Interpretazione relativistica del Campo Magnetico (adattamento da Bergamaschini-Marazzini-Mazzoni- Fisica 3 Carlo Signorelli Editore) Obiettivi Osservare, mediante un esempio, che è possibile che in un riferimento il campo sia puramente magnetico o puramente elettrico, mentre nell'altro si osservino entrambi. Applicare le leggi della Relatività speciale Riconoscere che il Principio di relatività, nell ambito della Fisica classica, non è rispettato dai fenomeni elettromagnetici Una carica positiva q è posta, in quiete, a distanza r da un filo di lunghezza L, su cui è distribuita uniformemente una carica Q anch essa positiva (r<<l Densità lineare = Q/L = λ ) Per un osservatore O, solidale con q e con la distribuzione di cariche, sulla carica q agisce una forza elettrica, dipendente dalla carica q dalla distanza r dalla densità lineare di carica, λ, della distribuzione a)si determini b) Quale sarebbe la risultante delle forze, applicate alla carica q, dal punto di vista di un osservatore O in moto rispetto ad O? (La velocità di O è opposta a quella delle cariche, indicata in figura.) c) Si studi lo stesso fenomeno secondo le leggi della Relatività speciale
Soluzione a) Supponendo che la fila di cariche abbia lunghezza infinita, la forza repulsiva agente sulla carica q ha direzione perpendicolare alla distribuzionedi cariche e intensità Infatti il campo elettrico ha le linee di forza perpendicolari alla direzione della distribuzione di cariche e la sua intensità dipende dalla distanza r. Applicando il teorema di Gauss a una superficie cilindrica avente per asse la fila di cariche, di raggio di base uguale a r e altezza, osservando che il flusso è nullo attraverso le due basi mentre attraverso la superficie laterale è si ottiene = quindi b) Secondo l osservatore O la fila di cariche si comporta come una corrente elettrica di intensità Poiché la quantità di carica che passa nell unità di tempo non è altro che il rapporto si ha La corrente I genera un campo magnetico. La circonferenza rappresentata in figura è la linea di campo passante per A, dove è tangente al vettore. Sulla carica q, in moto, agisce quindi la forza di Lorentz =
La carica q risente però anche della repulsione colombiana, come in figura Il valore di B può essere dedotto dalla legge di Biot-Savart il modulo della forza di Lorentz è uguale a Poiché = dove c è la velocità della luce, possiamo scrivere Poiché la forza coulombiana è uguale a se, come è ragionevole supporre, possiamo affermare che e che la risultante delle forze applicate alla carica q è una forza perpendicolare alla direzione della fila di cariche, diretta verso l esterno ( repulsiva) ma di intensità Questo risultato contrasta col principio di relatività in quanto prevede un esperimento, eseguito all interno di un riferimento inerziale, che permette di decidere quale dei due osservatori si muove (l osservatore che misura la forza magnetica) e quale sta fermo ( l osservatore che misura solo la forza elettrica). c) Secondo le leggi della Relatività speciale i calcoli precedenti devono subire alcune modifiche La quantità di carica è invariante nei due riferimenti ma non lo è la densità di carica, la quale, poichè dipende dalla lunghezza, è relativa all osservatore. Infatti, ad una lunghezza misurata da O che è in quiete rispetto alle cariche, corrisponde una lunghezza,misurata da O,per il quale la fila di cariche è in moto con velocità v.
La densità di carica è maggiore per O La forza misurata da O pertanto è F = = La variazione media della quantità di moto è : secondo O SSecondo O L intervallo di tempo in cui agisce la forza sulla carica q è per O il tempo proprio, mentre per O è il tempo improprio Pertanto Pertanto per l osservatore O si ottiene per l osservatore O si ottiene I due osservatori misurano, ciascuno nel suo riferimento, un valore diverso per le lunghezze, per gli intervalli di tempo, per la forza applicata, ma descrivono nello stesso modo la dinamica del fenomeno.
Gli effetti magnetici sono visti come conseguenza degli effetti relativistici, in coerenza con le leggi della Relatività speciale.