Forza viscosa. Abbiamo visto che la forza di attrito in un fluido può essere modellizzata come: F A = kv legge di Stokes (1) F = kv 2 v v

Forza viscosa 1 / 44 Abbiamo visto che la forza di attrito in un fluido può essere modellizzata come: F A = kv legge di Stokes (1) F = kv 2 v v attrito turbolento (2) Per entrambi i modelli l equazione differenziale corrispondente m dv = F A(v) (3) è del tipo a variabili separabili : m dv = F A(v) v(t) v m dv F A (v) = t = t

Moto viscoso: legge di Stokes Nel caso del modello 1 troviamo la soluzione per la velocità e la posizione in funzione del tempo: m dv = k v v(t) v() m dv v = k ln v(t) v() = k/m t t = k t v(t) = v()e k m t = v()e t m τ ; τ = tempo di dimezzamento k x(t) = x() + t v(t) = x() + τv()[1 e t τ ] 2 / 44

Moto viscoso: legge di Stokes Nel caso del modello 1 troviamo la soluzione per la velocità e la posizione in funzione del tempo: Biglia di acciaio in glicerina, v() = 2 m/s, m = 5 g. R = ρvl µ 2 moto laminare v(t) = v()e τ t m ; τ = k τ = m 6πµR.22 s x( ) = v(t) = τv() 5 cm 3 / 44

Moto forzato in fluido viscoso Il moto di un corpo in moto in un fluido viscoso sotto l azione di una forza costante, come la forza peso, è la soluzione dell equazione: ma = kv + k 2 (4) Notiamo che un moto a velocità COSTANTE v c = k 2/k risolve l equazione - per un particolare valore di velocità iniziale. Questa soluzione particolare ci dà quella che è chiamata la velocità limite. Notiamo che se il corpo si muove alla velocità limite allora sul corpo la risultante delle forze è nulla, perché è nulla l accelerazione del corpo. Notiamo infine che non si raggiunge la velocità limite, la si ha come condizione iniziale: quello che succede è che la velocità del corpo tende alla velocità limite. 8 / 44

Moto forzato in fluido viscoso: equazione 9 / 44 Matematicamente possiamo esprimere la soluzione generale della velocità in funzione del tempo per l equazione 4 come la somma della soluzione particolare a velocità costante con la soluzione dell equazione omogenea 1: m dv c m dv(t) + k v c = k v c = k 2 v c = k 2 k + k v(t) = v(t) = Ae t τ ; τ = m k v sol (t) = v(t) + v c = Ae t k 2 τ + k dv sol (t) = dv(t) m dv sol(t) + k(v sol (t)) = k 2 t x(t) = x() + v(t) = x() + v c t + τa[1 e t τ ]

Caduta dentro un fluido viscoso: forza di gravità e legge di Stokes Biglia di acciaio in glicerina, v() = 2 m/s, m = 5 g. m dv = k v + mg v c = m k g = τg.22 v(t) = Ae t τ + vc v() = v A = v v c v(t) = v c(1 e t τ ) da fermo a velocità limite t x(t) = x() + v(t) = + v()e t τ smorzato = x() + v ct + τ(v v c)[1 e t τ ] 1 / 44

Moto turbolento In moto turbolento la forza di attrito è quella dell eq. 2 e, procedendo come nel caso dell eq. 4: m dv = k v2 v(t) m dv v 2 = k v() t = k t 1 v(t) + 1 v() = k/m t v(t) = v() 1 + v k m t t 1/2 = m tempo di dimezzamento kv() Come nel caso 1 abbiamo un tempo di dimezzamento, solo che questa volta dipende anche dalla velocità iniziale. 22 / 44

Moto turbolento Nel caso di forza costante F = mg abbiamo ancora una velocità limite: m dvc + k v 2 c = k v 2 c = mg v c = mg k 23 / 44 Ma non possiamo più usare come soluzione una soluzione particolare più una soluzione dell omogenea. Fortunatamente è ancora possibile trovare la soluzione analitica (nel caso di partenza da fermo): m dv + k v2 = mg v(t) v() dv 1 k mg v2 = g t e 2gt/vc 1 v(t) = v c e 2gt/vc + 1 2gt 2gt/v c 1 v(t) v c 2 v c gt v c = g t = 2 v(t) v c t r = 2vc g = gt t u = vc 2g

