STATISTICA Lezioni ed esercizi

Uverstà d Toro QUADERNI DIDATTICI del Dpartmeto d Matematca MARIA GARETTO STATISTICA Lezo ed esercz Corso d Laurea Botecologe A.A. / Quadero # Novembre

M. Garetto - Statstca Prefazoe I questo quadero soo state raccolte le lezo del corso d Metod Matematc e Statstc per l prmo ao del Corso d Stud Botecologe dell Uverstà d Toro. Ua parte del materale è stata ache utlzzata per u corso d Statstca per l prmo ao del Corso d Stud Igegera del Poltecco d Toro. Etramb cors sopra ctat s quadrao e uov cors d stud treal, e qual le uove esgeze ddattche rchedoo d prvlegare l aspetto operatvo puttosto che l eccessvo approfodmeto teorco; s è scelto qud d forre u troduzoe elemetare e abbastaza stetca a prcpal argomet d u corso d statstca d base, accompagado og argometo co umeros esemp, ma sacrfcado sa la maggor parte delle dmostrazo de rsultat teorc, sa alcu argomet, pur d rlevate mportaza. La statstca descrttva è trattata come prmo argometo; lo scopo è quello d trodurre metod d aals de dat, prcpal tp d grafc, l cocetto d varable, che sarà po svluppato co la defzoe d varable aleatora, le defzo delle pù mportat statstche e le ozo d correlazoe e regressoe da u puto d vsta elemetare. Vegoo po trodott cocett d base del calcolo delle probabltà, co u breve ceo al calcolo combatoro. Molt fra gl esercz rguardat l calcolo delle probabltà possoo essere rsolt seza rcorrere alle tecche del calcolo combatoro; questo argometo può percò essere cosderato facoltatvo e gl esercz che lo rchedoo soo dcat co u astersco. Partcolare mportaza vee data allo studo delle dstrbuzo d probabltà dscrete e cotue e de loro parametr e vegoo trodott modell fodametal: la dstrbuzoe bomale, la dstrbuzoe d Posso e la dstrbuzoe ormale; ell ambto della statstca ferezale vegoo ache trodotte le dstrbuzo t, χ e F. La parte dedcata alla statstca ferezale è preceduta da ua breve trattazoe delle dstrbuzo d campoameto; ache questo caso s è scelto d o dedcare troppo spazo a rsultat teorc e d cocetrare vece l attezoe sugl tervall d cofdeza e su test d potes umeros cas mportat; soo trattat var tp d test d uso pù comue, accompagat da molte applcazo. Vegoo fe descrtt l test ch-quadro d adattameto e l test ch-quadro d dpedeza, frequetemete utlzzat elle applcazo. Il testo, come cors a cu è destato, è costruto come ua successoe d lezo ed eserctazo e gl argomet teorc soo sempre segut da umeros esemp, che llustrao la teora esposta; gl esemp soo svluppat e dettagl, rportado tutt calcol, le tabelle e grafc: lo svolgmeto a volte u po ooso e rpettvo può autare lo studete ad acqusre la capactà d rsolvere correttamete problem. Il corso d Metod Matematc e Statstc è accompagato da u cclo d eserctazo d laboratoro aula formatca, elle qual vee llustrato l utlzzo del foglo elettroco Ecel; ache se Ecel o è u software specfcamete destato alla statstca, tuttava cotee molte fuzo e strumet che cosetoo d effettuare aals e calcol statstc e la sua grade dffusoe ha motvato la scelta d questo software. Il materale utlzzato per lo svolgmeto del laboratoro farà parte d u altro quadero d questa collaa. Per la realzzazoe de grafc presetat questo testo e per la stesura delle tavole rportate Appedce è stato utlzzato l software scetfco Matlab, che dspoe d u toolbo specfcamete destato alla statstca; questo software offre potezaltà grafche e d calcolo umerco e smbolco molto superor a Ecel, ma o s presta a u mmedato utlzzo per u attvtà d laboratoro d breve durata. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Prefazoe Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Idce Itroduzoe Captolo Statstca descrttva. Dstrbuzo d frequeza. Grafc delle dstrbuzo d frequeza. Idc d poszoe e d dspersoe. Calcolo d meda e varaza per dat raggruppat. Forma d ua dstrbuzoe.6 Correlazoe fra varabl 6.7 Metodo de mm quadrat. Regressoe leare 9.8 Regressoe polomale 8.9 Metod d learzzazoe 9 Captolo Probabltà 9. Espermet casual, spazo de campo, evet 9. Calcolo combatoro 6. Il cocetto d probabltà 67. Defzoe assomatca d probabltà 7. Probabltà codzoata 76.6 Il teorema d Bayes 8 Captolo Varabl aleatore e dstrbuzo d probabltà 9. Varabl aleatore 9. Dstrbuzo d probabltà dscrete 9. Destà d probabltà. Parametr d ua dstrbuzoe 8. Dsuguaglaza d Chebshev Captolo Dstrbuzo d probabltà dscrete. Dstrbuzoe bomale o d Beroull. Uso delle tavole della dstrbuzoe bomale. Relazoe d rcorreza per la dstrbuzoe bomale. Rappresetazoe grafca della dstrbuzoe bomale. Dstrbuzoe d Posso.6 Uso delle tavole della dstrbuzoe d Posso 7.7 Relazoe d rcorreza per la dstrbuzoe d Posso 8.8 Rappresetazoe grafca della dstrbuzoe d Posso 8.9 Approssmazoe della dstrbuzoe bomale co la dstrbuzoe d Posso Captolo Dstrbuzo d probabltà cotue. Dstrbuzoe ormale o d Gauss. Dstrbuzoe ormale stadardzzata. Alcue applcazo della dstrbuzoe ormale 6. Uso delle tavole della dstrbuzoe ormale 7. Relazoe tra la dstrbuzoe bomale e la dstrbuzoe ormale 6.6 Relazoe tra la dstrbuzoe ormale e la dstrbuzoe d Posso 6.7 Dstrbuzoe uforme 6 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

v Idce Captolo 6 Teora elemetare de campo 67 6. Popolazo e campo 67 6. Campoameto 68 6. Dstrbuzo d campoameto 7 6. Dstrbuzoe della meda campoara (varaza σ ota) 7 6. Dstrbuzoe della meda campoara (varaza σ cogta) 8 6.6 Dstrbuzoe della varaza campoara 8 Captolo 7 Stma de parametr 89 7. Itroduzoe 89 7. Stme putual e stme per tervallo 89 7. Itervall d cofdeza per la meda (varaza ota) 9 7. Itervall d cofdeza per la meda (varaza cogta) 97 7. Itervall d cofdeza per la proporzoe 7.6 Itervall d cofdeza per la dffereza fra due mede (varaze ote) 7.7 Itervall d cofdeza per la dffereza fra due mede (varaze cogte) 7 7.8 Itervall d cofdeza per la dffereza fra due proporzo 9 7.9 Itervall d cofdeza per la varaza e per lo scarto quadratco medo 7. Itervall d cofdeza per l rapporto d due varaze 6 Captolo 8 Test d potes 9 8. Itroduzoe 9 8. Ipotes statstche 9 8. Tp d errore e lvello d sgfcatvtà 8. Test d potes sulla meda (varaza ota) 6 8. Test d potes sulla meda (varaza cogta) 8.6 Test d potes sulla proporzoe 8 8.7 Test d potes sulla dffereza fra due mede (varaze ote) 8.8 Test d potes sulla dffereza fra due mede (varaze cogte) 8.9 Test d potes sulla dffereza fra due proporzo 8 8. Test d potes sulla varaza e sullo scarto quadratco medo 8. Test d potes sul rapporto d due varaze Captolo 9 Test ch-quadro 6 9. Itroduzoe 6 9. Test ch-quadro d adattameto 6 9. Test ch-quadro d dpedeza 7 Appedce A Tavole statstche A- Tavola. Dstrbuzoe bomale A- Tavola. Dstrbuzoe d Posso A-9 Tavola. Dstrbuzoe ormale stadardzzata A- Tavola. Percetl per la dstrbuzoe ormale stadardzzata A- Tavola. Dstrbuzoe t d Studet A- Tavola 6. Dstrbuzoe χ A-6 Tavola 7. Dstrbuzoe F A-7 Appedce B Formularo B- Appedce C Bblografa C- Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Itroduzoe Per statstca s tedeva orge la raccolta d dat demografc ed ecoomc d vtale teresse per lo stato. Da quel modesto zo essa s è svluppata u metodo scetfco d aals ora applcato a molte sceze, socal, atural, medche, gegerstche, ed è uo de ram pù mportat della matematca. Come esempo d dage statstca s cosder l seguete problema. Prma d og elezoe gl et poll tetao d dvduare quale sarà la proporzoe della popolazoe che voterà per cascua lsta: ovvamete o è possble tervstare tutt votat e qud s scegle come uca alteratva u campoe d qualche mglaa d utà, ella speraza che la proporzoe campoara sa ua buoa stma della proporzoe relatva alla popolazoe totale. Per otteere u rsultato scuro sulla popolazoe s dovrebbe aspettare fo alla coclusoe dell'elezoe, quado sao stat computat tutt vot, ma questo o costturebbe pù ua prevsoe. Però, se l campoameto è computo correttamete e co metod adeguat, s possoo avere fort speraze che la proporzoe campoara sarà crca uguale alla corrspodete proporzoe della popolazoe. Questo c cosete d stmare la proporzoe cogta P dell'tera popolazoe medate la proporzoe p del campoe osservato P p ± e dove e dca u errore. La stma o è fatta co certezza; s deve coè ammettere la possbltà d essere cors u errore, poché può essere stato scelto u campoe o rappresetatvo, evetualtà possble, ache se mprobable: tale crcostaza la coclusoe potrebbe essere errata; s può percò avere soltato u certo grado d fduca elle cocluso. Le cocluso statstche duque soo sempre accompagate da u certo grado d certezza. S ot che l affermazoe che la proporzoe della popolazoe può essere dotta dalla proporzoe del campoe, s basa su ua deduzoe a pror, coè che la proporzoe campoara molto probablmete è vca alla proporzoe della popolazoe. L esempo dell et poll rappreseta u tpco esempo d statstca ferezale: le caratterstche della popolazoe complessva soo dotte da quelle osservate su u campoe estratto dalla popolazoe stessa. Altr esemp d dage statstca possoo essere: l cesmeto della popolazoe talaa fatto dall'istat, lo studo d campo d pezz prodott da u'azeda per l cotrollo della qualtà meda del prodotto, la spermetazoe d u uovo farmaco su u gruppo d persoe volotare. La statstca s può duque vedere come lo studo delle popolazo, lo studo della varazoe fra gl dvdu della popolazoe, lo studo de metod d rduzoe de dat. Le popolazo d cu s occupa la statstca o soo solo le popolazo umae, come l'esempo precedete potrebbe far pesare. Le popolazo soo tese come aggregat d dvdu o ecessaramete vvet o materal: ad esempo, se s effettua u certo umero d msure, l'seme de rsultat costtusce ua popolazoe d msure. Le popolazo che soo oggetto d studo statstco evdezao sempre delle varazo al loro tero, ossa gl dvdu che le costtuscoo o soo tutt detc: compto della statstca è lo studo d tal varazo. All'orge d queste varazo soo spesso feome aleator, dove per aleatoro s tede u feomeo cu è presete modo essezale u elemeto d casualtà. Questo sgfca che l feomeo o è completamete prevedble a pror, l che o vuol dre che sa completamete mprevedble. Ad esempo se s estrae ua palla da u'ura che cotee palle bache e ere, o samo cert del rsultato, ma abbamo ua certa aspettatva. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Itroduzoe Occorre qud studare l calcolo delle probabltà, che, oltre a essere utle per se stesso, ad esempo ella teora de goch, costtusce ache ua base per l fereza statstca. Per mezzo del calcolo delle probabltà s può fare ua trattazoe matematca dell'certezza, ossa delle regole co cu s può dare u certo grado d fduca al realzzars d u dato eveto; molte stuazo cocrete s può formulare u modello probablstco base al quale calcolare la probabltà d u certo eveto. Ad esempo, rferedos al caso dell'ura coteete palle bache e ere, s potrà calcolare la probabltà che, estraedo palle, sao bache. Le cocluso che la statstca ferezale c permette d trarre sulla popolazoe complessva a partre dall'dage sul campoe, o soo certezze, come gà osservato, ma asserzo formulate co metod, precs e quattatv, del calcolo delle probabltà. La statstca descrttva s occupa vece dell'aals de dat osservat, prescdedo sa da qualsas modello probablstco che descrva l feomeo esame, sa dal fatto che l'seme de dat sa u campoe estratto da ua popolazoe pù vasta o sa vece l'tera popolazoe. Lo scopo baslare della statstca descrttva è d rdurre l volume de dat osservat, esprmedo l'formazoe rlevate coteuta tal dat per mezzo d grafc e dcator umerc che l descrvoo; oltre possoo essere fatte dag d tpo comparatvo e s può verfcare l'adattars de dat spermetal a u certo modello teorco. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca. Statstca descrttva. Dstrbuzo d frequeza Quado s raccolgoo de dat su ua popolazoe o su u campoe, valor otteut s presetao allo statstco come u seme d dat dsordat; dat che o soo stat orgazzat, stetzzat o elaborat qualche modo soo chamat dat grezz. A meo che l umero delle osservazo sa pccolo, è mprobable che dat grezz forscao qualche formazoe fché o sao stat ordat qualche modo. I questo captolo verrao descrtte alcue tecche per orgazzare e stetzzare dat modo da poter evdezare le loro caratterstche mportat e dvduare le formazo da ess forte. I questo cotesto o è mportate se tal dat costtuscoo l'tera popolazoe o u campoe estratto da essa. Cosderamo seguet esemp. Esempo Rlevado co uo strumeto d msurazoe l umero d partcelle cosmche perod cosecutv d u muto s ottegoo seguet dat 8 Tabella Esempo I seguet dat soo l rsultato d 8 determazo, ua data utà d msura, dell emssoe goralera d u gas quate da u mpato dustrale.8 6. 7...9.8 8.7.9 9...7 9.8 6..7 7. 6..8 8.6 7.6.7 6.8.7 8.. 9. 9. 6.7 7 9...9 6.6. 9..6 6.9 9. 8...6 6. 8. 7.7.... 9.6 9. 7. 8...6 8. 8. 8..9....8 9..7.8.9.9 7. 8. 7.9 9.. 8. Tabella Esempo I uo stablmeto vegoo regstrat cas d malfuzoameto d ua maccha utesle cotrollata dal computer, e le loro cause. I dat relatv a u certo mese soo seguet fluttuazo d tesoe 6 stabltà del sstema d cotrollo errore dell'operatore strumeto usurato e o sosttuto altre cause Totale 8 Tabella I cascuo degl esemp s osserva ua varable, che è rspettvamete l umero d partcelle rlevate u tervallo d u muto; la quattà d gas quate emesso u goro; la causa d u guasto verfcato. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Statstca descrttva Della varable questoe abbamo u seme d osservazo regstrate (egl esemp vale, rspettvamete,, 8, 8), che costtuscoo dat da aalzzare. Le varabl oggetto d rlevazo statstche s classfcao pù tp dvers, a secoda del tpo d valor che assumoo dscrete umerche (quattatve) varabl cotue o umerche (qualtatve) Ua varable s dce umerca se valor che essa assume soo umer, o umerca altrmet; ua varable umerca s dce dscreta se l'seme de valor che essa a pror può assumere è fto o umerable, cotua se l'seme de valor che essa a pror può assumere è l'seme R de umer real o u tervallo I d umer real. Le varabl degl esemp e soo umerche, la varable dell'esempo è o umerca. La varable dell'esempo è dscreta, perché l umero d partcelle osservate è sempre u umero tero maggore o uguale a, e l'seme de umer ter è fto ma umerable; la varable dell'esempo è vece cotua, perché la msura della quattà d gas emesso può essere u umero reale postvo qualuque ( u certo tervallo). Molto spesso valor assut da ua varable cotua soo rsultat d msure. S osserv che, per decdere se ua varable è dscreta o cotua, occorre ragoare su qual soo valor che a pror la varable può assumere e o su valor effettvamete assut: è evdete fatt che valor assut osservazo sarao al pù, qud sempre umero fto. Per studare dat degl esemp precedet dvdamo dat stess class e determamo l umero d dvdu apparteet a cascua classe, detto frequeza della classe. Costruamo po la tabella d dstrbuzoe d frequeza, ossa ua tabella che raccogle dat secodo le class e le corrspodet frequeze. I dat ordat e rassut ella tabella d dstrbuzoe d frequeza soo dett dat raggruppat. Esempo Varabl umerche dscrete Nell'esempo la varable osservata è ua varable umerca dscreta, che può assumere solo valor ter; poché valor assut soo umer ter,,,,,, 8, è aturale sceglere come class umer k,,,,,, 6, 7, 8 e cotare per og classe l umero d osservazo cu soo state rlevate esattamete k partcelle. I questo modo s costrusce la seguete tabella d dstrbuzoe d frequeza. Nella tabella la prma coloa dca la classe; la secoda la frequeza assoluta, detta ache semplcemete frequeza d classe, ossa l umero d osservazo che cadoo cascua classe; la terza coloa la frequeza relatva, ossa l rapporto tra frequeza assoluta e umero totale d osservazo ( questo caso ); la quarta è la frequeza percetuale, ossa la frequeza relatva moltplcata per Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale.% 6 % % % 6 % % 6 % 7 % 8.% Totale % Tabella Rcordamo che u seme umerable è u seme che s può mettere corrspodeza buvoca co l seme N de umer atural. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Osservazoe S osservo le seguet propretà de umer rportat ella tabella d dstrbuzoe d frequeza (tabella ): la frequeza assoluta è u umero tero compreso tra e l umero totale d osservazo; la frequeza relatva è u umero reale compreso tra e ; la frequeza percetuale è u umero reale compreso tra e La somma delle frequeze assolute è sempre uguale al umero totale d osservazo; la somma delle frequeze relatve è sempre uguale a ; la somma delle frequeze percetual è uguale a ; valor otteut come quozet devoo essere spesso arrotodat e questo fatto comporta che la somma d tutte le percetual può o essere esattamete uguale a Esempo Varabl umerche cotue Nell'esempo la varable osservata è cotua. I valor de dat soo compres tra 6. e.8; l campo d varazoe R o rage de dat, coè la dffereza tra l pù grade e l pù pccolo, vale R.8 6..6 Sceglamo come class 7 tervall. 8.9 9..9. 6.9 7. 9..9. 8.9 9..9 Il modo d sceglere le class o è uco: potremmo sceglere u umero dfferete d class, o class co estrem dvers; og caso le class o devoo sovrappors e devoo coteere tutt dat. D solto le class hao tutte la stessa ampezza, ma questa caratterstca geerale o è obblgatora e cert cas l tpo d dat può suggerre la scelta d class d ampezza dversa (s vedao gl esemp 8 e 9); oltre, per dat cotu, è ecessaro specfcare se le class soo chuse a destra e/o a sstra, ossa se dat cocdet co gl estrem della classe devoo essere raggruppat ella classe stessa o ua delle class adacet. Troppe class redoo la tabella poco leggble; troppo poche class la redoo poco sgfcatva: l umero delle class è ormalmete compreso fra e ; se dat soo molto umeros s può arrvare a usare u massmo d class. Ua semplce regola pratca che s rvela a volte utle cosste ello sceglere u umero d class approssmatvamete uguale alla radce quadrata del umero de dat k. U'altra regola cosste ell'applcare la seguete formula k +. log dove rappreseta l umero de dat pres cosderazoe e k l umero delle class da usare. L'ampezza delle class (el caso d class d uguale ampezza) può essere determata applcado la formula R a k dove R è l campo d varazoe de dat. Le rsposte otteute applcado queste formule devoo essere comuque terpretate come dcazo d massma, da valutare caso per caso, a secoda de dat da trattare. Nell'esempo che stamo esamado s ha k +. log 8 7. 6 a. 7 7 S gustfca così la scelta d 7 class d ampezza. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo - Statstca descrttva Ua scrttura del tpo. 8.9, defete ua classe, è detta tervallo della classe; umer. e 8.9 soo dett lmt ferore e superore della classe. Co la scelta delle 7 class dcate s ottee la tabella seguete Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale. 8.9 7.7% 9..9.%. 6.9 7 7.% 7. 9.%..9 7.%. 8.9 9.% 9..9.% Totale 8 % Tabella S ot che le class soo chuse e che lmt delle class utlzzate per la tabella precedete soo assegat co tat decmal quat e possedoo dat. Le class hao uo stacco per evtare ambgutà. Ifatt se s sceglessero ad esempo le class. 9. 9..... l dato 9. potrebbe adare ella prma classe o ella secoda, e così va. Per evtare questa dffcoltà s potrebbero sceglere le class.9 8.9 8.9.9.9 6.9 6.9 9 9.9.9 8.9 8.9.9 S può otare che ache se lmt delle class s sovrappogoo, o c soo ambgutà, perché quest lmt soo valor che dat o assumoo, dal mometo che dat hao u solo decmale. Questa scelta però o è partcolarmete felce, quato l'uso d pù decmal appesatsce la scrttura delle class. E ' pù cosglable sceglere class chuse a sstra (aperte a destra), ad esempo < 9 9 <... 9 < oppure class chuse a destra (aperte a sstra), ad esempo < 9 9 <... 9 < S ot che queste class o presetao stacch. Co la scelta delle class chuse a sstra sopra dcate, per la dstrbuzoe d frequeza s ottee ua dstrbuzoe d frequeza uguale a quella della tabella (cambao solo gl estrem delle class, ma o le frequeze assolute). Ivece co la scelta delle class chuse a destra s ottee la dstrbuzoe d frequeza della tabella b. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale < 9 % 9 < 9.% < 7 87 8.7% 7 < % < 7.% < 9 9.% 9 <.% Totale 8 % Tabella b Ua volta che dat soo stat raggruppat, cascu valore esatto de dat o è pù utlzzato: s rappresetao tutt dat apparteet a ua certa classe co l suo puto medo, detto valore cetrale della classe. Per cascua delle scelte proposte per le class questo esempo, le class hao la stessa ampezza, uguale a ; tale ampezza è geerale uguale alla dffereza tra due valor cetral successv; el caso delle class seza stacch, chuse da u lato, l ampezza è pù semplcemete uguale alla dffereza tra gl estrem d og classe. Co dat dell esempo e co la scelta delle class chuse a destra (tabella b) s ottee a valor cetral delle class + 9 9 + 7,,, 9,, 7, b ampezza d classe a 9 oppure a 7. Il procedmeto d raggruppameto de dat fa perdere alcue delle formazo che provegoo da dat: ad esempo vece d cooscere l'esatto valore d u'osservazoe, s sa solo che cade u certo tervallo. Cò accade per la dstrbuzoe d frequeza d og varable cotua. Tuttava s trae u mportate vataggo dalla leggbltà che s ottee e dalle relazo fra dat che s redoo evdet. Nel caso della varable dscreta dell'esempo o v è perdta d formazoe, quato le class tegoo coto d og valore assuto. Talvolta però ache per ua varable dscreta è coveete utlzzare come class degl tervall, azché dstguere tutt valor assut, soprattutto quado dat soo umeros (s veda ache l'esempo 8). Co dat dell'esempo s possoo usare class compredet due possbl valor della varable osservata, otteedo la seguete tabella d dstrbuzoe d frequeza Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale 7 7 7.% % % 6 7 % 8 9.% Totale % Tabella 6 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo - Statstca descrttva Esempo 6 Varabl o umerche Nell'esempo la varable tpo d guasto verfcato è o umerca; dat soo gà raggruppat class e s ottee la seguete tabella d dstrbuzoe d frequeza Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale fluttuazo tesoe 6.% stabltà 8.8% errore operatore 7 7.% strumeto.% altro % Totale 8 % Tabella 7 C soo altr mod d raggruppare dat: ad esempo dat mor d, maggor d ; s ottegoo questo modo le dstrbuzo cumulatve. La frequeza totale d tutt valor mor del lmte superore d ua data classe è detta frequeza cumulatva. Ua tabella che preset frequeze cumulatve è detta tabella d dstrbuzoe cumulatva d frequeza. S possoo cumulare frequeze assolute, relatve e percetual; l'ultmo valore che compare ella tabella sarà uguale al umero totale d dat per le frequeze assolute, uguale a per le frequeze relatve e uguale a per quelle percetual. Nelle tabelle 8 e 9 s rportao le dstrbuzo cumulatve che s possoo rcavare rspettvamete dalle tabelle e 6 (dat dell esempo ). Classe Freq. cumul. assoluta 7 7 Classe Freq. cumul. assoluta 9 7 9 9 9 6 9 7 9 7 9 9 8 Tabella 9 Tabella 8 La dstrbuzoe cumulatva otteble dalla tabella (esempo ), è rportata ella tabella ; se s usao le class chuse a destra (tabella b) s ottee la tabella. Classe Freq. cumul. assoluta Classe Freq. cumul. assoluta.9 8.9 9.9 6.9 7 7 8 9.9 69 69 8.9 78 9 78.9 8 8 Tabella Tabella Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9 Esempo 7 Soo date msurazo del valore d ua varable; la pù pccola è.8 e la pù grade è 7.. Determare delle class adatte per raggruppare dat ua dstrbuzoe d frequeza, e corrspodet valor cetral. Campo d varazoe de dat R 7..8.6 Numero d class e ampezza delle class. 6 k +. log 8. a 8 8 S possoo utlzzare 8 class d ampezza a. Nella tabella soo dcate le class scelte e relatv valor cetral (questa scelta ovvamete o è l uca possble). Class. <.. <.7.7 < 6. 6. < 6. 6. < 6.6 6.6 < 6.9 6.9 < 7. 7. < 7. Val. cetral...8 6. 6. 6.7 7. 7. Tabella Esempo 8 I seguet soo umer d lavorator asset da u azeda gor lavoratv 7 6 6 8 7 7 9 6 9 8 9 6 7 6 6 9 7 9 9 9 8 7 Tabella Per costrure la tabella della dstrbuzoe d frequeza s utlzzao 6 class; fatt k +. log 6. 6 S ot che questa tabella è stata usata come ultma classe ua classe seza lmte superore, detta classe aperta: questo evta d avere class vuote o co frequeze molto basse. Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale < 8 8% < 9 % 9 < 6 % < 9 8 6 6% 9 < 6 6% > 8 8% Totale % Tabella Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Statstca descrttva Esempo 9 Nella tabella seguete soo rportat pes alla ascta d bamb at u ospedale u dato perodo d tempo. 6 6 6 7 9 98 9 7 6 6 7 6 8 6 6 8 8 66 9 8 96 8 98 9 7 78 7 6 66 8 9 6 8 8 6 6 9 96 88 6 88 86 8 6 8 6 9 76 8 8 9 6 9 98 8 6 8 9 6 98 6 6 78 76 9 6 78 6 6 8 8 6 8 Tabella Per costrure ua dstrbuzoe d frequeza questo caso s possoo usare 8 class, base al fatto che k +. log 7. 6 e le class possoo essere d ampezza dversa, per teer coto della atura de dat. Il campo d varazoe de dat è R 6 9 66 I dat possoo essere raggruppat ella seguete dstrbuzoe d frequeza Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale 8 < % < 8 8 8% < % < 8 8 8 8% 8 < % < 6 % 6 < % < 6 6 6 6% Totale % Tabella 6. Grafc delle dstrbuzo d frequeza Itroducamo alcue delle pù usate rappresetazo grafche per le dstrbuzo d frequeza e per le dstrbuzo cumulatve. Tal grafc soo ogg soltamete otteut co l uso del computer per mezzo d software d tpo statstco; quest cosetoo, dopo aver mmesso dat, d otteere rapdamete var tp d grafc. L osservazoe del grafco può far otare rregolartà o comportamet aomal o drettamete osservabl su dat; ad esempo c s può accorgere d error d msurazoe. U prmo tpo d dagramma è l dagramma crcolare; questo dagramma le frequeze percetual soo rappresetate da settor crcolar avet ampezze proporzoal alle frequeze stesse; dcado co f la frequeza percetuale e co g l'ampezza grad, s ha f : g : 6 Il dagramma crcolare è l pù adatto per le frequeze percetual e per le varabl o umerche. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Esempo La seguete tabella rappreseta l umero d studet scrtt a var a d corso d u sttuto superore (frequeze assolute) e le corrspodet frequeze percetual; la fgura rappreseta l dagramma crcolare delle frequeze percetual. Studet scrtt a dvers a d corso freq. assoluta freq. percetuale class prme 87 9.% class secode.7% class terze.87% class quarte 76 7.89% class qute 8 8.% Totale 98 % secode % prme 9% qute 8% quarte 8% Tabella 7 terze % Fgura U altro tpo d grafco molto usato per rappresetare dat raggruppat è l dagramma a barre. Per costrure u dagramma a barre s raggruppao dat class, come gà descrtto; per cascua classe s dsega u rettagolo avete base d ampezza costate e altezza uguale alla frequeza d classe; rettagol d solto o soo adacet e soo equdstat fra loro. Questo tpo d dagramma è partcolarmete dcato per varabl o umerche e per varabl dscrete. Il dagramma a barre della dstrbuzoe d frequeza assoluta della tabella 7 è l seguete Fgura Nel caso della varable dscreta dell'esempo, base alla tabella della dstrbuzoe d frequeza, s può traccare l dagramma a barre rportato ella fgura, otteuto dsegado rettagol co le bas cetrate el valore che defsce la classe e rportado ordata la frequeza assoluta. 8 6 6 7 8 Fgura Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Statstca descrttva Gl stogramm soo u altro modo molto usato per rappresetare grafcamete le formazo coteute ua tabella d dstrbuzoe d frequeza. U stogramma cosste u seme d rettagol adacet, avet base sull asse orzzotale; le bas soo gl tervall che defscoo le class ( put med delle bas soo valor cetral delle class). Se le class hao tutte la stessa ampezza le altezze de rettagol soo ugual, o proporzoal, alle corrspodet frequeze assolute (oppure relatve o percetual). Se vece le class soo d ampezza dversa, rettagol hao acora base uguale alla corrspodete ampezza della classe, e area (o pù altezza!) corrspodete alla frequeza: l'altezza del rettagolo sarà uguale, o proporzoale, al rapporto fra la frequeza e l'ampezza d classe. Tale rapporto s chama destà d frequeza (vedere fgura b). I etramb cas qud l'area d og rettagolo è uguale, o proporzoale, alla frequeza della classe. L'stogramma corrspodete alla dstrbuzoe d frequeza studata ell esempo (tabella b) è quello della fgura. Le class hao tutte la stessa ampezza e ordata è rportata la frequeza assoluta; le bas de rettagol hao put med e valor cetral delle class. L stogramma corrspodete alla dstrbuzoe d frequeza dell esempo 9 è quello della fgura b; questo caso le class o hao tutte la stessa ampezza e ordata s poe la destà d frequeza (ossa l rapporto fra la frequeza assoluta e l ampezza della corrspodete classe).,6,,,,, 7 6 8 9 Fgura Fgura b Ua dstrbuzoe d frequeza può essere rappresetata grafcamete ache co u altro tpo d grafco: l polgoo d frequeza. Tale polgoo s ottee uedo fra loro put avet come ascssa l valore cetrale d og classe e come ordata l corrspodete valore della frequeza. Nella fgura rappresetamo l polgoo d frequeza per dat della tabella b. La fgura b rporta l polgoo d frequeza sovrapposto all stogramma della fgura ; questo grafco cosete d vedere, per lo stesso seme d dat, la relazoe fra due tp d grafco. Fgura Fgura b Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Esempo Nella tabella 8 soo rportate le lughezze mm d sbarrette metallche; costrure ua dstrbuzoe d frequeza assoluta, scegledo u umero opportuo d class e dsegare l relatvo stogramma. 8 6 9 7 6 8 7 6 8 68 6 8 76 6 9 6 6 7 7 6 6 8 Tabella 8 La lughezza maggore è d 76 mm, la more è d 9 mm; l campo d varazoe de dat è R 76 9 7 mm. S possoo sceglere 7 class d ampezza 9 e s ottee la seguete dstrbuzoe d frequeza assoluta e l corrspodete stogramma Classe Frequeza assoluta 8 6 7 6 9 6 6 7 7 8 Totale 8 6 9 8 67 76 8 Tabella 9 Fgura 6 Esempo S cosder la seguete tabella replogatva de vot fal rportat dagl studet delle class terze d u sttuto superore; ella tabella soo rportate due dverse dstrbuzo d frequeza assoluta e percetuale relatve a vot fal talao e matematca. voto fale studet che hao rportato l voto dcato talao matematca freq. assoluta freq. percetuale freq. assoluta freq. percetuale.6%.% 8.9% 8.7%.%.7% 6 6.6% 7 9.6% 7 68.8% 67.8% 8 7.8% 6 8.7% 9.%.% Totale 98 % 98 99.99% Tabella Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Statstca descrttva S possoo rappresetare le due dstrbuzo d frequeza assolute co u uco dagramma a barre, che permette l cofroto fra le due dstrbuzo ed evdeza le dffereze sgfcatve. talao matematca 8 6 6 7 8 9 Fgura 7 Ua dstrbuzoe cumulatva vee rappresetata co u grafco detto polgoo cumulatvo o ogva; l grafco s ottee rportado sulle ascsse lmt superor delle class e, per cascuo d ess, ordata la frequeza cumulatva della corrspodete classe, e uedo po tra loro put otteut. Per la dstrbuzoe cumulatva d frequeza assoluta dell'esempo, tabella 8, s ottee l grafco della fgura 8; per la dstrbuzoe cumulatva d frequeza assoluta dell'esempo, tabella, s ottee l grafco della fgura 9. 6 7 8 9 9 8 7 6 Fgura 8 Fgura 9 Esempo Rprededo esame la tabella relatva all'esempo, s costrusce la seguete tabella della dstrbuzoe cumulatva d frequeza assoluta per vot d talao voto fale studet che hao rportato l voto dcato talao freq. assoluta freq. cumulatva assoluta 69 6 6 7 68 7 8 9 9 98 Tabella Dalla tabella s possoo ad esempo dedurre seguet rsultat: Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca l umero degl studet che o hao la suffceza talao, dcato co f( ), è uguale alla frequeza cumulata relatva al voto, ossa f( ) 69 studet; l umero degl studet che hao la suffceza talao, dcato co f( 6), è uguale al complemetare, sul totale, del umero d quell che o hao la suffceza, ossa f( 6) 98 69 9 studet. Il grafco della dstrbuzoe cumulatva d frequeza assoluta è l seguete 6 7 8 9 Fgura Esempo La tabella rporta la dstrbuzoe de putegg otteut co lac d due dad; l corrspodete stogramma è rappresetato ella fgura. puteggo freq. assoluta 6 7 7 8 8 66 9 6 Tabella 9 8 7 6 6 7 8 9 Fgura La tabella d dstrbuzoe delle frequeze cumulatve assolute e percetual è la seguete puteggo freq. cumul. assoluta freq. cumul. percetuale.6% 8 9.6% 8 6% 7% 6 9.8% 7 9 8.8% 8 6 7% 9 6 8.% 9% 8 97% % Tabella Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo - Statstca descrttva Utlzzado la tabella delle frequeze cumulatve percetual s possoo calcolare ad esempo le frequeze percetual de seguet rsultat puteggo more o uguale a 8: f( 8) 7% puteggo more d 9: f( < 9) f( 8) 7% puteggo compreso fra e 8: f( 8) f( 8) f( <) f( 8) f( ) 7% 9.6% 6.% puteggo maggore d 7: f( >7) f( ) f( 7) % 8.8%.% Esempo Soo stat msurat dametr d sferette prodotte da ua lea produttva; le msure cm soo date da.8.7.9.9.89.8.8.8.8.8.9.86..8.8.8.9.8.. Tabella Per raggruppare dat utlzzamo class, avet ampezza uguale a 8. Tabella della dstrbuzoe d frequeza Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale.69 <.77 %.77 <.8 8 %.8 <.9 %.9 <. %. <.9 % Totale % Tabella Istogramma della dstrbuzoe d frequeza assoluta (fgura ); tabella e grafco della dstrbuzoe cumulatva d frequeza assoluta (tabella 6 e fgura ) 9 8 7 6.6.7.8.89.97.. Fgura Classe Freq. cumul. assoluta.69.77.8 9.9. 7.9 8 6 8 6.6.7.7.8.8.9.9.. Tabella 6 Fgura Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 I dat possoo ache essere raggruppat scegledo altre class, d ampezza uguale a ; questo caso s ottegoo seguet rsultat Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale.6 <.7 %.7 <.8 6 %.8 <.9 7 %.9 <. %. <. % Totale % Tabella 7 8 6.69.79.89.99.9 Fgura Classe Freq. cumul. assoluta.6.7.8 7.9. 8. Tabella 8 8 6 8 6.6.7.8.9.. Fgura Esempo 6 I uo studo d due settmae sulla qualtà della produzoe degl opera d u azeda, s soo otteut dat seguet, rguardat l umero totale d pezz accettabl al cotrollo qualtà, prodott da opera 6 6 9 8 79 6 8 67 6 78 7 68 7 6 8 88 6 6 7 6 9 7 7 6 9 8 76 7 7 7 6 6 6 8 6 7 76 6 8 6 6 77 6 8 68 67 69 68 7 6 6 6 7 9 7 8 8 6 7 8 7 Tabella 9 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo - Statstca descrttva Raggruppamo dat ua dstrbuzoe d frequeza avete le class 9 9 9 9 6 69 7 79 8 89 e dsegamo l stogramma. Rcavamo po la dstrbuzoe cumulatva d frequeza assoluta e dsegamo l'ogva. Tabella della dstrbuzoe d frequeza Classe Freq. assoluta Freq. relatva Freq. percetuale 9 9 9 8 8 8 9 6 69 7 79 8 89 6 6 6 Totale Tabella Istogramma della dstrbuzoe d frequeza assoluta 6 7 8 9 Fgura 6 Tabella e grafco della dstrbuzoe cumulatva d frequeza assoluta Classe Freq. cumul. assoluta 9 9 9 7 9 9 6 69 8 79 9 89 9 8 7 6 6 7 8 9 Tabella Fgura 7 Esempo 7 Cque moete vegoo lacate volte cotemporaeamete e s osserva ad og laco l umero d teste. Il umero d lac cu s soo otteute,,,,, teste soo dat dalla tabella seguete Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9 Classe (umero teste) Freq. assoluta 8 87 6 Totale Tabella Dsegamo l'stogramma della dstrbuzoe d frequeza (fgura 8) e costruamo la tabella (tabella ) e l grafco della dstrbuzoe cumulatva d frequeza (fgura 9). - 6 Fgura 8 Classe Freq. cumul. assoluta 8 8 8 97 9 8 7 6 Tabella Fgura 9 Esempo 8 Nella seguete tabella s rportao dat rguardat l struzoe uverstara Itala (rfert all ao 996/97). Dsegamo u dagramma a barre per rappresetare tal dat; rappresetamo co dagramm crcolar le percetual d laureat e var cors d laurea calcolate rspetto al umero totale d laureat e le percetual calcolate rspetto al umero d scrtt cascu corso. cors d laurea studet corso studet fuor corso laureat facoltà scetfche 66 6696 9 facoltà d medca 79 88 77 facoltà tecche 66 68 999 facoltà ecoomche 787 797 7 facoltà gurdche 96 6 889 6 facoltà letterare 8 6 78 7 dplom 6 68 9 Totale 8 676 8 Tabella Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Statstca descrttva. corso fuor corso laureat. Fgura 6 7 La tabella rporta le percetual d laureat cascu corso d laurea; dat soo llustrat dal dagramma crcolare della fgura cors d laurea laureat freq. percetuale (freq. assoluta) facoltà scetfche 9.7% facoltà d medca 77.6% facoltà tecche 999.% facoltà ecoomche 7 6.6% facoltà gurdche 889.% 6 facoltà letterare 78 % 7 dplom 9 7.% Totale 8 % Tabella Nella tabella 6 s rporta per cascu corso d laurea la percetuale d laureat rspetto al umero d scrtt el corso stesso; dat soo llustrat dal dagramma crcolare della fgura cors d laurea studet scrtt laureat freq. percetuale facoltà scetfche 8 9 8.% facoltà d medca 77 77 % facoltà tecche 866 999 6.7% facoltà ecoomche 78 7 7.7% facoltà gurdche 968 889 6.% 6 facoltà letterare 766 78 7.% 7 dplom 79 9.7% Tabella 6 7 7 6 6 Fgura Fgura Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Esempo 9 Nella tabella 7 s rportao le aree de cotet del modo, mglaa d chlometr quadrat; dsegamo l grafco de dat co u dagramma a barre e co u dagramma crcolare. Cotete Area (mglaa d Kmq) Europa 68 Asa 78 Afrca 9 Amerca Sett. e Cetr. Amerca merd. 78 Oceaa 8 Atartde 8 Tabella 7 I rettagol che compogoo l dagramma a barre s possoo ache dsegare orzzotal, azché vertcal; l dagramma crcolare s può ache dsegare dmeso. 8 7 Europa 6 Asa Afrca Amerca Sett. e Cetr. Amerca Merd. Oceaa Atartde.... Area (mglaa d Kmq) Fgura Oceaa Atartde Europa Asa Amerca Merd. Afrca Fgura Amerca Sett. e Cetr. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Statstca descrttva. Idc d poszoe e d dspersoe Defamo alcu dc umerc, dett ache statstche, utl per descrvere de dat umerc e la loro dstrbuzoe d frequeza; tal dc predoo l ome d meda, medaa, moda, varaza e scarto quadratco medo o devazoe stadard e msurao l cetro e la dspersoe de dat. S osservo seguet stogramm 6 7 6 7 Fgura 6 7 6 7 Il prmo grafco mostra ua dstrbuzoe smmetrca, cetrata attoro a, valore per cu la frequeza è massma; la secoda dstrbuzoe è acora cetrata attoro a, ma per valor lota da le frequeze soo pccole; la terza dstrbuzoe o è smmetrca, ma ha ua coda a destra pù luga che a sstra; la quarta è decrescete e o smmetrca, co alcu valor dspers lotao dagl altr. Gl dc che trodurremo servoo per msurare quattatvamete alcue delle caratterstche osservate qualtatvamete su quest grafc esemplfcatv. S cosder u seme d dat,,...,. Defzoe S defsce meda artmetca o meda campoara d dat,,..., la quattà (.) Per og valore della varable s defsce lo scarto dalla meda s che dca l grado d scostameto del sgolo valore dalla meda. S dmostra faclmete che la somma algebrca S degl scart dalla meda è ulla. Ifatt ( ) S s Esempo Meda de dat 7 + + + 7 +. Defzoe La medaa M d u seme d dat ordat orde d gradezza crescete è l valore cetrale de dat, se l umero d dat è dspar, o la meda artmetca de due valor cetral, se l umero de dat è par. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Questa defzoe della medaa asscura che lo stesso umero d dat cade sa a sstra che a destra della medaa stessa. L'uso della medaa come dce per descrvere le caratterstche de dat ha lo svataggo d dover prma rordare dat orde crescete, l che o è rchesto per l calcolo della meda. Esempo a Medaa de dat 7 Dat ordat orde crescete 7 Medaa M b Medaa de dat 9 7 9 Dat ordat orde crescete 9 7 9 + Medaa M U ulterore dce utle è la moda, deotata co ~. Defzoe La moda ~ d u seme d dat è l valore o la classe a cu corrspode la massma frequeza assoluta. La moda è per lo pù utlzzata quado s trattao dat d tpo qualtatvo, per qual o è possble calcolare meda e medaa. La moda può o esstere o o essere uca; quado è uca, la dstrbuzoe è detta umodale, quado c soo pù mode dverse è detta bmodale o multmodale. Esempo a Moda dell'seme d dat,,,, 7, 7, 7, 9,, L'seme ha moda ~ 7. b Moda dell'seme d dat,,,,, 7, 7, 7, 9,, L'seme ha due mode ~ e ~ 7. c L'seme d dat,,, 7, 8, 6, 9,, o ha moda, perché og dato s preseta ua sola volta. L'ultmo caso mette rlevo u problema comue co la moda: questo dce o è utle quado dat soo tat e per la maggor parte dvers fra loro; tal cas la moda può o esstere o essere lotaa dal cetro dell seme d dat. Per questa ragoe la moda è poco utlzzata. Meda, medaa e moda soo dett dc d poszoe o dc d tedeza cetrale, perché descrvoo attoro a quale valore è cetrato l'seme d dat. La medaa è preferble alla meda quado s vogloo elmare gl effett d valor estrem molto dvers dagl altr dat: la ragoe è che la medaa o utlzza tutt dat, ma solo l dato cetrale o due dat cetral. I seguet esemp mostrao come la medaa tal cas descrva modo pù adeguato u seme d dat. Tuttava occorre mettere evdeza che l'utlzzare solo dat cetral rede la medaa poco sesble a tutt gl altr valor de dat e questo può costture u lmte d questo dce. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Statstca descrttva Esempo Sa dato l seguete seme d dat, che rappresetao l peso alla ascta ( g) d bamb at ua settmaa ua clca. La meda de dat è 8 76 6 6 8 6 8 8 6 8 78 Tabella 8 ( 8 + +... + + 78) g S può osservare che 9 dat soo mor della meda e maggor. Come gà osservato, uo de lmt della meda come msura della tedeza cetrale è che essa è molto sesble a valor de dat che cadoo agl estrem dell'tervallo d varabltà; questo seso può o rappresetare bee la collocazoe de dat. Se ad esempo l prmo bambo fosse u ato prematuro del peso d g, la meda avrebbe l valore g e tal caso 7 dat sarebbero mor della meda e maggor. La medaa questo caso è M metre per l'seme d dat assegat zalmete è M Esempo I ua dtta lavorao gova geger, che guadagao. all ao cascuo, e l propretaro, ach egl gegere, che guadaga 9 all ao. Stablre se la dtta è u buo posto d lavoro per u govae gegere. Meda degl stped. + 9 Il valore della meda sembra dcare che s tratt d u ottmo posto d lavoro. Medaa degl stped M. La medaa rappreseta meglo della meda quello che guadaga u govae gegere dpedete, qud l posto d lavoro o è così buoo come era stato gudcato co la meda. Esempo I dat seguet rappresetao valor de globul bach ( mglaa) rlevat pazet rcoverat ua matta u ospedale 7 9 8 8 7 Dat ordat modo crescete 7 7 8 8 9 La meda e la medaa d quest dat valgoo rspettvamete M 8 Se l secodo pazete della tabella avesse u valore d 7 globul bach, azché d., l valore della medaa resterebbe varato, metre la meda dveterebbe.9 Quest esemp c rcordao che c è sempre comuque u rscho a rassumere u seme d dat co u sgolo umero. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Oltre alla medaa, che dvde a metà u seme d dat ordat, s possoo defre altr dc d poszoe, dett quatl e percetl, che dvdoo l seme d dat ordat u dato umero d part ugual. Quest dc d poszoe o cetrale soo usat soprattutto per amp sem d dat. I quartl soo u caso partcolare de quatl, e s ottegoo dvdedo l seme d dat ordat quattro part ugual. Defzoe Il prmo quartle Q è u valore tale che l % de dat ordat è more o uguale a Q. Il prmo quartle Q è detto ache -esmo percetle e dcato co P. Il terzo quartle Q è u valore tale che l 7 % de dat ordat è more o uguale a Q ed è detto ache 7-esmo percetle e dcato co P 7. Il secodo quartle Q (-esmo percetle) cocde co la medaa. Per calcolare quartl s segue ua regola smle a quella usata per l calcolo della medaa. Regola per l calcolo de quartl S ordao gl dat assegat orde crescete; s calcola l prodotto k p, dove p per l prmo quartle e p 7 per l terzo quartle; se k è u tero, l quartle s ottee facedo la meda del k-esmo e del (k+)-esmo valore de dat ordat; se k o è tero, s arrotoda k per eccesso al prmo tero successvo e s scegle come quartle l corrspodete valore de dat ordat. La regola può essere geeralzzata modo semplce per trovare u qualsas altro percetle. Ad esempo per trovare l 9-esmo percetle, ossa quel valore tale che l 9 % de dat ordat è more o uguale ad esso, s usa la stessa regola, co p 9. Esempo 6 Calcolare l prmo e l terzo quartle dell seme d dat..... 9.6 7 Dat ordat 9.6 7..... Prmo quartle p k p. k o è tero, percò s arrotoda per eccesso k : l prmo quartle è l terzo de dat ordat Q. Terzo quartle p 7 k p 7. k o è tero, percò s arrotoda per eccesso k 8 : l terzo quartle è l ottavo de dat ordat Q.. Secodo quartle (medaa) p k p k è tero, percò s fa la meda tra l quto e l sesto dato e s ottee 7 +. Q 8 (Questo valore cocde co quello che s trova co la regola della medaa). Molt software calcolao percetl co ua regola u po pù complessa, basata sull terpolazoe leare fra dat adacet, percò valor trovat possoo dfferre leggermete da quell rcavat co la regola pù semplce qu dcata. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo - Statstca descrttva Esempo 7 Calcolare l prmo e l terzo quartle e l 9-esmo percetle per dat della tabella, pag.. Dat ordat 6. 7.7 8. 9. 9. 9.8 7...8..8....9...7...8.9 6. 6.7 6.9 7. 7. 7. 7.6 7.9 8. 8. 8. 8. 8. 8. 8.7 9. 9. 9. 9. 9. 9. 8 9..6.9...7.7.9...7.9...6.6.8.7.9 6. 6. 6.6 6.8 7. 8. 8.6 9.6.8 Prmo quartle 8 p k p k è tero, percò s fa la meda tra l -esmo e l -esmo dato e s ottee. 7 +. Q. 9 Terzo quartle 8 p 7 k p 6 k è tero, percò s fa la meda tra l 6-esmo e l 6-esmo dato e s ottee. 9 +. Q. 9 9-esmo percetle 8 p 9 k p 76 k è tero, percò s fa la meda tra l 76-esmo e l 77-esmo dato e s ottee 7. + 8. P 9 8. Il 9-esmo percetle forsce u mportate formazoe: soltato l % de dat soo maggor d 8., ossa, co rfermeto al tpo d dat descrtt ell esempo, soltato el % de gor l emssoe d gas quat supera la sogla d 8. utà. Gl dc d poszoe o tegoo coto della varabltà esstete fra dat; v soo dstrbuzo che, pur avedo la stessa meda, soo molto dverse fra loro. I dat de seguet sem ad esempo hao la stessa meda ( 6 ) A {6 6 6 6 6} B { 6 } C { 6 6 7} ma gl sem soo molto dvers; l prmo è composto da dat tutt ugual, metre l secodo preseta la maggor dffereza tra l valore mmo e l massmo. Idc sgfcatv per la msura della varabltà d ua dstrbuzoe d frequeza soo la varaza e lo scarto quadratco medo, detto ache devazoe stadard. Defzoe S defsce varaza, o ache varaza campoara, la quattà dove dca la meda de dat. s ( ) (.) Tabella 9 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 Defzoe 6 S defsce scarto quadratco medo o devazoe stadard la radce quadrata della varaza s ( ) Nella formula per la varaza s dvde per azché per, perché la varaza s defta questo modo gode d alcue propretà che la redoo ua msura pù adeguata ell fereza statstca (Captolo 7). S può faclmete dmostrare che per l calcolo della varaza s possoo usare le seguet formule alteratve alla (.), che rchedoo ua mor quattà d calcol e soo pù effcet dal puto d vsta dell'accuratezza computazoale (vedere ache esemp, 6, 7) (.) s (.) s (.) Varaza e scarto quadratco medo soo dett dc d dspersoe o dc d varabltà, perché msurao la dspersoe de dat attoro alla meda. Dalla defzoe rsulta che la varaza è tato pù grade quato pù dat s dscostao dalla meda. I valor d s e s, poché msurao l effettva varazoe assoluta presete u seme d dat, dpedoo dall utà d msura de dat. I partcolare lo scarto quadratco medo s msura la dspersoe de dat co la stessa utà d msura della meda de dat, cosa che o accade per la varaza; questa è la ragoe prcpale per cu lo scarto quadratco medo è pù usato della varaza. La meda e lo scarto quadratco medo soo due dc d poszoe e d dspersoe pù usat; uo de motv prcpal è che la dstrbuzoe ormale, che vee largamete utlzzata molt camp dvers, è defta term d quest due parametr. La dstrbuzoe ormale verrà trattata el captolo. Esempo 8 I seguet dat soo temp d esecuzoe d ua certa operazoe msurat mut 6. 9. 6 8 Calcolamo la varaza e la devazoe stadard. 6 +. + 9 +. + 6 + 8 8 mut 6 Per la varaza, usado la formula (.) s dspogoo calcol ella tabella seguete ( ) 6 6. 9. 6 6 8 totale 7 Tabella Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo - Statstca descrttva s s. 7 mut mut Se per la varaza s usa la formula (.), che è pù effcete, calcol s dspogoo vece ella tabella (o s fa uso modo esplcto del valor medo) 6 6.. 9 8. 6 6 8 6..6 Tabella. s. 6 mut 6 Esempo 9 Calcolamo varaza e devazoe stadard de dat della tabella 8. Per la varaza, usado la formula (.) e dspoedo calcol ua tabella aaloga alla tabella, s ottee 68 6 68 s 6 9 s 676. 9. g 676. g Esempo Per la partecpazoe a ua gara d matematca ua scuola deve formare ua squadra d 6 studet; co ua selezoe prelmare, attraverso u test co u puteggo massmo d put, sulla base della meda de mglor 6 putegg rsultao tre squadre a par merto. Co quale crtero può essere scelta la squadra da madare alla gara? squadra putegg degl studet A 7 76 77 8 88 9 B 7 7 78 8 88 9 C 7 77 79 8 8 9 Tabella La somma de putegg otteut da cascua squadra è 89; la meda artmetca per le tre squadre vale 8. e o è qud u crtero utlzzable per la scelta; calcolamo la varaza e lo scarto quadratco medo Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9 squadra A squadra B squadra C 7 9 7 76 7 8 76 776 7 76 77 99 77 99 78 68 79 6 8 7 8 76 8 67 88 77 88 77 8 76 9 8 9 88 9 9 89 89 7 89 9 Tabella squadra squadra squadra A B C s 7 89 9. 9 6 s 89. 7 6 s 9 89 6. 6 squadra varaza scarto quadratco medo A 9.9 7.6 B.7 7.6 C 6. 7.8 Tabella Utlzzado l crtero dello scarto quadratco medo, la squadra da vare alla gara è la squadra A, che ha l mor scarto quadratco medo. Esempo I vot tretesm rportat da studet u esame soo rportat ella seguete tabella. Idvduare qual studet s dscostao dal voto medo per pù d ua volta oppure due volte lo scarto quadratco medo. umero studete 6 7 8 9 voto 7 7 9 6 7 8 7 umero studete 6 7 8 9 voto 8 9 7 9 Tabella Elaborado dat s ottegoo seguet rsultat. s 6. s.9 + s 7.6 s 8.98 +s.8 Tutt vot appartegoo all'tervallo [ s, +s], coè o v è essu voto che s dscosta dalla meda per pù d due volte lo scarto quadratco medo; c soo vece vot che o appartegoo all'tervallo [ s, +s], ossa s dscostao dalla meda per pù d ua volta lo scarto quadratco medo. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Statstca descrttva Per rappresetare la stuazoe può essere utle u dagramma el pao cartesao (fgura 6), co l quale s dvduao pù faclmete gl studet che retrao ella fasca delmtata da valor s, +s. med+s voto med+s med med-s 6 7 8 9 6 7 8 9 6 umero studete med-s Fgura 6 Per cofrotare la varazoe d molt campo dvers d dat, cascuo co meda dversa, o msurat utà d msura dverse, può essere utle usare ua msura d varazoe relatva, azché ua msura assoluta come lo scarto quadratco medo. Defzoe 7 Il coeffcete d varazoe CV è defto da s CV % (.6) Il coeffcete d varazoe esprme lo scarto quadratco medo come percetuale della meda ed è dpedete dall'utà d msura usata, poché la meda e lo scarto quadratco medo soo espress ella stessa utà d msura. Esempo Sa dato u campoe d pacch d cu soo ot l peso e l volume. Calcolado la meda e lo scarto quadratco medo delle due msure s ottegoo seguet valor Peso medo: P 9Kg Scarto quadratco medo del peso: s P. Kg Volume medo: V. 7m Scarto quadratco medo del volume: s V 6m Cofrotamo la varabltà del peso e del volume. Sccome l peso e l volume soo espress utà d msura dverse, occorre predere cosderazoe la varabltà relatva delle osservazo, calcolado l coeffcete d varazoe. Per l peso l coeffcete d varazoe è. CV % 6. 67%. 9 Per l volume l coeffcete d varazoe è 6 CV %. %.. 7 Pertato, rspetto alla meda, l volume de pacch è pù varable del peso. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Esempo Le msure del dametro d u cuscetto a sfera effettuate co uo strumeto hao u valor medo.9 mm e uo scarto quadratco medo s mm; le msure della lughezza d ua sbarra rgda effettuate co u altro strumeto hao vece u valor medo. m e uo scarto quadratco medo s 8 m. Quale de due strumet è relatvamete pù precso? Per l prmo strumeto l coeffcete d varazoe è CV 8%. 9 Per l secodo strumeto è vece 8 CV %. Il prmo strumeto è relatvamete pù precso del secodo.. Calcolo d meda e varaza per dat raggruppat Nel caso cu dat sao molto umeros, o dspoedo d u computer l calcolo della meda e della varaza vee semplfcato se s raggruppao dat prma d utlzzarl; può oltre succedere d dover calcolare meda e varaza d dat che soo ot solo ella forma d dat raggruppat. I quest cas l calcolo esatto o è possble, ma s può calcolare ua buoa approssmazoe d meda e varaza, suppoedo che dat d og classe sao approssmat dal valore cetrale della classe. Dopo aver raggruppato gl dat k class, dchamo co m l valore cetrale della geerca classe e co la corrspodete frequeza assoluta della classe. f Defzo 8 La meda per dat raggruppat è defta da k m f La varaza per dat raggruppat è defta da k s ( m ) f (.7) (.8) Per l calcolo della varaza per dat raggruppat s possoo usare le seguet formule alteratve alla (.8) e pù accurate dal puto d vsta computazoale k k s fm fm (.9) s f m (.) Osservamo che, se soo dspobl dat grezz, co la dffusoe de computer e de software statstc queste formule per dat raggruppat hao perso molta della loro mportaza. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Statstca descrttva Esempo Rpredamo l esempo el quale, raggruppado dat co 7 class aperte a sstra, abbamo otteuto la tabella seguete (tabella b) Class m < 9 7 9 < 9 < 7 7 < 9 < 7 < 9 7 9 9 < Totale 8 Applcado le formule (.7) e (.) per dat raggruppat s ottee per la meda 7 + 9 + + 9 + 7 + 7 9 + 8. 8 e per la varaza ( ) 8 s [7 + 9 + + 9 + 7 + 7 9 + ]. 96 79 Se l calcolo vee fatto su dat o raggruppat (tabella ) s ottee vece 8.89 s. Come s ota, valor otteut da dat raggruppat soo u'approssmazoe de valor pù precs calcolat su tutt dat. Esempo Quattro grupp d 8,, e scolar hao u altezza meda rspettvamete d cm, 8 cm, cm e 6 cm. Determare l'altezza meda d tutt gl scolar e la varaza, co le formule de dat raggruppat. Tabella della dstrbuzoe d frequeza Tabella 7 m ( ) m f m 8 8 9 6 Tabella 9 Numero totale degl scolar 6 Meda 6 + 8 + + 8 m f cm 6 Varaza, co la formula (.8) s ( 8 + + 9 + ) 66.6cm 6 6 f Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca La medaa è uguale al dato M 8 La moda è uguale al dato che s preseta co maggor frequeza ~ 8 Esempo 6 La tabella 8 rassume vot fal matematca degl studet d ua classe; calcolare l voto medo della classe. voto 6 7 8 9 umero studet 8 Tabella 8 I vot fal ua matera soo ua dstrbuzoe d frequeza, cu alcu vot soo geeralmete attrbut a pù studet; l umero complessvo degl studet è + + + 8 + + + Il voto medo è + + + 6 8 + 7 + 8 + 9 +. 6 Esempo 7 I u seme d umer compaoo dec volte l 6, cque volte l 7, ove volte l 8, dodc volte l 9 e quattro volte l Trovare la meda artmetca d quest umer. S tratta d dat raggruppat, la cu meda vale 6 + 7 + 9 8 + 9 + 7. 87 Esempo 8 Nella tabella seguete s rportao putegg otteut lac successv d u dado classe (puteggo) f 9 8 6 6 7 Tabella 9 Calcolare la meda, la medaa, la moda e la varaza. Meda ( 9 + 6 + + + + ). Medaa: è la semsomma del -esmo e del -esmo valore ( dat devoo essere prma dspost orde crescete) + M Moda: è l puteggo a cu corrspode la maggor frequeza ~ Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Statstca descrttva Varaza s 9 (. ) 9 + (. ) 8 + (. ) [ + (. ) + (. ) 6 + ( 6. ) 7]. 9. Forma d ua dstrbuzoe U altra caratterstca de dat che predamo cosderazoe è la forma della loro dstrbuzoe. Le dstrbuzo d frequeza possoo assumere pù forme dverse, e fra queste le pù mportat soo quelle che assumoo ua forma a campaa. I questo caso la dstrbuzoe de dat è smmetrca rspetto a ua lea vertcale (lea tratteggata - fgura 7); dat d questo tpo s dcoo ormal. Se la dstrbuzoe de dat o è perfettamete smmetrca, dat s dcoo approssmatvamete ormal (fgura 8). Dat ormal - Istogramma smmetrco Dat approssmatvamete ormal 6 7 8 9 6 7 8 9 Fgura 7 Fgura 8 Ua dstrbuzoe asmmetrca, detta ache oblqua, può avere ua coda a destra e vee detta dstrbuzoe oblqua a destra o co asmmetra postva (fgura 9); se vece la coda è a sstra, s dce che la dstrbuzoe è oblqua a sstra o co asmmetra egatva (fgura ). Dstrbuzoe co asmmetra postva Dstrbuzoe co asmmetra egatva 6 7 8 9 Fgura 9 6 7 8 9 Fgura Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Per descrvere la forma della dstrbuzoe è suffcete cofrotare la meda co la medaa: se queste due msure soo ugual la dstrbuzoe è smmetrca; se la meda è maggore della medaa, la dstrbuzoe ha asmmetra postva (oblqua a destra, fgura ); se vece la meda è more della medaa, la dstrbuzoe ha asmmetra egatva (oblqua a sstra). 6 Meda e medaa d ua dstrbuzoe co asmmetra postva 6 7 8 9 medaa meda Fgura Questa relazoe fra la meda e la medaa può essere usata per defre ua msura d asmmetra, detta coeffcete d asmmetra d Pearso. Defzoe 9 Sao, M e s rspettvamete la meda, la medaa e lo scarto quadratco medo d u seme d dat; l coeffcete d asmmetra d Pearso è defto da ( M ) SK (.) s Il coeffcete SK è dpedete dall utà d msura de dat. Per ua dstrbuzoe perfettamete smmetrca SK vale ; per ua dstrbuzoe asmmetrca postvamete l valore d SK è postvo, metre è egatvo per ua dstrbuzoe asmmetrca egatvamete. I geerale valor d SK cadoo fra e. La dvsoe per lo scarto quadratco medo rede l valore d SK dpedete dall utà d msura de dat. Sebbee la meda e lo scarto quadratco medo sao solo msure descrttve d u seme d dat, esse forscoo mportat formazo sulla dstrbuzoe de dat. Se la dstrbuzoe de dat è approssmatvamete ormale vale fatt la seguete regola. Regola emprca Se u seme d dat è approssmatvamete ormale, co meda e scarto quadratco medo s, allora: crca l 68% de dat è compreso fra s e + s; crca l 9% de dat è compreso fra s e + s; crca l 99.7% de dat è compreso fra s e + s; Questo rsultato, oto come regola emprca presumblmete perché le percetual dcate soo osservate ella pratca, è realtà u rsultato teorco basato sulle propretà della dstrbuzoe ormale, che sarà studata el captolo. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo - Statstca descrttva Esempo 9 Per dat dell esempo (tabella ) s possoo calcolare seguet valor per la meda e lo scarto quadratco (s veda ache l esempo ) 8.89 s. s. 66 La regola emprca questo caso afferma che crca l 68% de dat cade fra valor s 8. 89. 66. e + s 8. 89 +. 66. Usado la tabella 9, dove compaoo gl stess dat orde crescete, s può faclmete verfcare che dat cadoo prma d. e dat cadoo dopo., qud 8 8 dat cadoo ell tervallo (.,.), ossa l % 6% de dat. 8 Co lo stesso metodo s osserva sulla tabella che l 97.% de dat cade fra s 8. 89. 66 7. 7 e + s 8. 89 +. 66 e la regola emprca prevede l 9%. Esempo Rpredamo l esempo 7; l stogramma rappresetato ella fgura 8 evdeza ua dstrbuzoe de dat approssmatvamete ormale. Calcolamo meda e varaza co le formule (.7) e (.8) per dat raggruppat. ( 8 + + + 87 + 6 + ). 7 s [ 8 + + + 87 + 999 + 6 +. 7 ]. s. Se s mmaga d dsporre orde crescete dat (umero d teste otteute ad og laco), s può osservare che valor che occupao le due poszo cetral soo ugual a, percò la medaa è M Il valore che s preseta co la maggor frequeza ( volte) è, ossa la moda è ~. S ha s. 7.. + s. 7 +.. 9 s. 7. + s. 7 +.. 7 Il umero d dat compres fra s e + s è dato dal umero d dat ugual a e a, ossa 69, ed è l 6% crca de dat; l umero d dat compres fra ugual a,, e, ossa 97 ed è l 9% crca de dat. s e + s è dato dal umero d dat.6 Correlazoe fra varabl Spesso ell'dage statstca s eseguoo aals d tpo comparatvo, ad esempo s osservao pù varabl su u medesmo gruppo d dvdu. U problema tpco cosste el cheders se esste ua correlazoe fra le varabl osservate. Il prmo passo utle per dagare qualtatvamete l'evetuale dpedeza fra due varabl e y cosste el dsegare u grafco, detto dagramma d dspersoe o scatterplot. S pogoo ascssa dat relatv a ua delle due varabl, ordata quell relatv all'altra varable e s rappresetao co put o cerchett le sgole osservazo. Se esste ua relazoe semplce fra le due varabl, l dagramma dovrebbe evdezarla. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 S osservo ad esempo due dagramm seguet y y 6 6 8 6 8 Fgura Fgura Il prmo dagramma o suggersce che v sa ua correlazoe fra le due varabl: put soo spars seza apparet regolartà. Il secodo dagramma evdeza vece ua certa regolartà: put co ascssa pccola hao ordata pccola e put co ascssa grade hao ordata grade; questo caso s dce che esste ua correlazoe dretta fra le due varabl. Aalogamete s parla d correlazoe versa fra le due varabl se al crescere d ua d esse l'altra decresce. Nella fgura s può potzzare ua correlazoe tra le due varabl d tpo leare; tal caso s può traccare la retta d regressoe, coè la retta che "pù s avvca" a tutt put. Esamamo dapprma l cocetto d correlazoe fra varabl. Defzoe Date osservazo cogute d due varabl e y (, y ), (, y ),..., (, y ) s dce covaraza delle due varabl, y l umero S y ( )( y y ) (.) Defzoe S dce coeffcete d correlazoe delle due varabl, y l umero S y r (.) s s dove s e soo le varaze delle varabl e y. s y y Per l calcolo della covaraza s può ache usare la formula seguete S y y y (.) La covaraza può avere sego postvo o egatvo, e l coeffcete d correlazoe ha lo stesso sego della covaraza. Per l calcolo del coeffcete d correlazoe s può ache usare la seguete formula y y r (.) y y Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo - Statstca descrttva Defzoe S dce che fra le varabl, y c'è ua correlazoe dretta o postva se ua correlazoe versa o egatva se se S y > ; s dce che c'è S y < ; s dce fe che le varabl soo o correlate S y S può dmostrare che l coeffcete d correlazoe r vara tra e ; partcolare r ± se e solo se put soo tutt perfettamete alleat sulla stessa retta, ossa esstoo due umer A e B tal che y A B,,, + dat correlat postvamete (covaraza postva) dat correlat egatvamete (covaraza egatva) 9 9 9 9 y 8 8 y 8 8 7 7 7 7 6 6 7 8 9 6 6 7 8 9 Fgura Fgura dat o correlat 8 7 6 y 6 7 8 9 Esempo I seguet dat soo putegg che studet hao coseguto due esam d Aals Matematca (puteggo massmo ). Calcolare la covaraza e l coeffcete d correlazoe. Fgura 6 Aals I Aals II 7 68 7 97 9 67 9 99 7 7 9 9 7 8 8 86 Tabella Aals II 9 8 7 6 dagramma d dspersoe 6 7 8 9 Aals I Fgura 7 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9 Per calcolare covaraza e coeffcete d correlazoe, se o s dspoe d u computer, s dspogoo calcol ua tabella (ell'ultma rga soo dcate le somme delle coloe) y y y ( ) ( y y) ( ) ( y y) 7 9..6 7 8 6.8 68 7. 6.6 6. 6..6 97 9 6. 6..6 7 69. 67. 9.6 8.8 9. 9 99.. 8.8 6 8 7 7..6.6...6 8 9 9 9. 9. 7. 7 8...9..6 8 86 9. 9. 89. 9 88. 7 766 78... Tabella S ottegoo seguet rsultat 7 y 76.6 S y s 7.7 8.7 r 9 I dat soo postvamete correlat; l dagramma d dspersoe e l valore d r prossmo al valore dcao ua relazoe leare fra dat. s y.7 Metodo de mm quadrat. Regressoe leare I base a quato detto el.6, se l coeffcete d correlazoe r o vale ±, certamete dat y o soo esattamete ua fuzoe leare de dat. Tuttava, se l dagramma d dspersoe suggersce ua relazoe d tpo leare e l valore d r è prossmo a + o a, ha seso determare l'equazoe d ua retta che approssm "el modo mglore" dat assegat. Sa dato u seme d put (, y ),(, y ),...,(, y ) e sa y A + B l equazoe della retta che s vuole determare. Ua stratega per determare tale retta può cosstere el trovare valor A e B per qual è mma la somma ( A + B y ) (.6) Questo crtero rsulta però adeguato, come mostra la fgura 8, che rappreseta l approssmazoe d due sol put co ua retta. Ovvamete la retta mglore è quella che coguge due put, ma qualsas retta passate per l puto medo del segmeto che coguge due put rede mma la quattà (.6) (la somma vale zero perché s sommao due valor ugual e d sego opposto). S potrebbe allora pesare d mmzzare la somma de valor assolut A + B y (.7) ma ache questo crtero o è adeguato, come mostra la fgura 9; el caso de quattro put rappresetat ella fgura 9, qualuque retta compresa tra le due rette r e s che uscoo put a due a due soddsfa l crtero (.7). Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Statstca descrttva Etramb crter (.6) e (.7) soo soddsfacet perché o coducoo ad ua soluzoe uca..... s r.. puto medo.. Fgura 8 Fgura 9 Il crtero che vee usato per defre "l modo mglore" d approssmare dat, e permette d trovare l'equazoe della retta che l approssma, cosste el mmzzare la quattà E A + B y ) ( Questo crtero è detto metodo de mm quadrat. La caratterstca pù mportate d questo crtero è che cosete d determare u uca retta d regressoe per og seme d dat. Il grafco che segue llustra l crtero adottato: s rchede che sa mma la somma de quadrat delle lughezze de segmet che costtuscoo le dstaze vertcal de put dalla retta. 8 y 7 6 (,y ) (,A +B) 6 Fgura Defzoe La retta de mm quadrat o retta d regressoe è la retta d equazoe y A + B per la quale è mma la quattà E ( A + B y ) (.8) Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca S può dmostrare che coeffcet A e B dell'equazoe della retta d regressoe soo le soluzo del seguete sstema leare d due equazo elle cogte A e B, detto sstema delle equazo ormal A A + B + B y y (.9) S dmostra che la soluzoe del sstema esste ed è uca, purché put o sao tutt alleat vertcalmete. La soluzoe d questo sstema può essere trovata ad esempo co l metodo d Cramer. Esempo Determare la retta d regressoe leare per dat rportat elle prme due coloe della tabella seguete Per scrvere l sstema leare (.9) covee dsporre calcol ua tabella (ell ultma rga s rportao le somme delle coloe). y y 9 7 7 9 6 6 6 6 7 9 Il sstema delle equazo ormal è l seguete Tabella Per trovare la retta d regressoe basta mmzzare la fuzoe E(A,B) data da (.8), dove A e B soo le varabl e put (, soo ot. I u puto d mmo della fuzoe E(A,B) le dervate parzal y ) E E e s aullao. A B Calcolado le dervate parzal e mpoedo che sao ulle s trova l sstema delle equazo ormal (.9) E ( A + B y ) ( A + B y ) A E ( A + B y ) ( A + B y ) B ( A + B y ) ( A + B y ) A A + B + B y y Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Statstca descrttva 9A + B A + 8B 7 Trovamo la soluzoe co l metodo d Cramer 9 D 6 D A D 8 7 8 B D A A. 6 D 6 La retta d regressoe ha equazoe y. 6 + 8. 6 DB B D 9 9 8. 6 6 9 7 8 y 6 - - - 6 7 Fgura Esempo Nella seguete tabella s rportao le msure dell'ossgeo cosumato da ua persoa che camma, corrspodeza a vare veloctà della persoa. veloctà (Km/h) ossgeo (ltr/h) 9. 6 7. 8 Tabella ossgeo 9 8-6 7 8 9 veloctà Fgura Il dagramma d dspersoe mostra charamete che l volume dell'ossgeo cosumato è all'crca ua fuzoe leare della veloctà dell'dvduo. y y 9. 6. 9 88 6 6 8 6 7. 6. 9 8 9 6 6 96. 8 Tabella Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Il sstema delle equazo ormal è A + 6B 8 6A + 9B 96. La sua soluzoe co l metodo d Cramer è 6 D D 6 9 A 6 B La retta d regressoe ha equazoe y. 6 + 9. 7 A 8 96. 6 9 8 9. 7 D B 6 8 8 96. Esempo S vuole studare la relazoe che tercorre tra l umero d a d studo d ua lgua straera e l puteggo otteuto u test d coosceza della lgua. a studo y puteggo 7 78 7 8 89 6 7 8 7 8 y 9 8 7 6..... Tabella Fgura Il dagramma d dspersoe evdeza la relazoe leare fra dat. Determamo l'equazoe della retta d regressoe leare. y y 7 7 9 78 6 7 88 6 8 6 89 6 89 9 7 9 6 8 7 9 8 96 697 Tabella 6 Il sstema delle equazo ormal é A + B A + B 697 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Statstca descrttva La soluzoe co l metodo d Cramer é D D A 697 D B 697 A 9 B. La retta d regressoe leare ha equazoe y. 9 +. S osserv (fgura ) che questo esempo alcu de put (o tutt!) soo alleat vertcalmete. I alteratva al metodo basato sulla soluzoe del sstema leare delle equazo ormal, s dmostra che l'equazoe della retta d regressoe può ache essere rcavata co le seguet formule, che utlzzao la covaraza delle due dstrbuzo d e y e la varaza d. Queste formule soo pù effcet dal puto d vsta computazoale. y A + B S y A B y A s S y covaraza d e y s varaza d (.) Per l calcolo della covaraza S y e della varaza s usao preferblmete le formule (.) e (.). S osserv che l coeffcete agolare della retta ha l sego della covaraza, coeretemete co la defzoe data d correlazoe dretta e versa: se tra e y c'è ua correlazoe dretta (versa), la retta d regressoe sarà ua retta crescete (decrescete). La retta d regressoe può essere usata per fare delle prevso sul valore ˆ ŷ della varable y corrspodeza a u valore della varable, dverso da valor osservat; la prevsoe sarà tato pù affdable, quato pù l valore d ˆ è vco a valor gà osservat. Esempo S cosdero valor della tabella 8, otteut osservado l tempo che mpega u computer a processare de dat; è l umero d dat processat, y l tempo mpegato secod. Traccamo u dagramma d dspersoe, che evdeza u adameto d tpo leare. s y tempo dat 9 6 99 Tabella 7 secod 6 7 dat Fgura Per l calcolo della covaraza e del coeffcete d correlazoe dspoamo calcol ella tabella 8. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca y y 6 96 9 6 796 9 779 688 79 6 99 8978 8688 89 79 89 9 969 89 987 98 Tabella 8 y 969 89 9. 8 y 78. 6 S y 9. 8 78. 6 s s y ( ) 88 ( 987 9 8 ) 8 ( 98 78 6 ) 88.. 88 r 99 8 88 Il valore del coeffcete d correlazoe mostra che esste ua forte correlazoe postva fra le varabl: fatt l coeffcete r è molto vco a. E' percò sgfcatvo determare la retta d regressoe, la cu equazoe è y A + B S A s y 88 7 8 B y A 78. 6 7 9. 8 8. y. 7 8. La retta d regressoe può essere usata per fare ad esempo le seguet prevso dat da processare tempo prevsto 7 8. 86. 7 8.. 7 8. 8. 7 8. 9. Tabella 9 Esempo 6 Nella seguete tabella soo rportate le msure del volume d ua quattà d u gas a dfferet temperature temperatura 6 volume...9.8. Tabella 6 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo - Statstca descrttva Verfchamo che esste dpedeza leare del volume dalla temperatura e determamo l'equazoe della retta d regressoe. Per l calcolo della covaraza e del coeffcete d correlazoe dspoamo calcol ella tabella 6. y y 8.6... 6 9..9 76 6.6.8 9 9. 6. 78 6.9 68.7 66 9 788.9 Tabella 6 y. S y 66 6.. s ( ) ( 9 6 ) ( 788. 9 6. ) 67 s y. r 96 67 Il valore del coeffcete d correlazoe mostra che esste ua forte correlazoe postva fra le varabl: fatt l coeffcete r è molto vco a. E' percò sgfcatvo determare la retta d regressoe, la cu equazoe è y y A + B S A s y. y + B y A. Il calcolo del coeffcete d correlazoe può ache essere fatto co la formula (.). I tal caso, usado acora la tabella 6, s ha 6 66 68. 7 r 96 6 9 6 788. 9 68. 7 Esempo 7 Trovare la retta d regressoe leare per dat rportat elle prme due coloe della tabella seguete. Per scrvere l sstema delle equazo ormal c servamo della tabella 6. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 y y.....96. 6. 9.. 9. 6.9 6. 8. 6 9. 9.8.9 6.66 Tabella 6 y Il sstema delle equazo ormal è 6A + B.9 A + B 9.8 La soluzoe co l metodo d Cramer è 6 D D A. 9 9. 8 7. D B 6. 9 9. 8 9 7. A 9 B. La retta d regressoe ha equazoe y. +... y. Per calcolare la covaraza e l coeffcete d correlazoe per questo seme d dat s possoo usare le formule (.) e (.), otteedo (co la tabella precedete) s S y - 6 7 ( 6. 8 ). 7 s (. 66. 96 ) y. 86 (. 9. 8. 96). 86 r 998. 7 6 Fgura 6 Il valore del coeffcete d correlazoe dca ua relazoe d tpo leare fra dat. I coeffcet A e B della retta d regressoe possoo questo caso essere calcolat co le (.) S A s y. 86. 7 B y A. 96. 8. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo - Statstca descrttva.8 Regressoe polomale I molt cas, dopo aver dsegato su u dagramma d dspersoe dat spermetal, s può rlevare ua correlazoe fra le due varabl osservate, ma o d tpo leare, ossa put appaoo dspost su ua curva e o su ua retta. U modo pù geerale per rsolvere l problema d trovare ua fuzoe che approssm dat cosste ell usare come fuzoe approssmate u polomo d grado pù elevato. Nel caso pù semplce del polomo d secodo grado s trova la parabola de mm quadrat. ( ) ( ) ( y, y, y,...,,, ) ) Sao dat put ( ) ; cerchamo la parabola ( ) ( y,,..., y,, y, C B A y + + per cu è mma la quattà. ( ) + + y C B A E S può dmostrare che coeffcet A, B, C della parabola s trovao rsolvedo l sstema delle equazo ormal S dmostra che questo sstema possede soluzoe uca, purché put o sao tutt alleat vertcalmete. Esempo 8 Trovamo la parabola de mm quadrat per put (,), (,), (,), (,), (,). Per rcavare l sstema delle equazo ormal dspoamo calcol ella tabella 6 (.) + + + + + + y C B A y C B A y C B A y y y 9 7 8 9 7 8 6 8 8 6 6 6 6 8 7 69 87 Tabella 6 Il sstema delle equazo ormal è + + + + + + 7 87 7 69 C B A C B A C B A Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9 La soluzoe è A 96 76 78 B 98 76 La parabola de mm quadrat ha equazoe (fgura 6) y 78 96 + 86 96 C 78 76 86.. y.. - - - - Fgura 6 Polom d grado pù elevato del secodo vegoo usat raramete, a meo che sa oto a pror che dat hao u adameto d tpo polomale; fatt u polomo d grado m ha m put d massmo o mmo, qud può oscllare molto, specalmete se m è elevato..9 Metod d learzzazoe Talvolta, e cas cu dat spermetal o evdezao ua correlazoe d tpo leare, azché cercare u polomo a mm quadrat, è possble co u semplce cambameto d varable rcodurs alla rcerca della retta d regressoe. Tale procedmeto è detto learzzazoe de dat. Esamamo questo metodo alcu cas semplc. Suppoamo che sao assegat dat (, y ), (, y ),..., (, y ) e che la relazoe che tercorre tra dat sa del tpo A y C C > ossa y cresce proporzoalmete a ua poteza d. Prededo logartm atural d etramb membr s ottee l y lc + A l e co le sosttuzo X l Y l y B lc s ha Y AX + B Questa equazoe esprme u legame leare tra le varabl X e Y. S determa percò la retta d regressoe relatva a dat ( X,Y ) ( l,l y ),...,( X,Y ) ( l,l y ) e s rcava l'equazoe della curva approssmate A B y C co C e dove A e B soo coeffcet della retta d regressoe Y AX + B. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Statstca descrttva Esempo 9 Trovare la curva del tpo y C y A che approssma seguet dat.. 9. 7. 7 Learzzamo dat co l cambameto d varable X l Y l y e determamo la retta d regressoe Y AX + B. y X l Y l y Tabella 6 X Y X 9...8 8 6 7. 69.9.966 8. 7 96.8.96 896.986.77.78.69. 9. 8..69 Tabella 6 Il sstema delle equazo ormal è.69a +.B 8..A + B 9. ed ha la soluzoe A. 8 B 979 B lc C e e La fuzoe che approssma dat della tabella 6 è. 8 B 979 97 y 97 Nella fgura 7 soo rappresetat dat e la fuzoe approssmate. y... Suppoamo ora che la relazoe che tercorre tra dat (,y ), (,y ),..., (, y ) sa del tpo A y C e C > ossa y cresce modo proporzoale ad ua fuzoe espoezale. Prededo logartm d etramb membr s ottee l y lc + A e co le sosttuzo X Y l y B l C Fgura 7 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca s ha Y AX + B Questa equazoe esprme u legame leare tra le varabl X e Y. S determa percò la retta d regressoe relatva a dat ( X,Y ) (,l y ),...,( X,Y ) (,l y ) e s rcava l'equazoe della curva approssmate A B y C e co C e dove A e B soo coeffcet della retta d regressoe Y AX + B. Esempo Trovare la curva del tpo y C e A che approssma seguet dat y 6.7... 9 Tabella 66 Learzzamo dat co l cambameto d varable X Y l y e determamo la retta d regressoe Y AX + B y X Y l y X Y X 6.7.9.9... 79 79. 6 7 9 6 9. 9 Tabella 67 Il sstema delle equazo ormal è A + B 9 A + B. ed ha la soluzoe A. 6 B. 9 B lc C e e La fuzoe che approssma dat della tabella 66 è 6 B. 9. 89 y. 89 e Nella fgura 8 soo rappresetat dat e la fuzoe approssmate. 7 6 y Fgura 8 -. -... Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Statstca descrttva Esempo Trovare la curva del tpo y C e A che approssma seguet dat y.... 7. Tabella 68 Learzzamo dat co l cambameto d varable X Y l y e determamo la retta d regressoe Y AX + B. y X Y l y Il sstema delle equazo ormal è A + B 6.97 A + B 6.989 ed ha la soluzoe A. 9 B 7 B lc C e e La fuzoe che approssma dat della tabella 68 è 9 B 7. 8 y. 8 e Nella fgura 9 soo rappresetat dat e la fuzoe approssmate. X Y X.. 96 96..8...69.88 9 7..9 8.96 6 6.989 6.97 Tabella 69 8 7 6 y Fgura 9 Esempo Sao assegat seguet dat y 6.9. 7.6.6 a Trovare la curva del tpo y C e Tabella 7 A che approssma dat; Uverstà d Toro

