Costanti di Accoppiamento Fenomenologia delle Interazioni Elettrodeboli Diego Bettoni Anno Accademico 8-9
La costante di struttura fine in realtà non è una costante, ma varia in funzione del uadrimpulso trasferito. Un simile comportamento vale per le altre costanti di accoppiamento del modello standard e. Questo grafico all ordine permette di calcolare la sezione d urto di Rutherford e la legge di Coulomb, ma ci sono anche correzioni di ordine superiore. Il contributo di grafici come uesto si ottiene integrando su tutti i possibili impulsi per gli elettroni nel loop. Nel calcolo il contributo risulta infinito, ma è possibile rimuovere tutti gli infiniti in modo coerente (rinormalizzazione). D. Bettoni Fenomenologia Elettrodebole
QED k = k eu Possiamo scrivere i due contributi come: ( k ) γ u( k) ε d 4 p ( ) 4 [ eu ( k ) γ u( k) ] λ [ eu ( p) γ u( p ) ] eu ( p ) γ u( p) ( p M )( p ) [ ] [ ] ε λ M ε è la polarizzazione del fotone, M la massa dell elettrone. Sottintesa somma sugli spin degli elettroni nel loop. eu ( k ) γ u( k) [ eu ( p) γ u( p ) ] eu ( p ) γ λ u( p) ( p M )( p ) [ ] [ ] λ 4 e ε d p ε 4 ( ) M D. Bettoni Fenomenologia Elettrodebole
L espressione precedente si può scrivere come: λ ( k ) γ u( k) ε ε T ] e u ε [ λ Nel calcolo di T λ si possono eliminare termini proporzionali a e λ perchè per la polarizzazione del fotone vale: = ( k ) γ u( k) La corrente elettronica j = eu soddisfa la relazione: I T λ = g λ I ( ) dp ( ) = dx x( x) x p M M ( x) j = L integrale ha una divergenza logaritimica (primo termine dell euazione). Questo infinito non dipende da. D. Bettoni Fenomenologia Elettrodebole 4
La parte finita dell integrale si può calcolare analiticamente. Nel regime di piccole distanze, elevato otteniamo: M I >> x ( x) Scriviamo l infinito in forma di limite superiore Λ: M Λ ( ) M M ieu I ( ) ( k ) γ u( k) ε Λ ( ) M Λ ( ) D. Bettoni Fenomenologia Elettrodebole 5
D. Bettoni Fenomenologia Elettrodebole 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p u p u k u k u e γ γ Λ ε ε ε K ( ) Λ e Supponiamo di includere più di un loop. Poichè ogni fotone ha uadrimpulso i loop fattorizzano e otteniamo una serie del tipo: Quindi il coefficiente completo è:
D. Bettoni Fenomenologia Elettrodebole 7 Il valore misurato di include tutti i contributi dai grafici con i loop e dipende dal valore di. Quindi in pratica dobbiamo scegliere una particolare scala di energia, uindi misuriamo ( =- ). 4 e e = ( ) Λ =
D. Bettoni Fenomenologia Elettrodebole 8 ( ) Λ = Λ = Λ = Possiamo ora calcolare per ualsiasi valore di : ( ) = Λ ( ) ( ) =
Running Coupling Constant ( ) ( ) = ( ) n l 4 9 n u Non dipende nè da Λ nè da. Nell espressione ci sono solo uantità finite. Dipende soltanto da uantità fisiche: ( ) e. Oltre ai loop con gli elettroni dobbiamo considerare uelli con gli altri leptoni e uarks, per cui il risultato si deve moltiplicare per un fattore: n l numero di leptoni carichi. n u, n d numero di uarks di tipo up e di tipo down. Include il fattore di colore e la carica al uadrato. Per piccoli valori di la massa del fermione nel propagatore può ridurre il contributo. Se ci sono N famiglie il contributo è N [ 4 ] = 8N Se >>M W si devono includere loop con il W. D. Bettoni Fenomenologia Elettrodebole 9 9 n d
Il segno relativo dei due termini del denominatore è molto importante: indica che aumenta all aumentare di. Effetto di schermatura in QED. ( 4M e ) = nl = nu = nd = 7 ( MW ) ( 4M ) 8 M 7 4M D. Bettoni Fenomenologia Elettrodebole e W e.
QCD Dà lo stesso contributo per ciascun flavor di uark (la forza di colore è indipendente da flavor). ( ) ( ) 6 fattore di colore, per ogni flavor. Nuovo rispetto a QED Dà solo un fattore numerico: 8 gluoni, contributo maggiore del secondo Il contributo è di segno opposto Libertà asintotica D. Bettoni Fenomenologia Elettrodebole
Schermatura di carica in QCD e andamento di S QED analog gluon self coupling in QCD D. Bettoni Fenomenologia Elettrodebole
Combinando le due correzioni otteniamo: ( ) ( ) n f 4 ( ) ( ) = ( ) ( ) n Fintanto che (-n f ) > diminuisce all aumentare di. Per valori di molto elevati il risultato risulta indipendente da ( ). Per valori piccoli di i due termini del denominatore sono opposti e ( ) diventa molto grande. Inoltre per =-Λ QCD il denominatore si può annullare (in uesto regime i nostri calcoli non sono corretti perchè molti altri diagrammi diventano importanti, ma l effettivo ualitativo rimane). ΛQCD = n f ( ) f D. Bettoni Fenomenologia Elettrodebole
Λ QCD = exp 6 ( ) ( n ) f = f GeV =. n = 5 ΛQCD 66 MeV Il comportamento di è simile a uello di perchè i loop bosonici dominano a causa della maggiore carica elettrodebole rispetto ai fermioni. La struttura della teoria implica che la forza con il gruppo di simmetria piu grande diventa la più forte a basse energie. D. Bettoni Fenomenologia Elettrodebole 4