SOLUZIONE QUESITI 1) Ad un torneo di calcio partecipano solo 4 squadre, chiamate A, B, C, D. Ad ogni giornata, ciascuna squadra gioca una partita e, nel corso del torneo, ciascuna squadra incontra ogni altra precisamente una volta. Dopo le prime due giornate, la squadra A ha segnato 4 reti senza subirne, la squadra B ne ha subite 7 senza segnarne, la squadra C ne ha segnate 3 e ne ha subite 1, la squadra d ne ha segnata 1 senza subirne. Tendendo conto che ogni squadra guadagna 3 punti per ogni vittoria, 1 punto per ogni pareggio e nessun punto in caso di sconfitta, indicare quanti punti hanno realizzato, rispettivamente, le squadre A, B, C, D (in questo ordine) nelle prime due giornate. SOLUZIONE: A A) 4, 0, 3, 4 B) 4,0, 4, 2 C) 4, 0, 3, 2 D) 4, 1, 3, 2 E) 3, 1, 4, 2 Infatti analizzando la situazione, le combinazioni possibili sono I GIORNATA A-B (4-0) C-D (0-1) II GIORNATA A-D (0-0) B-C (0-3) E quindi la squadra A totalizza 4 punti (una vittoria e un pareggio), la squadra B nessun punto (due sconfitte), la squadra C 3 punti (una sconfitta e una vittoria) e la squadra D totalizza 4 punti come la squadra A. 2) Non è incorretto non negare che non lo puoi mangiare!. La precedente affermazione è equivalente a: A) Lo devi mangiare B) Non mangiarlo sarebbe un delitto C) Non lo puoi non mangiare D) Non lo puoi mangiare E) Devi negare che lo puoi mangiare SOLUZIONE: D "Non è incorretto" equivale a dire "è corretto" perchè due negazioni si annullano e quindi affermano; "non negare" significa "affermare". In virtù delle considerazioni appena esposte si può trasformare la frase iniziale nel seguente modo: "è corretto affermare che non lo puoi mangiare", quindi la risposta esatta è la d), cioè "non lo puoi mangiare". 3) Quale numero è tanto superiore a 10 quanto è inferiore alla metà del numero rispetto a cui 30 è inferiore di 10? A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30
Il numero rispetto cui 10 è inferiore di 30 è 40. La metà di 40 è 20. L unico numero equidistante da 10 e da 20 è, appunto, 15. 4) In un parco 16 persone giocano a palla e 7 persone portano un cappello. Quante persone sono presenti nel parco? SOLUZIONE: A A) 16 B) 23 C) più di 16 D) 16 E) meno di 23 Poiché nel testo del quesito non è specificato se tutti quelli che portano un cappello stanno contemporaneamente giocando a palla, possiamo dire, nell ipotesi che tutti quelli che portano un cappello non giochino a palla, che il numero di persone presenti nel parco deve essere compreso almeno tra 16 e 16+7, ossia tra 16 e 23. In ogni caso 16. 5) Ad un concorso sono ammesse le persone che sono laureate e che hanno meno di 30 anni o hanno figli. Aldo non è laureato, ha 26 anni e un figlio. Paolo è laureato, ha 40 anni e due figli. Vincenzo è laureato, ha 32 anni e non ha figli. Chi è ammesso al concorso? A) Aldo B) Paolo C) Vincenzo D) Tutti e tre E) Nessuno dei tre In questo quesito svolge ruolo importante la congiunzione e ed o : infatti sono ammesse al concorso le persone che sono laureate E hanno meno di trent anni O hanno figli. Ciò vuole dire che essere laureati è requisito NECESSARIO al quale deve essere aggiunta almeno una delle altre due condizioni (età inferiore ai 30 anni o avere figli). Quindi è chiaro che l unico ad avere i requisiti è Paolo in quanto Aldo non ha laurea e Vincenzo, pur avendo la laurea, supera l età e non ha figli. 6) Sulla riva del fiume c è una zattera che può trasportare un adulto o due ragazzi per volta. Ci sono due ragazzi e nove adulti che attendono di attraversare il fiume. Qual è il numero minimo di viaggi che bisognerà fare per trasbordare tutti? SOLUZIONE: D A) 10 B) 19 C) 28 D) 37 E) 46 Primo viaggio: i due ragazzi attraversano insieme, solo uno di loro scende e l altro riporta indietro la zattera (secondo viaggio). Scende il ragazzo e sale un adult0 (terzo viaggio) che scende alla sponda successiva e lascia portare indietro la zattera al ragazzo rimasto (quarto viaggio). Il giro si ripete, quindi per ogni adulto occorrono 4 viaggi. Di conseguenza il numero minimo per trasportare tutti sarà 4*9+1=37.