M. Garetto Statstca b trovare la curva del tpo y C A che approssma dat. c Usare l crtero de mm quadrat per stablre qual è la curva che approssma meglo dat. a Learzzamo dat co l cambameto d varable X Y l y e determamo la retta d regressoe Y AX + B y X Y l y X Y X 6 8 8.9 69.87..86.78 9 7.6.8 8.6 6.6.7.668 6..998 Il sstema delle equazo ormal è A + B.998 A + B 6. ed ha la soluzoe A. 77 B. La fuzoe del tpo B lc A y C e y 6 e C e B e. 6 che approssma dat della tabella 7 è 77 Tabella 7 b Learzzamo dat co l cambameto d varable X l Y l y e determamo la retta d regressoe Y AX + B y X l Y l y X Y X 6 8.9 69 69 9 8..986.86.6.69 7.6.86.8.86.98.6.69.7.778.9.787 6. 8.968 6.99 Tabella 7 Il sstema delle equazo ormal è 6.99A +.787B 8.968.787A + B 6. ed ha la soluzoe A. 886 B 76 La fuzoe del tpo 76 B lc C e e 6 A y C che approssma dat della tabella 7 è y 6. 886. B Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Statstca descrttva c Per stablre qual è la curva che approssma meglo dat assegat c servamo del crtero de mm quadrat e calcolamo e due cas l valore della quattà (errore) E ( AX + B Y ) La curva che approssma meglo dat sarà quella per cu l valore d E è pù pccolo. Per la curva trovata al puto a, s ha A. 77 B. L errore el caso a vale E. X Y l y AX + B AX + B Y 8 6 8 69 8 99.86.9 96.8.976.7.7 89 ( AX + B Y ) 8 + 99 + 96 + + 89 77 Per la curva trovata al puto b, s ha A. 886 B 76 L errore el caso b vale E Tabella 7 X l Y l y AX + B AX + B Y 8 76 6 69 69 7 89.986.86.96 7.86.8.86.69.7.9 7 Tabella 7 ( AX + B Y ) 6 + 89 + 7 + + 7 9 L approssmazoe mglore s ottee co la curva trovata al puto b. Nella fgura soo rappresetat dat e le due fuzo approssmat. 6 y Ce A y 8 yc A 6 Fgura Per sceglere la curva che meglo approssma dat s può ache calcolare l coeffcete d correlazoe R, ( ) usado dat learzzat X, Y. Uverstà d Toro

M. Garetto Statstca La tecca d learzzazoe può essere usata molt altr cas; ella tabella 7 soo elecate alcue fra le fuzo approssmat d uso pù comue e corrspodet cambamet d varabl ecessar per learzzare dat. Fuzoe Forma learzzata Cambamet d varabl e costat y f ( ) Y AX + B A y C l y Al + lc X l Y l y B C e A y C e l y A + lc X Y l y B C e y Al + B y Al + B X l Y y A y + B y A + B X Y y y A + B X Y A + B y y y A + B X Y A + B y y D D X y Y y y y ( y) + + C C C B C D A A L y L L A l A + lc + Ce y X Y l y y B + Ae Ae + B y Tabella 7 C e B L costate assegata X e Y y Esempo Sao assegat seguet dat a Trovare la curva del tpo y 6.6.9.7. 89 y C e A Tabella 76 che approssma dat; b trovare la curva del tpo y che approssma dat. A + B c Usare l crtero de mm quadrat per stablre qual è la curva che approssma meglo dat. a Learzzamo dat co l cambameto d varable X Y l y e determamo la retta d regressoe Y AX + B Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo - Statstca descrttva. y Y l y X Y X 6.6.89.89.9.7.7 777 777. 6 89 6 96 9.96 868 Il sstema delle equazo ormal è A + B 868 A + B.96 ed ha la soluzoe A. 8 B. La fuzoe del tpo B lc A y C e y. 86 e C e B e.. 86 che approssma dat della tabella 76 è 8 b Learzzamo dat co l cambameto d varable (vedere tabella 7) X Y y e determamo la retta d regressoe Y AX + B y X Tabella 77 Y X Y X y 6.6.9 8.7 68 68. 77.8 89.6.78 9.7.6 Tabella 78 Il sstema delle equazo ormal è A + B.6 A + B.7 ed ha la soluzoe A. B La fuzoe del tpo y che approssma dat della tabella 76 è A + B y + c Per stablre qual è la curva che approssma meglo dat assegat c servamo del crtero de mm quadrat e calcolamo e due cas l valore della quattà (errore) Uverstà d Toro

M. Garetto Statstca 7 E ( AX + B Y ) La curva che approssma meglo dat sarà quella per cu l valore d E è pù pccolo. Per la curva trovata al puto a, s ha A. 8 B. L errore el caso a vale E. X Y l y AX + B AX + B Y.89.86.7. 9 777 8 69 6 9 6 7 ( AX + B Y ) + 9 + 69 + 9 + Per la curva trovata al puto b, s ha A. B X L errore el caso b vale E Y y Tabella 79 AX + B AX + B Y 6 9 8 9 68 6 8 77 789 8.6. 96 Tabella 8 ( AX + B Y ) 9 + 9 + 8 + 8 + 96 87 L approssmazoe mglore s ottee co la curva trovata al puto a. Nella fgura soo rappresetat dat e le due fuzo approssmat. 8 6 y/(a+b) y 8 6 yce A - Fgura Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo - Statstca descrttva Esempo Quado ua popolazoe è lmtata da u valore lmte L, la sua crescta è descrtta da ua fuzoe avete la forma L y + A Ce La fuzoe è detta curva logstca. Trovare A e C per dat della tabella 8, co L y 6 8 9 Tabella 8 b Learzzamo dat co l cambameto d varable (vedere tabella 7) X Y l y e determamo la retta d regressoe Y AX + B y X X Y X Y l y.86 6 69.8 8.76.8 9 9.9.7778 6.6 7.8 Tabella 8 Il sstema delle equazo ormal è A + B 7. 8 A + B. 6 ed ha la soluzoe A. 8 B. 9 La fuzoe del tpo B. 9 C e e. L y che approssma dat della tabella 8 è (fgura ) A + Ce y. 8 +. e 9 8 7 6 Fgura Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9. Probablta. Espermet casual, spazo de campo, evet Tutt cooscoo l mportaza che hao gl espermet ella sceza e ella tecologa, ed l fodametale prcpo secodo cu, se s esegue rpetutamete u espermeto elle stesse codzo, s arrva a rsultat che soo essezalmete ugual. C soo tuttava espermet che, oostate sao codott elle medesme codzo, possoo avere dvers rsultat possbl, e l cu rsultato o è prevedble co certezza: espermet d questo tpo soo dett casual. Ad esempo el laco d ua moeta l rsultato dell espermeto può essere T (testa) o C (croce), coè uo degl elemet dell seme {T,C}. Nel laco d u dado l rsultato può essere uo de umer dell seme {,,,,,6}. Nell'espermeto cosstete due lac d ua moeta l rsultato può essere uo degl elemet dell seme {TT,CC,TC,CT}. Come s osserva dagl esemp, possbl rsultat dell'espermeto s possoo esplctare a pror, ma o s può dre co certezza quale s verfcherà. U seme S coteete tutt possbl rsultat d u espermeto casuale è detto spazo campoe; cascu rsultato è u elemeto o puto d S. Gl spaz campoe vegoo classfcat base al umero degl elemet che ess cotegoo. Lo spazo campoe S corrspodete al laco d u dado cotee 6 elemet S {,,,,,6} e costtusce u esempo d spazo campoe fto. Se s cosdera come eveto l umero d volte che u dado deve essere lacato prma d otteere u 6, s ha vece uo spazo campoe fto: fatt og umero tero postvo è u possble rsultato. Il umero degl elemet questo caso è u ftà umerable. Se l espermeto cosste el msurare la lughezza d u segmeto, lo spazo S può corrspodere a tutt put d u tervallo della retta reale: s ha questo caso uo spazo campoe cotuo. Uo spazo campoe è detto dscreto se ha u umero fto o u ftà umerable d elemet. Se gl elemet d uo spazo campoe costtuscoo u seme cotuo, ad esempo put d ua retta, d ua curva, d u pao, lo spazo campoe è detto cotuo. U eveto è u sottoseme E S dello spazo campoe S, coè u seme d rsultat possbl. Esempo S effettuao due lac cosecutv d ua moeta; lo spazo campoe è l'seme S {TT,CC,TC,CT}. L eveto che s verfca quado s preseta ua sola volta T è l sottoseme E {TC,CT}. L eveto che s verfca quado s preseta la prma volta T è E {TT,TC}. Esempo S estrae ua carta a caso da u mazzo d carte; descrvere lo spazo campoe quado a sem o soo cosderat; b sem soo cosderat. S dca asso; fate; rega; re; C cuor; Q quadr; P pcche; F for Vedere ota pag.. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo - Probabltà a S {,,...,9,,,,} S cotee elemet. b S {Q,Q,...,Q,Q,Q,Q,C,...,C,P,...,P,F,...,F} S cotee elemet. Se l rsultato d u espermeto è u elemeto d E, s dce che l eveto s è verfcato. Ache l tero spazo S è u eveto: l eveto scuro o certo. Ad esempo el laco d u dado l eveto certo è che esca uo de umer {,,,,,6}. Ache l seme vuoto è u eveto: l eveto mpossble. Dal mometo che gl evet soo sem, og affermazoe cocerete gl evet può essere tradotta el lguaggo della teora degl sem e vceversa; partcolare avremo u algebra degl evet corrspodete all algebra degl sem. Usado le operazo semstche sugl evet d S s possoo otteere uov evet d S. Se A e B soo evet d S, allora uoe: A B è l eveto A oppure B o etramb ; tersezoe: A B è l eveto sa A che B ; complemetare: A è l eveto o A ; dffereza: A B è l eveto A ma o B. Defzoe Due evet A e B soo mutuamete esclusv, o compatbl, se o possoo verfcars cotemporaeamete. Se gl evet A e B soo mutuamete esclusv, ess soo dsgut, ossa A B. Quest cocett s possoo estedere a u umero k qualsas d evet. Spesso s llustrao spaz campoe ed evet, partcolare le relazo fra evet, co dagramm d Ve. A e B mutuamete esclusv A e B o mutuamete esclusv A B A B A B A B Fgura Rcordamo alcue delle propretà delle operazo semstche, valde ache ell algebra degl evet. Propretà delle operazo semstche. Sao A, B, C sottosem dello spazo S; valgoo le propretà A B B A; A B B A propretà commutatva d e A (B C) (A B) C; A (B C) (A B) C propretà assocatva d e A (B C) (A B) (A C) propretà dstrbutva d rspetto a A (B C) (A B) (A C) propretà dstrbutva d rspetto a A B (A B) legge d De Morga 6 A B (A B) legge d De Morga Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 6 Esempo S effettuao due lac d ua moeta. Spazo campoe S {TT,CC,TC,CT}. Eveto A s preseta almeo ua T Eveto B l rsultato del secodo laco è C A B {TT,CC,TC,CT} S A {CC} Gl evet A e B o soo mutuamete esclusv. A {TT,TC,CT} B {CC,TC} A B {TC} A B {TT,CT} Esempo S effettua u laco d u dado. Spazo campoe S {,,,,,6}. Eveto A uscta d u umero par A {,,6} Eveto B uscta d u umero dspar B {,,} A B S A B eveto certo A B A B eveto mpossble Gl evet A e B soo mutuamete esclusv. Esempo S estrae ua carta a caso da u mazzo d carte; sao dat gl evet Eveto A è uscto u re. Eveto B è uscta ua carta pcche. Gl evet sottoelecat s descrvoo el modo seguete: a Eveto A B re o pcche o etramb (coè re d pcche). b Eveto A B re d pcche. c Eveto A B re o cuor o quadr o for. Ifatt Eveto B o pcche eveto cuor o quadr o for. d Eveto A B o re d pcche og carta dversa dal re d pcche. Ifatt per la legge d De Morga (propretà pag. 6) A B (A B) e, servedos del rsultato b, (A B) o re d pcche. e Eveto A B u re, ma o d pcche.. Calcolo Combatoro A volte può essere dffcle, o almeo ooso, determare per elecazoe dretta gl elemet uo spazo campoe fto. E' preferble avere de metod per cotare l umero d tal elemet seza elecarl. Il calcolo combatoro forsce de metod per calcolare l umero d elemet d u seme. Per llustrare l problema s cosder l seguete esempo. Esempo 6 Se u uomo ha abt, camce e cravatte, quat mod ha per sceglere ua gacca, po ua camca e fe ua cravatta? Per trattare problem d questo tpo è utle dsegare u dagramma ad albero, dove le alteratve per l abto soo dcate co A, A, A, per la camca co C, C e per la cravatta co T, T, T Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo - Probabltà C T T T C T A T T A C T T T C T T A C T T T T C T T Fgura T Seguedo u dato cammo da sstra verso destra lugo ram dell albero, s ottee ua partcolare scelta, coè u elemeto dello spazo campoe, e s può vedere che le possbltà d scelta soo 8. Questo rsultato può essere otteuto osservado che c soo ram A, che cascu ramo A s bforca ram C e che cascu ramo C s bforca ram T; c soo qud 8 combazo possbl (camm). Vale l seguete rsultato geerale Teorema Se gl sem A, A,..., Ak cotegoo rspettvamete,,...,k oggett, l umero d mod dvers d sceglere prma u oggetto d, po u oggetto d A,, fe u oggetto d A è N... A k Esempo 7 I quat mod dvers ua commssoe d persoe può sceglere u presdete e u vcepresdete? Il presdete può essere scelto mod dvers, qud l vcepresdete mod dvers; c soo tutto N 6 mod dvers cu la scelta rchesta può essere fatta. Esempo 8 Se u test cosste d domade co rsposta Vero-Falso, quat mod dvers uo studete può svolgere l tero test co ua rsposta per cascua domada? Poché a og domada s può rspodere mod, le possbltà soo umero d N... 96. fattor k Se partcolare... k, s ha N, che rappreseta l umero delle dsposzo co rpetzoe d oggett a grupp d k, ossa de grupp che s possoo formare scegledo k oggett, ache rpetbl, fra oggett dspobl. k (.) Teorema Il umero d dsposzo co rpetzoe d oggett a grupp d k è dato da () k D r, k (.) Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 6 Esempo 9 Quate parole d lettere (ache seza sgfcato) s possoo scrvere co l alfabeto d lettere? Le parole soo Il loro umero è aaa, aab, aac,.., zzz ( r) D, 96 Esempo Nella scheda del totocalco tutt possbl proostc soo dat dalle dsposzo co rpetzoe de elemet X a grupp d ( tre smbol s possoo rpetere); l loro umero è ( r) D, 9 Defzoe Dat oggett dstt, s chamao dsposzo semplc (seza rpetzoe) grupp che s possoo formare scegledo k (k ) degl oggett; grupp devoo dfferre o per qualche oggetto o per l orde cu soo dspost. Per trovare ua formula per l umero delle dsposzo d k oggett scelt da u seme d oggett dstt, s osserv che la prma scelta è fatta dall tero seme d oggett, la secoda è fatta fra gl oggett rmaet dopo la prma scelta, geerale la k-esma scelta è fatta fra gl (k ) k + oggett rmaet dopo le prme k scelte. Pertato, per l teorema, l umero delle dsposzo è D, k ( )( )...( k + ) (.) S può usare la otazoe del fattorale!.... Moltplcado e dvdedo ella (.) per ( k)! s ottee D, k Pertato vale l rsultato seguete ( )...( k + )( k)!! ( k )! ( k)! Teorema Il umero delle dsposzo semplc (seza rpetzoe) d k oggett scelt da u seme d oggett dstt è dato da D, k! ( )( )...( k + ) (.) ( k)! Esempo Quate parole d lettere dverse s possoo formare co l alfabeto d lettere? Soo le dsposzo semplc d oggett dvers a grupp d! D, 9 798. 8! Esempo I quat mod persoe possoo seders su ua pacha che ha solo post? Il umero de mod è dato dalle dsposzo semplc d elemet a grupp d D 9 8 7, Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo - Probabltà Esempo I ua gara co cocorret, quate soo le possbl classfche de prm tre? Per l posto possamo sceglere tra possbltà; per l posto possamo sceglere fra 9 possbltà e per l posto fra 8 possbltà. I tutto qud le classfche possbl per prm tre soo 9 8 98 D, Esempo Trovare quat umer d cfre possoo essere format co le cfre,,,..., 9 se a s ammettoo delle rpetzo; b o s ammettoo rpetzo; c l ultma cfra deve essere e o s ammettoo rpetzo. a la prma cfra può essere ua delle 9 cfre,,...,9 (lo o è ammesso); le altre tre cfre s scelgoo fra le dspobl; s possoo allora formare N umer N 9 9. b la prma cfra può essere ua delle 9 cfre,,..., 9; per le restat s devoo cotare le dsposzo seza rpetzo 9! D 7 8 9 ; 9, 6! s possoo allora formare N umer N 9 6. c la prma cfra può essere ua delle 9 cfre,,..., 9; per la secoda e la terza s devoo cotare le dsposzo seza rpetzo 8! D 8, 7 8 6 6! (rcordare che la quarta cfra è fssata); s possoo qud formare N umer N 9 6. Nel caso partcolare cu k le dsposzo semplc s chamao permutazo. Defzoe Le permutazo d oggett dstt soo tutt grupp format cascuo da tutt gl oggett dat e che dfferscoo solo per l orde degl oggett. Poedo k ella formula delle dsposzo semplc s ottee l seguete rsultato. Teorema Il umero delle permutazo d oggett dstt è dato da P! (.) Esempo Quate parole s possoo formare co le vocal? Il umero delle parole è dato dalle permutazo d elemet P! Esempo 6 S sstemao uo scaffale lbr d matematca, 6 d fsca e d chmca. Cotare quate sstemazo soo possbl se a lbr d og matera devoo stare seme; b solo lbr d matematca devoo stare seme. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 6 a Numero sstemazo de lbr d matematca! Numero sstemazo de lbr d fsca 6! Numero sstemazo de lbr d chmca! Numero sstemazo de tre grupp dvers! Il umero complessvo delle sstemazo de lbr è qud N! 6!!! 76 b S cosderao lbr d matematca come u uca opera. Restao allora 8 lbr (fsca+chmca) + lbro (matematca) 9 lbr da sstemare 9! mod dvers. I lbr d matematca hao! sstemazo dverse, qud l umero complessvo d sstemazo dverse è N 9!! 879 Esempo 7 S fao sedere uom e doe fla: quat mod le doe possoo occupare post par? Gl uom possoo essere sstemat! mod dvers (permutazo), le doe! mod dvers. Cascua sstemazoe degl uom può essere assocata ad og sstemazoe delle doe, qud l umero complessvo d sstemazo è N!! 88. Esempo 8 Gl aagramm, coè le parole che s ottegoo da ua parola qualuque cambado solo l posto delle sue lettere, soo permutazo. Cosderamo dapprma l caso cu le parole soo formate da lettere tutte dverse: ad esempo gl aagramm della parola ROMA soo P! Per rsolvere l problema degl aagramm el caso cu la parola cotega lettere ugual, occorre dsporre d u altra formula. Suppoamo che u seme sa formato da oggett o tutt dstt, de qual coè soo d u tpo (dstgubl), d u secodo tpo,..., k del k-esmo tpo, co + +... + k. S dmostra che Teorema Il umero delle permutazo d oggett o tutt dstt è dato da! P,,..., k!!...! (.6) Esempo 9 Cotare gl aagramm della parola MATEMATICA. C soo lettere d cu M, A, T; gl aagramm soo umero d! N.!!! k Esempo palle rosse, bache e azzurre devoo essere sstemate fla; se tutte le palle dello stesso colore soo dstgubl, quate sstemazo soo possbl? Il umero delle possbl sstemazo è! N.!!! Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

66 Captolo - Probabltà I ua dsposzoe semplce samo teressat all orde degl oggett, qud ad esempo l gruppo abc è u gruppo dverso da bca ; se vece l orde d scelta o teressa, coè abc e bca soo lo stesso gruppo, s ottegoo le combazo. Defzoe Le combazo soo tutt grupp d k oggett, che s possoo formare da u seme d oggett dstt, modo che grupp dfferscao per almeo u oggetto. Teorema 6 Il umero delle combazo d oggett a grupp d k è dato da D, k! C k,k k! k!( k )! (.7) I umer! ( )...( k + ) k k!( k)! k! soo chamat coeffcet bomal, perché compaoo ello svluppo della poteza del bomo ( ) d Newto a + b. Esempo Quate squadre d calco s possoo formare co gocator? Il umero è dato dalle combazo d gocator scelt ell seme d! C, 67! 9! Esempo I quat mod oggett dvers possoo essere suddvs due grupp coteet rspettvamete e 6 oggett? Il problema è equvalete a quello d cercare l umero delle scelte d oggett a partre da (o d 6 a partre da ), o avedo alcua mportaza l orde della scelta; s calcolao percò le combazo! C,! 6! Esempo Goco del poker. I ua mao d poker og gocatore rceve delle carte del mazzo. I quat mod può essere servto? Il umero de servz possbl è dato dalle combazo d oggett scelt fra 9 8 C, 9896 Goco del brdge I ua mao d brdge s rcevoo carte su. I quat mod l gocatore può essere servto? Il umero de servz possbl è! C,! 9! 696 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 67 Esempo Goco del lotto Nel goco del lotto vegoo estratt, seza rmetterl og volta ell ura, umer compres fra e 9 Le estrazo avvegoo su cttà o ruote dverse, e bsoga precsare su quale ruota s goca. a Trovare l umero d tutte le possbl cque relatve ad ogua delle ruote. b Quate soo le possbl estrazo che c fao vcere se abbamo gocato ad esempo l ambo {, 8} su ua certa ruota? a Il umero d tutte le possbl cque è dato dalle combazo 9 9 89 88 87 86 C 9, 9968 b Cerchamo l umero d cque che cotegoo e 8: gl altr umer estrabl soo umer da a, da a 7, da 9 a 9, tutto 88 umer; calcolamo le combazo d 88 umer a grupp d 88 88 87 86 C 88, 976. Esempo Cotare quate soo le dagoal d u polgoo covesso. U polgoo d lat ha vertc; c soo segmet che uscoo tal vertc; d quest soo lat del polgoo, percò l umero delle dagoal è ( ) ( ) N. Esempo 6 Quate parole (ache seza sgfcato) d dverse cosoat e dverse vocal s possoo formare co l alfabeto d lettere? 6 I mod d sceglere le cosoat fra le 6 dspobl soo. I mod d sceglere le vocal fra le dspobl soo. Le lettere rsultat possoo essere permutate! mod dvers; allora l umero delle parole possbl è 6 6 N!! 67. Il cocetto d probabltà Co metod del calcolo combatoro s possoo cotare gl elemet d u seme, altre parole possamo calcolare quat soo cas possbl ua data stuazoe. I og espermeto casuale però o sappamo se u eveto s preseterà o o: bsoga qud studare cò che è probable o mprobable. La teora della probabltà studa cocett e metod per esprmere quattatvamete l grado d fduca sul verfcars d cert evet. A cascu eveto può essere assocata ua probabltà, che, dal puto d vsta matematco, è ua fuzoe defta sull'seme degl evet. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

68 Captolo - Probabltà C soo pù mod medate qual è possble defre la probabltà d u eveto: qu defremo la probabltà a pror o probabltà matematca e la probabltà a posteror o probabltà statstca (o frequetstca); è possble dare u ulterore defzoe d probabltà, detta probabltà soggettva, che o sarà trattata queste lezo. La defzoe classca d probabltà matematca P, dovuta a Beroull e Laplace, è umero cas favorevol P umero cas possbl Questa defzoe assume che tutt rsultat possbl d u espermeto sao ugualmete probabl e che lo spazo de campo sa fto. La msura della probabltà vee percò assegata co l seguete procedmeto s determa l umero d tutt cas possbl; s determa l umero de cas favorevol, coè d que cas che redoo verfcato l'eveto d cu s vuole calcolare la probabltà; s calcola l rapporto tra l umero de cas favorevol e l umero de cas possbl. Secodo questa defzoe, og probabltà P è u umero compreso fra e ; oltre la probabltà d u eveto che o può accadere (eveto mpossble) è P e la probabltà d u eveto che accade sempre (eveto certo) è P. Talvolta la probabltà P vee moltplcata per ed espressa percetuale % P %. I seguet esemp llustrao la defzoe d probabltà a pror; alcu d ess, cotrassegat co u astersco, s applcao metod del calcolo combatoro. Esempo 7 S effettua u laco d u dado. Calcolare a la probabltà d otteere ; b la probabltà d otteere u umero dspar. I cas possbl soo 6 e soo gl elemet dell seme {,,,,,6}. a I cas favorevol s rducoo a ( cas possbl s escludoo a vceda perché può apparre ua sola facca). Pertato la probabltà cercata è P 6. b I cas favorevol soo. La probabltà cercata è P. 6 Esempo 8 S effettuao due lac d ua moeta. Calcolare la probabltà che s preset T (testa) almeo ua volta. Cas possbl TT TC CT CC Cas favorevol TT TC CT La probabltà cercata è P. Esempo 9 S estrae ua carta da u mazzo d carte. Calcolare a la probabltà d estrarre u asso; b la probabltà d estrarre u asso oppure u d cuor oppure u d pcche. a Nel mazzo c soo ass, qud cas favorevol; la probabltà cercata è P. b Nel mazzo c soo ass, u d cuor e u d pcche, qud 6 cas favorevol; la probabltà cercata è P 6. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 69 * Esempo Itoro a u tavolo rotodo s dspogoo a caso uom e doe: calcolare la probabltà che og doa s trov seduta tra due uom. Le persoe possoo dspors! mod dvers (cas possbl). Le doe possoo dspors! mod dvers (permutazo); così ache gl uom, qud cas favorevol soo!! La probabltà rchesta vale!! P 97.! * Esempo Se su u gruppo d peumatc, soo dfettos, e s scelgoo peumatc a caso per u cotrollo d qualtà, qual è la probabltà che uo solo d quell dfettos sa cluso el gruppo scelto? I cas possbl soo le combazo d oggett a grupp d ; c soo coè C, 8 mod ugualmete probabl d sceglere peumatc su Il umero d cas favorevol è l umero d mod cu s possoo sceglere peumatc o dfettos e dfettoso, coè 7 C7, C, Qud la probabltà è 8 P % 8 9 * Esempo Determare la probabltà che, lac successv d u dado, rsultat compaao orde strettamete crescete. I cas possbl soo le dsposzo co rpetzoe d 6 oggett a grupp d ( r D ) 6 96 6, I cas favorevol s hao quado rsultat de lac soo dstt e orde crescete. Il umero d tal cas è dato dal umero delle combazo d 6 oggett a grupp d, perché come gruppo rappresetatvo s può sceglere quello cu umer soo dspost orde crescete 6 6! C 6,!! La probabltà cercata è P 96 * Esempo Da u ura coteete palle, 8 ere e rosse vegoo estratte a caso palle. Determare la probabltà che 7 fra le palle estratte sao ere. I cas possbl soo le combazo d palle a grupp d C,. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

7 Captolo - Probabltà I cas favorevol s hao quado u gruppo c soo 7 palle ere e rosse. Il umero d grupp d 7 palle ere che s possoo formare co 8 palle ere è dato dalle combazo 8 C 8,7 8. 7 Il umero de grupp d palle rosse che s possoo formare co palle rosse è dato dalle combazo C, I totale cas favorevol soo 8 C8, 7 C, 78 7 La probabltà cercata è P 78 * Esempo S estraggoo 8 palle da u ura coteete palle umerate da a Determare la probabltà che l umero pù basso estratto sa. I cas possbl soo le combazo d palle a grupp d 8 C, 8 97 8 Se la palla umerata è la pù bassa fra le 8 estratte, allora le rmaet 7 devoo essere umerate da 6 a ; per trovare cas favorevol calcolamo le combazo d elemet a grupp d 7 C, 7 6 7. La probabltà cercata è 6 P. 97 C soo molt cas cu var rsultat possbl d u espermeto o soo tutt ugualmete probabl. I tal caso s può defre la probabltà per mezzo d ua stma frequetstca, possble solo dopo aver esamato u gra umero d cas. S defsce questo modo la probabltà a posteror, detta ache probabltà statstca o frequetstca. Se, dopo aver rpetuto volte u espermeto, co suffcetemete grade, u eveto s è verfcato h volte, s dce che la probabltà d questo eveto è P h. Affché questa defzoe sa valda, occorre che tutte le prove avvegao elle stesse codzo, cosa che realtà o è sempre otteble quado s aalzzao feome statstc. Se s afferma ad esempo che la probabltà d ua ascta d gemell è P, s tede che la frequeza relatva osservata ell arco d alcu a è stata d su ; da tale costatazoe s può assumere che ua ascta futura sarà ua ascta d gemell co probabltà P uguale a tale frequeza. Esempo S è verfcato che su lac successv d ua moeta, T (testa) s è presetata 6 volte; qual è la probabltà che el prossmo laco s preset C (croce)? Se T s è presetata 6 volte su, allora C s è presetata volte su e la probabltà cercata Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 è uguale alla frequeza relatva osservata P. Esempo 6 S è osservata la durata d u campoe d 8 battere per automobl, otteedo dat rportat ella tabella ( dca la durata a) durata < <.. < <.. < umero battere 6 8 7 7 9 Tabella Per ua battera dello stesso tpo e marca s vuole stmare la probabltà relatva a cascuo de seguet evet a Eveto A la battera dura almeo tre a ; b Eveto B la battera dura meo d u ao ; c Eveto C la battera dura almeo due a. Se s cosdera suffcetemete grade l umero d battere osservate, s può utlzzare l crtero della stma frequetstca della probabltà. S ottee così 9 a P(A) 7. 7% 8 6 b P(B) 76 7. 6% 8 c Per calcolare la probabltà dell'eveto C occorre cosderare l umero delle battere la cu durata è stata almeo uguale a due a: 7+7+9 ; s ha qud P(C) 6 6. % 8 Sa l approcco classco, sa quello statstco o frequetstco vao cotro a dffcoltà: l prmo a causa dell espressoe ugualmete probable, l secodo per aver presupposto molto grade, cocett d palese vaghezza. A causa d queste dffcoltà, s prefersce l approcco assomatco alla probabltà, che fa uso degl sem.. Defzoe assomatca d probabltà Sa S uo spazo campoe fto. Ad og eveto A d S s assoca u umero reale P(A), detto probabltà dell eveto A, che soddsfa seguet assom P(A) P(S) Se A e B soo evet mutuamete esclusv d S (coè A B ), allora P (A B) P(A) + P(B). P è ua fuzoe defta sull seme degl evet d S e a valor real, detta fuzoe d probabltà, che a og sottoseme A d S assoca u umero reale P : A S P( A) R. Dal assoma segue che P(A) è u umero reale apparteete all tervallo [,]; dal assoma segue che la probabltà dell eveto certo è ; dal assoma segue che le fuzo d probabltà soo fuzo addtve. Gl assom o devoo aturalmete essere dmostrat, ma s può mostrare che ess soo coeret co la defzoe classca d probabltà. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

7 Captolo - Probabltà Esempo 7 U espermeto ha tre sol possbl rsultat a, b, e c; cascuo de cas seguet verfcare se valor assegat alle probabltà soo accettabl P(a), P(b), P(c) P(a) 6, P(b) 8, P(c) P(a), P(b), P(c) 6 I valor assegat alle probabltà soo accettabl, perché soo compres ell tervallo [,] e la loro somma vale. Il valore d P(c) o è accettable perché egatvo. I valor o soo accettabl perché la loro somma è ++6. >. Elechamo alcu teorem elemetar che seguoo dagl assom appea eucat. Il teorema 7 è ua geeralzzazoe del terzo assoma. Teorema 7 Se A, A,..., A soo evet mutuamete esclusv d uo spazo campoe S, allora P( A A... A ) P(A ) + P(A ) +... + P(A) (.8) Il teorema 8 cosete d calcolare la probabltà dell'uoe d due evet qualsas, ache el caso cu gl evet o soo ecessaramete mutuamete esclusv. Teorema 8 Regola addtva Se A e B soo due evet qualsas d S, allora P(A B) P(A) + P(B) P (A B) (.9) D questo teorema s può dare ua semplce rappresetazoe grafca co dagramm d Ve. A e B o mutuamete esclusv A B A B Fgura Dal grafco s vede che, sommado semplcemete P(A) e P(B), la probabltà P (A B) vee cotata due volte. Se gl evet soo mutuamete esclusv, l teorema 8 s rduce al terzo assoma della defzoe. Teorema 9 Se A è u qualuque eveto d S, allora P( A ) P(A) (.) I partcolare l eveto mpossble ha probabltà ulla P( ) Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 Esempo 8 Sao A e B due evet mutuamete esclusv, co P(A) e P(A B) 6. Calcolare P(B). Poché gl evet soo mutuamete esclusv, s ha P(A B) P(A) + P(B) qud P(B) P(A B) P(A) 6 Esempo 9 Ua palla vee estratta da u ura che e cotee 6 rosse, bache e ere. Calcolare la probabltà che la palla estratta sa a rossa; b baca; c era; d o rossa; e rossa o baca. a Cas possbl: 6 + + Cas favorevol: 6 b 6 P(rossa) P(baca) c P(era) d P(o rossa) P(rossa) + (rossa e baca soo evet mutuamete esclusv) e P(rossa baca) P(rossa) + P(baca) Esempo Trovare la probabltà d o otteere come somma del laco d due dad é 7 é. Lo spazo campoe S è costtuto da 6 coppe d umer, che rappresetao le possbl uscte su cascuo de due dad S {(, ),(, ),...,(, 6),(, ),...,( 6, ),...,( 6, 6) } I put del grafco che segue rappresetao l'seme S 7 6 * somma 7 + somma secodo dado 6 7 prmo dado Fgura Eveto A somma uguale a 7 oppure a Eveto A somma é 7 é P( A ) P(A) 8 6 7 9 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

7 Captolo - Probabltà Esempo Due dad hao le facce umerate el modo seguete Trovare la probabltà che l puteggo totale sa a uguale a ; b more d ; c maggore d. 7 6 + somma secodo dado 6 7 prmo dado Fgura a Cas possbl: 6. Cas favorevol:. La probabltà che l puteggo totale sa uguale a è b Cas possbl: 6. Cas favorevol: 6. La probabltà che l puteggo totale sa more d è P. 6 6 P. 6 9 c La probabltà che l puteggo totale sa more o uguale a è probabltà che l puteggo sa maggore d è 9 7 P. 6 6 P 6 + 9 9 6, qud la Esempo S effettua l laco d u dado. Calcolare a la probabltà che esca u oppure u ; b la probabltà che esca u umero par; c la probabltà che esca u umero dvsble per. d Dat gl evet Eveto A esce oppure A {,} Eveto A esce oppure A {,} calcolare P(A A ). a S ha P() P()... P(6) 6 L eveto che s verfca quado esce u o u s dca co P( ) P() + P() + 6 6 b P( 6) P()+ P() +P(6) c P( 6) P() + P(6) Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 d Gl evet A {,} e A {,} o soo mutuamete esclusv, poché A A {}. S ha A A {,,} P(A ) P(A ) P(A A ) P(A ) + P(A ) P(A A ) +. 6 Esempo S estrae ua carta a caso da u mazzo d carte. Calcolare la probabltà che sa a u asso; b u fate d cuor; c u d pcche o u 6 d for; d u cuor; e u seme dverso da cuor; f u o u quadr; g é u é u pcche. S usao le otazo asso,..., fate, rega, re, C cuor, Q quadr, P pcche, F for. a b P() P ( C) c P(( P) (6 F)) P( P) + P(6 F) + d P (C) e P ( F) P(F) f e quadr o soo mutuamete esclusv, qud P ( Q) P() + P(Q) P( Q) + g P(é é pcche) P( P ) Per la legge d De Morga (propretà 6, pag. 6) s ha P( P ) P( ( P) ) P( P) [ P () + P(P) P( P) ] + (s rcord che gl evet e P o soo mutuamete esclusv). Esempo Suppoamo che pezz prodott da ua certa maccha possao avere due tp d dfett. E oto che la probabltà che u pezzo preset l prmo dfetto è, la probabltà che o preset l secodo dfetto è 8, la probabltà che l preset etramb è Calcolare la probabltà che u pezzo o abba alcu dfetto. Eveto A è presete l prmo dfetto Eveto B è presete l secodo dfetto. 9 6 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

