3 TEORIA MODALE IN UNA GUIDA CIRCOLARE Per studiare la propagazione in fibra ottica dal punto di vista della teoria elettromagnetica bisogna partire dalle equazioni di Maxwell, in questo capitolo si discute la loro risoluzione nel caso di fibre a nucleo uniforme, vale a dire con profilo di tipo step-index. In realtà solo le fibre monomodali di tipo matched-cladding (fìg. 3.1 ) si possono descrivere con un profilo abbastanza prossimo a quello step-index (vedi par. 6.3). La teoria che qui viene svolta fornisce una chiave di comprensione dei fenomeni e permette di ricavare le espressioni che, opportunamente modificate nei parametri, danno risultati aderenti al vero anche nel caso di fibre con profilo d'indice arbitrario, che verrà trattato nel capitolo quinto.
Le equazioni di Maxwell nella loro forma più generale possono esprimersi come*: Nel caso di materiale dielettrico, lineare, isotropo ed omogeneo, con assenza di correnti di conduzione e di cariche elettriche libere, si hanno le due condizioni: Si deve poi ricordare che i quattro vettori e, h, d, b sono legati dalle due relazioni: dove ε = ε 0 ε r mentre µ = µ 0 µ r La figura 3.2 introduce i due sistemi di riferimento che verranno utilizzati nel seguito. In primo luogo un sistema di coordinate cartesiane con origine nel centro della sezione iniziale della fibra, assi x e y nel piano di questa stessa sezione, asse z nella direzione dell'asse nel verso delle distanze crescenti dalla sezione iniziale. Verrà pure utilizzato un sistema di coordinate polari cilindriche, coassiali alla fibra, considerata circolarmente simmetrica. La coordinata radiale r è la distanza del punto generico dall'asse della fibra; la coordinata azimutale Ф rappresenta l'angolo formato, su una sezione ortogonale della fibra, dalla proiezione del raggio vettore del punto su tale sezione rispetto ad un semiasse di riferimento; la coordinata longitudinale z rappresenta la distanza del punto dalla sezione d'ingresso. I versori delle coordinate r e Ф sono tali da formare, con il versore di z, una terna ortogonale. Le generiche leggi di variazione nel tempo del campo elettrico e del campo magnetico possono essere espresse come sovrapposizione di onde monocromatiche. Indicando con ω la pulsazione e con t il tempo si può porre quindi: * Con le lettere minuscole in neretto si indicano i vettori nel dominio del tempo, con le maiuscole nel dominio della frequenza.
Passando nel dominio della frequenza e introducendo i fasori rappresentativi delle rispettive grandezze, si può scrivere quindi: Se si suppone infine che µ ed ε siano costanti indipendenti dalla posizione, tenendo conto delle (3.5) e (3.6) si può scrivere: Poiché le due equazioni hanno la stessa forma è sufficiente concentrarsi sulla prima. Ricordando la relazione vettoriale: e poiché dalle (3.1), (3.2), (3.3) risulta: si può scrivere finalmente la (3.7) come:
dove: Nella (3.11), che è l'equazione delle onde, k è il numero d'onda nel vuoto, n è l'indice di rifrazione del mezzo in cui avviene la propagazione. Equazioni identiche alla (3.11) valgono per ognuno dei vettori H, D, B. Assumendo che la propagazione avvenga in un mezzo senza perdite, con costante di propagazione di fase nella direzione z pari a β, si può porre: Dove si è indicato con il pedice "0" il valore assunto nell'istante di riferimento. Sostituendo le (3.13) e (3.14) nelle equazioni (3.5) e (3.6) si può ottenere un insieme di 6 equazioni differenziali alle derivate parziali che stabilisce una relazione tra tutte le 6 componenti cartesiane di E 0 ed H 0 : Dalle prime quattro di queste si può arrivare ad esprimere tutte le componenti trasversali di campo in funzione delle due componenti longitudinali E z ed H z, e sostituendo poi nelle ultime due si ottengono le 6 relazioni esplicite di seguito riportate:
Dove si è introdotto il parametro: che viene detto costante di fase trasversa, la ragione di tale denominazione verrà chiarita nel seguito. Vista la simmetria circolare della fibra, conviene esprimere le variazioni spaziali in termini di coordinate cilindriche r, Ф e z. Vengono riportate di seguito le espressioni che si ottengono, ripetendo la procedura vista in precedenza, per ognuna delle componenti di campo elettrico e magnetico:
Dalle relazioni precedenti è chiaro che una volta determinate le componenti assiali del campo E z ed H z, si potranno immediatamente ottenere le componenti trasversali E r, E Ф, H r, H Ф. Per risolvere la (3.18) si deve ricorrere alla separazione delle variabili, vale a dire [ 1 ] : La condizione necessaria e sufficiente per la separazione delle variabili può essere espressa come: La (3.18) diventa quindi: Il termine h appena introdotto deve essere intero, infatti la (3.20) ha soluzioni del tipo: Poiché deve risultare: si deve avere: In conclusione la (3.18) può essere scissa nelle due equazioni differenziali:
La (3.25) ha soluzioni di tipo sinusoidale: L'equazione (3.26) invece ha soluzioni diverse a seconda che il parametro β t definito dalla (3.17) sia reale o immaginario. Nel caso di β t reale, l'equazione ha come soluzioni le funzioni di Bessel di prima e seconda specie: che sono state riportate in figura 3.3. Nel caso di β t immaginaria, l'equazione (3.26) ha come soluzioni le funzioni modificate di Bessel di prima e seconda specie: che sono riportate in figura 3.4.
Le (3.28) e (3.29) forniscono le funzioni che soddisfano la (3.26), per capire quali di esse si prestino alla descrizione dell'andamento del campo in una fibra ottica è necessaria qualche ulteriore considerazione. Infatti, basandosi sul rilievo sperimentale, si può stabilire che: - l'intensità di campo sull'asse della fibra è finita; - il campo si attenua esponenzialmente, al di fuori del nucleo, in direzione trasversa a quella di propagazione. Ora, perché il campo risulti evanescente al di fuori del nucleo, β t deve essere immaginaria e valgono quindi le (3.29) ma, se il nucleo ha raggio a, la soluzione I non è possibile per r > a in quanto, al crescere del suo argomento, la funzione I non si mantiene finita e non può quindi rappresentare un andamento esponenziale decrescente. Nel mantello è invece accettabile la soluzione K che tende esponenzialmente a zero man mano che il suo argomento cresce, e cioè man mano che ci si allontana dall'asse. Del resto la stessa funzione K non può rappresentare il campo nel nucleo perché diverge per r tendente a zero, d'altra parte non può valere nel nucleo la soluzione I perché incompatibile con la K per r = a, cioè all'interfaccia nucleo-mantello le due funzioni non hanno stessa derivata nel punto. Bisogna ricorrere allora alle (3.28), valide per β t, reale; ma anche la soluzione Y non è possibile per 0 < r < a in quanto essa
non è finita per r tendente a zero; nel nucleo la soluzione è data quindi dalla funzione J che è tale da soddisfare anche la condizione al contorno con la K (possibilità di raccordare senza discontinuità le due curve all'interfaccia nucleo-mantello). In conclusione β t deve essere reale nel nucleo dove avviene la propagazione guidata, ed immaginaria nel mantello dove compare l'attenuazione esponenziale in direzione trasversale; per la definizione (3.17) questo implica: Se si introducono i nuovi parametri: si può finalmente esprimere la soluzione completa delle (3.25) e (3.26) per tutte le componenti del campo elettromagnetico in una fibra di tipo step-index. Infatti, interpretando la soluzione espressa dalle (3.27-3.29) alla luce della posizione (3.19) di partenza, per le considerazioni appena svolte e ricordando che campo elettrico e campo magnetico, pur dovendo soddisfare alla medesima equazione (3.11), devono essere tra loro ortogonali, si ottiene: - nel nucleo della fibra