L esperienza di Galileo...Ìl mostrarci l esperienza che due palle di grandezza eguale, ma di peso l una 1 o 12 volte più grave dell altra, quali sarebbero, per esempio, una di piombo e l altra di rovere, scendendo dall altezza di 15 o 2 braccia, con pochissimo differente velocità arrivano in terra... (G.Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (1638)) τ Stokes = m 6πµR 16 s(!) v cstokes = τg 1 7 m/s(!) R e = ρvl µ 17 24 / 44

L esperienza di Galileo...Ìl mostrarci l esperienza che due palle di grandezza eguale, ma di peso l una 1 o 12 volte più grave dell altra, quali sarebbero, per esempio, una di piombo e l altra di rovere, scendendo dall altezza di 15 o 2 braccia, con pochissimo differente velocità arrivano in terra... (G.Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (1638)) mg v c = 22(7) m/s piombo(legno) 1/2CρA R e = ρvl µ 15 t rturbo = 2v c 45(14) s g t u < t r /4 11(3) smoto uniformemente accelerato x(t u ) = 1/2gt 2 u 5(5) m 25 / 44

Lavoro di una forza Si parla di lavoro per la prima volta nel 1826 (source: Wikipedia), quindi in tempi relativamente moderni. Probabilmente perchè la quantificazione e lo studio del lavoro diventa importante con l avvento delle macchine a vapore (introdotte intorno al 178, stessi anni dell introduzione del Cavallo Vapore )... Una forza compie un lavoro quando viene spostato il suo punto di applicazione nella direzione in cui si esercita. Quantitativamente il lavoro effettuato è lineare con lo spostamento e con l intensità della forza, e si determina col prodotto di queste due quantità. Il lavoro compiuto da una forza può essere negativo, se il verso dello spostamento è opposto al verso della forza. L unità di misura del lavoro è il Joule J, e dimensionalmente il lavoro è mv 2 t 2. 26 / 44

Lavoro compiuto da una forza A titolo di esempio consideriamo un sistema composto da un peso appeso ad un cavo ideale e sollevato con l aiuto di una puleggia. ma = mg T 27 / 44

Lavoro compiuto da una forza A titolo di esempio consideriamo un sistema composto da un peso appeso ad un cavo ideale e sollevato con l aiuto di una puleggia. ma = mg T w F = F x w mg = mg x Notiamo che non occorre risolvere l equazione dell oggetto per determinare il lavoro compiuto dalla forza peso e dalla forza di gravità. 28 / 44

Prodotto scalare Forza e spostamento possono non avere la stessa direzione. In tal caso il lavoro compiuto dalla forza si determina a partire dalla componente dello spostamento collineare con la forza. L operazione vettoriale che permette di fare questo calcolo si chiama prodotto scalare Il prodotto scalare di due vettori F e x si scrive F x. Il risultato dell operazione è uno scalare - cioè nel nostro caso un numero reale. In termini di componenti il prodotto scalare è definito come: F x = F i x i = F x x x + F y x y + F z x z i=x,y,z Conoscendo i moduli e l angolo θ tra i vettori possiamo anche scrivere il prodotto scalare come: F x = F x cos (θ) 29 / 44 Il prodotto scalare è distributivo e commutativo: A (B + C) = A B + A C e A B = B A.