76 Captolo - Probabltà Da dat del problema s ha P(A) P( B ) 8 P(A B) S deve calcolare P( A B ). P( A ) 9 P(B) Applcado la regola addtva (teorema 8) s ha P(A B) P(A) + P(B) P(A B). + 9 Per la legge d De Morga (propretà 6, pag. 6) s ha P( A B ) P( A B ) P(A B) 9 7. Esempo Se ua staza soo preset persoe qual è la probabltà che essua d esse festegg l compleao ello stesso goro dell ao? Eveto A tutt compoo gl a gor dvers. Per calcolare cas possbl osservamo che og persoa può compere gl a uo qualsas de 6 gor dell ao (o cosderamo l caso partcolare degl a bsestl), percò per persoe s hao complessvamete 6 cas possbl. I cas favorevol s hao quado tutt compoo gl a gor dvers; la prma persoa ha 6 possbltà, la secoda persoa 6 possbltà,, l -esma persoa ha 6() possbltà; complessvamete cas favorevol soo 6 6 6... ( 6 ( ) ). S ha qud 6 6 6... ( 6 ( ) ) P(A). 6 Nella tabella seguete rportamo valor della probabltà per var valor d 6 7 8 P(A) 88 886 97 97 88 96 9 8 8 Tabella Dalla tabella s vede che se la probabltà è more d ; questo sgfca che se ella staza c soo persoe, la probabltà che almeo due d esse compao gl a ello stesso goro è maggore d ; questa probabltà dveta 97 se ella staza c soo persoe. Quest rsultat possoo apparre abbastaza sorpredet.. Probabltà codzoata La probabltà d u eveto è u umero che msura l grado d fduca che o abbamo crca l realzzars d questo eveto. E' aturale allora che la probabltà d uo stesso eveto possa cambare, se cambao le formazo ostro possesso. Il cocetto d probabltà codzoata traduce formalmete l'dea tutva d probabltà d u eveto, calcolata sapedo che s è verfcato u altro eveto. Esempo 6 S effettua u laco d u dado; cosderamo seguet evet Eveto A esce u umero dspar A {,,} Eveto B esce u umero more d B {,,}. Calcolamo la probabltà d otteere u umero more d, sapedo che l rsultato è u umero dspar. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 77 La probabltà dell'eveto A vale P(A) poché cas possbl soo 6 e cas favorevol soo. Aalogamete per l'eveto B P(B) Se sappamo che l'eveto A s è gà verfcato, cas possbl per l'eveto B o soo pù 6, ma s rducoo a (ossa la coosceza del verfcars dell eveto A rduce lo spazo campoe), e cas favorevol soo, percò la probabltà d otteere u umero more d, sapedo che l rsultato è dspar, è. La probabltà così otteuta è detta probabltà codzoata P(B A) (l smbolo s legge a codzoe che ). Il fatto d aggugere l formazoe che l umero estratto è dspar, fa aumetare la probabltà d B da a. Osservamo che s ha A B {,} P(A B) 6 P(A B) e che P(B A) P(A) Queste cosderazo vegoo formalzzate dalla seguete defzoe. Defzoe Sao A e B due evet qualsas dello spazo campoe S e sa P (A). La probabltà dell'eveto B, ell potes che s sa gà verfcato l eveto A, è chamata probabltà d B codzoata ad A ed è defta da P(A B) P(B A) (.) P(A) Aalogamete, se P(B), la probabltà d A codzoata a B è defta da P(A B) P(A B) P(B) Il seguete rsultato è ua cosegueza mmedata della defzoe d probabltà codzoata. (.) Teorema Regola d moltplcazoe P (A B) P(A) P(B A) se P(A) (.) P (A B) P(B) P(A B) se P(B) (.) Questo sgfca che la probabltà del verfcars d etramb gl evet A e B è uguale alla probabltà d A per la probabltà che B s verfch, quado s suppoga che A s sa gà verfcato. Esempo 7 Data u ura coteete palle rosse e palle ere, dchamo co A l eveto estrazoe d palla rossa e co B l eveto estrazoe d palla era. Calcolamo la probabltà d otteere due estrazo cosecutve prma ua palla rossa e po ua era, ell potes che la prma palla estratta o vega rmessa ell ura. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

78 Captolo - Probabltà La probabltà d estrarre ua palla rossa alla prma estrazoe è P(A) La probabltà d estrarre ua palla era dopo aver gà estratto ua palla rossa, che o vee rmessa ell'ura prma d effettuare la secoda estrazoe, è 9. Ifatt c soo soltato pù 9 palle ell'ura fra le qual estrarre la secoda. Pertato la probabltà codzoata vale P(B A) 9 La probabltà P(A B) d otteere due estrazo cosecutve ua palla rossa e po ua era, seza rmettere ell ura la rossa gà estratta, base alla (.) è P(A B) P(A) P(B A) 97. 9 76 Se vece la prma palla estratta vesse rmessa ell'ura, la probabltà d otteere due estrazo cosecutve prma ua palla rossa e po ua era sarebbe P(A B) 87. 6 Esempo 8 Qual è la probabltà che, lacado ua moeta volte, o esca ma croce? Qual è la probabltà dello stesso eveto, suppoedo d aver gà lacato la moeta volte e d aver otteuto sempre testa? a Sa A l'eveto lac o esce ma croce ; l umero de cas possbl, ossa delle possbl sequeze d lac, è ; c'è u uco caso favorevole, qud P(A) b Sa B l'eveto e prm lac o è ma uscta croce ; come prma s ha P(B) La probabltà d A, sapedo che s è verfcato B, è P( A B) P( A) P(A B) P( B) P( B) S ot che A B, percò A B A. Possamo osservare come l'formazoe ulterore ostro possesso abba cambato modo evdete la valutazoe della probabltà d uo stesso eveto. Può però accadere che la probabltà codzoata P(B A) sa uguale alla probabltà P(B); questa codzoe sgfca tutvamete che sapere che A s è verfcato o camba la valutazoe della probabltà d B. I questo caso s dà la seguete defzoe. Defzoe 6 Due evet A e B s dcoo dpedet se P(B A) P(B) I tal caso s ha pure P(A B) P(A) Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 79 Nel caso d due evet dpedet, l teorema dveta Teorema Regola d moltplcazoe per evet dpedet Se due evet A e B soo dpedet, s ha P(A B) P(A) P(B) (.) Questa regola vee spesso assuta come defzoe d evet dpedet; og caso può essere usata per determare se due evet soo dpedet. Esempo 9 Qual è la probabltà d otteere due volte testa due lac successv d ua moeta? Poché la probabltà d otteere T è P(T) per cascu laco e due lac soo dpedet, la probabltà d otteere due volte testa è P(TT). Esempo S laca due volte u dado. Calcolare la probabltà d otteere, o 6 al prmo laco e,, o al secodo. Sao A {,,6} B {,,,} S deve calcolare la probabltà P(A B). Il rsultato del secodo laco è dpedete dal prmo, coè due evet A e B soo dpedet, percò P(A B) P(A) P(B). 6 6 Esempo Trovare la probabltà che due lac d u dado s preset almeo ua volta l. Eveto A al prmo laco Eveto B al secodo laco Eveto A B al prmo oppure al secodo laco. Gl evet o soo mutuamete esclusv, percò per l teorema 8 s ha P(A B) P(A) + P(B) P(A B). Per calcolare P(A B) osservamo che gl evet A e B soo dpedet, percò P(A B) P(A) P(B) qud P(A B) P(A) + P(B) P(A B) P(A) + P(B) P(A) P(B) + 6 6 6 6 6 Esempo Le probabltà che u marto e ua mogle sao vv tra a soo rspettvamete 8 e 9. Trovare la probabltà che tra a a etramb sao vv; b essuo de due lo sa; c almeo uo de due sa vvo. Eveto M marto vvo Eveto D mogle vva. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo - Probabltà Suppoamo che gl evet sao dpedet (potes che potrebbe ache o essere ragoevole). a P(etramb vv) P(M D) P(M) P(D) 8 9 7 b P(essuo vvo) P( M D ) P( M ) P( D ) c P(almeo uo vvo) P(essuo vvo) 98 Esempo S estraggoo due carte da u mazzo d carte. Calcolare la probabltà d estrarre due ass se a la prma carta vee rmessa el mazzo prma della secoda estrazoe; b la prma carta o vee rmessa el mazzo prma della secoda estrazoe. a I questo caso gl evet soo dpedet; c soo ass el mazzo, qud P 69 b I questo caso gl evet soo dpedet; fra le carte rmaste dopo l estrazoe del prmo asso c soo solo pù ass, qud la probabltà d estrarre uo d quest è ; la probabltà rchesta è P * Esempo U ura cotee 8 palle rosse, palle bache e 9 palle ere. S estraggoo tre palle a caso seza rmetterle ell ura dopo og estrazoe. Determare le probabltà che sao a tre rosse; b tre bache; c almeo ua baca; d ua per cascu colore, seza teere coto dell orde d estrazoe; e due rosse e ua era, seza teere coto dell orde d estrazoe; f ua rossa, ua baca e ua era, ell orde. Eveto R rossa alla prma estrazoe Eveto B baca alla prma estrazoe Eveto N era alla prma estrazoe Eveto R rossa alla secoda estrazoe a Eveto R R R tre rosse P R R b Eveto B B B tre bache P B B c ( ) P( R ) P( R R ) P( R R R ) R 8 7 9 6 8 9 8 ( ) P( B ) P( B B ) P( B B B ) B 88 9 8 P( almeo ua baca ) P( essua baca ) 7 C 7, P( essua baca ) 96 C, 7 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 8 P( almeo ua baca ) 7 7 d No s tee coto dell orde d estrazoe C8, C, C9, 8 P( ua rossa, ua baca e ua era ) 89 C 9 e No s tee coto dell orde d estrazoe C8, C9, P( due rossa e ua era ) C 9 f S tee coto dell orde d estrazoe P B N P R,, ( ) ( ) P( B R ) P( N R B ) R 8 9 6 9 8 9 S ot che quest d, ed e o possoo essere rsolt co la tecca del questo f, perché o è oto l orde d estrazoe de color; ad esempo el questo e o s sa se le rosse sao le prme due P R R N P R P R R P N R. estratte, qud è sbaglato calcolare ( ) ( ) ( ) ( ) R Esempo S laca u dado; sa A l'eveto esce u umero par e B l'eveto esce u umero maggore d. Verfcare se A e B soo dpedet. S ha A {,,6} B {,,6} A B {,6} P(A) P(B) 6 P(A) P(B) P (A B) 6 Duque gl evet o soo dpedet, essedo P (A B) P(A) P(B) I altre parole, sapere che l umero uscto è maggore d o lasca alterata la valutazoe della probabltà che l umero uscto sa par; fatt P(A) P(A B) P (A B). P(B) Esempo 6 Data la tabella P(A) P(B) P(A B) caso 9 9 caso 6 76 caso 7 Tabella esamare qual cas gl evet soo dpedet. Rcordado che (teorema 8) P(A B) P(A) + P(B) P (A B) Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo - Probabltà s ottee P(A B) P(A) P(B) dpedeza caso 9 9 sì caso sì caso 7 o Tabella Esempo 7 S effettuao due lac d u dado. Sa Eveto A prmo laco par Eveto B secodo laco. Stablre se gl evet A e B soo dpedet. Lo spazo campoe S ha 6 elemet, che soo le seguet coppe S {(,),(,),...(,6),(,),...(,6),(6,6)}. A {,,6} B {,} A e B soo dpedet: fatt P(A) P(B) 6 6 A B {(,),(,),(,),(,),(6,),(6,)} 6 P(A B) P(A) P(B) 6 6 Esempo 8 S effettua l laco d due dad. Sa Eveto A somma uguale a 7 Eveto B somma dspar Eveto C sul prmo dado Verfcare se soo dpedet le coppe d evet a A e B b A e C c B e C 7 eveto A 7 eveto B 7 eveto C 6 6 6 secodo dado secodo dado secodo dado 6 7 prmo dado 6 7 prmo dado 6 7 prmo dado + somma 7 o somma dspar sul prmo dado Fgura 6 Cas possbl: 6 Cas favorevol per l'eveto A: 6. Cas favorevol per l'eveto B: 8. Cas favorevol per l'eveto C: 6. 6 8 6 P(A) P(B) P(C) 6 6 6 6 6 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 8 a P(A B) P(A) P(B) 6 6 P(A B) P(A) P(B) A e B o soo dpedet b P(A C) P(A) P(C) 6 6 6 6 P(A C) P(A) P(C) A e B soo dpedet c P(B C) P(B) P(C) 6 6 P(B C) P(B) P(C) B e C soo dpedet Esempo 9 U dado è lacato quattro volte. Calcolare la probabltà d otteere almeo u 6 quattro lac. Eveto A almeo u 6 lac Eveto A essu 6 quattro lac. La probabltà d o otteere 6 u sgolo laco è 6, qud la probabltà d o otteere essu 6 quattro lac (evet dpedet) è P( A ). 6 Pertato P(A) P( A ) 8. 6 S osserv che evet mutuamete esclusv, (ossa dsgut), o soo dpedet. Ifatt per og coppa d evet dsgut A e B s ha A B ; se A e B fossero dpedet dovrebbe essere P(A B) P( ) P(A) P(B) qud almeo uo de due evet dovrebbe avere probabltà, coè essere mpossble. I realtà due evet dsgut soo fortemete dpedet, perché dsgut sgfca che se uo s realzza, allora l altro o s può realzzare..6 Il teorema d Bayes Cosderamo la stuazoe llustrata co l seguete dagramma d Ve B A B A B B A Fgura 7 Gl evet B e B soo tal che B B e B B S Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo - Probabltà dove S è lo spazo campoe. Gl sem A B e A B soo mutuamete esclusv, percò P ( A) P( A B ) + P( A B ). Applcado la regola d moltplcazoe (.) s ottee P A P B P A B + P B P A. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B Questa formula esprme la regola della probabltà totale el caso partcolare d due evet B e B. La regola può essere geeralzzata al caso d ua famgla d evet B, B,...,B mutuamete esclusv ed esaustv. S può dmostrare l seguete teorema. Teorema Teorema della probabltà totale Sa A u eveto e {BB, B,...,B } ua famgla d evet dello spazo campoe S mutuamete esclusv e tal che uo e uo solo d ess s verfch, ossa tal che B B per j (mutuamete esclusv) Allora s dmostra che P A B P( B B j )... B S per og (esaustv) ( ) P( A B ) P( B ) + P( A B ) P( B ) +... + P( A B ) P( B ) P ( A B ) P( B ) (.6) Per dmostrare questo rsultato è suffcete osservare che se A s verfca, esso deve verfcars seme ad uo e uo solo degl evet BB, B,...,B, percò P(A) P(A BB) +P(A B B ) +...+P(A BB). Applcado l teorema s ha P(A BB) P(B ) P(A B ) Sosttuedo questa relazoe ella precedete s ottee la tes. L'utltà del teorema sta el fatto che talvolta P(A) è dffcle da calcolare drettamete, metre è pù facle calcolare le probabltà P(A BB) e po rcostrure P(A) dalla formula (.6). Esempo 6 Sao date due ure che cotegoo rspettvamete ura I palle rosse e era ura II palle rosse e ere. Sceglamo a caso u'ura ed estraamo a caso ua palla dall'ura scelta. Qual è la probabltà d estrarre ua palla era? Eveto B è stata scelta l'ura I Eveto B è stata scelta l'ura II BB B B B Eveto A è stata estratta ua palla era Applcado l teorema della probabltà totale s ha P A P A B P B + P S ha P B P B P A B P A B S ( ) ( ) ( ) ( A B ) P( ) B ( ) ( ) ( ) ( B ) Gl evet B, B,...,B s dcoo esaustv, se la loro uoe è tutto lo spazo campoe. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 8 qud P. ( A ) + 67 S osserv che la probabltà è dversa da quella che s avrebbe se tutte le palle fossero coteute u'uca ura: questo caso la probabltà d estrarre ua palla era sarebbe P ( A ) 7. 8 La dffereza fra due rsultat dpede dal fatto che le due ure cotegoo u umero dverso d palle, qud ua palla dell'ura I o ha la stessa probabltà d essere estratta d ua palla dell'ura II. Esempo 6 Rferedoc all'esempo 6 possamo ora porre l seguete questo: se è stata estratta ua palla era, qual è la probabltà d aver scelto l'ura I? P B. Dal teorema s rcava la relazoe P( B A) P( A) P( A B ) P( B ) da cu segue P ( ) ( A B ) P( B ) P B A. P( A) Per rspodere a questa domada bsoga calcolare la probabltà ( A) Geeralzzado l procedmeto seguto ell'esempo 6 s può otteere l seguete mportate rsultato. Teorema Teorema d Bayes Sa A u eveto co P(A) > e {BB, B,...,B } ua famgla d evet dello spazo campoe S soddsfacet le potes del teorema precedete. Allora P(B k A) ( A B ) P( B ) P k k per og k (.7) P ( A B ) P( B ) Questo teorema c permette d trovare le probabltà degl evet B k che possoo essere la causa del verfcars dell eveto A, altre parole che l effetto A sa stato provocato dalla causa BBk; per questo motvo è detto ache teorema della probabltà delle cause. Esempo 6 Sao date due ure coteet delle palle bache e ere; ell'ura I l 7% delle palle soo ere; ell'ura II l % delle palle soo ere. La probabltà d sceglere l'ura I sa ; la probabltà d sceglere l'ura II sa vece 9. Calcolare la probabltà che ua palla era estratta a caso provega dall'ura I. Eveto A palla estratta era ; Eveto B la palla provee dall'ura I ; Eveto B la palla provee dall'ura II. P(B ) P(B ) 9 P(A B ) 7 P(A B ) Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

86 Captolo - Probabltà Dal teorema d Bayes segue P(dall'ura I era) P(B A) P( B ) P( A B ) P(B ) P( A B ) + P( B ) P( A B 7 6 6. % ) 7 + 9 Il rsultato può essere terpretato come segue: effettuado umerose prove, el 6.% de cas cu s è estratta ua palla era, essa provee dall'ura I. Esempo 6 U problema d collaudo u processo produttvo. U dustra ha stallato u sstema automatco per l cotrollo d qualtà, che garatsce che, se u pezzo è dfettoso, vee elmato co probabltà 99. C è ua probabltà par a che ache u pezzo o dfettoso vega elmato. S sa ache che la probabltà che u pezzo sa dfettoso è. Calcolamo la probabltà che u pezzo che o sa stato elmato al cotrollo d qualtà sa dfettoso. Eveto E l pezzo vee elmato Eveto D l pezzo è dfettoso Sappamo che P E D 99 P E D P D Co l teorema d Bayes voglamo calcolare P ( ) ( ) ( ) ( ) E D P D P D E P E D P( D) + P( E D) P( D) Abbamo P E D P E D 99 Calcolamo percò P P P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( E D) P( E D). ( D) P( D) 8 999 P ( ) ( ) ( ) ( ) E D P D D E P E D P( D) + P( E D) P( D) % + 999 8 Esempo 6 U problema d marketg. Il resposable marketg d ua socetà che produce gocattol sta aalzzado le probabltà d successo sul mercato d u uovo goco. Nell espereza passata della dtta l 6% de uov gocattol ha avuto successo d mercato, metre l restate % o l ha otteuto. S sa oltre che l 8% de gocattol d successo avevao rcevuto u gudzo postvo da parte degl espert d marketg della socetà prma dell mmssoe del prodotto sul mercato, metre lo stesso gudzo era stato attrbuto solo al % de gocattol che s sarebbero po rvelat u successo d mercato. Il resposable è teressato a calcolare la probabltà che l uovo gocattolo sa premato dal mercato, sapedo che gl espert della socetà lo hao valutato postvamete. Eveto S gocattolo d successo Eveto S gocattolo o d successo Eveto Pos gudzo postvo degl espert d marketg Eveto Neg gudzo egatvo degl espert d marketg. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 87 Sappamo che P Co l teorema d Bayes calcolamo P P ( S) 6 P( Pos S) 8 () S P( Pos S) ( S Pos) P P ( Pos S) P( S) ( Pos S) P( S) + P( Pos S) P() S 8 6 8 8. % 8 6 + La probabltà dell eveto complemetare, ossa che l gocattolo valutato postvamete dagl espert della socetà o abba po successo d mercato, vale P S Pos P S Pos 8 68 6. 8. ( ) ( ) % Esempo 6 Quattro tecc s occupao delle rparazo de guast che accadoo ua lea automatca d produzoe. Il prmo tecco effettua l % delle rparazo e u caso su o esegue correttamete l lavoro; l secodo tecco effettua l 6% delle rparazo e u caso su o esegue correttamete l lavoro; l terzo tecco effettua l % delle rparazo e u caso su o esegue correttamete l lavoro; l quarto tecco effettua l % delle rparazo e u caso su o esegue correttamete l lavoro. Il successvo guasto vee rteuto ua cosegueza della precedete rparazoe mperfetta; qual è la probabltà che la precedete rparazoe sa stata fatta dal prmo tecco? Eveto B rparazoe eseguta dal tecco P ( B ) P( A B ) Eveto B rparazoe eseguta dal tecco P ( B ) 6 P( A B ) Eveto B rparazoe eseguta dal tecco P ( B ) P( A B ) Eveto B rparazoe eseguta dal tecco P ( ) P( A B ) Applcado l teorema d Bayes s trova ( A) B. ( )( ) ( )( ) + ( 6)( ) + ( )( ) + ( )( ) P B. E teressate otare che, sebbee l prmo tecco svolga u lavoro mperfetto solo el % de cas, tuttava pù dell % delle rparazo o perfette soo ua sua resposabltà. Esempo 66 Per produrre uo stesso tpo d prodotto soo mpegate tre dverse macche, M, M, M, che producoo pezz dfettos co le rspettve probabltà: %, % e %. Le tre macche producoo rspettvamete l %, l % e l % della produzoe totale. a Qual è la probabltà che u pezzo uscto dalla fabbrca sa dfettoso? b Qual è la probabltà che u pezzo dfettoso sa stato prodotto dalla maccha M? Eveto D pezzo dfettoso. S hao le seguet probabltà P( M ) % P( D M ) % P( M ) % P( D M ) % P( M ) % P( D M ) % a Applcado l teorema della probabltà totale s trova la probabltà che u pezzo sa dfettoso, o mporta da quale maccha sa stato prodotto Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

88 Captolo - Probabltà P ( ) P( D M ) P( M ) + P( D M ) P( M ) + P( D M ) P( M ) D + +. % b Applcado l teorema d Bayes s trova la probabltà che l pezzo dfettoso sa stato prodotto dalla maccha M P( M D) P P( D M ) P( M ) ( D M ) P( M ) + P( D M ) P( M ) + P( D M ) P( M ) 76 76% Qud crca de cas s può rteere che la causa d u pezzo dfettoso sa la maccha M. Nel caso cu gl evet della famgla {BB, B,...,B B } formula del teorema d Bayes s semplfca e dveta P(B k A) ( A B ) ( PA B ) hao la stessa probabltà ( ) P B, la P k per og k (.8) Esempo 67 Quattro trator d ua stessa squadra vegoo classfcat base alle probabltà d fare cetro co u tro; al tratore T vee attrbuta ua probabltà dell 8%, al tratore T ua probabltà del %, al tratore T ua probabltà del % e al tratore T ua probabltà del %. I quattro trator sparao cotemporaeamete u colpo cascuo e solo uo ha fatto cetro: qual è la probabltà che l cetro sa stato colpto da T? P T. Eveto T cetro colpto da T ( ) Eveto C l tratore ha fatto cetro. Applcado la formula d Bayes ella forma semplfcata (.8) s ha P ( ) ( C T ) 8 P T C % P C T + P C T + P C T + P C T 8 + + + ( ) ( ) ( ) ( ) Applcazoe del teorema d Bayes a u problema d dagos medca. Il teorema d Bayes trova u mportate applcazoe ambto sataro. I u test clco, u dvduo vee sottoposto ad u certo esame d laboratoro, per stablre se ha o o ha ua data malatta. Il test può avere esto postvo (l che dca la preseza della malatta) o egatvo (l che dca che l dvduo è sao). C è però sempre ua possbltà d errore: può dars che qualcuo degl dvdu rsultat postv sao realtà sa ( fals postv ), e che qualcuo degl dvdu rsultat egatv sao realtà malat ( fals egatv ). Prma d applcare l test e laborator su larga scala, è qud opportuo valutare la botà. Per far questo s possoo sottoporre al test u campoe d persoe d cu sappamo gà se soo sae o malate, e vedere se la rsposta del test è corretta. Gl evet a cu samo teressat soo Eveto M l dvduo è malato Eveto S l dvduo è sao Eveto Pos l test è postvo Eveto Neg l test è egatvo. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 89 Utlzzado la ozoe d probabltà codzoata s dao le seguet defzo. Defzoe 7 La probabltà codzoata P(Pos M) vee detta sesbltà del test. Defzoe 8 La probabltà codzoata P(Neg S) vee detta specfctà del test. Il test è tato pù sesble quato pù è probable che u malato rsult postvo, ed è tato pù specfco quato pù è probable che u sao rsult egatvo, ovvero che solo malat rsulto postv. Pertato u buo test è u test co sesbltà e specfctà molto vce a. Suppoamo ora che l test vega effettvamete applcato per scoprre se ua persoa è malata o meo. Calcolamo la probabltà che u dvduo che rsulta postvo al test sa effettvamete malato. Questa è ua probabltà codzoata e s defsce el modo seguete. Defzoe 9 La probabltà che u dvduo che rsulta postvo al test sa effettvamete malato P( M Pos ) vee detta valore predttvo del test. Per l teorema d Bayes l valore predttvo del test è P ( ) ( Pos M) P( M) P M Pos P( Pos M) P( M) + P( Pos S) P( S) S può qud otare che per calcolare l valore predttvo del test o basta cooscere la sesbltà e la specfctà, ma occorre cooscere ache la probabltà P(M) co cu la malatta colpsce la popolazoe complessva. Esempo 68 Suppoamo che la probabltà che ua persoa abba ua certa malatta sa uguale a. La dagos della malatta vee fatta co u test che ha le seguet caratterstche: applcato a u dvduo affetto dalla malatta dà rsultato postvo co probabltà par a 9; applcato a u dvduo sao dà esto postvo co probabltà par a Suppoamo che su u dvduo l test abba dato rsultato postvo: qual è la probabltà che sa effettvamete malato? Co le otazo sopra suggerte s ha P(M) P(S) P(M) 97 P ( Pos M) 9 (sesbltà) P ( Pos S) La probabltà che l dvduo sa malato, sapedo che l test è postvo, è l valore predttvo e s calcola co l teorema d Bayes P ( ) ( Pos M) P( M) 9 P M Pos 8 P Pos M P M + P Pos S P S 9 + 97 ( ) ( ) ( ) ( ) I base a questo rsultato possamo dre che solo l 8% crca d coloro che rsultao postv al test è effettvamete malato, l restate % soo fals postv. Osservamo che la probabltà che ua persoa sa malata, sapedo che è rsultata postva al test, è comuque maggore della probabltà che aveva prma d sottopors al test. La probabltà che l test da esto postvo s calcola co l teorema della probabltà totale, ed è uguale al deomatore della frazoe el teorema d Bayes ( Pos ) P( Pos M) P( M) + P( Pos S) P( S) 9 + 97 6 P Suppoamo ora che l test abba dato rsultato egatvo: qual è la probabltà che l dvduo sa sao? Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

9 Captolo - Probabltà Ache questa probabltà s calcola co l teorema d Bayes Osservamo che P ( S Neg) P P( Neg S) P( S) ( Neg S) P( S) + P( Neg M) P( M) ( Neg S) P( Pos S) 98 ( Neg M) P( Pos M) 9 P (specfctà) P Pertato 98 97 P ( S Neg) 997 98 97 + I coclusoe, se l test è rsultato egatvo, abbamo ua probabltà molto alta che la persoa sa saa, qud l test è altamete predttvo egatvamete, metre o è molto predttvo seso postvo (solo l 8% crca). I altre parole fals egatv soo pochssm, metre fals postv soo puttosto umeros (l %). Esempo 69 Caso d ua malatta rara. La sesbltà del test per ua data malatta rara (ad esempo l HIV) sa crca uguale a 99: la specfctà del test sa crca 9999. La probabltà d cotrarre la malatta ella popolazoe sa crca. P ( Pos M) 99 (sesbltà) P ( Neg S) 9999 (specfctà) P M ( ) La probabltà che ua persoa rsultata postva a questo test sa effettvamete malata è, co l teorema d Bayes ( M Pos) P( Pos M) P( M) ( Pos M) P( M) + P( Pos S) P( S) P P 99 9888 % 99 + ( 9999) ( ) Questo sgfca che solo l % crca d coloro che rsultao postv al test soo effettvamete malat; altre parole l 8% soo fals postv. Il rsultato, apparetemete sorpredete, dpede dal fatto che la malatta che s cerca è molto rara sulla popolazoe complessva. S osserv che s sta suppoedo d sottoporre al test persoe d cu a pror o s sa ulla; se s applcasse l test a persoe scelte o casualmete, ma qualche categora a rscho (ad esempo per l HIV fra tosscodpedet), la probabltà P(M) adrebbe sosttuta co la probabltà della malatta quella classe d persoe, e sarebbe pù elevata; rsulterebbe pù elevato d cosegueza l valore predttvo del test. S ot acora che la probabltà che ua persoa sa malata, sapedo che è rsultata postva al test, è comuque molto maggore della probabltà che aveva prma d sottopors al test P( M Pos) 9888 79.. ( M) P (la probabltà è crescuta d crca 8 volte). Se calcolamo la probabltà che ua persoa rsultata egatva al test sa saa, otteamo P ( ) ( Neg S) P( S) P S Neg P( Neg S) P( s) + P( Neg M) P( M) 9999 ( ) 9999998 9999 ( ) + ( 99) Il umero de fals egatv è qud molto basso. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9. Varabl aleatore e dstrbuzo d probabltà. Varabl aleatore Ua varable aleatora è ua varable che può assumere valor dvers dpedeza da qualche feomeo casuale; la sua defzoe rgorosa è la seguete. Defzoe Ua varable aleatora (o casuale) è ua fuzoe reale X defta sullo spazo campoe S e a valor real X : S R Essa assoca ad og possble rsultato d u espermeto, coè ad og elemeto dello spazo campoe S, u umero reale. I alcu cas gl evet elemetar soo gà umer real, ad esempo umer da a 6 el laco d u dado, e allora soo ess stess valor d ua varable aleatora. I altr cas è ecessara u opportua codfca. Esempo S effettua l laco d ua moeta. Lo spazo campoe è S {T,C} Poedo X(C) m X(T) m, R m s defsce ua varable aleatora X. Esempo S effettuao due lac d ua moeta. Lo spazo campoe è S {TT,CC,TC,CT} Ad og elemeto dello spazo campoe possamo assocare u umero reale che rappreseta l umero delle volte che esce T, secodo la seguete tabella Elemet d S TT TC CT CC X Tabella ossa X(TT) X(TC) X(CT) X(CC) X è ua varable aleatora. S osserv che s possoo defre altre varabl aleatore su questo spazo campoe: ad esempo l quadrato del umero delle teste, azché l umero delle teste, o l umero delle teste meo l umero delle croc. Defzoe Ua varable aleatora che può assumere solo u umero fto d valor o u ftà umerable d valor è detta varable aleatora dscreta, metre ua varable aleatora che assume u ftà o umerable d valor è detta cotua. Le varabl aleatore defte egl esemp e soo varabl aleatore dscrete. D solto quello che teressa d ua varable aleatora è calcolare la probabltà che essa assuma cert valor; el caso de due lac d ua moeta c potrebbe ad esempo teressare la probabltà che la varable aleatora assuma l valore oppure che assuma u valore more o uguale a. Vedere ota pag.. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

9 Captolo - Varabl aleatore e dstrbuzo d probabltà Osservazoe I geerale, se X è ua varable aleatora, s usao otazo del tpo seguete Eveto X assume l valore a X a Eveto X assume valor compres ell tervallo (a, b) a < X < b Eveto X assume valor mor o ugual a c X c. Idchamo co P(X a), P(a < X < b), P(X c) le probabltà de precedet evet. Per l teorema 9, pag. 7, s ha P(X > c) P(X c) c R dove P(X > c) dca la probabltà che X assuma u valore maggore d c. Esempo S cosder la varable aleatora dscreta X, defta come l umero d teste T due lac d ua moeta; s ha ad esempo P ( X ) P ( X ) P ( < X < ) P ( < X ) P ( X ) Esempo S cosder la varable aleatora dscreta X, defta come l umero otteuto el laco d u dado; s ha ad esempo P( < X < 6) P( X < 6) P( X 6) 6 P(X > ) P(X ) 6. Dstrbuzo d probabltà dscrete Sa X ua varable aleatora dscreta e sao,,... valor che essa può assumere; s suppoga per semplctà che la varable aleatora assuma u umero fto d valor e oltre che quest valor sao assut co probabltà P X, ( ),... Defzoe La fuzoe f ( ) P( X ),,... (.) che ad og valore assuto dalla varable aleatora dscreta X assoca la corrspodete probabltà è detta dstrbuzoe d probabltà della varable aleatora X. La rappresetazoe grafca d f () può essere fatta co u dagramma a barre o co u stogramma. Defzoe S defsce fuzoe d dstrbuzoe o fuzoe d rpartzoe d ua varable aleatora X la fuzoe F( ) P( X ) R (.) La fuzoe F assoca ad og valore reale la probabltà che la varable aleatora X assuma u valore more o uguale a. Essa è defta su R, mootoa crescete da a ; l suo grafco è ua fuzoe a grado. S può faclmete geeralzzare al caso d u umero o fto d valor. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9 Esempo S effettuao due lac cosecutv d ua moeta. La varable aleatora X è l umero d volte che esce T ed è descrtta dalla tabella (esempo ). S ha P(TT) P(TC) P(CT) P(CC) qud P P ( X ) P( CC) ( X ) P( TC CT) P( TC) + P( CT) P( X ) P( TT) La dstrbuzoe d probabltà è assegata dalla tabella f ( ) + Tabella La fuzo e f () può essere rappresetat a co u dagramma a barre (fgura ), o co u stogramma (fgura ). dagramma a barre stogramma 7 7 f() f() - Fgura Nel grafco della fgura la somm a delle ordate è ; el grafco della fgura la somma delle aree de tre rettagol è. R cavamo ora la fuzoe d dstrbuzoe F () F( ) P( X ) < < < + + La fuzoe d dstrbuzoe della varable aleatora X è qud < < F ( ) < - Tabella Fgura Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

9 Captolo - Varabl aleatore e dstrbuzo d probabltà F () è ua fuzoe a grado co salto o costate; l grafco è l seguete. 8 F() 6 - - - Fgura Nell esempo precedete s può osservare che la fuzoe d dstrbuzoe F() è uguale alla somma delle probabltà f ( ) P( X ) per tutt gl.questo rsultato è vero per og varable aleatora dscreta. Per ua varable aleatora dscreta s ha qud la seguete relazoe tra fuzoe d dstrbuzoe e dstrbuzoe d probabltà I geerale, el caso d ua varable aleatora dscreta, ua fuzoe f () è ua dstrbuzoe d probabltà se dove la sommatora è estesa a tutt possbl valor assut dalla varable aleatora X. Esempo 6 Sa data la fuzoe + f ( ),,. V erfcare se f () è ua dstrbuzoe d probabltà d ua data varable aleatora dscreta X. S osttuedo,, s ottee 6 f ( ) f () f (). Quest valor soo tutt compres fra e ; oltre la loro somma vale, percò la fuzoe assegata è ua dstrbuzoe d probabltà dscreta. Esempo 7 Trovare l valore della costate k R modo che la fuzoe,,,, f ( ) k 6 sa ua dstrbuzoe d probabltà dscreta. Trovare la fuzoe d dstrbuzoe. F ( ) ) (.) P( X ) f ( ) f ( ) (.) ) f ( ) (.) Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9 Deve essere ) f ( ) k ) f ( ) f ( ) + + + + + k 8 6 k + + + + 8 6,,,, f ( ) 6 La dstrbuzoe d probabltà può essere scrtta ache sotto forma d tabella (tabella ) ed è rappresetata ella fgura. 6 f ( ) 8 6 Tabella La fuzoe d dstrbuzoe è defta dalla tabella ed è rappresetata ella fgura. F( ) P( X ) < < < + < 7 + 8 8 < 7 + 8 6 6 < 6 + 6 6 + Tabella 6. 8 f() F() 6 6 7-6 8 Fgura Fgura Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

96 Captolo - Varabl aleatore e dstrbuzo d probabltà Esempo 8 Sa data la fuzoe d dstrbuzoe < < F ( ) 7 < Determare la dstrbuzoe d probabltà f (). F() della varable aleatora dscreta X Il grafco d F() è l seguete. 8 F() 6 - - S ha f ( ) f () 7 f () 7 La dstrbuzoe d probabltà f () è la seguete f ( ) Fgura 6 Esempo 9 S cosder la varable aleatora dscreta X umero otteuto el laco d u dado; valor che X può assumere soo umer,,...,6. La dstrbuzoe d probabltà è defta dalla tabella 6; l grafco è rappresetato ella fgura 7 6 f ( ) 6 6 6 6 6 6 Tabella 6 67 f() 6 7 Fgura 7 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 97 La fuzoe d dstrbuzoe F () è defta dalla tabella 7. F() è ua fuzoe a grado; l salto fra grad è costate e vale sempre, l grafco è rappresetato ella fgura 8. 6 F( ) P( X ) < < 6 < + 6 6 < + 6 < + 6 < 6 + 6 6 6 + 6 6 Tabella 7. 8 F() 6-6 7 8 Fgura 8 Esempo S effettua l laco d due dad. La varable aleatora X è la somma de rsultat de due dad. Determare la dstrbuzoe d probabltà f () e la fuzoe d dstrbuzoe F() e dsegare grafc. Lo spazo campoe S è llustrato dalla fgura 9 7 6 secodo dado 6 7 prmo dado Fgura 9 La dstrbuzoe d probabltà f () è data dalla tabella 8; l grafco è rappresetato ella fgura (pag. seguete) 6 7 8 9 f ( ) 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 Tabella 8 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

