Laboratorio Didattico FDS DIPARTIMENTO di MATEMATICA F. Brioschi POLITECNICO di MILANO

Laboratorio Didattico FDS DIPARTIMENTO di MATEMATICA F. Brioschi POLITECNICO di MILANO Equazioni Differenziali Ordinarie esercizi proposti a cura di Luisa Rossi Costa, Federico M.G. Vegni n.57/r, settembre 9 Piazza Leonardo da Vinci, 3 33 Milano (Italy)

Prefazione Questa dispensa è stata scritta come supporto al corso di Equazioni Differenziali Ordinarie e si è arricchita anno dopo anno con l esperienza acquisita. Lontani dalla pretesa di fornire gli studenti un libro di testo, piuttosto abbiamo avuto il costante obiettivo di integrare i contenuti teorici presentati a lezione con la pratica di esercizi significativi, espressamente rivolti a studenti di Ingegneria, ai quali si chiede di acquisire una sensibilità modellistica ed una buona capacità di analisi qualitativa dei problemi, oltre che l autonomia nell approccio quantitativo. Gli autori

Indice Parte I Equazioni del primo ordine in forma normale resolubili elementarmente... 3. Equazioni a variabili separabili... 3.. Esercizi... 3.. Soluzioni... 5. Equazioni lineari..... Esercizi... 3.. Soluzioni... 4 Introduzione alla modellistica differenziale... 9. Costruzione ed interpretazione di modelli, diagrammi di fase... 9.. Esercizi... 9.. Soluzioni... 3 Analisi qualitativa per equazioni del primo ordine in forna normale. 3 3. Studi locali e globali... 3 3.. Esercizi... 3 3.. Soluzioni... 35 4 Altre equazioni del primo ordine in forma normale... 53 4. Equazioni di Bernoulli... 53 4.. Esercizi... 53 4.. Soluzioni... 54 4. Equazioni omogenee... 57 4.. Esercizi... 58 4.. Soluzioni... 59 4.3 Equazioni differenziali esatte... 63

VIII Indice 4.3. Esercizi... 63 4.3. Soluzioni... 64 4.4 Esercizi proposti... 65 5 Equazioni autonome del primo ordine... 67 5. Equazioni autonome a tempo continuo... 67 5.. Esercizi... 67 5.. Soluzioni... 68 5. Equazioni autonome a tempo discreto... 74 5.. Esercizi... 75 5.. Soluzioni... 75 Parte II 6 Ripasso di alcuni prerequisiti... 83 6. Equazioni lineari a coefficienti costanti... 83 6.. Esercizi... 83 6.. Soluzioni... 84 6. Algebra lineare... 89 6.. Esercizi... 89 6.. Soluzioni... 9 6.3 Esercizi proposti... 93 7 Sistemi lineari a coefficienti costanti... 95 7. La matrice esponenziale e At... 95 7.. Esercizi... 95 7.. Soluzioni... 96 8 Sistemi lineari a coefficienti costanti II... 5 8. Classificazione delle traiettorie per i sistemi,... 5 8.. Esercizi... 5 8.. Soluzioni... 6 8. Il caso non omogeneo... 8.. Esercizi... 8.. Soluzioni... 8.3 Esercizi di ricapitolazione... 5 8.3. Esercizi... 5 8.3. Soluzioni... 7 9 Sistemi autonomi non lineari... 7 9. Linearizzazione... 7 9.. Esercizi... 7 9.. Soluzioni... 8 9. Sistemi Hamiltoniani e integrali primi... 34 9.. Esercizi... 34

Indice IX 9.. Soluzioni... 37 9.3 Funzione di Liapunov... 54 9.3. Esercizi... 54 9.3. Soluzioni... 55 9.4 Coordinate polari... 59 9.4. Esercizi... 59 9.4. Soluzioni... 6 9.5 Esercizi proposti... 6

Parte I

Equazioni del primo ordine in forma normale resolubili elementarmente Enunciamo per ora il Teorema di Esistenza ed Unicità locale delle soluzioni al Problema di Cauchy richiedendo l esistenza della derivata f y, e che tale derivata sia continua. Tale ipotesi verrà sostituita in seguito con l ipotesi (più debole) di lipschitzianità in y, uniformemente in t, della f. Teorema. (Teorema di Esistenza ed Unicità locale) Data l equazione differenziale del primo ordine in forma normale y (x) = f(x,y) se nell aperto A R sono soddisfatte le condizioni: (i) f(x,y) continua in A (ii) f(x,y) continua in A y allora la soluzione locale al problema di Cauchy assegnato in un qualunque punto di A esiste ed è unica.. Equazioni a variabili separabili.. Esercizi E... Risolvere l equazione differenziale y = f(x). Negli esercizi che seguono sono proposte equazioni scritte nella forma y = f(x,y) per le quali si cercano integrali y = y(x), equazioni nella forma y = f(t,y) per le quali si cercano integrali del y = y(t) ed equazioni nella forma x = f(t,x) per le quali si cercano integrali x = x(t). Non è escluso che altre notazioni vengano adottate: ciò anche con l intenzione di abituare gli Studenti a distinguere le variabili indipendenti dal contesto dell esercizio.

4 c Federico M.G. Vegni E... Si trovi l integrale generale delle seguenti equazioni differenziali:. y = 4. y = x 3. y = logx 4. x = cost 5. x = arctant E..3. Si trovino tutte le soluzioni dell equazione differenziale y = xy. E..4. Si trovino tutte le soluzioni dell equazione differenziale x = x 3 cost. E..5. Si trovino tutte le soluzioni dell equazione differenziale x = x. Trovare quindi le linee integrali che passano per i punti P = (,), P = (, ), P 3 = (,), P 4 = ( 3, ). E..6. Si trovino tutte le soluzioni dell equazione differenziale x = tx. Trovarequindi le linee integrali che passano risolvono i Problemi di Cauchy x() =, x() =, x( ) =, x() = 3. E..7. Si trovinotutte le soluzioni dell equazionedifferenziale x = t(+x ). Si trovino quindi le linee integrali passanti rispettivamente per i punti P = (,), P = (, /), P 3 = (, ). E..8. Data l equazione differenziale x = t x si trovi la tangente alla soluzione che passa per il punto. P(,). Q(,3). E..9. Sia data l equazione differenziale y +xy +x y =. a. Sidica,inbaseallateoria,doveËpossibilegarantireesistenzaedunicit dellasoluzione locale. b. Si precisi se Ë possibile applicare un teorema di prolungamento. Possono esistere soluzioni definite su R? c. Risolvere il problema di Cauchy y() = associato all equazione assegnata. d. Discutere il problema di Cauchy y() =.

Equazioni del primo ordine 5.. Soluzioni S... In base al Teorema Fondamentale del calcolo integrale, per una funzione y(x) continua con derivata integrabile y (x) vale la formula e quindi y(x) = y(x) = x x y (x)dx+y x x f(x)dx+y da cui necessariamente y = y(x ). Poiché le primitive di una funzione dipendono da una costante, quando non si vuole imporre il passaggio della soluzione per un punto (problema di Cauchy), ma si cerca l insieme delle soluzioni dell equazione differenziale, si scrive semplicemente y(x) = f(x)dx+c. S.... y(x) = 4x+C. y(x) = x 3 /3+K 3. y(x) = xlogx x+c 4. x(t) = /sint+c 5. x(t) = tarctant /log(+t )+K S..3. Per integrare l equazione a variabili separabili occorre dividere per y. Si pone y e contemporaneamente si osserva che y = è una soluzione particolare dell equazione dy = x che integrata membro a membro y y = x +C y = x +K. S..4. Anche qui, x = è integrale particolare. Se x, dx = cost e, integrando membro a membro x3 x = sint+c x = C sint.

6 c Federico M.G. Vegni 8 6 4 soluzione problema soluzione problema soluzione problema 3 soluzione problema 4 4 6 8 4 4 6 Figura.. Problema :(,), Problema : ( π 6,), Problema 3: ( 7π 6, ), Problema 4: ( 5π 6, ) Essendo C una costante arbitraria si evita qui e nel seguito di cambiarle nome all interno di una medesima successione di formule. Osservate che la soluzione è definita solo quando il secondo membro è positivo. Qualora sia stato assegnato un Problema di Cauchy, ad esempio il passaggio per il punto (t,x ) per questa equazione, la condizione di positività del secondo membro viene automaticamente soddisfatta con l appropriata scelta della costante C. Fissata la costante C, la soluzione è determinata e se ne deduce l insieme di definizione coerentemente con il valore t. La compatibilità di segno tra i due membri dell equazione ha però ancora un effetto, infatti la soluzione sarà x = + C sint se x >, invece x = C sint sex <.Lasoluzionenelcasox = èdatainfattidall integraleparticolare.inentrambi i casi la soluzione è definita solamente nell intorno del valore t in cui il radicando risulta positivo. Da ultimo, quindi osservate come la condizione di compatibilià di segno nei due membri dell equazione si traduca in una condizione di esistenza per la soluzione, che non è definita su tutto l asse reale, ma in un intervallo che dipende da dove è stato assegnato il problema di Cauchy. In Figura. sono rappresentate le soluzioni per quattro Problemi di Cauchy assegnati.