Prodotto scalare A B = A B cos θ = A x B x = AB 3 / 44

Prodotto scalare A B = A B cos θ = A x B x + A y B y = 31 / 44

Prodotto scalare A B = A B cos θ = A x B x + A y B y = A x B x 32 / 44

Prodotto scalare A B = A B cos θ = A B = A x B x + A y B y = A x B x 33 / 44

Prodotto scalare A B = A (B x + B y ) = = A B x = A x B x 34 / 44

Prodotto scalare A B = A B cos θ = = A x B x + A y B y 35 / 44

Prodotto scalare A B = A (B + B ) = A B A = B A A = = B A B = A B B Il lavoro è il prodotto della forza parallela allo spostamento per lo spostamento, oppure dello spostamento parallelo alla forza per la forza 36 / 44

Lavoro di una forza lungo una traiettoria Abbiamo già visto che una traiettoria può essere descritta come una serie di piccoli spostamenti. Quando un corpo si muove lungo una traiettoria sotto l azione di una forza, abbiamo che la forza effettua un lavoro. Possiamo calcolare il lavoro della forza lungo la traiettoria come la somma dei lavori: w F = i F (R i) R i,i+1 Al limite per spostamenti infinitesimi dl abbiamo un integrale di linea che rappresenta la definizione più generale di lavoro: il lavoro compiuto da una forza F che sposta il suo punto di applicazione da x 1 a x 2 lungo una curva C è w F dl (5) In generale il lavoro dipende dal cammino percorso C. C 37 / 44

Lavoro di una forza lungo una traiettoria 38 / 44

Lavoro della forza peso lungo una traiettoria parabolica Proviamo, usando l espressione 5, a calcolare il lavoro compiuto dalla forza peso su un proiettile in moto parabolico dalla partenza al punto di massima altezza: F dx = (, mg) (dx, dy) = mg dy = mg dy(t) v y(t) = dy(t) dy = v y(t) tmax w = F dx = mgv y(t) C v y(t) = v y() gt tmax t max = vy() g mgv y(t) = mgv y()t max + 1 2 mg2 t 2 max w mg = 1 2 m(vy())2 Il lavoro compiuto è negativo - il prodotto scalare tra spostamento e forza peso è sempre minore di zero lungo il ramo di traiettoria considerato. 41 / 44

Teorema lavoro- 42 / 44 Supponiamo di avere un corpo che sotto l azione della risultante di forze F che agiscono su di esso percorre una traiettoria. È possibile calcolare il lavoro di tutte le forze che agiscono sul corpo in funzione della velocità iniziale e finale del corpo stesso. F v = F dx t2 t 1 F v = = i t2 = t2 t2 t 1 dx i F i t 1 = i t 1 F v = C t2 t 1 m 1 2 t2 t 1 F dx = xi2 m dv v = F idx i = x i1 C F dl d( v v) = 1 2 mv2 (t 2) 1 2 mv2 (t 1) F dl = 1 2 mv2 (t 2) 1 2 mv2 (t 1)

Energia 43 / 44 La grandezza 1 2 mv2 è chiamata Energia Cinetica e la sua variazione corrisponde ad un lavoro fatto sul corpo. L unità di misura dell è il Joule J = kgm 2 s 2 Se un corpo non ha una variazione di, il lavoro complessivo effettuato dalle forze che agiscono su quel corpo è nullo: oggetto in moto circolare uniforme: accelerazione centripeta, quindi forza centripeta. Varia la direzione della velocità, non la velocità scalare, per cui non c e variazione di e la forza centripeta non compie lavoro oggetto sollevato o spostato a velocità costante: la risultante delle forze è nulla, e quindi non compie lavoro. - come del resto ci aspettiamo visto che la forza centripeta è perpendicolare alla traiettoria in ogni punto per cui il suo prodotto scalare con lo spostamento è nullo.

Potenza 44 / 44 La potenza è una grandezza che esprime la variazione del lavoro in funzione del tempo: P = d C F dl Possiamo riscrivere l integrale in una forma che dipende dal tempo, cambiando le variabili dx = v e abbiamo per la potenza istantanea un espressione che dipende dalla forza agente sul corpo e dalla sua velocità: P = d t F v = F v Nel caso conosciamo il lavoro effettuato in un certo intervallo di tempo possimo determinare la potenza media: < P >= 1 d t F v = 1 F dl = 1 t t t w t C