98 Captolo - Varabl aleatore e dstrbuzo d probabltà La fuzoe d dstrbuzoe o costate (fgura ) F() è defta dalla tabella 9 ed è ua fuzoe a grado co salto F( ) P( X ) F( ) P( X ) < 7 < 8 7 < 8 < 9 6 8 < 9 < 8 < < 6 < 6 < 8 6 6 < 7 6 Tabella 9 8 6 f() 8 6 6 7 8 9. 8 6 F() - 6 8 Fgura Fgura Esempo S cosdero le famgle co fgl; la composzoe delle famgle, teedo coto del sesso de fgl e dell'orde d ascta, s può rappresetare co l seguete dagramma ad albero M F fglo M F M F fglo M F M F M F M F fglo M F M F M F M F M F M F M F M F fglo Il umero de cas possbl è 6. Se s trascura l'orde d ascta, 6 cas s rducoo a seguet MMMM MMMF MMFF MFFF FFFF Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 99 Suppoedo che gl evet ascta d u mascho e ascta d ua femma sao equprobabl, s costrusce la seguete tabella della dstrbuzoe d probabltà eveto MMMM MMMF MMFF MFFF FFFF cas favorevol 6 probabltà 6 8 6 Tabella Scegledo come varable aleatora X l umero delle fgle femme, la tabella della dstrbuzoe d probabltà f può essere rscrtta el modo seguete ( ) f ( ) 6 8 6 Tabella La fuzoe d dstrbuzoe è la seguete F( ) P( X ) < < 6 < 6 < 6 < 6 Tabella I grafc d () e d F soo rappresetat elle fgure e. f ( ). f() F() 8 6 - Fgura - Fgura Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Varabl aleatore e dstrbuzo d probabltà. Destà d probabltà Se X è ua varable aleatora cotua, la probabltà che X assuma u certo valore fssato è geerale zero (s veda ache l osservazoe al terme d questo, pag. ), qud o ha seso defre ua dstrbuzoe d probabltà co lo stesso procedmeto seguto per ua varable aleatora dscreta. Nel caso d ua varable aleatora cotua ha seso vece calcolare la probabltà che X sa compresa fra a e b, dove a e b soo costat, co a b. Esempo Se s scegle a caso u adulto da ua popolazoe e s msura la sua altezza, la probabltà che l altezza X sa esattamete 7 cm è uguale a zero, perché la msura vee fatta co uo strumeto avete precsoe fta. Tuttava s ha ua certa probabltà o ulla che X sa compresa ad esempo fra 7.9 cm e 7. cm. I base a queste cosderazo, e aaloga co le propretà (.) e (.) valde per le varabl dscrete, s presuppoe l essteza d ua fuzoe f () tale che ) f ( ) R (.6) ) f ( ) d (.7) S defsce po la probabltà che X sa compresa fra a e b el modo seguete b ( a < X < b) P f ( ) d a S può dmostrare che questa defzoe soddsfa gl assom della teora della probabltà. Ua fuzoe f () che soddsf le codzo (.6) e (.7) è detta destà d probabltà. Esempo Sa data la fuzoe f ( ) 8. altrmet Verfcare che f () è ua destà d probabltà d ua varable aleatora cotua X e calcolare la probabltà che la varable aleatora X avete destà d probabltà f () sa a more d ; b compresa fra e. Deve essere ) f ( ) R ) f ( ) d La prma codzoe è verfcata R. Ioltre s ha a P ( X ) f ( ) d d. 8 6 < f ( ) d d 8 6 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca b P ( X < ) < f ( ) d d 8 6 9 6 6 I aaloga al caso della varable aleatora dscreta, la fuzoe d dstrbuzoe medate l tegrazoe della fuzoe f (). F() è defta Defzoe S defsce fuzoe d dstrbuzoe o fuzoe d rpartzoe della varable aleatora cotua X la fuzoe F ( ) P( X ) f ( t) dt Affché la defzoe abba seso basta che f () sa tegrable; come s vedrà egl esemp seguet o è ecessaro che f () sa cotua. Dalla defzoe d F () come fuzoe tegrale, segue che F() è ua fuzoe cotua; oltre, per l teorema fodametale del calcolo tegrale, tutt put cu f () è cotua, la dervata della fuzoe d dstrbuzoe F () è la destà d probabltà f () df( ) f ( ). d La destà d probabltà f () d ua varable aleatora X può essere rappresetata grafcamete medate ua curva come ella fgura ( questo grafco è rappresetata ua destà f () cotua partcolarmete mportate, la destà ormale, che sarà trattata el cap. ). Per le propretà (.6) e (.7) la curva o può adare sotto l asse delle e l tera area compresa fra la curva e l asse è uguale a. Geometrcamete la probabltà che X sa compresa fra a e b è rappresetata dall area colorata. La fuzoe d dstrbuzoe F() è ua fuzoe cotua, mootoa crescete da a ed è rappresetata da ua curva del tpo della fgura. (.8) 7. 6 f() 8 F() 6.. a. b. 6. Fgura - 6 8 Fgura Osservazoe Evet d probabltà ulla. La defzoe d probabltà el caso cotuo presuppoe l'essteza d u'opportua fuzoe f (), l cu tegrale sull'tervallo (a,b) forsce la probabltà che la varable aleatora cotua X assuma valor apparteet ad (a,b); se l'tervallo s rduce a u solo puto l'tegrale è ullo. Pertato, se X è ua varable aleatora cotua, la probabltà che essa assuma u valore fssato è sempre zero P ( X ) R. Questo fatto è mportate per pù motv. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Varabl aleatore e dstrbuzo d probabltà Nel cotuo l'espressoe eveto d probabltà ulla o è somo d eveto mpossble, come vece accade el dscreto. Duque el cotuo è sgfcatvo soltato calcolare la probabltà che X assuma valor u dato tervallo: questa è ua prma sostazale dffereza tra varabl dscrete e cotue. Quato detto al puto sgfca che, se X è ua varable aleatora cotua, allora P(X a) P(X < a) P(X a) P(X > a) P(a < X < b) P(a X < b) P(a < X b) P(a X b). Da questo segue ache che la destà f () o rappreseta la probabltà P ( X ). Ifatt la probabltà P ( X ) è sempre ulla per og R, metre f () o è dappertutto ulla. La fuzoe f () o è ua probabltà, è solo l suo tegrale su u tervallo che ha l sgfcato d probabltà. Nel caso dscreto vece, la dstrbuzoe d probabltà f ( k ) è per defzoe la probabltà P ( X k ). I coclusoe dstrbuzo dscrete e destà cotue soo oggett matematc d tpo dverso, o cofrotabl tra loro; lo strumeto che cosete d cofrotare varabl aleatore dscrete e cotue soo vece le rspettve fuzo d dstrbuzoe. Esempo Defamo la fuzoe f () (fgura 6) f ( ) altrmet. f() - Fgura 6 S può verfcare che f () è ua destà d probabltà; fatt ) f ( ) R ) f ( ) d d Trovamo la fuzoe d dstrbuzoe (fgura 7) Per < F( ) Per Per > F( ) f ( t) dt f ( t) dt t dt F( ) f ( t) dt tdt Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca F ( ) < >. F() - Fgura 7 Esempo Trovare la probabltà che ua varable aleatora X avete la destà d probabltà < < f ( ) < altrmet assuma valor compres a fra e 8 b fra 6 e. c maggor d.8. 8 8 6 a P( < X < 8) f ( ) d d. b P( 6 < X <. ) f ( ) d d + ( ) d 6 6 8 6 ( ) +.. 6 6 + ( ) c P( X. 8) f ( ) d ( ) d >. 8. 8. 8 Gl stess rsultat s possoo otteere rcavado la fuzoe d dstrbuzoe F() F ( ) f ( t) dt Per F() Per < < F( ) tdt Per < ( ) ( ) + ( ) t F f t dt tdt t dt + t + Per F() Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Varabl aleatore e dstrbuzo d probabltà < + < < ) ( F 6 6) ( ( ) ) 6 ( 6 ( ) ( 8) 8) (..... F. F. X. P.... F. F. X. P + < < < < 98 6 8 ( 8) 8) ( 8) (..... F. X P. X P + < > Esempo 6 La fuzoe d dstrbuzoe d ua varable aleatora X è > ) ( e F a Calcolare le probabltà P(X > ) e P( < X ). b Determare la destà d probabltà. () f a 8 ) ( () ) ( ) (. e e F P X P > 9997 ) ( () ) ( 8. e F F X P < b > ) ( ) ( e d df f Esempo 7 Sapedo che la fuzoe d dstrbuzoe d ua varable aleatora cotua X è > < ) ( F calcolare le probabltà < < X P e ( ) < < X P. a () %.. F F X P 8 8 88 6 9 7 8 6 < < b ( ) ( ) ( ) %.. F F X P 7 7 7 9 < < Esempo 8 Trovare l valore della costate c R modo che la fuzoe altrmet < < ) ( c f sa ua destà d probabltà. Trovare la fuzoe d dstrbuzoe e calcolare la probabltà P( < X < ). F() Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Deve essere ) f ( ) R c ) f ( ) d f ( ) d c d c 9c 9 c c La destà d probabltà è pertato f ( ) 9 Trovamo la fuzoe d dstrbuzoe Per F( ) Per < < 9 < < altrmet F ( ) P( X ) f ( t) dt. F( ) f ( t) dt f ( t) dt t dt Per F( ) f ( t) dt f ( t) dt + f ( t) dt t dt 9 Oppure Osservamo esplctamete che 9 F ( ) < < 7 8 P ( < X < ) F() F() 7 7 P ( < X < ) 9 d 9 ( < X < ) P( X < ) P( < X ) P( X ) P 8 7 7 7 7 7 7 7 7 7 Esempo 9 Trovare l valore della costate c R tale che la fuzoe c f ( ) altrmet sa ua destà d probabltà e dsegare l grafco d f (). Trovare la probabltà che la varable aleatora X, avete destà d probabltà fra. e. f (), sa compresa Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo - Varabl aleatore e dstrbuzo d probabltà Deve essere ) f ( ) R c ) f ( ) d Il grafco d c c f ( ) f () è l seguete c c f ( ) d d c c + altrmet. f().. Fgura 8 P < X < d Nella fgura 8 l area colorata rappreseta la probabltà + P < X <. Esempo Trovare l valore della costate k R modo che la fuzoe k + 6 f ( ) altrmet sa ua destà d probabltà. Trovare la fuzoe d dstrbuzoe F() e calcolare le probabltà a P( < X <.) b P( < X < 6) c P(. < X < 7). Deve essere ) f ( ) R k ) f ( ) d 6 f ( ) d ( k + ) d ( k ) + 6 k + Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 k + k La destà d probabltà è pertato 9 6 f ( ) altrmet Trovamo la fuzoe d dstrbuzoe Per < F( ) F ( ) P( X ) f ( t) dt 9 9 9 Per 6 F( ) f ( t) dt f ( t) dt t dt t t + 9 9 Per > 6 F( ) f ( t) dt t dt t t a F ( ) b P ( < X < 6) 6 9 + < 6 > 6 P ( < X <. ) F(. ) F() F(. ) c P (. < X < 7) P(. < X < 6) P( < X <. ) F(. ) 8 8 Sa l valore d k che le probabltà possoo essere rcavate ache per va geometrca. Il grafco della fuzoe f () assegata è del tpo rappresetato ella fgura 9. Il valore d k può essere trovato mpoedo che l area del trapezo ella fgura 9 sa uguale a. 6 8. f() k+ k f(). 6 Fgura 9 -.. 6 6. Fgura Area trapezo ( k + k + ) k + k. I modo aalogo s possoo calcolare le probabltà. Ad esempo la probabltà P ( < X <. ) è uguale all area del trapezo colorato ella fgura P ( < X <. ) + 8 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo - Varabl aleatore e dstrbuzo d probabltà. Parametr d ua dstrbuzoe Nel Captolo abbamo trodotto l cocetto d valor medo d u seme d dat, che cosste semplcemete ella meda artmetca d valor assut da ua varable umerca; troducamo ora u cocetto smle, che rguarda le varabl aleatore. Data ua varable aleatora X, alla sua dstrbuzoe o destà d probabltà f () soo assocat alcu umer, dett parametr della dstrbuzoe o della destà d probabltà, avet lo stesso sgfcato degl dc d poszoe e d dspersoe, trodott per u seme d dat. Valor medo Caso dscreto Sa data ua varable aleatora dscreta X, cu valor possbl soo,,...,, co probabltà rspettvamete P X ) f ( ), P( X ) f ( ),..., P( X ) f ( ). ( Defzoe 6 S defsce valor medo o speraza matematca d ua varable aleatora dscreta X la quattà μ E( X ) P( X ) + P( X ) +... + P( X ) (.9) P( X ) f ( ) U caso partcolare s ha quado le probabltà f ( ) soo tutte ugual f ( ) P( X ),,..., tal caso μ è la meda artmetca d,,..., + +... + μ E( X ) Il valor medo d X è u umero che dca dove è cetrata la varable aleatora X, ossa attoro a quale valore c aspettamo che cadao valor d X; esso rappreseta qud ua msura d tedeza cetrale. Il valor medo d X può o essere u valore effettvamete assuto da X. Esempo Se la varable aleatora X è l puteggo otteuto el laco d u dado, poché 6 rsultat possbl soo ugualmete probabl, s ha + + + + + 6 μ E ( X ). 6 Esempo La varable aleatora X dca la somma de put otteut co l laco d due dad. La tabella della dstrbuzoe d probabltà f () è la seguete (vedere esempo ) 6 7 8 9 f ( ) 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 Tabella Per l valor medo s ottee μ f ( ) + + +... + 6 6 6 S ot che questo esempo valor o soo ugualmete probabl. 6 + 6 7 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9 Esempo Trovare l valor medo della varable aleatora X defta come l umero d teste otteute co tre lac successv d ua moeta. I cas possbl soo 8 CCC essua testa X CCT CTC TCC testa X CTT TCT TTC teste X TTT teste X La dstrbuzoe d probabltà f () è defta dalla tabella f ( ) 8 8 8 8 Tabella Il valor medo è μ + + +. 8 8 8 8 Esempo S laca u dado: u gocatore vce se esce l, se esce l, perde se esce l 6; se esce u umero dspar o vce é perde ulla. Determare l guadago medo del gocatore. La varable aleatora X dca l guadago/perdta del gocatore. Nella tabella s rportao le probabltà assocate a guadag/perdte + + f ( ) 6 6 6 6 6 6 Il valor medo è μ + + + + 6 6 6 6 6 6 Il guadago medo è d Tabella Gl esemp seguet llustrao u'terpretazoe del cocetto d valor medo. Sa X ua varable aleatora e cosderamo u goco cu s paga ua somma fssa S per partecpare e s rceve ua vcta varable X. Il valor medo μ può essere vsto come l valore da assegare ad S affché l goco sa equo. Se S > μ l goco è quo a favore del baco. Esempo U gocatore acqusta u bgletto d ua lottera: può vcere l prmo premo d co probabltà e l secodo premo d co probabltà. Quale dovrebbe essere l gusto prezzo del bgletto? Calcolamo l valor medo (speraza matematca) μ +. Affché l goco sa equo, l prezzo gusto per l bgletto dovrebbe essere. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Varabl aleatore e dstrbuzo d probabltà Esempo 6 I ua lottera azoale vegoo mess palo seguet prem premo. premo. premo. prem da prem da prem da. Vegoo vedut mlo d bglett; qual è l valor medo della vcta per ch acqusta u bgletto? Se l bgletto costa, l goco è equo, ossa covee partecpare alla lottera? Sa X la varable aleatora "premo vto co u bgletto"; la dstrbuzoe d probabltà è la seguete.... f ( )...... Il valor medo della vcta co u bgletto è μ. +. +.... + + +..... + + + + +. Poché l prezzo del bgletto è d, l goco o è equo, ma è a sfavore d ch compra bglett. Se l goco fosse equo, l bgletto della lottera dovrebbe costare.. Valor medo Caso cotuo Tabella 6 Sa X ua varable aleatora cotua avete destà d probabltà f (). Defzoe 7 S defsce valor medo d X la quattà μ E ( X ) f ( ) d (.) Esempo 7 Sa data la destà d probabltà f ( ) Il valor medo d X è μ f ( ) d altrmet d 6 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Varaza e scarto quadratco medo Defzoe 8 S defsce varaza della varable aleatora X la quattà σ dove μ è l valor medo d X. var( X ) E[( X μ) ] (.) Defzoe 9 La radce quadrata o egatva σ var( X ) E[( X μ) ] (.) è detta scarto quadratco medo o devazoe stadard d X. La varaza (o la devazoe stadard) è ua msura della dspersoe de valor della varable aleatora X attoro al valor medo μ. Se valor soo cocetrat vco alla meda, la varaza è pccola, metre se valor soo dspers lotao dal valor medo, la varaza è grade. Il grafco della fgura llustra la stuazoe el caso d due destà d probabltà cotue avet lo stesso valor medo μ e varaza dversa. varaza pccola f() varaza grade -6 - - μ 6 8 Fgura Varaza e scarto quadratco medo Caso dscreto Sa data ua varable aleatora dscreta X, cu valor possbl soo rspettvamete f ), f ( ),..., f ( ). (,,...,, co probabltà Defzoe S defsce varaza della varable aleatora dscreta X, avete valor medo μ, la quattà σ ( μ) f ( ) (.) Defzoe S defsce devazoe stadard o scarto quadratco medo della varable aleatora dscreta X, avete valor medo μ, la quattà σ ( μ) f ( ) (.) La varaza può ache essere calcolata co la seguete formula, alteratva alla (.) σ f ( ) μ (.) Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Varabl aleatore e dstrbuzo d probabltà Esempo 8 Trovare la varaza della varable aleatora X defta come l umero d teste otteute co tre lac successv d ua moeta. Nell esempo è stato calcolato l valor medo μ della varable X. Per la varaza, co la (.) s ha σ f ( ) + 8 8 + + 8 Esempo 9 Trovare la varaza della varable aleatora X defta come la somma de put otteut co l laco d due dad. Nell esempo è stato calcolato l valor medo μ 7 della varable X. Per la varaza, co la (.) s ha σ f ( ) 9 6 + 9 6 +... + 6 + 6 8 9 Esempo Sa data la fuzoe,,, f ( ) k a Trovare l valore della costate k R modo che la fuzoe sa ua dstrbuzoe d probabltà dscreta. b Calcolare l valor medo e la varaza della varable aleatora dscreta avete la dstrbuzoe d probabltà f (). a Deve essere ) f ( ) k ) f ( ) f ( ) + + + + k 8 6 k + + + 8 6 6 6,,, f ( ) 6 La dstrbuzoe d probabltà può essere scrtta ache sotto forma d tabella (tabella 7) ed è rappresetata ella fgura. 6. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca f ( ) 8 6 6 Tabella 7 f() 6 Fgura b Valor medo Varaza μ σ f ( ( μ ) + 6 ) + + + 8 f ( ) 6 + 8 6 6 6 + 6 + 6 + 6 6 6 + 67. 6 6 Varaza e scarto quadratco medo Caso cotuo Sa X ua varable aleatora cotua avete destà d probabltà f (). Defzoe S defsce varaza della varable aleatora cotua X la quattà σ [( X μ) ] ( μ) E f ( ) d (.6) Defzoe S defsce devazoe stadard o scarto quadratco medo della varable aleatora cotua X la quattà σ ( μ ) f ( ) d (.7) La varaza può ache essere calcolata co la seguete formula, alteratva alla (.6) σ f ( ) d μ (.8) Esempo Calcolare varaza e devazoe stadard della destà d probabltà f ( ) altrmet Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Varabl aleatore e dstrbuzo d probabltà Il valor medo è μ (vedere esempo 7). Per la varaza, co la (.6) s ha σ σ. 9 Applcado alteratva la (.8) s ha Esempo Data la destà d probabltà ( + ) f ( ) trovare l valor medo e la varaza. μ σ Esempo Sa data la fuzoe f ( ) d d 6 6 6 σ d. 9 8 9 9 9 ( + ) d ( + ) < < altrmet d + ( + ) f ( ) d μ d 9 ( ) 9 + ( + ) 9 d < < f ( ) altrmet a Verfcare che è ua destà d probabltà; dsegare l grafco d f (). b Trovare la fuzoe d dstrbuzoe e dsegare l grafco. c Calcolare la probabltà che la varable aleatora X avete destà d probabltà valor maggor d. d Calcolare l valor medo e la varaza della destà d probabltà f (). a Deve essere ) f () ) f ( ) d f ( ) d La fgura llustra l grafco d f (). R ( ) d b Trovamo la fuzoe d dstrbuzoe F() (fgura ) F ( ) f ( t) dt. 8 f () 6 assuma Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Per F() ( t ) Per < < t F( ) + + dt t Per F() F ( ) + + < < 9. 8 7 6 f() F() 8 6 c - -. - -. Fgura P X > F - - 8 + + 6 6 6 Fgura d Dalla fgura s osserva che medo è μ Per la varaza co la formula (.8) s ottee σ f () è smmetrca rspetto alla retta ; tal caso l valor f ( ) d μ + ( ) d ( ) d Esempo Trovare l valore della costate a R modo che la fuzoe f ( ) a < altrmet sa ua destà d probabltà. Trovare l valor medo μ e la varaza σ. Calcolare la probabltà che la varable aleatora X avete destà d probabltà a compresa fra e ; b compresa fra e ; c compresa fra e. f () sa Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo - Varabl aleatore e dstrbuzo d probabltà Deve essere ) ) ( f R a ) ) ( d f ) ( ) ( + + + + + a a a d a d d f 9 a a La destà d probabltà è pertato < altrmet 9 ) ( f Il grafco d è rappresetato ella fgura. () f - 7. f() Fgura Valor medo 9 9 9 ) ( ) (. d d d f d f + + μ Varaza (co la (.8)) 69 76 9 9 8 9 9. d d )d ( f + + μ σ Probabltà a 6 < < d X P b ) ( < < d X P Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 c 9 9 P < X < + + 6 d 6 Queste probabltà possoo ache essere trovate per va geometrca (vedere esempo ). Per l valor medo e la varaza valgoo alcue propretà. Propretà Sa X ua varable aleatora co valor medo E(X ) ; s ha E ( ax + b) ae( X ) + b a,b R (.9) var( ax + b) a var( X ) Propretà Sao X e Y varabl aleatore co valor med E (X ) e E(Y ) ; s ha 6 a,b R (.) E ( ax + by ) ae( X ) + be(y) a,b R (.) Propretà Sao X e Y varabl aleatore dpedet (cò avvee se gl evet X e Y y soo dpedet per og e y); s ha var ( ax + by) a var ( X ) + b var ( Y) U caso partcolare delle propretà e, dego d ota, è l seguete a,b R (.) E( X Y ) E( X ) E(Y) var ( X Y ) var ( X ) + var ( Y ) (.) Defzoe Sa X ua varable aleatora co valor medo μ e devazoe stadard σ. S defsce varable aleatora stadardzzata Z assocata a X la varable aleatora μ Z X (.) σ Propretà La varable aleatora stadardzzata Z ha valor medo e varaza μ E( Z) σ var ( Z) (.) Esempo Ua varable aleatora dscreta X ha la seguete dstrbuzoe d probabltà f ( ) Tabella 8 Calcolare l valor medo e la varaza della varable aleatora Y X. Calcolamo l valor medo e la varaza della varable aleatora X co le formule (.9) e (.) E( X ) + + 8 var ( X ) + + 8 6 Calcolamo ora l valor medo e la varaza della varable aleatora Y co le formule (.9) e (.) E( Y ) E(X ) E( X ) 8 6 var ( Y ) var (X ) var ( X ) 6. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo - Varabl aleatore e dstrbuzo d probabltà Esempo 6 Determare l valor medo e la varaza della somma de put otteut el laco d ua coppa d dad. a Valor medo. Per la propretà s ha b Varaza. Per la propretà s ha E ( X + Y ) E( X ) + E( Y ) 7 E( X ) E( Y ) + + + + + 6 6 6 6 6 6 6 7 7 E( X + Y ) + 7 var ( X + Y ) var ( X ) + var ( Y ) Per l calcolo della varaza d X c servamo della formula (.) var ( X ) f ( ) E( X ) + + + 6 6 6 var ( X ) var ( Y ) var ( X + Y ) var ( X ) + var ( Y ) + 6 7 6 + + 6 9 6 6 9 6 Altre msure d tedeza cetrale Moda e medaa Come abbamo gà vsto, l valor medo d ua varable aleatora X forsce ua msura d tedeza cetrale per valor della dstrbuzoe. Sebbee l valor medo sa la msura pù usata per questo scopo, esstoo ache altre msure. Defzoe La moda ~ è l valore che s verfca l maggor umero d volte, ossa che ha la maggor probabltà d verfcars. I corrspodeza a questo valore d, f () ha u massmo. A volte c soo due o pù valor d questo tpo: tal caso la dstrbuzoe s dce bmodale o multmodale. Defzoe 6 La medaa è l valore M per l quale s ha P ( X M ) P( X M ) Nel caso d ua dstrbuzoe cotua, la medaa corrspode a u puto che separa la regoe sottesa dalla curva f () due part, etrambe d area uguale a. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9 Esempo 7 Sa data la dstrbuzoe (vedere esempo 7) 6 ) (,,,, f Calcolare l valor medo, la varaza, la moda e la medaa. Valor medo (formula (.9)) 97 6 6 6 8. + + + + + μ Varaza (formula (.)) 6 6 6 6 6 8 9. + + + + + σ Moda (vedere fgura ) ~ Medaa M.. Ifatt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 8 6 + + + + + + + X P... X P X P. X P X P. X P Esempo 8 Trovare l valore della costate k R modo che la fuzoe altrmet ) ( k f sa ua destà d probabltà. Calcolare l valor medo μ, la moda ~ e la medaa M. Deve essere ) R f ) ( k ) ) ( d f 8 ) ( + k k k k k d k d f altrmet ) ( f Valor medo ) ( ) (. d d f d f μ Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Varabl aleatore e dstrbuzo d probabltà Moda ~ I base alla defzoe 6, la medaa è l valore M per l quale s verfca P M 9 ( X M ) f ( ) d M M f ( ) d ( M + 8) 7 ( M + 8) M. d M 9 Nella fgura 6 l area ombreggata vale, ed è la metà dell area totale sottesa da f () ell tervallo [,]... 8 f() 6 - -. - -. - -. M. Fgura 6. Dsuguaglaza d Chebshev Come gà osservato, la varaza (o lo scarto quadratco medo) msura la dspersoe d ua dstrbuzoe d probabltà. Se la varaza σ è pccola, c è u alta probabltà d otteere valor della varable aleatora vc al valor medo; se vece σ è grade, c è ua maggor probabltà d otteere valor lota dal valor medo. Queste cosderazo soo formalzzate dal seguete rsultato. Teorema Dsuguaglaza d Chebshev Sa X ua varable aleatora co valor medo μ e varaza σ ; allora per og ε > s ha La relazoe σ ( X μ ε) X μ ε equvale alle dsuguaglaze P (.6) ε X μ ε X μ + ε, qud la dsuguaglaza d Chebshev afferma che la probabltà che la varable aleatora X assuma σ u valore fuor dall tervallo (μ ε, μ + ε) è more o uguale a ; cocludamo percò che pù ε è pccola la varaza, more è la probabltà che X assuma valor fuor dall tervallo (με, μ+ε). Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca La dsuguaglaza d Chebshev vee spesso presetata ache ella seguete forma, che s ottee dalla (.6), osservado che l eveto X μ ε è l complemetare dell eveto X μ < ε σ ( X μ ε) ε P (.7) Dal puto d vsta teorco la caratterstca pù mportate della dsuguaglaza d Chebshev è che s applca ad og dstrbuzoe d probabltà d cu sao ot valor medo e varaza μ e σ. Tuttava questo è ache l suo lmte, perché forsce solo ua stma, a volte assa poco precsa, della probabltà d otteere u valore d X che dffersce da μ d ua quattà more o uguale a ε. Esempo 9 Ua varable aleatora X ha valor medo μ e varaza σ. Medate la dsuguaglaza d Chebshev determare ua maggorazoe per le seguet probabltà a P ( X ) b P ( X ) P X. c ( ) Le tre probabltà che s vogloo stmare soo date dalle aree colorate, rspettvamete elle fgure 7, 8, 9, dove è rappresetata ua geerca dstrbuzoe d probabltà. Co la dsuguaglaza d Chebshev ella forma (.6) s ottee a P ( X ) (fgura 7) P (fgura 8) Quest ultma stma è prva d teresse, perché troppo grossolaa. b ( X ) c Co la dsuguaglaza d Chebshev ella forma (.7) s ottee P ( X. ). (fgura 9) 9 f() f() f() - - μ 6 8 - - μ 6 8 Fgura 7 Fgura 8 Fgura 9 Esempo Il umero d automobl prodotte da ua fabbrca ua settmaa è ua varable aleatora X co valor medo μ e varaza σ Qual è la probabltà che questa settmaa la produzoe sa compresa fra e 6 automobl? Per calcolare la probabltà utlzzamo la dsuguaglaza d Chebshev (.7) μ σ X 6 X μ X ε - - μ 6 8 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Varabl aleatore e dstrbuzo d probabltà ( X ) 99 P Esempo Il umero d clet che vstao u cocessoaro d auto al sabato matta è ua varable aleatora X co valor medo μ 8 e devazoe stadard σ.. Co quale probabltà s può asserre che l umero d clet è compreso fra 8 e 8? S applca la dsuguaglaza d Chebshev (.7) μ 8 σ. 8 X 8 ε. P ( X 8 ) 97 Esempo Ua varable aleatora X ha valor medo μ 6 e devazoe stadard σ ; trovare ua stma della probabltà che la varable aleatora X assuma valor compres fra. e 7.. S applca la dsuguaglaza d Chebyshev (.7) μ 6 σ. X 7. ε. 8 P ( X 8. ). 9 P ( ) 9 Eserczo Ua varable aleatora ha destà d probabltà e f ( ) < Sapedo che l valor medo e la varaza valgoo μ e σ, a calcolare P ( X μ ) ; b trovare ua stma per P ( X μ ) co la dsuguaglaza d Chebyshev, e cofrotare questa stma co l rsultato esatto otteuto al puto a. a P X P X P X X e d e e P X ( e ) e 979 b Co la dsuguaglaza d Chebyshev (.6) s trova P X Il cofroto co l rsultato esatto trovato al puto a c permette d cocludere che la stma forta dalla dsuguaglaza d Chebyshev è questo caso molto grossolaa. I pratca la dsuguaglaza d Chebyshev è usata solo quado o sa ota la destà d probabltà, ma se e cooscao solo valor medo e varaza. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca. Dstrbuzo d probabltà dscrete. Dstrbuzoe bomale o d Beroull Il cocetto d varable aleatora permette d formulare modell utl allo studo d molt feome aleator. U prmo mportate esempo d modello probablstco è la dstrbuzoe d Beroull, così chamata oore del matematco svzzero James Beroull (6-7), che dede mportat cotrbut el campo della probabltà.. Alcu espermet cosstoo ell esegure rpetutamete ua data prova. Ad esempo voglamo cooscere la probabltà che su gudator fermat a u blocco stradale dosso la ctura d scurezza, oppure la probabltà che 9 su lampade duro almeo ore. I cascuo d quest esemp s cerca la probabltà d otteere success prove o, altre parole, success e success. Ua sequeza d prove beroullae costtusce u processo d Beroull sotto le seguet potes: c soo solo due possbl rsultat mutuamete esclusv per og prova, chamat arbtraramete successo e successo ; la probabltà d successo p è la stessa per og prova; tutte le prove soo dpedet; l dpedeza sgfca che l rsultato d ua prova o è fluezato dal rsultato d qualuque altra prova; ad esempo, l eveto alla terza prova s ha successo è dpedete dall eveto alla prma prova s ha successo. Esempo Il laco d ua moeta è ua prova beroullaa: s può cosderare successo l eveto esce testa e successo l eveto esce croce. I questo caso la probabltà d successo vale p. Nel laco d due dad s può cosderare successo ad esempo l eveto la somma de put è 7 e successo l eveto complemetare: questo caso s tratta d ua prova beroullaa e la probabltà d successo è p. 6 Sa p la probabltà d successo ua prova beroullaa. La varable aleatora X che cota l umero d success prove s dce varable aleatora bomale d parametr e p; X può assumere come valor gl ter compres fra e. S dmostra l seguete rsultato. Teorema La probabltà che prove la varable aleatora X assuma l valore, ossa che l successo s verfch volte prove, è data dalla dstrbuzoe d probabltà bomale o d Beroull f ( ) P( X ) p ( p) per,,,..., (.) La fuzoe d dstrbuzoe bomale è data da k k F( ) P( X ) p p k ( ) (.) k S rcord che!!( )! (Vedere ache la defzoe d combazo e coeffcet bomal, Cap., pag. 66) Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Dstrbuzo d probabltà dscrete La dstrbuzoe bomale s dca ache co l smbolo b( ;, p) p ( p) per,,,..., S osserv che è l umero d success, e q p la probabltà d successo. La fuzoe d dstrbuzoe bomale s dca ache co l smbolo k k B( ;, p) p p k ( ). k La meda e la varaza d ua dstrbuzoe bomale dpedoo solo da e p; s dmostra la seguete propretà. Propretà Se X è ua varable aleatora avete dstrbuzoe bomale co parametr e p, allora l valor medo è μ p (.) e la varaza è σ p( p) Nel calcolo della probabltà co la dstrbuzoe bomale e co la fuzoe d rpartzoe bomale soo utl le seguet relazo. (.) Propretà P ( X < ) P( X ) (.) P( X > ) P( X ) (.6) P ( X ) P( X ) (.7) P ( X ) P( X ) P( X ) (.8) S prest attezoe a o cofodere le probabltà P ( X < ) e P( X ) : el caso delle dstrbuzo dscrete queste due probabltà o soo ugual. Esempo Calcolare la probabltà d otteere volte testa, effettuado 6 lac d ua moeta. umero prove umero success probabltà d successo P( X 6 ) 6 p 6 6!!! 6 6 Esempo S effettuao lac d u dado; l successo sa d otteere. Calcolare la probabltà d otteere volte l caso d successo. P( X ) 6 p 6 6 6 6 8 98 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Esempo Calcolare la probabltà che, effettuado quattro estrazo co rembussolameto da u'ura coteete palle bache e ere, vega estratta per tre volte ua palla baca. La probabltà d successo (estrazoe d palla baca) è p 6 8 ) (. X P Esempo S effettuao lac successv d ua moeta; calcolare la probabltà che per metà delle volte esca croce e per metà testa. I questo caso s ha p p 6 ) (. X P Esempo 6 Calcolare la probabltà che effettuado 6 lac d due dad s ottega la somma 9 a volte; b almeo volte. Il successo sa d otteere come somma 9; calcolamo la probabltà d successo. Servedos del grafco rprodotto ella fgura 9, pag. 97, s deduce faclmete che cas possbl soo 6 e cas favorevol soo ; quest ultm soo dat dalle coppe (, 6) (, ) (, ) (6, ). Pertato la probabltà d successo è 9 6 p. a 6 9 p 6 9 8 9 6 ) (. X P b [ ] + < ) ( ) ( ) ( ) ( X P X P X P X P ( ) 67 7 9 9 8 9 6 9 8 9 6 6... + + Esempo 7 La probabltà d laurears d uo studete che s scrve all Uverstà è p. Calcolare la probabltà che su studet a essuo s laure; b uo s laure; c almeo uo s laure; d tutt s laureo. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo - Dstrbuzo d probabltà dscrete Il successo è che lo studete s laure; la varable aleatora X dca l umero d laureat. a p P ( X ) ( ) ( 6) 7776 b P ( X ) ( ) ( 6) 9 c P ( X ) P( X < ) P( X ) 7776 9 d P X ( ) ( 6) ( ) Esempo 8 La dtta produttrce sostee che el 6% degl mpat a paell solar stallat s è verfcata ua rduzoe d u terzo del costo della fattura dell eerga elettrca. Calcolare la probabltà che questa rduzoe s verfch a su stallazo; b almeo stallazo. a p 6 P ( X ) b p 6 ( 6) ( 6) 9 P( X ) ( 6) ( 6) 7776... P( X ) P( X ) + P( X ) 9 + 7776 7 Esempo 9 U test è costtuto da domade a rsposta multpla: c soo rsposte possbl per og domada, d cu ua sola esatta. Per superare l test occorre rspodere esattamete ad almeo 8 domade. Rspodedo a caso alle domade, qual è la probabltà d superare l test? La varable aleatora X dca l umero delle rsposte esatte. 8 p P( X 8) P( X 8) + P( X 9) + P( X ) 8 8 8 + 9 + 9 9 + + 8 % Esempo La probabltà che u appareccho subsca u certo tpo d guasto è p ; calcolare la probabltà che su 6 d tal apparecch a al pù s guasto; b almeo s guasto; c almeo s guasto. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 La varable aleatora X dca l umero de guast. 6 p p 9 a P ( X ) P( X ) + P( X ) + P( X ) 6 6 P( X ) ( ) ( 9)... 6 P( X ) ( ) ( 9) 76 6 P( X ) ( ) ( 9) 6... P( X ) + 76 + 6 97 b P ( X ) P( X < ) [ P( X ) + P( X ) ] 76 89 c P ( X ) P( X < ) P( X < ) P( X ) + P( X ) + P( X ) + P( X ) 6 P( X ) P( X ) ( ) ( 9) 9 ( + 76 + 6 + 9) 7 Esempo Determare la probabltà che lacado volte ua moeta s verfch a volte T; b volte C e ua volta T; c almeo ua volta T; d al pù ua volta C. La varable aleatora X dca l umero d teste. p a P ( X ) ( ) ( ).. 8 b P ( X ) ( ) ( ).. 8 c P ( X ) P( X ) + P( X ) + P( X ) 7 + ( ) ( ) + 8.. 8 8 d P (al pù C) P(essua C) + P(C) P ( X ) + P( X ) + 8 8 Esempo Determare la probabltà che lac d u dado l umero esca a volte; b al pù ua volta; c almeo volte. La varable aleatora dca l umero d volte che esce. p 6 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo - Dstrbuzo d probabltà dscrete a P( X ) 68 6 6 b P ( X ) P( X ) + P( X ) 88 + 6 6 6 6 c P ( X ) P( X < ) P( X ) 88 96 Esempo Determare la probabltà che ua famgla co fgl c sa a almeo u mascho; b almeo u mascho e ua femma. c Su famgle co fgl cascua, quate famgle hao meda almeo u fglo mascho? E quate famgle hao meda due masch? S suppoga che le probabltà d ascta d u mascho e d ua femma sao ugual. La varable aleatora X dca l umero de masch e p è la probabltà d ascta d u mascho. p a P ( X ) P( X ) + P( X ) + P( X ) + P( X ) La probabltà P( X ) P( X ) P( X ) P( X ) ( ) ( ) P( X ) ( ) ( ) ( ) ( ) P( X ) ( ) ( ) + + + 8 6 6 può ache essere calcolata pù brevemete come segue P ( X ) P( X < ) P( X ) ( ) ( ).. 6 6 b P(almeo u M e ua F) [P(essu M)+P(essua F)] 7 P (almeo u M e ua F) [ P( X ) + P( X ) ] 6 6 8 c Rcordamo rsultat trovat al puto a P ( X ) P( X ). 6 8 Il umero medo d famgle co almeo u mascho è N 87 6 Il umero medo d famgle co due masch è N 7 8 Esempo Se l % de chp d memora prodott da ua maccha soo dfettos, determare la probabltà che su chp scelt a caso a sa dfettoso; b essuo sa dfettoso; c meo d sao dfettos. Calcolare la meda e la devazoe stadard del umero d chp dfettos su u totale d chp. 8 6 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9 La varable aleatora X dca l umero d chp dfettos. p a P ( X ) ( ) ( 9) 7 b P ( X ) ( ) ( 9) 8 c P ( X < ) P( X ) + P( X ) 7 + 8 986 d p μ p σ p( p) 9 9 σ 9.6 Esempo Data ua dstrbuzoe bomale co 9 e σ 9, rcavare possbl valor d p; per cascu valore d p calcolare P( X ). Per la propretà, s ha ( p) σ p 8 ( p) 9 p 8 8 p p + 9 I possbl valor d p soo p. p 9. Per 9 e p s ha 9 P ( X ) 9 Per 9 e p 9 s ha 9 P ( X ) 9 ( ) ( ) 7 ( ) ( ) 867 Esempo 6 La varable aleatora X ha dstrbuzoe bomale ed è tale che σ μ μ Trovare valor d e p. Per la propretà s ha Rsolvedo l sstema s trova σ p ( p) μ p ( p) p. p p. 7.. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Dstrbuzo d probabltà dscrete. Uso delle tavole della dstrbuzoe bomale Il calcolo de valor della dstrbuzoe bomale può essere lugo, specalmete per valor d o pccol; tal cas, se o s dspoe d u opportuo software statstco, s possoo usare delle tavole d approssmazoe umerca che agevolao l calcolo. Soo dspobl delle tavole della fuzoe d dstrbuzoe B(;, p), per valor d da a e per p,,,...,9, che rportamo ell'appedce A. Soo state tabulate le fuzo d dstrbuzoe B(;, p), azché le dstrbuzo d probabltà b(;, p), perché soo pù frequetemete utlzzate elle applcazo statstche. Per l uso delle tavole soo utl le relazo (.), (.6), (.7), (.8), elecate ella propretà. I partcolare per rcavare valor d b(;, p) s utlzza la relazoe (.8), che può ache essere scrtta ella seguete forma b( ;, p) B( ;, p) B( ;, p) Le tavole o possoo forre valor della fuzoe d dstrbuzoe per og combazoe d valor d e p ( motv soo evdet); se l valore d p o è reperble sulle tavole, è preferble calcolare la probabltà drettamete co la formula, azché rcorrere ad u approssmazoe (otteble terpolado sulle tavole), perché l valore approssmato potrebbe essere poco accurato. I cas d questo tpo può essere utle la relazoe d rcorreza che verrà trattata el.. Esempo 7 Rpredamo l esempo ; co l uso delle tavole s ottee a P ( X ) B(;6, ) 97 b P ( X ) P( X < ) P( X ) B (;6, ) 88 89 c P ( X ) P( X < ) P( X < ) P( X ) B(;6, ) 99 P( X ) 99 7 d P ( X ) b(;6, ) B(;6, ) B(;6, ). 99 97 9 Esempo 8 Se la probabltà che ua persoa o gradsca l gusto d u uovo detfrco è p, qual è la probabltà che su 8 persoe scelte a caso o lo gradscao? La varable X dca l umero d persoe che o gradscoo l uovo gusto. Co l uso delle tavole s ottee 8 p P( X ) B(;8, ) B(;8, ) 867 76 7 Esempo 9 Suppoamo che l 7% degl cdet sul lavoro u azeda possao essere evtat co l rgoroso rspetto delle orme d scurezza; trovare le probabltà che possao essere evtat a meo d 6 cdet su ; b cdet su. La varable aleatora X dca l umero d cdet. Utlzzado le tavole s ottee a p 7 P ( X ) B(;, 7) 8 b p 7 P ( X ) b(;, 7) B(;, 7) B(;, 7). 769 87 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Esempo Ua varable aleatora X ha dstrbuzoe bomale co meda μ e varaza σ.; calcolare la probabltà P( X ). Per la propretà s ha μ p p σ p( p) p ( p ). Rsolvedo questo sstema s trova p 7 Sulle tavole s trova P ( X ) P( X ) 77 77. Relazoe d rcorreza per la dstrbuzoe bomale I cert cas s devoo calcolare valor della dstrbuzoe bomale per > e/o per valor d p che o compaoo sulle tavole. Per valor d suffcetemete grad s può usare la dstrbuzoe ormale per approssmare la dstrbuzoe bomale, come vedremo el captolo ; tal caso s usao le tavole della dstrbuzoe ormale e questo modo d procedere è pù veloce e meo ooso del calcolo delle probabltà drettamete co la dstrbuzoe bomale. Se però l valore d o è suffcetemete grade per poter usare l approssmazoe co la dstrbuzoe ormale, e se l valore d p o compare sulle tavole, allora s può usare ua relazoe d rcorreza che agevola calcol. Questa relazoe è partcolarmete utle se s devoo calcolare molt valor delle probabltà co la dstrbuzoe bomale per gl stess valor d e p. S dmostra che vale la relazoe seguete. Propretà Relazoe d rcorreza per la bomale p P ( X + ) P( X ) (.9) + p Usado questa relazoe, dopo aver calcolato P ( X ), le probabltà P ( X ), P( X ), possoo essere faclmete otteute seza dover fare lugh calcol covolget coeffcet bomal (vedere esemp e ).. Rappresetazoe grafca della dstrbuzoe bomale La dstrbuzoe bomale vee rappresetata grafcamete per mezzo d u stogramma o d u dagramma a barre. La forma della dstrbuzoe dpede dal valore della probabltà d successo p. Nel caso p, è ache p : cò sgfca che l successo e l successo soo ugualmete probabl; da questo segue che la probabltà d avere ad esempo success (e qud success) è uguale alla probabltà d avere success (e qud success): l stogramma della dstrbuzoe è qud smmetrco (fgura, paga seguete). Se vece p < oppure p >, l stogramma è asmmetrco; el prmo caso l asmmetra è postva, la dstrbuzoe è oblqua a destra (fgura ), el secodo caso l asmmetra è egatva, la dstrbuzoe è oblqua a sstra (fgura ). Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Dstrbuzo d probabltà dscrete Dstrbuzoe bomale p Dstrbuzoe bomale p f() f() Fgura 6 8 Dstrbuzoe bomale p Dstrbuzoe bomale p f() f() 6 7 8 9 Fgura Dstrbuzoe bomale p 8 Dstrbuzoe bomale p 8 f() f() - 6 Fgura 6 7 8 9 Esempo S effettuao 6 lac d ua moeta; studare la dstrbuzoe d probabltà della varable aleatora bomale X umero d teste T uscte e 6 lac. Il successo è dato dall'uscta T e la probabltà d successo è p. Calcolamo co la formula della dstrbuzoe bomale la probabltà d otteere volte l'uscta T 6 P( X ) 6 6 Applcado la formula d rcorreza (.9) s calcolao gl altr valor delle probabltà. 6 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 6 P( X ) P( X ) 6 6 97 P( X ) 97 P( X ) P ( X ) P( X ) 97 P( X 6) 6 Quest valor potrebbero essere cercat drettamete sulle tavole, dove compare sa l valore 6 che p. Il grafco della dstrbuzoe d probabltà è rappresetato dal seguete stogramma (fgura ); s ot la smmetra, dovuta al fatto che p. Data la smmetra, o è ecessaro rpetere l calcolo degl ultm tre valor delle probabltà P ( X ), P( X ), P( X 6), che soo rspettvamete ugual a quell gà calcolat P ( X ), P( X ), P( X ). f() 6 Esempo S effettuao lac d u dado. a Studare la dstrbuzoe d probabltà della varable aleatora bomale X umero d uscte del umero. b Studare la dstrbuzoe d probabltà della varable aleatora bomale X umero d uscte d u umero dverso da. a Il successo è dato dall'uscta del umero e la probabltà d successo è p 6 (questo valore o compare sulle tavole). Calcolamo co la formula della dstrbuzoe bomale la probabltà d otteere volte l'uscta del umero, e rcavamo gl altr valor delle probabltà co la formula d rcorreza (.9). P ( X ) 6 6 6 6 P( X ) 6. 6 9 P( X ) 97 8 P( X ) 97. 7 P( X )... Fgura Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Dstrbuzo d probabltà dscrete Il grafco della dstrbuzoe d probabltà è rappresetato dal seguete stogramma; s ot l'asmmetra postva del grafco, la dstrbuzoe è oblqua verso destra. f() 6 7 8 9 Fgura b Le probabltà d otteere u umero dverso da s rcavao per smmetra da valor otteut al puto a: fatt questo caso l successo, l'uscta d u umero dverso da, cocde co l successo del caso precedete, l uscta del umero ; qud s ha... P( X 6) P( X 7). P( X 8) 97 P( X 9) P( X ) 6. Il grafco della dstrbuzoe d probabltà è rappresetato dal seguete stogramma; s ot l'asmmetra egatva del grafco, la dstrbuzoe è oblqua verso sstra. f() - - 6 7 8 9 Fgura 6. Dstrbuzoe d Posso V soo feome cu determat evet, co rfermeto a u certo tervallo d tempo o d spazo, accadoo raramete: l umero d evet che s verfcao quell tervallo vara da a, e o è determable a pror. Ad esempo, l umero d automobl che trastao ua strada poco frequetata u tervallo d tempo d mut scelto a caso, può essere cosderato u eveto raro; aalogamete soo evet rar l umero d fortu sul lavoro che accadoo ua azeda ua settmaa o l umero d error d stampa preset ua paga d u lbro. Nello studo degl evet rar, come quell degl esemp ctat, è fodametale l rfermeto a uo specfco tervallo d tempo o d spazo. Per lo studo d evet rar del tpo d quell descrtt s utlzza la dstrbuzoe d probabltà d Posso, così chamata oore del matematco fracese Smeo Des Posso (78-8), che per prmo rcavò la dstrbuzoe; questa dstrbuzoe è molto usata come modello d probabltà Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca bologa e medca. La dstrbuzoe d Posso è usata come modello e cas cu gl evet o realzzazo d u processo, dstrbut a caso ello spazo o el tempo, soo de cotegg, ovvero delle varabl dscrete. La dstrbuzoe bomale è basata su u seme d potes che defscoo le prove beroullae; lo stesso accade per la dstrbuzoe d Posso. Le seguet codzo descrvoo l così detto processo d Posso: le realzzazo degl evet soo dpedet: l verfcars d u eveto u tervallo d tempo o d spazo o ha alcu effetto sulla probabltà d verfcars dell eveto ua secoda volta ello stesso, o u altro, tervallo; la probabltà d ua sgola realzzazoe dell eveto u dato tervallo è proporzoale alla lughezza dell tervallo; og parte arbtraramete pccola dell tervallo, la probabltà che l eveto s verfch pù d ua volta è trascurable. Sa X la varable aleatora che dca l umero d volte cu s verfca u eveto raro u dato tervallo d tempo o d spazo, ossa l umero d success; la varable X può assumere valor,,,... S dmostra l seguete rsultato. Teorema La probabltà che la varable aleatora X assuma l valore è data dalla dstrbuzoe d probabltà d Posso λ e λ f ( ) P( X ) per,,,... (.)! dove l parametro λ > dca l umero medo d realzzazo dell eveto ell tervallo assegato. Ua varable aleatora che ammette questa dstrbuzoe è detta varable aleatora d Posso co parametro λ. La dstrbuzoe d Posso vee ache dcata co l smbolo f ( ; λ) ; la corrspodete fuzoe d dstrbuzoe d Posso è data da F( ) P( X ) e vee ache dcata co l smbolo F ( ; λ). S dmostra la seguete propretà. λ k e λ k! k Propretà Il valor medo e la varaza della dstrbuzoe d Posso d parametro λ soo dat da μ λ σ λ (.) Ua mportate dffereza tra la dstrbuzoe d Posso e la bomale rguarda umer d prove e d success: per ua dstrbuzoe bomale l umero d prove è fto e l umero d success o può superare ; per ua dstrbuzoe d Posso l umero d prove è essezalmete fto e l umero d success può essere ftamete grade, ache se la probabltà d avere success dveta molto pccola al crescere d. Per l calcolo della dstrbuzoe d Posso soo utl le relazo elecate ella propretà, valde ache per questa dstrbuzoe dscreta. La dstrbuzoe d Posso ha molte applcazo var ambt dvers, perché può essere usata per approssmare ua dstrbuzoe bomale d parametr e p, quado l umero d prove è grade e la probabltà d successo p è pccola, ossa s tratta d u eveto raro. Per dmostrare questo, dchamo co X ua varable aleatora avete dstrbuzoe bomale co parametr e p, co grade e p pccola, e sa λ p ; s ha Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo - Dstrbuzo d probabltà dscrete ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )...... p p p p p ;, b λ λ λ λ + λ λ!!!!!!!! ) ( Per, s ha λ λ e lm... lm qud! ) ( e p ;, lm b λ λ ossa la dstrbuzoe d Posso è l lmte per, e co p λ, della dstrbuzoe bomale d parametr e p. Da questo segue che, quado l umero d prove è grade e la probabltà d successo p è pccola, la dstrbuzoe bomale può essere approssmata co la dstrbuzoe d Posso avete meda λ p (vedere.9). Esempo Dalle statstche degl ultm a, u'azeda ha calcolato che og goro soo asset meda.8 opera. Calcolare la probabltà che u goro qualsas c sao opera asset cotemporaeamete. Il umero medo d asset goraler è pccolo, percò s può usare la dstrbuzoe d Posso co parametro λ.8; s trova 67! ( 8) ) ( 8.. e X P. Esempo Ad u servzo d guarda medca arrvao meda. rcheste og ora d tervet urget a domclo. a Calcolare la probabltà che ua stessa ora arrvo,, chamate urget. b Calcolare la probabltà che ua stessa ora arrv u umero d chamate compreso fra e. c Calcolare la probabltà che ua stessa ora arrv u umero d chamate maggore d. a Le probabltà possoo essere calcolate co la dstrbuzoe d Posso, co parametro λ.; s ha ( ) ( ) 888! ) ( 8! ) (.. e X P.. e X P.. ( )! ) (.. e X P. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 b P ( X ) P( X ) + P( X ) + P( X ). 8 + 888 + 68 c P ( X > ) P( X ) [ P( X ) + P( X ) + P( X ) + P( X ) ]. ( ). e. e (. ) e. + e.. + ( + 7 + 8 + 8) 6 Esempo U lbro d page cotee error d stampa. Qual è la probabltà d trovare almeo error su ua paga aperta a caso? Il umero medo d error su ua paga è λ ; co la dstrbuzoe d Posso s ha P( X ) P( X ) P( X ) + P( X ) + P( X ) e + e +! [ ] + e 9998.6 Uso delle tavole della dstrbuzoe d Posso Poché la dstrbuzoe d Posso ha molte mportat applcazo, soo dspobl delle tavole, rportate ell'appedce A, che forscoo l valore della fuzoe d dstrbuzoe F( ; λ ) P( X ) per var valor d λ, varabl fra e. Per l calcolo della dstrbuzoe d probabltà f ( ; λ) co l'uso delle tavole, è utle l'dettà f ( ; λ) F( ; λ) F( ; λ) (s rcord la propretà (.8)). Esempo 6 La varable aleatora X ha la dstrbuzoe d probabltà d Posso co valor medo λ. Calcolare le probabltà a P( < X < 7) b P( < X 7) c P( X > ) d P( X ) Co l uso delle tavole s ha a P ( < X < 7) P( X 6) P( X ) 99 97 8 b P ( < X 7) P( X 7) P( X ) 9989 87 8 c P ( X > ) P( X ) 87 9 d P ( X ) P( X ) P( X ) 98 97 6 Esempo 7 Data la varable aleatora X avete dstrbuzoe d Posso, trovare l valor medo λ, sapedo che a P ( X ) 9896 b P ( X > ) 7. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo - Dstrbuzo d probabltà dscrete Leggedo le tavole modo cotraro s trova a P ( X ) 9896 λ.8 b P ( X > ) 7 P( X ) P ( X ) 7 97 λ..7 Relazoe d rcorreza per la dstrbuzoe d Posso I alcu cas è rchesto d calcolare pù valor della dstrbuzoe d Posso per lo stesso valor medo μ λ o presete sulle tavole. Se λ è grade (λ ), la dstrbuzoe d Posso può essere approssmata dalla dstrbuzoe ormale, come s vedrà el captolo ; altrmet può essere utle la seguete relazoe d rcorreza, smle a quella valda per la dstrbuzoe bomale. Propretà Relazoe d rcorreza per la dstrbuzoe d Posso λ P ( X + ) P( X ) (.) + Co questa relazoe, partedo da probabltà P ( X ), P( X ),. P ( X ) e λ, s possoo calcolare successvamete le Esempo 8 La varable aleatora X ha la dstrbuzoe d probabltà d Posso co valor medo λ.. Calcolare P ( X ), P ( X ), P ( X ), P ( X ), P ( X ), P ( X )... Usado la relazoe d rcorreza s ha P( X ) e. P( X ). P( X ). 7.. P( X ) P( X ) 7 8.. P( X ) P( X ) 8 8.. P( X ) P( X ) 8 888.. P( X ) P( X ) 888....8 Rappresetazoe grafca della dstrbuzoe d Posso Ache la dstrbuzoe d Posso vee rappresetata grafcamete co u stogramma o co u dagramma a barre. Al crescere d λ l grafco preseta u aspetto maggormete smmetrco, come s può osservare da grafc della fgura 7, pag. seguete, dove soo rappresetate alcue dstrbuzo d Posso per valor crescet d λ; s ot che dagramm soo trocat dopo u opportuo valore d perché, ache se la varable X può assumere valor maggor, le corrspodet probabltà soo molto basse. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9 7 6 λ λ f() f() λ 8 6 λ f() f() 8 6 6 7 6 7 8 9 λ 8 9 8 λ 6 7 f() f() 6 6 7 8 9 6 7 6 8 6 8 6 8 Fgura 7 Esempo 9 La probabltà che u oggetto prodotto da ua maccha sa dfettoso è p ; calcolare le probabltà che u campoe d oggett scelt a caso, c sao,,,..., oggett dfettos usado la dstrbuzoe bomale e la dstrbuzoe d Posso, e cofrotare su u grafco rsultat otteut. Co l uso delle tavole s ottegoo seguet valor delle probabltà. a Dstrbuzoe bomale p(dfettoso)... b Dstrbuzoe d Posso P( X ) 969 P( X ) 969 7 P( X ) 8 79 P( X ) 9 8 98 P( X ) p(dfettoso) λ p. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Dstrbuzo d probabltà dscrete P( X P( X P( X... ) 78 7 ) 888 78 ) 9 888 6 I rsultat soo post a cofroto ella fgura 8 f() 6 7 8 9 Fgura 8 Sa dal cofroto de rsultat umerc che da grafc s osserva che la dstrbuzoe d Posso approssma modo o troppo precso valor trovat co la bomale; cò è dovuto al fatto che valor d e p o soddsfao la regola pratca suggerta per usare tale approssmazoe co rsultat soddsfacet..9 Approssmazoe della dstrbuzoe bomale co la dstrbuzoe d Posso Come gà detto (.), quado l umero d prove è grade e la probabltà d successo p è pccola, la dstrbuzoe bomale può essere approssmata co la dstrbuzoe d Posso avete meda λ p. Ua regola pratca accettable è d usare questa approssmazoe se e p. La regola comuque o è rgda: s può dre che pù è pccola la probabltà p, mglore è l approssmazoe, e aalogamete pù è grade, mglore è l approssmazoe (vedere esempo ). Gl esemp che seguoo llustrao l'uso della dstrbuzoe d Posso per approssmare la dstrbuzoe bomale. Esempo Se l % delle lampade costrute da ua fabbrca soo dfettose, trovare la probabltà che u campoe d lampade sao dfettose usado a la dstrbuzoe bomale; b la dstrbuzoe d Posso. a Sosttuedo, e p ella formula della dstrbuzoe bomale s ottee 98 P ( X ) ( ) ( 97) b Sosttuedo e λ p ella formula della dstrbuzoe d Posso, s ottee e P ( X )! Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Esempo Se la probabltà che ua persoa sa allergca a u dato farmaco è p, determare le probabltà che su persoe a meo d sao allergche; a sao allergche; b pù d sao allergche. La varable X umero delle persoe allergche è ua varable aleatora co dstrbuzoe bomale, ma, poché u caso d allerga è u eveto raro, s può supporre che X segua la dstrbuzoe d Posso. S ha a p λ p e P ( X < ) P( X ) + P( X ) e + e 6! e b P ( X ) 8! P ( X > ) P( X ) P( X ) + P( X ) + P( X ) c [ ] e e e + + e!! Il calcolo della probabltà co la dstrbuzoe bomale è molto pù laboroso; fatt co la dstrbuzoe bomale al puto c s dovrebbe calcolare la quattà seguete c P ( X > ) P( X ) [ P( X ) + P( X ) + P( X ) ] + ( ) ( 999) + ( ) ( 999) ( ) ( ) 998 999 Esempo U allevatore d galle per la produzoe d uova ha acqustato 9 pulc. Il vedtore dchara che, essedo stat selezoat accuratamete, solo u pulco su potrà rsultare u mascho. Calcolare la probabltà che l'allevatore, quado pulc sarao adult, s rtrov a 7 gall e 89 galle; b meo d gall; c pù d gall; d tutte galle. Co le tavole della dstrbuzoe d Posso s trova 9 a 9 p(mascho) λ p 6 P ( X 7) P( X 7) P( X 6) 7 66 77 b P ( X < ) P( X ) c P ( X > ) P( X ) 8 79 6 d P ( X ) e I quest'ultmo caso la probabltà è molto bassa, percò o l'allevatore è stato molto fortuato, oppure l vedtore ha fatto u'affermazoe falsa. 999 + Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Dstrbuzo d probabltà dscrete Esempo Sa data la varable aleatora X avete dstrbuzoe bomale co parametr e p; usare la dstrbuzoe d Posso per approssmare le probabltà e seguet cas a dat e p, calcolare P(X ) e P(X ); b dat e p, calcolare P(X ) e P(X < ); c dat e p, calcolare P( X 6). Co l'uso delle tavole della dstrbuzoe d Posso s ottee a p λ p P( X ) P( X ) P( X < ) P( X ) 8 769 b p λ p P( X ) P( X < ) P( X ) 6 9 P( X < ) P( X ) 87 c p λ p P ( X 6) P( X 6) P( X ) 76 7 67 Co la dstrbuzoe bomale, effettuado calcol co u software statstco, s ottegoo valor a P ( X ) P( X ) 777 b P ( X ) 967 P( X < ) 89 c P ( X 6) 66 I valor e cas a e c soo u po meo accurat, rspetto al caso b: s rcord la regola pratca per l uso dell approssmazoe ( e p ). Esempo Ua compaga d asscurazo ha 8 asscurat; se la probabltà che oguo degl asscurat deuc almeo u cdete all'ao è p, trovare le probabltà che,,,,,... asscurat deuco almeo u cdete all'ao. La dstrbuzoe bomale o può essere usata per evdet motv pratc; s può usare vece la dstrbuzoe d Posso. S ha 8 p λ 8. e co le tavole della dstrbuzoe d Posso s trova f (;. ) F(;. ) 8 f (;. ) F(;. ) F(;. ) 7 8 f (;. ) F(;. ) F(;. ) 799 7 87... Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca. Dstrbuzo d probabltà cotue Fra le destà d probabltà cotue, la pù mportate è la destà d probabltà ormale, d solto detta semplcemete dstrbuzoe ormale o ache dstrbuzoe d Gauss, oore del matematco Carl Fredrch Gauss (777-8), che dede mportat cotrbut allo studo d questa dstrbuzoe. La dstrbuzoe è ache ota come legge degl error, quato essa descrve partcolare la dstrbuzoe degl error casual relatv a successve msure d ua quattà fsca (vedere.). La dstrbuzoe ormale è mportate statstca per tre motv fodametal: dvers feome cotu seguoo, almeo approssmatvamete, ua dstrbuzoe ormale; la dstrbuzoe ormale può essere utlzzata per approssmare umerose dstrbuzo d probabltà dscrete; la dstrbuzoe ormale è alla base dell fereza statstca, vrtù del teorema del lmte cetrale, che sarà dscusso el captolo 6.. Dstrbuzoe ormale o d Gauss Defzoe La destà d probabltà ormale, o dstrbuzoe ormale o d Gauss, è defta dalla fuzoe f ( ) e σ π d parametr μ e σ, co σ > μ σ < < S dmostra che μ e σ soo rspettvamete l valor medo e lo scarto quadratco medo della varable aleatora X dstrbuta secodo la dstrbuzoe ormale. Le caratterstche pù mportat della dstrbuzoe ormale soo le seguet. La fuzoe f () è defta su tutto l'asse reale e assume valor sempre postv; è smmetrca rspetto alla retta μ, coè rspetto al valor medo della dstrbuzoe. La moda e la medaa cocdoo co l valor medo. Il valore massmo della fuzoe vee assuto el puto d ascssa μ ed è y ma ; questo σ π valore è percò versamete proporzoale a σ. Lo scarto quadratco medo σ è uguale alla dstaza de put d flesso da μ, ossa put d flesso hao ascssa rspettvamete μ σ e μ + σ. La dstrbuzoe ormale ha ua forma a campaa, l grafco d f () è del tpo llustrato ella fgura. f() (.) μ Fgura Poché la curva rappreseta l'adameto della fuzoe d destà d ua varable aleatora, l valore d tutta l'area sottesa da tale curva è uguale a. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Dstrbuzo d probabltà cotue La dstrbuzoe ormale è completamete dvduata da parametr μ e σ, ossa corrspodeza d og valore d μ e σ rmae specfcata ua dversa curva ormale apparteete alla famgla rappresetata dall equazoe (.). Nella fgura s rportao grafc della dstrbuzoe ormale per u dato valore d μ e per dvers valor d σ: a partà d valor medo le varazo della forma caratterstca a campaa della curva dpedoo essezalmete dal valore dello scarto quadratco medo, che dà formazo su come valor soo pù o meo cocetrat toro alla meda: fatt facedo varare σ s ottegoo curve pù o meo appattte (vedere ache l esempo e la fgura ). Nella fgura s rportao vece grafc della dstrbuzoe ormale per u dato valore d σ e per dvers valor d μ: questo caso le varazo del valore d μ comportao solo ua traslazoe della curva. 8 μ σ 6 σ f() f() μ σ μ σ μ - - 6 - - 6 Fgura Fgura La fuzoe d dstrbuzoe o fuzoe d rpartzoe ormale è data da F( ) P σ π ( ) σ X e dt < < t μ (.) Nella fgura s rporta l grafco della fuzoe d dstrbuzoe F() per μ e σ μ σ 8 F() 6 - - 6 Fgura. Dstrbuzoe ormale stadardzzata Come gà osservato, la dstrbuzoe ormale è ua famgla d dstrbuzo cu og membro è dstto dall altro base a valor d μ e σ. La curva pù mportate della famgla è la dstrbuzoe ormale stadardzzata. Per rcavare questa dstrbuzoe, data la varable aleatora X dstrbuta ormalmete co meda μ e varaza σ, s passa alla uova varable aleatora Z, detta varable stadardzzata, poedo Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca μ Z X. σ La trasformazoe operata fa modo che la meda d Z sa e la varaza. La dstrbuzoe d probabltà della varable ormale stadardzzata Z è data da z f ( z) e π < z < (.) La fuzoe d dstrbuzoe o d rpartzoe della varable ormale stadardzzata Z è data da z t F( z) P π ( Z z) e dt < z < (.) I grafc della dstrbuzoe ormale stadardzzata F(z) soo rportat elle fgure e 6. f (z) e della relatva fuzoe d dstrbuzoe Dstrbuzoe ormale stadardzzata Fuzoe d rpartzoe ormale stadardzzata 8 6 f(z) F(z) - - - - z - - - - z Fgura Fgura 6 Ne grafc della fgura 7, rproducet la dstrbuzoe ormale stadardzzata, dchamo le aree comprese rspettvamete tra e, tra e e tra e, par al 68.7%, al 9.% e al 99.7% dell'area totale, che è. Questo sgfca che P( < Z < ) 687 68. % P( < Z < ) 9 9. % P( < Z < ) 997 99. 7% P(-<Z<) 68.% P(-<Z<) 9.% P(-<Z<) 99.7% f(z) f(z) f(z) - - - - z - - - - z - - - - z Fgura 7 S rcord l osservazoe, pag. : per le varabl aleatore cotue usare l sego < o l sego è dfferete. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo - Dstrbuzo d probabltà cotue Teedo coto che per la varable ormale stadardzzata lo scarto quadratco medo è uguale a, dal prmo grafco della fgura 7 s deduce sostazalmete che ua varable aleatora dstrbuta ormalmete ha probabltà del 68.% d dscostars dalla meda per meo d σ; aalogamete dal secodo e dal terzo grafco s deduce che ua varable aleatora ormale ha probabltà del 9.% d dscostars dalla meda per meo d σ e del 99.7% per meo d σ, coè è quas mpossble che s dscost dalla meda per pù d σ P( μ σ < X < μ + σ ) 68. % P( μ σ < X < μ + σ ) 9. % P( μ σ < X < μ + σ ) 99. 7%. Alcue applcazo della dstrbuzoe ormale Dopo aver trodotto da u puto d vsta matematco la dstrbuzoe ormale e le sue propretà elemetar, llustramo alcu esemp e qual la dstrbuzoe ormale vee utlzzata come modello probablstco. Curva degl error casual ella msurazoe d ua gradezza fsca. La msura, affetta da errore, d ua qualuque gradezza fsca può essere vsta come la somma del valore esatto della gradezza (che sarà u umero, costate) e dell errore d msurazoe, che è ua varable aleatora, quato msure dverse forscoo geerale valor dvers. La varable aleatora X errore d msurazoe ha come tpca destà d probabltà ua curva a campaa: l errore può essere per eccesso o per dfetto, percò X può assumere valor postv o egatv, modo smmetrco; l errore sarà geere abbastaza pccolo, qud la curva sarà rapdamete decrescete. Il fatto che, tra le fte curve co questa propretà, la ormale rappreset bee questo tpo d error fu messo evdeza da Gauss. Se gl error hao meda ulla, s dce che c è solo errore casuale. Pù grade è σ, maggore sarà l accuratezza della msura. Se po l valor medo μ o è ullo, s dce che samo ache preseza d u errore sstematco μ che s somma all errore casuale. Pù grade è μ, maggore è l mprecsoe della msura. S osserv che l errore sstematco è ua costate, metre l errore casuale è ua varable aleatora. Dstrbuzoe d ua caratterstca quattatva d ua popolazoe, che preseta oscllazo casual attoro a ua meda. Molte gradezze atropometrche, come la statura, l peso, ecc., all tero d ua popolazoe omogeea (ad esempo adult, masch, femme, ) soo rappresetabl da ua dstrbuzoe gaussaa. Il valor medo μ della dstrbuzoe è l valor medo della gradezza ella popolazoe esame; la varaza σ è ragoevolmete pccola, se la popolazoe è stata scelta modo omogeeo. Ache altre msure d tpo fsologco e bologco hao u comportameto del tpo qu descrtto. Dmesoe effettva d oggett prodott sere, che s cerca d produrre modo detco. Ad esempo ua dtta produce cofezo d bscott che devoo avere l peso d g; l peso effettvo può essere rappresetato da ua varable aleatora ormale d valor medo μ g e varaza pù pccola possble. I tre tp d esemp dscuss soo sml, ma o ugual. Nel prmo caso la varabltà è elle msure che s fao d ua gradezza fssata ua volta per tutte, ad esempo la massa d u oggetto che vee pesato tate volte; el secodo caso la varabltà è tra dvdu dvers preset atura, ad esempo l peso d persoe dverse; el terzo caso la varabltà è tra oggett dvers che vegoo prodott co l teto d otteerl ugual (per esempo l peso delle scatole d bscott). I tutt cas s terpreta la varabltà della gradezza, vededo l valore della varable aleatora X come l rsultato d var pccol cotrbut; ad esempo l errore el msurare ua lughezza è dovuto al cocorso d vare cause: accuratezza d ch esegue la msura, pccole varazo della lughezza dell oggetto o dello strumeto d msura, dovute a varazo d temperatura, e così va. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7. Uso delle tavole della dstrbuzoe ormale Poché la dstrbuzoe d probabltà f () d ua varable aleatora X dstrbuta ormalmete o può essere tegrata forma chusa fra gl estrem a e b d u tervallo, per l calcolo d f () e d F() s usao delle tavole. Tuttava, poché la (.) dvdua ua famgla d dstrbuzo, ed esstoo fte combazo de parametr μ e σ che dvduao ua curva della famgla, o è possble predsporre u umero fto, o almeo molto elevato, d tavole. S rcorre percò alla varable aleatora stadardzzata: è sempre possble trasformare ua dstrbuzoe ormale d parametr μ e σ ella corrspodete dstrbuzoe stadardzzata per mezzo del cambameto d varable μ Z X (.) σ La tavola rportata ell Appedce A forsce l valore della fuzoe d dstrbuzoe della varable aleatora stadardzzata Z F( z) P( Z z) ossa l valore dell area sottesa dalla curva ormale stadardzzata f (z), a sstra d u valore z assegato; l'area è rappresetata ella fgura 8 f(z) - - - - z Fgura 8 Valgoo alcue propretà utl per l uso delle tavole. Propretà P ( < Z < ) (.6) P ( < Z < ) P( < Z < ) F() (.7) P( Z z) F( z) F( z), z > (.8) P ( z z ( z Z ) P( Z z Z z ) F( z ) F( ) (.9) P ) (.) Esempo Calcolare, usado la tavola della dstrbuzoe ormale stadardzzata, la probabltà che ua varable aleatora Z avete la dstrbuzoe ormale stadardzzata assuma valor tal che S rcord l osservazoe, pag. : per le varabl aleatore cotue usare l sego < o l sego è dfferete; questa propretà sarà rpetutamete applcata egl esercz che seguoo. Nel calcolo d probabltà del tpo proposto questo esempo (e umeros altr esemp d tpo aalogo queste lezo), può essere molto utle traccare u grafco qualtatvo dell area da calcolare, come elle fgure della paga seguete. Spesso l grafco può suggersce la lettura corretta delle tavole, e può mettere rsalto evetual error: se ad esempo l area da calcolare è ua gra parte dell area sottesa dalla curva f (), c s attede che la probabltà sa prossma, e così va. I partcolare quest tp d calcolo è frequete commettere error d sego: otteere come rsultato ua probabltà egatva o maggore d dca seza alcu dubbo u qualche errore. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo - Dstrbuzo d probabltà cotue a. 87 Z. 8 (fgura 9) b. Z 6 (fgura ) c Z 8 (fgura ) d Z 6 (fgura ) a P ( 87 Z. 8) P( Z. 8) P( Z 87) F (. 8) F( 87) 8997 878 99 b P ( Z 6) F( 6) F( ) [ F( ) ] 7 + 6 6. 7. c P ( Z 8) P( Z 8) F( 8) 8 977 d P ( Z 6) P( Z 6) F( 6) 7 f(z) f(z) - - - - z - - - - z Fgura 9 Fgura f(z) f(z) - - - - z - - - - z Fgura Fgura Esempo Calcolare, usado la tavola della dstrbuzoe ormale stadardzzata, la probabltà che ua varable aleatora Z avete la dstrbuzoe ormale stadardzzata assuma valor tal che a < Z < b < Z < c Z >. a P ( < Z < ) F() F() 977 8 9 b P ( < Z < ) F() F( ) 977 [ F() ] 977 + 8 88 c P ( Z >. ) P( Z >. ) + P( Z <. ) F(. ) + F(. ) F (. ) + F(. ) F(. ) 889 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9 Se la varable aleatora o è stadardzzata, prma d poter usare le tavole s deve rcorrere al cambameto d varable (.) per stadardzzarla. Esempo Sa X ua varable aleatora avete dstrbuzoe ormale, co μ. e σ 9; trovare la probabltà P( X ) (fgura ). μ Co l cambameto d varable Z X s passa alla varable stadardzzata σ. X Z 9 9. X Z. 7 9 P( X ) P( 9 Z. ) F(. ) F( 9) 86 + F( 9) 867 7 6 f().... 6 6. Fgura Esempo L'altezza d u gruppo d ragazz è dstrbuta ormalmete co meda μ 7 cm e scarto quadratco medo σ cm. Calcolare la probabltà che u ragazzo scelto a caso abba ua statura superore a 9 cm. μ Co l cambameto d varable Z X s passa alla varable stadardzzata Z σ μ 7 σ X 9 9 7 Z. 7 P( Z >. 7) P( Z <. 7) F(. 7) 877. % Esempo Il dametro effettvo delle sfere d accao prodotte da ua dtta può essere cosderato ua varable aleatora ormale d meda μ. cm e scarto quadratco medo σ cm. a Calcolare la probabltà che l dametro d ua sfera scelta a caso sa compreso tra. e. cm. b Calcolare la stessa probabltà, suppoedo che lo scarto quadratco medo sa σ cm. μ Co l cambameto d varable Z X s passa alla varable stadardzzata Z. σ a μ. σ Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Dstrbuzo d probabltà cotue X. X. P.. Z.. Z (. X. ) P( Z ) [ P(Z ) ] ( 8 ) 686 68% b μ. σ X... Z X... Z P. X. P( Z ) P(Z ) ( ) [ ] ( 79 ) 86 6% S può osservare (fgura ) che aumetado la varaza, dmusce la probabltà che valor della varable aleatora avete dstrbuzoe ormale co meda μ. appartegao all tervallo (.,.). σ f()..6.8...6.8 σ Fgura Esempo 6 La quattà d radazo cosmche a cu è esposta ua persoa che attraversa aereo gl Stat Ut è ua varable aleatora avete la dstrbuzoe ormale co meda μ. mrem e devazoe stadard σ 9 mrem. Trovare la probabltà che la quattà d radazo cosmche a cu la persoa sarà esposta sa a tra. e. mrem; b pù d. mrem. μ Co l cambameto d varable Z X s passa alla varable stadardzzata σ a X... Z 9 9 X... Z. 9 P(. < X <. ) P( 9 < Z <. ) F(. ) F( 9) [ F( 9) ] 86 + 7 867 F(. ) b X... Z. 9 9 P ( X >. ) P( Z >. 9) F(. 9) 97 6 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Esempo 7 Il peso d certe cofezo almetar prodotte modo automatco è ua varable aleatora ormale X co meda μ g e devazoe stadard σ g. Calcolare la probabltà che ua cofezoe a pes meo d g; b pes pù d g; c abba u peso tra 7 g e g. μ Co l cambameto d varable Z X s passa alla varable stadardzzata σ a X Z. 67 P ( X < ) P( Z <. 67) F(. 67) 9 7 b μ P(X > ) c X 7 7 Z X Z P(7 < X < ) P( < Z < ) F() F( ) F() 8 686 Esempo 8 Il puteggo otteuto u test sul quozete d tellgeza è ua varable aleatora X avete dstrbuzoe ormale co meda μ e devazoe stadard σ. Trovare la probabltà che l puteggo otteuto da u caddato sa a more d 8; b maggore d ; c compreso fra e. μ Co l cambameto d varable Z X s passa alla varable stadardzzata σ 8 a X 8 Z. P ( X < 8) P( Z <. ) F(. ) 889 b X Z 8 P ( X > ) P( Z > 8) F( 8) 788 9 c P ( < X < ) P( < Z < 8) 788 88 Esempo 9 La lughezza d ua sbarretta costruta da ua maccha automatca è ua varable aleatora X dstrbuta ormalmete, co meda μ cm e varaza σ. Determare la probabltà d scartare ua sbarretta, se le dmeso accettabl delle sbarrette soo ± cm. Calcolamo la probabltà che la sbarretta abba dmeso accettabl P( 9.9 X ) Co l cambameto d varable μ σ 77 μ Z X s passa alla varable stadardzzata Z σ Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Dstrbuzo d probabltà cotue 9. 9 X 9. 9 Z 7 77 X Z 7 77 P P( 7 Z 7) F( 7) F( 7) ( 9. 9 X ) [ F( 7) ] % Pertato la probabltà d scartare ua sbarretta è P ( Z > 7) 778 8%. Trattado le varabl aleatore cotue, partcolare le varabl co dstrbuzoe ormale, capta spesso d dover rsolvere l problema verso a quello, gà esamato, del calcolo della probabltà P( X ), ovvero: assegato u valore (, ) determare u umero reale tale che P( X > ) ; altre parole è l valore per cu l area sottesa dalla dstrbuzoe f () a destra d è uguale a. Se la fuzoe d rpartzoe d X è strettamete crescete, allora è determato modo uco; questo è l caso che s verfca co le pù ote dstrbuzo cotue. Per la dstrbuzoe ormale stadardzzata, oltre alla tavola, che rporta la fuzoe d rpartzoe F(z), ell Appedce A è rportata la tavola, cu compaoo valor d z per qual P( Z z ) %, per alcu valor otevol d ; z è, come gà osservato, l valore per > l quale l area sottesa dalla dstrbuzoe f (z) a destra d z è uguale a. La tavola prede ache l ome d tavola de percetl della dstrbuzoe ormale stadardzzata. Da questa tabella s legge ad esempo che l valore d per l quale l % de valor d Z cade a destra d z è z (fgura ). z f(z) - - - - z Fgura Gl esemp seguet llustrao l modo d rsolvere questo tpo d problema co l utlzzo delle tavole e. Esempo La varable aleatora Z ha la dstrbuzoe ormale stadardzzata. Determare l valore d cu a P ( Z < z ) 99 b P ( Z > z ) 7 c P ( Z z ) 77 d P ( Z < z ) 76 e P ( z < Z <. 6) 786 a Dalla tavola s legge che P ( Z. 6) 99 z.6 <, qud z per Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca b S ha P ( Z z ) P( Z > z ) 7 77 < Leggedo la tavola s trova che P ( Z. 6) 77 c S ha z 6 P( Z z P( Z < z <, qud ) P( Z < z ) 877 Leggedo la tavola s trova che P ( Z. 6) 877 d S ha z.6 P( Z < z ) 77 <, qud ) P( z < Z < z ) P( < Z < z [ P( Z < z ) ] P( Z < z ) 76 Pertato + 76 P ( Z < z ) 788 Leggedo la tavola s trova che F(8) 788, qud z 8 e P ( z < Z <. 6) P( Z <. 6) P( Z < z ) 9 P( Z < z ) 786 P ( Z z ) 9 786 87 < Dato che P ( Z < z ) 87 <, segue che è a sstra dell orge; cerchamo allora l * puto z, smmetrco d z rspetto all orge P( Z < z P( Z > z ) P( Z > z ) P( Z < z P( Z < z ) 87 8 Leggedo la tavola s trova che F() 8, qud * z e z. * * * z ) 87 * ) 87 ) Esempo La varable aleatora Z ha la dstrbuzoe ormale stadardzzata. Trovare l valore a P( Z z ) % ; b P( Z z ) % ; c P ( z < Z < z ) 6. z tale che a Dalla tavola s rcava che l valore b Dalla tavola s rcava che l valore z per l quale P( Z z ) % è.6. z z z per l quale P( Z z ) % è.6. c P ( z < Z < z ) 6 P( < Z < z ) % P( Z z ) % % % Dalla tavola s rcava che z 8. Esempo La varable aleatora X ha la dstrbuzoe ormale co valor medo μ 9 e varaza σ 9; determare l valore tale che a P( X ) % ; > b P( X ) 9 9%. < Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo - Dstrbuzo d probabltà cotue a Passado alla varable ormale stadardzzata s ha 9 P( X > ) P Z > z % 7 Sulla tavola s trova 9 z 8 7 9 + 7 8. 89. 9 b La codzoe rchesta sgfca che l 9% dell area sottesa dalla curva ormale è a destra d, qud l % è a sstra. Passado alla varable ormale stadardzzata s ha Sulla tavola s trova P( X < P Z > z z 9 ) P Z < z 9 9% 7 9 % 7 9. 8 7 9 + 7. 8 7. 97 Esempo Ua maccha vee usata per taglare ass d lego; la lughezza meda è d m, ma l % degl ass taglat hao ua lughezza ferore a.9m. Assumedo che le lughezze degl ass taglat abbao ua dstrbuzoe ormale, determare la percetuale d ass pù lugh d.m. Sa X la varable aleatora che msura la lughezza; X è dstrbuta ormalmete co meda μ ; oltre s sa che P( X <. 9) %. S deve calcolare P ( X >. ) e per far questo occorre prma determare lo scarto quadratco medo σ. Passado alla varable aleatora stadardzzata s ha. 9. P( X <. 9) P Z < % σ. 9.. 9. P Z < P Z > % σ σ Sulla tavola s trova che. 9.. 8 σ. 8 σ σ 9. 8 Calcolamo ora P ( X >. ). Passado alla varable aleatora stadardzzata s ha.. X. Z. 6 9 P ( X >. ) P( Z >. 6) P( Z <. 6) 998. I altre parole la percetuale d ass pù lugh d.m è crca dello %. Esempo La varable aleatora X ha dstrbuzoe ormale co meda μ e varaza σ. E oto che l % de valor d X è maggore d 7. e che l % de valor è more d.7. Trovare l valor medo e la varaza. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Soo ote le probabltà P( X > 7. ) % P( X <. 7) %. Stadardzzado la varable e usado la tabella s trova. P X. P Z 7 μ ( > 7 ) > % σ 7. μ. 8. σ. 7 μ P( X <. 7) P Z < % σ. 7 μ P Z > % σ. 7 μ 67. σ Rsolvedo l sstema seguete s determao valor d μ e σ 7. μ. 8 σ. 7 μ 67 σ μ. σ. 7 Esempo La varable aleatora X ha dstrbuzoe ormale co meda μ e varaza σ. E oto che P ( X > 9) 99 P( X < ) 78 Calcolare P( X > ). Calcolamo dapprma valor d μ e σ. P( X > 9) P( X < 9) 99 P( X < 9) 99 88 Stadardzzado la varable s ha 9 μ 9 μ P Z < 88 < < σ σ 9 μ 9 μ 9 μ P Z < P Z > P Z < 88 σ σ σ 9 μ P Z < 88 99 σ μ P ( X < ) P Z < 78 σ Usado la tavola s ha 9 μ. σ μ 7 σ μ σ. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo - Dstrbuzo d probabltà cotue Usado la tavola s calcola P( X > ) 7 P ( X > ) P Z > P Z > P( Z < ) 668. Relazoe tra la dstrbuzoe bomale e la dstrbuzoe ormale Sa X la varable aleatora che forsce l umero d success prove beroullae e p la probabltà d successo; quado l umero delle prove è grade, l calcolo co la dstrbuzoe bomale è molto lugo. I tal caso è possble utlzzare la dstrbuzoe ormale per approssmare la dstrbuzoe bomale. S può dmostrare che, quado è grade e p è vco a, la dstrbuzoe bomale della varable aleatora X può essere approssmata da ua dstrbuzoe ormale co varable aleatora stadardzzata X p Z. (.) p( p) L'approssmazoe mglora al crescere d e per le due dstrbuzo cocdoo; se rcordamo che per ua varable aleatora bomale X, la meda e la varaza soo rspettvamete μ p σ p( p) allora la (.) o è altro che la formula per la stadardzzazoe della varable X. D cosegueza la dstrbuzoe della varable aleatora bomale X d parametr e p vee approssmata co la dstrbuzoe ormale d meda μ p e varaza σ p( p). Come regola pratca s usa la dstrbuzoe ormale per approssmare la bomale se s verfcao etrambe le codzo p e ( p). La regola suggerta è soddsfatta se è abbastaza grade e l approssmazoe è tato pù precsa quato pù p è prossma a. S rcord che se è grade e p è pccolo, la bomale può essere approssmata dalla dstrbuzoe d Posso co parametro λ p; se vece p è prossmo a, s può cotare l umero d success, azché quello de success: questo modo la probabltà d successo p è pccola e s può acora usare la dstrbuzoe d Posso. Nella fgura 6, per llustrare l'approssmazoe fra la dstrbuzoe bomale e la ormale, soo rportat l grafco della dstrbuzoe bomale per e p e l grafco della dstrbuzoe ormale avete valor medo μ p e varaza σ p ( p). Nella fgura 7 s llustra u caso cu l approssmazoe della bomale co la ormale o è altrettato buoa p p ( p) 8 p p f() f() 6 8 6 8 Fgura 6-6 7 8 9 Fgura 7 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 L approssmazoe mglora e cas seguet, cu, malgrado sa p, tuttava p p ( p) (fgura 8) e p p ( p) 9 (fgura 9) p p 9 f() f() 6 6 8 6 8 Fgura 8 Fgura 9 Per poter usare correttamete la dstrbuzoe ormale, che è cotua, per approssmare la dstrbuzoe d ua varable aleatora dscreta occorre effettuare la correzoe d cotutà : questo avvee rappresetado og valore tero assuto dalla varable aleatora dscreta co l'tervallo d estrem e +. Qud, se X è ua varable aleatora co dstrbuzoe bomale d parametr e p, la probabltà P( a X b) che X assuma valor compres fra a e b, vee approssmata co l valore della probabltà che la varable aleatora ormale co meda μ p e varaza σ p( p) assuma valor compres tra a e b +, ossa co l valore dell area sottesa dalla curva ormale tra a e b +. Nel caso partcolare cu a b, la probabltà bomale P ( X a) vee approssmata co l valore della probabltà P a X a + calcolata co la dstrbuzoe ormale. Esempo 6 Trovare la probabltà che lac d ua moeta, testa s preset volte, usado la dstrbuzoe ormale per approssmare la dstrbuzoe bomale. Per calcolare la probabltà P( X ) usado la dstrbuzoe ormale, occorre effettuare la correzoe d cotutà e calcolare la probabltà P X + P(9. X ) Stadardzzado la varable co la (.) s ha μ p σ p( p ) X 9. 9. Z. X. Z. 9 Vedere ache l osservazoe a pag. 6 e l esempo Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo - Dstrbuzo d probabltà cotue Usado le tavole della dstrbuzoe ormale s trova P(. < Z <. 9) P(. 9 < Z <. ) P( Z <. ) P( Z <. 9) 98 97 8 P( X ) 8 Questa approssmazoe è molto buoa, perché l valore d è suffcetemete grade e l valore d p è. Esempo 7 Trovare la probabltà che, lac d ua moeta, testa s preset u umero d volte compreso fra e 6, usado a la dstrbuzoe bomale; b la dstrbuzoe ormale per approssmare la dstrbuzoe bomale. a Sa X la varable aleatora bomale. S deve calcolare la probabltà P ( X 6). Co le tavole della dstrbuzoe bomale s ha p P ( X 6) P( X 6) P( X ) 88 7 77 b Se s cosdera la varable X come cotua, s deve fare la correzoe d cotutà e calcolare la probabltà P(. X 6. ) ; stadardzzado la varable co la (.) s ha μ p σ p( p).. X. Z. 8. 6. X 6. Z 9. Usado le tavole della dstrbuzoe ormale s trova P(. 8 < Z < 9) P( Z < 9) P( Z < 8). 889 [ P( Z < 8). ] 889 + 99 778 P( X 6) 778 Il valore otteuto co la dstrbuzoe ormale approssma suffcetemete bee l valore esatto trovato co la bomale, ache se o è molto grade, perché p. Nella fgura l area ombreggata rappreseta l valore trovato co la bomale; l valore calcolato co la ormale è uguale all area sottesa dalla ormale fra. e 6.. f() 6 7 8 9 Fgura Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9 Esempo 8 S effettuao lac d ua moeta; calcolare la probabltà che l umero d teste o dffersca da a per pù d ; b per pù d Usare l'approssmazoe della dstrbuzoe bomale co la ormale. a I questo caso s cerca la probabltà che l umero d teste sa compreso fra e 6, ossa, co la correzoe d cotutà, la probabltà P ( 9. < X < 6 ) Effettuado l passaggo alla varable stadardzzata s ha p μ p σ p( p). 8 X 9. 9. Z 9. 8 X 6 6 Z 9. 8 Usado le tavole della dstrbuzoe ormale s trova P( 9 < Z < 9) P( Z < 9) P( Z < 9) P( X 6) 68 [ ] 86 68 6. % b I questo caso s cerca la probabltà che l umero d teste sa compreso fra e 8, ossa, co la correzoe d cotutà, la probabltà P ( 9. < X < 8 ). Effettuado l passaggo alla varable stadardzzata s ha μ p σ. 8 X 9. 9. Z. 7. 8 X 8 8 Z. 7. 8 Usado le tavole della dstrbuzoe ormale s trova P(. 7 < Z <. 7) 9968 996 99. % P( X 8) 996 Esempo 9 U dado vee lacato volte. Calcolare la probabltà che l umero s preset al pù volte. La facca co l umero ha la probabltà p d presetars. La probabltà che l umero s 6 preset u umero d volte compreso fra e, co la dstrbuzoe bomale è p 6 P ( X ) P( X ) + P( X ) +... + P( X ) Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo - Dstrbuzo d probabltà cotue P( X ) + + 6 6... 6 6 6 + + 6 6 6 6 Il lavoro ecessaro per l calcolo de 6 added preset ella somma è eccessvo ed è preferble usare l'approssmazoe co la ormale; s ottee ua buoa approssmazoe, dato che p e ( p). 6 6 Effettuado la correzoe d cotutà e stadardzzado la varable s trova μ p σ p( p ). 8 6 6 6 X Z.. 8. X. Z.. 8 P(. < Z <. ) P(. < Z <. ) P( X ) 7 Effettuado co u software statstco l calcolo della probabltà co la dstrbuzoe bomale s trova l valore P ( X ). L approssmazoe otteuta co la ormale è buoa, ache se la probabltà d successo p o 6 è vca a ; cò è dovuto al valore elevato del umero d prove (s veda ache l esempo seguete). 9 9999997 86 7 Esempo Il % de chp d memora prodott da u azeda d compoet elettroc è dfettoso; calcolare la probabltà che u campoe d chp scelto a caso per u cotrollo a al pù sao dfettos; b esattamete sao dfettos. a S deve calcolare la probabltà P ( X ). Usado l approssmazoe co la ormale ed effettuado la correzoe d cotutà, s ha p ( p) 8 8 μ p σ p( p) 8 X.. Z. P( Z <. ) P( Z <. ) 878 9 P( X ) 9 b S deve calcolare P( X ). Usado l approssmazoe co la ormale ed effettuado la correzoe d cotutà, s ha X.. Z. 8 X.. Z. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 6 P(. 8 < Z <. ) P( Z <. 8) P( Z <. ) 96 878 P( X ) Per cofroto s può effettuare co u software statstco l calcolo delle probabltà co la dstrbuzoe bomale e s trovao valor P( X ) 8 P( X ) 8 Osservazoe Per poter applcare la dstrbuzoe ormale ad u caso d dat dscret è ecessaro trattare dat come se fossero cotu e qud occorre effettuare la correzoe d cotutà (ache se o s tratta d approssmare ua dstrbuzoe dscreta). S cosder a questo proposto l seguete esempo. Esempo I vot d u questoaro vao da a, a secoda del umero d rsposte a domade. Il voto medo è μ 6.7 e lo scarto quadratco medo è σ.. Suppoedo che vot sao dstrbut ormalmete determare a la percetuale d studet che ha otteuto l voto 6; b l voto mmo del mglor % del gruppo d studet; c l voto massmo del peggor % del gruppo d studet. a Effettuado la correzoe d cotutà, calcolamo co la dstrbuzoe ormale la probabltà P (. < X < 6. ). Stadardzzado la varable co la (.) s ha μ 6. 7 σ. X.. 6. 7 Z.. X 6. 6. 6. 7 Z 7. Usado le tavole della dstrbuzoe ormale s trova P(. < X < 6. ) P(. < Z < 7) P( 7 < Z <. ) F(. ) F( 7) 8 67 78 7. % b Sa l voto mmo rchesto e z l voto corrspodete utà stadardzzate. Dalla fgura (paga seguete), s vede che l area a destra d z è l % dell area totale. Dalle tavole de quatl per la dstrbuzoe ormale s rcava z.8 Dalla relazoe (.) s ottee 6. 7 z. 8... 8 + 6. 7 8. Il voto mmo del mglor % degl studet è 8 (l tero pù prossmo a ) c Il puto z è l smmetrco d z rspetto all orge, ossa z.8; qud 6. 7 z. 8.. 8 + 6. 7. 6. Il voto massmo del peggor % degl studet è percò (l tero pù prossmo a ). Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo - Dstrbuzo d probabltà cotue f(z) area % area % z z Fgura z.6 Relazoe tra la dstrbuzoe ormale e la dstrbuzoe d Posso Rcordamo che la dstrbuzoe d Posso è stata otteuta come l lmte per d ua dstrbuzoe bomale; questo fatto suggersce che essta ache ua relazoe fra la dstrbuzoe ormale e la dstrbuzoe d Posso. S dmostra che se X è ua varable aleatora avete la dstrbuzoe d Posso, co meda μ λ e varaza σ λ, allora al crescere λ la dstrbuzoe della varable X può essere approssmata da ua dstrbuzoe ormale co varable aleatora stadardzzata λ Z X (.) λ Come per la bomale, ache per la dstrbuzoe d Posso, trattados d ua dstrbuzoe dscreta, occorre fare la correzoe d cotutà. L approssmazoe è suffcetemete buoa per λ Nella fgura, per llustrare l'approssmazoe fra la dstrbuzoe d Posso e la ormale, soo rportat l grafco della dstrbuzoe d Posso per λ e l grafco della dstrbuzoe ormale avete valor medo μ λ e scarto quadratco medo σ λ. f() 8 6 Fgura Esempo La varable aleatora X ha dstrbuzoe d Posso co meda λ Calcolare la probabltà P( X < ) usado l approssmazoe co la ormale. S deve calcolare P ( X < ) P( X 9) Usado la dstrbuzoe ormale co la correzoe d cotutà s trova 9. X 9. Z. 8 P( Z <. 8) P( Z >. 8) 96 69 P( X < ) 69 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 6 Effettuado co u software statstco l calcolo delle probabltà co la dstrbuzoe d Posso, s trova l valore P ( X 9) 66. Esempo Il umero d cdet d auto che s verfcao u goro ad u croco è ua varable aleatora co dstrbuzoe d Posso e meda.; calcolare la probabltà che accadao pù d cdet u perodo d settmae. Il umero d cdet che s verfcao 8 gor è ua varable X co meda λ. 8 9.. S ha P( X > ) P( X ) 9. Z. 8 9. P( X > ) P( Z <. 8) 96.7 Dstrbuzoe uforme La dstrbuzoe studata ell esempo 9, pag. 96 forsce u esempo d ua dstrbuzoe dscreta, detta dstrbuzoe uforme dscreta. La dstrbuzoe uforme che vee trodotta co la defzoe seguete è l aaloga el caso cotuo della dstrbuzoe uforme dscreta. Defzoe Dat due umer real a e b, co a < b, s dce che la varable aleatora X ha dstrbuzoe uforme co parametr a e b, se la sua destà d probabltà è a b f ( ) b a (.) altrmet La fuzoe d dstrbuzoe uforme ha la seguete espressoe a a F( ) P( X ) a < < b (.) b a b Come esempo, s rportao ella fgura grafc d f() e F() el caso a, b. 6. 8 f() F() 6 6 Fgura 6 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo - Dstrbuzo d probabltà cotue Propretà Il valor medo e la varaza della dstrbuzoe uforme cotua soo dat da a + b ( b a) μ σ (.) Ifatt s ha b μ d b a ( b a) b a + b a a b b ( a + b) ( b a) σ d μ b a a ( b a) a Esempo Ua varable aleatora X è dstrbuta uformemete ell'tervallo (,). a Calcolare la probabltà P( < X < 6); b calcolare la meda μ e la varaza σ e trovare la probabltà P( X μ < σ). La varable X ha la dstrbuzoe uforme (fgura ) < < f ( ) altrmet f() Fgura - - 6 8 La fuzoe d dstrbuzoe è (fgura ) F ( ) < <. 8 F() 6 - - 6 8 Fgura Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 6 6 a P( < X < 6) F ( 6) F() b μ σ σ P X < P < X < + + F F + 77 Esempo I cert espermet l'errore commesso ella determazoe della solubltà d ua sostaza è ua varable aleatora X avete dstrbuzoe uforme co a e b. Trovare la probabltà che l'errore a sa compreso fra e ; b sa compreso fra e a La varable X ha la seguete dstrbuzoe uforme (fgura 6) < < f ( ) altrmet f() - - Fgura 6 La fuzoe d dstrbuzoe è la seguete + F ( ) < < P( < X < ) F( ) F( ) + + P( < X < ) F( ) F( ) + + 8 Quest rsultat possoo ache essere otteut per va geometrca; ad esempo la probabltà P ( < X < ) può essere otteuta calcolado l'area del rettagolo ombreggato ella fgura 6. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