7) Un gelataio prepara 20 kg di gelato e lo rivende nel corso della giornata in coni piccoli da 1,20 di due palline e coni grandi da 1,60 di tre palline. Da ogni kg di gelato ha ricavato 12 palline; alla fine della giornata ha incassato in totale 137,60. Quanti coni grandi ha venduto? SOLUZIONE: C A) 17 B) 24 C) 32 D) 43 E) 50 Osserviamo innanzitutto che, se da ogni kg di gelato otteniamo 12 palline, allora per 20kg avremo: 20* 12=240 palline total. Possiamo impostare un sistema di due equazioni, indicando con X il numero di coni grandi e con Y il numero di coni piccoli: in base al costo: X*1,6 + Y*1,2 = 137,6 In base alle palline: X*3 + Y*2 = 240 Risolvendo il sistema si ottiene X = 32 8) Qual è il valore massimo che può assumere il numero a*(b + c) b *(a + c) quando a, b e c sono numeri interi distinti tra loro, maggiori o uguali a 1 e minori o uguali a 10? A) 80 B) 81 C) 84 D) 90 E) 100 Semplificando l espressione otteniamo ab+ac-ab-bc=ac-bc=c*(a-b). Assegnando a b valore 1, a c valore 9 e ad a valore 10, otteniamo proprio 81. 9) La figura qui sotto è formata da 4 archi tra loro congruenti di circonferenze aventi raggio 2. Qual è l area della regione ombreggiata? A) 8+π B) 8+π/2 C) 9+π/4 D) 16-2π E) 4+2π SOLUZIONE: E Vanno calcolate le aree nelle figure seguenti fino ad arrivare, per sottrazione, alla soluzione.
10) Una pulce si trova inizialmente nell origine del piano cartesiano e può spostarsi sui punti a coordinate intere scegliendo di volta in volta una di queste tre mosse: dal punto (x, y) salta al punto (x + 2, y + 4); dal punto (x, y) salta al punto (x, y + 5); dal punto (x, y) salta al punto (x 2, y 9). Quanti sono i percorsi, realizzabili dalla pulce con le sue mosse, che la portano dall origine (0, 0) al punto (0, 2016)? A) nessuno B) uno C) un numero compreso tra 10 e 30 D) 1un numero compreso tra 30 e 60 E) infiniti SOLUZIONE: A Se la pulce effettua a mosse del primo tipo, b del secondo e c del terzo, lo spostamento complessivo nella direzione orizzontale sarà 2a 2c. Vogliamo muoverci dal punto (0, 0) al punto (0, 2016), e quindi 2a 2c deve essere uguale a 0, da cui a = c. Il numero di mosse del primo e terzo tipo nel nostro percorso deve essere lo stesso. Lo spostamento complessivo nella direzione verticale sarà allora 4a + 5b 9c = 4a 5b 9a = 5(b a) che è necessariamente multiplo di 5. Sarà quindi impossibile partire dal punto (0, 0) e arrivare in (0, 2016), poiché lo spostamento verticale necessario è 2016, che non è multiplo di 5.Basta provare a ricostruire le tre mosse della pulce per capire che la pulce tornerà sempre al punto di partenza.
