Il momento magnetico anomalo dei leptoni

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1 Il momento magnetico anomalo dei leptoni Nicola Cabibbo 6 dicembre 1 Il momento magnetico anomalo In questa sezione calcoliamo il momento magnetico anomalo dell elettrone (o di qualsiasi leptone) all ordine α. Il calcolo è delineato nel Mandl e Shaw, ma vogliamo qui eseguirlo interamente, introducendo qualche semplificazione che rende il calcolo particolarmente compatto. Si assume che il lettore abbia presente la discussione del capitolo 9 del Mandl e Shaw Preliminari Cominciamo con una premessa: tenendo presente la identità di Gordon (MS-A.8), (1) m ū(p )γ µ u(p) = ū(p )((p + p ) µ + iσ µν q ν )u(p) dove q = p p, possiamo scrivere l elemento di matrice ū(p )Λ µ (p, p)u(p) come (vedi ad esempio (MS- 1.66,1.67)) () ū(p )Λ µ (p, p)u(p) = ū(p )(F 1 (q )γ µ + F (q ) 1 m iσµν q ν )u(p) D altra parte, (3) Λ µ (p, p) = Lγ µ + Λ µ c (p, p) vedi (MS-9.53) e, se p, p corrispondono a momenti fisici (p = p = m ), si ha, nel limite di q =, p = p, (4) ū(p)λ µ c (p, p)u(p) = vedi (MS-9.54) Paragonando con la (), dato che il termine in F è esplicitamente proporzionale a q si vede che F 1 () = L. Se quindi calcoliamo l espressione in () omettendo termini di ordine O(q ) abbiamo (5) ū(p )Λ µ (p, p)u(p) = ū(p )(Lγ µ + F () 1 m iσµν q ν )u(p) + O(q ) Data l identità di Ward, il termine L sarà esattamente cancellato dalla correzione alle linee esterne, per cui, (vedi par. 9.5 del Mandl e Shaw) la funzione vertice incluse tutte le correzioni del secondo ordine diviene: (6) ie ū(p )γ µ u(p) i[eū(p )γ µ u(p) + e 1 indicheremo con (MS-...) le equazioni tratte da [1]. mū(p )e F () iσ µν q ν )u(p)] + O(q ) 1

2 In questa espressione abbiamo incluso l effetto delle correzioni del secondo ordine alla linea fotonica che rinormalizzano la carica, e e. Usando adesso la identità di Gordon (1), possiamo riscrivere il secondo membro separando il termine di carica (p + p ) µ da quello di momento magnetico, (7) ie ū(p )γ µ u(p) i[e pµ + p µ m ū(p )u(p) + ū(p )(1 + e F ()) e m (iσµν q ν )u(p)] + O(q ) Questo risultato mostra che il momento magnetico del leptone è pari a (1 + e F ()) magnetoni di Bohr. Per calcolare il valore di F () dobbiamo calcolare l espressione in eq. () e trattenere i termini lineari in q. Il calcolo si semplifica notevolmente se seguiamo le seguenti regole: 1. Omettere i termini che sono esplicitamente di ordine q.. Omettere i termini che sono γ µ Questi termini confluiscono nel parametro (divergente) L e sono eliminati dalla rinormalizzazione. Notiamo che questa procedura ha due importanti vantaggi: Con la seconda regola abbiamo omesso i termini divergenti ultravioletti. Abbiamo anche eliminato la divergenza infrarossa, che è anche (MS-9.96a) γ µ. Con la prima regola l integrale si semplifica notevolmente. Possiamo quindi eseguire il calcolo senza ricorrere a regolarizzazioni ultraviolette o infrarosse, Ovvero più correttamente, ma in maniera del tutto equivalente, immaginare che si esegua la regolarizzazione, e che si omettano i termini γ µ (che nella teoria regolarizzata sono finiti). I termini che restano (cioè F ()) sono finiti nel limite in cui si elimina la regolarizzazione. Questa via leggermente più complessa è seguita nel Mandl e Shaw. 1. Il calcolo La grandezza da calcolare (vedi ad esempio (MS-9.48)) può essere scritta come ( i (8) ū(p )Λ µ (p, p)u(p) = ū (π) 4 d 4 N µ (, p, p ) ) ( + iɛ)((p ) m + iɛ)((p ) m u + iɛ) Dove il numeratore è dato da (9) N µ (, p, p ) = γ α (/p / +m)γ µ (/p / +m)γ α Cominciamo con lo stabilire alcune relazioni tra le variabili: (1) q = (p p) = m (pp ); (p + p) = m + (pp ) = 4m q Possiamo combinare i due ultimi fattori del denominatore scrivendo: (11) p = Q + q ; p = Q q p + p ; dove: Q =