66 Captolo - Dstrbuzo d probabltà cotue Esempo 6 La varable aleatora X è dstrbuta uformemete ell'tervallo ( a,b) P ( X < ) e P ( X < 7), calcolare a e b. La dstrbuzoe uforme della varable X è la seguete (fgura 7) a < < b f ( ) b a altrmet ; sapedo che /(b-a) f() a b Fgura 7 Da valor delle probabltà assegate s deduce subto che deve essere a < e b > 7. La probabltà P(X < ) è uguale all'area del rettagolo d base a e altezza ; aalogamete b a la probabltà P(X < 7) è uguale all'area del rettagolo d base 7a e altezza ; s ottee l b a sstema ( a) b a (7 a) b a Rsolvedo l sstema s rcava a b 9 f ( ) 8 < < 9 altrmet Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 67 6. Teora elemetare de campo 6. Popolazo e campo Come gà detto, l uso del terme popolazoe statstca derva da temp cu la statstca veva usata per feome demografc o ecoomc. Per popolazoe s tede ogg u seme o collezoe d oggett, umer, msure o osservazo, che soo oggetto d studo. Per campoe s tede vece ua parte della popolazoe, che vee selezoata per l aals. S suppoga ad esempo che l presde della facoltà vogla codurre u sodaggo per cooscere l parere degl studet sull orgazzazoe de cors: la popolazoe è composta questo caso da tutt gl studet scrtt, metre l campoe cosste de sol studet selezoat per partecpare al sodaggo. Lo scopo del sodaggo è descrvere alcue caratterstche dell tera popolazoe e questo vee fatto utlzzado le formazo che s ottegoo sulla base del campoe d studet. Ua popolazoe può essere fta o fta; ad esempo la popolazoe costtuta da tutt bullo prodott ua fabbrca u dato goro è fta; la popolazoe costtuta da tutte le possbl uscte T o C successv lac d ua moeta è fta. Le popolazo soo spesso descrtte dalle dstrbuzo de loro valor ed è comue rferrs alle popolazo term delle loro dstrbuzo. Per popolazo fte s fa rfermeto alla dstrbuzoe effettva de valor, detta dstrbuzoe d frequeza; per popolazo fte alla corrspodete dstrbuzoe d probabltà o destà d probabltà. Ad esempo u campoe costtuto da u certo umero d lac d ua moeta provee da ua popolazoe bomale; u campoe d msure d dat provee vece da ua popolazoe ormale. Qud per popolazoe f () s tede ua popolazoe cu elemet hao ua dstrbuzoe o destà d probabltà f (). Uo degl aspett prcpal della statstca ferezale cosste el trarre delle cocluso su parametr d ua popolazoe utlzzado corrspodet valor campoar. La ecesstà d rcorrere a metod della statstca ferezale derva dalla ecesstà del campoameto: se la popolazoe è fta, è mpossble osservare tutt valor, ma ache quado è fta, questo può essere o pratco o atecoomco. Le rago per cu la rcerca vee effettuata per campoe, puttosto che attraverso ua rlevazoe totale, soo prcpalmete le seguet: l estrazoe d u campoe rchede meo tempo rspetto all esame dell tera popolazoe; u campoe è meo costoso; u campoe è pù pratco da gestre; a volte l esame dell tera popolazoe è mpossble: ad esempo è letale estrarre tutto l sague d u pazete per effettuare l coteggo de globul ross! qualche volta è dspoble solo u pccolo campoe d dat, e o per motv ecoomc. S pes ad esempo ad u atropologo che vuole provare ua certa teora rguardate ua popolazoe ogg quas estta ed ha a dsposzoe solo gl ultm sopravvssut, persoe che vvoo ua certa sola: la dmesoe del campoe è fssata dalla atura e o dalle rsorse fazare. S usa percò u campoe, e s traggoo da esso, ossa s ferscoo, rsultat rguardat l tera popolazoe. La teora de campo è lo studo delle relazo esstet tra ua popolazoe ed campo estratt da essa. Tale teora s applca ad esempo per otteere la stma de parametr got d ua popolazoe, come la meda μ o la varaza σ, quado s cooscoo valor corrspodet del campoe, meda e varaza s, dett statstche; o ache per stablre se ad esempo le dffereze osservate tra due campo possoo essere dovute al caso o se soo sgfcatve: le rsposte a questo tpo d questo mplcao l uso de test d potes. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

68 Captolo 6 Teora elemetare de campo Il calcolo delle probabltà è l aello d coguzoe, perché permette d determare co quale probabltà rsultat proveet dal campoe rflettoo rsultat ottebl dall tera popolazoe. 6. Campoameto Affché le cocluso della teora de campo sao valde, campo devoo essere scelt modo da essere rappresetatv della popolazoe. Nel caso de sodagg elettoral ad esempo, la proporzoe campoara de vot per u dato partto può essere scarsamete rappresetatva della proporzoe della popolazoe per uo o etramb de seguet motv: per quato l comportameto sa stato corretto e la procedura d campoameto adeguata, è possble essere stat così sfortuat da estrarre u campoe a maggoraza favorevole a u certo partto da ua popolazoe favorevole vece ad u altro; l campoameto può essere stato codotto modo scorretto o errato. Ad esempo el campoare ua popolazoe d votat è u errore rcavare loro om da u eleco telefoco, perché verrebbero ad essere mal rappresetat votat che o dspogoo del telefoo o che per motv persoal o vogloo comparre ell eleco. C soo fodametalmete due tp d campo: campo o probablstc; campo probablstc. U campoe o probablstco è u campoe cu gl dvdu vegoo scelt seza teere coto della probabltà d cascu dvduo d apparteere al campoe. U campoe probablstco è u campoe cu gl dvdu vegoo scelt teedo coto della probabltà ota d cascu dvduo d essere scelto per far parte del campoe. Sccome e campo o probablstc gl dvdu soo scelt seza cooscere la loro probabltà d selezoe (e alcu cas s autoselezoao), la teora svluppata per l campoameto probablstco o può essere applcata. Ad esempo molte azede coducoo sodagg dado a vstator del loro sto Web la possbltà d complare de questoar e varl elettrocamete. Le rsposte a quest sodagg possoo forre molt dat velocemete, ma l campoe s compoe d utlzzator d Iteret che s autoselezoao. I campo o probablstc possoo avere alcu vatagg: comodtà, veloctà d estrazoe, cost bass; d altro lato hao degl svatagg: macaza d accuratezza dovuta alla selezoe dstorta, mpossbltà d geeralzzare rsultat. Spesso gl svatagg compesao ampamete vatagg. D solto campo o probablstc s usao per otteere dcazo grezze e a basso costo, o per pccol stud plota, che sarao successvamete segut da dag pù rgorose. Il campoameto probablstco deve essere usato og qual volta sa possble, perché è l solo metodo che cosete d otteere fereze corrette sulla base d u campoe. I tp d campoameto probablstco pù usat soo: campoameto casuale semplce; campoameto sstematco; campoameto stratfcato; campoameto a grappolo. Quest tp dfferscoo fra loro per l costo, l accuratezza e la complesstà. Campoameto casuale semplce E la pù semplce tecca d selezoe d u campoe; l procedmeto è sostazalmete smle allo schema d estrazoe da u ura. U campoe casuale semplce è u campoe cu og dvduo della popolazoe ha la stessa probabltà d essere scelto; oltre campo della stessa dmesoe hao tutt la stessa probabltà d essere selezoat. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 69 Nel campoameto casuale semplce s dca co la dmesoe del campoe, ossa l umero d elemet del campoe, e co N la dmesoe della popolazoe, ossa l umero d elemet della popolazoe. La probabltà che og dvduo della popolazoe ha d essere scelto alla prma estrazoe è N. La selezoe del campoe può essere fatta due mod: co remmssoe; seza remmssoe. Nel campoameto co remmssoe cascu elemeto della popolazoe è dspoble ad og estrazoe, qud ad og estrazoe og dvduo ha sempre probabltà N d essere estratto. I questo modo u dvduo può essere uovamete estratto ua successva estrazoe. Esempo I u ura s troducoo N bglett co l ome d N persoe dverse. Alla prma estrazoe s estrae l ome Paolo Ross; la probabltà d essere estratto è N. Se s rmette l bgletto ell ura, alla secoda estrazoe Paolo Ross ha la stessa probabltà N degl altr d essere estratto. Il processo s rpete alle successve estrazo. I geere però s prefersce avere campo compost d dvdu dvers, per o rpetere msure o prove sullo stesso dvduo. Nel campoameto seza remmssoe u dvduo, ua volta selezoato, o vee rmesso ella popolazoe e o può pù essere scelto d uovo. Nell esempo precedete la probabltà che Paolo Ross vega estratto alla prma estrazoe è acora N ; alla successva estrazoe, poché Paolo Ross (gà estratto) o è pù presete ella popolazoe, la probabltà che u altro dvduo vega scelto è. Allo stesso modo s N prosegue per le successve estrazo. I questo modo però gl dvdu o hao tutt la stessa probabltà d essere estratt, perché s altera la composzoe dell ura dopo og estrazoe. Geeralmete elle applcazo l campoe è estratto seza remmssoe, per motv gà dett poco sopra. Questo ha delle cosegueze, che sarao esamate el seguto. Ua popolazoe fta ella quale s compe u campoameto co remmssoe può essere cosderata fta, poché s può estrarre u umero qualsas d campo seza esaurre la popolazoe. Idpedetemete dal fatto che l campoe sa estratto co o seza remmssoe, la tecca d estrazoe dall ura o è cocretamete pratcable. D solto per sceglere l campoe s usa ua tecca basata sulle tavole de umer casual, d cu s rproduce u esempo ella paga seguete. Queste tavole s compogoo d ua sere d cfre da a 9, geerate casualmete smulado l estrazoe a sorte da u ura, modo che og cfra abba la stessa probabltà d essere estratta, ed elecate ell orde secodo cu soo state geerate. Poché l sstema decmale ha cfre (le cfre,,,,,9), queste hao tutte la stessa probabltà d essere geerate casualmete. Le cfre soo rute grupp d cque per facltare la lettura; poché tutte le cfre o successo d cfre ella tavola soo casual, s può leggere sa seso orzzotale che vertcale, dall alto o dal basso, specfcado però prma d zare a usare la tavola l crtero scelto; bsoga oltre sceglere u puto d parteza ella tavola de umer casual (ad esempo putado a caso co ua Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

7 Captolo 6 Teora elemetare de campo matta a occh chus o scegledo a caso ua rga e ua coloa della tabella e ua delle cque cfre della casella). Per usare la tavola s assega ad og elemeto della popolazoe u codce umerco, ad esempo s fa ua lsta umerata; s può otteere u campoe leggedo la tavola de umer casual e selezoado gl dvdu della lsta l cu codce cocde co l umero casuale. TAVOLA DI NUMERI CASUALI COLONNA RIGA 6 7 8 98 889 779 8 86 77 8986 8 687 67 768 86 988 979 77 9 898 69 78 869 7896 976 9 878 699 99 898 69 66 87 667 8 8 8 87 786 7988 7678 78 6 97 6 887 699 69 9 97 7 7 9776 87 7 98 6688 689 6 8 898 989 796 99 877 669 8887 9 788 7 67 78 8 67 6 9 6 8 969 98 6 967 9 897 668 87 96 79 699 866 67 987 798 8 699 9 98 7 86 97 96 86 697 89 76 997 786 79 88 768 898 77 66 76 987 69 8 6966 6 6 77 888 878 66 86 76 877 7 79 696 8 78 8 78 8 989 68 67 6788 9697 788 9 8 798 999 6879 7686 66 8 97 899 789 8 86 998 69 688......... Esempo Da ua popolazoe d 8 persoe s vuole formare u campoe d persoe. S scrve u eleco omatvo delle 8 persoe e ad og persoa s assega u codce. Dato che la dmesoe della popolazoe (N 8) è u umero d tre cfre, cascu codce deve avere tre cfre, percò al prmo dvduo dell eleco s assega l codce, al secodo l codce, ecc.., all ultmo l codce 8 Scelto u puto d parteza ella tavola (ad esempo rga 6, coloa ), s leggoo da sstra verso destra le sequeze d tre cfre seza saltare essua: 6 88 7 6 ecc. Il codce 88 o c è ella lsta, percò s scarta. Le prme persoe scelte soo quelle co codc, 6, 7,, 6,... S cotua fo ad otteere u campoe d persoe. Se u codce d tre cfre s rpete, la persoa corrspodete vee d uovo clusa el campoe, se l campoameto avvee co remmssoe; se vece s campoa seza remmssoe, s cotua ella scelta d u ulterore dvduo, fo a raggugere la dmesoe rchesta d persoe. I pratca solo raramete s ha l opportutà d umerare og dvduo della popolazoe, modo da sceglere u campoe casuale co la tecca sopra descrtta, e s deve spesso assumere che l campoe scelto abba tutte le propretà d u campoe casuale, seza che sa stato costruto formalmete questo modo. Nell esempo la popolazoe è fta e o troppo grade e può essere abbastaza faclmete umerata co l codce, ma molt cas è fta o troppo grade e o può essere umerata. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 La maggor parte de computer dspogoo d u geeratore d umer casual, da usare alteratva alle tavole. I realtà umer casual geerat dalla maggor parte de computer soo pseudocasual, perché soo l rsultato d ua qualche formula determstca. Tuttava soddsfao la maggor parte degl scop pratc. Campoameto sstematco U altro tpo d campoameto è l campoameto sstematco. I questo caso s procede el modo seguete. Data la popolazoe d N dvdu e fssata la dmesoe del campoe, s N calcola l quozete tero R. S scegle u umero k a caso (ad esempo da u ura) compreso fra e R; s cludoo el campoe gl dvdu della lsta che occupao post k, k + R, k +R,... Esempo Da ua popolazoe d dvdu s vuole formare u campoe d dvdu; questo caso N R S scegle u umero k a caso fra e, sa ad esempo k. Il campoe sarà formato dagl elemet della lsta che portao l umero,,, 7,... Se l eleco d tutt gl dvdu della popolazoe è fatto modo casuale, ache l campoe sarà casuale. Se vece l eleco o è casuale rspetto alla varable che s vuole studare, l campoe estratto può essere dstorto. Il campoameto sstematco è pù facle da esegure, ma l suo uso acrtco può portare co facltà a campo affett da error sstematc; questo rscho o c è co l campoameto casuale semplce. I geerale rsultat d u campoameto sstematco dpedoo larga msura dalle caratterstche dell dage che s vuole fare e dalla popolazoe da cu s campoa. Esempo S vuole effettuare u dage sulle abtud almetar d ua popolazoe d ragazz d a, scegledoe u campoe d : s possoo predere at u dato goro del mese d u ao fssato. Se però s volesse usare lo stesso campoe per studare l quozete d tellgeza, questo campoe sarebbe dstorto, perché l quozete d tellgeza, come l campoe, è fluezato dall età. Esempo S pesa d studare l quameto atmosferco ua cttà per u certo perodo d tempo (u ao). Se s effettuao prelev alle ore 8,, 6, d og goro s potrà avere u dea dstorta dell quameto goralero (sovrastma), quato queste soo le ore d maggor traffco, attvtà dustrale, commercale, qud s avrebbero lvell sstematcamete maggor d quell rsultat da prelev altre ore della gorata. La scelta casuale, semplce o sstematca, preseta coveet quado l dage è d vasta mole; quest cas s usao altr tp d campoameto. Campoameto stratfcato U altro tpo d campoameto è l campoameto stratfcato. E ua delle tecche d campoameto pù famose e usate; cosste el dvdere gl N dvdu della popolazoe sottopopolazo, o strat, sulla base d ua caratterstca comue; ell estrarre po u campoe casuale semplce da og strato modo dpedete, e el rure seme rsultat de sgol campoamet per formare u uco campoe dell ampezza rchesta. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

7 Captolo 6 Teora elemetare de campo Questo metodo è pù effcace perché asscura che gl dvdu della popolazoe sao rappresetat adeguatamete el campoe; questo garatsce ua maggor precsoe elle stme de parametr della popolazoe. Il rcorso alla stratfcazoe presuppoe che s abbao delle coosceze sulla popolazoe, modo da poterla suddvdere strat, ad esempo class d età, class d reddto, ecc. La stratfcazoe cosete d aumetare la precsoe delle stme, seza comportare u aumeto del umero totale d elemet del campoe. Ifatt la botà de rsultat d u dage campoara dpede essezalmete da due fattor: dmesoe del campoe; varabltà del feomeo esame. Qud per aumetare la precsoe de rsultat s può agre aumetado la dmesoe del campoe, co coseguete aumeto de cost; se s poe l vcolo sul umero d elemet del campoe, l uca possbltà per aumetare la sgfcatvtà de rsultat della rlevazoe è utlzzare u campoameto stratfcato. Esempo 6 Studo dell cdeza d ua data patologa, che è fluezata dall età, u gruppo d N dvdu. Co u campoameto semplce può accadere che l campoe sa composto prevaletemete da gova o da aza. Se azché applcare l campoameto casuale semplce all tera popolazoe, s procede prma a ua stratfcazoe degl dvdu secodo tre grad class d età (gova, adult, aza) e po s attua u campoameto semplce ell ambto d cascua classe, s ha la certezza che tutte e tre le categore etro a far parte del campoe modo equlbrato. L ampezza del campoe og strato (o tutt gl strat hao la stessa umerostà) può essere stabltà var mod dvers. Campoameto a grappolo Nel campoameto a grappolo, gl N dvdu ella popolazoe soo suddvs molt grupp, dett grappol (sottopopolazo), modo tale che og grappolo sa rappresetatvo dell tera popolazoe. S estrae po u campoe casuale d grappol e tutt gl dvdu d cascuo de grappol selezoat soo clus el campoe. I grappol possoo essere deft sulla base d raggruppamet atural, come quell determat dalle rego, dalle cttà, dalle crcoscrzo elettoral, da quarter urba, dagl edfc o dalle famgle. Il campoameto a grappolo può essere meo costoso del campoameto casuale semplce, soprattutto quado la popolazoe sottostate è dssemata su ua vasta area geografca. Comuque, l campoameto a grappolo tede a essere meo effcete sa del campoameto casuale semplce, che del campoameto stratfcato, e s rede ecessara ua dmesoe complessva del campoe pù grade per otteere rsultat precs come quell che s ottegoo co altr procedmet. Stud clc spermetal e radomzzazoe Il campoameto casuale è l metodo che cosete d otteere campo rappresetatv da ua popolazoe. Lo stesso prcpo d deve applcare ache espermet cu l caso deve operare a u lvello u po dverso. Se s devoo spermetare dverse dos d u farmaco su ua popolazoe d cave, o uove medce su ua popolazoe d malat, la selezoe casuale o s applca alla scelta delle cave o de malat da mettere espermeto, ma s usa pù oltre, ella loro dstrbuzoe fra grupp spermetal. Ifatt ad esempo potremo preferre cave o scelte a caso, ma tutte d ugual peso, per otteere maggor omogeetà el cofroto degl effett d dos dverse d u farmaco. Potremmo essere teressat ad esegure l cofroto fra u uovo farmaco e u farmaco gà oto, lmtado l esame a malat d ua forma partcolare d ua data malatta. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 Occorre ambedue gl esemp che grupp assegat a dvers trattamet spermetal (le dverse dos del farmaco el prmo esempo, l uovo e l veccho tpo d terapa el secodo esempo) sao cofrotabl, coè dvers solo per errore d campoameto casuale; bsoga coè essere scur che l assegazoe delle cave o de malat a cascu gruppo avvega co u crtero realmete casuale. Il caso s deve applcare o alla scelta zale delle cave o de malat, ma alla dstrbuzoe delle cave scelte per l espermeto e var grupp, o all assegazoe de malat esame alle due terape: s parla d radomzzazoe. La radomzzazoe è l uco metodo che c permette d prevedere l ettà degl error dovut al caso. Se o s usa questo sstema d assegazoe o s può essere scur che al caso, che o s può elmare, o s agguga qualche altro fattore che può falsare le cocluso o alterare rsultat. Nell esempo delle cave, s abbao cave da dstrbure tre grupp da ; se o s procede alla radomzzazoe e s prelevao le prme da assegare al prmo gruppo, le secode da assegare al secodo gruppo e le ultme da assegare all ultmo gruppo, l rsultato sarà che le cave pù lete o meo agl o peggor stato d salute sao pù faclmete collocate el prmo gruppo, quelle pù svegle o pù sae ell ultmo gruppo: tal modo u evetuale azoe del farmaco può essere cofusa co effett dovut allo stato d salute, l che può alterare rsultat spermetal. I geerale è possble dvduare due grad settor cu s possoo svolgere aals d tpo medco e d rcerca: u prmo settore d dage, osservazoe e terveto sulla popolazoe, u secodo settore d tpo clco-spermetale. Cascuo de due settor preseta ua complesstà d approcco tale da rchedere ecessaramete metodologe sofstcate per la rlevazoe, l cotrollo, e l aals de mod d procedere e de dat. Le metodologe propre dell epdemologa e della statstca mettoo luce gl aspett quattatv e la ecesstà d ua formalzzazoe matematca. Nell ambto degl stud d tpo medco epdemologco s possoo dstguere stud osservazoal e stud spermetal. I uo studo osservazoale l rcercatore medco o può cotrollare drettamete le codzo sotto cu avvee lo studo, lmtados ad osservare ad esempo la preseza o asseza d ua data malatta u campoe d soggett, o l cdeza d ua data malatta, ossa l umero d uov cas, ua popolazoe a rscho. I u cotesto spermetale vece, è possble specfcare le codzo sotto cu lo studo sarà codotto e pertato è possble assegare soggett a dvers grupp d studo co la tecca d radomzzazoe: questo rsede sostazalmete la valdtà d questo tpo d stud spermetal. Tra gl stud spermetal s possoo dstguere spermetazo clche, spermetazoe umae e su amal. Esemp d spermetazo clche soo: le spermetazo terapeutche, elle qual ua procedura terapeutca, clca o chrurgca vegoo adottate el tetatvo d allevare stom e/o mglorare la guargoe o la sopravvveza d coloro che presetao la malatta; le spermetazo d terveto, elle qual l rcercatore tervee prma che la malatta s sa svluppata su dvdu rteut a rscho, ad esempo la sommstrazoe d farmac at-pertesv per rdurre l rscho d svluppare u ctus; le spermetazo prevetve, elle qual s teta d determare l effcaca d ua procedura prevetva, ad esempo u vacco. I uo studo clco spermetale, l espermeto pafcato covolge de pazet ed è progettato per valutare l effcaca d u dato trattameto: la sommstrazoe d u farmaco a ua certa dose, u tpo d metodca chrurgca, ua cura detetca, u tpo d strumeto per prelev, ecc. Oggetto d studo può essere ache ua msura d satà pubblca o ua maera d pratcare la stessa terapa, ad esempo ambulatorale o ospedale, aestesa geerale o locale. L epdemologa ha come oggetto d studo la dstrbuzoe delle malatte ua popolazoe umaa e fattor che le fluezao. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

7 Captolo 6 Teora elemetare de campo La caratterstca del metodo spermetale, che lo dstgue dagl altr stud, è che, come gà osservato, l rcercatore può tervere determado l trattameto da applcare a u gruppo d pazet, e osserva gl est e l cofrota co quell d u altro gruppo d pazet che hao rcevuto u altro trattameto, oppure ete (placebo ); questo o accade co gl stud osservazoal, e qual l rcercatore s lmta ad osservare le cosegueze d u trattameto terapeutco avveuto prma e al d fuor e o determato e pafcato ello studo. I og caso s effettua u cotrollo fra due o pù grupp d pazet; pazet, che devoo essere rappresetatv d ua popolazoe che l rcercatore vuole studare, vegoo reclutat dallo spermetatore base a date caratterstche, che dpedoo dallo scopo e dagl obettv dello studo. I pazet che presetao le caratterstche stablte costtuscoo u campoe rappresetatvo della popolazoe e etrao a far parte della spermetazoe; l assegazoe de pazet del campoe a dvers grupp d trattameto è u problema crucale. La radomzzazoe, ossa l attrbuzoe casuale de pazet a dvers grupp, è lo strumeto co l quale l rcercatore evta d trodurre dstorso cosce e cosce el processo d suddvsoe degl dvdu, rededo cofrotabl grupp fra loro. S osserv che la coosceza da parte del pazete e/o del medco del trattameto mpegato, può codzoare, ache modo cosapevole, la valutazoe de rsultat e l rsultato stesso. Quado l assegazoe al trattameto o è ota al pazete, ma è ota al medco, s parla d cectà semplce (sgle bld); quado ache l medco gora l trattameto assegato (cosa che qualche caso è mpossble, ad esempo el caso d ua tecca chrurgca) s parla d doppa cectà (doppo ceco, double bld); può ache accadere che ache ch aalzza rsultat o coosca é qual pazet, é qual trattamet soo teressat ello studo (trplo ceco). La cectà elma, e cas cu può essere adottata, le dstorso preset ella rsposta del pazete, ella valutazoe del medco e elle cure accessore. Attualmete lo stadard rteuto mglore ella rcerca clca è lo studo radomzzato co la tecca del doppo ceco. 6. Dstrbuzo d campoameto Cosderamo tutt possbl campo casual d ampezza che possoo essere estratt da ua data popolazoe, co o seza remmssoe. Per cascu campoe s può calcolare ua data statstca, come la meda, la varaza o lo scarto quadratco medo, che potrà varare da campoe a campoe. I tal modo otteamo ua dstrbuzoe della statstca, detta dstrbuzoe d campoameto della statstca stessa. Se ad esempo la statstca usata è la meda, la dstrbuzoe è detta dstrbuzoe della meda campoara. Defzoe S defsce dstrbuzoe d campoameto d ua data statstca la dstrbuzoe d tutt possbl valor che possoo essere assut dalla statstca stessa, calcolat da campo casual della stessa dmesoe estratt dalla stessa popolazoe. Le dstrbuzo d campoameto permettoo d rsolvere problem d tpo probablstco su statstche campoare, ma soprattutto forscoo gl strumet teorc per la trattazoe dell fereza statstca; tal dstrbuzo possoo essere costrute quado s campoa da ua popolazoe fta e dscreta, procededo el modo seguete: da ua popolazoe fta d dmesoe N s estraggoo tutt possbl campo casual d ampezza ; s calcola la statstca d teresse per og campoe; I questo caso possoo sorgere problem etc. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 s costrusce ua tabella coteete var valor dstt assut dalla statstca e le corrspodet frequeze. Il procedmeto è llustrato dal seguete esempo 7. La costruzoe effettva d ua dstrbuzoe d campoameto è u lavoro mpegatvo se la popolazoe è grade, ed è mpossble se la popolazoe è fta. Tal dstrbuzo possoo però essere dervate matematcamete, co procedmet che o sarao trattat modo dettaglato queste lezo. Le caratterstche mportat d ua dstrbuzoe d campoameto, a cu samo teressat, soo la sua meda, la sua varaza e la sua forma. 6. Dstrbuzoe della meda campoara (varaza σ ota) U mportate dstrbuzoe d campoameto è quella della meda campoara; per studare questa dstrbuzoe s ragoa el seguete modo. S estrae u prmo campoe casuale d elemet da ua data popolazoe, e s dca co la sua meda; se s estrae u secodo campoe d elemet dalla stessa popolazoe, s ottee u altro valore per la meda, d solto dverso dal precedete; se s estraggoo successvamete altr campo, valor delle mede sarao geerale dvers fra loro. I valor delle mede possoo essere vst come valor assut da ua varable aleatora X, detta meda campoara, su tutt possbl campo d ampezza che possoo essere estratt dalla popolazoe. La dffereza fra valor delle mede è dovuta al caso, e questo fatto suggersce d studare la dstrbuzoe d tal valor. Illustramo co u esempo la costruzoe della dstrbuzoe della meda campoara el caso d ua popolazoe fta d dmesoe pccola. Esempo 7 S cosder ua popolazoe fta, costtuta da N elemet, e avete la seguete dstrbuzoe uforme dscreta f ) ( Tabella La meda μ e la varaza σ d questa popolazoe soo + + + μ. σ + + 9 + 6 (. ). Cosderamo tutt possbl campo d dmesoe estrabl da questa popolazoe; quado l campoameto avvee co remmssoe, campo d ampezza soo umero d 6; tal campo soo elecat ella tabella, seme co le corrspodet mede. Campo Mede Campo Mede (,) (,) (,). (,). (,) (,) (,). (,). (,). (,). (,) (,) (,). (,). (,) (,) Tabella Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

76 Captolo 6 Teora elemetare de campo Nella tabella è rportata la dstrbuzoe della meda campoara, otteuta elecado dvers valor della meda campoara ella prma rga e le rspettve frequeze ella secoda rga..., f ( ) 6 6 6 Tabella Nella fgura rappresetamo la dstrbuzoe della popolazoe; ella fgura rappresetamo vece la dstrbuzoe della meda campoara. 6 6 6 6 Dstrbuzoe della popolazoe Dstrbuzoe della meda campoara f() f()... Fgura Fgura Gl stogramm mostrao che la dstrbuzoe della meda campoara ha ua forma a campaa, smle a ua dstrbuzoe ormale, ache se la popolazoe ha la dstrbuzoe uforme. Calcolamo la meda della dstrbuzoe della meda campoara μ +. + +. + +. +. X 6 6 6 6 6 6 6 Questa meda è uguale alla meda della popolazoe. Calcolamo fe la varaza della dstrbuzoe della meda campoara σ + (. ) + ( ) + (. ) + () X 6 6 6 6 6 + (. ) + ( ) (. ) 6 6 6 Questa varaza o è uguale alla varaza della popolazoe, tuttava s osserva che vale la relazoe σ. σ 6 X Se l campoameto vee fatto seza remmssoe, campo estrabl da questa popolazoe fta costtuta da elemet soo soltato 6, e soo elecat ella tabella ; ella tabella è rportata la corrspodete dstrbuzoe della meda campoara. Campo Mede (,). (,).., (,). f ( ) (,). 6 6 6 6 6 (,) (,). Tabella Tabella Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 77 I questo caso per la meda e la varaza della dstrbuzoe della meda campoara s ha μ. + +. + +.. X 6 6 6 6 6 σ (. ) + ( ) + (. ) + () + (. ) (. ) X 6 6 6 6 6 Osservamo che la meda della dstrbuzoe della meda campoara è acora uguale alla meda della popolazoe, metre per la varaza s può verfcare che vale la relazoe σ N.. σ X N Quest rsultat soo vald per tutte le dstrbuzo della meda campoara, otteute co l campoameto co remmssoe o co l campoameto da popolazo fte, oppure acora co l campoameto seza remmssoe da ua popolazoe fta. S possoo fatt dmostrare due teorem geeral che esprmoo le propretà della dstrbuzoe della meda campoara. Il prmo d ess, formalzzado quato osservato ell esempo precedete, forsce delle espresso per la meda μ e la varaza σ della dstrbuzoe della meda campoara X. X X Il secodo teorema, d fodametale mportaza per l fereza statstca, cosete d dmostrare che qualuque sa la dstrbuzoe della popolazoe da cu provegoo campo, la dstrbuzoe della meda campoara è legata alla dstrbuzoe ormale. Teorema Se s estraggoo campo casual d ampezza da ua popolazoe avete meda μ e varaza σ, allora la dstrbuzoe della meda campoara X ha meda μ X μ. (6.) Per campo estratt da popolazo fte, o se l campoameto è fatto co remmssoe, la varaza della dstrbuzoe della meda campoara è σ σ. (6.) X Per campo estratt seza remmssoe da ua popolazoe fta d ampezza N la varaza della dstrbuzoe della meda campoara è σ N σ. (6.) X N σ Lo scarto quadratco medo σ è detto errore stadard della meda, o semplcemete X errore stadard, e rappreseta ua msura quattatva della varabltà delle mede de campo d ampezza estratt dalla popolazoe avete varaza σ. L errore stadard decresce proporzoe alla radce quadrata d : per esempo è ecessaro quadruplcare l ampezza del campoe per dmezzare l errore stadard della dstrbuzoe della meda campoara. N Il fattore, detto fattore correttvo per la popolazoe fta, ha u valore prossmo a N quado la dmesoe del campoe è pccola rspetto alla dmesoe della popolazoe; ella maggor parte delle applcazo pratche la correzoe per popolazoe fta o s usa, a meo che l campoe o cotega pù del % degl elemet della popolazoe. I altre parole la correzoe per popolazoe fta può essere gorata quado (vedere l esempo 9). N Il teorema forsce formazo solo parzal sulla dstrbuzoe della meda campoara. I geerale è mpossble determare tale dstrbuzoe esattamete, seza cooscere l effettva dstrbuzoe della popolazoe; è però possble trovare la dstrbuzoe lmte per d ua Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

78 Captolo 6 Teora elemetare de campo varable aleatora cu valor soo strettamete collegat a valor d X, suppoedo solo che la popolazoe abba varaza σ fta. Questa varable aleatora è la meda campoara stadardzzata X μ Z. σ Rferedoc a questa varable, vale l teorema seguete. Teorema Teorema del lmte cetrale Sa data ua popolazoe avete meda μ e varaza σ, e da essa s estraggao campo casual d ampezza ; dcado co X la meda campoara, la varable X μ Z (6.) σ è ua varable aleatora la cu dstrbuzoe tede alla dstrbuzoe ormale stadardzzata per. Qualuque sa la dstrbuzoe della popolazoe, s può qud affermare che la dstrbuzoe della σ meda campoara X è approssmatvamete ormale co meda μ e varaza, per suffcetemete grade. I pratca ella maggor parte de cas la dstrbuzoe ormale è ua buoa approssmazoe della dstrbuzoe della meda campoara per, qualuque sa la dstrbuzoe della popolazoe. Se l campoe casuale provee da ua popolazoe ormale, la dstrbuzoe della meda campoara è ormale per og valore d (ache more d ). Rassumamo rsultat f qu otteut, rguardat le caratterstche della dstrbuzoe della meda campoara, el seguete schema. Schema rassutvo Propretà della dstrbuzoe della meda campoara. Campoameto da ua popolazoe dstrbuta ormalmete co meda μ e varaza σ : a μ X μ σ b σ X c la dstrbuzoe della meda campoara X è ormale.. Campoameto da ua popolazoe o dstrbuta ormalmete co meda μ e varaza σ : a μ X μ σ b σ se X N σ N σ X N c la dstrbuzoe della meda campoara è approssmatvamete ormale, per Come s vedrà e captol successv, le dstrbuzo campoare trovao la loro pù mportate applcazoe ell fereza statstca. La pù semplce applcazoe della dstrbuzoe della meda campoara cosste el calcolare la probabltà d otteere u campoe avete ua certa meda. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 79 Esempo 8 La varable aleatora cotua X ha meda μ e varaza σ. S estrae u campoe d elemet da questa popolazoe; determare la probabltà che la meda del campoe sa maggore d.. I base al teorema, la meda campoara X ha l valor medo e la varaza seguet μ σ μ σ X X. Applcado l teorema del lmte cetrale, s può affermare che la varable X ha approssmatvamete la dstrbuzoe ormale. Per calcolare la probabltà che la meda del campoe sa maggore d., occorre stadardzzare la meda campoara co la formula X μ X X Z σ X. X. Z 8 P ( X >. ) P( Z > 8) P( Z < 8) 788 9 Esempo 9 I pes d cuscett a sfere soo dstrbut ormalmete co meda μ.g e scarto quadratco medo σ 8g. Se da questa popolazoe vegoo estratt campo casual d ampezza 6, determare la meda e lo scarto quadratco medo della dstrbuzoe della meda campoara el caso che l campoameto vega fatto co remmssoe o seza remmssoe. Determare per quat de campo casual la meda a è compresa fra.9 e.; b è superore a.; c è ferore a.7. I base al teorema, se s effettua l campoameto co remmssoe s ottee 8 μ μ. σ 8 X X 6 Se vece s effettua l campoameto seza remmssoe, la popolazoe è fta e s ottee 8 6 μ μ. σ 799 X X 6 I due valor otteut per lo scarto quadratco medo soo crca ugual, dato che la popolazoe è grade rspetto all'ampezza del campoe; poché la popolazoe è dstrbuta ormalmete, la dstrbuzoe della meda campoara è ormale, co meda μ X. e scarto quadratco medo σ X 8. Per rsolvere put a, b e c, occorre stadardzzare la meda campoara co la formula X μ X X. Z σ 8 X a X. 9. 9. Z. 8 X... Z. 8 P. 9 X. P(. Z. ) ( ) P( Z. ) 89 7888 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo 6 Teora elemetare de campo Il umero d campo atteso è 7888 7... b X. Z. 8 P X >. P( Z. ) P( Z. ) 998 Il umero d campo atteso è 6.. 7. c X. 7 Z. 7 8 P X <. 7 P( Z. 7) P( Z. 7) 9999 Il umero d campo atteso è, coè essuo. ( ) 6 ( ) Esempo Per u certo segmeto ampo d popolazoe e per u dato ao, l umero medo d gor d asseza dal lavoro per malatta è. co ua devazoe stadard d.8 gor. Calcolare la probabltà che u campoe casuale d 9 persoe estratto da questa popolazoe abba ua meda d asseze a maggore d 6 gor; b fra e 6 gor; c fra gor e mezzo e gor e mezzo. La dstrbuzoe della popolazoe o è ota, ma, poché abbamo u campoe pù grade d, base al teorema del lmte cetrale possamo dre che la dstrbuzoe della meda campoara è approssmatvamete ormale co meda. 8 μ μ. σ X X 9 S stadardzza la meda campoara co la formula X μ X X. Z σ X 6. a X 6 Z. La probabltà che u campoe casuale d 9 persoe abba ua meda d asseze maggore d 6 gor è P ( X > 6 ) P( Z >. ) P( Z <. ) 9 668. b X Z. La probabltà che u campoe casuale d 9 persoe abba ua meda d asseze compresa fra e 6 gor è P( < X < 6) P(. Z. ) P( Z. ) P( Z. ) 9 [ P( Z. ) ] 9 + 9998 9.. c X. Z... X. Z La probabltà che u campoe casuale d 9 persoe abba ua meda d asseze compresa fra gor e mezzo e gor e mezzo è P(. < X <. ) P(. Z ) P( Z ) P( Z. ) 987 P( Z. ) 987 + 9878 [ ] 86 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 8 6. Dstrbuzoe della meda campoara (varaza σ cogta) L applcazoe de rsultat del 6. rchede la coosceza della varaza σ della popolazoe. Nel caso che l umero degl elemet del campoe sa grade (grade campoe), se σ o è ota, s sosttusce a σ la varaza s del campoe. Se vece l ampezza del campoe è pccola (pccolo campoe), s hao de rsultat solo se l campoe provee da ua popolazoe ormale. S dmostra questo caso l seguete teorema. Teorema Sa data ua popolazoe ormale avete meda μ e da essa s estraggao campo casual d ampezza ; dcado co X la meda campoara e co S lo scarto quadratco medo campoaro, la varable X μ T (6.) S è ua varable aleatora avete la dstrbuzoe t d Studet co grado d lbertà ν. Questo teorema da u lato è pù geerale del teorema del lmte cetrale, el seso che o rchede la coosceza d σ, ma d altra parte rchede l potes pù restrttva d ua popolazoe ormale. La dstrbuzoe t d Studet o è u uca dstrbuzoe, ma ua famgla d dstrbuzo dpedet dal parametro ν, detto grado d lbertà. Nella fgura soo rportat l grafco della dstrbuzoe t d Studet per l grado d lbertà ν, e l grafco della dstrbuzoe ormale stadardzzata. Studet ormale f() -6 - - 6 Fgura La forma della dstrbuzoe t è smle alla ormale: etrambe le dstrbuzo soo a campaa, smmetrche attoro alla meda. Come la dstrbuzoe ormale, la dstrbuzoe t ha meda μ ; la sua varaza dpede dal grado d lbertà ν; la varaza è maggore d, e tede a al crescere del grado d lbertà. S può dmostrare che la dstrbuzoe t co grado d lbertà ν tede alla dstrbuzoe ormale stadardzzata per ν. Soo dspobl delle tavole, rportate ell'appedce A, cu soo tabulat alcu valor scelt d t per var valor d ν, dove t è tale che l area alla destra d t è uguale ad, come llustrato ella fgura, pag. seguete. Lo studoso che studò questa dstrbuzoe è Wllam S. Gosset (876-97), uo statstco mpegato presso le fabbrche d brra della Guess Irlada. Egl affrotò l problema dello studo de pccol campo per rago essezalmete pratche, l costo e l tempo ecessar per studare grad campo, e determò la dstrbuzoe t, rlevate per lo studo de pccol campo. Poché agl mpegat della Guess o era cocesso pubblcare lavor d rcerca, Gosset utlzzò lo pseudomo d Studet Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo 6 - Teora elemetare de campo f() -6 - - 6 t Fgura No è ecessaro tabulare valor d t per >, perché la dstrbuzoe è smmetrca. I valor d t per ν > 9 soo crca ugual a corrspodet valor tratt dalle tavole della dstrbuzoe ormale (vedere esemp e 6): fatt la dstrbuzoe ormale è ua buoa approssmazoe della dstrbuzoe t per valor del grado d lbertà ν > 9. Esempo Data la dstrbuzoe t co grado d lbertà ν 9, trovare l valore d t tale che l area a destra d t vale (fgura ). Dalle tavole s deduce che t.8 ν 9 f() - - - t Fgura Esempo Data la dstrbuzoe t co grado d lbertà ν 9, trovare l valore d t tale che la somma dell area a destra d t e dell area a sstra d t vale (fgura 6). Area totale delle due code area a destra d t (ua coda). Dalle tavole s deduce t t.6 ν 9 f() - - - Fgura 6 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 8 Esempo Data la dstrbuzoe t co grado d lbertà ν, trovare l valore d fra t e t vale 9 (fgura 7) t tale che l area compresa Area compresa fra t e t 9 Area totale delle due code Area d ua coda Dalle tavole s deduce t t.. 8 ν 9 f() - - - Fgura 7 Esempo Data la dstrbuzoe t co grado d lbertà ν 9, trovare l valore d t tale che l area a destra d t vale 99 (fgura 8) Area a destra d t 99 Area d ua coda Dalle tavole s deduce t.8 t.8 ν 9 99 f() Fgura 8 - - - Esempo Data la dstrbuzoe t co grado d lbertà ν > 9, trovare l valore d t tale che l area a destra d t vale. Verfcare che s ottee lo stesso valore co la tavola della dstrbuzoe ormale. Dalla tavola della dstrbuzoe t s ottee t.96 Dalla tavola de quatl della dstrbuzoe ormale stadardzzata s ottee lo stesso valore z.96 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo 6 - Teora elemetare de campo Esempo 6 Data la dstrbuzoe t, trovare valor d t tale che l area a destra d t vale per grad d lbertà ν 6, ν 7, ν Dalle tavole s trova a ν 6 t.76 b ν 7 t.7 c ν t.6 Quest'ultmo valore è uguale al valore che s trova dalla tavola de quatl della dstrbuzoe ormale stadardzzata z.6. 6.6 Dstrbuzoe della varaza campoara Fora abbamo esamato la dstrbuzoe della meda campoara; se ell esempo 7 avessmo studato la varaza campoara, avremmo otteuto la dstrbuzoe d campoameto d questa statstca. Studamo la dstrbuzoe d campoameto della varaza campoara per campo proveet da ua popolazoe ormale; otteamo questa dstrbuzoe estraedo tutt possbl campo casual d ampezza da ua popolazoe avete dstrbuzoe ormale e determado per cascuo d ess la varaza campoara s. Poché s o può essere egatva, c s attede che la dstrbuzoe della varaza campoara o sa smmetrca, coè o sa d tpo ormale. Vale l teorema Teorema Sa data ua popolazoe ormale avete varaza σ e da essa s estraggao campo casual d ampezza ; dcado co S la varaza campoara, la varable ( ) S χ (6.6) σ è ua varable aleatora avete la dstrbuzoe χ (ch quadro) co grado d lbertà ν. Il parametro ν è detto grado d lbertà. Ache la dstrbuzoe ch quadro o è u uca dstrbuzoe, ma ua famgla d dstrbuzo dpedet dal grado d lbertà ν. S dmostra che la dstrbuzoe χ ha meda μ ν e varaza σ ν. Nella fgura 9 soo rportat grafc della dstrbuzoe χ per valor d ν da a ν f() ν ν Fgura 9 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 8 La dstrbuzoe ch quadro è defta solo per valor postv d e geerale è asmmetrca; l asmmetra dmusce per valor elevat d ν. Soo dspobl delle tavole, rportate ell'appedce A, cu soo tabulat alcu valor scelt d χ per var valor d ν, dove χ è tale che l area alla destra d χ è uguale ad (fgura ). χ 8 f() 6 area χ Fgura Esempo 7 Data la dstrbuzoe χ co grado d lbertà ν, trovare l valore d χ tale che l area a destra d χ vale (fgura ). Dalle tavole, per ν e s deduce χ.7. 6 ν f() 8 χ Fgura Esempo 8 Data la dstrbuzoe χ, trovare l valore χ tale che l area a destra d χ vale per grad d lbertà ν, ν e ν Dalle tavole s deduce a ν χ.996 b ν χ 7.6 c ν χ.77 Esempo 9 Data la dstrbuzoe χ co grado d lbertà ν, trovare l valore d χ tale che l area a sstra d χ vale (fgura, pag. seguete). Area a sstra d χ Area a destra d χ 9 Dalle tavole s deduce χ.. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

86 Captolo 6 - Teora elemetare de campo 6 ν f() 8 χ Fgura Esempo Data la dstrbuzoe χ co grado d lbertà ν, trovare valor χ e χ tal che l totale dell area a sstra d χ e dell area a destra d χ vale (fgura ). χ 6 χ ν f() 8 χ χ Fgura Poché la dstrbuzoe o è smmetrca, c possoo essere pù valor χ e χ per qual l area totale è ; ad esempo area a sstra e area a destra area a sstra e area a destra... D solto s scelgoo le due code modo che abbao uguale area; questo esempo etrambe hao area uguale a. Co le tavole s rcava χ Area a destra d χ χ.8 Area a sstra d Area a destra d χ 97 χ 8 U problema strettamete coesso a quello appea trattato dello studo della dstrbuzoe d campoameto della varaza campoara è quello d determare la dstrbuzoe del rapporto delle varaze d due campo dpedet. Questo problema deve la sua mportaza al fatto che capta spesso d dover cofrotare due varaze, e partcolare alcu test d potes s deve prelmarmete stablre se due campo provegoo da popolazo avet la stessa varaza; se cò accade, l loro rapporto sarà uguale a. D solto però o s cooscoo le varaze delle due popolazo, qud qualuque cofroto vee fatto sulla base delle varaze campoare. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 87 Per studare l rapporto d due varaze s utlzza la dstrbuzoe d campoameto della varable e s rcorre al seguete teorema. Teorema S S / σ / σ Sao date due popolazo ormal avet varaze e, e s estraggao da esse campo casual dpedet d ampezza rspettvamete e ; dcado co e le varaze campoare, la varable S / σ F (6.7) S / σ è ua varable aleatora avete la dstrbuzoe F, detta ache dstrbuzoe d Fsher, d parametr ν e ν. La dstrbuzoe F dpede da due parametr ν e ν, dett grad d lbertà del umeratore e del deomatore. La fgura mostra alcue dstrbuzo F per dfferet combazo de grad d lbertà del umeratore e del deomatore. σ σ S S f(f) 8 (;) 6 (,) (,)... F Fgura Soo dspobl delle tavole, rportate ell'appedce A, cu soo tabulat alcu valor scelt d F, per vare combazo d valor d ν e ν, dove F è tale che l area alla destra d F è uguale ad, come llustrato ella fgura. La tavola 7 cotee valor d F per alcu valor scelt d e per vare combazo d valor d ν e ν. f(f) 8 6... F F Fgura La tavola 7 può essere usata ache per trovare valor d F corrspodet a code a sstra d area fssata; a questo scopo s usa l dettà seguete, ella quale s scrve F ( ν, ν ) per dcare F co grad d lbertà ν e ν F ( ν, ν ) (6.8) F ( ν, ν ) Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