Equazioni del primo ordine 7 S..5. Il Teorema di Esistenza ed Unicità locale della soluzione non è applicabile se x =. Come aperto A in cui assegnare un Problema di Cauchy in modo da avere soluzione unica si può scegliere o il semispazio A = { (t,x) R : x > } oppure il semispazio A = { (t,x) R : x < }. Integrando l equazione si trova x t = C, da cui x = t+c. Assegnato il problema di Cauchy, e trovato di conseguenza il valore da assegnare alla costante C, le linee integrali sono definite solamente per t > C/. In Figura. sono ri- 4 3 P =(,) P =(, ) P 3 =(,) P 4 =( 3, ) 3 4 5 6 4 4 6 Figura.. Soluzioni dei Problemi di Cauchy assegnati nell Esercizio 5; si osservi l insieme di definizione delle soluzioni. portate le soluzioni relative a quattro problemi di Cauchy assegnati per questa equazione. L intervallo massimale di esistenza non coincide con R, ma le soluzioni sono prolungabili in R +. S..6. Se x l equazione è equivalente a x x = t, che integrata membro a membro purché x, porta alla soluzione x = 3 3 t +C. Si osservino le soluzioni riportate in Figura.3. Ogni linea è definita su tutto R. Solo le soluzioni tutte positive risolvono l equazione differenziale in tutto R. Le soluzioni in parte positive in parte negative sono da considerarsi solo nei punti in cui t, quindi come tre rami distinti (per t < t, t < t < t, t > t) legati a diversi problemi di Cauchy. In particolare, la soluzione

8 c Federico M.G. Vegni 5 4 3 5 5 5 4 3 5 5 5 4 3 5 5 5 4 3 5 5 Figura.3. In rosso sono disegnate le soluzioni massimali dei problemi di Cauchy ( ) assegnati per l equazione x = tx proposti nell Esercizio 6 3 legata al Problema di Cauchy x() = è la linea di equazione x = 3 t, che risolve l equazione differenziale per t < ; la soluzione legata al Problema di Cauchy 3 3 x() = è la linea di equazione x = 3 t 5, che risolve l equazione differenziale per t > ; la soluzione legata al Problema di Cauchy x( ) = è la linea di equazione 3 3 x = 3 t 5, che risolve l equazione differenziale per t < ; la soluzione legata 3 al Problema di Cauchy x() = 3 è la linea di equazione x = 3 3 t +7, che risolve l equazione differenziale per t R. Le soluzioni trovate sono rappresentate nella Figura.6. S..7. Cominciamo con qualche considerazione preliminare. L equazione differenziale ha significato solo se x. Inoltre, x = è integrale particolare dell equazione. In tutto l insieme {(t,x) R : x } vale il teorema di esistenza ed unicità quindi le linee integrali non si possono intersecare. Studiano il segno della funzione di due variabili che descrive il secondo membro dell equazione otteniamo il campo di direzioni, uno schema che descrive la pendenza (positiva o

Equazioni del primo ordine 9 negativa) delle soluzioni dell equazione assegnata. Se x,, l equazione è equivalente a x x+ x = t. Integrando abbiamo da cui x+ dx = t dt x+ x log x+ = t +C. Assegnato il Problema di Cauchy nel punto P = (,), si ricava il valore della costante C = log;la soluzionetrovataanaliticamente èdunque x log x+ = t / log+. Poiché il Problema di Cauchy è assegnato per x >, possiamo togliere il modulo dall equazione (la soluzione non può attraversare l asse x = che è una soluzione, altrimenti cadrebbe l unicità); la soluzione è quindi: x log(x+) = t log+. Continuiamo con qualche ulteriore commento. La linea di equazione implicita x log(x + ) = t / log+ è composta da due rami disegnati in rosso in Figura.4. Solo uno dei due (quello che incrocia P ) è la soluzione (locale) del problema di Cauchy; il secondo ramo pur avendo la stessa espressione analitica del primo, non risolve il problema di Cauchy assegnato. Ripetiamo i ragionamenti fatti anche per risolvere il Problema di Cauchy nel punto P = (, /). Il valore della costante è C = log /; la soluzione trovata analiticamente, togliendo il modulo all argomento del logaritmo, è quindi: x log(x+) = t log+. Anche questa linea, in forma implicita, è composta da due rami, di cui solo uno risolve localmente il Problema di Cauchy assegnato, come appare chiaramente dalla Figura.4. In modo analogo, troviamo che la soluzione al Problema di Cauchy P 3 = (, ) è la linea di equazione implicita x log(x+) = t +log rappresentata in Figura.4. x log( x ) = t Non è richiesto allo studente la conoscenza dello studio delle linee in forma implicita, ci basta in questa sede commentare i risultati ottenuti, dando per acquisito il grafico in Figura.4.

c Federico M.G. Vegni 3.5 x log(x+)=t / log+ x log(x+)=t /+log / x log(x+)=t /.5.5.5.5 3 3 Figura.4. Soluzioni dei Problemi di Cauchy proposti nell Esercizio 7. Alcune soluzioni analitiche sono composte da due rami; solo uno di questi risolve il Problema di Cauchy assegnato. S..8. Entrambi i punti P e Q appartengono ad aperti in cui sono verificate le ipotesi del Teorema di Esistenza ed unicità locale della soluzione (rispettivamente il semipiano x > e il semipiano x < ). Essendo unica la soluzione locale al problema di Cauchy, è unica la tangente alla soluzione rispettivamente in P e in Q. Le rette richieste sono. x = t. x 3 = 9 (t+). S..9. a. Scrivendo l equazione in forma normale y = xy x y si ha che y = f(x,y) ove f : R (R + {}) R. Dunque il dominio della funzione f non Ë un insieme aperto. Si ha f C (R R + ), dunque per il teorema di Cauchy Lipschitz per ogni (x,y ) R R + esiste un unica soluzione del problema di Cauchy con dato iniziale (x,y ) definita in un opportuno intorno di x. Possiamo garantire solo esistenza ma non unicit per un problema di Cauchy con dato iniziale (x,), x R (cioë sul bordo dell insieme di definizione di f). b. PoichÈ la funzione f non Ë definita in alcuna striscia vericale [a,b] R, non possiamo applicare il teorema di esistenza ed unicit globale e quindi non possiamo prevedere nulla circa l intervallo massimale di prolungabilit delle soluzioni. Possono quindi esistere soluzioni definite su R oppure non esistere, non si puú dire nulla. Osserviamo senza fatica, perú, l esistenza della soluzione y =.

Equazioni del primo ordine c. Si tratta di un equazione a variabili separabili e di Bernoulli. Scriviamola come y = x y ( y +); la funzione y = Ë soluzione costante. Supponendo ora y dividiamo ed otteniamo y y (+ y) = x da cui ỵ y ( y +) = x +c, c R. Ponendo t = y si ha ỵ = y ( y +) ṭ t+ = ln +t = ln(+ y) dunque l integrale generale (esclusa la soluzione costante y = ) Ë, in forma implicita cioë ln(+ y) = x +c, c R, (+ y) = Ke x, K R. Per esplicitare le soluzioni, osserviamo dalla relazione precedente che esistono soluzioni solo per K (infatti per K < si ha Ke 4 x < mentre (+ y) ) e per tali valori di K si ha y = Ke 4 x. (SOL) Pertrovareildominiodellesoluzionicichiediamoperqualix Rhasensol espressione precedente, al variare di K : si ha y = Ke 4 x Ke 4 x Ke 4 x e 4 x K 4 x ln K 4 x ln [ K x (ln ] K),(ln K) (si osserviche, poichè abbiamo gi detto che K, l espressionetrovata ha senso poichè ln K ). A questo punto (e solo a questo punto!) si puú esplicitare l integrale generale trovando: y(x) = ( [ Ke 4 x ), x (ln ] K),(ln K). Ponendo y() = in (SOL) otteniamo = K K = 4 da cui la soluzione del problema di Cauchy proposto [ Ë y(x) = (e 4 x ), x (ln),(ln) ].

c Federico M.G. Vegni d. Abbiamo gi trovato la soluzione costante y(x) = ; vediamo se esistono altre soluzioni della forma trovata nell integrale generale. Sostituendo y() = in (SOL), si ha da cui un altra soluzione sarebbe = K, K = y(x) = (e 4 x ), x [,] ma in questo caso il dominio di definizione Ë il solo punto x = e quindi non abbiamo trovato una funzione! L unica soluzione del problema di Cauchy Ë quindi quella costante y(x) =.. Equazioni lineari Ricordiamo brevemente il metodo di integrazione con un fattore integrante, di notevole interesse e larghe applicazioni, per l equazione y (x) = a(x)y(x)+b(x). Moltiplicando per una funzione incognita µ(x) si ottiene: y (x)µ(x) a(x)µ(x)y(x) = b(x)µ(x). Supponiamo che la funzione µ(x) soddisfi la condizione 3 a(x)µ(x) = µ (x), allora il primo membro dell equazione è la derivata del prodotto y(x)µ(x), e la primitiva dell equazione che cerchiamo è data dalla relazione y(x)µ(x) = b(x)µ(x)dx + C. Utilizzando la scrittura esplicita per la funzione µ, troviamo la soluzione: y(x) = e a(x) ( b(x)e a(x)dx +C ). 3 La condizione a(x)µ(x) = µ (x) impone a µ di essere soluzione di un equazione differenziale a variabili separabili. Gli Studenti già sanno che una delle soluzioni di tale equazione è la funzione µ(x) = e a(x)dx.

Equazioni del primo ordine 3.. Esercizi E... Integrare l equazione x = x t. E... Dimostrare che la soluzione dell equazione X = Xt+sint passante per (π/4,) può essere scritta come [ ] t t X(t) = e π/4 τdτ + sinτe τ π/4 σdσ dτ. π/4 E... Dimostrare che l unica soluzione dell equazione X = a(t)x +b(t) passante per (t,x ) può essere scritta nella forma [ t t a(τ)dτ t X(t) = e x + b(τ)e ] τ t a(σ)dσ dτ. t E..3. Risolvere il problema di Cauchy { y + sint cost y = cost y() =. E..4. Sia data l equazione differenziale ordinaria y = t t (y ).. Dopo aver enunciato{ il Teorema di Esistenza ed Unicità locale per le soluzioni del y problema di Cauchy = f(t,y), specificare in quale campo A R y(t ) = y il Teorema garantisce esistenza ed unicità della soluzione all equazione assegnata.. Studiare nel piano (t,y) il segno di y. 3. Scrivere l integrale generale dell equazione. 4. Trovare la linea integrale che risolve il problema di Cauchy y() = 3. 5. Specificare il dominio massimale della soluzione trovata al punto d), osservando se poteva essere previsto a priori. 6. Trovare le linee integrali tangenti alle funzione u(t) = e t +, e scrivere le tangenti comuni. E..5. Sia data l equazione differenziale ẏ = x +xy +. i) Enunciare con rigore il Teorema di Esistenza ed Unicità. ii) Verificare le ipotesi del Teorema di Prolungamento per dedurre un intervallo massimale di esistenza delle soluzioni con dato iniziale y() = k. iii) Studiare il segno della derivata prima della soluzione e verificare a priori la presenza di asintoti per la soluzione. iv) Integrare l equazione e scrivere l integrale generale. v) Risolvere il problema di Cauchy y() = 5.