3 Notiamo anche che Q = m + q /4 che, dato che vogliamo omettere termini O(q ), possiamo riscrivere come Q = m + O(q ). Abbiamo allora (1) ((p ) m + iɛ)((p ) m + iɛ) = ( (p ) + iɛ)( (p) + iɛ) = ( ( (Q) + iɛ) (q) ) = ( (Q) + iɛ) + O(q ) Quindi, trascurando termini O(q ), possiamo riscrivere la (8) come (13) ū(p )Λ µ (p, p)u(p) = i (π) 4 d 4 ū N µ (, p, p )u ( + iɛ)( (Q) + iɛ) + O(q ) Il prossimo passo consiste nel combinare i denominatori in uno singolo, usando il trucco di Feynman (MS- 1.13): (14) ūλ µ (p, p)u = i (π) 4 = i (π) 4 = i (π) 4 z dz z dz z dz d 4 ū N µ (, p, p )u ( z(q) + iɛ) 3 + O(q ) d 4 ū N µ (, p, p )u (( zq) z Q + iɛ) 3 + O(q ) d 4 ū N µ (, p, p )u (( zq) z m + iɛ) 3 + O(q ) Dove nell ultimo passo abbiamo utilizzato il fatto che Q = m + O(q ). Possiamo ora eseguire un cambiamento di variabili : t = zq; = t + z(p + p )/, di modo che (15) ūλ µ (p, p)u = i (π) 4 z dz d 4 tū N µ (t + zq, p, p )u (t z m + iɛ) 3 + O(q ) A questo punto notiamo che in N µ (t + zq, p, p ), eq. (9) compariranno termini di ordine zero in t, oltre a termini lineari e quadratici in t. I termini lineari si annullano (MS-1.). I termini quadratici in t danno un contributo proporzionale a γ µ e possono essere omessi. A questo proposito vedere la discussione delle eq. (MS ). Possiamo allora scrivere, indicando esplicitamente i termini omessi con ( γ µ ): (16) ūλ µ (p, p)u = i (π) 4 z dz d 4 tū N µ ( z(p+p ), p, p )u (t z m + iɛ) 3 + O(q ) + ( γ µ ) Dato che il nominatore non dipende da t possiamo ora eseguire l integrale in t che risulta (MS-1.1) d 4 t (17) (t z m + iɛ) 3 = i π z m di modo che (18) ūλ µ (p, p)u = 1 16π m Calcoliamo ora il fattore (vedi eq. 9) dz z ū N µ ( z(p + p ), p, p )u + O(q ) + ( γ µ ) X = ū N µ ( z(p + p ), p, p )u = ū γ α (/p z(/p + /p ) + m)γ µ (/p z(/p + /p ) + m)γ α u Questo passo è legittimo solo se l integrale è convergente; per questo immaginiamo di aver fatto una regolarizzazione e di passare al limite alla fine del calcolo. 3

