio. z= z equilibrio z s= s a) Considerando la forza elastica e la forza peso e supponendo, invece, che gli attriti siano trascurabili, scrivi l equazione differenziale che descrive la posizione z( t ) del sistema fisico in esame, con le relative condizioni iniziali. b) Per semplificare la risoluzione è conveniente scegliere un sistema di riferimento con l asse verticale s nel quale l origine coincida con la posizione di equilibrio dell oggetto. Risolvi l equazione differenziale scritta in funzione della nuova variabile s e scrivi la soluzione in funzione dei parametri M, k e l. c) Usando il sistema di riferimento del punto b), scrivi esplicitamente l espressione di ognuna delle diverse forme di energia meccanica possedute dal sistema fisico in esame come una funzione del tempo e mostra che l energia meccanica totale del sistema si conserva. d) Utilizzando i risultati ottenuti nei punti b) e c), calcola (in unità del S.I.) la velocità raggiunta dall oggetto ogni volta che transita dal punto centrale del suo moto oscillatorio (posizione di equilibrio) nel caso in cui: M = grammi, k = 6 N/m e l = cm. e) Supponi ora di analizzare un sistema analogo al precedente, ma con la differenza che il movimento dell oggetto, invece di avvenire in assenza di attriti, ha luogo in un mezzo viscoso, nel quale, cioè, si manifesta una forza di attrito lineare nella velocità F A = - C v, con C valore costante. Usando lo stesso sistema di riferimento introdotto nel punto b), scrivi l equazione differenziale che descrive il nuovo sistema fisico in esame e risolvila algebricamente (senza inserire valori numerici per i parametri), tenendo conto che al tempo t = l oggetto viene lasciato libero di muoversi (rimanendo attaccato alla molla) lungo l asse verticale, partendo con velocità iniziale nulla da un punto a distanza l dalla posizione di equilibrio (posizione in cui la forza totale è nulla) e supponendo che valga la relazione C = (k M) /. Suggerimento: usa il formulario per la soluzione dell equazione differenziale omogenea di secondo ordine. Liceo di Lugano Esame di maturità OS FAM