88 Captolo 6 - Teora elemetare de campo Esempo Data la dstrbuzoe F co grad d lbertà ν, ν, trovare l valore a destra d F a ; b ; c vale Dalle tavole, per grad d lbertà ν, ν, s deduce a F. (, ) 77.,.,. b F. ( ) 9 c F. ( ) 8 F tale che l area Esempo Data la dstrbuzoe F co grad d lbertà ν, ν, trovare l valore a destra d F a 9; b 9; c 99. vale Dalle tavole, per grad d lbertà ν, ν, facedo uso della (6.8) s deduce a. 9 F. 9 (, ) F,. ( ) b. 9 F 9(, ) F,. 77.. ( ) c. 99 F 99 (, ) F,. Esempo.. ( ) 6 7 Data la dstrbuzoe F co grad d lbertà ν, ν, trovare valor l area compresa fra ess vale 9 F F e tale che l area F tal che Dato che la dstrbuzoe F o è smmetrca, d solto s scelgoo le due code modo che abbao uguale area; questo esempo etrambe hao area uguale a. Dalle tavole, per, ν, ν s desume che F., ( ) 8. Co la (6.8), per 9 s ha F (, ) 9. F.. 9. (, ) S rcord che teorem e rchedoo l potes che campo vegao estratt da ua popolazoe ormale. Cotraramete a quato accade co la dstrbuzoe t (teorema ), scostamet ache modest dalla dstrbuzoe ormale possoo avere cosegueze sere sulle dstrbuzo campoare. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 89 7. Stma de parametr 7. Itroduzoe Abbamo vsto come la teora de campo possa essere usata per otteere formazo rguardat campo estratt casualmete da ua popolazoe. Da u puto d vsta applcatvo è però spesso pù mportate trarre cocluso sull tera popolazoe utlzzado rsultat otteut su campo estratt da essa. Quest soo problem d cu s occupa l fereza statstca. I metod della statstca ferezale rguardao essezalmete due aree: la stma de parametr e test d potes. Il prmo mportate problema dell fereza statstca, d cu c occupamo questo captolo, è la stma de parametr d ua popolazoe, meda, varaza, scarto quadratco medo, per mezzo de corrspodet parametr campoar o statstche del campoe. Il valore del parametro da stmare per la popolazoe è cogto, e possamo solo chederc se, dopo rpetut campoamet, la dstrbuzoe della statstca ha certe propretà che possoo garatrc che la statstca è vca al valore cogto del parametro. Ad esempo, sappamo dal teorema, Cap. 6, che la dstrbuzoe della meda campoara ha la stessa meda della popolazoe da cu è stato otteuto l campoe: c aspettamo percò che, dopo pù campoamet, la meda campoara sa vca alla meda della popolazoe. 7. Stme putual e stme per tervallo Per parametr d ua popolazoe è possble calcolare due tp d stma: ua stma putuale e ua stma per tervallo. Defzo Se la stma d u parametro della popolazoe è data da u sgolo umero, tale valore è detto stma putuale del parametro. Se vece la stma d u parametro della popolazoe forsce gl estrem d u tervallo fra qual s può supporre, co u certo grado d fduca, che l parametro sa compreso, tale stma è detta stma per tervallo del parametro. I parametr che pù frequetemete accade d dover stmare soo: la meda μ d ua popolazoe; la varaza σ d ua popolazoe; la proporzoe p d dvdu d ua popolazoe che appartegoo a ua certa classe d teresse; la dffereza fra le mede d due popolazo μ μ ; la dffereza fra le proporzo d due popolazo p p. Ragoevol stme putual d quest parametr soo: per μ, la meda campoara ; per σ, la varaza campoara s ; per p, la proporzoe campoara pˆ, dove è l umero d dvdu u campoe d ampezza apparteet alla classe d teresse; per μ μ, la dffereza fra le mede d due campo dpedet; per p p, la dffereza pˆ pˆ fra le proporzo d due campo dpedet. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

9 Captolo 7 Stma de parametr S possoo avere pù stme putual per lo stesso parametro; per esempo se s vuole stmare la meda d ua popolazoe, s potrebbe usare ache la medaa campoara, o magar la meda fra l pù pccolo e l pù grade fra valor del campoe. Per decdere quale fra le possbl stme putual è preferble usare, c basamo sulla verfca d alcue propretà che gl stmator devoo possedere per essere gudcat pù adatt. Ua d queste è la propretà della correttezza o o dstorsoe. Defzoe Se la meda d ua dstrbuzoe campoara d ua statstca è uguale al corrspodete parametro della popolazoe, la statstca è detta stmatore corretto o o dstorto del parametro. I valor corrspodet a tal statstche soo dett stme corrette. I altre parole, ua statstca è uo stmatore corretto se meda suo valor uguaglao l parametro che valuta. Ad esempo la meda della dstrbuzoe campoara della meda è μ X μ qud la meda campoara è ua stma corretta della meda μ d ua popolazoe. Lo stmatore corretto d u parametro o è uco. Ad esempo ache la medaa campoara è ua stma corretta della meda della popolazoe. Occorre qud u ulterore propretà, detta effceza, per decdere quale tra pù stme corrette sa la mglore per stmare u parametro. Defzoe Se due statstche soo etrambe stmator corrett d u parametro, la statstca per cu la varaza della sua dstrbuzoe campoara è more è detta stmatore pù effcete. S può dmostrare che, fra tutte le statstche che stmao la meda d ua popolazoe, la meda campoara è la pù effcete. Ache la varaza campoara è ua stma corretta ed effcete della varaza d ua popolazoe. I geerale, s può affermare che le stme putual suggerte a put, pag. 8, soo stme corrette ed effcet de corrspodet parametr della/delle popolazo. Esempo Dato u campoe d msurazo del dametro d ua sferetta cm 6. 6.7 6.6 6. 6.7 trovare stme corrette ed effcet per la meda e la varaza della popolazoe. La stma corretta ed effcete per la meda della popolazoe è la meda campoara 6. + 6. 7 + 6. 6 + 6. + 6. 7 6. cm Ache per la varaza la stma corretta ed effcete è la varaza campoara + + + + s cm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Poché o c s può aspettare che ua stma putuale cocda esattamete co la quattà che essa deve stmare, è spesso preferble usare ua stma per tervallo, ossa u tervallo per l quale s può affermare co u certo grado d fduca che coterrà l parametro della popolazoe che s vuole stmare. Tal stme per tervallo vegoo comuemete chamate tervall d cofdeza. S vedao ache le osservazo e, pag. 99, Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9 7. Itervall d cofdeza per la meda (varaza ota) Come gà detto, la meda campoara è ua buoa stma, corretta ed effcete, della meda μ d ua popolazoe. Tuttava, o c è alcua probabltà che la stma sa esattamete uguale a μ; ha qud pù sgfcato stmare μ co u tervallo, che qualche modo c dà formazo sulla probable gradezza d μ. Per otteere ua stma per tervallo, s utlzzao le propretà delle dstrbuzo campoare. I questo caso, poché s vuole stmare la meda d ua popolazoe per mezzo della meda d u campoe, faccamo rcorso alla dstrbuzoe della meda campoara. Nel Cap. 6 s è vsto come determare, cooscedo la dstrbuzoe della popolazoe, la percetuale delle mede campoare che cadoo u tervallo prefssato (vedere 6., esemp 8, 9 e ). Le cocluso che s traggoo soo basate su u ragoameto deduttvo. Nell fereza statstca s fa vece u ragoameto duttvo: c basamo fatt su rsultat d u solo campoe per trarre cocluso sull tera popolazoe, e o vceversa. Questo comporta che o s gugerà sempre a delle cocluso corrette partedo da u sgolo campoe. Nel caso cu s vogla stmare la meda della popolazoe, può accadere che per alcu (s spera molt) campo la stma per tervallo per la meda μ sa corretta, ossa l tervallo otteuto compreda effettvamete la meda μ, e per altr campo (s spera poch) questo o accada. Poché ella pratca s estrae u solo campoe, e ovvamete o cooscamo la meda della popolazoe, o possamo essere cert che le cocluso a cu s pervee sao corrette. Per rsolvere questo problema, og stma per tervallo vee calcolata valutado ache la percetuale de campo che dà luogo a cocluso corrette, ossa l grado d fduca. S cosder ua popolazoe avete ua dstrbuzoe co varaza ota e meda cogta μ, e s estragga da questa popolazoe u campoe d ampezza. I base al teorema del lmte cetrale possamo affermare che, per grad valor d, la statstca X μ Z (7.) σ ha approssmatvamete la dstrbuzoe ormale stadardzzata. σ - - - z z Se l area sottesa dalla dstrbuzoe ormale a destra d compresa fra z e z vale, percò Fgura z vale (fgura ), allora l area P z < Z < z D cosegueza, s può asserre, co probabltà uguale a, che è soddsfatta la dsuguaglaza Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

9 Captolo 7 Stma de parametr X μ z < z. (7.) < σ Dalla dsuguaglaza (7.), rsolvedo rspetto a μ s ottee σ σ X z < μ < X + z. Pertato, ua volta estratto l campoe d ampezza, co suffcetemete grade (, grade campoe) e calcolato l valore della meda del campoe, s ottee la seguete stma per tervallo per la meda μ, soddsfatta co probabltà. z σ < μ < + z σ (7.) S può qud affermare co probabltà che l tervallo σ σ z +, z cotee la meda μ della popolazoe. L tervallo (7.) è detto ache tervallo d cofdeza per la meda μ, per grad campo, co grado d fduca ( ) %. La formula (7.) vale per popolazo ache o ormal, purché l campoe sa grade. Come gà detto el Cap. 6, ella pratca u campoe vee rteuto suffcetemete grade se (vedere schema rassutvo, pag. 78). Se la popolazoe da cu provee l campoe ha dstrbuzoe ormale, la (7.) vale qualuque sa la dmesoe del campoe. Poché elle applcazo pratche d solto lo scarto quadratco σ della popolazoe o è oto, se l campoe è grade, s può sostture σ co lo scarto quadratco medo campoaro s, commettedo u errore d approssmazoe. Il valore d z che compare ella (7.) è detto valore crtco della dstrbuzoe; a cascu grado d fduca corrspode u dverso valore crtco. I valor pù comuemete usat per soo 9, 9 e 99 ; d solto s usa l terme grado d fduca del 9%, del 9% o del 99%, azché l terme probabltà uguale a 9, a 9, oppure a 99; corrspodet valor d z soo seguet grado d fduca del 9% grado d fduca del 9% grado d fduca del 99% z z.6 z.96 z z.76 z Quest valor possoo essere lett sulla tabella de percetl della dstrbuzoe ormale stadardzzata. Come gà detto precedeza, per trarre cocluso sulla meda della popolazoe c basamo su rsultat d u sgolo campoe; questo ha come cosegueza che o s gugerà sempre a delle cocluso corrette, ossa o è garatto che la meda μ cadrà davvero ell tervallo d cofdeza otteuto. I geerale qud u tervallo d cofdeza co grado d fduca ad esempo del 9% va terpretato el seguete modo: se s cosderao tutt possbl campo d ampezza, e per Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9 cascuo d ess s calcola la meda campoara e l corrspodete tervallo d cofdeza cetrato su questa, l 9% degl tervall così otteut cotee l corrspodete parametro della popolazoe e solo l % o lo cotee. Per quato detto prma, o possamo sapere se uo specfco tervallo cotee o meo l parametro della popolazoe, tuttava possamo affermare che abbamo u grado d fduca ad esempo del 9% d aver scelto u campoe a cu corrspode ua stma per tervallo compredete l parametro della popolazoe. La lughezza d u tervallo d cofdeza co grado d fduca ( ) % z σ è e dpede qud da tre fattor : al crescere dell ampezza del campoe, la lughezza dell tervallo dmusce, qud la stma è pù precsa; : al crescere del grado d fduca rchesto, la lughezza dell tervallo aumeta, qud la stma è meo precsa; σ: al crescere della devazoe stadard, che rflette la varabltà del campoe, la lughezza dell tervallo aumeta. Normalmete solo e possoo essere cotrollat, metre σ dpede dal tpo d dat studat. I deftva, la precsoe della stma e u elevato grado d fduca soo due obettv tra loro cofltto: se s vuole aumetare la precsoe della stma, seza dmure l grado d fduca, s deve aumetare la dmesoe del campoe. Nelle applcazo pratche può o essere facle trovare u buo compromesso tra grado d fduca e ampezza del campoe: u maggor grado d fduca comporta ua perdta d precsoe ella stma; u aumeto delle dmeso del campoe può comportare problem pratc o essere atecoomco. Solo l espereza e la coosceza del problema trattato possoo dcare la scelta pù opportua. Esempo Sa dato u campoe d ampezza estratto da ua popolazoe avete scarto quadratco medo σ.; la meda campoara sa.6. Costrure l tervallo d cofdeza al 9% per la meda μ della popolazoe. Per l grado d fduca del 9% l valore crtco è z z.96 Applcado la formula (7.) s ottee l tervallo d cofdeza... 6. 96 < μ <. 6 +. 96 6 < μ <. 6 Questo tervallo può ache o coteere μ, ma abbamo u grado d fduca del 9% che lo cotega. I altre parole, se applchamo rpetutamete su tutt campo d ampezza estrabl dalla popolazoe la formula (7.) per calcolare l tervallo d cofdeza, l 9% degl tervall d cofdeza coterrà la meda μ della popolazoe. Esempo Costrure u tervallo d cofdeza co grado d fduca del 99% per la meda della popolazoe da cu è stato estratto l campoe studato ell esempo, Cap.. Per questo campoe s è calcolato (esempo, Cap. ) 8.8 s.96 Per l grado d fduca del 99% l valore crtco è z.76. z Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

9 Captolo 7 Stma de parametr Co la formula (7.) s ottee l tervallo d cofdeza. 96 8. 8. 76 < μ < 8. 8 +. 76 8 7. < μ <. 96 8 Esempo Le msure de dametr d u campoe casuale d sferette da cuscetto prodotte da ua maccha ua settmaa hao ua meda campoara 8 cm e ua devazoe stadard campoara s cm. Determare gl tervall d cofdeza per la meda della popolazoe co grado d fduca del 9% e del 99%. a Per l grado d fduca del 9% l valore crtco è z.96 Co la formula (7.) s ottee l tervallo d cofdeza 8. 96 < μ < 8 +. 96 88 < μ < 8 b Per l grado d fduca del 99% l valore crtco è z.76 Co la formula (7.) s ottee l tervallo d cofdeza 8. 76 < μ < 8 +. 76 86 < μ < 8 S osserv che aumetado l grado d fduca l ampezza dell tervallo aumeta, ossa a partà d umero d elemet del campoe la stma è meo precsa. Esempo S vuole stmare l umero medo d battt cardac al muto per ua certa popolazoe. Il umero medo d battt al muto per u campoe d 9 soggett è rsultato uguale a 9 La popolazoe è dstrbuta modo ormale co uo scarto quadratco medo σ Trovare gl tervall d cofdeza per la meda della popolazoe co grad d fduca del 9%, 9% e 99%. a Per l grado d fduca del 9% l valore crtco è z.6 Co la formula (7.) s ottee l tervallo d cofdeza 9. 6 < μ < 9 +. 6 9 9 87. 6 < μ < 9. b Per l grado d fduca del 9% l valore crtco è z.96 Co la formula (7.) s ottee l tervallo d cofdeza 9. 96 < μ < 9 +. 96 9 9 87. < μ < 9. 8 c Per l grado d fduca del 99% l valore crtco è z.76 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9 Co la formula (7.) s ottee l tervallo d cofdeza 9. 76 < μ < 9 +. 76 9 9 86. < μ < 9. 68 S osserv come, restado varata l ampezza del campoe, all aumetare del grado d fduca cresce l ampezza dell tervallo d cofdeza, ossa la stma dveta meo precsa. Esempo 6 Sa dato u campoe d studet tratto da ua popolazoe d studet d sesso maschle scrtt ad u uverstà; la tabella rappreseta la dstrbuzoe d frequeza de pes kg degl studet. Trovare gl tervall d cofdeza al 9% e al 99% per l peso medo d tutt gl studet. Class (peso) N studet (freq. ass.) Valor cetral 6 6 6 6 6 8 6 66 68 67 69 7 7 7 7 7 8 7 Tabella Calcolamo la meda e la varaza campoare usado dat raggruppat 6+ 8 6 + 67 + 7 7 + 8 7 67. s 6 + 8 6 + 67 + 7 7 + 8 7 99 a Per l grado d fduca del 9% l valore crtco è z.96 Co la formula (7.) s ottee l tervallo d cofdeza [ 67. ] 8. 6 8. 6 8. 6 67.. 96 < μ < 67. +. 96 66. 87 < μ < 68. b Per l grado d fduca del 99% l valore crtco è z.76 Co la formula (7.) s ottee l tervallo d cofdeza 8. 6 67.. 76 < μ < 67. +. 76 66. 69 < μ < 68. 8. 6 La dsuguaglaza (7.), valda co probabltà, può ache essere usata per rcavare ua formula che cosete d determare l ampezza del campoe ecessara per otteere u errore prefssato. La (7.) equvale a ossa X μ < z σ X μ < z σ Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

96 Captolo 7 Stma de parametr Idcado l massmo dell errore co E ma la stma d E co probabltà è X μ E z σ (7.) I altre parole, se s vuole stmare la meda μ della popolazoe co la meda campoara d u campoe d ampezza ( ), s può affermare, co probabltà, che l errore sarà al pù uguale a z σ. X μ Dalla formula (7.), rsolvedo rspetto a, s rcava l ampezza del campoe ecessara per stmare la meda co u errore prefssato E e co u dato grado d fduca (s rcord che deve essere u tero) z σ (7.) E Esempo 7 Determare l ampezza campoara che cosete d otteere u tervallo d cofdeza per la meda μ d ua popolazoe co grad d fduca del 9% e del 99%, co u errore valore assoluto o superore a, suppoedo che lo scarto quadratco medo sa σ. Per l grado d fduca del 9% l valore crtco è z.96. Co la formula (7.) s ottee.96. 6 Per otteere la stma co la precsoe fssata e co grado d fduca del 9%, occorre sceglere u campoe d ampezza. Per l grado d fduca del 99% l valore crtco è vece z.76. Co la formula (7.) s ottee. 76 9. 7 Per otteere la stma co la precsoe fssata e co grado d fduca del 99%, occorre sceglere u campoe d ampezza 6 Per avere u maggor grado d fduca occorre qud u campoe d maggor ampezza. Esempo 8 U medco msura temp d reazoe de suo pazet a u determato stmolo. La stma dello scarto quadratco medo è s sec. Calcolare quato deve essere grade l campoe d msurazo affché s possa asserre co grado d fduca del 9% e del 99%, che l errore ello stmare l tempo medo d reazoe ella popolazoe o è superore a sec. a Per l grado d fduca del 9% l valore crtco è z.96. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 97 Co la formula (7.) s ottee. 96 96. Qud possamo avere u grado d fduca del 9% che l errore ella stma del tempo medo sarà al pù sec, se predamo u campoe d ampezza 97. b Per l grado d fduca del 99% l valore crtco è z.76. Co la formula (7.) s ottee. 76 6. 9 Qud l campoe deve avere ampezza 66. S osserv (esemp 7 e 8) che per avere u maggor grado d fduca, a partà d errore, bsoga usare u campoe d ampezza pù grade. 7. Itervall d cofdeza per la meda (varaza cogta) L applcazoe della (7.) rchede la coosceza d σ; se σ o è oto, s è gà osservato che per grad campo può essere sosttuto co lo scarto quadratco medo campoaro s. Per pccol campo ( < ), ell potes che la popolazoe da cu s estrae l campoe abba dstrbuzoe ormale, c s può servre del teorema, Cap. 6, base al quale la statstca X μ T (7.6) S è ua varable aleatora che ha la dstrbuzoe t d Studet co grado d lbertà ν. - - - t t Fgura Procededo come el caso de grad campo, se l area sottesa dalla dstrbuzoe t a destra d vale (fgura ), allora l area compresa fra t e t vale, percò P t < < T t I altre parole s può asserre, co probabltà uguale a, che è soddsfatta la dsuguaglaza X μ t < < t (7.7) S Pertato, ua volta estratto l campoe d ampezza, co <, e calcolat valor della meda t Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

98 Captolo 7 Stma de parametr e dello scarto quadratco medo s del campoe, s ottee la stma per tervallo per la meda μ, co probabltà, o co grado d fduca ( ) % t s < μ < + t s (7.8) L tervallo (7.8) è detto tervallo d cofdeza per la meda μ, per pccol campo, co grado d fduca ( ) %. S rcord che l grado d lbertà della dstrbuzoe t è ν. Il valore d t che compare ella (7.8) è detto valore crtco della dstrbuzoe; a cascu grado d fduca corrspode u dverso valore crtco, e dversamete dal caso de grad campo, tale valore dpede ache dal grado d lbertà della dstrbuzoe t. I valor pù comuemete usat per soo 9, 9 e 99 ; relatv grad d fduca soo l 9%, l 9% e l 99%; corrspodet valor d grado d fduca del 9% grado d fduca del 9% grado d fduca del 99% t soo t t t t t t Quest valor possoo essere lett sulla tabella della dstrbuzoe t corrspodeza al grado d lbertà ν. Esempo 9 Sa dato u campoe d 6 oggett d cu s msura l peso, trovado u peso medo. g e uo scarto quadratco medo s 68 g. Determare u tervallo d cofdeza co grado d fduca del 99% per l peso medo della popolazoe. Poché s tratta d msure, s può ragoevolmete potzzare che la popolazoe da cu provee l campoe abba dstrbuzoe ormale. Il campoe ha ampezza 6, percò l grado d lbertà è ν. Dalle tavole della dstrbuzoe t s ottee t.97. Co la formula (7.8) s ottee l tervallo d cofdeza 68 68.. 97 < μ <. +. 97 6 6. 9 < μ <. 9 Esempo U campoe d msurazo del dametro d ua sferetta ha ua meda campoara. 8 cm e ua devazoe stadard campoara s 6 cm. Determare gl tervall d cofdeza co grado d fduca del 9%, 9% e 99% per l dametro medo della popolazoe. Poché s tratta d msure, s può ragoevolmete potzzare che la popolazoe da cu provee l campoe abba dstrbuzoe ormale. Il campoe ha ampezza, percò l grado d lbertà è ν 9. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 99 a Per l grado d fduca del 9% e l grado d lbertà ν 9, s ha Co la formula (7.8) s ottee l tervallo d cofdeza 6 6. 8. 8 < μ <. 8 +. 8. < μ <. b Per l grado d fduca del 9% e l grado d lbertà ν 9, s ha 6 6. 8. 6 < μ <. 8 +. 6. < μ <. t t.8 t t.6 c Per l grado d fduca del 99% e l grado d lbertà ν 9, s ha t t. 6 6. 8. < μ <. 8 +.. < μ <. S osserv come, restado varata l ampezza del campoe, all aumetare del grado d fduca cresce l ampezza dell tervallo d cofdeza, ossa la stma è meo precsa. Esempo Le msure kg del peso d u campoe d studet masch del prmo ao d u uverstà soo 6 6 6 68 7 7 6 6 69 67 Trovare u tervallo d cofdeza co grado d fduca del 99% per l peso medo della popolazoe uverstara maschle del prmo ao d quella uverstà. Calcolamo la meda e la varaza campoara 6 + 6 + 6 + 68 + 7 + 7 + 6 + 6+ 69 + 67 6. s [ 6 + 6 + 6 + 68 + 7 + 7 + 9 + 6 + 6 + 69 + 67 6. ] 8. 9 Il campoe ha ampezza, percò l grado d lbertà è ν 9. Per l grado d fduca del 99% e l grado d lbertà ν 9, s ha t. 8. 9 6.. < μ < 6. +. 6. < μ < 69. 98 t 8. 9 Osservazoe Come gà osservato (Cap., pag. ), la meda è sesble a valor estrem, ossa quell che s dscostao modo quattatvamete apprezzable dalla maggor parte de dat dell seme. Quest valor soo a volte chamat outlers. Abbamo ache osservato che la medaa, o essedo sesble a valor estrem, è da preferre alla meda come msura d tedeza cetrale, quado v soo outlers. Per lo stesso motvo s può usare preferblmete la medaa campoara come stmatore della medaa della popolazoe per fare fereza sulla tedeza cetrale d ua popolazoe; la medaa campoara, oltre a forre ua stma putuale della medaa della popolazoe, cosete ache d costrure u tervallo d cofdeza per la meda. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo 7 Stma de parametr Osservazoe Gl stmator che o soo sesbl agl outlers soo chamat stmator robust. U altro stmatore robusto per la tedeza cetrale è la meda trmmed. Dato u campoe d dat, la meda trmmed al q% s calcola come segue: s ordao dat; s elmao q% dat pù pccol e q% dat pù grad. I valor d solto usat soo q% % o q% %; s calcola la meda de rmaet dat. Geeralmete l valore della meda trmmed è compreso fra la meda e la medaa. Basados sulla meda trmmed s può costrure u tervallo d cofdeza per la meda della popolazoe. L effettva costruzoe degl tervall d cofdeza basat sull uso della medaa e della meda trmmed come stmator o sarà trattata queste lezo. Esempo Calcolo e cofroto d pù stme della meda d ua popolazoe, per dat co outlers. S estrae l seguete campoe d dat da ua popolazoe.8 9. 8.7.6. 9.8. 8.. Meda. 8 + 9. + 8. 7 +. 6 +. + 9. 8 +. + 8. +. +. Dat ordat 8. 8.7 9. 9.8.6..8.. Medaa +. 6 M 9 Meda trmmed al % S scarta l % de dat pù pccol e l % de dat pù grad (ossa dat 8. e.) prma d calcolare la meda 8. 7 + 9. + 9. 8 + + +. 6 +. +. 8 +. tr ( ) 98 8 Come s è detto, l valore della meda trmmed è compreso fra la meda e la medaa. 7. Itervall d cofdeza per la proporzoe U caso partcolarmete mportate d stma della meda per ua popolazoe o ormale e per grad campo è quello d ua popolazoe beroullaa. S vuole stmare l valore del parametro p (probabltà d successo), che rappreseta la frequeza relatva o proporzoe co cu ua certa caratterstca s preseta egl dvdu d ua data popolazoe. Esemp tpc d questa stuazoe soo seguet. Il sodaggo d opoe: s vuole stmare la proporzoe p della popolazoe complessva che è d accordo co ua certa opoe, osservado l valore che questa proporzoe ha su u campoe d dvdu. La produzoe d u dato tpo d oggetto: l produttore vuole poter garatre che la proporzoe d pezz dfettos ua data produzoe o super u certo valore prefssato; occorre qud determare, esamado u campoe, u tervallo d cofdeza per la proporzoe p d pezz dfettos ua produzoe, ed evetualmete tervere sulla produzoe affché la proporzoe d pezz dfettos o super ua certa sogla fssata. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Lo studo della dffusoe d ua data malatta: s vuole stmare qual è la proporzoe d pazet d ua certa popolazoe che ha ua data malatta, studado l valore d questa proporzoe su u campoe d persoe apparteet a quella popolazoe. Per stmare la proporzoe d ua popolazoe procedamo ello stesso modo cu abbamo stmato la meda d ua popolazoe. S estraggoo campo d ampezza dalla popolazoe e s cosdera la proporzoe campoara X Pˆ, dove X è l umero d volte cu la caratterstca osservata s preseta el campoe. Questa proporzoe campoara è uo stmatore corretto della proporzoe p della popolazoe e vee usato come stma putuale. Nel. abbamo vsto che, quado s ha sa p che ( p), la dstrbuzoe bomale d parametr e p può essere approssmata da ua dstrbuzoe ormale avete meda μ p e varaza σ p( p). I altr term la statstca X p Pˆ p Z (7.9) p( p) p( p) ha approssmatvamete la dstrbuzoe ormale stadardzzata per grad valor d. Qud quado è grade s può costrure u tervallo d cofdeza per l parametro p, usado l approssmazoe ormale per la dstrbuzoe bomale. Possamo affermare che P z < Z < z ossa, co probabltà, vale la dsuguaglaza Pˆ p z < < z (7.) p( p) Per rcavare l tervallo d cofdeza per p occorrerebbe rsolvere la dsuguaglaza (7.) rspetto a p; questo o è dffcle, ma l calcolo può essere otevolmete semplfcato sosttuedo ( p) p ell espressoe, che compare al deomatore, la quattà p co la proporzoe X campoara Pˆ (facedo questa sosttuzoe s ottee effett u tervallo d cofdeza approssmato). I questo modo, estraedo u campoe d ampezza da ua popolazoe beroullaa e dcado co pˆ la proporzoe del campoe, s ottee l seguete tervallo d cofdeza per la proporzoe p della popolazoe beroullaa, co grado d fduca ( ) %, valdo per grad campo. pˆ z pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) < p < pˆ + z Il valore crtco z vee scelto co la stessa regola gà dcata per l tervallo d cofdeza per la meda, el caso de grad campo. Osservamo che per otteere l tervallo d cofdeza (7.) soo state fatte tre approssmazo: l approssmazoe ormale della bomale; p( p) l approssmazoe d p co pˆ, ell espressoe ; (7.) Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo 7 Stma de parametr o è stata fatta la correzoe d cotutà per l approssmazoe ormale. Questo mplca che l tervallo d cofdeza trovato è u tervallo approssmato. Per verfcare le codzo d applcabltà dell approssmazoe della bomale co la ormale, ossa p e ( p), possamo solo verfcare che sa pˆ e ( pˆ ) ; questa verfca s può fare solo dopo aver effettuato l campoameto: se le codzo precedet o soo soddsfatte, l rsultato è prvo d valore, e occorre rpetere l campoameto aumetado l ampezza del campoe. Esempo I u campoe d persoe a cu è stato sommstrato u dato vacco, 6 d esse hao avuto effett collateral d u certo rlevo. Determare u tervallo d cofdeza co grado d fduca del 9% per la proporzoe della popolazoe che soffre d tal effett collateral. Nel campoe d persoe la proporzoe campoara è 6 pˆ Per l grado d fduca del 9% l valore crtco è z. 96 e co la formula (7.) s trova l tervallo d cofdeza ( ) ( ). 96 < p < +. 96 9 < p < 9 Osservamo che le codzo per poter usare l approssmazoe della bomale co la ormale soo verfcate, essedo pˆ e ( pˆ ) 66 6. Esempo U campoe d vota t scelto a caso fra tutt votat d ua regoe ha dcato che l % d ess è favorevole ad u certo caddato. a Determare gl tervall d cofdeza co grado d fduca del 9% e del 99% per la proporzoe d tutt votat a favore del caddato. b Cofrotare queste stme co la stma che s trova se s usa u campoe d votat, co la stessa percetuale campoara d favorevol. a Per l grado d fduca del 9% l valore crtco è z. 96 ; l rsultato campoaro dca che pˆ s e co la formula (7.) s trova l tervallo d cofdeza ( ) ( ).. 96 < p < +. 96 < p < 6 Possamo asserre co grado d fduca del 9% che l caddato avrà a suo favore ua percetuale d votat compresa fra l % e l 6%. Per l grado d fduca del 99% l valore crtco è z. 76 e co la formula (7.) s trova l tervallo d cofdeza. 76 < p < +. 76 < p < 68 ( ) ( ) La correzoe d cotutà o comporta dffereze rlevat se è grade. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Possamo questo caso asserre co grado d fduca del 99% che l caddato avrà a suo favore ua percetuale d votat compresa fra l % e l 69%. L ampezza degl tervall d cofdeza trovat è troppo grade, ossa la precsoe delle stme è troppo bassa. b Se l campoe è d votat, co l grado d fduca del 9% s trova l seguete tervallo d cofdeza. ( ) ( ). 96 < p < +. 96 < p < 8 I questo caso, co u grado d fduca del 9%, l caddato avrà a suo favore ua percetuale d votat compresa fra l % e l 8%, co ua stma decsamete pù precsa. La maggor precsoe dpede dalla maggore ampezza del campoe. Co lo stesso procedmeto gà usato el caso dell tervallo d cofdeza per la meda d u grade campoe, s può usare la dsuguaglaza (7.), valda co probabltà, per rcavare ua formula che cosete d determare l ampezza del campoe ecessara per otteere u errore prefssato. La (7.) equvale a Pˆ p < z p( p) ossa p( p) Pˆ p < z Idcado co E ma Pˆ p l massmo dell errore che s commette approssmado la proporzoe della popolazoe p co la proporzoe campoara P ˆ X, la stm a d E co probabltà è data da E z p ( p) (7.) I altre parole, se s vuole stmare la proporzoe p della popolazoe co la proporzoe campoara pˆ d u campoe d am pezza ( ), s può affermare, co probabltà, X p che l errore p sarà al pù uguale a ( p) z. Dalla formula (7.), rsolvedo rspetto a, s rcava l ampezza del campoe ecessara per stmare la proporzoe p co u errore prefssato E e co u dato grado d fduca (s rcord che deve essere u tero) z p( p) (7.) E Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo 7 Stma de parametr Questa formula o può essere usata se o s ha qualche formazoe sul valore d p; se tal formazo o soo dspobl, s può far uso del fatto che l valore massmo che può assumere la quattà p( p) è, corrspodete a p. I questo caso l ampezza ecessara per l campoe è (s rcord che deve essere u tero) z E (7.) Esempo P roblema del sodaggo d opoe. Suppoamo che s vogla stmare la proporzoe d elettor che approva l operato del capo del govero; su u campoe d persoe tervstate, 9 s soo dcharate favorevol. Determare u tervallo d cofdeza co grado d fduca del 9% per la proporzoe degl elettor favorevol al capo del govero e valutare la precsoe della stma. La proporzoe campoara de favorevol è 9 pˆ 6 L tervallo d cofdeza co grado d fduca del 9% è l seguete 6 ( 6) 6 ( 6). 6. 96 < p < 6 +. 96 < p < 68 La percetuale de favorevol, co u grado d fduca del 9%, è compresa fra l % e l 68%: la stma è troppo mprecsa, l ampezza dell tervallo è d 6 put percetual. Può qud essere utle determare l ampezza del campoe ecessara per otteere ua stma co precsoe fssata. Stablamo ad esempo che s vuole ua stma co ua precsoe dell % (corrspodete a u ampezza dell tervallo o superore a put percetual), ossa fssamo E Dato che o abbamo formazo crca la percetuale de favorevol el uovo campoe, dobbamo usare la formula (7.) e tal caso, per l grado d fduca del 9%, s ottee. 96 96 Esempo 6 Suppoamo d voler stmare la proporzoe d pezz dfettos u lotto d oggett d u dato tpo co u errore E e u grado d fduca del 9% ; calcolare l ampezza ecessara per l campoe, el caso che a o s abba alcua formazoe su quale possa essere la proporzoe effettva della popolazoe; b s sappa che la proporzoe della popolazoe o supera l %. Per verfcare questo fatto, rcordado che p è ua probabltà e può qud assumere solo valor compres fra e, basta cercare l massmo della fuzoe f p) p( p) ( ell tervallo (, ); tale massmo è e vee assuto per p. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca a Se o s ha alcua formazoe su p, s usa la formula (7.), e co grado d fduca del 9% s rcava. 96 6 Occorre qud u campoe d ampezza 6 b Se sappamo che p, co la formula (7.) e co grado d fduca del 9% s ottee. 96 ( ).. Occorre questo caso u campoe d ampezza. Questo esempo llustra come l fatto d avere qualche formazoe sul possble valore della proporzoe può sesblmete rdurre la dmesoe del campoe. 7.6 Itervall d cofdeza per la dffereza fra due mede (varaze ote) Molto spesso ua rcerca s è teressat a due popolazo; partcolare s vuole studare la dffereza fra le mede d due popolazo: ua dage, per esempo, s può cercare d stablre se le mede d due popolazo soo dverse oppure s vuole stmare la gradezza della dffereza fra le mede d due popolazo. I rcerche d questo geere è ecessaro cooscere le propretà della dstrbuzoe d campoameto della dffereza fra due mede. Date due dstrbuzo avet mede rspettvamete μ e μ e varaze σ e σ, rcordamo che vale la seguete propretà Propretà. Se le dstrbuzo d due varabl aleatore dpedet hao le mede μ e μ e le varaze σ σ, allora la dstrbuzoe della loro dffereza ha la meda μ μ e la varaza σ +. Date due popolazo avet dstrbuzo ormale, s estraggao da esse campo d ampezza rspettvamete e ; dcado co X e X le due mede campoare, base allo schema (Cap. 6, pag. 78) che rassume le propretà della dstrbuzoe della meda campoara, possamo affermare che X e X hao etrambe dstrbuzoe ormale co mede rspettvamete μ e μ e varaze σ σ e σ e ; lo stesso rsultato vale, almeo approssmatvamete, per grad campo estratt da popolazo o avet la dstrbuzoe ormale. I etramb cas, la dffereza X ha, almeo approssmatvamete, la dstrbuzoe ormale e, base alla precedete X σ σ propretà, la meda è μ μ e la varaza è +. Possamo allora cosderare la statstca ( X X ) ( μ μ ) Z (7.) σ σ + che ha almeo approssmatvamete la dstrbuzoe ormale stadardzzata. S rcordo le formule (.), pag.7. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo 7 Stma de parametr Procededo come gà vsto per rcavare l tervallo d cofdeza per la meda possamo asserre, co probabltà uguale a, che è soddsfatta la dsuguaglaza ( X X ) ( μ μ ) z < < z. (7.6) σ σ + Dalla dsuguaglaza (7.6), rsolvedo rspetto a μ μ s ottee X X z σ σ + Pertato, ua volta estratt campo d ampezza rspettvamete e,, e calcolat valor e delle mede de due campo, s ottee l seguete tervallo d cofdeza per la dffereza < μ delle mede μ μ, co grado d fduca ( ) %. μ < X X + z σ σ + z σ σ σ σ + < μ μ < + z + (7.7) La formula (7.7) vale per popolazo ache o ormal, purché campo sao grad (, ). Se le popolazo da cu provegoo campo hao dstrbuzoe ormale, la (7.7) vale qualuque sao le dmeso de campo. I valor pù comuemete usat per l grado d fduca soo, come al solto, l 9%, l 9% o l 99%; corrspodet valor d z soo seguet grado d fduca del 9% grado d fduca del 9% grado d fduca del 99% z z.6 z.96 z z.76 z L applcazoe della (7.7) rchede la coosceza delle varaze delle popolazo; se vece le varaze e o soo ote, el caso d grad campo possoo essere sosttute co le σ σ s s varaze campoare e. Esempo 7 U campoe d lampade della marca A ha mostrato ua durata meda d ore ed uo scarto quadratco medo d ore; u campoe d lampade della marca B ha mostrato vece ua durata meda d ore ed uo scarto quadratco medo d 9 ore. Trovare gl tervall d cofdeza al 9% e al 99% per la dffereza d durata d tutte le lampade delle marche A e B. I dat del problema soo seguet s 9 a Per l grado d fduca del 9% l valore crtco è z.96 s z Applcado la formula (7.7) s deve sostture alla varaza della popolazoe, che o è ota, la varaza del campoe; s ottee l tervallo d cofdeza Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 9. 96 + < μ μ < +. 96 8 < μ μ < b Per l grado d fduca del 99% l valore crtco è cofdeza 9 + z.76 e s ottee l tervallo d z 9. 76 + < μ μ < +. 76 7 < μ μ < 7 9 + Esempo 8 Nella fase d test d u uovo farmaco due grupp sml d pazet, A e B, compost rspettvamete d e dvdu, hao partecpato alla spermetazoe: l prmo gruppo è stato sottoposto ad ua cura co u uovo tpo d sofero, metre l secodo è stato curato co u tpo covezoale d sofero. Per pazet del gruppo A, l umero medo d ore d soo per otte è stato d 7. ore co uo scarto quadratco medo d ore. Per pazet del gruppo B, l umero medo d ore d soo è stato d 6.7 ore co uo scarto quadratco medo d ore. Trovare gl tervall d cofdeza al 9% e al 99% per la dffereza tra umer med d ore d soo. I dat del problema soo seguet 7. 6. 7 a Per l grado d fduca del 9% l valore crtco è cofdeza s s z.96 e s ottee l tervallo d z 7. 6. 7. 96 + < μ μ < 7. 6. 7 +. 96 + 7 < μ μ < 9 b Per l grado d fduca del 99% l valore crtco è z.76 e s ottee l tervallo d cofdeza 7. 6. 7. 76 68 < μ μ < 9 + < μ μ z < 7. 6. 7 +. 76 + 7.7 Itervall d cofdeza per la dffereza fra due mede (varaze cogte) L applcazoe della (7.7) rchede la coosceza delle varaze delle popolazo; se le varaze e o soo ote, el caso d grad campo possoo essere sosttute co le varaze σ σ s s campoare e (vedere l precedete e gl esemp 7, 8). Nel caso s tratt vece d pccol campo e le varaze o sao ote, per stmare la dffereza fra le mede delle due popolazo s può far rcorso alla dstrbuzoe t, ma occorre che sao verfcate alcue potes. Iaz tutto le due popolazo devoo avere dstrbuzoe ormale; oltre occorre dstguere due cas: l caso cu le varaze delle due popolazo soo ugual e l caso cu soo dverse. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo 7 Stma de parametr I queste lezo sarà trattato solo l caso d due popolazo ormal co la stessa varaza. Se le due popolazo ormal hao la stessa varaza (cogta), le due varaze campoare S e S, che s calcolao da campo dpedet estratt dalle due popolazo, possoo essere cosderate come stme della stessa quattà, la varaza comue alle due dstrbuzo. Basadoc su questa osservazoe s può rcavare ua stma coguta della varaza comue, calcolado la meda poderata delle due varaze campoare co la seguete formula ( ) S + ( ) S S (7.8) + C ascua delle due varaze campoare è poderata co l suo grado d lbertà. Se due campo hao la stessa ampezza, la stma coguta è la meda artmetca delle due varaze campoare; se vece hao ampezze dverse, la meda poderata è maggormete fluezata dall formazoe forta dal campoe pù grade. Per pccol campo ( < ), ell potes che le popolazo da cu s estraggoo campo abbao dstrbuzoe ormale co la stessa varaza, dcado co X e X le mede campoare e co S la stma coguta della varaza, s può dmostrare che la statstca ( X ) ( μ μ ) X T (7.9) S + ha la dstrbuzoe t co grado d lbertà +. Pertato, co procedmeto aalogo a quello del precedete, ua volta estratt campo d ampezza rspettvamete e,, e calcolat valor e delle mede de due campo, valor s e s delle due varaze, e l valore s della stma coguta della varaza, s ottee l seguete tervallo d cofdeza per la dffereza delle mede μ μ, co grado d fduca, per pccol campo estratt da due popolazo ormal co la stessa varaza. ( ) % t s + < μ μ < + t s + (7.) I valor pù com uemete usat per l grado d fduca soo, come al solto, l 9%, l 9% o l 99%; corrspodet valor d t soo seguet grado d fduca del 9% grado d fduca del 9% grado d fduca del 99% t t t t t t Quest valor possoo essere lett sulla tabella della dstrbuz oe t corrspodeza al grado d lbertà ν +. Il valore del grado d lbertà può essere maggore d 9: tal caso s utlzzao valor crtc dell ultma rga della tabella della dstrbuzoe t. Esempo 9 Nella tabella soo rportate le lughezze cm d due campo A e B d oggett dello stesso tpo prodott da due macche dverse. A 8.6 8. 8. 8.7 8. B 7.9 7.89 7.9 8. 7.9 7.8 7.9 Tabella Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9 Calcolare gl tervall d cofdeza per la dffereza fra le mede co grado d fduca del 9% e del 99%, suppoedo che le popolazo da cu provegoo campo abbao dstrbuzoe ormale co la stessa varaza. I base a dat della tabella s ha 7 8. 7. 9 s s 7 9 La stma coguta della varaza co la formula (7.8) è 7 + 6 9 s 76 + 7 Il grado d lbertà della dstrbuzoe t è ν + + 7. a Per l grado d fduca del 9% l valore crtco è t.. 8 e co la (7.) s trova l tervallo d cofdeza seguete 8. 7. 9. 8 76 + < μ μ < 8. 7. 9 +. 8 76 + 7 7 8 < μ μ < b Per l grado d fduca del 99% l valore crtco è vece t.. 69 e s trova l tervallo d cofdeza seguete 8. 7. 9. 69 76 + < μ 7 88 < μ μ < 9 μ < 8. 7. 9 +. 69 76 + 7 7.8 Itervall d cofdeza per la dffereza fra due proporzo Spesso s è teressat alla stma della dffereza fra le proporzo d due popolazo. Possamo voler cofrotare, per esempo, due grupp d età, due grupp d dverso sesso o due grupp dagostc rspetto alla proporzoe d coloro che possedoo ua qualche caratterstca d teresse. Uo stmatore putuale corretto della dffereza fra le proporzo p e p d due popolazo è forto dalla dffereza fra le proporzo campoare pˆ pˆ. Se, come abbamo gà vsto el caso dell tervallo d cofdeza per la proporzoe, le ampezze e de campo soo grad e le proporzo delle popolazo o soo troppo vce a o a (ossa soo soddsfatte codzo del tpo p e ( p) ), s può rcorrere all approssmazoe della dstrbuzoe bomale co la dstrbuzoe ormale per rcavare l tervallo d cofdeza per dffereza fra due proporzo. S può dmostrare che la statstca Pˆ Pˆ ( p p ) Z (7.) p( p ) p ( p ) + ha approssmatvamete la dstrbuzoe ormale stadardzzata, per valor suffcetemete grad d e. Co u procedmeto aalogo a quello seguto per rcavare l tervallo d cofdeza per la proporzoe ( 7., pag. ) s può rcavare l seguete tervallo d cofdeza per la dffereza fra due proporzo p p, co grado d fduca ( ) %, valdo per grad campo Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo 7 Stma de parametr ( pˆ pˆ ) z pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) + < p p < ( pˆ pˆ ) + z pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) + (7.) Osservamo che le quattà p e p che compaoo al deomatore ell espressoe (7.) soo state approssmate co le rspettve proporzo campoare pˆ e pˆ, otteedo così u tervallo d cofdeza approssmato. Il valore crtco z vee scelto co la stessa regola gà dcata per l tervallo d cofdeza per la meda, el caso de grad campo. Esempo I u campoe casuale d 6 adolescet e adult che seguoo u certo programma televsvo, adolescet e adult hao espresso u parere favorevole al programma stesso. Trovare gl tervall d cofdeza al 9% e al 99% per la dffereza fra le proporzo degl adult favorevol e degl adolescet favorevol al programma. I dat del problema soo seguet pˆ pˆ 6 a Per l grado d fduca del 9% co la (7.) s trova l tervallo d cofdeza. 7 7. 96 + < p p < +. 96 + 6 6 9 < p p < Esempo Ua maccha per lo stampaggo d part plastca vee sottoposta a ua modfca el processo d lavorazoe. I u campoe d 8 pezz scelt prma della modfca, soo dfettos, metre u campoe d 8 pezz scelt dopo la modfca 8 soo dfettos. Trovare u tervallo d cofdeza co grado d fduca del 9% per la dffereza fra le proporzo d pezz dfettos prma e dopo l terveto. I dat del problema soo seguet 8 pˆ 8 pˆ 9 8 8 Per l grado d fduca del 9% co la (7.) s trova l tervallo d cofdeza ( 8) 9 ( 9) 8 8 9. 96 + < p p < 8 8 8 ( 8) 9 ( 9) < 8 9 +. 96 + 8 8 68 < p p < 7 Questo tervallo comprede lo zero, percò, basadoc su quest due campo, sembra mprobable che la modfca el processo d lavorazoe abba dmuto la proporzoe d pezz dfettos. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7.9 Itervall d cofdeza per la varaza e per lo scarto quadratco medo Nel calcolo dell tervallo d cofdeza per la meda d u grade campoe s è osservato che, se lo scarto quadratco medo della popolazoe o è oto, esso può essere sosttuto co lo scarto quadratco medo campoaro. I cert cas è però ecessaro determare tervall d cofdeza per la varaza o per lo scarto quadratco medo. Nella maggor parte delle applcazo pratche, le stme per tervallo per σ e σ soo basate sullo scarto quadratco medo campoaro s e sulla varaza campoara s. S cosder ua popolazoe avete dstrbuzoe ormale, e s estraggao da questa popolazoe campo d ampezza. I base al teorema, Cap. 6, s può affermare che la statstca ( ) S χ (7.) σ ha la dstrbuzoe χ co grado d lbertà ν. Come gà osservato, la dstrbuzoe χ o è smmetrca (s veda l esempo, Cap. 6); usado code d uguale area e dcado co l area d cascua coda (fgura ), s ha che P χ < ( ) S < χ σ 8 6 χ χ Fgura I altre parole s può asserre co probabltà, ossa co grado d fduca ( ) %, che vale la dsuguaglaza χ < ( ) S σ < χ Pertato, dcado co s la varaza d u campoe d ampezza estratto da ua popolazoe ormale, e rsolvedo questa dsuguaglaza rspetto a σ s ottee l tervallo d cofdeza per la varaza σ co grado d fduca ( ) % ( ) s ( ) χ < σ < χ s (7.) Estraedo la radce quadrata d cascu membro della dsuguaglaza, s ottee l tervallo d cofdeza per lo scarto quadratco medo. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo 7 Stma de parametr Il metodo descrtto per trovare gl tervall d cofdeza per la varaza s applca solo a campo estratt da popolazo ormal. L assuzoe che la popolazoe abba dstrbuzoe ormale è molto mportate: fatt rsultat otteut gorado tale potes possoo portare a grav error. S osserv oltre che l tervallo d cofdeza o è smmetrco, come vece accade per gl tervall d cofdeza per la meda o per la proporzoe; cò è dovuto al fatto che la dstrbuzoe χ o è smmetrca. I valor pù comuemete usat per soo 9, 9 e 99, a cu corrspodoo grad d fduca del 9%, del 9% e del 99%; corrspodet valor d grado d fduca del 9% grado d fduca del 9% grado d fduca del 99% χ χ χ χ χ χ... χ e d χ Quest valor possoo essere lett sulla tabella della dstrbuzoe χ corrspodeza al grado d lbertà ν. Esempo I ua scuola è stato scelto a caso u campoe d 6 studet dell ultmo ao e s è msurata l altezza d cascuo d ess. La varaza campoara della msura delle altezze è s 7.9 cm. Trovare gl tervall d cofdeza al 9% e al 99% per la varaza della popolazoe costtuta da tutt gl studet dell ultmo ao della scuola. Poché s tratta d msure, s può ragoevolmete potzzare che la popolazoe da cu provee l campoe abba dstrbuzoe ormale. a Per l grado d fduca del 9% e l grado d lbertà ν, s ha χ χ. 97 6. 6 χ χ. χ χ χ 7. 88 Co la formula (7.) s ottee l tervallo d cofdeza per la varaza co grado d fduca del 9% 7. 9 7. 9 < σ < 7. 88 6. 6 < σ < 88. 8 b Per l grado d fduca del 99% e l grado d lbertà ν, s ha χ χ. 99. 6 χ χ..8 Co la formula (7.) s ottee l tervallo d cofdeza per la varaza co grado d fduca del 99% 7. 9 7. 9 < σ <. 8. 6 6. 96 < σ < 9 Il corrspodete tervallo d cofdeza per lo scarto quadratco medo è. < σ <. soo χ χ χ. 9. 97. 99 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Esempo Lo scarto quadratco medo della durata d u campoe d lampade è s ore. Trovare l tervallo d cofdeza al 9% per la varaza della popolazoe. Poché s tratta d msure, s può ragoevolmete potzzare che la popolazoe da cu provee l campoe abba dstrbuzoe ormale. Per l grado d fduca del 9% e l grado d lbertà ν, s ha χ 97 χ.. χ χ. 9. 6 Co la formula (7.) s ottee l tervallo d cofdeza per la varaza co grado d fduca del 9% 9. 6 < σ <. 696. 9 < σ < 9. 8 Il corrspodete tervallo d cofdeza per lo scarto quadratco medo è 78. 8 < σ < 9. Esempo Le msure della durata ore d battere soo le seguet 6 8 8 Trovare u tervallo d cofdeza al 99% per la varaza e per lo scarto quadratco medo della popolazoe. Calcolamo la meda campoara e la varaza campoara + 6 + + + 8 + + 8 + + +. s [ + 6 + + + 8 + + 8 + + 9 + +. ]. Per l grado d fduca del 99% e l grado d lbertà ν 9, s ha χ 99 χ.. 7 χ χ.. 89 Co la formula (7.) s ottee l tervallo d cofdeza per la varaza co grado d fduca del 99% 9. 9. < σ <. 89. 7. 9 < σ < 67. Per lo scarto quadratco medo s ha. < σ <. 9. Esempo Cque studet effettuao modo dpedete l calcolo approssmato del umero π e trovao seguet valor..6.9.. Trovare u tervallo d cofdeza per l umero π (ossa per la meda) e u tervallo d cofdeza per lo scarto quadratco medo, co grado d fduca del 9% e del 99%. Ipotzzamo che l campoe sa tratto da ua popolazoe ormale. Calcolamo la meda campoara e la varaza campoara Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo 7 Stma de parametr. +. 6 +. 9 +. +.. s a Itervall d cofdeza per la meda. Per l grado d fduca del 9% e l grado d lbertà ν s ha [. +. 6 +. 9 +. +.. ] Co la formula (7.8) s ottee l tervallo d cofdeza per la meda.. 776 < μ <. +. 776. 97 < μ <. Per l grado d fduca del 99% e l grado d lbertà ν s ha L tervallo d cofdeza al 99% per la meda è t t.776.. 6 < μ <. +. 6. 8 < μ <. b Itervall d cofdeza per la varaza. Per l grado d fduca del 9% e l grado d lbertà ν, s ha χ 97 t t.6 χ. 8 χ χ.. Co la formula (7.) s ottee l tervallo d cofdeza per la varaza co grado d fduca del 9% < σ <. 8 78 < σ < 6 L tervallo d cofdeza per lo scarto quadratco medo è. 8 < σ < Per l grado d fduca del 99% e l grado d lbertà ν, s ha χ 97 χ. 7 χ χ.. 86 Co la formula (7.) s ottee l tervallo d cofdeza per la varaza co grado d fduca del 99% < σ <. 86 7 8 < σ < 86 L tervallo d cofdeza per lo scarto quadratco medo è. 7 < σ < 6 La formula (7.) per trovare l tervallo d cofdeza per la varaza e lo scarto quadratco medo, pur essedo valda sa per pccol che per grad campo, vee d solto utlzzata solo per pccol campo e, come gà sottoleato, el caso cu la popolazoe da cu provee l campoe sa ormale. Per grad campo estratt da ua popolazoe ormale, s può dmostrare che la dstrbuzoe campoara S della devazoe stadard σ può essere approssmata co ua dstrbuzoe ormale σ avete meda σ e devazoe stadard, ossa la statstca Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca S σ Z (7.) σ ha approssmatvamete la dstrbuzoe ormale stadardzzata, per suffcetemete grade. S può pertato asserre che, co probabltà, vale la dsuguaglaza S σ z < < z σ Rsolvedo la dsuguaglaza rspetto a σ, e dcado co s lo scarto quadratco medo d u campoe d ampezza, s trova l'tervallo d cofdeza per lo scarto quadratco medo σ, per grad campo, co probabltà, o co grado d fduca ( ) % s z < σ < s z + (7.6) I valor d z base al grado d fduca fssato soo seguet grado d fduca del 9% z z.6 grado d fduca del 9% grado d fduca del 99% z.96 z z.76 z Esempo 6 Determare u tervallo d cofdeza co grado d fduca del 9% per lo scarto quadratco medo della popolazoe da cu è stato estratto l campoe studato ell esempo, Cap. Per questo campoe d ampezza 8 (grade campoe) s è calcolato (esempo, Cap. ) la varaza campoara s.96 Per l grado d fduca del 9% s ha z.96. Co la formula (7.6) s trova l tervallo d cofdeza per lo scarto quadratco medo co grado d fduca del 9%.. 96. 96 < σ <. 96. 96 + 6 6. 89 < σ < 6. 69 Esempo 7 Lo scarto quadratco medo della durata d u campoe d lampade è s ore. Trovare l tervallo d cofdeza al 9% per lo scarto quadratco medo dell tera popolazoe. Poché l ampezza del campoe è, s tratta d u grade campoe; per l grado d fduca del 9% s ha z.96 e co la formula (7.6) s trova l tervallo d cofdeza Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo 7 Stma de parametr < σ <. 96. 96 + 9 < σ < Esempo 8 U campoe d msurazo del puto d bolltura d ua sostaza chmca ha scarto quadratco medo s 8 C. Determare u tervallo d cofdeza al 99% per lo scarto quadratco medo σ. Poché l ampezza del campoe è, s può usare la formula (7.6); per l grado d fduca del 99% s ha z.76. L tervallo d cofdeza per lo scarto quadratco medo σ è 8 8 < σ <. 76. 76 + 6 6 6 < σ <. 7. Itervall d cofdeza per l rapporto d due varaze Per cofrotare fra loro due varaze s costrusce l loro rapporto σ σ Se le due varaze soo ugual, l loro rapporto sarà uguale a ; d solto però o s cooscoo le varaze delle popolazo studate, e l cofroto avverrà sulla base delle varaze campoare, ossa s procede a ua stma del rapporto delle varaze delle due popolazo. S cosdero due popolazo avete dstrbuzoe ormale, e s estraggao da queste popolazo campo dpedet d ampezza rspettvamete e. Le varaze campoare sao rspettvamete S e S. I base al teorema, Cap. 6, s può affermare che la statstca / / S σ F (7.7) S σ ha la dstrbuzoe F d parametr ν e ν. S può osservare che la dstrbuzoe F o è smmetrca percò, co lo stesso tpo d procedmeto gà utlzzato per rcavare gl tervall d cofdeza per la varaza, usado code d uguale area e dcado co l area d cascua coda, s ha che P F S σ < < F S σ / /. I altre parole s può asserre co probabltà, ossa co grado d fduca ( ) %, che vale la dsuguaglaza F S σ < < F S σ Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 Rsolvedo questa dsuguaglaza rspetto a S S F σ σ σ S < < F σ S e prededo recproc de tre term s ha S S σ S < < F σ S F s ha Pertato, estraedo due campo dpedet d ampezza e da due popolazo ormal e s s dcado co e le varaze de due campo, dove è la pù grade delle due varaze, s ottee l tervallo d cofdeza per l rapporto d due varaze ( ) % s σ σ co grado d fduca σ s < < F σ s F s s (7.8) Il metodo descrtto per trovare gl tervall d cofdeza per l rapporto d due varaze s applca solo a campo estratt da popolazo ormal. Ache questo caso la verfca dell potes d ormaltà delle due popolazo è d grade mportaza. I valor pù comuemete usat per soo 9, 9 e 99, a cu corrspodoo grad d fduca del 9%, del 9% e del 99%; corrspodet valor d F e d F soo grado d fduca del 9% F F. F F. grado d fduca del 9% F F. grado d fduca del 99% F F. 9 F F. 97 F F. 99 I valor F possoo essere lett sulla tavola della dstrbuzoe F corrspodeza a grad d lbertà ν e ν ; valor F s possoo rcavare dalla stessa tavola facedo uso della formula seguete (formula (6.8), pag. 87). F (7.9) ( ν, ν ) ( ν ν ) F, Esempo 9 S vuole studare la varabltà de dametr delle sfere d accao prodotte da due dverse macche. A tale scopo s estraggoo due campo d sfere prodotte dalle due macche, d ampezza rspettvamete e 6; le varaze de due campo soo s e s... Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo 7 Stma de parametr Assumedo che le due popolazo da cu provegoo campo abbao dstrbuzoe ormale, trovare gl tervall d cofdeza al 9% e al 9% per l rapporto fra le varaze delle popolazo. ν ν s s a Per l grado d fduca del 9%, co le tavole e facedo uso della formula (7.9) s ha 9 F, F,. F ( ) ( ) (, ) F (, ) 9 F (, ). 8 Applcado la formula (7.8) s trova l tervallo d cofdeza co grado d fduca del 9% σ < <. σ σ < <. 7 σ b Per l grado d fduca del 9% s ha vece 9 F, F,. 6 F ( ) ( ) (, ) F (, ) 97 F (, ) 8. Applcado la formula (7.8) s trova l tervallo d cofdeza co grado d fduca del 9% σ < <. 6 σ 8 σ 7 < <. 9 σ S osserv che aumetado l grado d fduca, cresce l ampezza dell tervallo, ossa la stma è meo precsa. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9 8. Test d potes 8. Itroduzoe Come è gà stato messo evdeza, uo degl scop pù mportat d u aals statstca è quello d utlzzare de dat proveet da u campoe per fare fereza sulla popolazoe da cu è stato tratto l campoe. Nel Cap. 7 s è vsto ad esempo come, utlzzado la meda campoara, s può stmare l valore del corrspodete parametro della popolazoe. C soo altr problem cu s sottopoe a test u potes su u parametro d ua popolazoe, co lo scopo d decdere, esamado u campoe tratto dalla popolazoe, se l affermazoe rguardate l parametro è vera o falsa. Ad esempo l resposable della produzoe u azeda può potzzare che le cofezo prodotte abbao u peso medo d g; u medco può potzzare che u certo farmaco sa effcace el 9% de cas cu vee usato. Co la verfca delle potes s può determare se tal cogetture soo compatbl co dat dspobl dal campoe. Defzo U potes formulata term d parametr d ua popolazoe, come meda o varaza, è detta potes statstca. Il procedmeto che cosete d rfutare o accettare u potes statstca utlzzado dat d u campoe, vee chamato test d potes. 8. Ipotes statstche Per llustrare cocett geeral rguardat la verfca delle potes, cosderamo seguet esemp. Esempo S vuole sottoporre a test l affermazoe d u produttore d verc secodo cu l tempo medo d ascugatura d ua uova verce è o superore a μ mut. A questo scopo s prede u campoe d latte d verce, s effettuao prove d vercatura co la verce delle dverse cofezo e s calcola l tempo medo d ascugatura, co l tezoe d rfutare l affermazoe del produttore se la meda osservata supera l valore d mut, o d accettarla caso cotraro. Esempo S vuole verfcare se le latte d caffè cofezoate automatcamete da ua dtta cotegoo meda l peso dcharato μ g. A tale scopo s estrae u campoe d latte, se e pesa l coteuto e s calcola l peso medo, per stablre se l peso medo dffersce da g. La verfca delle potes statstche za co la defzoe del problema term d potes sul parametro oggetto d studo. Per prma cosa s stablsce l potes da sottoporre a test, detta potes ulla, dcata co H. Oltre all potes ulla occorre specfcare ache u adeguata potes alteratva, dcata co H, ossa u affermazoe che cotraddce l potes ulla. Nell esempo l potes ulla e l potes alteratva soo H : μ mut H : μ > mut. Nell esempo l potes ulla e l potes alteratva soo H : μ g H : μ g. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo 8 Test d potes Orgaramete l terme ulla ell potes ulla era usato co l sgfcato d essua dffereza o la dffereza è ulla, come llustrao seguet esemp. Se s vuole stablre se u metodo d segameto d ua lgua straera è pù effcete d u altro, s potzza che due metod sao ugualmete effcet; se s vuole verfcare se u farmaco è pù effcace d u altro, s potzza che sao ugualmete effcac. Questo altre parole sgfca potzzare che o c sa essua dffereza fra due metod o fra due farmac: per questo motvo l potes s dce ulla. I geerale attualmete l terme potes ulla vee usato per og potes sottoposta a test co lo scopo d decdere se deve essere rfutata favore dell potes alteratva. Regole per la scelta delle potes U problema mportate el predsporre u test d potes è la scelta delle potes: come s può decdere qual è l potes ulla e quale deve essere l potes alteratva? No c è purtroppo ua rsposta semplce alla domada, perché la scelta dpede ache da fattor soggettv: ch effettua l test ha geere covzo e dee persoal su quato tede mostrare. Tuttava s possoo dcare alcue lee guda; faccamo rfermeto per comodtà a u test sulla meda d ua sgola popolazoe, ma gl stess prcp s possoo applcare a og test rguardate uo o pù parametr. Se ad esempo l test ha come scopo d decdere se l valore della meda μ della popolazoe è dverso dal valore, l potes ulla e l potes alteratva sarao della forma H : μ H : μ Se vece l test ha lo scopo d decdere se l valore d μ è more d, allora l potes ulla e l potes alteratva sarao H : μ H : μ < Se fe l test ha lo scopo d decdere se l valore d μ è maggore d, allora l potes ulla e l potes alteratva sarao H : μ H : μ > I coclusoe: ell potes alteratva vee messo cò che s spera o c s aspetta d poter cocludere come rsultato del test; l potes ulla è posta co lo scopo d essere scredtata, qud cò che s oppoe alla coclusoe che l rcercatore cerca d raggugere rappreseta l potes ulla; ell potes ulla deve sempre comparre u sego d uguaglaza (, o ); le due potes soo complemetar, ossa cosderate seme esaurscoo tutte le possbltà rguardat l valore che può assumere l parametro esame. Gl esemp seguet llustrao la scelta dell potes ulla e dell potes alteratva vare stuazo, elle qual l parametro sottoposto a test è la meda. Esempo S suppoga d voler stablre se possamo cocludere che l tempo medo rchesto per svolgere ua certa operazoe è more d mut. I tal caso s scelgoo le potes H : μ mut H : μ < mut. Esempo Il coteuto dcharato dal produttore delle bottgle d acqua merale d ua certa marca è 9ml. U assocazoe d cosumator sostee che realtà le bottgle cotegoo meda ua quattà ferore d acqua. I questo caso le potes soo H : μ 9 ml H : μ < 9 ml. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Esempo U gegere suggersce alcue modfche che s potrebbero apportare a ua lea produttva per aumetare l umero d pezz prodott goralmete. Per decdere se applcare queste modfche occorre che dat spermetal dcho co forte evdeza che la maccha modfcata è pù produttva d quella orgara. Se μ è l umero medo d pezz prodott prma della modfca, s scelgoo le potes H : μ μ H : μ > μ. Osservazoe E mportate sottoleare che co la verfca delle potes, e geerale co l fereza statstca, o s arrva alla dmostrazoe d u potes; s ha solo u dcazoe del fatto che l potes sa o meo avvalorata da dat dspobl: quado o s rfuta u potes ulla, o s dce che essa è vera, ma che può essere vera; altre parole se o rfutamo l potes ulla, possamo solo cocludere che l campoe o forsce prove suffcet a garatre l rfuto, ma cò o mplca alcua dmostrazoe. Rassumedo, le possbl cocluso per u test d potes soo: se l potes ulla H è rfutata, s coclude che l potes alteratva H è probablmete vera; se l potes ulla o è rfutata s coclude che dat o forscoo ua suffcete evdeza per sosteere l potes alteratva. 8. Tp d errore e lvello d sgfcatvtà Dopo aver formulato le potes, occorre specfcare quale rsultato del campoe porterà al rfuto dell potes ulla. Rcordamo che le statstche campoare meda e varaza soo stmator corrett del corrspodete parametro della popolazoe. Poché l valore della statstca è calcolato da u campoe, ache se l potes ulla è vera, è però molto probable che la statstca dffersca d ua certa quattà dal valore del parametro della popolazoe, per effetto del caso; cò oostate, se l potes ulla è vera, c aspettamo che la statstca campoara sa vca al parametro della popolazoe. Se cò accade o c soo prove suffcet per rfutare l potes ulla. Se ell esempo, la meda campoara fosse ad esempo d mut, potremmo ragoevolmete cocludere che l potes ulla è vera, ossa l affermazoe del produttore è vera, perché l valore campoaro è abbastaza vco al valore μ mut. Aalogamete, el caso dell esempo, se la meda campoara fosse d g o d g, potremmo ragoevolmete decdere d accettare l potes ulla che l peso medo sa μ g, perché la dffereza dal peso dcharato è pccola; se vece la dffereza dal peso medo fosse troppo grade potremmo decdere d rfutare l potes. I og caso s prede ua decsoe basata sul fatto che s rtee che campo estratt dalla popolazoe sao rappresetatv della stessa. Tuttava l processo decsoale o può certo essere basato su term abbastaza vco o troppo grade usat egl esemp; la teora della verfca de test d potes s basa sullo studo della dstrbuzoe campoara d ua statstca, detta statstca test. La statstca test è ua statstca che vee calcolata da dat del campoe e può assumere tat valor quat soo possbl campo estrabl dalla popolazoe, qud l partcolare valore calcolato dpede dal campoe estratto. U esempo d statstca test è la quattà X μ Z σ Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo 8 Test d potes La dstrbuzoe d campoameto della statstca test è, d solto, ua dstrbuzoe ota, come la dstrbuzoe ormale o la dstrbuzoe t, e rcorramo a queste dstrbuzo per sottoporre a verfca u potes ulla; ad esempo la statstca test Z ha la dstrbuzoe ormale stadardzzata. Utlzzado le propretà della dstrbuzoe d campoameto della statstca soggetta a test, s può detfcare u tervallo d valor d quella statstca che verosmlmete o s presetao se l potes ulla è vera. La dstrbuzoe d campoameto della statstca test è dvsa due rego, ua regoe d rfuto e ua regoe d accettazoe, delmtate da uo o pù valor, dett valor crtc. Defzo La regoe d rfuto corrspode all seme de valor d ua statstca test che coducoo al rfuto dell potes ulla. L seme de valor che portao vece all accettazoe dell potes ulla s chama regoe d accettazoe. I valor crtc soo valor della statstca test che separao le rego d rfuto e d accettazoe. Se la statstca test, base a dat del campoe, assume u valore che cade ella regoe d rfuto, l potes ulla deve essere rfutata; se al cotraro l valore cade ella regoe d accettazoe, l potes ulla o può essere rfutata. La regoe d rfuto può essere vsta come l seme de valor della statstca test che o è probable che s verfcho quado l potes ulla è vera, metre è probable che s verfcho quado l potes ulla è falsa. Pertato, se l campoe porta a u valore della statstca test che cade ella regoe d rfuto, rfutamo l potes ulla perché o è probable che sa vera. I test d potes possoo essere classfcat due grupp: test a ua coda (o test ulaterale) e test a due code (o test blaterale). Quado la regoe d rfuto è costtuta da u tervallo, l test s dce a ua coda: questo caso è llustrato dalle fgure e, pag. 6-7; quado vece la regoe d rfuto è costtuta da due tervall, ossa da due code della dstrbuzoe, l test s dce a due code: questo caso è llustrato dalla fgura, pag. 7. U semplce modo per stablre d che tpo è u test, seza dover cooscere la/le rego d rfuto è l seguete: per u test a due code ell potes alteratva compare l sego, metre per u test a ua coda compare uo de seg > oppure <. Quado s usa ua statstca campoara per predere ua decsoe sul parametro della popolazoe s corre sempre l rscho d gugere a ua coclusoe sbaglata. Questo dpede dal fatto che u formazoe parzale, otteuta da u campoe, è usata per trarre cocluso sull tera popolazoe. Nella verfca d potes s dvduao due tp d errore. Per llustrare questo problema rpredamo esame l esempo. Suppoamo d aver scelto la regoe d accettazoe, stabledo d accettare l potes ulla se la meda del campoe o supera mut. C è ua prma possbltà che la meda del campoe super mut stablt, metre la meda effettva della popolazoe è μ mut; c è ache ua secoda possbltà che la meda del campoe possa essere more o uguale a mut, ma la meda effettva o sa μ mut, ma sa ad esempo μ mut. La stuazoe appea descrtta questo esempo è tpca de test d potes: ache se s fa l test modo corretto, s possoo commettere quest due tp d errore, che possoo portare a cosegueze daose. Defzo Se l potes H è vera, ma vee erroeamete rfutata, s commette u errore del I tpo; la probabltà d commettere tale errore è dcata co. Se l potes H è falsa, ma erroeamete o vee rfutata, s commette u errore del II tpo; la probabltà d commettere questo tpo d errore è dcata co β. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca I rsultat delle decso a cu s pervee co u test d potes possoo essere rassut el seguete schema. A secoda della decsoe presa, s può verfcare uo de due tp d errore H vera H falsa Rfutamo H Errore del I tpo Decsoe corretta Probabltà (errore I tpo) Accettamo H Decsoe corretta Errore del II tpo Probabltà (errore II tpo) β U aaloga che può charre le dee precedet è quella del processo a u mputato. I trbuale ua persoa sottoposta a processo vee rteuta ocete fo a prova cotrara. L potes ulla H è qud l mputato è ocete ; l potes alteratva H è l mputato è colpevole. L errore del I tpo è codaare u ocete, l errore del II tpo è assolvere u colpevole. Rassumamo quest cocett co lo schema seguete. Imputato ocete Imputato colpevole Imputato codaato Errore del I tpo Decsoe corretta Imputato assolto Decsoe corretta Errore del II tpo Sceglere come potes ulla H l mputato è ocete sgfca rteere che codaare u ocete sa u errore pù grave che assolvere u colpevole. I geerale l errore d I tpo è quello cosderato pù grave: questo sgfca che l potes ulla H va formulata modo che quello che s rtee sa l errore pù grave cocda co l errore d I tpo. Servedoc acora degl esemp e, calcolamo la probabltà d commettere u errore del I tpo; usamo a tale scopo le propretà della dstrbuzoe della meda campoara. Esempo parte Assumamo che sa oto dall espereza che lo scarto quadratco medo del tempo d ascugatura della verce è σ mut e studamo la probabltà d commettere u errore del I tpo, ossa la probabltà che la meda del campoe super mut, ache se la meda effettva della popolazoe è μ mut. Come è oto dal Cap. 6, la dstrbuzoe della meda campoara per grad campo ( ) è approssmatvamete ormale, qud la probabltà suddetta è data dall area della regoe rappresetata ella fgura.. 8 9 μ Fgura La regoe a destra del valore è la regoe d rfuto, quella a sstra è la regoe d accettazoe: se l valore della meda campoara cade a destra d l potes ulla vee rfutata, altrmet o vee rfutata. Per rcordare le probabltà assocate a due tp d errore, s osserv che è la prma lettera dell alfabeto greco e s usa per dcare la probabltà dell errore d I tpo, β è la secoda lettera e s usa per dcare l errore d II tpo. S rcord che l potes ulla e l potes alteratva questo esempo soo H : μ mut H : μ > mut. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo 8 Test d potes Se la popolazoe da cu provee l campoe è suffcetemete grade da poterla cosderare fta, applcado l teorema, Cap. 6, pag. 77, s calcola la devazoe stadard della dstrbuzoe della meda campoara σ σ X Stadardzzado l valore s ha Z. 7. Utlzzado le tavole della dstrbuzoe ormale, s trova che l area della regoe a destra d è P ( Z >. 7) P( Z <. 7) 99 78 qud la probabltà d rfutare erroeamete l potes ulla è 78 Esempo parte Assumamo che lo scarto quadratco medo della popolazoe sa σ g e studamo la probabltà che la meda del campoe o sa compresa fra g e g, ache se la meda effettva della popolazoe è μ g. La probabltà che s vuole calcolare è data dalla somma delle due aree rappresetate ella fgura 6 8 μ 6 Fgura La regoe d rfuto questo caso è costtuta da valor a sstra d g e da valor a destra d g; se l valore della meda campoara cade ell tervallo (, ), che è la regoe d accettazoe, l potes ulla vee accettata, altrmet vee rfutata. Seguedo l procedmeto gà descrtto ell esempo precedete s trova σ σ. 7. X La regoe d accettazoe è u tervallo smmetrco rspetto a μ ; stadardzzado l valore s ha Z. 8.. 7 Utlzzado le tavole della dstrbuzoe ormale, s trova che l area della regoe colorata è P ( Z >. 8) P( Z <. 8) 966 [ ] ( ) 688 qud la probabltà d rfutare erroeamete l potes ulla è 688. S rcord quato detto el Cap. 6, pag. 77, a proposto della correzoe per popolazo fte e s veda lo schema rassutvo a pag. 78, puto b. S rcord che l potes ulla e l potes alteratva questo esempo soo H : μ g H : μ g. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Defzoe La probabltà d commettere u errore del I tpo, ossa d rfutare u potes ulla vera, è detta lvello d sgfcatvtà. Negl esemp e (parte ) s è mostrato come calcolare la probabltà d commettere u errore del I tpo, per rego d rfuto scelte arbtraramete; questo o è però l procedmeto seguto d solto elle applcazo. Il metodo usato pù frequetemete cosste vece ello specfcare u valore per l lvello d sgfcatvtà e po detfcare la regoe d rfuto che soddsfa tale valore. Poché l errore d I tpo è quello cosderato pù grave, s scelgoo per valor pccol; valor pù usat soo e. I corrspodeza al lvello d sgfcatvtà, l valore ( ) % cocde co l grado d fduca gà trodotto per gl tervall d cofdeza. Se s scegle ad esempo u lvello d sgfcatvtà, ossa del %, c sarà ua probabltà del % d rfutare u potes che o avrebbe dovuto essere rfutata; altre parole samo fducos al 9% d aver preso la decsoe gusta. Defzoe La probabltà d commettere u errore del II tpo, dcata co β, vee ache chamata rscho del cosumatore. S può cotrollare l rscho coesso a u errore del I tpo scegledo u valore d pccolo, ad esempo : questo deve essere fatto se s rtee che le cosegueze d u errore del I tpo sao grav. Tuttava, per ua fssata ampezza del campoe, al dmure d, aumeta β, ossa ad ua rduzoe dell errore del I tpo s accompaga u aumeto dell errore del II tpo. Qud e cas cu è molto mportate evtare, per quato possble, u errore del II tpo troppo grade, è meglo sceglere come valore d u valore o troppo pccolo, ad esempo. U modo per cotrollare e rdurre l errore del II tpo cosste ell aumetare la dmesoe del campoe. U elevata dmesoe del campoe cosete d solto d dvduare ache pccole dffereze tra la statstca campoara e l parametro della popolazoe. S tega presete però che aumetare d molto l ampezza del campoe potrebbe essere troppo costoso. Per u fssato valore d l aumeto dell ampezza del campoe rduce l rscho del cosumatore β, qud aumeta la probabltà β d rfutare l potes ulla quado è falsa, e dovrebbe essere rfutata. La probabltà β s chama ache poteza del test. La scelta de valor d e β dpede da cost che cascu errore comporta (vedere esempo 8). Nell esempo, relatvo alla produzoe delle cofezo d caffè, s commette u errore del I tpo quado s coclude che l peso medo del caffè coteuto elle cofezo prodotte o è uguale a g quado vece lo è; s commette u errore del II tpo quado s coclude che l peso medo del caffè è uguale a g quado o lo è. La scelta de valor d e β dpede da cost che cascu errore comporta. Se u cambameto del processo produttvo fosse molto costoso, s dovrebbe essere cert della sua ecesstà. Il rscho comportato da u errore d I tpo questo caso è l pù grave e s dovrebbe cercare d coteerlo. Se s vuole vece essere scur d coglere ua dffereza ache pccola dalla meda d g, s deve cosderare come molto grave l rscho assocato a u errore del II tpo e cercare d lmtarlo scegledo u valore pù grade per. Rassumamo ello schema seguete pass cu s artcola u test d potes. Schema rassutvo Test d potes S scelgoo l potes ulla e l potes alteratva. S scegle l lvello d sgfcatvtà a cu s vuole esegure l test. I fuzoe del tpo d test (ua coda o due code) e del valore d scelto, s determao valor crtc e la regoe d rfuto. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo 8 Test d potes S scegle l ampezza campoara, s raccogle l campoe, s calcola da dat del campoe l valore della statstca test e s vede se appartee o o alla regoe d rfuto. S prede la decsoe: rfutare o o rfutare l potes ulla al lvello d sgfcatvtà stablto. E opportuo sottoleare che, quado l potes ulla o è rfutata, o s dovrebbe dre che tale potes vee accettata, besì che l potes ulla o vee rfutata: questo perché è possble che s commetta u errore del II tpo; poché spesso la probabltà d commettere u errore del II tpo è abbastaza elevata, o c s dovrebbe mpegare troppo dcedo che s accetta l potes ulla. Tuttava, ache se mpropramete, spesso s usa l terme s accetta l potes ulla. 8. Test d potes sulla meda (varaza ota) Descrvamo l procedmeto per esegure u test d potes sulla meda d ua popolazoe avete varaza σ ota. Il test s basa sulla statstca X μ Z σ dove è l ampezza del campoe e μ è l valore della meda assuto ell potes ulla Il test qu llustrato è essezalmete u test per grad campo ( ); tal caso la dstrbuzoe della meda campoara può essere approssmata dalla dstrbuzoe ormale e la varable aleatora Z ha approssmatvamete la dstrbuzoe ormale stadardzzata. Nel caso partcolare cu l campoe è estratto da ua popolazoe co dstrbuzoe ormale, la varable Z ha dstrbuzoe ormale stadardzzata, qualuque sa l ampezza del campoe (vedere esemp e ). Sa, come al solto, z l valore d Z per cu l area a destra d z al d sotto della curva ormale stadardzzata è uguale a. Nelle fgure seguet s llustrao le rego d rfuto per u dato lvello d sgfcatvtà, a secoda delle potes ulla e alteratva stablte. Ne prm due cas s fa u test a ua coda, el terzo caso u test a due code. caso Test a ua coda (fgura ) Ipotes ulla H : μ μ. Ipotes alteratva H : μ > μ. Regoe d rfuto Z > z Regoe d accettazoe Z < z Regoe d rfuto - - - - z Fgura L utlzzo o meo del sego d uguale elle rego d rfuto e d accettazoe, questo e e cas seguet, è assolutamete fluete, dal mometo che la dstrbuzoe ormale è ua dstrbuzoe cotua. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 caso Test a ua coda (fgura ) Ipotes ulla H : μ μ. Ipotes alteratva H : μ < μ. Regoe d rfuto Z < z Regoe d accettazoe Z > z Regoe d rfuto - - - -z Fgura caso Test a due code (fgura ) Ipotes ulla H : μ μ. Ipotes alteratva H : μ μ. Regoe d rfuto Z < z oppure Regoe d accettazoe z z < Z < z Z > z Regoe d rfuto Regoe d rfuto - - - z z Fgura I valor z e z soo valor crtc del test e tre cas; tal valor possoo essere lett sulla tavola de percetl della dstrbuzoe ormale stadardzzata. Nella tabella rassumamo valor comuemete usat per l lvello d sgfcatvtà e corrspodet valor crtc z e z per test a ua e a due code. Test Ipot. ulla H Ipot. alter. H Lv. sgf. Valor crtc Reg. rfuto ua coda μ μ μ > μ.6 Z >.6.6 Z >.6 ua coda μ μ μ < μ.6 Z <.6.6 Z <.6 due code μ μ μ μ.76 e Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca Tabella Z <.76 Z >.76.76.96 e.96 Z <.96 Z >.96