4 c Federico M.G. Vegni.. Soluzioni S... Moltiplico l equazione per la funzione incognita µ(t): x (t)µ(t) x(t)µ(t) = tµ(t). L equazione precedente sarebbe facile da integrare se µ(t) = µ (t). Tra le sue soluzioni consideriamo la più semplice Ricaviamo quindi che µ(t) = e t. d [ x(t)e t ] = te t dt x(t)e t = te t +e t +C x(t) = t++ce t. Risolvere l esercizio scrivendo la soluzione come sovrapposizione della soluzione generale della parte omogenea e di una soluzione particolare (At + B) dell equazione completa. S... La funzione X passa per il punto (π/4,), come si verifica facilmente per sostituzione. Derivando la funzione X rispetto alla variabile t, ed applicando il Teorema Fondamentale del calcolo integrale, si ottiene [ X t t (t) = te π/4 τdτ + π/4 sinτe τ π/4 σdσ dτ [ t +e π/4 τdτ sinte t σdσ] π/4 = tx(t)+sint. S... La dimostrazione ricalca esattamente quella fornita nell esercizio precedente. S..3. In base al problema di Cauchy assegnato, l equazione perde di significato fuori dall intervallo ( π, π ). Applicando la relazione trovata nell esercizio 3, si ha ristretta a ( π/, π/). y(t) = e t sinτ cos τ [+ dτ = e log cost [+ = (+t)cost t t cos(τ)e τ ] ] sinσ cos σ dσ dτ ] cos(τ)e log cosτ dτ

Equazioni del primo ordine 5 S..4. (a) Teorema. Sia data z = f(t,y) continua nell aperto A R e tale che f y sia pure continua in A. Allora il problema di Cauchy y(t ) = y, con (t,y ) A, assegnatoper l equazionedifferenziale y = f(t,y) ammette una ed una solasoluzione locale. La funzione z = t t (y ) è continua insieme alla sua derivata parziale rispetto alla variabile y nell aperto A = (,) R oppure in A = (,) R oppure in A 3 = (,+ ) R. I problemi di Cauchy y = t t (y ) y(t ) = y (t,y ) A y = t t (y ) y(t ) = y (t,y ) A ammettono, rispettivamente, soluzione locale unica. y = t t (y ) y(t ) = y (t,y ) A 3 (b) In A la soluzione cresce se y > ; decresce se y < ; ha tangente orizzontale se y =. In A la soluzione cresce se y > e t < oppure se y < e t > ; decresce se y > e t > oppure se y < e t < ; ha tangente orizzontale se t = e se y =. In A 3 la soluzione cresce se y > ; decresce se y < ; ha tangente orizzontale se y =. (c) La funzione y = è soluzione del problema separatamente negli aperti A, A, A 3. L equazione è lineare e può essere integrata separatamente negli aperti A, A, A 3. L equazionepuò anche essere integrata come equazione a variabili separabili separatamente negli aperti A, A, A 3 : dy y = tdt t log y = log t +C = log t +logk = logk t con C costante arbitraria. Si osservi che K >. Conglobando i moduli nel segno della costante L, si ottiene l integrale generale y = L(t )+. (d) y = 3 (t )+. (e) La funzione definita in d) risolve l equazione differenziale nell aperto (, + ) (intervallo massimale). Ragionando a priori, il Teorema di prolungamento può essere applicato nella striscia S = [a,b] R, con a > e a < b < +. Infatti la funzione f(t,y) = t t t (y ) è il prodotto di due funzioni g(t) = t e h(y) = (y ): g(t) è continua sull intervallo [a, b] (chiuso e limitato) quindi è una funzione limitata dal suo massimo M; h(y) è una funzione lineare. Ne risulta t t (y ) M y in S. Dall arbitrarietà di a e di b si deduce che la soluzione può essere prolungata in tutto A 3.

6 c Federico M.G. Vegni (f) Da y = e t + si ricava y = e t, e sostituendo nell equazione differenziale e t = t t et da cui t = ±. Nei punti di ascissa t = ± e ordinata e ± +, la funzione y(t) = e t + e le linee integrali del problema proposto hanno tangente comune. Le lineeintegralicercatequindirisolvonoiproblemidicauchy(t,y ) = (,e + ) e (t,y ) = (+,e + +) e sono, rispettivamente y = e (t )+ y = e+ + (t )+. Le rette tangenti richieste y = +e +e (t + ) y = +e + +e + (t ). S..5. i) Vedi libro di testo. ii) Si considera la striscia S = [a,b] R con a < e b > in modo che il punto(,k) appartenga ad S. L equazione è lineare; in particolare studiando il grafico della funzione z(x) = x +x è facile dedurre che maxx [a,b]z(x) =. Quindi in S vale la maggiorazione x +xy + x +x y + y + indipendente da a e da b. Ne segue che la soluzione è prolungabile su tutto R. iii) La derivata è positiva se y +x x. Con un semplice studio di funzione, si ricavano le soluzioni, riportate in Figura.5. 5 4 3 3 4 5 5 4 3 3 4 5 Figura.5. Studio del segno della derivata prima.

Modelli 7 iv) Integrando l equazione lineare si ottiene y(x) = ( x 3 ) C +x+. x + 3 v) La soluzione associata al problema di Cauchy y() = 5 si ottiene con la scelta C = 5.

Introduzione alla modellistica differenziale. Costruzione ed interpretazione di modelli, diagrammi di fase.. Esercizi E... Due amici vanno a prendere un caffè al bar. Entrambi ordinano un caffë lungo, che viene servito ad una temperatura di 6 C. Federico allunga subito il caffé con una uguale quantità di latte, ed attende minuti prima di sorseggiarlo. Gianmaria, invece, aspetta 5 minuti prima di allungare il caffé e quindi altri 5 minuti prima di consumarlo. Assumendo che la temperatura del latte sia di 6 C, e che quella dell ambiente sia di 4 C, si determini chi tra Gianmaria e Federico beve il caffë più freddo. [Si assuma che la velocità con la quale un corpo si raffredda sia proporzionale alla differenza di temperatura tra il corpo e lo spazio ambiente secondo una opportuna costante k. Questa assunzione in Termodinamica prende il nome di Legge di Fourier.] E... Un serbatoio contiene litri d acqua. All istante t= una miscela contenente un etto di sale viene versata alla velocit di un litro al minuto e la mistura esce alla stessa velocit. Dopo quanto tempo ci saranno chilogrammi di sale sciolti nel serbatoio? E..3. Supponendo di investire 3 euro al 5% di interesse, calcolare la somma ricavata dopo mesi, se l interesse viene composto annualmente, semestralmente, mensilmente, settimanalmente, giornalmente, e infine in modo continuo. Quindi supponendo che l investimento all istante t sia A(t), scrivere l equazione differenziale che regola il tasso di interesse composto con dato iniziale del problema pari ad A. E..4. Si determini l integrale generale dell equazione ÿ +βẏ +y = sint per β. Per quali valori di β si verifica il fenomeno della risonanza?

c Federico M.G. Vegni E..5. Il modello logistico ( P (t) = ǫp(t) P(t) ) k dove ǫ, k >, può essere modificato nel cosiddetto modello logistico con prelievo ( P (t) = ǫp(t) P(t) ) h k con h >.. Discutere l equazione così modificata.. Tradurre nello spazio delle fasi monodimensionale i risultati trovati sia nel caso dell equazione logistica sia nel caso dell equazione logistica con prelievo. E..6. L equazione q (t) = f(q(t))+hq(t) con h R, generalizza l equazione del modello logistico ottenibile nel caso f(q) = ǫ q k e h = ǫ. Indicare alcune ipotesi ragionevoli su f ed h, che garantiscano l esistenza di un punto di equilibrio asintoticamente stabile. E..7. Una popolazione N di individui è soggetta a una malattia infettiva non mortale, in modo che N sia costante nel tempo. Dividendo in due categorie gli individui cosicchè S = S(t) è il numero di individui sani (ed eventualmente suscettibili di infezione) ed I = I(t) è il numero di infetti, scrivere il modello di evoluzione della malattia sapendo che: ai fini della trasmissione della malattia solo una percentuale α dei possibili incontri tra infetti e sani nell unità di tempo risulta efficace; una percentuale β degli infetti diventa sana nell unità di tempo.. Studiareildiagrammadifaseperl equazione,alvariarediα,β edn,interpretandone i risultati.. Integrare l equazione, quindi confrontare i risultati che si ottengono calcolando il limite della soluzione per t + con quelli ottenuti al punto precedente. E..8. Considerarei due modelli seguenti, che descrivonola caduta di un gravedi massa m nell aria:. v (t) = g h m v(t). v = g h m v (t) dove h è una costante positiva e g è l accelerazione di gravità. Studiare i diagrammi di fase nei due casi, quindi integrare le equazioni e confrontare, interpretandoli, i risultati ottenuti.

