1 Funzioni Cos'è una funzione? E' una legge che associa ad un numero x un altro numero y. Indichiamo questa corrispondenza con: y= f(x) La corrispondenza tra x ed y è effettivamente una funzione se ad ogni x corrisponde un solo valore y: potranno però esserci diversi valori x associati allo stesso y. Rappresentazione di una funzione f(x). 1) analitica es. f(x)=x +1 f(x)=5 sin(x+5) f(x)=3 ln(x)+e -x 3) grafica ) numerica (con tabelle) x f(x) 1 10 1 3 1 4 10 8 9 4) verbale "f(x) è l'area di un cerchio di raggio x" Questa frase definisce in modo univoco f(x). Sarà compito del matematico trovare le espressioni analitiche, numeriche o grafiche per f(x) espresse verbalmente. Qual è la differenza tra funzione ed equazione? L'equazione è un uguaglianza tra due espressioni contenenti delle variabili incognite. I valori delle incognite per cui l uguaglianza è soddisfatta sono dette radici dell equazione. Ad esempio, un equazione può essere un vincolo imposto ad una funzione f(x), che sarà verificato solo per alcuni dei valori x per i quali è definita la funzione. Si esprime con condizioni del tipo: f(x)=0.
Esempi e controesempi Quiz Quale delle due tabelle non è una funzione? Tabella 1 x G 5 1 6 7 7 8 7 9 30 Tabella x G 5 1 6 7 7 8 7 8 30 Soluzione La tabella non rappresenta una funzione. Infatti essa riporta due valori differenti della variabile G in corrispondenza dello stesso valore x (x=8). In questo esempio, la tabella1 riporta il peso di un certo bambino in funzione dell'età (x=età in anni; G=peso in kg), e rappresenta quindi una funzione; la tabella invece riportare età (x) e peso (G) di un gruppo di 5 bambini. E' quindi una tabella statistica, e non rappresenta una funzione. Quiz Le frasi in corsivo definiscono rispettivamente una funzione e un equazione. Esprimerle in forma analitica. Un ciclista pedala percorrendo 1 km ogni ora. Dopo quante ore avrà percorso 4.3 km? La prima frase definisce la legge che lega i chilometri percorsi y in funzione delle ore di viaggio x. In forma analitica: y=1x La seconda frase chiede per quali valori x la variabile y risulta pari a 4.3 km. Definisce quindi il vincolo che obbliga la funzione y=f(x) ad essere pari a 4.3 1x=4.3 Nella forma f(x)=0, 1x-4.3=0 In questo caso specifico, la soluzione dell'equazione (radice) esiste ed è unica: x=4.3/1
3 Equazioni Algebriche Equazioni di Primo Grado (o lineari ad una incognita) Hanno la forma: ax+b=0 con a 0. Soluzione: si sottrae b da entrambi i membri dell equazione ax+b-b =-b ax =-b Essendo a 0, possiamo dividere entrambi i membri per a ottenendo la soluzione: x =-b/a Equazioni di Secondo Grado Hanno la forma: ax +bx+c=0 con a 0 (se a=0, l equazione diventa di primo grado). Per risolverla, conviene mettere in evidenza il termine x in questo modo: ax +bx+c=0 [dividiamo per a] x +b/a x+c/a=0 [aggiungiamo e sottraiamo b /4a ] x +b/a x+ b /4a + c/a - b /4a =0 [si riconosce il quadrato di un binomio nei primi 3 termini] (x+b/a) + c/a - b /4a =0 (x+b/a) - ( b -4ac)/4a =0 Indicando per comodità = b -4ac abbiamo quindi (x+b/a) =4a Se >0 esistono soluzioni distinte: b x 1 = b x = b 4ac a b 4ac a ; Se =0 esiste una soluzione "doppia": x 1 = x =-b/a Se <0 non esistono soluzioni reali. Considerando però l insieme dei numeri complessi C, l equazione ammette ancora due soluzioni, z 1 e z, con la stessa parte reale e parti immaginarie opposte. Quiz Dimostrare l eq. algebrica ax +bx+c=0 di cui sono soluzione le radici x 1 ed x si ottiene svolgendo l espressione (x- x 1 )(x- x ) Equazioni di Grado n-esimo Hanno la forma a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x +a 0 =0 con a n 0. Si dimostra che ammettono sempre n soluzioni x 1, x s, x n,, non necessariamente distinte, ed appartenenti all insieme dei numeri complessi C.