11) Per determinare il Campo di Esistenza della funzione si risolve la disequazione: SOLUZIONE: D A) x 2 +3x 0 B) x 2 +3x=0 C) x 2 +3x 0 D) x 2 +3x 0 E) nessuna, il dominio è tutto R 12) ANNULLATA 13) Osservando il calendario, Chiara si `e accorta che l anno 2016 ha una particolarità: posto x = 2016 il numero dell anno, allora x + 1 è multiplo di 1, x + 2 è multiplo di 2, x + 3 è multiplo di 3 e x + 4 è multiplo di 4. Quanti altri numeri interi positivi, minori di 2016, hanno la stessa particolarità? A) 154 B) 83 C) 167 D)1013 E) 54 SOLUZIONE: C L affermazione è equivalente a dire che x è multiplo di 1, 2, 3 e 4, e quindi multiplo del loro minimo comune multiplo 12. Dobbiamo quindi contare gli interi positivi, minori di 2016 che siano multipli di 12. Poiché 2016/12 = 168, ve ne saranno esattamente 167. 14) Andrea incolla 27 normali dadi a 6 facce tra loro in modo da formare un grande cubo. I dadi sono orientati in modo che le somme dei valori leggibili su ciascuna faccia del cubo siano, in un qualche ordine, 14, 22, 30, 38, 46, 54. Quanto vale la somma di tutte le facce dei dadi che, essendo state incollate tra loro, non si leggono più? SOLUZIONE: E A) 189 B) 204 C)261 D)333 E) 363 La somma dei valori sulle facce di un dado `e 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. La somma su tutte le facce, visibili e non, `e quindi 27 21 = 567. Per ottenere la somma sulle facce nascoste possiamo sottrarre a questo numero la somma dei numeri scritti su quelle visibili: la risposta `e quindi 567 (14 + 22 + 30 + 38 + 46 + 54) = 567 204 = 363. 15) Alberto, Barbara e Ciro si ritrovano un giorno per preparare dei ravioli per una cena di beneficenza a favore delle olimpiadi di matematica. Come prima cosa decidono di ripartire equamente le ore di lavoro fra la mattina e il pomeriggio, e ovviamente lavorano contemporaneamente e per la stessa quantità di tempo. Alberto è molto affidabile: prepara 90 ravioli all ora per tutta la giornata di lavoro. Barbara fa 110 ravioli all ora durante la mattina, ma al pomeriggio è più distratta e prepara 70 ravioli all ora. Ciro fa 2/3 dei suoi ravioli a un ritmo di 140 ravioli l ora e l ultimo terzo a soli 50 ravioli l ora. Chi ha fatto pi`u ravioli a fine giornata? SOLUZIONE: D A) Alberto B) Barbara C) Ciro D) Alberto e Barbara in egual numero E) Barbara e Ciro in egual numero
Sia h il numero di ore di lavoro durante la mattinata (e dunque anche durante il pomeriggio). Sappiamo che Alberto prepara 2h 90 = 180h ravioli, mentre Barbara ne prepara h 110 + h 70 = 180h. Sia ora t1 il tempo che Ciro impiega a preparare i primi 2/3 dei suoi ravioli, e t2 il tempo che spende a preparare l ultimo terzo. Se chiamiamo r il numero totale di ravioli preparati da Ciro abbiamo allora t1 + t2 = 2h; t1 140 = 2r/3 ; t2 50 = r/3 16) Il prodotto di due numeri naturali `e 14000. Quale pu`o essere, al massimo, il loro Massimo Comune Divisore? A) 10 B) 20 C)400 D)70 E) 140 La fattorizzazione in primi di 14000 è 2 4 *5 3 *7. Se il prodotto tra a e b è 14000, saranno complessivamente presenti nelle fattorizzazioni di a e b quattro fattori 2, tre fattori 5 e un fattore 7. Il 7 non comparirà quindi nella fattorizzazione del massimo comun divisore, mentre il numero massimo di fattori 2 e 5 si otterrà disponendo due fattori 2 in ciascun numero, e dividendo i tre fattori 5 disponendone uno da una parte e due dall altra. Il massimo valore del massimo comun divisore è quindi 