Modelli E..9 (Velocità di fuga dalla Terra). Data la massa M della Terra, R il suo raggio e G la costante di gravitazione, si consideri un corpo di massa m che si trova a distanza r = R+h dal centro del pianeta e che sia soggetto alla forza F = GM m r di tipo centrale. Ponendo k = GM, m = ed indicando con v = v(t) = dr la velocità dt del corpo, si ha d r dt = k r ovvero dv dt = k r. Si lanci il corpo verticalmente verso l alto con velocità iniziale v.. Sapendo che per r = R, l accelerazione é g, determinare k in funzione di R e di g.. Calcolare v in funzione di r. 3. Trovare la velocità di fuga dalla Terra (la velocità v necessaria affinchè il corpo non ritorni più sulla Terra). E... Un modello per la diffusione di un epidemia in una popolazione composta da un numero costante N di individui si basa sull ipotesi che la variazione di individui infetti sia contemporaneamente proporzionale al numero di individui infetti I(t) e al numero di individui sani S(t) secondo una costante di proporzionalità, che possiamo porre per semplicità. (a) Scrivere un equazione differenziale che descrive il modello, dando le opportune limitazioni alle variabili affinché abbiano significato fisico. (b) In una città isolata con abitanti, se individui sono infetti al tempo t, in quanto tempo viene contagiato l 8% della popolazione, secondo il modello proposto? E... Un serbatoio da l contiene litri di acqua pura. All istante t =, da una tubazione, una miscela contente 5 g di sali ogni litro viene immessa nella vasca alla velocità di 4 litri al minuto; i sali sono ben miscelati e si diluiscono istantaneamente nell acqua della vasca. La mistura esce attraverso una condotta di scarico alla velocità di 3 l al minuto. Quanto sale è contenuto nel serbatoio all istante in cui il serbatoio trabocca e quale è la concentrazione?.. Soluzioni S... Innanzitutto bisogna tradurre la legge di Fourier in un equazione differenziale. Indichiamo con T(t) la temperatura di un corpo (in gradi centigradi) all istante t (in minuti): allora la velocità a cui il corpo si raffredda è data da dt/dt. Possiamo quindi scrivere la legge di Fourier come

c Federico M.G. Vegni T (t) = k(t(t) T ), dove T indica la temperatura dell ambiente e k la costante positiva di proporzionalità. Si noti che, in base a questa legge, se la temperatura del corpo è più alta di quella dell ambiente il corpo si raffredda, e viceversa se è più bassa il corpo si riscalda. Nel nostro caso si ha T = 4. In vista dell applicazione al problema, ricaviamo la soluzione del generico problema di Cauchy: { T (t) = k(t(t) 4) T(τ) = ξ. Utilizzando il metodo di integrazione per equazioni a variabili separabili e sostituendo la condizione iniziale per ricavare la costante di integrazione si ottiene T(t) = 4+(ξ 4)e k(t τ). Indichiamo con T f (t) la temperatura del caffè di Federico e con T g (t) la temperatura del caffè di Gianmaria. Si noti che, visto che Federico allunga il caffè a 6 con un uguale quantità di latte a 6, la temperatura iniziale del caffè allungato è di 38 (la media aritmetica delle due). Di conseguenza si ha τ =, ξ = 38, T f (t) = 4+4e kt e quindi possiamo calcolare la temperatura a cui beve Federico: T f () = 4+4e k. Passiamo all altro caso. Per i primi 5 minuti la temperatura del caffè di Gianmaria soddisfa il problema di Cauchy con τ = e ξ = 6. Abbiamo quindi T g (t) = 4+36e kt e T g (5) = 4+36e 5k. Nel frattempo il latte si riscalda, perché la sua temperatura è più bassa di quella dell ambiente: per la temperatura T l del latte abbiamo τ =, ξ = 6, T l (t) = 4 8e kt, T l (5) = 4 8e 5k. A quel punto Gianmaria mescola il caffè con il latte, ottenendo una miscela avente temperatura 4+4e 5k. Il raffreddamento prosegue sempre secondo la solita legge, e stavolta i dati iniziali sono τ = 5 e ξ = 4+4e 5k. Abbiamo quindi, per t 5, T g (t) = 4+4e 5k e k(t 5), per cui T g () = 4+4e k. I due amici bevono dunque il caffè alla medesima temperatura. S... Indichiamo con s(t) la quantità di sale (misurata in chilogrammi) presente nella miscela all istante t (misurato in secondi), e cerchiamo di scrivere un equazione differenziale per s. In ogni minuto, nella cisterna entrano. kg di sale. Supponiamo che il sale si misceli istantaneamente in modo uniforme in tutta la cisterna. Ciò significa che all istante t in un litro di miscela è presente una quantità s(t)/ kg di sale. Quindi la variazione della quantità di sale al minuto è. s(t)/. In altre parole, s (t) =. s(t). Tale equazione può essere integrata sia come equazione alle variabili separabili, sia come equazione lineare. Ricordando che s() =, si ottiene s(t) = e t/. Per calcolare il tempo richiesto basta quindi risolvere l equazione e t/ =. Perciò basta aspettare log minuti. S..3. Se 3 euro vengono investiti al 5% annuo, dopo un anno la cifra accantonata corrisponde a +,5 volte la cifra iniziale, e dopo due anni corrisponderà,5,5 la

Modelli 3 cifrainiziale.inquestocasodopok annil investimentosaràdiventatoparia3 (,5) k. In generale se A è l investimento a tasso r, dopo k anni ci sarà stato un accantonamento pari a A ( + r) k. Di solito però gli interessi vengono calcolati più frequentemente che una volta alla fine dell anno, diciamo n volte nel corso di uno stesso anno. Allora in ogni periodo il tasso di interesse è r/n. In questo caso, in k anni ci sono nk periodi, alla fine dei quali il capitale raggiunto è A (+r/n) nk ad esempio, dopo 3 anni al 5% d interesse, 3 euro di capitale diventano 3(.5) 3 = 347.9 euro con interesse composto annualmente 3(.5) 6 = 3479. euro con interesse composto semestralmente 3(+.5/4) = 348.3 euro con interesse composto trimestralmente 3(+.5/) 36 = 3484.4 euro con interesse composto mensilmente 3(+.5/365) 3 365 = 3485.5 euro con interesse composto giornalmente Se si vuole sapere il risultato a mesi, si ha 3(+.5/) / = 34,5 euro con interesse composto annualmente 3(+.5/) /3 = 34.8 euro con interesse composto semestralmente 3(+.5/4) /3 = 34.9 euro con interesse composto trimestralmente 3(+.5/) = 35. euro con interesse composto mensilmente 3(+.5/365) 6 = 35. euro con interesse composto giornalmente L interesse pagato cresce al tendere di n ad infinito, e l interesse composto in modo continuo sarà ( A(t) = lim A + r [ nt ( = lim n + n) A + r ) ] n/r rt n + n [ ( = A lim + r ) ] n/r rt = A e rt n + n L equazione differenziale che descrive il problema si ottiene derivando da(t) dt = ra e rt = ra(t) Perciò nel caso di interesse composto in modo continuo, 3 euro investiti a mesi con 6.5 tasso al 5% diventano 3 e 365 euro. S..4. L equazioneassegnatapuòrappresentareilmotodiunaparticelladimassam = vincolata ad una molla con costante elastica k = e che subisce un attrito viscoso con un coefficiente di proporzionalità pari a β. Il polinomio caratteristico dell equazione omogenea ha le radici λ, = β ± β. Distinguiamo i diversi casi in cui le soluzioni del polinomio caratteristico sono reali o complesse.

4 c Federico M.G. Vegni Se β <, gli autovalori del problema sono complessi e coniugati e λ, = β ± i β, cui corrisponde un integrale generale dell equazione differenziale omogenea y(t) = e βt( c sin(t β )+c cos(t β ) ). Se β =, gli autovalori del problema sono reali e conicidenti e λ, =, cui corrisponde un integrale generale dell equazione differenziale omogenea y(t) = c e t +c te t. Se β >, gli autovalori del problema sono reali e distinti e λ, = β ± β, cui corrisponde un integrale generale dell equazione differenziale omogenea y(t) = c e ( β β )t +c e ( β+ β )t. Risolviamo il problema dell equazione completa, cercando se esiste una soluzione particolare dell equazione differenziale della forma u(t) = Asint+Bcost. Una funzione di questo tipo dipende linearmente dall integrale generale della parte omogenea solo se β =. Il caso β =, che corrisponde ad un caso di risonanza, è trattato nel seguito. Supponiamo quindi per ora β >. Abbiamo u(t) = Asint+Bcost u (t) = Acost Bsint u (t) = Asint Bcost. Affinché u(t) risolva l equazione assegnata, deve essere si ricava Asint Bcost+β(Acost Bsint)+Asint+Bcost = sint A = B = β. Se invece β =, verifichiamo per quali valori di A e B la funzione u(t) = t(asint+bcost) è integrale particolare dell equazione ÿ +y = sint. Abbiamo

Modelli 5 u(t) = t(asint+bcost) u (t) = Asint+Bcost+t(Acost Bsint) = u (t) = (Acost Bsint)+t( Asint Bcost). Affinché u(t) risolva l equazione assegnata, deve essere si ricava (Acost Bsint)+t( Asint Bcost)+t(Asint+Bcost) = sint A = B =. L integrale generale del problema, nel caso β = è allora y(t) = c sin(t)+c cos(t) tsint. S..5. È sottinteso che, trattandosi di popolazioni, si considerano significative solo le soluzioni con P(t). Nel modello logistico standard l incremento della popolazione P è proporzionale sia alla popolazione P che a k P, dove k rappresenta un valore soglia, nel senso che, quando P è vicina a k, P è piccola e quindi la popolazione tende a variare poco (si può immaginare che, per P vicino a k, tutto lo spazio abitabile sia esaurito e quindi che la popolazione non tenda a crescere ulteriormente). In questo senso, si dice che k è un punto di equilibrio (P K implicap );seadun certoistantet siha < P(t ) < k alloralapopolazione crescetendendo ak,sep(t ) > k alloralapopolazionedecresceindefinitamente tendendo a k, e quindi k Ë asintoticamente stabile. Nel caso con prelievo il modello può essere interpretato come segue: oltre alla dinamica interna data dal modello precedente, un agente esterno preleva dalla popolazione h individui nell unità di tempo (è il caso, ad esempio, di un allevamento). In questo caso k non è più un punto di equilibrio. L equazione, a variabili separabili(in effetti è autonoma), potrebbe essereintegrata,ma per i nostri scopi è sufficiente studiare il segnodi P e tenere presente che se P è definita su tutto R ed ha un asintoto orizzontale, allora tale asintoto corrisponde ad un punto di equilibrio (vedi l esercizio seguente per i dettagli). Cerchiamo quindi i valori di P per cui si ha P = ǫ k P +ǫp h. Si hanno tre casi, a seconda che il discriminante del polinomio sia negativo, nullo o positivo. h > ǫk 4 : per ogni P si ha P <. Quindi non esistono punti di equilibrio e, qualunque sia la popolazione iniziale, si ha l estinzione in tempo finito: la quantità di individui prelevati nell unità di tempo (cioè h) è troppo grande e la popolazione non riesce a riprodursi abbastanza velocemente per rimpiazzarli.