- nel mantello invece Se non specificato diversamente, qui e nel seguito il simbolo J' m (u)(ok' m (w)) indica la derivata della funzione rispetto al suo argomento. Le costanti che compaiono nelle relazioni precedenti si possono ricavare a partire dalle condizioni al contorno; l'adozione del seno o del coseno ricade in una arbitrarietà che verrà meglio precisata nel seguito, ma deve essere tale da rendere possibile l'applicazione delle condizioni di continuità all'interfaccia tra nucleo e mantello. Indicando con il pedice 1 le grandezze relative al nucleo e con 2 quelle relative al mantello, le condizioni per la continuità del campo all'interfaccia risultano: dove i pedici Ф ed r denotano le componenti tangenziale e radiale del campo. Sostituendo nelle relazioni (3.35) le espressioni perle componenti di campo desumibili dalle (3.33) e (3.34) con la condizione r = a si ottiene (per un materiale non magnetico µ 1 = µ 2 = µ 0 ):
Le quattro equazioni così ottenute costituiscono un sistema lineare omogeneo che ammette una soluzione non banale se il relativo determinante è nullo. Ma questo implica che almeno una delle equazioni risulti linearmente dipendente dalle altre (minore di ordine tre diverso da zero), una delle incognite deve fungere allora da parametro e le espressioni che si ottengono a partire da solo tre equazioni devono soddisfare la quarta. Imponendo questo vincolo si determina la forma generale dell'equazione che esprime la condizione al contorno, essa risulta: Le soluzioni delle equazioni di Maxwell espresse dalle (3.33) e (3.34) vengono dette modi di propagazione della guida d'onda (dielettrica, a simmetria cilindrica, isotropa ed omogenea). Le soluzioni che contemporaneamente soddisfino le condizioni al contorno (3.37) corrispondono ad un campo elettromagnetico confinato nello spazio della guida e si parla pertanto di modi guidati della fibra. Il concetto di modo è molto importante per comprendere la propagazione in fibra, pertanto viene di seguito presentata una classificazione dei diversi modi di propagazione con riferimento, anzitutto, al valore di m definito con la (3.24).
Caso di m = 0 In tal caso i termini che contengono m nelle equazioni (3.33) e (3.34) si annullano. Le soluzioni possibili si possono separare in due gruppi indipendenti: 1. Se si assume B = D = 0, si ottengono modi per i quali solo E z, E r ed H Ф sono presenti, mentre H z = H r = E Ф = 0 essi vengono detti modi TM (trasversi magnetici) perché H z è nullo. Per la prima e la quarta delle (3.36), la (3.37) diventa: 2. Se si assume A = C = 0, si ottengono modi per i quali solo H z, H r ed E Ф sono presenti, mentre E z = E r = H Ф = 0; essi vengono detti modi TE (trasversi elettrici) perché E z è nullo. Per essi, per la seconda e la terza delle (3.36), la (3.37) diventa: Caso di m > 1 In questo caso le soluzioni non possono essere separate nei due gruppi TE e TM, sia H z che E z sono sempre diversi da zero e si parla pertanto di modi ibridi. E utile a questo punto introdurre una semplificazione derivante dalla struttura stessa della fibra ottica, gli indici di rifrazione del nucleo e del mantello sono infatti molto vicini tra loro dando luogo ad un debole effetto guidante che si può esprimere con l'approssimazione ε 1 ε 2. In questa ipotesi i modi TM degenerano nei TE con la (3.39) che diventa valida per entrambi e può scriversi come: Per i modi ibridi la (3.37) si semplifica e diventa: Questa equazione da luogo a due gruppi di soluzioni a seconda del segno prescelto per il termine a secondo membro.