4 che con le identità (MS-A14a,b) riscriviamo ( X = ū(p ) (/p z(/p + /p ) )γ µ (/p z(/p + ) /p ) ) + 4m(1 z)(p + p ) µ m γ µ u(p) L ultimo termine è ( γ µ ) e può essere omesso. Nel primo termine utilizziamo l equazione di Dirac usando a sinistra /p = /p /q = m /q ed a destra /p = /p + /q = m + /q: [ X = ū(p ) (m(1 z) /q(1 z ) ( ) γ µ m(1 z) + /q(1 z ) ) + 4m(1 z)(p + p ) µ] u(p) + ( γ µ ) = ū(p ) [4m(1 z)(1 z ] )1 [/q, γµ ] + 4m(1 z)(p + p ) µ u(p) + O(q ) + ( γ µ ) e usando la relazione [/q, γ µ ] = iσ µν q ν, e l identità di Gordon, otteniamo (19) ū N µ ( z(p + p ), p, p )u = m z(1 z)ū(p )iσ µν q ν u(p) + O(q ) + ( γ µ ) Infine, sostituendo nella (18), ed eseguendo l integrale su z, () ūe Λ µ (p, p)u = e 8π ū 1 m σµν q ν u + O(q ) + ( γ µ ) Paragonando con la eq. (5) otteniamo che (1) e F () = e 8π = α π Quindi all ordine α il momento magnetico di un leptone è 1 + α π magnetoni di Bohr. Integrali Vogliamo derivare il seguente risultato per integrali che compaiono in teoria delle perturbazioni, citato senza dimostrazione nel Mandl e Shaw, [1], eq. (MS-1.3): d D () I(t, D, n) = [ s + iɛ] n = iπd/ n Γ(n D/) 1 ( 1) Γ(n) s n D/ Gli integrali si estendono su uno spazio con D dimensioni, = {, 1,... D 1 }, con metrica di Minowsi: = 1... D 1. Assumeremo che s sia reale e positivo 3. Nella realtà siamo interessati al caso D = 4, ma vogliamo anche considerare una continuazione analitica a valori arbitrari di D definita dal risultato nella () che è una funzione analitica di D, a parte poli in D/ = n, n + 1,.... La funzione Γ è definita da (3) Γ(x) = dy y x 1 e y ; Γ(x) = (x 1)Γ(x 1); Γ(n) = (n 1)! Prima di tutto conviene ruotare il cammino di integrazione nella variabile, dalla posizione orizzontale a quella verticale. Se si ruota in senso antiorario non si incontrano singolarità, come mostrato dalla figura 1. 3 Il valore di I(t, D, n) per valori complessi di s, qualora interessi, può essere ottenuto per continuazione analitica del risultato ottenuto. 4

5 ω ω ω ω Figura 1: La rotazione di Wic Questa operazione è detta rotazione di Wic. Dopo la rotazione possiamo passare al limite ɛ dato che le due singolarità in = ±ω = ± s D 1 sono distanti dal cammino di integrazione. Possiamo quindi porre: = i D e d = i d D, e possiamo riscrivere l integrale come (4) I(t, D, n) = i( 1) n d D p [p + s] n dove p = { 1,... D 1, D } è un vettore a D dimensioni con metrica euclidea, p = D. Per calcolare l integrale passiamo a coordinate polari nello spazio a D dimensioni. Dato che l integrando non dipende dalle variabili angolari, queste possono essere integrate direttamente, e con il cambiamento di variabili x = p /s, p dp = s dx/ otteniamo: (5) I(t, D, n) = i( 1) n p D 1 dp dω D [p + s] n = i( 1) n Ω D s n D/ x (D )/ dx (1 + x) n L integrale è convergente in x se n > D/. L angolo solido in D dimensioni è dato 4 da (6) Ω D = πd/ Γ(D/) Che riproduce i noti risultati: Ω = π e, dato che Γ(3/) = 1 Γ(1/) = π1/ /, Ω 3 = 4π. In quattro dimensioni si ottiene Ω 4 = π. L integrale residuo si esprime mediante la funzione Beta (Vedi [], cap. 15 per una dimostrazione, ma usiamo la notazione di [3]), (7) B(z, w) = x z 1 dx Γ(z) Γ(w) = (1 + x) z+w Γ(z + w) e ritroviamo infine il risultato della (). Notiamo che per D = 4 si ritrova il risultato della eq. (MS-1.1). Riferimenti bibliografici [1] F. Mandl e G. Shaw, Quantum Field Theory, Wiley, [] H. Jeffreys e M. Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, Cambridge University Press, 197 [3] M. Abramowitz e I. A. Stegun, Handboo of Mathemathical Functions, Dover, Come si dimostra facilmente considerando un integrale gaussiano. 5