6 c Federico M.G. Vegni h = ǫk 4 : P si annulla solo per P = k/, e P < altrimenti. Quindi se P(t ) > k/ allora la popolazione decresce in modo monotono tendendo asintoticamente a k/ (si ricordi che P(t) non può intersecare la retta a quota k/ per unicità della soluzione del problema di Cauchy). Se < P(t ) < k/ la popolazione si estingue in tempo finito come nel caso precedente. h < ǫk : si hanno due punti di equilibrio corrispondenti ai valori 4 P = k ( ) k ǫk ǫ 4 h, P + = k ( ) + k ǫk ǫ 4 h. Si verifica facilmente che entrambi questi valori sono positivi. Se P(t ) > P + allora P(t) decresce tendendo asintoticamente a P +. Se P < P(t ) < P + allora P(t) cresce tendendo asintoticamente a P +, che quindi è un equilibrio asintoticamente stabile (al contrario, P è chiaramente instabile). Se < P(t ) < P allora la popolazione si estingue in tempo finito. Si noti che in questo esercizio lo spazio delle fasi è la semiretta R + dei numeri reali positivi, per cui, per lo studio del diagramma di fase, basta riportare le considerazioni fatte sulla semiretta. S..6. Cerchiamo di offrire una trattazione più generale di quella richiesta dal problema, per cui poniamo f(q)+hq = g(q) e consideriamo l equazione autonoma Si può dimostrare il seguente teorema. q(t) = g(q(t)). Teorema.. siano g una funzione di classe C (in modo che valga il teorema di esistenza ed unicità locale per i problemi di Cauchy) e q R tale che g(q ) =, g è positiva in un intorno sinistro di q e negativa in un suo intorno destro (alternativamente, g (q ) < oppure g (q ) = e q è un punto di flesso discendente per g). Allora q è un punto di equilibrio asintoticamente stabile. Dimostrazione: visto che g(q ) = chiaramente q è un punto di equilibrio e q(t) q è una soluzione costante dell equazione. Supponiamo che g(q) sia positiva su (q δ,q ) per un certo δ positivo, e sia q un punto di tale intorno sinistro di q. Dire che q è asintoticamente stabile equivale a dire che la soluzione del problema di Cauchy con dato iniziale q(t ) = q tende a q per t + (si può ragionare analogamente per l intorno destro). Dimostriamolo. Dato il segno di g, abbiamo che q(t) è crescente finché è più piccola di q ; d altra parte non può intersecare la retta q = q per unicità, e quindi non può avere asintoti verticali. Se ne deduce che q(t) è definita e monotona crescente su [t,+ ), con q q(t) < q.una funzione monotona e limitata ammette limite (cioè

Modelli 7 asintoto orizzontale). Indichiamo con q tale limite. Chiaramente q < q q. La nostra tesi equivale a dire che q = q. Supponiamo quindi per assurdo che q q. Abbiamo che per t + q(t) q e quindi, sostituendo nell equazione, q(t) g(q ) per ipotesi. Ma ciò è assurdo, in quanto in presenza di un asintoto orizzontale se la derivata ammette limite allora tale limite deve essere. Tornando al nostro caso, per assicurare l esistenza di un punto di equilibrio asintoticamente stabile è sufficiente quindi dare condizioni in modo che il grafico della funzione y = f(q) intersechi la retta y = hq dall alto verso il basso. Ad esempio basta che f() =, f () > h, f(q) < hq per q +. Si può vedere che l equazione logistica soddisfa queste condizioni. S..7. Si tratta di scrivere l equazione differenziale associata al modello. L osservazione principale in questo senso è quella che il numero dei possibili incontri nell unità di tempo è semplicemente I(t) S(t) (stiamo supponendo che ogni individuo sano possa incontrare ogni individuo infetto). Quindi l incremento degli infetti nell unità di tempo è dato dal termine che dipende dai possibili incontri (αi(t)s(t)) e dal termine dovuto alle guarigioni ( βi(t)). Ricordando che I(t)+S(t) = N I(t) = αi(t)s(t) βi(t) = (αn β)i(t) αi(t).. Per l analisi del diagramma di fase dobbiamo calcolare i punti di equilibrio ed il segno di I in funzione di I (si noti che l equazione è di tipo logistico). Ponendo I = otteniamo i due punti di equilibrio I = ed I = N β/α. Ricordando che siamo interessati solo alle soluzioni non negative, abbiamo i due casi. Se N β : per ogni condizione iniziale positiva la soluzione corrispondente α decresce tendendo asintoticamente a, che è un equilibrio asintoticamente stabile (nel caso N β/α = è stabile solo da destra). Se N β α > : le soluzioni con condizione iniziale I(t ) > N β/α decrescono monotonamente, quelle con condizione iniziale < I(t ) < N β/α crescono monotonamente, e tutte tendono a N β/α che è un punto di equilibrio asintoticamente stabile (mentre in questo caso è instabile).. L integrazione dell equazione è lasciata per esercizio al lettore. S..8. Parliamo di caduta di gravi, quindi consideriamo le soluzioni con v positiva (orientata verso la Terra). Analoghi ragionamenti valgono comunque anche per v negativa.. mg/h è un punto di equilibrio asintoticamente stabile. Le soluzioni con dato iniziale maggiore del valore di equilibrio decrescono, quelle con dato iniziale inferiore crescono.. (mg/h) / è un punto di equilibrio asintoticamente stabile. Le soluzioni con dato iniziale maggiore del valore di equilibrio decrescono, quelle con dato iniziale inferiore crescono. Integrazione delle equazioni. L equazione

8 c Federico M.G. Vegni v (t) = g h m v(t) è lineare a coefficienti costanti del primo ordine. L equazione omogenea associata é: v (t)+ h v(t) =. m Si ottiene subito che una generica soluzione dell omogenea Ë data da v (t) = ce h m t, con c costante arbitraria in R. Cerchiamo una soluzione particolare dell equazione non omogenea del tipo v p (t) = a, per ogni t. Dobbiamo ottenere v p(t) = g h m v p(t), quindi a = gm h. L integrale generale dell equazione non omogenea é dunque: v(t) = cv (t)+v p (t) = ce h m t + gm h. L equazione v = g h m v (t) è a variabili separabili. Con qualche calcolo la si può riscrivere come dv v (mg/h) = hdt m, da cui, integrando e ricavando v, si ottiene la soluzione v(t) = ( mg ) / +Ce t( mg h )/ h Ce t(mg)/. h S..9.. Dalla legge di Newton F = ma = mg e dalla otteniamo nel caso r = R F = GM m R mg = GM m R = k m R, da cui k = gr.. Calcoliamo v in funzione di r. Per la regola di derivazione delle funzioni composte dv(r(t)) dt = dv dr dr dt = vdv dr. Inoltre sappiamo che dv dt = k da cui ricaviamo r v dv dr = k r.

Modelli 9 Abbiamo ottenuto un equazione differenziale a variabili separabili Integrando si ottiene: vdv = k r dr. v = k r +c, con c costante arbitraria. Sapendo che v(r) = v, c = v k R, da cui: v(r) = ( ( k r ) / ( / +v ) gr(r r) = +v ). R r 3. Trovare la velocità di fuga dalla Terra (la velocità v necessaria affinchè il corpo non ritorni più sulla Terra). L altezza massima h raggiunta dal corpo di massa m si determina ponendo a zero la velocitá v(r), con r = R+h. v(r+h) = ( grh ) / R+h +v = v = ( ) / grh. R+h Vogliamo che il corpo non torni più sulla terra, imponiamo che l altezza massima raggiunta vada all infinito, quindi la velocitá di fuga dalla terra v f sará data da: ( ) / grh v f = lim v = lim = (gr) /. h + h + R+h S... (a) Secondo la descrizione del modello deve essere I(t) = ki(t)s(t) e la costante di proporzionalità è scelta k =. Perchè abbiano il significato assegnato le variabili devono soddisfare ad ogni istante t le condizioni I(t),S(t) N essendo N in numero totale di individui. Se si segue l evoluzione del sistema si può porre t essendo l istante in cui cominciano i rilevamenti. Tenendo conto che deve essere S +I = N, l equazione diventa che è l equazione logistica. I(t) = I(t)(N I(t))

3 c Federico M.G. Vegni (b) L equazione I = I( I) a variabili separabili integrata diventa I(t) = Ket +Ke t. Scelto t = ed imposta la condizione iniziale, si ottiene K = /9 da cui I(t) = +9e t. Il valore di t in cui si è ammalato l 8% della popolazione si ricava risolvendo + 9e t = 5/4, da cui t = log36. S... Indichiamo con Q(t) la quantità di miscela presente nel serbatoio (in litri) all istante t. Misuriamo t in minuti. Poichè nel serbatoio entrano 4l di miscela al minuto e ne escono 3 al minuto, essendo l la quantità iniziale di acqua, abbiamo che Q(t) = +(4 3)t da cui possiamo ricavare che il tempo di traboccamento della vasca corrisponde a t = 9 minuti. Indichiamo con s(t) la quantità di sali presente nella vasca al tempo t espressa in grammi, allora la variazione della quantità totale di sali deve soddisfare la relazione ṡ(t) = 5 4 3 s(t) Q(t). Utilizzando la relazione trovata in precedenza per Q(t) = + t, abbiamo ṡ(t) = 5 4 3 s(t) +t. L equazione è lineare e può essere facilmente integrata. Si trova s(t) = C (+t) 3 +5(+t) imponendo la condizione iniziale s() =, si ricava il valore della costante C = 5 4, e quindi ] s(t) = 5 [+t 4 (+t) 3. Rispondiamo ora alle domande che l esercizio pone. Il sale contenuto nel serbatoio nell istante in cui trabocca è [ 4 ] [ s(9) = 5 +9 (+9) 3 = 5 ] 5 in grammi, ( che, disciolto in l di miscela corrispondono ad una concentrazione pari a 5 ) 4 g/l.