8 Captolo 8 Test d potes Esempo 6 Ua dtta produttrce d lampade sostee che la durata meda delle lampade prodotte è d 6 ore, co uo scarto quadratco medo σ ore. Estraedo u campoe d lampade s è calcolata ua durata meda d 7 ore. Stablre se l affermazoe del produttore è corretta, usado come potes alteratva che la durata meda sa a ferore a quella dcharata; b dversa da quella dcharata. Usare etramb cas l lvello d sgfcatvtà e l lvello d sgfcatvtà a Ipotes ulla H : μ 6 Ipotes alteratva H : μ < 6 Lvello d sgfcatvtà Il test è a ua coda; l valore crtco per questo lvello d sgfcatvtà è z. 6. La regola d decsoe cosste el rfutare l potes se l valore della statstca Z otteuto da dat del campoe è more d.6. Il campoe ha le seguet caratterstche 7 Il valore della statstca test è 7 6 Z.. Dato che l valore trovato Z. è more del valore crtco z. 6, s rfuta l potes ulla al lvello d sgfcatvtà, ossa del %. Lvello d sgfcatvtà Il test è a ua coda; l valore crtco per questo lvello d sgfcatvtà è z. 6. Ache questo caso l valore Z. è more del valore crtco z. 6, percò s rfuta l potes ulla al lvello d sgfcatvtà, ossa dell %. b Ipotes ulla H : μ 6 Ipotes alteratva H : μ 6 Lvello d sgfcatvtà Il test è a due code; valor crtc per questo lvello d sgfcatvtà soo z. 96 e z. 96. Il valore Z. cade al d fuor dell tervallo avete come estrem valor crtc, coè appartee alla regoe d rfuto, percò s rfuta l potes ulla al lvello d sgfcatvtà, ossa del %. Lvello d sgfcatvtà I valor crtc per questo lvello d sgfcatvtà soo z. 76 e z. 76. Il valore Z. cade fra quest estrem, percò o s rfuta l potes ulla al lvello d sgfcatvtà, ossa dell %. Esempo 7 La lughezza della corda coteuta e rotol prodott da ua maccha ha ua dstrbuzoe avete varaza σ 7. m. La dtta produttrce afferma che la lughezza meda è μ m. Vee prelevato u campoe d rotol e calcolata la lughezza meda, par a 99.. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9 Verfcare se l produttore afferma l vero, oppure se la lughezza è ferore, al lvello d sgfcatvtà dell %. Ipotes ulla H : μ Ipotes alteratva H : μ < Lvello d sgfcatvtà Il test è a ua coda; l valore crtco per questo lvello d sgfcatvtà è d rfuto è z <.6. S ha 99. σ 7. Il valore della statstca test è 99. Z.. 7. z.6. La regoe Il valore Z. o appartee alla regoe d rfuto, qud l potes ulla o vee rfutata al lvello d sgfcatvtà dell %. Esempo 8 La precsoe d ua maccha che produce compoet d dmeso specfcate vee cotrollata co perodche verfche a campoe: la dmesoe meda rchesta è μ.mm, co ua varaza σ mm. a Valutare se l processo è da rteers sotto cotrollo oppure o, quado la meda rscotrata su u campoe d 6 pezz è. mm. b Rpetere la valutazoe el caso che l campoe sa d pezz, co meda. mm. S scegle come potes ulla d rteere che l processo sa sotto cotrollo e o sa qud ecessaro alcu terveto H : μ. L potes alteratva è che l processo sa fuor cotrollo H : μ. e questo caso occorre attuare qualche terveto per rportarlo sotto cotrollo. S effettua qud u test a due code. Se l processo è sotto cotrollo, coè H è vera, ma erroeamete lo rteamo fuor cotrollo, coè rfutamo H, commettamo u errore del I tpo; la probabltà d compere tale errore è par al lvello d sgfcatvtà. L errore del II tpo cosste vece el cocludere che l processo è sotto cotrollo, coè H è vera, quado o lo è; la probabltà d commettere questo errore è dcata co β; La scelta de valor d e β dpede da cost che cascu errore comporta. Se u cambameto del processo produttvo è molto costoso, s dovrebbe essere be scur della sua ecesstà, qud s deve sceglere u valore d pccolo. Se vece c poamo dal puto d vsta del cosumatore e voglamo essere scur d coglere uo spostameto ache pccolo dalla meda potzzata, allora l rscho β del cosumatore deve essere basso e dobbamo sceglere u valore pù elevato d. a 6. σ Il valore della statstca test è.. Z.. 6 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo 8 Test d potes Lvello d sgfcatvtà Regoe d rfuto Z <.96 e Z >. 96 Il valore Z. o appartee alla regoe d rfuto, qud l potes ulla o vee rfutata al lvello d sgfcatvtà del %; l processo s rtee sotto cotrollo. Lvello d sgfcatvtà Regoe d rfuto Z <.76 e Z >. 76 Il valore Z. o appartee alla regoe d rfuto, qud l potes ulla o vee rfutata al lvello d sgfcatvtà dell %; ache questo caso l processo s rtee sotto cotrollo. b. σ 9 Il valore della statstca test è.. Z.. Lvello d sgfcatvtà Regoe d rfuto Z <.96 e Z >. 96 Il valore Z. appartee alla regoe d rfuto, qud l potes ulla vee rfutata al lvello d sgfcatvtà del %; l processo s rtee fuor cotrollo e s devoo trapredere delle modfche al processo produttvo. Lvello d sgfcatvtà Regoe d rfuto Z <.76 e Z >. 76 Il valore Z. appartee alla regoe d accettazoe, qud l potes ulla vee accettata al lvello d sgfcatvtà dell %; l processo s rtee sotto cotrollo e o s trapredoo modfche al processo produttvo. Il rscho pù basso per l cosumatore s ha el caso cu e. Il puto d vsta del produttore è ovvamete dverso. Esempo 9 I carch d rottura de cav prodott da u azeda hao ua meda par a 8kg e uo scarto quadratco medo σ kg. S afferma che medate ua uova tecca d costruzoe l carco d rottura può essere reso maggore. Per sottoporre a test questa affermazoe s provao cav e s trova che l carco d rottura medo è d 8kg. E possble accettare l affermazoe ad u lvello d sgfcatvtà dell %? S assume come potes ulla che o c sa essu cambameto H : μ 8 e come potes alteratva che c sa u aumeto el carco d rottura, ossa H : μ > 8 S effettua u test ad ua coda; per l lvello d sgfcatvtà l valore crtco è z.6 e la regoe d rfuto è costtuta da valor Z >.6. Il valore della statstca test è 8 8 Z.. Dato che l valore trovato Z. è maggore del valore crtco z. 6, appartee alla regoe d rfuto, percò l potes ulla può essere rfutata al lvello d sgfcatvtà. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Esempo U campoe d 6 osservazo avete meda 86. provee da ua dstrbuzoe avete varaza σ. I passato la meda della dstrbuzoe era μ 8, ma s potzza che recetemete la meda possa essere cambata. Usado l lvello d sgfcatvtà del %, sottoporre a test l potes ulla opportua e seguet cas: a supporre d o sapere, el caso che la meda sa cambata, se è aumetata o dmuta; b supporre d sapere che, el caso che la meda sa cambata, essa può solo essere aumetata. a Nel prmo caso l potes ulla e l potes alteratva soo H : μ 8 H : μ 8 S effettua u test a due code; per l lvello d sgfcatvtà la regoe d rfuto è costtuta da valor Z <.96 e Z >.96. Il valore della statstca test è 86. 8 Z. 9 6 Il valore Z.9 o appartee alla regoe d rfuto, percò s decde d o rfutare l potes ulla. I altre parole o c è u evdeza sgfcatva, al lvello del %, che la meda sa cambata. b Nel secodo caso l potes ulla e l potes alteratva soo H : μ 8 H : μ > 8 S effettua u test a ua coda; per l lvello d sgfcatvtà l valore crtco é z.6; la regoe d rfuto è costtuta da valor Z >.6. Il valore Z.9 appartee alla regoe d rfuto, percò s decde d rfutare l potes ulla. I altre parole s ha u evdeza sgfcatva, al lvello del %, che la meda è aumetata. S ot che le decso prese soo dverse e due cas, e cò dpede dal fatto che l potes ulla vee testata cotro alteratve dverse. Il test descrtto questo paragrafo rchede che sa oto l valore σ dello scarto quadratco medo; se σ o è cooscuto, ma l campoe è grade, s può sostture σ co l valore s dello scarto quadratco medo del campoe, commettedo u errore d approssmazoe. Esempo Ua dtta produttrce d peumatc afferma che la durata meda d u certo tpo d peumatc per auto è d almeo km. Per sottoporre a test questa affermazoe u campoe d peumatc vee sottoposto a prove su strada e s msura ua durata meda 89 km, co uo scarto quadratco medo s km. Sottoporre a test l affermazoe, co u lvello d sgfcatvtà L potes ulla e l potes alteratva soo H : μ H : μ < S effettua u test ad ua coda; per l lvello d sgfcatvtà l valore crtco è z.6 e la regoe d rfuto è costtuta da valor Z <.6. Lo scarto quadratco medo della popolazoe o è oto e vee sosttuto co lo scarto quadratco medo del campoe. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo 8 Test d potes Il valore della statstca test è 89 Z. 78. Il valore Z.78 appartee alla regoe d rfuto, percò l potes ulla deve essere rfutata al lvello d sgfcatvtà, e l affermazoe del produttore o può essere accettata. Esempo I u dato ao l voto medo all esame d maturtà classca è stato d 7/ I ua commssoe che ha esamato 7 caddat, s è regstrato u voto medo d 76./ co uo scarto quadratco medo s. Verfcare l potes che o c sa dffereza sgfcatva tra la meda geerale e la meda del campoe, al lvello d sgfcatvtà del %. L potes ulla e l potes alteratva soo H : μ 7 H : μ 7. Il test è a due code e al lvello d sgfcatvtà del % la regoe d rfuto è costtuta da valor Z <.96 e Z >.96. Lo scarto quadratco medo della popolazoe o è oto e vee sosttuto co lo scarto quadratco medo del campoe s. Il valore della statstca test è 76. 7 Z. 9. 7 Il valore Z.9 o appartee alla regoe d rfuto, percò al lvello d sgfcatvtà del % l potes ulla o deve essere rfutata; cocludamo qud che la dffereza tra l rsultato geerale e l rsultato della partcolare commssoe è dovuta a fluttuazo casual, ossa co ua probabltà del 9% la dffereza o è mputable é a caddat, é alla commssoe d esame. E evdete che ella scelta delle potes o s vuole dagare su ua maggore o more severtà della commssoe. Se la popolazoe da cu provee l campoe è ormale, questo test può essere applcato ache el caso d pccol campo co varaza σ ota. Esempo Suppoamo che putegg d u test sul quozete d tellgeza d ua certa popolazoe d adult s dstrbuscao ormalmete co uo scarto quadratco medo σ. U campoe d adult estratt da questa popolazoe ha u puteggo medo d. Sottoporre a test l potes che l puteggo medo sa, co u lvello d sgfcatvtà del %. Poché la popolazoe da cu provee l campoe ha dstrbuzoe ormale co scarto quadratco medo oto σ, quato detto per grad campo è valdo ache per u pccolo campoe. L potes ulla e l potes alteratva soo H : μ H : μ S effettua u test a due code; per l lvello d sgfcatvtà la regoe d rfuto è costtuta da valor Z <.96 e Z >.96. Il valore della statstca test è Z. 67. Il valore Z.67 o appartee alla regoe d rfuto, percò o s rfuta l potes ulla. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Esempo Da ua popolazoe ormale avete scarto quadratco medo σ, s estrae u campoe d ampezza Il valor medo del campoe sa 8. 8. Sottoporre a test l potes ulla H : μ scegledo come potes alteratva H : μ a lvell d sgfcatvtà dell % e del %. Poché la popolazoe da cu provee l campoe è ormale, s può effettuare l test per grad campo ache se l ampezza del campoe è a Lvello d sgfcatvtà S effettua u test a due code; per l lvello d sgfcatvtà la regoe d rfuto è costtuta da valor Z <.76 e Z >.76. Il valore della statstca test è 8. 8 Z.. Il valore Z. o appartee alla regoe d rfuto, percò s decde d o rfutare l potes ulla. b Lvello d sgfcatvtà. S effettua u test a due code; per l lvello d sgfcatvtà la regoe d rfuto è costtuta da valor Z <.96 e Z >.96. Il valore Z. appartee alla regoe d rfuto, percò s decde d rfutare l potes ulla. Nel caso trattato questo esempo s possoo duque trarre le seguet cocluso: a I dat campoar o cosetoo d rfutare l potes ulla al lvello d sgfcatvtà dell %. b I dat campoar cosetoo d rfutare l potes ulla al lvello d sgfcatvtà del %. Come s vede, la decsoe che s prede o dpede solo da dat campoar, ma ache dal lvello d sgfcatvtà fssato. I questo caso, la dffereza fra la meda del campoe 8. 8 e l valore potzzato μ per l parametro della popolazoe vee rteuta statstcamete sgfcatva al lvello del %, ma o al lvello dell %. Queste cocluso c portao alle seguet cosderazo. Og test d potes porta al cofroto d due umer, l valore della statstca Z, che può essere calcolato base a dat campoar, e l valore crtco (o due valor crtc el test a due code), che vece dpede dal lvello d sgfcatvtà fssato. Nell esempo soo stat cofrotat l valore della statstca Z. e valor crtc z. 96 e z. 96. Se tra valor suddett vale ua certa dsuguaglaza, s rfuta l potes, altrmet o s rfuta. Poché, come abbamo vsto ell esempo precedete, u lvello dverso può codurre a ua decsoe dversa (rfutare/o rfutare) rsulta teressate determare qual è l valore che fa da spartacque fra le due dverse cocluso. Nell esempo precedete c poamo la seguete domada: fssat dat del campoe, e qud l valore d Z, qual è l pù pccolo lvello d sgfcatvtà per cu s rfuta l potes ulla? Nel caso dell esempo la regoe d rfuto è costtuta da valor Z tal che Z > z Il pù pccolo valore d per cu s rfuta l potes s trova rsolvedo l equazoe. z Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo 8 Test d potes P( Z >. ) P( Z <. ) Da qu segue 6 9877 6 Questo sgfca che, co dat campoar dspobl, l lvello d sgfcatvtà che fa da spartacque tra la decsoe d rfutare l potes ulla e quella d o rfutarla è l lvello del.6%: questo lvello è qud l pù pccolo lvello a cu dat dspobl permettoo d rfutare l potes ulla. Defzoe 6 I u test d potes, dopo aver effettuato l campoameto e aver calcolato l valore della statstca test ecessaro per esegure l test, s dce p-value l pù pccolo valore del lvello d sgfcatvtà per cu dat campoar cosetoo d rfutare l potes ulla. U p-value quas uguale a zero sgfca che samo pratcamete cert d o sbaglare rfutado l potes ulla; u p-value dell orde de solt lvell d sgfcatvtà dca che la decsoe se rfutare o o l potes ulla è crtca e dpede modo crucale dalla scelta del lvello d sgfcatvtà; u p-value maggore dca vece che, a qualsas lvello ragoevole d sgfcatvtà, sbaglamo rfutado l potes ulla; questo caso s può ache dre che l test c porta ad accettare l potes. Ua regola geerale utle da rcordare è la seguete: se l p-value è more o uguale ad, rfutamo l potes ulla; se l p-value è maggore d, o rfutamo l potes ulla. Rportare l p-value al terme d u test dà maggor formazo rspetto al rportare solo la decsoe presa al lvello d sgfcatvtà scelto. Il p-value può essere dffcle da calcolare co precsoe usado le tavole, ma vee d solto forto da pù dffus software statstc. Per test basat sulla dstrbuzoe ormale, come el caso dell esempo, l p-value è relatvamete facle da calcolare. Se Z è l valore della statstca test, calcolato base a dat campoar, allora l p-value può essere otteuto base alle seguet formule p value P P( Z < Z ) ( Z < Z ) [ P( Z < Z )] per l test a ua coda co per l test a ua coda co per l test a due code co H : μ μ H : μ μ H : μ μ H : μ > μ H : μ < μ H : μ μ Esempo Rpredamo esame rsultat otteut ell esempo 8. Le cocluso tratte el caso b soo puttosto crtche e questo vee evdezato dal p-value; s ha fatt Z. p value [ P( Z <. ) ] ( 996) 88 Il lvello mmo che cosete d rfutare l potes ulla è del.88%. Nel caso a vece le cocluso o soo crtche; s ha fatt Z. p value [ P( Z <. ) ] ( 966) 868 I questo caso a og ragoevole lvello d sgfcatvtà possamo accettare l potes ulla. 6 Il valore della probabltà P ( Z <. ) è stato otteuto come meda de due valor adacet dspobl sulle tavole 987 + 9878 9876 9877 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 8. Test d potes sulla meda (varaza cogta) Esamamo ora l caso cu l campoe usato per effettuare l test provee da ua popolazoe d cu o è ota la varaza σ. Come gà osservato el paragrafo precedete, se σ o è oto, ma l campoe è grade, s può sostture σ co l valore s dello scarto quadratco medo del campoe. Se vece l campoe è pccolo, e la popolazoe da cu provee l campoe ha dstrbuzoe ormale, s può usare l teorema, Cap. 6; sulla base d tale teorema la statstca test X μ T S è ua varable aleatora avete la dstrbuzoe t co grado d lbertà ν. I crter per test a ua e a due code basat sull uso d questa dstrbuzoe soo aalogh a quell gà descrtt el paragrafo precedete, co e z sosttut da e t ; quest valor crtc per z u dato lvello d sgfcatvtà dpedoo dal grado d lbertà e devoo essere lett d volta volta sulle tavole della dstrbuzoe t. Nella tabella rassumamo valor comuemete usat per l lvello d sgfcatvtà e corrspodet valor crtc t e t per test a ua e a due code. Test Ipot. ulla H Ipot. alter. H Lv. sgf. Valor crtc Reg. rfuto ua coda μ μ μ > μ t t T > t t t T > t ua coda μ μ μ < μ t t T < t t t T < t due code μ μ μ μ t t T > t T < t t t Tabella t t t t t Esempo 6 Le bottgle d vo poste vedta cotegoo usualmete 7ml d vo. S effettua u cotrollo su u campoe d 6 bottgle e s msurao seguet valor ml 77. 7. 7. 77. 77. 79. T > t T < t Stablre se quest dat cofermao co u lvello d sgfcatvtà del % l affermazoe che le bottgle hao u coteuto medo par a quato dcharato. Se l test è effettuato per tutelare l teresse del cosumatore, l potes ulla e l potes alteratva soo H : μ 7 H : μ < 7 Calcolado la meda e la varaza del campoe s ottegoo seguet valor Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo 8 Test d potes 77. + 7. + 7. + 77. + 77. + 79. 79 6 s ( 77. + 7. + 7. + 77. + + 77. + 79. 6 79 ). Il valore della statstca test è 79 7 T. 8.. 6 Il test è a ua coda, e per l lvello d sgfcatvtà del % e l grado d lbertà ν l valore crtco è t t.. La regoe d rfuto è data da valor T <.. Il valore T.8 appartee alla regoe d accettazoe, percò o s rfuta l potes ulla: o c è u evdeza sgfcatva, al lvello del %, che le bottgle cotegao meo d 7ml d vo. Esempo 7 Ua prova del carco d rottura d 6 cav d accao costrut da ua dtta ha mostrato u carco d rottura medo 77 kg e uo scarto quadratco medo s kg, metre l costruttore afferma che l carco d rottura medo è d 8kg. E possble sosteere che l affermazoe del costruttore o è corretta e che l carco d rottura è ferore, a lvell d sgfcatvtà del % e dell %? L potes ulla e l potes alteratva soo H : μ 8 H : μ < 8 Il valore della statstca test è 77 8 T.. 6 Il test è a ua coda, e per l lvello d sgfcatvtà del % e l grado d lbertà ν, l valore crtco è t t.. La regoe d rfuto è data da valor T <.. Il valore T. appartee alla regoe d rfuto, percò rfutamo l potes ulla al lvello d sgfcatvtà del %. Per l lvello d sgfcatvtà dell % e l grado d lbertà ν, l valore crtco è t t.. 6 La regoe d rfuto è data da valor T <. 6. Il valore T. appartee alla regoe d rfuto, percò ache al lvello d sgfcatvtà dell % rfutamo l potes ulla. I coclusoe o possamo sosteere che l affermazoe del costruttore sa gustfcata per essuo de due lvell d sgfcatvtà. Esempo 8 S estrae u campoe d 8 cofezo d detersvo polvere da ua grossa produzoe. I pes g delle 8 cofezo soo 998. 999.9.8 7.6 Assumedo che popolazoe da cu provee l campoe abba dstrbuzoe ormale, verfcare se al lvello d sgfcatvtà del %, s può affermare che l peso medo delle cofezo d questa produzoe è maggore d g. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 L potes ulla e l potes alteratva soo H : μ H : μ > Calcolado la meda e la varaza del campoe s ottegoo seguet valor. s 9. 9 Il valore della statstca test è. T.. 9. 9 8 Il test è a ua coda, e per l lvello d sgfcatvtà del % e l grado d lbertà ν 7, l valore crtco è t t.. 89 La regoe d rfuto è data da valor T >.89. Il valore T. appartee alla regoe d rfuto, percò rfutamo l potes ulla e cocludamo che c è ua sgfcatva evdeza, al lvello del %, che l coteuto delle scatole sa maggore d g. Esempo 9 Il coteuto dcharato delle bottgle d ua certa bbta è ml. Scegledo u campoe d bottgle, s rscotra u coteuto medo 8 ml, co uo scarto quadratco medo s. ml. I base a quest dat s può rteere che la dtta produttrce ga l cosumatore? S assuma che la quattà d lqudo coteuta elle bottgle segua approssmatvamete la dstrbuzoe ormale e s scelga l lvello d sgfcatvtà dell %. L potes ulla e l potes alteratva soo H : μ H : μ < Il valore della statstca test è 8 T. 8.. Il test è a ua coda, e per l lvello d sgfcatvtà dell % e l grado d lbertà ν 9, l valore crtco è t t.. 9 La regoe d rfuto è data da valor T <. 9. Il valore T. 8 appartee alla regoe d rfuto, percò rfutamo l potes ulla e cocludamo che c è ua sgfcatva evdeza, al lvello dell %, che c sa ua frode da parte del produttore. Per l lvello d sgfcatvtà del % l valore crtco è t.79 La regoe d rfuto è data da valor T <. 79. Il valore T. 8 appartee alla regoe d rfuto, percò ache al lvello d sgfcatvtà del % rfutamo l potes ulla, cocludedo acora che c è ua sgfcatva evdeza d frode. Rassumamo ella tabella var procedmet da segure per effettuare u test d potes sulla meda μ d ua popolazoe. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo 8 Test d potes Procedmeto Ipotes Statstca test varaza σ ota varaza σ cogta < popolaz. ormale varaza σ ota < popolaz. ormale varaza σ cogta Tabella Z X μ σ Dstrbuzoe della statstca test Dstrbuzoe ormale X μ Z Dstrbuzoe s ormale Z T X μ σ X μ s Dstrbuzoe ormale Dstrbuzoe t d Studet (grad lbertà ) Osservazoe Il procedmeto, descrtto per pccol campo, può essere usato ache per grad campo da popolazoe ormale, al posto del procedmeto dcato ella tabella : l procedmeto esatto è quello basato sulla dstrbuzoe t (procedmeto ), metre l altro è approssmato (s approssma lo scarto quadratco medo σ co lo scarto s del campoe). I pratca etramb procedmet soo adatt e portao essezalmete alle stesse decso. 8.6 Test d potes sulla proporzoe Cosderamo questo paragrafo l problema della verfca d potes sulla proporzoe d ua popolazoe. I alcu cas s deve sottoporre a test l potes che la proporzoe della popolazoe assuma u determato valore p. Per rsolvere problem d questo tpo s cota l umero X d volte cu la caratterstca osservata s preseta el campoe d ampezza e s calcola la proporzoe campoara: altre parole s osserva l umero d success prove o proporzoe d success; s ha qud a che fare co la dstrbuzoe bomale e s fa u test d potes sul parametro p d ua popolazoe bomale. Quado l umero d elemet del campoe è suffcetemete grade, l test d potes sulla proporzoe può essere basato sulla dstrbuzoe ormale. E fatt oto che, dcado co p la proporzoe d success prove beroullae, se s verfca che p e ( p), la dstrbuzoe bomale d parametr e p può essere approssmata co la dstrbuzoe ormale (vedere Cap.,.). Per sottoporre a test l potes ulla H : p p (o, modo aalogo, le potes p p, p p ) s utlzza la statstca X p Z p p ( ) che ha approssmatvamete la dstrbuzoe ormale stadardzzata, per suffcetemete grade, e s procede el modo gà llustrato per test per la meda el caso de grad campo 7. 7 Ache questo caso, come gà vsto a proposto degl tervall d cofdeza per la proporzoe, s dovrebbe effettuare la correzoe d cotutà, ma, quado è grade, gl effett d tale correzoe soo geerale trascurabl. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9 Nella tabella (che o dffersce sostazalmete dalla tabella ) rassumamo per comodtà valor comuemete usat per l lvello d sgfcatvtà e corrspodet valor crtc e z per test a ua e a due code. Test Ipotes ulla H Ipot. alter. H Lv. sgf. Valor crtc Reg. rfuto ua coda p p p > p.6 Z >.6.6 Z >.6 ua coda p p p < p.6 Z <.6.6 Z <.6 due code p p p p.76 e z Z <.76 Z >.76.76.96 e.96 Z <.96 Z >.96 Tabella Esempo S effettuao lac d ua moeta e s ottee 67 volte testa. a Decdere se la moeta è truccata oppure o, co u lvello d sgfcatvtà del %. b Rpetere l calcolo el caso che l umero d volte cu s ottee testa sa 8 Per ua moeta o truccata la probabltà che esca testa è. L potes ulla e l potes alteratva soo H : p p H : p. S effettua u test a due code co l lvello d sgfcatvtà ; la regoe d rfuto è costtuta da valor Z <.96 e Z >. 96. a S ha 67 p 67 Z. Il valore Z. cade ella regoe d accettazoe, percò l potes ulla o può essere rfutata; coclusoe la moeta o può rteers truccata, al lvello d sgfcatvtà del %. b S ha 8 p 8 Z. 68 Il valore Z.68 cade ella regoe d rfuto, percò l potes ulla deve essere rfutata; coclusoe la moeta può rteers truccata, al lvello d sgfcatvtà del %. Esempo Ua dtta farmaceutca assersce che u suo farmaco è effcace el 9% de cas. I u campoe d persoe che lo hao usato, l farmaco s è rvelato effcace 6 cas. Stablre se l affermazoe della dtta farmaceutca è legttma co u lvello d sgfcatvtà uguale a S assume come potes ulla H : p 9 e come potes alteratva H : p < 9. I questo caso teressa fatt stablre se l effcaca del farmaco è more d quato affermato; s effettua percò u test a ua coda e la regoe d rfuto è data da valor Z <. 6. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo 8 Test d potes S ha 6 p 9 6 9 Z. 7 9 ( 9) Il valore Z.7 cade ella regoe d rfuto, percò s rfuta l potes ulla, al lvello d sgfcatvtà dell %, cocludedo che l affermazoe o è legttma. Esempo U fabbrcate dchara che almeo l 9% della merce forta a ua dtta è coforme alle esgeze del clete. U esame d u campoe d esemplar della merce rvela che 8 esemplar soo dfettos. Sottoporre a test la dcharazoe del fabbrcate al lvello d sgfcatvtà e. S assume come potes ulla H : p 9 e come potes alteratva H : p < 9. S effettua u test a ua coda e s ha 8 8 p Z 8 9 9 9. 6 ( ) 9 a Per l lvello d sgfcatvtà la regoe d rfuto è data da valor Z <.6. Il valore Z.6 cade ella regoe d rfuto, percò s rfuta l potes ulla, al lvello d sgfcatvtà dell %, cocludedo che l affermazoe del fabbrcate è falsa. b Per l lvello d sgfcatvtà la regoe d rfuto è data da valor Z <.6. Il valore Z.6 cade ella regoe d rfuto, percò ache per questo lvello d sgfcatvtà s rfuta l potes ulla, cocludedo che l affermazoe del fabbrcate è falsa. Esempo Ua compaga aerea afferma che o pù del 6% de bagagl smarrt vee deftvamete perso. Sottoporre a test questa affermazoe, sapedo che su u campoe d persoe che hao subto lo smarrmeto del bagaglo, 7 o l hao pù rtrovato; sceglere l lvello d sgfcatvtà dell %. S assumoo come potes H : p 6 H : p > 6. S effettua u test a ua coda e per l lvello d sgfcatvtà la regoe d rfuto è data da valor Z >.6. S ha 7 p 6 Z 7 6. 9 6 ( 6) Il valore Z.9 cade ella regoe d accettazoe, percò al lvello d sgfcatvtà dell % l affermazoe della compaga aerea o può essere cotestata. Esempo Il resposable del persoale d u azeda tede rdurre l tur-over, e prm due a d lavoro, de dpedet addett alle vedte. S suppoga che da aals precedet rsult che l % de dpedet s lcez etro prm due a. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca S decde d sottoporre eo assut a u uovo corso sulle tecche d vedta; d quest, al terme del secodo ao dall assuzoe, 9 o lavorao pù ell azeda. S può affermare che l tur-over s sa rdotto co la partecpazoe al corso d addestrameto? S assumoo come potes H : p H : p < S effettua u test a ua coda e per l lvello d sgfcatvtà la regoe d rfuto è data da valor Z <.6. S ha 9 p Z 9. 9 ( ) Il valore Z. 9 cade ella regoe d accettazoe, percò al lvello d sgfcatvtà dell % s può affermare che l tur-over o s è rdotto. Calcolo del p-value p value P( Z < Z ) P( Z <. 9) 977 8 Il valore del p-value c cosete d accettare l potes ulla. 8.7 Test d potes sulla dffereza fra due mede (varaze ote) Descrvamo l procedmeto per esegure u test d potes sulla dffereza fra le mede d due popolazo; questo test vee effettuato quado s vogloo cofrotare le mede d due popolazo dverse. Questa stuazoe s può verfcare molte dag comparatve: s vuole cofrotare la produttvtà d ua maccha co quella d u altra; s vuole sapere se la popolazoe d ua certa cttà ha u reddto medo superore a quello d u altra, e così va. Cosderamo due popolazo avet mede μ e μ, e varaze σ e σ ; voglamo sottoporre a test ua delle potes ulle H : μ μ d H : μ μ d H : μ μ d dove d è ua costate specfcata, basadoc sulle mede d due campo casual dpedet d ampezza e. I aaloga co l test sulla meda gà esamat e 8. e 8., s effettua l test dell potes ulla, scegledo la corrspodete potes alteratva fra le seguet H : μ μ > d H : μ μ < d H : μ μ d Ne prm due cas s fa u test a ua coda, el terzo u test a due code. Il test dpede dalla dffereza fra le mede campoare X X e, base a quato gà llustrato el 7.6, pag., s basa sulla statstca ( X X ) d Z σ σ + Il test qu llustrato è essezalmete u test per grad campo ( ); tal caso la dstrbuzoe della dffereza fra le mede campoare può essere approssmata dalla dstrbuzoe ormale e la varable aleatora Z ha approssmatvamete la dstrbuzoe ormale stadardzzata. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo 8 Test d potes Nel caso partcolare cu campo sao estratt da due popolazo avet dstrbuzoe ormale co varaze ote, la varable Z ha la dstrbuzoe ormale stadardzzata, qualuque sao le ampezze de campo (vedere esemp 8, 9). Sa, come al solto, z l valore d Z per cu l area a destra d z al d sotto della curva ormale stadardzzata è uguale a. Nella tabella rassumamo valor comuemete usat per l lvello d sgfcatvtà e corrspodet valor crtc e z per test a ua e a due code. z Test Ipotes ulla H Ipot. alter. H Lv. sgf. Valor crtc Reg. rfuto ua coda μ μ d μ μ > d.6 Z >.6.6 Z >.6 ua coda μ μ d μ μ < d.6 Z <.6.6 Z <.6 due code μ μ d μ μ d.76 e Tabella Z <.76 Z >.76.76.96 e.96 Z <.96 Z >.96 Ache se d può avere u qualuque valore, ella maggor parte de problem l suo valore è zero e s sottopoe a test ua delle potes ulle H : μ μ H : μ μ H : μ μ cotro la corrspodete potes alteratva H : μ > μ H : μ < μ H : μ μ. Per poter effettuare l test qu descrtto s rchede la coosceza delle varaze delle popolazo; σ σ ella maggor parte de cas le varaze e o soo ote, e el caso d grad campo possoo essere sosttute co le varaze campoare e, commettedo u errore d approssmazoe. Esempo U tema d esame è stato assegato a due grupp d studet compost rspettvamete da e studet. Il voto medo del prmo gruppo è stato 7/ co uo scarto quadratco medo s 8; l voto medo del secodo gruppo è stato vece 78/ co uo scarto quadratco medo s 7. C è dffereza fra le due class al lvello d sgfcatvtà? S assumoo come potes ulla e come potes alteratva H : μ μ H : μ μ. S ha Z 7 78 8 7 + 7 78. 9 s s s 8 7 s Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca S effettua u test a due code e per l lvello d sgfcatvtà la regoe d rfuto è data da valor Z <.96 e Z >.96. Dato che l valore trovato Z.9 appartee alla regoe d rfuto, s rfuta l potes ulla al lvello d sgfcatvtà, ossa s decde che due grupp soo sgfcatvamete dvers. Esempo 6 U campoe d lampade della marca A ha mostrato ua durata meda d 9 ore ed uo scarto quadratco medo d 9 ore; u campoe d 7 lampade della marca B ha mostrato vece ua durata meda d ore ed uo scarto quadratco medo d ore. C è dffereza tra temp d durata meda delle due marche d lampade a lvell d sgfcatvtà e?. S assumoo come potes H : μ μ H : μ μ. S ha 9 s 9 7 s 9 Z. 9 + 7 a S effettua u test a due code e per l lvello d sgfcatvtà la regoe d rfuto è data da valor Z <.96 e Z >.96. Dato che l valore trovato Z. appartee alla regoe d rfuto, s rfuta l potes ulla al lvello d sgfcatvtà, ossa s decde che le durate mede soo dverse. b Per l lvello d sgfcatvtà la regoe d rfuto è data da valor Z <.76 e Z >.76. Dato che l valore trovato Z. appartee alla regoe d accettazoe, o s rfuta l potes ulla, ossa al lvello d sgfcatvtà s rtee che le durate mede sao ugual. Le dverse cocluso raggute a due lvell d sgfcatvtà suggerscoo la ecesstà d ulteror dag. Co l procedmeto llustrato per l calcolo del p-value el caso de test basat sulla dstrbuzoe ormale (pag. ), s può calcolare l p-value e s trova Z. p value [ P( Z <. ) ] ( 99) 6 Questo valore coferma la stuazoe crtca: rfutare o o l potes ulla dpede modo crucale dal lvello d sgfcatvtà. Esempo 7 Nel precedete problema sottoporre a test l potes che le lampade della marca B soo superor a quelle della marca A usado due lvell d sgfcatvtà. I questo caso s assumoo come potes ulla e come potes alteratva H : μ μ H : μ < μ. e s effettua u test a ua coda. a Per l lvello d sgfcatvtà la regoe d rfuto è data da valor Z <.6. Il valore Z. appartee alla regoe d rfuto, percò s rfuta l potes ulla, cocludedo che la marca B è superore alla marca A. b Per l lvello d sgfcatvtà la regoe d rfuto è data da valor Z <.6. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo 8 Test d potes Il valore Z. appartee alla regoe d rfuto, percò s rfuta l potes ulla, cocludedo ache a questo lvello d sgfcatvtà che la marca B è superore alla marca A. Il p-value questo caso è p value P( Z <. ) P( Z <. ) 99 78 Le cocluso raggute questo e el precedete test o soo cotraddzoe tra loro perché l potes alteratva e due test effettuat è dversa. Esempo 8 S tedoo cofrotare temp d ascugatura d due verc avet composzoe chmca che dffersce per u compoete. A tale scopo s effettuao prove co verce del prmo tpo e prove co verce del secodo tpo e s msurao relatv temp d ascugatura, trovado valor med mut e mut. S può rteere che le popolazo abbao dstrbuzoe ormale co scarto quadratco medo σ σ 8 mut. Sottoporre a test l potes che la prma verce ascugh pù rapdamete della secoda al lvello d sgfcatvtà. Poché le popolazo hao dstrbuzoe ormale, s può usare la dstrbuzoe ormale ache per pccol campo. S assumoo come potes H : μ μ H : μ > μ. S ha σ σ 8 Z. 8 8 + S effettua u test a ua coda e al lvello d sgfcatvtà la regoe d rfuto è data da valor Z >.6; l valore Z. appartee alla regoe d rfuto, e cocludamo che la secoda verce ascuga pù rapdamete della prma. Esempo 9 Nella tabella soo rportate le msure del peso g d due campo d oggett dello stesso tpo prodott da due macche dverse; gl oggett soo scelt a caso da due popolazo avet etrambe la dstrbuzoe ormale, co varaze σ. 8 e σ.. Sottoporre a test l potes che le due popolazo abbao la stessa meda. Sceglere l lvello d sgfcatvtà. Campoe 7. 9.7 7. 8.8 7.7 6.6 7. 8. 6.6 Campoe.6..9 6. 6.6 6..8.9 8.6 6. Per due campo s ha Campoe 8 8 Campoe 6 6 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Poché le popolazo hao dstrbuzoe ormale, s può usare la statstca test Z ache per pccol campo. S assumoo come potes ulla e come potes alteratva H : μ μ H : μ μ. S ha 8 6 Z. 9. 8. + S effettua u test a due code e al lvello d sgfcatvtà la regoe d rfuto è data da valor Z <.96 o Z >.96; l valore Z.9 appartee alla regoe d rfuto, e cocludamo che le due popolazo hao meda dversa. 8.8 Test d potes sulla dffereza fra due mede (varaze cogte) Esamamo ora l test d potes sulla dffereza fra due mede el caso cu o sao ote le varaze delle due popolazo; come gà detto el precedete, el caso d grad campo le varaze cogte possoo essere sosttute co valor delle varaze campoare de due campo. Se vece s usao pccol campo, per stmare la dffereza fra le mede delle due popolazo s può far rcorso alla dstrbuzoe t, ma le due popolazo devoo avere dstrbuzoe ormale; oltre, come gà vsto el 7.7, pag. 7, occorre dstguere due cas: l caso cu le varaze delle due popolazo soo ugual e l caso cu soo dverse. I queste lezo sarà trattato solo l caso cu le varaze soo ugual; l fatto che le varaze d due popolazo sao ugual può, a sua volta, essere oggetto d u test statstco, che sarà dscusso el 8.. Percò, voledo esegure u test sulla dffereza d due mede el caso cu le varaze sao cogte e campo pccol, l dage può procedere due temp: prma s verfca l potes d uguaglaza delle varaze, po, se l uguaglaza è verfcata, s applca l test sulla dffereza fra le mede. Nel caso cu le due popolazo ormal hao la stessa varaza, s rcava la stma coguta della varaza comue co la seguete formula ((7.8), pag. 8) ( ) S + ( ) S S (8.) + dove e soo le ampezze de due campo e S e S soo le rspettve varaze campoare. Per pccol campo ( < ), ell potes che le popolazo da cu s estraggoo campo abbao dstrbuzoe ormale co la stessa varaza, s può dmostrare che la statstca ( X X ) d T S + ha la dstrbuzoe t co grado d lbertà ν +. I test a ua e a due code basat sull uso d questa dstrbuzoe soo aalogh a quell gà descrtt el paragrafo precedete, co e z sosttut da e t. I valor d t e z t t per u dato lvello d sgfcatvtà dpedoo dal grado d lbertà e devoo essere lett d volta volta sulle tavole della dstrbuzoe t. Il valore del grado d lbertà ν + può essere maggore d 9: tal caso s utlzzao Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo 8 Test d potes valor crtc dell ultma rga della tabella della dstrbuzoe t. Nella tabella 6 rassumamo valor comuemete usat per l lvello d sgfcatvtà e corrspodet valor crtc e t per test a ua e a due code. t Test Ipotes ulla H Ipot. alter. H Lv. sgf. Valor crtc Reg. rfuto ua coda μ μ d μ μ > d t t T > t t t T > t ua coda μ μ d μ μ < d t t T < t t t T < t due code μ μ d μ μ d t t T > t T < t t t Tabella 6 t t t t T > t T < t Esempo Nella tabella soo rportate le lughezze cm d due campo d oggett dello stesso tpo prodott da due macche dverse (esempo 9, Cap. 7, pag. 8). Campoe 8.6 8. 8. 8.7 8. Campoe 7.9 7.89 7.9 8. 7.9 7.8 7.9 Sottoporre a test l potes che gl oggett prodott abbao lughezze sgfcatvamete dverse al lvello d sgfcatvtà, suppoedo che le popolazo da cu provegoo campo abbao dstrbuzoe ormale co la stessa varaza. S assumoo come potes ulla e come potes alteratva H : μ μ H : μ μ. I base a dat della tabella s ha 8. s 7 7 7. 9 s 9 La stma coguta della varaza co la formula (8.) è 7 + 6 9 S 76 + 7 Il grado d lbertà della dstrbuzoe t è ν + + 7 La statstca T ha l valore 8. 7. 9 T. 7 76 + 7 Per l lvello d sgfcatvtà l valore crtco è t. 8 e la regoe d rfuto è data da valor T <.8 e T >.8.. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 Il valore T.7 appartee alla regoe d rfuto, percò l potes ulla deve essere rfutata e s coclude che le lughezze soo dverse al lvello d sgfcatvtà. Usado l lvello d sgfcatvtà l valore crtco è t.. 69 e ache questo caso l potes ulla deve essere rfutata. Esempo Due tp d soluzo chmche soo state provate per msurare l ph (grado d acdtà della soluzoe). L aals d 6 campo della prma soluzoe ha mostrato u ph medo d 7., co uo scarto quadratco medo d ; l aals d campo della secoda soluzoe ha mostrato u ph medo d 7.9 co uo scarto quadratco medo d. Stablre se le due soluzo abbao valor ugual o dvers del ph usado l lvello d sgfcatvtà. Per poter usare l test d potes basato sulla dstrbuzoe t bsoga supporre che le dstrbuzo delle due popolazo sao ormal co la stessa varaza (vedere esempo ).. S assumoo come potes ulla e come potes alteratva H : μ μ H : μ μ I base a dat s ha 6 7. s 7. 9 s La stma coguta della varaza co la formula (8.) è + S 8 6 + Il grado d lbertà della dstrbuzoe t è ν + 6 + 9 La statstca T ha l valore T 7. 7. 9. 7 8 + 6 Per l lvello d sgfcatvtà l valore crtco è t. 6 e la regoe d rfuto è data. da valor T <.6 e T >.6. Il valore T.7 appartee alla regoe d accettazoe, percò l potes ulla o può essere rfutata e s coclude che al lvello d sgfcatvtà le due soluzo hao lo stesso grado d acdtà. Usado l lvello d sgfcatvtà l valore crtco è t.. e ache questo caso l potes ulla o può essere rfutata. Esempo L osservazoe de guast occors a due tp d macche fotocopatrc ha regstrato che guast della prma maccha hao rchesto u tempo medo d rparazoe d 98 mut, co uo scarto quadratco medo d. mut, metre guast della secoda maccha hao rchesto u tempo medo d rparazoe d 8. mut co uo scarto quadratco medo d 9. mut. Esegure u test, al lvello d sgfcatvtà del %, sull potes ulla d uguaglaza fra temp med d rparazoe. Suppoamo che temp med d rparazoe seguao ua dstrbuzoe ormale e che le varaze delle due popolazo sao ugual (vedere esempo ). S assumoo come potes H : μ μ H : μ μ Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo 8 Test d potes I base a dat s ha 9 8 8. La stma coguta della varaza co la formula (8.) è s s. 9.. + 9. S. + Il grado d lbertà della dstrbuzoe t è ν + 8 La statstca T ha l valore 9 8 8. T.. + Per l lvello d sgfcatvtà l valore crtco è t.. 96 e la regoe d rfuto è data da valor T <.96 e T >.96. Il valore T. appartee alla regoe d accettazoe, percò l potes ulla o deve essere rfutata e s coclude che al lvello d sgfcatvtà temp med d rparazoe soo ugual. 8.9 Test d potes sulla dffereza fra due proporzo U altro problema statstco puttosto comue è quello d voler cofrotare tra loro le proporzo d due popolazo: ad esempo, c chedamo se due grupp dvers d persoe la proporzoe d coloro che hao ua certa caratterstca sa uguale o dversa. Come al solto, l seso della domada è l seguete: la dffereza fra le proporzo rlevate su due campo casual estratt dalle due popolazo è statstcamete sgfcatva, o vece s può rteere solo effetto del caso? Cosderamo qud l test sulla dffereza fra due proporzo p e p ed esamamo partcolare l caso de grad campo. S estraggoo due campo d ampezza rspettvamete e (grad campo) e sao X e X umer d volte cu la caratterstca osservata s preseta e due campo; le proporzo X X campoare Pˆ e Pˆ soo stmator corrett delle proporzo p e p delle due popolazo. La statstca Z p Pˆ Pˆ ( p p ) ( p ) p ( p ) + ha approssmatvamete la dstrbuzoe ormale stadardzzata, per valor suffcetemete grad d e. I partcolare per sottoporre a test l potes ulla H : p p c servamo del fatto che p p p, e la statstca test dveta Pˆ Pˆ Z ( ) p p + Come stma coguta della proporzoe p della popolazoe s usa l valore Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9 X + X Pˆ. + (S procede modo aalogo se l potes ulla è H : p p oppure H : p p ) Nella tabella 7 rassumamo valor comuemete usat per l lvello d sgfcatvtà e corrspodet valor crtc e z per test a ua e a due code. z Test Ipotes ulla H Ipot. alter. H Lv. sgf. Valor crtc Reg. rfuto ua coda p p p > p.6 Z >.6.6 Z >.6 ua coda p p p < p.6 Z <.6.6 Z <.6 due code p p p p.76 e Tabella 7 Z <.76 Z >.76.76.96 e.96 Z <.96 Z >.96 Il test qu descrtto s applca all potes ulla p p (o alle potes sml rportate ella tabella 7), ma può essere modfcato per applcarlo ache al caso pù geerale p p d. Esempo Due grupp d persoe, tutte sofferet della stessa malatta, partecpao a uo studo per la spermetazoe d u uovo farmaco. Al gruppo A vee sommstrato l farmaco, che o vee sommstrato al gruppo B (detto gruppo d cotrollo); per og altra terapa due grupp vegoo trattat ello stesso modo. S osserva che e due grupp guarscoo dalla malatta rspettvamete 78 e 6 persoe. S sottopoga a test l potes che l farmaco è effcace el curare la malatta a due lvell d sgfcatvtà e. S assumoo come potes ulla e come potes alteratva H : p p H : p > p. I base a dat s ha 78 6 78 + 6 pˆ 78 pˆ 6 pˆ 7 La statstca Z ha l valore 78 6 Z. 7 ( 7) + Per l lvello d sgfcatvtà la regoe d rfuto è costtuta da valor Z >.6; l valore Z. appartee alla regoe d accettazoe, percò s coclude che l farmaco è effcace e le dffereze soo dovute al caso. Per l lvello d sgfcatvtà la regoe d rfuto è costtuta da valor Z >.6; l valore Z. appartee alla regoe d rfuto, percò s coclude che l farmaco è effcace. S ot che le cocluso tratte co l test dpedoo da quato s vuole rschare d sbaglare. Se rsultat soo realtà dovut al caso e cocludamo erroeamete che soo dovut al farmaco (errore d prmo tpo), potremmo procedere a sommstrare l farmaco a molt dvdu, solo per accorgerc, dopo qualche tempo, che l farmaco stesso è realtà utle. Possamo vece cocludere che l farmaco è effcace, quado realtà vece è utle (errore d secodo tpo), decdedo d o sommstrarlo a malat e questa coclusoe è percolosa, specalmete el caso d malatte grav. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo 8 Test d potes Esempo Rsolvere l problema precedete el caso cu og gruppo è composto da persoe e e guarscoo rspettvamete 6 e I valor d pˆ, pˆ e pˆ soo gl stess d prma; l valore d Z dveta 78 6 Z. 88 7 ( 7) + Ad etramb lvell d sgfcatvtà l potes ulla deve essere rfutata, perché l valore Z.88 appartee alle rego d rfuto (che soo le stesse d prma). Cò mette l rlevo l fatto che, aumetado l ampezza de campo, possamo aumetare l affdabltà della decsoe. Esempo Due campo rspettvamete d votat della regoe A e d votat della regoe B, hao mostrato che l 6% e l 8% soo favorevol ad u certo caddato. Al lvello d sgfcatvtà provare che a c è dffereza ella prefereza fra le due rego; b l caddato è preferto ella regoe A. S ha pˆ pˆ 6 X + + X pˆ 8 pˆ + pˆ + 6 + 8 8 6 8 Z. 7 8 ( 8) + a Se s vuole determare se c è dffereza fra le rego dobbamo decdere fra le potes H : p p H : p p Per l lvello d sgfcatvtà la regoe d rfuto è data da valor Z <.96 e Z >.96; l valore Z.7 appartee alla regoe d accettazoe, percò cocludamo che o c è dffereza sgfcatva fra le due rego. b Se s vuole determare se l caddato è preferto ella regoe A dobbamo decdere fra le potes H : p p H : p > p e s effettua u test a ua coda. Per l lvello d sgfcatvtà la regoe d rfuto è data da valor Z >.6; l valore Z.7 appartee alla regoe d rfuto, percò cocludamo che l caddato è preferto ella regoe A. Esempo 6 A due campo d telespettator, format rspettvamete da masch e da 6 femme, è stato chesto se soo teressat a vedere le partte d calco TV; ha rsposto sì l 7% de masch e l 6% delle femme. Verfcare l potes che la dffereza rspetto al sesso sa sgfcatva al lvello dell %. Sottopoamo a test le potes H : p p H : p p effettuado u test a due code. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca S ha pˆ pˆ 7 X + + X pˆ 6 pˆ + pˆ + 7 + 6 6 668 + 6 7 6 Z. 6 668 ( 668) + 6 Per l lvello d sgfcatvtà la regoe d rfuto è data da valor Z <.76 e Z >.76; l valore Z.6 appartee alla regoe d rfuto, percò cocludamo che c è dffereza sgfcatva fra masch e femme. Il calcolo del p-value, che è molto prossmo a zero, garatsce che samo pratcamete cert d o sbaglare rfutado l potes ulla p value P Z <. 6 99999998 [ ( )] ( ) 8. Test d potes sulla varaza e sullo scarto quadratco medo Studamo ora come effettuare u test sulla varaza, ossa come stablre se la varaza d ua popolazoe è uguale a u dato valore σ. Questo tpo d test è utle quado s studa la varabltà d u prodotto, d u processo o d u operazoe. Il test sull potes ulla 8 H : σ σ è basato sulle stesse potes gà rcheste per gl tervall d cofdeza per la varaza. S suppoe che l campoe d elemet provega da ua popolazoe avete la dstrbuzoe ormale e s usa come statstca la varable ( ) S χ σ che ha la dstrbuzoe χ co grado d lbertà ν. I aaloga co l test d potes per la meda, le rego d rfuto dpedoo dall potes alteratva e l test può essere a ua o a due code. I valor crtc che delmtao la regoe d rfuto dpedoo dal grado d lbertà ν e soo rspettvamete χ o per due tp d test a ua coda, χ e χ per l test a due code. χ Quest valor possoo essere lett sulla tavola della dstrbuzoe χ per l grado d lbertà usato. S ot che per l test a due code s usao code d uguale ampezza, come el caso degl tervall d cofdeza per la varaza. I valor comuemete usat per l lvello d sgfcatvtà soo, come al solto, e. Nella tabella 8 rassumamo valor comuemete usat per l lvello d sgfcatvtà e le corrspodet rego d rfuto per test a ua e a due code. 8 S ragoa modo smle se l potes ulla è H : σ σ oppure H : σ σ. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo 8 Test d potes Test Ipotes ulla H Ipot. alter. H Lv. sgf. Valor crtc Reg. rfuto ua coda σ σ σ > σ χ χ. χ > χ. χ χ. χ > χ. ua coda σ σ due code σ σ σ < σ χ χ. 99 χ χ. 9 σ σ χ χ. 99 Tabella 8 χ χ. χ χ. 97 χ χ. Esempo 7 E oto che ua certa popolazoe ormale ha meda μ e varaza σ. Da u altra popolazoe vee estratto l campoe 6 8 6 8 χ χ χ χ χ χ < χ < χ < χ > χ < χ > χ. 99. 9. 99.. 97. S può cocludere al lvello d sgfcatvtà del % che la secoda popolazoe abba la stessa varaza della prma? L potes ulla e l potes alteratva soo H : σ. H : σ.. Da dat del campoe s calcola la varaza campoara s 697. Il valore della statstca test è 697 χ.. 97 Il test è a due code e la regoe d rfuto è χ < χ e χ > χ ; al lvello d sgfcatvtà del % e per l grado d lbertà ν, sulle tavole della dstrbuzoe χ s trova. χ. 97. 86 χ.. 9 Il valore χ appartee alla regoe d accettazoe, percò l potes ulla o vee rfutata, e s decde che le varaze delle due popolazo soo ugual. Esempo 8 Il peso d cert pacchett cofezoat automatcamete è dstrbuto secodo ua dstrbuzoe ormale co scarto quadratco medo σ g. L esame d u campoe d cofezo ha permesso d calcolare uo scarto quadratco campoaro s g. L apparete aumeto dello scarto quadratco medo, ossa della varabltà, è sgfcatvo al lvello? E al lvello? L potes ulla e l potes alteratva soo H : σ H : σ >. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Il valore d χ è χ 9. Il test è a ua coda e la regoe d rfuto è grado d lbertà ν 9, sulle tavole della dstrbuzoe χ χ.. χ > χ ; al lvello d sgfcatvtà e per l χ s trova Il valore χ. appartee alla regoe d rfuto, percò l potes ulla vee rfutata, e s decde che la varabltà è aumetata. Al lvello d sgfcatvtà e per l grado d lbertà ν 9, sulle tavole della dstrbuzoe χ s trova χ χ. 6. 9. Il valore χ. appartee questo caso alla regoe d accettazoe, percò l potes ulla vee accettata, e s decde che la varabltà o è aumetata e l rsultato è dovuto al caso. Cocludamo qud che la varabltà potrebbe essere aumetata e sarebbe prudete effettuare u cotrollo sul buo fuzoameto della maccha. Esempo 9 Lo scarto quadratco medo delle temperature aual d ua cttà u perodo d a è stato d 8 C. Msurado la temperatura meda del qudcesmo goro d og mese durate gl ultm a s è rscotrato che lo scarto quadratco medo delle temperature aual è stato d C. Sottoporre a test l potes che la temperatura della cttà sa dvetata meo varable che passato, usado lvell d sgfcatvtà e L potes ulla e l potes alteratva soo H : σ 8 H : σ < 8. Il valore della statstca test χ è χ. 7 8 Il test è a ua coda e la regoe d rfuto è χ grado d lbertà ν, sulle tavole della dstrbuzoe χ χ. 9 6. 7. < χ ; al lvello d sgfcatvtà e per l χ s trova Il valore χ. 7 appartee alla regoe d rfuto, percò l potes ulla vee rfutata, cocludedo che la dmuzoe della varabltà della temperatura è sgfcatva al lvello del %. Al lvello d sgfcatvtà e per l grado d lbertà ν, sulle tavole s trova χ. 66. χ. 99 Il valore χ. 7 appartee questo caso alla regoe d accettazoe, percò l potes ulla vee accettata, cocludedo che la varabltà della temperatura o è cambata e l rsultato è dovuto al caso. Le cocluso a cu s guge per due lvell d sgfcatvtà soo opposte: s tratta d u caso dubbo, per l quale occorroo ulteror dag. Questo test basato sull uso della dstrbuzoe χ è valdo sa per pccol che per grad campo, purché proveet da ua popolazoe ormale; pratca vee però usato solo per pccol campo. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

