I decadimenti radioattivi

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Prof. A. Andreazza Lezione 3 I decadimenti radioattivi

Radioattività naturale Osservazione di Bequerel della presenza di trasmutazioni di atomi. Osservazione di radiazione con energia dell ordine del MeV di differente carica e grado di penetrazione. www.treccani.it α, nuclei di 4 He, m=3726 MeV/c 2, Q=+2, p~200 MeV/c β, elettroni, m=0.511 MeVc 2, Q=-1, p~1 MeV/c γ, fotoni, m=0 MeVc 2, Q=0, p~1 MeV/c 2

I decadimenti radioattivi (Das-Ferbel cap. 4 e 5.4) I decadimenti radioattivi sono spiegabili in termini di transizioni tra una struttura nucleare meno legata ad una più legata, con rilascio di energia. Studieremo alcune caratteristiche generali di questo processo: condizioni perché possa avvenire spontaneamente: Q-valore ripartizione dell energia tra i prodotti di decadimento equazioni differenziali che descrivono la radioattività condizione di equilibrio secolare per catene di decadimenti Fenomenologia della radioattività naturale 3

Decadimenti radioattivi α α A Z X A-4 Z-2 X Stabile β + β - β - A Z X A Z+1 X β + A Z X A Z-1 X 4

Energia di disintegrazione (Q-value) Consideriamo un nucleo padre P che decade in due frammenti D1 e D2. Per la conservazione dell energia dove T D1 e T D2 sono le energie cinetiche dei prodotti del decadimento. Definiamo energia di disintegrazione Q come la differenze tra le masse del nucleo padre e dei frammenti: Q è l energia a disposizione come energia cinetica dei frammenti. Perché il decadimento sia possibile Q>0 Per decadimenti α: Q = M(A, Z) M(A 4, Z 2) M α Per decadimenti β: M P c 2 = M D1 c 2 +T D1 + M D2 c 2 +T D2 Q = M P c 2 M D1 c 2 M D2 c 2 β - β + E.C. Q = M(A, Z)c 2 M(A, Z +1)c 2 m e c 2 Q = M(A, Z)c 2 M(A, Z 1)c 2 m e c 2 Q = M(A, Z)c 2 + m e c 2 M(A, Z 1)c 2 (cattura elettronica) N.B: masse nucleari 5

Energia cinetica in decadimenti radioattivi Consideriamo il decadimento di P in quiete Per semplicità usiamo un decadimento P D+α, ma le stesse considerazioni valgono per i decadimenti β. p α = p D Esprimendo il comune momento in termini di T: Sfruttando la relazione: T α +T D = Q m α 2 + p α 2 = m α +T α m α 2 + p α 2 = m α 2 + 2m α T α +T α 2 T α = Q 2m D T D +T D 2 = 2m α T α +T α 2 p α 2 = 2m α T α +T α 2 p D 2 = 2m D T D +T D 2 T 2 α T 2 D = ( T α +T D )( T α T D ) = Q( T α T D ) 2m D T D +QT D = 2m α T α +QT α 2m D +Q 2(m D + m α +Q) T D = Q 2m α +Q 2(m D + m α +Q) T D = 2m +Q α T α 2m D +Q Poiché m α m D il nucleo si porta una frazione piccola di Q: O(10-2 ) per decadimenti α, O(10-4 -10-5 ) per decadimenti β/γ 6

Legge dei decadimenti radioattivi Il tasso di decadimenti in un campione è una proprietà estensiva (proporzionale alla massa): dn dt = λn Γ=ħλ è un energia detta dove N=numero di atomi nel campione larghezza di decadimento λ=costante di decadimento: Probabilità di decadimento per unità di tempo. L andamento del numero di nuclei in campione è esponenziale: N(t) = N 0 e λt ad uno stato instabile si può associare La vita media di un atomo è data da: Il tempo di dimezzamento: τ =1/ λ τ 1/2 = τ ln2 un incertezza sull energia: ΔEΔt=ħ ΔE=ħ/τ=Γ Si definisce attività di una sorgente il numero di decadimenti per unità di tempo: unità di misura è il Bequerel: 1 Bq =1 decadimento/s storicamente usato il Curie: 1 Ci = 3.7 10 10 Bq originariamente definito come attività di 1 g di 226 Ra 7

Equilibrio nucleare In molti casi ci possiamo trovare di fronte ad un aumento del numero di atomi radioattivi: produzione per interazioni nucleare con raggi cosmici Esempio: produzione 14 C nei raggi cosmici: n+ 14 N 14 C+p produzione di radioisotopi ad acceleratori o reattori Esempio: n+ 130 Tl 131 Tl 131 I+β - Tasso di produzione: Φn target σd decadimenti a catena In tal caso l evoluzione della popolazione segue una legge del tipo: dn dt = R λn R = tasso di produzione Presenta una soluzione di equilibrio N=R/λ Integrando l equazione differenziale: N(t) = R / λ + (N 0 R / λ)e λt Flusso di particelle sul bersaglio 8