3 Analisi qualitativa per equazioni del primo ordine in forna normale 3. Studi locali e globali Ricordiamo l enunciato del Teorema di Esistenza ed Unicità nelle ipotesi più generali. Teorema 3. (Teorema di Esistenza ed Unicità locale). Sia A un insieme aperto di R e sia (t,y ) A. Consideriamo il Problema di Cauchy (PC) { y = f(t,y) y(t ) = y. (i) Se f(t,y) C (A) allora la soluzione locale esiste. (ii) Se esiste L > tale che f(t,y ) f(t,y ) L y y per ogni (t,y ),(t,y ) appartenenti ad un intorno di (t,y ) (ovvero se f è localmente lipschitziana in y uniformemente in t ) allora il PC ha una ed una sola soluzione locale. Per equazioni che soddisfano il Teorema di Esistenza ed Unicità locale, l ipotesi di crescita sublineare in una striscia S rispetto alla variabile y garantisce la prolungabilità della soluzione. Teorema 3. (Teorema di Prolungamento). Data l equazione y = f(t,y), soddisfacente il le ipotesi del Teorema di Esistenza ed Unicità locale in una striscia S = (a,b) R. Se inoltre f(t,y) A+B y per ogni (t,y) S, allora la soluzione al problema di Cauchy assegnato in (t,y ) S può essere prolungata a tutto [a,b]. I Lemmi che seguono riassumono condizioni di verifica immediata (o quasi) che garantiscono l applicabilità del Teorema di Prolungamento. f Questa richiesta puú essere rilassata chiedendo che la derivata parziale y A, e si ottiene il Teorema.. sia continua in

3 c Federico M.G. Vegni Lemma 3. Data l equazione y = f(t,y), soddisfacente il le ipotesi del Teorema di Esistenza ed Unicità locale in una striscia S = (a,b) R, se f(t,y) M per ogni (t,y) S, allora la soluzione al problema di Cauchy assegnato in (t,y ) S può essere prolungata a tutto [a,b]. Lemma 3. Data l equazione y = f(t,y), soddisfacente il le ipotesi del Teorema di Esistenza ed Unicità locale in una striscia S = (a,b) R, ed inoltre f y (t,y) M e f è limitata per ogni (t,y) S, allora la soluzione al problema di Cauchy assegnato in (t,y ) S può essere prolungata a tutto [a,b]. Infine, è possibile verificare che il Teorema di Prolungamento può essere applicato ad una funzione globalmente lipschitziana in S (cioé che soddisfa la lipschitzianità locale con una costante di Lipschitz L che è indipendente dall intorno scelto). Lemma 3.3 Data l equazione y = f(t,y), soddisfacente le ipotesi del Teorema di Esistenza ed Unicità locale in una striscia S = (a,b) R, ed inoltre esiste L > tale che f(t,y ) f(t,y ) L y y per ogni (t,y ),(t,y ) S allora la soluzione al problema di Cauchy assegnato in (t,y ) S può essere prolungata a tutto [a,b]. 3.. Esercizi E. 3.. Discutere l esistenza globale delle soluzioni dei problemi di Cauchy per l equazione dx dt = tx con x() =, x() = /3, x() =. Determinare inoltre per quali condizioni iniziali le curve integrali sono determinate per ogni t R. E. 3.. Dato un problema di Cauchy per l equazione differenziale y = f(x,y), si discuta la possibilità che due soluzioni distinte possano intersecarsi. E. 3.3. Dato il problema di Cauchy x = λx+ t + x +, x() = λ R. studiare esistenza, unicità, prolungabilità;

Studi qualitativi 33. scrivere lo sviluppo di Mac Laurin al secondo ordine di una soluzione e tracciarne il grafico vicino a. E. 3.4. Dato il problema di Cauchy { y +xy +x y = y() = k si dica, in base alla teoria per quali valori di k è possibile garantire esistenza ed unicità della soluzione. Risolvere quindi il problema per k, e si studi in particolare il caso k =. E. 3.5. Ricordando l enunciato del Teorema di Esistenza ed Unicità locale per il problema di Cauchy, si dimostri che l equazione ẏ = f(y) con f C (R) non può avere soluzioni periodiche non costanti. E. 3.6. Data l equazione y = 3 y + x 4 + si verifichi che il problema di Cauchy y(x ) = y, per ogni (x,y ) R, ammette soluzione unica, prolungabile in R e che tutte le soluzioni sono limitate. E. 3.7. Dato il problema di Cauchy ẏ = y() = ty +t +y Verificarechelasoluzioneesisteunica,esidicasetalesoluzioneèprolungabilein[,+ ). E. 3.8. Disegnare, per alcuni valori di x e di t, il campo delle direzioni (e le curve isocline) dell equazione x = x t. E. 3.9. Sia data l equazione differenziale (+y )y y =.. Previsioni in base alla teoria (senza integrare l equazione, ma enunciando il teorema opportuno e verificandone le ipotesi). (a.) Il problema di Cauchy y(x ) = y ha soluzione unica locale? (a.) Se e dove è possibile prolungare le soluzioni? Studio qualitativo delle soluzioni. (b.) Discutere il diagramma di fase o un grafico delle pendenze della soluzione. (b.) Discutere la concavità e la convessità della soluzione.

34 c Federico M.G. Vegni (b.3) È possibile prevedere l esistenza di asintoti orizzontali? (b.4) Disegnare l andamento qualitativo delle traiettorie che risolvono il problema di Cauchy y() = α per ogni α R. (c) Integrare l equazione e risolvere il problema di Cauchy y( 3) =. E. 3.. Studiare qualitativamente le soluzioni dell equazione y = (e t y )t y. a. Discutere l applicabilit dei risultati di esistenza ed unicit locale e globale ad un generico problema di Cauchy y(t ) = y. b. Determinare le eventuali soluzioni costanti e il luogo dei punti a tangente orizzontale. c. Determinare le regioni del piano in cui le soluzioni sono crescenti oppure decrescenti. d. È possibile stabilire se esiste e quanto vale lim t ϕ(t), per una generica soluzione ϕ(t)? e. Disegnare il grafico di alcune soluzioni significative. E. 3.. Riferendosi all equazione differenziale y = y y/5 +t a. citando i teoremi noti, prevedere per quali tra i seguenti problemi di Cauchy y() = y() = y() = la soluzione locale esiste unica; b. integrare l equazione; c. risolvere i problemi di Cauchy del punto a. E. 3.. Dato il problema di Cauchy { y = f(t,y) y(t ) = y. a. enunciare un teorema di prolungamento della soluzione in [a, b]. Riferendosi all equazione differenziale y = t 3 (y t )(4 y ) b. specificare se il teorema di prolungamento enunciato al punto a può essere applicato ed eventualmente precisare l intervallo [a, b]; c. trovare le soluzioni costanti e il luogo di punti a tangente orizzontale; d. determinare le regioni del piano dove le soluzioni sono crescenti e dove sono decrescenti; e. disegnare qualitativamente i grafici delle soluzioni che risolvono i problemi di Cauchy: y() = 3 y() = y() = y() = y() = 3 in tutto il loro insieme di definizione.

Studi qualitativi 35 E. 3.3. Sia data l equazione differenziale ordinaria y = y( t ) = f(t,y). a. Dopo aver enunciato il Teorema di Esistenza ed Unicità locale per le soluzioni del problema di Cauchy verificare che per ogni punto passa una ed una sola soluzione, e prevedere, giustificando le conclusioni in base alla teoria, quale sia l intervallo massimale di definizione delle soluzioni. b. Studiare nel piano (t,y) il segno di y, e tracciare un grafico qualitativo delle soluzioni dei tre problemi di Cauchy: y() =, y() =, y() =. c. Scrivere l integrale generale dell equazione. d. Trovare analiticamente le soluzioni dei tre problemi al punto b). E. 3.4. Studiare qualitativamente le soluzioni dell equazione non autonoma y = (t y )(e y ). a. Trovare le soluzioni stazionarie. b. Studiare la pendenza delle soluzioni determinando in particolare il luogo di punti a tangente orizzontale. c. Enunciare un teorema di esistenza ed unicit e verificarne l applicabilit. Enunciare un teorema di prolungamento e verificarne l applicabilit. Dove sono definite le soluzioni dell equazione? d. Si può prevedere l esistenza di asintoti? e. Disegnare un diagramma qualitativo di alcune soluzioni significative. E. 3.5. Data l equazione y = yexp(t y )arctan(y t ) a. discutere la prolungabilit della soluzione del problema di Cauchy y(t ) = y. b. Determinare le eventuali soluzioni costanti e il luogo dei punti a tangente orizzontale. c. Determinare le regioni del piano in cui le soluzioni sono crescenti oppure decrescenti. d. È possibile stabilire se esiste e quanto vale lim t + ϕ(t), per una generica soluzione ϕ(t)? e. Disegnare il grafico di alcune soluzioni significative. 3.. Soluzioni S. 3.. La funzione a secondo membro è regolare quanto vogliamo, per cui è assicurata esistenza ed unicità locale per ogni dato iniziale. D altra parte la sua crescita è più che lineare, quindi non si può applicare il Teorema di Prolungamento. L equazione è alle variabili separabili, ed x(t) = è una soluzione particolare. Per x, isolando le due variabili nei due membri si ottiene dx x = tdt,