2 2 *5=20 17) In a quadrilateral inscribed into a circumference a corner is the two sevenths of its opposite and the difference between the two remaining corners is 43. Calculate the width of the 4 corners. A) 66 /81 /118,5 /94,5 B)55 /125 /78.5 /101.5 C)73 /58 /126.5 /102.5 D)40 /140 /68.5 /111,5 E) 37 /89 /111.5 /122,5 SOLUZIONE: D Ci è noto che la somma di due angoli opposti all interno di un quadrilatero è 180. Da qui è semplice determinare I due angoli opposti α e, dove vale 2/7 di α, arrivando ad avere Alpha uguale a 140 e Delta uguale a 40. Allo stesso modo, risolvendo il sistema dato dalle due equazioni: = = = =
18) With reference to the data in the figure, calculate the width of the following corners: α, β and γ A) 128 /52 /59 B) 118 /62 /59 C)100 /31 /49 D)118 /72 /49 E) 90 /69 /21 SI consideri il triangolo : esso è per costruzione isoscele e conseguentemente i due angoli alla base uguali in ampiezza. L angolo in R e l angolo valgono quindi entrambi 31. Ciò vuol dire che α = 180 - (31 +31 ) = 118 Per costruzione l angolo β = 180-118 = 62 ; passiamo ora alla determinazione dell angolo γ. Prendendo il triangolo RST esso è rettangolo, per costruzione in semicirconferenza. Determiniamo l angolo in S come = = Essendo anche il triangolo OST isoscele per costruzione abbiamo che l angolo che insiste in S e l angolo γ sono uguali, quindi γ = 59.
19) Una particella viene spostata dalla posizione 2i - j nella posizione 3i + 2j sotto l azione della forza 2i + j. Il lavoro fatto dalla forza (in unità arbitrarie) è: SOLUZIONE: A A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 13 Lo spostamento compiuto si ottiene dalle componenti delle posizioni iniziale e finale; detti e i vettori che definiscono le posizioni iniziale e finale della particella, risulta infatti: Quindi il lavoro, in termini delle componenti di forza e spostamento, risulta: 20) Un satellite si muove di moto uniforme intorno alla Terra, in orbita circolare. Un osservatore che analizza il moto del satellite in un riferimento inerziale con origine nel centro della Terra deve concludere che la forza agente sul satellite è: SOLUZIONE: A A) solo centripeta, dovuta all attrazione gravitazionale; B) solo centrifuga, dovuta al moto orbitale; C) zero, perché la forza centripeta e quella centrifuga si bilanciano; D) tangente all orbita, dovuta all azione dei motori del satellite; E) la risultante della forza centripeta dovuta all attrazione della Terra e di una forza tangenziale dovuta ai motori. Un riferimento che trasla con il centro della Terra può essere considerato, con buona approssimazione per periodi brevi rispetto ad un anno. Nel moto circolare uniforme, studiato rispetto a tale riferimento, l accelerazione è centripeta e quindi la risultante delle forze agenti sul satellite deve essere diretta verso il pianeta. Fra le alternative proposte, l unica che rispetta questa condizione è la risposta A. L alternativa C può ritenersi corretta in un riferimento solidale col satellite; trattandosi di un riferimento non inerziale occorre infatti tenere conto anche delle cosiddette forze apparenti, in questo caso di quella centrifuga. In ogni caso la forza di gravitazione è presente e quindi l alternativa B è da scartare. Una componente di forza tangente all orbita (alternative D ed E) è da escludersi poiché, compiendo lavoro, farebbe variare l energia cinetica del satellite e di conseguenza il modulo della velocità.