Equazione secolare Consideriamo il caso di due sostanze radioattive la sostanza S 1 decade con la legge già vista la quantità di sostanza S 2 aumenta di quanto S 1 diminusce diminuisce con la propria legge di decadimento La sostanza 3 è stabile e pertanto Per N 1 si trova ovviamente la soluzione che avevamo trovato nel caso di una singola sostanza Per N 2 scriviamo la soluzione come " $ # $ $ % # $ $ $ % dn 1 = λ dt 1 N 1 dn 2 = λ dt 1 N 1 λ 2 N 2 1 dn 3 = λ dt 2 N 2 N 1 N 2 S 1 S 2 S 3 ( t ) = N 01 e λ 1t ( ) ( t ) = A 21 e λ1t + A 22 e λ 2t La condizione iniziale per N 2 dà Introducendo N 2 in (1) A 21 + A 22 = N 02 ( 2 ) λ 1 A 21 e λ 1t λ 2 A 22 e λ 2t = λ 1 N 01 e λ 1t λ 2 A 21 e λ 1t λ 2 A 22 e λ 2t 9

Equazione secolare λ 1 A 21 e λ 1t λ 2 A 22 e λ 2t = λ 1 N 01 e λ 1t λ 2 A 21 e λ 1t λ 2 A 22 e λ 2t si riduce a λ 1 A 21 e λ 1t = λ 1 N 01 e λ 1t λ 2 A 21 e λ 1t λ 1 A 21 + λ 2 A 21 = λ 1 N 01 A 21 = Per trovare A 22 introduciamo questo risultato in (2) λ 1 λ 2 λ 1 N 01 A 21 + A 22 = N 02 ( 2 ) A 22 = N 02 A 21 λ A 22 = N 02 1 N λ 2 λ 01 1 Pertanto la soluzione per N 2 è N 2 ( t ) = λ 1 N λ 2 λ 01 e λ1t e λ 2t 1 ( ) + N 02 e λ 2t N 3 dn 3 dt = λ 2 N 2 t ( t ) = λ 2 N 2 x 0 ( ) dx 10

Equazione secolare N 2 ( t ) = Un altro caso molto interessante si ha quando le costanti di decadimento delle due sostanze sono molto diverse supponiamo λ 2 >> λ 1 (τ 1 >> τ 2 ) si giunge rapidamente alla condizione l andamento temporale della sostanza 2 diventa λ 1 Vediamo pertanto che per tempi t τ 2 =1/λ 2 l attività della sostanza 2 segue la stessa evoluzione temporale della sostanza 1 Per la sostanza 3 otteniamo N 3 N λ 2 λ 01 e λ1t e λ 2t 1 ( ) + N 02 e λ 2t N 2 ( t ) λ 1 N λ 01 e λ 1t 2 e λ 2t ~ 0 t t ( t ) = λ 2 N 2 ( x ) dx = λ 1 N 01 e λ1x dx N 3 t 0 0 ( ) ( ) N 01 1 e λ 1t 11 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3

Equilibrio secolare Un caso particolarmente rilevante è quello delle catene di decadimento: N 1 N 2 N 3 N 4 L equazione differenziale diventa: wikipedia dn 1 dt dn 2 dt dn 3 dt dn 4 dt = λ 1 N 1 = λ 1 N 1 λ 2 N 2 = λ 2 N 2 λ 3 N 3 = λ 3 N 3 λ 4 N 4 Se per tempi si instaura una condizione di equilibrio: λ 1 << λ 2, λ 3, λ 4, τ 2,τ 3,τ 4, << t << τ 1 λ 1 N 1 = λ 2 N 2 = λ 3 N 3 = λ 4 N 4 = Le attività degli anelli della catena sono uguali La popolazione è proporzionale alle vite medie 12

Radioattività naturale La radioattività naturale è dovuta a nuclei con vite medie dell ordine della vita del sistema solare ~4.5 10 9 yr Catene α+β ΔA=4 in decadimenti α, risultanti in nuclei ricchi di neutroni che decadono β - A=4n, 232 Th, τ 1/2 =1.39 10 10 yr 208 Pb A=4n+1, 237 Np, τ 1/2 =2.2 10 6 yr 209 Bi A=4n+2, 238 U, τ 1/2 =4.5 10 9 yr 210 Pb A=4n+3, 235 U, τ 1/2 =7.15 10 8 yr 207 Pb Altri nuclei a lunga vita media: 40 K 40 Ca+β-, τ 1/2 =1.3 10 9 yr 87 Rb 87 Sr+β -, τ 1/2 =4.7 10 10 yr 115 In 115 Sn+β -, τ 1/2 =4.4 10 14 yr 176 Lu 176 Hf+β -, τ 1/2 =3.8 10 10 yr 187 Rb 115 Re+β -, τ 1/2 =4.3 10 10 yr 13