36 c Federico M.G. Vegni da cui, integrando, x(t) = t +C. La soluzione per x() = è x(t) =, che esiste su tutto R. Per x() = /3 si ha C =, per cui la soluzione esiste solo sull intervallo (,+ ). Perx() = sihac =,equindilasoluzioneesistesur.piùingenerale,sex(t ) = x, con x, si ha C = (t +/y ); la soluzione è definita su R quando tale quantità è strettamente positiva, oltre che, naturalmente, quando x =. S. 3.. Siano y (x) e y (x) due soluzioni locali rispettivamente dei problemi di Cauchy { y = f(x,y) y(x ) = y { y = f(x,y) y(x ) = y si supponga che entrambe siano definite in un intorno di x e che -per assurdo- sia y (x ) = y = y (x ), pur non coincidendo nell intorno. Per definizione di soluzione di un equazione differenziale, entrambe le linee y (x) e y (x) sono soluzioni del Problema di Cauchy { y = f(x,y) y(x ) = y quindi necessariamente il punto (x,y ) non può appartenere ad un insieme aperto in cui siano verificate le ipotesi di unicità locale della soluzione. S. 3.3. Si riconosce facilmente che f(t,x) = λx+ t + x + C(R ) f x (t,x) = λ+ x(t +) (x +) C(R ) quindi, per il Teorema di Esistenza ed Unicità locali, la soluzione al Problema di Cauchy, comunqueassegnatain (t,y ) R esisteunica, perognivaloredel parametroλ. Inoltre, f(t,x) è somma di una parte lineare e di una parte limitata rispetto a x uniformemente rispetto a t in tutto R, infatti per ogni (t,x) S = (a,b) R, per ogni a,b, t + x + = x + t + max{a +,b +}. Poiché la maggiorazione vale indipendentemente dalla scelta di a e b, la prolungabilità garantita dal Teorema, tramite la condizione (ii) vale su tutto R. Per poter scrivere lo sviluppo di Taylor della soluzione, occorre conoscere x() = x (t) = λx(t)+ t + x(t) x () = + x (t) = λx (t)+ t x + + x(t)x (t)(t ) (x +) x () = λ

Studi qualitativi 37 l ultima condizione è stata ottenuta derivando ulteriormente l equazione differenziale. Ne segue che lo sviluppo di Mac Laurin nell intorno dell origine della soluzione è T (x) = x+ λ x il cui grafico è riportato nella Figura 3. nei casi λ >, in rosso, λ <, in blu e λ = in nero..5.5.5.5.8.6.4...4.6.8 Figura 3.. Grafico locale della soluzione nei casi λ S. 3.4. Dalle relazioni f(x,y) = xy +x y C (R [, )) f y (x,y) = x+ x y C (R (, )) si ricava per mezzo del Teorema di Esistenza ed Unicità locale che la soluzione esiste unica per ogni (x,y) R (, ). Inoltre la soluzione potrebbe non essere unica se k = (la continuità della derivata è infatti condizione che assicura l unicità della soluzione). L equazione stessa non esiste in R (, ). L equazione assegnata è di Bernoulli, e può essere integrata con la sostituzione z = y /, da cui si ricava che z >. L equazione lineare z = xz x ha soluzionez = +Ce x /4, dacui si ricavay = ( +Ce x /4 ) purchéce x /4 >. S. 3.5. Discutiamo innanzi tutto il segno della derivata prima: y f(y)

38 c Federico M.G. Vegni (ricordiamo che le soluzioni vanno interpretate nel piano (t, y)). Per fissare le idee, consideriamo l equazione y = y +y 6; y y +y 6 y 3 e y il cui campo di direzioni è rappresentato in Figura 3.. Ogni equazione autonoma del tipo y = f(y) ha un campo di direzioni che divide il piano t,y in fasce orizzontali. 4 3 3 4 4 3 3 4 Figura 3.. Campo delle direzioni per l equazione y = y +y 6. Per rispondere al quesito posto nell esercizio si ragiona per assurdo. Supponiamo che il problema di Cauchy { y = f(y) y(t ) = y abbia una soluzione y(t) periodica non costante. Diciamo che ha periodo T, necessariamente y(t + T) = y(t) per ogni t e quindi y(t + T) = y = y(t ). Supponiamo che il problema di Cauchy sia stato assegnato in una striscia in cui f(y ) > : per considerazioni basate sull unicità della soluzione y deve rimanere nella striscia dove la sua derivata è positiva, ma ciò è in contraddizione con il fatto che dopo un tempo T la soluzione assuma la stessa quota. S. 3.6. Studiamo il problema di Cauchy y y + = 3 x 4 + y(x ) = y

Studi qualitativi 39 sia f(x,y) = 3 y + x 4 + il cui dominio è, banalmente, tutto il piano R. La funzione è continua dove è definita. La sua derivata parziale è f y (x,y) = y 3 +x 4 3(+y ) /3 anch essa definita e continua in tutto R. Per il Teorema di Esistenza ed Unicità, esiste la soluzione locale al problema di Cauchy, assegnato in un qualunque punto del piano x,y. Inoltre, osservando che < +x 4, possiamo maggiorare f y (x,y) in una striscia [a,b] R: f y (x,y) = y 3 +x 4 3(+y ) /3 y 3(+y ) /3. La funzione maggiorante è funzione di una sola variabile, e si annulla in y = ; essa è inoltre infinitesima all infinito, e dunque ha massimo assoluto M. Perciò f y (x,y) M. È verificato il teorema del Prolungamento nella forma del Lemma 3. in ogni striscia [a,b] R. Dall arbitrarietà delle costanti a e b segue che le soluzioni sono prolungabili a tutto R. Occupiamoci ora di dimostrare che tutte le soluzioni dell equazione differenziale sono limitate. È facile osservare che y = 3 y + x 4 +. Le soluzioni dell equazione differenziale sono allora funzioni monotone. Sia y(x) la soluzione del problema di Cauchy y y + = 3 x 4 + y(x ) = y per la monotonia e la prolungabilità testé provate, ricaviamo l esistenza dei seguenti limiti con lim y(x) = l e lim y(x) = L x x + l e L +. Per provare la limitatezza delle soluzioni occorre provare che < l e L < +.

4 c Federico M.G. Vegni Dimostriamo che L non può essere + (la dimostrazione relativa a l è del tutto analoga). Separando le variabili, riscriviamo l equazione differenziale come dy y + = 3 dx 3 x4 + dalle condizioni ricaviamo che deve valere l identità L y y(x ) = y y(x) L per x + dy + y + = 3 Il secondo membro è un integrale generalizzato. Per x + si ha e ricaviamo + x dx = lim x4/3 a + = lim a + x 3 x4 + x 4/3 a [ x dx = lim x4/3 3 x /3 3 a /3 dx 3 x4 +. (3.) a + ] [ 3x /3] a = 3 L integrale a secondo membro della (3.) è dunque finito (ovvero, l integranda è integrabile in senso generalizzato). Non è difficile verificare che il primo membro della (3.) non è integrabile in senso generalizzato. Per convincersene lo studente giudizioso potrà provare a calcolare a lim a + y dy y /3. Se ne deduce che il valore L nella (3.) deve essere finito. S. 3.7. Osserviamo che f(t,y) = x /3 ty +y +t C (R ) f y (t,y) = t(+y +t ) ty (+y +t ) C (R ). Sono verificate le ipotesi del Teorema di Esistenza ed Unicità. Osserviamo che la retta y = è integrale particolare dell equazione. Inoltre in tutto il primo quadrante (t > y > ) y > ; la soluzione del problema di Cauchy assegnato è dunque monotona crescente per ogni t >. Proviamo ad applicare il Teorema di Prolungamento nella striscia. x

Studi qualitativi 4 (t,y) (,+ ) R = S. Siano A e B due numeri positivi. Svolgendo il quadrato (A B) = A +B AB si ottiene l utile disuguaglianza, detta disuguaglianza di Young AB (A +B ). Utilizzando la disuguaglianza di Young nella striscia S, otteniamo f(t,y) = ty +y +t t +y +y +t. Il Teorema di Prolungamento può dunque essere invocato essendo verificata la condizione (ii). S. 3.8. La Figura 3.3 rappresenta il campo di direzioni della soluzione e alcuni integrali dell equazione. Si osserva immediatamente che la retta x = t + è integrale particolare dell equazione..5.5.5.5.5.5.5.5 Figura 3.3. Campo di direzioni e alcune curve isocline dell equazione proposta nell Esercizio 8. S. 3.9. (a) Si applica il Teorema di Esistenza e Unicità locale, con ipotesi di L-continuità locale (Teorema 3., pag. 3). La funzione f(t,y) = y ( y) è L-continua in y, uniformemente rispetto a t, infatti f(t,y ) f(t,y ) = y ( y ) y ( y ) y y + y y y y y y + y y y y + y y y y y y (+ y + y ).