1. I modi per i quali si adotta il segno positivo vengono detti EH, per essi la (3.41 ) diventa: 2. I modi per i quali si adotta il segno negativo vengono detti HE, per essi la (3.41 ) diventa: La distinzione tra modi ibridi di tipo EH ed HE è più che altro frutto della tradizione, va rilevato comunque che mentre nei primi è relativamente forte il campo magnetico assiale, nei secondi è il campo elettrico ad essere relativamente sostenuto. Nell'ipotesi di guidanza debole, dalle (3.40), (3.42) e (3.43) si può ottenere un'unica espressione per le quattro famiglie di modi fin qui considerate. Infatti, se si introduce il parametro: tutte le tre equazioni possono essere scritte nella forma comune: Quadrando e sommando le (3.31) e (3.32) che definiscono i parametri u e w, si ottiene: A parte l'introduzione del nuovo parametro frequenza normalizzata V, che verrà diffusamente utilizzato nel seguito, la coppia di equazioni (3.45) - (3.46) consente di ricavare per ogni modo i valori di u e di w e quindi della costante di propagazione β. Si dispone a questo punto di tutti gli strumenti che servono a caratterizzare comple-
tamente ciascuno dei modi di propagazione in una qualsiasi fibra di tipo step-index. A partire dalle caratteristiche della fibra (n 1, a, ) e stabilita la lunghezza d'onda della luce, si può calcolare la frequenza normalizzata (3.46); servendosi della (3.45) si può ricavare u in funzione di w ed infine dalla (3.31) si può ricavare β. Si noti che la (3.45) è risolvibile solo con metodi numerici. 3.1 LINEE DI CAMPO DEI MODI Sulla base delle considerazioni svolte in precedenza si può determinare l'andamento delle linee di forza del campo elettrico e del campo magnetico nella generica sezione trasversale della fibra. Per definizione le linee di forza sono tali che, in ogni punto, il vettore di campo risulti tangente ad esse. Con riferimento alla figura 3.5, ed indicando con r(ф) la funzione che descrive la generica linea di flusso del campo elettrico, si può porre: Per determinare il rapporto a secondo membro si può ricorrere alle (3.33) e (3.34), dove le due costanti A e B possono essere espresse l'una in funzione dell'altra. Assumendo valida l'ipotesi di debole guidanza, dalle (3.36) si ottiene infatti:
dove il segno positivo vale per i modi EH mentre quello negativo per i modi HE. In definitiva, tenendo conto delle definizioni date in precedenza per ciascuno dei modi della guida, si dovranno risolvere le seguenti equazioni differenziali: Integrando le (3.49) per i diversi casi si ottengono le funzioni che esprimono l'andamento del campo elettrico sulla sezione della fibra; un procedimento analogo può essere svolto per il campo magnetico. I risultati sono riassunti nella tabella 3.1: Nella figura 3.6 sono riportati gli andamenti delle linee di flusso del campo elettrico e del campo magnetico per i modi con m 3. Si noti che le linee hanno una periodicità azimutale di π/m inoltre, mentre nei modi EH le linee di flusso sono sempre chiuse, negli HE le linee si chiudono solo all'infinito. È bene precisare che per m = 0 si hanno i modi TE e TM che sono stati associati, rispettivamente, alla categoria degli HE ed EH.
3.2 MODI LINEARMENTE POLARIZZATI Si può a questo punto operare una classificazione completa dei modi di propagazione in una fibra ottica, essi ricadono nelle quattro classi generali seguenti: TM 01 TE 01 EH mp HE mp (3.50) che sono state illustrate in precedenza. Nelle (3.50), il primo pedice indica il numero di variazioni azimutali di E z o di H z come si può capire osservando le (3.33)-(3.34). Per ogni modo la costante di propagazione va ricavata dal sistema di equazioni (3.45) e (3.46), poiché le radici del sistema sono molteplici il secondo pedice p indica che, per quel particolare modo, deve essere considerata la radice p-esima in u da cui poi con la (3.31) si potrà ricavare β. Nell'ipotesi di debole guidanza, tutti i modi caratterizzati da una stessa coppia di parametri q e p per le (3.44) e (3.45) hanno la stessa costante di propagazione. La composizione di tali modi, detti degeneri, viene detta modo linearmente polarizzato (LP qp ) [2]. Per essi si trascurano le differenze nella configurazione del campo per considerare solo la costante di propagazione, indipendentemente dalla loro natura di modi TM, TE, HE o EH. In tabella 3.2 è riportata la relazione generale tra la denominazione tradizionale e quella in termini di modo LP. La colonna indicata con N riporta il numero di modi degeneri. In effetti le (3.33) e (3.34) esprimono solo una delle due famiglie di modi che costituiscono la soluzione al problema della propagazione in fibra. Una seconda famiglia, pienamente compa-