21) Un bicchiere contiene un liquido di densità 1.4 g/cm3 ed è posto su uno dei due piatti di una bilancia, in equilibrio. Successivamente un solido di massa 10.0 g e densità 8.0 g/cm3 viene sospeso con un filo di massa trascurabile al sostegno del piatto ed immerso nel liquido, senza che tocchi il fondo del bicchiere. Che peso si deve aggiungere o togliere sull altro piatto della bilancia per ristabilire l equilibrio? (N.B.: un valore negativo indica un peso da togliere dall altro piatto) A) -1.75 g B) +1.75 g C) +8.25 g D) +10.0 g E) +11.75 g SOLUZIONE: D Evidentemente la risposta esatta è la D, perché sul piatto della bilancia, già equilibrata con il bicchiere contenente il liquido, si aggiunge un corpo di massa 10.0g il cui peso dovrà essere equilibrata con un peso uguale sull altro piatto. Si può notare che le nuove forze che si generano immergendo il corpo nel liquido, sono tutte coppie opposte (azione-reazione) di forza interne, escluso appunto il peso del corpo aggiunto; per esempio alla spinta di Archimede che l acqua esercita sul corpo si contrappone una forza uguale e contraria del corpo sull acqua. 22) Un asta metrica lunga un metro del peso di 2.0 N può ruotare attorno a un asse orizzontale, in corrispondenza del segno di 60 cm. Un oggetto pesante 4.0 N viene appeso ad un estremità dell asta, come in figura, provocandone la rotazione attorno al fulcro. Quando l asta è orizzontale, quanto vale il momento delle forze applicate rispetto al fulcro? A) Zero B) 1,2 N*m C) 1,4 N*m D) 1,6 N*m E) 1,8 N*m SOLUZIONE: C Rispetto all asse di rotazione (fulcro) il peso P 1 dell oggetto e il peso P 2 dell asta provocano momenti di segno opposto. Detti b 1 e b 2 i bracci delle due forze, la somma vettoriale dei momenti ha per modulo:
23) Un aereo vola orizzontalmente alla velocità di 160 ms-1, a 80 m di altezza dal suolo; quando si trova sulla verticale di un punto a distanza d dal punto prefissato T, sgancia un contenitore. Assumendo che l accelerazione di gravità valga 10 ms-2 e che la resistenza dell aria sia trascurabile, il contenitore cadrà esattamente nel punto T se d è: A) 40 m B) 160 m C) 320 m D) 640 m E) 2560 m SOLUZIONE: D Trascurando la resistenza dell aria, nel moto di caduta il contenitore segue una traiettoria parabolica. Dette x e y le coordinate cartesiane orizzontale e verticale con origine nel punto T, le rispettive leggi orarie sono Dalla seconda si ricava che y = 0 per t =, mentre allo stesso istante deve essere x = 0, per cui
24) Il disegno mostra un carrello di massa M, posto su una rotaia senza attrito, che viene lasciato da fermo dalla cima di una sommità di altezza. Quanto vale l energia cinetica del carrello quando raggiunge la cima della successiva sommità che ha un altezza? A) B) Mg( ) C) Mg( - ) D) E) 0 Il moto del carrello avviene sena attrito, dunque la somma della sua energia potenziale (U = mgh) e della sua energia cinetica (K = mv 2 /2) si manterrà costante in ogni istante. Partendo da fermo K 1 = 0, dunque 25) ) Un carrello di 2kg si muove a velocità costante su una pista circolare di 3m di raggio; la forza centripeta applicata al carrello è di 24N. Trovare la velocità del carrello, in. A) 4.0 B) 6.0 C) 12 D) 16 E) 36 Il carrello in moto circolare uniforme è sottoposto all azione di forze la cui risultante è la forza centripeta F, l intensità di questa si può esprimere come F = mv 2 /R. Da qui si ricava la velocità del carrello 26) Un automobile si muove con velocità iniziale di 16ms 1 e viene fermata con accelerazione costante in 4s. Qual è lo spazio percorso dall automobile durante la frenata? A) 4 m B) 16 m C) 32 m D) 64 m E) 96 m SOLUZIONE: C Lo spazio x f percorso nel tempo totale della frenata t f, quando la velocità si annulla diminuendo uniformemente a partire dal suo valore iniziale v 0, è x f = v 0 t f. Con i dati proposti risulta appunto uno