4 Sistemi di equazioni Sono composti da più di una equazione, e possono comparire più incognite. Un sistema di m equazioni ed n incognite ha la forma: f1 x1, x,..., xn 0 f x1, x,..., xn 0... fm x1, x,..., xn 0 Soluzione del sistema sono ogni gruppo di n valori per le n variabili (x 1, x n ) che soddisfano tutte le equazioni del sistema. Un esempio sarà presentato alla fine di questo capitolo: si risolverà il sistema di due equazioni in due incognite che rappresenta l intersezione tra una retta ed una circonferenza: y +x - 6=0 x + y - 6x - 7y = 0 In questo esempio troveremo due soluzioni (x,y). La prima soluzione è: x=3 e y=0; la seconda è x=1 e y=4 Quiz Verificare che (x=3; y=0) è soluzione del sistema di equazioni riportato qui sopra, e che (x=-3; y=0) non è soluzione. Sistemi di equazioni lineari Sono composti da m equazioni lineari con n incognite. La forma generica è: a11x1 a1x... a1 nxn b1 0 a1x1 ax... anxn b 0... am1x1 amx... amnxn bn 0 Assumiamo che nessuna delle m equazioni sia combinazione lineare dalle altre. In tal caso: se m=n (se cioè il numero di equazioni è uguale al numero di incognite), il sistema ha al massimo una sola soluzione: x1, x,..., x n; se m>n (numero di equazioni maggiore del numero di incognite) il sistema non ha soluzioni; se m<n (numero di equazioni minore del numero di incognite) il sistema ha infinite soluzioni.
Esercizi. 5 1. a) Quanto deve valere c affinché l equazione x +x+c=0 abbia due soluzioni coincidenti? b) Disegnare nel piano complesso le soluzioni per c=1. Le radici dell equazione: ax 3 + bx + cx+ d=0 sono x 1 =5; x =3; x 3 =4. Trovare i coefficienti a, b, c, d. 3. Risolvere i sistemi 3x 5y 6 0 ; x y0 3x5y6z 0 xz 0 x y 4 0 4. Dire quante soluzioni ha il sistema: x y 6 0 5x10y 30 0 e spiegarne il perché.
6 Geometria Analitica. In matematica è molto utile rappresentare in modo grafico concetti altrimenti espressi in forma analitica, per poter visualizzare il problema. E' anche utile rappresentare elementi della geometria in forma analitica per applicare metodi di analisi matematica alla risoluzione di problemi geometrici. Il piano cartesiano permette di associare geometria e metodi analitici. Asse cartesiano L asse cartesiano associa un punto di una retta ad ogni numero reale. Si sceglie un punto O come origine della retta e si associa ad O il numero 0 ; poi si sceglie un secondo punto a destra di O e ad esso si associa il numero 1. Con una proporzione si definisce così una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni punto della retta uno ed un solo numero reale. Piano cartesiano E il piano definito da due assi cartesiani perpendicolari che si incontrano nelle rispettive origini. L asse orizzontale è l asse X o delle ascisse; l asse verticale è l asse Y o delle ordinate. Ogni punto P del piano è quindi associato in modo biunivoco alla coppia di numeri reali (x, y). Rappresentazione di punti nel piano cartesiano.