4 c Federico M.G. Vegni Si deduce dalla disuguaglianza precedente che per ogni punto (t,y ) R esiste un intorno U(t,y) tale che per ogni punto in U(t,y) f(y ) f(y ) L y y con L = +sup y U y. Ne segue che esistenza ed unicità locali sono garantite per ogni (t,y ) R. Nel caso in cui il Teorema di Esistenza ed Unicità venisse enunciato con l ipotesi f(t,y), continua con la sua derivata rispetto ad y, in un aperto A R -ipotesi più restrittive della L-continuità- si potrebbe garantire esistenza ed unicità della soluzione nei semipiani y > e y <, e si può garantire esistenza, ma non unicità della soluzione sulla retta y =. (b) Per ogni striscia [a,b] R, la funzione f(y) non è limitata né sublineare. Il Teorema di Prolungamento non può essere dunque applicato. (c) La Figura 3.4 riporta gli andamenti qualitativi cercati. 4 3 3 4 4 3 3 4 Figura 3.4. Andamento qualitativo, diagramma di fase e campo delle direzioni delle soluzioni (d) Si ricava immediatamente che y = ed y = sono integrali particolari. Supponendo quindi y, possiamo integrare l equazione separando le variabili: dy y ( y) = dt (si osservi che nel semipiano y l equazione coincide con l equazione logistica). Se y > l integrale generale è

y Studi qualitativi 43 k y = k +e t se y < l integrale generale è y = +ke t. Le soluzioni dei problemi di Cauchy richiesti sono y() = y = che è definita per t > log, e t y() = / y = che è definita per t (,+ ), +e t y() = y = che è definita per t > log. La prolungabilità effettiva et delle soluzioni in + può essere ricavata solo con il calcolo diretto. S. 3..(a.) Per l enunciato si veda il Teorema di Esistenza ed Unicità locale. a pagina 3. Abbiamo f(x,y) = y +y e A = R. La funzione f(x,y) è continua in A così come la sua derivata f y (x,y) = y (+y ) quindi sono verificate le ipotesi del teorema, e la soluzione locale esiste unica per ogni (x,y ) A. (a.) Per l enunciato si veda il Lemma 3. a pagina 3. Consideriamo a,b R fissati qualsiasi ed S = (a,b) R. La funzione f è C (S) ed è limitata in S: y +y. Quindi la soluzione è prolungabile a tutto [a, b]. Siccome a e b sono qualsiasi, la soluzione è prolungabile su tutto R. (b.) La retta della fase è riportatanella Figura 3.5. Si osservache y = è l unica soluzione stazionaria e che risulta instabile. 8 asse y y= 6 4 4 6 8.8.6.4...4.6.8 Figura 3.5.

44 c Federico M.G. Vegni (b.) Derivando rispetto al tempo si ricava y = y( y ) (+y ) 3 perciò le rette y = ed Y = ± sono un luogo di flessi. La concavità e convessità risultanti sono riportate nella Figura 3.6. 3 3 3 Figura 3.6. (b.3) Le soluzioni esistono su R e sono strettamente monotone (o crescenti o decrescenti a seconda del semipiano dove si trovano). È dunque possibile che esistano degli asintoti orizzontali. Sia x. Certamente la funzione ammette asintoto orizzontale essendo monotona e limitata. Occorre capire se l asintoto è la retta y = o se è una retta y = l. Supponiamo che y = l sia asintoto, allora y lim x y (x) = = lim x +y = l +l necessariamente l =. Sia x +. Supponiamo che la funzione ammetta asintoto orizzontale y = l. Osservate che l non può essere perchè si è già provato che il sistema è instabile. Allora, lim x + y (x) = = lim x + y +y = l +l che è falso per ogni valore di l. Quindi non esiste asintoto per x +. (b.4) L andamento qualitativo delle traiettorie si differenzia se α. In Figura 3.7 sono riportati degli esempi. (c) L equazione è a variabili separabili. Formalmente quindi ricaviamo: +y dy = dx y da cui

Studi qualitativi 45 6 Soluzioni qualitative 5 4 3 3 4 5 4 3 3 4 5 Figura 3.7. log y + y = x+c. Imponendo la condizione iniziale si ricava C = 7/. S. 3.. a. (vedi il libro di testo. Sinteticamente: c Ë esistenza ed unicit locale in tutto R ; inoltre Ë garantita prolungabilit di ogni soluzione in tutto R. ) b. Soluzione costante y = ; luogo di punti a tangente orizzontale le rette t =, y = t, y = t. c. Utilizzando la regola dei segni interpretata in R per risolvere il sistema di equazioni { e t y > ovvero t > y ovvero t < y < t y > troviamo il luogo dove le soluzioni sono crescenti. Il risultato Ë in Figura 5.9..5.5.5.5.5.5.5.5 Figura 3.8. Andamento qualitativo delle soluzioni dell Esercizio 3.

46 c Federico M.G. Vegni d. Il limite esiste poichè la soluzione risulta prolungabile. Dalla inferiore limitatezza e dalla monotonia ricaviamo subito che lim t ϕ(t) = l, con l, allora siccome esiste il limite della derivata prima si deve avere dall equazione = lim t (et y )t y = lim t (et l )t l da cui necessariamente l =. e. Alcune soluzioni significative sono in Figura 5.9. S. 3.. a. Si ha f(t,y) = y y/5 +t : R R R e f C (R R), dunque per il teorema di Peano ognuno dei problemi di Cauchy proposti ammette almeno una soluzione. Inoltre, per ogni (t,y) per cui y la derivata parziale f y (t,y) = 5 y 4/5 +t Ë continua in (t,y), dunque il teorema di Cauchy Lipschitz di esistenza ed unicit in piccolo si applica ai problemi y() = e y() =, mentre per il problema y() = non si puú garantire l unicit della soluzione. b. Si tratta di un equazione a variabili separabili e di Bernoulli. Ricerchiamo le soluzioni costanti. y y /5 = y /5 (y /5 )(y /5 +)(y /5 +) = {y = } {y = } {y = }. Dunque, per l unicit l unica soluzione del problema di Cauchy y() = Ë la soluzione costante y (t) = per ogni t R e l unica soluzione del problema di Cauchy y() = Ë la soluzione costante y (t) = per ogni t R; invece per il problema di Cauchy y() = esiste sicuramente la soluzione costante y 3 (t) = per ogni t R ma potrebbero esistere anche altre soluzioni non costanti. Se y(t) possiamo dividere per y /5 ottenendo y y = /5 +t y4/5 + +t da cui ponendo otteniamo l equazione in z z = 4 5 +t z + 4 5 z(t) = y 4/5 (t) +t = 4 5 +t ( z). La soluzione costante Ë z(t) = (che d luogo alle due soluzioni costanti y(t) = ±) e per z(t) otteniamo

ẓ z = 4 5 +t ṭ ln z = 4 5 arctant+c, C R z = ec e 4 5 arctant z = Ke 4 5 arctant, K z(t) = He 4 5 arctant, H R (ove per H = si ritrova anche la soluzione costante z(t) = ). Le soluzioni sono quindi ( y(t) = ± He 4 5 arctant)5 4, H R Studi qualitativi 47 definite per He 4 5 arctant cioë e 4 5 arctant H. Dunque, per H le soluzioni sono definite su R, mentre per H > le soluzioni sono definite per ( ) 5 t tan 4 lnh. c. Abbiamogi dettochel unicasoluzionedelproblemadicauchyy() = Ëlasoluzione costantey (t) = per ogni t R e l unica soluzionedel problema di Cauchy y() = Ë la soluzione costante y (t) = per ogni t R. Per il problema di Cauchy y() =, abbiamo la soluzione costante y 3 (t) = per ogni t R; inoltre, per t = si ha y(t) = ±( H) 5/4 dunque per H = otteniamo altre due soluzioni del problema di Cauchy y() = : ( y 4 (t) = e 4 5 arctant)5 4, t ( y 5 (t) = e 4 arctant) 5 4 5, t che si raccordano con y 3 (t) = per t <.

48 c Federico M.G. Vegni S. 3.3. a. Teorema di esistenza ed unicit in grande. b. PoichÈ f(t,y) = t3 (y t )(4 y ) C (R ) ma non ha una crescita al più lineare in y (infatti f(t,y) y 3 per y e t R), non si puú applicare il teorema di esistenza ed unicit in grande ad alcun intervallo [a, b]. Tuttavia, le ipotesi del teorema di esistenza ed unicit in piccolo sono verificate, quindi per ogni punto (t,y ) R passa un unica soluzione. c. Le soluzioni costanti sono y(t) = e y(t) =, definite su R. Il luogo dei punti del piano a tangente orizzontale Ë d. vedi figura e. vedi figura {(t,y) : y = 4} {(t,y) : t = } {(t,y) : y = t }

Studi qualitativi 49 Tutte le soluzioni sono definite su R: quelle comprese tra y = e y = perchè sono inscatolate, quelle che si trovano nel semipiano y < a causa del segno della derivata e quelle per y > poichè definitivamente sono esterne alla parabola y = t. S. 3.4.a. Teorema di Esistenza ed Unicità: essendo f(t,t) continua in R, ed essendolo pure la sua derivata f y (t,y) = ( t ), allora per ogni (t,y ) R esiste unica la soluzione dell equazione y = f(t,y) passante per (t,y ) e definita in un intorno I δ di t. Inoltre, l equazione è anche lineare: in ogni striscia[a, b] R sono soddisfatte le ipotesi di crescita (sub)lineare di f; la soluzione può allora essere prolungata in tutto l intervallo [a,b] e, per l arbitrarietà di a e di b, può essere prolungata su R. b. La Figura 3.9 riporta l unica soluzione stazionaria del problema (la retta y = che risolve il primo dei tre problemi di Cauchy) e le rette (in rosso) a tangente orizzontale. E le direzioni di crescita della soluzione. Le altre due soluzioni richieste dovranno avere un andamento qualitativamente simile a quello riportato in figura, tenendo conto anche dei risultati sulla prolungabilità delle soluzioni. Un indagine qualitativa più accurata potrebbe stabilire se esistono e quali sono gli asintoti delle soluzioni. c. L integrale generale è y(t) = Ke t t3 /3. d. Le soluzioni richieste sono rispettivamente y(t) = e t t3 /3, y =, y(t) = e t t3 /3. S. 3.5.a. Le soluzioni stazionarie sono quelle costanti che risolvono l equazione e y =, quindi l unica soluzione stazionaria è la retta y =. b. I punti a tangente orizzontale risolvono l equazione (t y )(e y ) = e sono dunque i punti dell asse x ed i punti appartenenti alle due rette y = ±x. La pendenza delle soluzioni è riassunta nel grafico riportato in Figura 3..