Radioattività naturale 4n 4n+2 4n+3 wikipedia 14

Statistica di conteggio Nel trattamento fin quì fatto abbiamo considerato N(t) una funzione continua Dal momento che il numero di nuclei considerati è usualmente molto elevato l approssimazione risulta adeguata Per descrivere correttamente le fluttuazioni negli esperimenti di conteggio occorre tenere conto esplicitamente della natura discreta di N Consideriamo N nuclei radioattivi caratterizzati dalla costante di decadimento λ In un intervallo di tempo Δt la probabilità di decadimento di un nucleo particolare è p = λδt N(t) dn dt = λn t La probabilità che k nuclei qualsiasi decadano è data dalla distribuzione binomiale! # " k N $ & = N ( N 1 ) ( N k +1 ) % k! P( N, k ) =! # " k N $ & p k % ( 1 p ) N k 15

Distribuzione binomiale P( N, k ) = Cerchiamo adesso una formula approssimata per P(N,k) nel caso N 1 p 1! # " k N $ & p k % ( 1 p) N k 0.20 k ~ pn Troviamo un approssimazione per il coefficiente binomiale P(N,k) 0.15 0.10 0.05 N = 20 p = 0.5 N = 100 p = 0.5 N = 100 p = 0.3 0.00 0 10 20 30 40 50 60 70 N! k P( N, k ) = k! ( N k )! pk ( 1 p ) N k k volte (N k) N!#### "#### $! k $ # & = N ( N 1 ) ( N k +1) dato che p 1 possiamo scrivere k! 1 p e p ( ) N k ( 1 p) N k e p = e Np+kp e Np Np ~ k p 1 kp Np " N % N k k! 16

Distribuzione di Poisson Mettendo insieme i termini che abbiamo calcolato P( N, k ) = N k k! N! k! ( N k )! pk ( 1 p) N k Se infine definiamo n = pn otteniamo la distribuzione di Poisson È la probabilità di osservare k decadimentiquando il numero medio di decadimenti è n Consideriamo un nucleo con una costante di decadimento λ Misuriamo con un rivelatore il numero di decadimenti nell intervallo Δt n = pn = NλΔt e Np P( N, k ) = N k k! pk e Np P( n, k ) = n k k! e n ( = Np ) k k! n n n = = = e Np 1 4 10 17

Distribuzione temporale La formulazione che abbiamo appena visto è la stessa che si utilizza per descrivere la probabilità di registrare k eventi distribuiti casualmente t 1 t 2 con probabilità uniforme in un intervallo temporale Δt = t 2 t 1 0 T Se si hanno N eventi in un intervallo 0 T abbastanza lungo Tasso di decadimento λ = N T Probabilità p = t 2 t 1 dell intervallo Eventi attesi n = pn = λ(t T 2 t 1 ) la probabilità di osservarne k nell intervallo t 1 t 2 Distribuzione temporale: Probabilità di osservare un intervallo t tra due decadimenti P( n, k ) = n k k! e n t 1 t 2 t è data dalla probabilità di osservare 0 decadimenti nell intervallo t 1 t 2 moltiplicata per la probabilità di decadimento nell istante dt successivo P( n, 0 ) = n 0 0! e n = e n n = λt P( t )dt = e n(t) ( λdt ) = e λt λdt 18

Esempio: datazione con 14 C Il 14 C viene prodotto da raggi cosmici: n+ 14 N 14 C+p Si lega con l ossigeno atmosferico per dare CO 2 che viene metabolizzata dalla vegetazione e dagli animali che se ne nutrono 14 C 14 N+β -, τ 1/2 =5700 yr All equilibrio 1 g di C ha un attività 15 decadimenti/minuto (A 0 =0.25 Bq/g) Il 14 C esce dall equilibrio al momento della morte dell organismo Supponiamo di misurare, in una massa m di C, N decadimenti in un tempo T: come stimiamo l età del campione e con che incertezza? Il valore attuale dell attività A è dato da: A(t) = N / T ± N / T La dipenza di A(t) dal tempo è: A(t) = ma 0 e λt Da cui si ricava: t = 1 A(t) ln λ ma 0 = τ 1/2 A(t) ln ln2 ma 0 σ t = d! da 1 A(t) $ # ln & σ " λ ma 0 % A = τ 1/2 σ A = τ 1/2 1 ln2 A(t) ln2 N Poiché N(t)=A(t)T, l incertezza aumenta con il tempo e σ t 1 = t A(t)T ln( A(t) / ma 0 ) = e λt/2 ma 0 Tλt Attività troppo ridotta Variazione troppo piccola 19

ESERCIZI 20

Esercizio 3.1 (Esercizio 5.4 del Das-Ferbel) Approssimativamente 1 g di C ha un attività di 0.25 Bq dovuta alla presenza di 14C, isotopo radioattivo con tempo di dimezzamento di 5730 anni: 21 stimare quanti atomi di 14C contiene se 1 g di C estratto da un reperto egizio presenta un attività di 4 10-12 Ci, datare il reperto egizio. Che incertezza si ottiene se la misura di attività dura 1 h?

Esercizio 3.2 L abbondanza naturale di 235 U è dello 0.7% di 238 U. Assumendo che i processi di nucleosintesi producano approssimativamente le stesse quantità di 235 U e 238 U, quanto è vecchio l uranio presente sulla terra? Si ricordino i dati delle due catene della radioattività naturale: A=4n+2, 238 U, τ 1/2 =4.5 10 9 yr A=4n+3, 235 U, τ 1/2 =7.15 10 8 yr 22