tibile con tutte le condizioni di propagazione, sarebbe quella che scambia i termini seno con coseno nelle equazioni citate. Tutti i modi EH ed HE sono quindi dati dalla sovrapposizione di due componenti linearmente indipendenti (quando m = 1 ciò corrisponde ad onde polarizzate verticalmente o orizzontalmente), i modi TE e TM invece non presentano la doppia polarizzazione in virtù della loro simmetria assiale. Per ogni LP, quindi, il numero dei modi degeneri costituenti deve essere valutato contando due volte il termine HE o EH. 3.3 LUNGHEZZA D'ONDA DI CUT-OFF Si è visto che per ogni modo, per una certa fibra e ad una data lunghezza d'onda, si possono determinare i parametri u, w e quindi la costante di fase β. Quando il parametro w è reale, cioè quando dalla (3.32): kn 2 < β (3.51) il campo elettromagnetico nel mantello decade esponenzialmente in direzione trasversale mentre risulta confinato e si propaga nel nucleo. Man mano che la (3.51) si avvicina a diventare un'uguaglianza il campo risulta sempre meno confinato nel nucleo, fino a quando si ha: kn 2 = β (3.52) allora la velocità di fase diventa pari a quella di un'onda piana che si propaga nel materiale costituente il mantello e la (3.32), qui riportata per comodità: impone la condizione w = 0. A questo punto il campo trasversale nel mantello non decade più esponenzialmente e viene meno l'effetto di confinamento nel nucleo, si raggiunge così la condizione di cut-off e la frequenza per cui essa si presenta individua la lunghezza d'onda di cut-off [3]. In una fibra ottica un modo può propagarsi solo per lunghezze d'onda inferiori a quella di cut-off che lo caratterizza. Infatti oltre il cut-off risulta β < kn 2, per cui w è immaginario, e ciò comporta una soluzione di tipo oscillante nello spazio del mantello che si traduce in perdite per radiazione talmente elevate da impedire l'ulteriore propagazione assiale del modo.
Il concetto di cut-off, che è molto importante soprattutto nella trattazione delle fibre ottiche monomodali, può essere ulteriormente chiarito con un esempio. Si faccia riferimento ad un modo di tipo TE, per il quale le (3.44)-(3.45) o la terza riga della tabella 3.2 stabiliscono la condizione al contorno: Poiché al cut-off deve risultare w = 0, per soddisfare l'uguaglianza si deve supporre u = 0 oppure J 0 (u ) = 0 (J 1 (u) non può assumere valori infinitamente grandi). Ma porre u = 0 significa imporre per la (3.46) V = 0, vale a dire lunghezza d'onda infinita, o nucleo di raggio nullo o infine apertura numerica nulla: tutte condizioni impossibili. La conseguenza è che in condizioni di cut-off la (3.53) può essere verificata solo se J 0 (u ) = 0, che diventa una condizione equivalente di cut-off per il modo TE. Essa implica: cioè tutti gli zeri della funzione di Bessel J 0. Ma al cut-off deve anche valere la condizione (3.52) e quindi si ottiene: Esplicitando il fattore k e risolvendo rispetto a λ si può calcolare il valore di lunghezza d'onda di cut-off: La (3.54) e la (3.56) possono essere utilizzate per comprendere il significato del pedice p introdotto nelle (3.50) e nella tabella 3.2 quale secondo indice per l'individuazione del modo. Infatti la (3.56) fornisce la lunghezza d'onda di cut-off per i modi TE 0p, con p = 1, 2, 3... a seconda che u = 2.405,5.52,8.65... In termini numerici, se si considera una fibra con n 1 = 1.461, n 2 = 1.457, a = 4.3 µm, si ottiene: λ c = 1.233 µm, 0.538 µm, 0.344 µm...... (3.57) cioè utilizzando una λ > 1.233 µm (seconda e terza finestra) il modo TE 01, non può propagarsi nella fibra, e con esso tutti i modi TE.
Se si considera per esempio p = 1, la tabella 3.2 mostra come il modo TE 01 con il TM 01 e HE 21 dia luogo al modo linearmente polarizzato LP 11. Se ora si introduce la costante di propagazione normalizzata definita come: è possibile rappresentarne l'andamento in funzione della frequenza normalizzata (fig. 3.7) per alcuni dei modi di ordine più basso. La figura evidenzia anzitutto come i modi caratterizzati dalla stessa coppia di parametri q e p abbiano una stessa legge di variazione della costante di propagazione normalizzata, questo conferma la premessa posta in sede di definizione dei modi LP. È bene sottolineare poi che il modo He 11, coincidente con il LP 01, non subisce cut-off se non per V = 0: è quello che viene detto modo fondamentale della guida d'onda ottica; questa conclusione non emerge con chiarezza dalla figura 3.7 solo per un difetto di scala. Si osserva infine che, perché si propaghi il solo modo HE 11, occorre che in una fibra step-index si abbia: V < 2.405 (3.59)