Anno 5 Asintoti di una unzione 1
Introduzione In questa lezione impareremo a deinire e ricercare gli asintoti. Ma cosa sono gli asintoti? Come si ricercano? Al termine di questa lezione sarai in grado di: l l l l deinire il concetto di asintoto di una unzione descrivere e ricercare l'asintoto verticale di una unzione descrivere e ricercare l'asintoto orizzontale di una unzione descrivere e ricercare l'asintoto obliquo di una unzione In questa lezione impareremo a deinire e ricercare gli asintoti. Ma cosa sono gli asintoti? Come si ricercano? Alla ine di questa lezione sarai in grado di: deinire il concetto di asintoto di una unzione; descrivere e ricercare l'asintoto verticale di una unzione; descrivere e ricercare l'asintoto orizzontale di una unzione; descrivere e ricercare l'asintoto obliquo di una unzione.
Gli asintoti La parola asintoto deriva dal greco e vuol dire che non tocca. Si dice che una unzione di equazione y = () ammette la retta r come asintoto se la distanza del generico punto P della unzione dalla retta r tende ad annullarsi. Un asintoto può essere di tre tipi: Verticale Orizzontale Obliquo y = m + q = h y = k Innanzitutto, introduciamo il concetto di asintoto di una unzione. Asintoto è una parola che deriva dal greco: che signiica che non tocca. In termini più ormali si dice che una unzione di equazione y=() ammette la retta r come asintoto se la distanza del generico punto P della curva dalla retta r tende ad annullarsi. Possono presentarsi tre tipi di asintoti: verticale: quando la unzione tende all'ininito avvicinandosi ad una retta verticale, cioè del tipo =h; orizzontale: quando la unzione tende ad una retta orizzontale, cioè del tipo y=k, per che tende a più ininito o meno ininito; obliquo: quando la unzione tende all'ininito avvicinandosi ad una retta obliqua, cioè a una retta del tipo y=m+q. 3
Asintoto Verticale Si dice che la retta = h è asintoto verticale per la unzione se: + h ( ) = + ( ) oppure se: h ( ) = + ( ) La unzione avrà valore ininito in un punto in cui non è deinita oppure dove non risulta continua. Esempio: Determinare l asintoto verticale della unzione: 3 = 1 1 3 = + + 1 1 3 y = 1 La unzione non è deinita nel punto =1, allora calcoliamo il ite destro e sinistro L asintoto verticale è =1 Formalizziamo la deinizione di asintoto verticale. Una unzione y=() ha un asintoto verticale di equazione =h quando h+ ()=+ a - ppure quando h- ()=+ a - Ne deriva che la unzione potrà avere valore ininito dove la unzione non è deinita, cioè per valori non appartenenti al dominio, oppure in punti in cui non risulta continua. Se una unzione non presenta discontinuità e non esistono punti in cui non è deinita, non potrà avere asintoti verticali. Analizziamo il seguente esempio. Si vuole trovare l asintoto verticale della unzione y=3/(-1) Il dominio è tutto R escluso il punto di =1 pertanto occorre veriicare in tale punto la presenza dell asintoto verticale. Calcoliamo il ite destro e sinistro della unzione nel punto 1. Si ottiene che il ite sinistro tende a - ed il ite destro tende a + La retta di equazione =1 è dunque un asintoto verticale. Il graico mostra come la unzione si avvicina a - sinistra e a + destra dell asintoto. 4