spazio di frenata di 32 m. Tutte le altre alternative non sono compatibili con i dati. In particolare l automobile percorrerebbe 64 m mantenendo costante la velocità (alternativa D), e per percorrere in 4 s la distanza di 96 m (alternativa E), dovrebbe aumentare la velocità. 27) Un automobilista percorre i primi tre quarti del tragitto del proprio viaggio ad una velocità v e la parte rimanente del tragitto ad una velocità v/2. Qual è stata la velocità media complessiva nel viaggio? A) 0.85v B) 0.80v C) 0.75v D) 0.70v E) 0.65v La velocità media è definita come il rapporto tra la lunghezza totale del percorso e l intervallo di tempo necessario a percorrerla. Indicando con s il tragitto complessivo, i tempi t 1 e t 2 impiegati per compiere la prima e la seconda parte del viaggio valgono rispettivamente Il tempo totale t vale e la velocità media sarà 28) Il periodo di un pendolo semplice è dato da dove T è il periodo del pendolo, l è la lunghezza del pendolo e g è l accelerazione di gravità. Quale o quali tra i seguenti grafici può essere corretto? A) Tutti e tre B) Solo 1 e 2 C) Solo 2 e 3 D) Solo 1 E) Solo 3
SOLUZIONE: D Il grafico 1 mostra proporzionalità tra T e, com è corretto. Nel grafico 3, T cresce più rapidamente di l, cosa non corretta. Nel grafico 2, T si annulla per un valore non nullo di l e si mantiene finito quando l tende a all infinito, cose entrambe non corrette. 29) The behavior of three bars is studied approaching the extreme Q of the first bar at the edges of the other two bars, one after the other. It is observed that the extreme Q attracts the extreme R and also the extremes S and T but rejects the extreme U. Which bars are magnetic? A) 1 B) 2 and 3 C) 1 and 3 D) 3 E) 1, 2 and 3 SOLUZIONE: C L estremo Q della sbarra 1 attrae ambedue gli estremi della sbarra 2: Q allora è un polo di un magnete e la sbarra 2 non è magnetizzata ma è fatta di materiale ferromagnetico. La sbarra 3 ha due poli, l uno attrae il polo Q e l altro lo respinge, anche la sbarra 3 è un magnete.
30) A ball, dropped out from a standstill to a certain height from the floor, bounces several times. The graph shows how a magnitude relative to the motion of the ball varies over time. This magnitude is indicated with the y symbol. What does the magnitude y represent? A) Acceleration B) Move C) Kinetic Energy D) Speed E) Total Mechanical Energy Per descrivere il moto della palla si può fissare l asse x verticale, con l origine nella posizione iniziale della palla; la legge oraria, nella fase iniziale, è, a seconda che il verso positivo sia stato scelto verso il basso o verso l alto. Si può osservare subito che se l energia totale fosse costante il moto sarebbe periodico e indefinito; dunque si deve ritenere che gli urti siano parzialmente anelastici. Ci si riferisce allora solo alla prima fase di caduta. Delle grandezze citate nelle cinque alternative, la velocità varia linearmente nel tempo ( ), l accelerazione è costante ( ) e l energia totale (E = T+U) nella prima fase di caduta è pure costante.; le alternative A, D ed E sono da scartare. Anche l alternativa C è da scartare perché ad ogni rimbalzo, quando la palla raggiunge il punto di massima altezza l energetica cinetica si annulla. La grandezza y rappresentata nel grafico è dunque lo spostamento (Move) dalla posizione iniziale (positivo verso il basso) e il suo valore massimo, raggiunto più volte e indicato in figura dalla linea tratteggiata, corrisponde all altezza della posizione iniziale rispetto al pavimento.