7 Distanza tra punti La distanza d di un punto dall origine può essere ricavata col teorema di Pitagora: d =x +y Distanza di un punto dall origine. Nell esempio: d =(3 +1 ); d=10=3.16 Analogamente si ricava la distanza tra due generici punti A e B: Quindi: Dati i punti (x 1,y 1 ) e (x,y ), la loro distanza d è: Distanza tra due punti: d AB =[(x A -x B ) +(y A -y B ) ] ½ d x x y 1 1 y Esempi. I punti (3,) e (3,-) si trovano in posizione simmetrica rispetto all asse X. Quanto distano tra loro? Risposta: d 3 3 4 I punti (3,) e (-3,-) si trovano in posizione simmetrica rispetto all origine O. Quanto vale la distanza d tra di loro? Quanto vale d 1, distanza del primo punto da O, e d, distanza del secondo punto da O? Risposta: 3 3 36 16 5 7. 1 d ; d 3 0 0 13 3. 605; d 3 0 0 13 3. 605 1
Equazione della retta. Consideriamo i punti P 1, P, P 3, ecc allineati su di una retta passante per l origine. Tutti i triangoli rettangoli definiti dall origine O e dai punti P i sono tra loro simili. 8 I triangoli definiti dall origine O, dai punti Pi appartenenti ad una retta passante per l origine, e dall asse orizzontale sono tra loro simili. Quindi vale la proporzione: y1 y y x x x Chiamiamo m questo rapporto costante. Per ogni punto P(x,y) della retta avremo quindi che: 3 1 3 y m x Questa è quindi l equazione di una retta passante per l origine: y=mx. Per trovare la retta che attraversa l asse verticale nel punto +q, basta sommare +q alla equazione precedente: Il parametro m è detto coefficiente angolare della retta, e ne definisce la pendenza. Il parametro q è detto intercetta della retta e ne definisce l intersezione con l asse verticale.
9 Retta per due punti. Se ho i punti A (x A,y A ) e B (x B,y B ), qual è l espressione analitica della retta che passa per A e per B? Se passa sia per A che per B, i parametri incogniti m e q devono soddisfare un sistema di due equazioni: il passaggio per A (prima equazione) e il passaggio per B (seconda equazione) ya mxa q yb mxb q Dalla seconda: q=y B -mx B Sostituendo q nella prima equazione: y A =mx A + y B -mx B Quindi ya yb m ; x A x B Sostituendo ora m in q=y B -mx B ybxa yaxb q xa xb Con qualche passaggio, si ottiene l equazione della retta passante per i punti A e B: y yb x xb y y x x A B A B Esercizio. 5. Rappresentare l equazione x+3y-6=0 come retta nel piano cartesiano indicandone il coefficiente angolare. 6. La retta A passa per i punti (x=3,y=6) e (x=4,y=15); la retta B per i punti (x=,y=) e (x=7,y=5). Quale delle due rette ha la maggior inclinazione?
Rappresentazione Grafica di Sistemi di Equazioni Algebriche Un sistema di due equazioni del primo ordine può essere rappresentato da due rette nel piano. La soluzione del sistema è data graficamente dai punti di intersezione tra rette. Il sistema può avere un'unica soluzione (due rette che si intersecano in un punto), nessuna soluzione (rette parallele) o infinite soluzioni (la seconda equazione coincide con la prima). 10 Un sistema di 3 equazioni del primo ordine in genere non ha soluzioni, perché difficilmente 3 rette generiche si incontrano tutte nello stesso punto (vedi figura qui sotto, pannello di sinistra). Se invece ciò accade (come nell esempio del pannello di destra), l equazione di una delle tre rette è una combinazione lineare delle altre due. Esercizio. Il seguente sistema di 3 equazioni lineari è rappresentato graficamente nel pannello di destra della figura qui sopra. y x 0 y x 1 0 y x 4 0 Dalla figura si vede che esiste una soluzione, e quindi necessariamente una delle 3 equazioni è combinazione lineare delle altre due. A) Trovate il punto di intersezione delle tre rette B) Dimostrare trovando i coefficienti a e b che la terza equazione: y+x-4=0 si ottiene come combinazione lineare delle altre due: a(y-x)+b(y-x-1)=0
Equazione della circonferenza. La circonferenza di raggio R centrata sul punto P 0 (x 0, y 0 ) è definita come luogo geometrico dei punti che distano della quantità R da P 0. Abbiamo visto che la distanza d da P 0 di un generico punto P di coordinate (x,y) è data dall espressione: d =(x-x 0 ) +(y-y 0 ) Imponendo che d sia uguale ad R otteniamo l equazione della circonferenza di raggio R: (x-x 0 ) +(y-y 0 ) =R 11 C(x 0,y 0 ) R Altri dettagli. Svolgendo (x-x 0 ) +(y-y 0 ) =R otteniamo l espressione: x + y + ax + by + c = 0 dove il centro della circonferenza è: e il raggio R è: x 0 =-a/; y 0 =-b/; R = (a/) + (b/) - c Affinché una somma contenente i termini x ed y rappresenti effettivamente una circonferenza è necessario che 1) x ed y abbiano gli stessi coefficienti; ) non compaia il prodotto xy 3) l espressione= (a/) + (b/) - c sia >0 Esercizio. 7. Quando una circonferenza di raggio R interseca l asse delle X in due punti distinti?