Asintoto Orizzontale Si dice che la retta y = k è asintoto orizzontale per la unzione se: ( ) = k oppure se: ( ) = k La unzione potrà avere un asintoto orizzontale soltanto se deinita in un intervallo ilitato. Esempio: Determinare l asintoto orizzontale della unzione: y = e Calcoliamo i iti, per e = + e = 0 L asintoto orizzontale sinistro è y = 0. Una unzione può ammettere al massimo due asintoti orizzontali: ( ) = k1 ; ( ) = k e k1 k Diamo adesso la deinizione di asintoto orizzontale. Una unzione y=() ha un asintoto orizzontale di equazione y=k quando: ()=k oppure se: - ()=k. [] Osserviamo che la unzione () potrà avere un asintoto orizzontale soltanto se deinita in un intervallo ilitato. [3] Vediamo nel seguente esempio come determinare l asintoto orizzontale della unzione y=e. [4] Sappiamo che la unzione e è deinita in tutto R, quindi possiamo calcolare i iti per che tende a + a - Dai calcoli eettuati si ottiene che la retta y=0 è un asintoto orizzontale sinistro. Osserviamo inine che una unzione può ammettere al massimo due asintoti orizzontali; questo accade quando i iti della unzione per + per - sono entrambi initi e diversi tra loro. 5
Asintoto Obliquo Sia una unzione deinita in un intervallo ilitato e tale che: ( ) = + ( ) Si dice che la retta y = m + q, con m 0, è asintoto obliquo per la unzione se: ( ) ( ) = q = m e ( ) m Esempio: Determinare l asintoto obliquo della unzione:. L asintoto obliquo ha equazione y = 3 3 1 y = Calcoliamo il ite del rapporto ()/ per 3 1 1 3 1 = = 3 Calcoliamo il ite della dierenza () 3 per 3 1 3 3 = 1 3 = 0 Vediamo inine la deinizione di asintoto obliquo. Sia una unzione deinita in un intervallo ilitato e tale che: + ()=+ o -. Si dice che la unzione ha un asintoto obliquo di equazione y=m+q con m 0 quando esistono initi i due iti + ()/=m e (()-m)=q. La deinizione è analoga se si considera il - ()=+ o a -. Come esempio determiniamo l asintoto obliquo della unzione y=3-1/. Calcoliamo il ite del rapporto ()/ per che tende a +. Poiché questo è inito ed è uguale a 3, possiamo calcolare il + () 3. Ricaviamo quindi che q=0. La unzione ha cioè un asintoto obliquo di equazione y=3. È acile veriicare che i calcoli svolti sono validi anche - quindi la retta y=3 è un asintoto obliquo anche per che tende a -. 6
Ricerca degli asintoti Esempio: 4 Calcolare gli eventuali asintoti della unzione: y = + 1 La unzione non è deinita per = 1. 4 4 Calcoliamo i iti: = = + + 1 + 1 1 + 1 La unzione ha asintoto verticale di equazione: = 1. 4 Calcoliamo il ite: = ± ± + 1 non esiste asintoto orizzontale 4 1 4 Calcoliamo i iti: = = 1 = m + 1 + 4 4 = = 1 = q + 1 + 1 La unzione ha un asintoto obliquo di equazione y = 1. Vediamo con un esempio come procedere per determinare gli asintoti di una unzione. Si vogliono determinare gli asintoti della unzione y=( -4)/(+1). La unzione non è deinita per =-1, quindi in questo punto cerchiamo l asintoto verticale, calcolando il ite destro e sinistro della unzione nel punto =-1. Entrambi i iti sono ininiti quindi la unzione ha un asintoto verticale di equazione =-1. Poiché la unzione è deinita in intervalli ilitati occorre veriicare la presenza di asintoti orizzontali o obliqui. Calcoliamo il ite per che tende a ininito della unzione. Poiché tale ite è ininito la unzione non ha asintoto orizzontale. Veriichiamo inine la presenza dell asintoto obliquo calcolando il + ()/. Questo risulta essere uguale a 1 per cui l asintoto obliquo esiste e ha coeiciente angolare m=1. Calcoliamo il + ()-m. Questo è uguale a -1, pertanto la unzione ha un asintoto obliquo di equazione y=-1. 7
Conclusione Asintoto Verticale Orizzontale Obliquo In questa lezione abbiamo deinito il concetto di asintoto per una unzione, cioè di quelle rette a cui si avvicina indeinitamente la unzione senza mai toccarle. Abbiamo introdotto i diversi tipi di asintoto. Si ha un asintoto verticale, cioè una retta di equazione =h, quando h ()=± si ha un asintoto orizzontale, cioè una retta di equazione y=k, quando ± ()=k e inine, si ha un asintoto obliquo, cioè una retta di equazione y=m+q, con m 0, quando esistono initi i due iti + ()/=m e (()-m)=q. 8