1 Esempio. Considerate la retta che passa per i punti (x=0,y=3) e (x=1,y=0) e la circonferenza di centro (x=1,y=) e raggio R=1. Dite se la retta interseca la circonferenza. Se sì, in quali punti la interseca? y yb x xb L equazione della retta che passa per (x A,y A ) e (x B,y B ) è: y y x x Nel nostro caso: y 0 1 x 3 0 0 1 A B A B cioè: y=-3x+3 L equazione della circonferenza di raggio R e centro (x 0,y 0 ) è: (x-x 0 ) +(y-y 0 ) =R Nel nostro caso: (x-1) +(y-) =1 (x -x+1) +(y -4y+4)-1=0 cioè: x +y -x-4y+4=0 I punti di intersezione soddisfano entrambe le equazioni. Li trovo risolvendo il sistema: x y y 3x 3 x 4y 4 0 Sostituisco nella seconda equazione la y espressa dalla prima equazione: x + (-3x+3) -x -4(-3x+3) +4=0 x + 9x -18x+9-x +1x-1 +4=0 10 x -8x+1=0 Il determinante è: =b -4ac=64-40=4 Poiché >0, allora abbiamo radici distinte, x 1 e x : x 1 =0.645 x =0.155 b x 1/ x = = a 8 4.899 = 0 Sostituendoli nella equazione della retta otteniamo: y 1 =-3 x 1 +3 = 1.065 y =-3 x +3 =.535
13 Quindi i due punti di intersezione sono: (x 1 =0.645; y 1 =1.065) e (x =0.155; y =.535)
Coniche 14 L'iperbole e' il luogo geometrico dei punti del piano per cui e' costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Sono curve ottenute intersecando un cono con un piano. A seconda del tipo di intersezione, si possono avere 3 tipi di coniche: le ellissi, le parabole e le iperboli. L'ellisse e' il luogo geometrico dei punti del piano per cui e' costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi iperbole La parabola e' il luogo geometrico dei punti del piano per cui e' uguale la distanza da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. Ellisse Parabola L espressione generale di una conica è: ax + bxy +cy + dx + ey + f = 0
Compiti 15 1. a) Quanto deve valere c affinché l equazione x +x+c=0 abbia due soluzioni coincidenti? 1. b) Disegnare nel piano complesso le soluzioni per c=1. Le radici dell equazione: ax 3 + bx + cx+ d=0 sono x 1 =5; x =3; x 3 =4. Trovare i coefficienti a, b, c, d. 3. Risolvere i sistemi 3x 5y 6 0 ; x y0 3x5y6z 0 xz 0 x y 4 0 4. Dire quante soluzioni ha il sistema: x y 6 0 5x10y 30 0 e spiegarne il perché. 5. Rappresentare l equazione x+3y-6=0 come retta nel piano cartesiano indicandone il coefficiente angolare. 6. La retta A passa per i punti (x=3,y=6) e (x=4,y=15); la retta B per i punti (x=,y=) e (x=7,y=5). Quale delle due rette ha la maggior inclinazione? 7. Quando una circonferenza di raggio R interseca l asse delle X in due punti distinti?