Captolo 8 Test d potes Ifatt, se l campoe è grade e provee da popolazoe ormale, s può usare la statstca S σ Z σ che ha approssmatvamete la dstrbuzoe ormale stadardzzata per suffcetemete grade. I valor crtc defet le rego d rfuto soo gl stess usat per test d potes sulla meda per grad campo; tal valor possoo essere lett ella tabella 9 (aaloga alla tabella ). Test Ipotes ulla H Ipot. alter. H Lv. sgf. Valor crtc Reg. rfuto ua coda σ σ σ > σ.6 Z >.6.6 Z >.6 ua coda σ σ σ < σ.6 Z <.6.6 Z <.6 due code σ σ σ σ.76 e Z <.76.76 Z >.76.96 e.96 Z<.96 Z >.96 Tabella 9 Esempo S msura la temperatura d ebollzoe d campo d u lqudo e s trova uo scarto quadratco medo campoaro s 99 C. S può affermare al lvello d sgfcatvtà che la varaza della dstrbuzoe della popolazoe da cu provee l campoe sa more d? Supporre che la popolazoe abba dstrbuzoe almeo approssmatvamete ormale. L potes ulla e l potes alteratva soo H : σ H : σ <. S ha s 99 σ σ 99 Z. 7 Per l lvello d sgfcatvtà l valore crtco è z. 6 e la regoe d rfuto è data da valor Z <.6; l valore Z.7 appartee alla regoe d rfuto, percò possamo rfutare l potes ulla; dobbamo percò cocludere che, al lvello d sgfcatvtà la varaza della popolazoe è more d. 8. Test d potes sul rapporto d due varaze Spesso s poe l problema d verfcare se due popolazo dpedet hao la stessa varaza. Il cofroto fra le varaze d due popolazo può avere u sgfcato a se state: s pes ad esempo all esgeza d fare u cofroto sull accuratezza d u processo d produzoe quado s usao due macche dverse. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca Il test può ache essere effettuato per verfcare l applcabltà del test sulla dffereza fra le mede descrtto el 8.8; tale test può fatt essere utlzzato solo se le varaze delle due popolazo da cu s estraggoo campo soo ugual. I questo caso l test sull uguaglaza delle varaze dveta u prerequsto per applcare u altro. Il test per cofrotare due varaze σ e σ s basa sul rapporto fra le due varaze campoare. Cosderado due popolazo avet dstrbuzoe ormale, s estraggao da esse due campo dpedet d ampezza rspettvamete e. Le varaze de due campo sao e, e s s dch co la pù grade delle due varaze campoare. Se queste potes soo verfcate, base al teorema, Cap. 6, s può affermare che la statstca S F S ha la dstrbuzoe F co grad d lbertà ν e ν. I aaloga co l test d potes per la meda, le rego d rfuto dpedoo dall potes alteratva e l test può essere a ua o a due code; per l test a due code s usao code d uguale ampezza, come el caso del test d potes per la varaza. I valor crtc che delmtao la regoe d rfuto dpedoo dal grado d lbertà ν e soo rspettvamete F ( ) o F ( ν ) per due tp d test a ua coda, ( ν ν ) ( ν, ν ν ν, F ) per l test a due code., ν s s F e, Quest valor possoo essere lett sulla tavola della dstrbuzoe F. Per trovare valor crtc s deve usare la formula seguete (formula (6.8), Cap. 6, pag. 87) F ( ν, ν ) (8.) F ( ν, ν) I valor comuemete usat per l lvello d sgfcatvtà soo, come al solto, e. Nella tabella rassumamo valor comuemete usat per l lvello d sgfcatvtà e le corrspodet rego d rfuto per test a ua e a due code. Test Ipotes ulla H Ipot. alter. H Lv. sgf. Valor crtc Reg. rfuto ua coda σ σ σ > σ F F F > F F F F > F ua coda σ σ σ < σ F F 99 F < F 99 F F 9 F < F 9 due code σ σ σ σ F F 99 F < F 99 F > F F F Tabella F F 97. F F F < F > F 97 F Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo 8 Test d potes Esempo Da due popolazo avet dstrbuzoe ormale vegoo estratt due campo dpedet avet le seguet caratterstche 6 7. s 6. Sottoporre a test l opportua potes ulla scegledo come potes alteratva a H : b H : c H : σ σ σ s > σ < σ σ Usare lvell d sgfcatvtà e I grad d lbertà della dstrbuzoe F soo ν ν Lvello d sgfcatvtà a H : σ σ H : σ > σ Il valore crtco per l test è F ( ν, ν ) F. (, ) 6. Il valore della statstca F è 7. F. 6. La regoe d rfuto è costtuta da valor F >.6, percò l potes ulla o deve essere rfutata e s può cocludere che dat o rvelao l essteza d ua dffereza sgfcatva fra le varaze delle due popolazo. b H : σ σ H : σ < σ Il valore crtco per l test è F ( ν, ν ) F 9(, ) F (, ). 8 La regoe d rfuto è costtuta da valor F <, percò l potes ulla o deve essere rfutata. c H : σ σ H : σ σ I valor crtc per l test soo F ν, ν F,. 8 ( ) ( ) ( ν, ν ) F (, ) F. 96 F 97 (, ) La regoe d rfuto è costtuta da valor F < e da valor F >.8, percò l potes ulla o deve essere rfutata. Lvello d sgfcatvtà a H : H : σ σ σ > σ Il valore crtco per l test è F ( ν, ν ) F. (, ). Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 La regoe d rfuto è costtuta da valor F >., percò l potes ulla o deve essere rfutata: dat o rvelao l essteza d ua dffereza sgfcatva fra le varaze delle due popolazo. b H : σ σ H : σ < σ Il valore crtco per l test è F ( ν, ν ) F 99(, ) 7 F (, ). 67 La regoe d rfuto è costtuta da valor F < 7, percò l potes ulla o deve essere rfutata. c H : σ σ H : σ σ I valor crtc per l test soo F ( ν, ν ) F (, ). 7 F ( ν, ν ) F 99(, ) F (, ).. La regoe d rfuto è costtuta da valor F < e da valor F >.7, percò l potes ulla o deve essere rfutata. Esempo Nella tabella soo rportate le lughezze cm d due campo A e B d oggett dello stesso tpo prodott da due macche dverse. A 8.6 8. 8. 8.7 8. B 7.9 7.89 7.9 8. 7.9 7.8 7.9 Per quest dat è stato calcolato u tervallo d cofdeza per la dffereza fra le mede, assumedo che le due popolazo da cu provegoo campo abbao dstrbuzoe ormale co la stessa varaza (esempo 9, 7.7, pag. 8). Sottoporre a test questa assuzoe co lvello d sgfcatvtà. Per verfcare se è ragoevole assumere che le varaze delle due popolazo soo ugual, sceglamo come potes ulla e come potes alteratva H : H : σ I base a dat della tabella s ha σ σ σ s 7 7 s 9 Il valore della statstca F è 7 F. 7 9 S effettua u test a due code e valor crtc per l test soo F ν, ν F, 6 6. ( ) ( ) ( ν, ν ) F (, 6) F 9. F 97 ( 6, ) La regoe d rfuto è costtuta da valor F < e da valor F > 6., percò l potes ulla o deve essere rfutata: o c è ua ragoe sgfcatva per dubtare che le due varaze sao ugual. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo 8 Test d potes Esempo Cosderamo dat dell esempo. Per poter effettuare l test d potes sulla dffereza fra le mede, abbamo potzzato che le due popolazo abbao la stessa varaza; effettuamo l test sul rapporto delle varaze per stablre se questa potes è verfcata. Per verfcare se è ragoevole assumere che le varaze delle due popolazo soo ugual, sceglamo come potes ulla e come potes alteratva I base a dat s ha H : H : σ σ σ σ 6 s s Il valore della statstca F è F. 78 S effettua u test a due code e valor crtc per l test soo F ( ν, ν ) F (, ) 9. 6 F ( ν, ν ) F 97 (, ) F (, ) 7. 9. La regoe d rfuto è costtuta da valor F < e da valor F > 9.6, percò l potes ulla o deve essere rfutata e o c è ua ragoe sgfcatva per dubtare che le due varaze sao ugual. Esempo Cosderamo dat dell esempo. Per poter effettuare l test d potes sulla dffereza fra le mede, abbamo potzzato che le due popolazo abbao la stessa varaza; effettuamo l test sul rapporto delle varaze per stablre se questa potes è verfcata. Per verfcare se è ragoevole assumere che le varaze delle due popolazo soo ugual, sceglamo come potes ulla e come potes alteratva H : σ I base a dat s ha H : σ σ σ s. s 9. Il valore della statstca F è. F. 9. S effettua u test a due code e valor crtc per l test soo F ( ν, ν ) F (, ). 7 F ( ν, ν ) F 97(, ) F ( 6, ). 7. La regoe d rfuto è costtuta da valor F < e da valor F >.7: l potes ulla o deve essere rfutata e o c è ua ragoe sgfcatva per dubtare che le due varaze sao ugual. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 9 Esempo Due macche dverse producoo flo metallco che deve avere dametro costate. Per cotrollare la qualtà del processo, vegoo esegute msure del dametro put casual dvers del flo prodotto dalle due macche; l campoe d 6 msure effettuate sulla prma maccha ha varaza s 8, metre l campoe d msure effettuate sulla secoda maccha ha varaza s. S può sosteere che le due macche sao ugualmete accurate? I caso cotraro la secoda maccha è pù accurata della prma (ossa per la secoda c è ua mor varabltà)? a Per rspodere alla prma domada, s effettua u test sull uguaglaza delle due varaze; per verfcare se è ragoevole assumere che le varaze delle due popolazo soo ugual, sceglamo come potes ulla e come potes alteratva I base a dat s ha H : H : σ σ σ σ 6 s 8 s Il valore della statstca F è 8 F. 8 S effettua u test a due code e valor crtc per l test al lvello d sgfcatvtà del % soo F ( ν, ν ) F (, ). F ( ν, ν ) F (, ). 97 F (, ) 7. 7 La regoe d rfuto è costtuta da valor F < 7 e da valor F >., percò l potes ulla deve essere rfutata e c è ua ragoe sgfcatva per dubtare che le due varaze sao ugual. b Per rspodere alla secoda domada, s deve effettuare l test scegledo come potes H : σ σ H : σ > σ S effettua u test a ua coda e l valore crtco per l test al lvello d sgfcatvtà del % è F ( ν, ν ) F (, ). La regoe d rfuto è costtuta da valor F >., percò l potes ulla deve essere rfutata e c è ua ragoe sgfcatva per affermare che la secoda maccha è pù accurata della prma. Esempo 6 I ua scuola elemetare è stato fatto u esame d grammatca. Il voto medo de bamb è stato d 7/, co uo scarto quadratco medo s 8, metre l voto medo delle bambe è stato d 78/ co uo scarto quadratco medo s 6. Provare al lvello d sgfcatvtà del % l potes che le bambe sao mglor de bamb grammatca. Per poter effettuare l test d potes sulla dffereza fra le mede occorre potzzare che le due popolazo da cu soo estratt campo abbao dstrbuzoe ormale co la stessa varaza. S effettua dapprma u test sull uguaglaza delle due varaze, per verfcare se è ragoevole assumere che le varaze delle due popolazo soo ugual; sceglamo come potes I base a dat s ha H : H : σ σ σ σ Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo 8 Test d potes s 6 s 6 Il valore della statstca F è 6 F. 78 6 S effettua u test a due code e valor crtc per l test al lvello d sgfcatvtà del % soo F ν, ν F,. 7 F ( ) ( ) ( ν, ν ) F (, ) 97 F (, ). 7 La regoe d rfuto è costtuta da valor F < e da valor F >.7, percò l potes ulla o può essere rfutata e o c è ua ragoe sgfcatva per dubtare che le due varaze sao ugual. S può ora effettuare l test sulla dffereza fra le mede. S assume come potes ulla e come potes alteratva H : μ μ H : μ < μ. I base a dat della tabella s ha 7 78 s La stma coguta della varaza co la formula (8.) è 6 + 6 S 8 Il grado d lbertà della dstrbuzoe t è ν + 8 La statstca t ha l valore 7 78 T + s 6 6 Per l lvello d sgfcatvtà l valore crtco è t.. 96 e la regoe d rfuto è data da valor T <.96 e T >.96. Il valore T appartee alla regoe d rfuto, percò l potes ulla deve essere rfutata e s coclude che al lvello d sgfcatvtà l voto medo delle bambe è superore a quello de bamb. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 6 9. Test ch-quadro 9. Itroduzoe Ne captol sulla stma e sulla verfca delle potes abbamo usato la dstrbuzoe χ per la costruzoe d tervall d cofdeza e per l test d potes per la varaza d ua popolazoe. Questa dstrbuzoe ha umerose altre applcazo ella statstca; partcolare e faremo uso ella verfca d potes co dat dspobl sotto forma d frequeze. Queste procedure d verfca delle potes soo ote come test d adattameto (o ache goodess of ft) e test d dpedeza. I qualche modo etramb test ch-quadro che esamamo possoo essere pesat come de test sulla botà dell adattameto, el seso che studao la botà dell adattameto delle frequeze osservate rspetto a delle frequeze che s presume dovrebbero verfcars, se dat fossero geerat da ua qualche teora o potes. Tuttava l terme botà dell adattameto vee d solto usato seso stretto, per rferrs al cofroto tra la dstrbuzoe osservata su u campoe e la dstrbuzoe teorca che s potzza possa descrvere la popolazoe da cu provee l campoe. 9. Test ch-quadro d adattameto I questo paragrafo c occupamo d u metodo statstco utle per stablre se u campoe d dat osservat s adatta a ua dstrbuzoe teorca assegata; ad esempo, potrebbe esserc motvo d credere che l umero d cdet che s verfcao u certo perodo d tempo u tratto d strada sa ua varable aleatora avete dstrbuzoe d Posso: questa covzoe può essere verfcata osservado per u certo perodo l umero d cdet, ed eseguedo qud u test che sa grado d stablre co u certo grado d fduca se la popolazoe possa avere la dstrbuzoe potzzata. I test statstc che servoo a verfcare se ua certa dstrbuzoe è compatble co dat del campoe soo dett test sulla botà d adattameto. Per effettuare l test suppoamo d avere u campoe d osservazo d ua varable, raggruppate ua tabella coteete k class. Le class possoo rappresetare: caratterstche qualtatve; valor assut da ua varable dscreta: og classe raggruppa tutte le osservazo che assumoo u dato valore, evetualmete ua o due class raggruppao le code; tervall d valor assut da ua varable cotua. I altr term, la tabella rappreseta la dstrbuzoe d frequeza assoluta d ua varable qualtatva o d ua varable umerca dscreta o cotua. Per cascua classe suppoamo d avere, oltre alla frequeza osservata O, ua frequeza attesa A, co cu s vuole cofrotare la frequeza osservata; le frequeze attese soo quelle che s osserverebbero se dat del campoe fossero dstrbut esattamete secodo la dstrbuzoe potzzata. Per valutare quattatvamete la botà dell adattameto delle frequeze osservate alle frequeze attese s utlzza la statstca test k ( O A ) χ (9.) A che vee detta l ch-quadro calcolato dal campoe. S dmostra che, per suffcetemete grade, questa statstca ha approssmatvamete la dstrbuzoe χ, co grado d lbertà ν k m, dove m è l umero de parametr della dstrbuzoe teorca stmat servedos de dat del campoe. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo 9 Test ch-quadro Se l potes ulla H è che dat s adatto alla dstrbuzoe teorca potzzata, la regola d decsoe sarà: s rfut l potes ulla se l valore della statstca χ calcolato da dat è maggore del valore crtco χ χ > χ (9.) è l lvello d sgfcatvtà stablto e l grado d lbertà della dstrbuzoe χ è ν k m ; k dca l umero delle class e m l umero de parametr della dstrbuzoe teorca stmat servedos de dat del campoe. Questa proceduta, detta test ch-quadro d adattameto, è valda purché le frequeze assolute attese sao tutte maggor o ugual a. Questa codzoe garatsce che la dstrbuzoe della statstca χ sa be approssmata dalla dstrbuzoe ch-quadro; quado, dopo aver calcolato le frequeze attese, s osserva che qualcua d queste è more d, bsoga accorpare opportuamete due o pù class cotgue, modo che la codzoe sa verfcata. S rcord che, dopo aver accorpato le class, l umero d class da cosderare per calcolare l grado d lbertà della dstrbuzoe ch-quadro è quello rdotto e o quello orgale. Negl esemp seguet vee llustrato l test d adattameto; partcolare alcu esemp esameremo l caso della dstrbuzoe bomale, della dstrbuzoe d Posso e della dstrbuzoe ormale. Esempo Alle ultme elezo ammstratve u comue s soo presetate quattro lste che hao otteuto le seguet percetual Lsta Totale Percetuale 6% % % 7% % Nella sezoe elettorale A del comue, su vot vald, vot soo rsultat così suddvs Lsta Totale Vot 8 6 9 Nella sezoe elettorale B vece, su vot vald, vot soo rsultat così suddvs Lsta Totale Vot 6 9 S può rteere che rsultat elettoral delle due sezo s adatto bee a rsultat complessv, oppure le dffereze soo statstcamete rlevat? Sezoe elettorale A Costruamo az tutto ua tabella coteete le frequeze osservate, ossa vot della sezoe, e le frequeze attese, ossa quelle che s osserverebbero, su vot della sezoe, se quest vot fossero dstrbut esattamete secodo le percetual d tutto l elettorato; per otteere le frequeze attese s trasforma og frequeza attesa frequeza relatva attesa e po frequeza assoluta attesa. Ad esempo per la lsta : Percetuale attesa: 6% Frequeza relatva attesa: 6 Frequeza assoluta attesa: 6 9 S ottee la seguete tabella Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 6 Lsta Frequeze osservate O Frequeze attese A ( O A ) 8 9 ( 8 9) A ( ) 9 6. ( 6. ). 9 9. ( 9 9. ) 9. Totale.8 Tabella. 7. 7 Per l calcolo del valore della statstca χ co la (9.) è utle aggugere l ultma coloa della precedete tabella: tale coloa soo rportat sgol added della sommatora; per otteere l valore d χ basta sommare valor della coloa, qud l valore della statstca ch-quadro calcolato dal campoe della sezoe A è χ. + 7 +. 7 +. 8 Le class soo e essu parametro è stato stmato da dat del campoe, percò l grado d lbertà è ν k m Al lvello d sgfcatvtà del %, sulle tavole della dstrbuzoe χ s legge l valore crtco χ. 7. 8 L potes ulla è che rsultat della sezoe A s adatto alla dstrbuzoe complessva de vot; l test prevede che l'potes ulla vega rfutata se l valore della statstca ch-quadro è maggore del valore crtco. Nel ostro caso per la sezoe A l valore è more, percò l potes ulla o può essere rfutata e cocludamo che o c è ua dffereza statstcamete rlevate fra dat d questa sezoe e rsultat complessv. Sezoe elettorale B Rpetamo tutto l calcolo co dat della sezoe B; la tabella delle frequeze osservate e delle frequeze attese è la seguete Lsta Frequeze osservate O Frequeze attese A ( O A ) 6 8. ( 6 8. ) 8. ( ) A 8 ( 8) 9 86. ( 9 86. ) 86. Totale 9. Tabella 8. 98.. 86 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

6 Captolo 9 Test ch-quadro Il valore della statstca χ calcolato da dat del campoe della sezoe B è χ. 98 +. +. + 86 9. Poché l valore del ch-quadro è maggore del valore crtco, l potes ulla vee rfutata e cocludamo che rsultat della sezoe B o soo rappresetatv de rsultat complessv, ossa c è ua dffereza statstcamete rlevate. Esempo S effettuao lac d u dado e s osservao le seguet uscte N uscto 6 Frequeza 7 6 Provare l potes che l dado o sa truccato, usado l lvello d sgfcatvtà del % (adattameto alla dstrbuzoe uforme dscreta). Se l dado o è truccato, le frequeze attese soo tutte ugual a e s costrusce la tabella N uscto Frequeze osservate O Frequeze attese A ( O A ). 7. 8 6 6 8 Totale. Tabella Il valore della statstca ch-quadro calcolato dal campoe è χ. Le class soo 6 e essu parametro è stato stmato dal campoe, percò l grado d lbertà è ν k m 6 Il valore crtco al lvello d sgfcatvtà del % è χ.. 7 Il test è: s rfuta l potes che l dado sa buoo se l valore del ch-quadro è maggore del valore crtco; el ostro caso è more, percò base a dat o possamo rfutare l potes, e cocludamo che, al lvello d sgfcatvtà del %, o c è ua sgfcatva evdeza che l dado sa truccato. Esempo Ua tabella d umer casual d ua cfra mostra la seguete dstrbuzoe de umer da a 9. La dstrbuzoe osservata dffersce sgfcatvamete dalla dstrbuzoe attesa? Numer 6 7 8 9 Frequeze 7 9 8 6 osservate La tabella delle frequeze osservate e delle frequeze attese è la seguete tabella A Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 6 Numero Frequeze osservate O Frequeze attese A ( O A ) 7.6. 9 6 8.96.8. 6. 7. 8. 9 6.8 Totale.8 Tabella Il valore della statstca ch-quadro calcolato dal campoe è χ. 8 Le class soo e essu parametro è stato stmato dal campoe, percò l grado d lbertà è ν k m 9 I valor crtc a lvell d sgfcatvtà del % e dell % soo rspettvamete χ. 6. 99 χ.. 666 Il test è: s rfuta l potes che o v sa dffereza sgfcatva dalla dstrbuzoe attesa, se l valore del ch-quadro è maggore del valore crtco; el ostro caso per etramb lvell d sgfcatvtà è maggore, percò, base a dat, rfutamo l potes e cocludamo che la dstrbuzoe osservata dffersce sgfcatvamete dalla dstrbuzoe attesa: la tabella de umer casual deve essere gudcata co dffdeza! Esempo I base a ua rcerca codotta a precedet, s può rteere che l umero d cdet stradal per settmaa, u certo tratto d autostrada, segua la dstrbuzoe d Posso d parametro λ. Nelle ultme 9 settmae s soo rlevat seguet dat N d cdet per settmaa o pù Totale N d settmae cu s è verfcato 6 9 Possamo affermare che l modello è acora applcable alla descrzoe del feomeo, oppure qualcosa è cambato? La dstrbuzoe teorca co cu s vogloo cofrotare dat è la dstrbuzoe d Posso d parametro (valor medo) λ. Usado questa dstrbuzoe possamo calcolare le seguet P( X ) probabltà P( X ) P P e e 67 68 ( X ) e 6 ( X ) P( X < ) ( 67 + 68+ 6) 8 Queste soo le probabltà co cu X appartee alle quattro class, ossa le frequeze relatve attese; A Queste probabltà possoo ache essere otteute usado le tavole della dstrbuzoe d Posso Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

66 Captolo 9 Test ch-quadro le frequeze assolute attese s ottegoo moltplcado le frequeze relatve attese per l umero d osservazo, questo caso 9 S ottee la tabella Classe (N cdet per settmaa) Frequeza relatva attesa Frequeza assoluta attesa X 67 6 X 68. X 6.8 6 X 8 7 Totale 9 9 Tabella Frequeza assoluta osservata S osserva che le ultme due class hao frequeze assolute attese mor d, percò o possamo usare questa tabella per effettuare l test; s accorpao allora le ultme due class u uca classe co frequeza assoluta attesa par a.8 + 7. e frequeza assoluta osservata par a 6 + 6. Otteamo così la tabella 6, ella quale l ultma coloa cotee gl added della sommatora che defsce la statstca ch-quadro Classe (N cdet per settmaa) Frequeza assoluta attesa A Frequeza assoluta osservata O ( O A ) X 6. X..7 X. 6 Totale 9 9.76 Tabella 6 Il valore della statstca ch-quadro calcolato dal campoe è χ. +. 7 +. 76 Le class, dopo l accorpameto soo e essu parametro è stato stmato dal campoe, percò l grado d lbertà è ν k m Il valore crtco al lvello d sgfcatvtà del % è χ.. 99 Il test è: s rfuta l potes d adattameto se l valore del ch-quadro è maggore del valore crtco; el ostro caso è more, percò, base a dat, o possamo rfutare l potes ulla d adattameto, e cocludamo che, al lvello d sgfcatvtà del %, base a dat del campoe o c è evdeza statstca del fatto che la legge seguta dal umero settmaale d cdet sa cambata. Esempo Durate tervall d mut alla torre d cotrollo d u aeroporto arrvao,,,, messagg rado co le rspettve frequeze,, 7,,. I dat d questo campoe soo raccolt ella tabella seguete N messagg rado 6 7 8 9 Frequeze osservate 7 76 68 7 6 9 9 S vuole sottoporre a test l potes che quest dat cofermo l affermazoe che l umero d messagg rado che s rcevoo u tervallo d mut sa ua varable aleatora avete la dstrbuzoe d Posso d parametro λ.6. A Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 67 Le frequeze relatve attese possoo essere otteute usado la tavola della dstrbuzoe d Posso co parametro λ.6; le corrspodet frequeza assolute attese s ottegoo moltplcado le frequeze relatve per ; quest valor soo raccolt ella tabella 7, seme co le frequeze osservate da dat del campoe N messagg rado Frequeze osservate O Frequeze relatve attese (tavola Posso) Frequeze a ssolute attese. 6 8.8 7 6. 76 6 6. 68 87 7. 7 76 69. 6 6.88 7 9 869.76 8 9 9 6 7.68 9.96 9 76 Totale Tabella 7 Poché c soo delle class che hao frequeze assolute attese mor d, procedamo ad accorpare alcue class e otteamo la tabella 8. Rcordamo che solo le frequeze attese o devoo essere mor d, e o quelle osservate. N messagg rado Frequeze osservate O Frequeze attese A ( O A ) e 8. 9 7. 7 76 6..77 68 7. 6 7 69. 6 6 6.88 9 7 9.76 8. 9 9 8 7.8 Totale 6.99 Tabella 8 Il valore della statstca ch-quadro calcolato dal campoe è χ 6. 99 Le class, dopo l accorpameto soo e essu parametro è stato stmato dal campoe, percò l grado d lbertà è ν k m 9 Il valore crtco al lvello d sgfcatvtà del % è χ.. 6 99 A A Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

68 Captolo 9 Test ch-quadro Il test è: s rfuta l potes d adattameto se l valore del ch-quadro è maggore del valore crtco; el ostro caso è more, percò, base a dat, o possamo rfutare l potes ulla d adattameto, e cocludamo che, al lvello d sgfcatvtà del %, c è u buo adattameto de dat alla dstrbuzoe d Posso co parametro λ.6. Esempo 6 S potzza che l umero d dfett preset u crcuto elettroco stampato segua ua dstrbuzoe d Posso. I u campoe casuale d 6 crcut è stato osservato l umero d dfett preset, otteedo seguet dat I dat s adattao alla dstrbuzoe potzzata? Numero d dfett Frequeza osservata 9 Il valor medo della dstrbuzoe d Posso è cogto e deve essere calcolato da dat. + + 9 + λ 7 6 Le frequeze attese possoo essere calcolate co la dstrbuzoe d Posso d parametro λ 7 P P P P 7 ( X ) e 7 7 ( X ) e 7. 7 7 ( X ) e 9 ( X ) P( X < ) ( 7 + + 9) Le corrspodet frequeza assolute attese s ottegoo moltplcado le frequeze relatve per 6; quest valor soo raccolt ella tabella 9, seme co le frequeze osservate da dat del campoe Numero d Frequeze Frequeze relatve Frequeze dfett osservate O attese (dstrb. Posso) assolute attese 7 8..6 9 9 7.97. Tabella 9 Poché l ultma classe ha ua frequeza assoluta attesa more d, accorpamo le ultme due class e otteamo la tabella ( O A ) Numero d Frequeze Frequeze attese dfett osservate O A A 8. 7.6.8 9 66 Tabella A Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 69 Il valore della statstca ch-quadro calcolato da dat del campoe è χ 7 +. 8 + 66. 97 Le class dopo l accorpameto soo e l valor medo della dstrbuzoe è stato stmato dal campoe, percò l grado d lbertà è ν k m Il valore crtco al lvello d sgfcatvtà del % è χ.. 8 L potes ulla è che dat s adatto alla dstrbuzoe d Posso d parametro λ7; dato che l valore della statstca calcolato dal campoe è more del valore crtco, o possamo rfutare l potes ulla. Esempo 7 Cque moete soo state lacate volte, e a cascu laco è stato osservato l umero d teste; ella tabella è rportato l umero d lac e qual soo state otteute,,, teste. N teste Frequeza osservata 8 87 6 Stablre se le moete s possoo rteere o tr uccate. Se le moete soo eque, l umero d teste su moete u sgolo laco ha ua dstrbuzoe bomale d parametr p,. Le probabltà d avere,,, teste s possoo otteere dalla tavola della dstrbuzoe bomale; le corrspodet frequeze assolute attese s rcavao moltplcado per tal probabltà. S ottee così la tabella ( ) Numero d teste Frequeze Frequeze Frequeze attese O A osservate O relatve attese A (bomale) A 8..6 6 6. 96..78 87..8 6 6 6. 8.. Totale 8.9 Tabella Il valore della statstca ch-quadro calcolato dal campoe è χ 8. 9 Le class soo e essu parametro è stato stmato dal campoe, percò l grado d lbertà è ν k m Il valore crtco al lvello d sgfcatvtà del % è χ. 7 Il valore del ch-quadro è more del valore crtco, percò base a dat o possamo rfutare l potes ulla d adattameto, e cocludamo che, al lvello d sgfcatvtà del %, c è u buo adattameto de dat alla dstrbuzoe bomale; altr term o possamo rfutare l potes che la moeta sa equa. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

7 Captolo 9 Test ch-quadro C soo molte procedure statstche che rchedoo come potes l fatto che la popolazoe abba la dstrbuzoe ormale: ad esempo, quado s effettua u test d potes sulla meda el caso de pccol campo, s rchede che la popolazoe da cu s estrae l campoe sa ormale. I queste stuazo l test ch-quadro d adattameto è uo strumeto utle per verfcare se queste procedure soo applcabl. I seguet esemp llustrao l applcazoe del test ch-quadro per l adattameto alla dstrbuzoe ormale. Esempo 8 La tabella forsce la dstrbuzoe della pressoe saguga sstolca ( mm d mercuro) per u campoe casuale d uom d età fra e a. Stablre al lvello d sgfcatvtà del % se dat del campoe s adattao a ua dstrbuzoe ormale. Pressoe Frequeza osservata ( d uom) 8 < < < < 7 < 67 < 6 < 6 6 < 8 Tabella L potes ulla è che la pressoe saguga abba ua dstrbuzoe ormale. Per sottoporre a test questa potes occorre calcolare da dat la stma per la meda e la varaza della popolazoe. Dspoamo calcol ella tabella Pressoe Valore Frequeza f f cetrale osservata f 8 < 9 7 < 6 < 98 6877 < 7 9 6 < 67 9 7 < 6 77 66 < 6 86 88 6 < 8 7 68 6 Totale 77 Tabella Il valor medo, la varaza e lo scarto quadratco medo (dat ragg ruppat) soo 8. 6 ( ) s 77 87. 78 9 s. 69 Calcolamo ora le frequeze relatve attese delle class. Oltre alle class dcate, elle qual cadoo le osservazo, occorre cosderare ache la classe 8 e la classe 8; queste due class hao frequeze osservate ulle, ma le frequeze relatve attese o soo ulle. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 Per calcolare queste frequeze usamo la fuzoe d rpartzoe della varable aleatora ormale X d meda μ 8.6 e scarto quadratco medo σ.69; passado alla varable aleatora stadardzzata X 8. 6 Z. 69 e servedos delle tavole della dstrbuzoe ormale stadardzzata, s costrusce la tabella, coteete le frequeze relatve attese e le frequeze assolute attese. Ad esempo, per la classe < la frequeza relatva attesa (probabltà) s calcola el modo seguete 8. 6 X Z. 69. 8. 6 X Z 6. 69 P( < X < ) P(. < Z < 6) P( 6 < Z <. ) 9 7 79 La corrspodete frequeza attesa è qud 79.77 Class Frequeza frequeze frequeze osservata f relatve attese attese (probabltà) 8 8 < 86.6 < 697 7. < 79.77 < 7 76 69. < 67 7 6.9 < 6.7 < 6 7.87 6 < 8 6.6 > 8 Totale Tabella Poché c soo delle class che hao frequeze assolute attese mor d, procedamo ad accorpare alcue class e otteamo la tabella. Class Frequeza frequeze ( O A ) osservata O attese A A..9 <.77.66 < 7 69. < 67 6.9 8 < 6.7.77 > 6. Totale 6.68 Tabella Il valore della statstca ch-quadro calcolato dal campoe è χ 6. 68 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

7 Captolo 9 Test ch-quadro Le class soo 6 e due parametr, valor medo e varaza della popolazoe, soo stat stmat dal campoe, percò l grado d lbertà è ν k m 6 Il valore crtco al lvello d sgfcatvtà del % è χ. 7. 8 Il valore del ch-quadro è more del valore crtco, percò base a dat o possamo rfutare l potes ulla d adattameto, e cocludamo che, al lvello d sgfcatvtà del %, c è u buo adattameto de dat alla dstrbuzoe ormale. Esempo 9 Soo state msurate le lughezze d sbarrette d metallo sml, e dat soo stat raggruppat ella tabella seguete Class Frequeze (lughezza mm) osservate 7 < 8 8 < 9 9 < < < Stablre se base a quest dat s può affermare che la lughezza delle sbarrette segue ua dstrbuzoe ormale. L potes ulla è che la lughezza abba ua dstrbuzoe ormale. Per sottoporre a test questa potes occorre calcolare da dat la stma per la meda e la varaza della popolazoe. Usado dat raggruppat s ottee 9. 9 s 966 s 978 Calcolamo ora le frequeze relatve attese delle class. Oltre alle class dcate, elle qual cadoo le osservazo, occorre c osderare ache la classe 7 e la classe >. Per calcolare queste frequeze usamo la fuzoe d rpartzoe della varable aleatora ormale X d meda μ 9.9 e scarto quadratco medo σ 978; passado alla varable aleatora stadardzzata X 9. 9 Z 978 e servedos delle tavole della dstrbuzoe orma le stadardzzata, s costrusce la tabella 6, coteete le frequeze relatve attese e le frequeze assolute attese. Ad esempo per la classe 7 < 8 l a frequeza relatva attesa (probabltà) s calcola el modo seguete 7 9. 9 X 7 Z. 99 978 8 9. 9 X 8 Z. 96 978 P( 7 < X < 8) P(. 99 < Z <. 96) P(. 96 < Z <. 99) 9986 97 6 La corrspodete frequeza attesa è qud 6. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 Class Frequeza osservata f frequeze relatve attese (probabltà) frequeze attese 7 7 < 8 6. 8 < 9 86.9 9 < 8.7 < 9.86 < 9 7.87 > 66.9 Totale Tabella 6 Poché c soo delle class che hao frequeze assolute attese mor d, procedamo ad accorpare le prme tre class e le ultme due e otteamo la tabella 7 Class Frequeza osservata f frequeze ( O A ) attese A 9 6 6..7 9 < < 9.86 > 6 Totale 8 Tabella 7 Il valore della statstca ch-quadro calcolato dal campoe è χ 8 Le class soo e due parametr, valor medo e varaza della popolazoe, soo stat stmat dal campoe, percò l grado d lbertà è ν k m Il valore crtco al lvello d sgfcatvtà del % è χ.. 8 Il valore del ch-quadro è more del valore crtco, percò base a dat o possamo rfutare l potes ulla d adattameto, e cocludamo che, al lvello d sgfcatvtà del %, c è u buo adattameto de dat alla dstrbuzoe ormale. A Esempo Soo state msurate le stature d 6 studet dstrbuzoe d frequeza e dat soo stat raggruppat ella seguete Class Frequeza assoluta (Statura cm) osservata 6 < 6 6 < 68 68 < 7 7 < 7 7 < 77 6 Verfcare se la statura s può rteere dstrbuta ormalmete co meda 7 cm e scarto quadratco medo cm. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

7 Captolo 9 Test ch-quadro Calcolamo le frequeze relatve attese delle class. Oltre alle class dcate, elle qual cadoo dat, occorre cosderare ache la classe 6 e la classe > 77. Per calcolare queste frequeze usamo la fuzoe d rpartzoe della varable aleatora ormale X d meda μ 7 e scarto quadratco medo σ ; passado alla varable aleatora stadardzzata 7 Z X e servedos delle tavole della dstrbuzoe ormale stadardzzata, s costrusce la tabella 8, coteete le frequeze r elatve attese e le frequeze assolute attese. Class Frequeza frequeze frequeze osservata relatve attese attese (probabltà) 6 8 8 6 < 6 7.6 6 < 68 9. 68 < 7 779.67 7 < 7 789 6.7 7 < 77 6 89.9 > 77 99 9 Totale 6 6 Tabella 8 Accorpamo le prme tre class e le ultme due, che hao frequeze attese mor d e otteamo la tabella 9 Class Frequeza frequeze ( ) osservata O attese A O A A 68.8 68 < 7.67 7 7 < 7 6.7 797 > 7 6.8 9 Totale 6 6 6 Tabella 9 Il valore della statstca ch-quadro calcolato d al campoe è χ 6 Le class soo e essu parametro è stato stmato dal campoe, percò l grado d lbertà è ν k m Il valore crtco al lvello d sgfcatvtà del % è χ. 7. 8 Il valore del ch-quadro è more del valore crtco, percò base a dat o possamo rfutare l potes ulla d adattameto, e cocludamo che, al lvello d sgfcatvtà del %, c è u buo adattameto de dat alla dstrbuzoe ormale. Sebbee sa frequete l uso del test ch-quadro per saggare l evetuale dstrbuzoe ormale, esso realtà o è l pù doeo quado la dstrbuzoe potzzata è cotua. Esstoo altr test pù dcat per dstrbuzo cotue, ad esempo l test d Kolmogorov- Smrov, che o sarà trattato queste lezo. Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 7 9. Test ch-quadro d dpedeza Il test ch-quadro può essere utlzzato ache per verfcare l dpedeza o meo d due varabl: questa è forse la pù frequete fra le applcazo della dstrbuzoe χ. I questo test s vuole sottoporre a test l potes ulla che due crter d classfcazoe, quado applcat al medesmo seme d dat, sao dpedet. S dce che due crter d classfcazoe soo dpedet se la dstrbuzoe rspetto a u crtero o vee fluezata dalla classfcazoe rspetto all altro crtero. Se l potes ulla vee rfutata, cocludamo che due crter d classfcazoe soo dpedet. Vedamo alcu esemp llustratv. Esempo U corso uverstaro è mpartto dallo stesso segate a studet del secodo ao d tre drzz d laurea dvers; gl esam superat e o superat soo regstrat ella seguete tabella Laurea A Laurea B Laurea C esame superato 8 esame o superato Il redmeto degl studet de tre cors, rspetto a questo esame, s può rteere sostazalmete equvalete, oppure le dffereze soo statstcamete sgfcatve? Questo equvale a cheders se le due varabl (qualtatve) drzzo d laurea e superameto dell esame soo dpedet. Esempo Per stablre l effcaca d u vacco at-fluezale è stata codotta ua rcerca, sommstrado l vacco a persoe e cotrollado l loro stato d salute u ao; lo stesso cotrollo è stato fatto per u gruppo d altre persoe o vaccate; base a rsultat dell espermeto s è otteuta la seguete tabella essua flueza ua flueza pù d ua flueza vaccat o vaccat 6 S può rteere che l vacco sa effcace, ossa sottopoedos alla vaccazoe s ha u mor rscho d cotrarre la malatta, oppure l vacco o è effcace? Questo equvale a cheders se le due varabl (qualtatve) vaccazoe e mor umero d flueze soo dpedet oppure o. Esempo Per verfcare la qualtà della produzoe ua fabbrca, u gegere cotrolla l umero d pezz dfettos prodott da tre macche dverse, e ottee la seguete tabella d dat maccha maccha maccha buo dfettos S può rteere che la quattà d pezz dfettos o dpeda dalla maccha che s utlzza? I tutt gl esemp cosderat dspoamo d osservazo cogute d due varabl e c chedamo se esste ua forma d dpedeza fra le due varabl. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

76 Captolo 9 Test ch-quadro L potes ulla sarà che le due varabl sao dpedet; se s rfuta l potes ulla, la coclusoe sarà che v sa qualche terazoe fra due crter d classfcazoe. Tabelle come quelle rprodotte egl esemp s chamao tabelle d cotgeza. I ua tabella d questo tpo osservazo soo classfcate secodo u certo crtero X, ossa secodo l valore d ua certa varable, r class e, cotemporaeamete, soo classfcate secodo u altro crtero Y, ossa secodo valor assut da u altra varable, c class; la tabella rporta all croco d og rga co og coloa la frequeza assoluta osservata Oj Class Class c O O O O c O O O O c O O O O c O r r O O r O r rc Tabella Partedo da questa tabella s costrusce la tabella delle frequeze attese, ossa delle frequeze che s avrebbero ell potes d dpedeza; og frequeza attesa A j s ottee co la seguete formula ( totale rga ) ( totale coloa j) A j totale geerale S dmostra che, per suffcetemete grade, la statstca χ r c ( Oj Aj ) j A j detta l ch-quadro calcolato dal campoe, ha approssmatvamete la dstrbuzoe co grado d lbertà ν ( r ) ( c ). Se l potes ulla H è che le due varabl sao dpedet, la regola d decsoe sarà: s rfut l potes ulla, se l valore della statstca χ calcolato da dat è maggore del valore crtco χ χ > χ è l lvello d sgfcatvtà stablto e l grado d lbertà della dstrbuzoe χ è ν ( r ) ( c ). Questa proceduta, detta test ch-quadro d dpedeza, è valda purché le frequeze assolute attese sao tutte maggor o ugual a. Esempo parte Rpredamo l esempo. U corso uverstaro è mpartto dallo stesso segate a studet del secodo ao d tre drzz d laurea dvers; gl esam superat e o superat soo regstrat ella tabella Tabella d cotgeza Frequeze osservate Laurea A Laurea B Laurea C Totale esam esame superato 8 esame o superato Totale studet scrtt 6 Tabella χ (9.) (9.) Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 77 Il redmeto degl studet de tre cors, rspetto a questo esame, s può rteere sostazalmete equvalete, oppure le dffereze soo statstcamete sgfcatve? Costruamo la tabella delle frequeze attese, rcordado che og casella cotee l prodotto del totale d rga per l totale d coloa, dvso per l totale geerale. Nella tabella l ultma coloa e l ultma rga cotegoo total parzal delle rghe e delle coloe, che servoo per calcolare le frequeze attese, l ultma casella basso a destra cotee l totale geerale. Frequeze attese Laurea A Laurea B Laurea C esame superato 87.9 9 7 esame o superato.6 9. 8. Tabella Servedos delle tabelle delle frequeze osservate e delle frequeze attese s calcola l valore della statstca ch-quadro co la formula (9.) χ ( 8 87. 9) ( 9) ( 7) 87. 9 +. 6 Il grado d lbertà è ν + 9 7 (. 6) ( 9. ) ( 8. ) ( ) ( ) + + +. 6 9. 8. ; l valore crtco al lvello d sgfcatvtà del % è χ.. 99. Poché l valore della statstca ch-quadro è more del valore crtco, dat o cosetoo d rfutare l potes ulla e s coclude che l rsultato dell esame è dpedete dall drzzo d laurea, ossa l redmeto è equvalete. Esempo parte Rpredamo l esempo. Per stablre l effcaca d u vacco at-fluezale è stata codotta ua rcerca, sommstrado l vacco a persoe e cotrollado l loro stato d salute u ao; lo stesso cotrollo è stato fatto per u gruppo d altre persoe o vaccate; base a rsultat dell espermeto s è otteuta la seguete tabella Frequeze osservate essua ua flueza pù d ua Totale flueza flueza vaccat o vaccat 6 Totale 76 8 Tabella S può rteere che l vacco sa effcace, ossa sottopoedos alla vaccazoe s ha u mor rscho d cotrarre la malatta, oppure l vacco o è effcace? Costruamo la tabella delle frequeze attese Frequeze attese essua flueza ua flueza pù d ua flueza vaccat 8. o vaccat 8. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca Tabella +

78 Captolo 9 Test ch-quadro Servedos delle tabelle delle frequeze osservate e delle frequeze attese, s calcola l valore della statstca ch-quadro χ ( 8) ( ) (. ) 8 + 8 Il grado d lbertà è ν +. ( 8) ( 6 ) (. ) ( ) ( ) + + + 7. 7. ; l valore crtco al lvello d sgfcatvtà del % è χ.. 99. Poché l valore della statstca ch-quadro è maggore del valore crtco, dat cosetoo d rfutare l potes ulla: c è evdeza statstca d effcaca del vacco. Per l lvello d sgfcatvtà dell % l valore crtco è χ. 9. ; questo caso l valore della statstca ch-quadro è more del valore crtco, percò o s rfuta l potes ulla e s coclude che o c è evdeza sgfcatva d effcaca del vacco: s tratta evdetemete d u caso che rchede ulteror dag. Esempo parte Per verfcare la qualtà della produzoe ua fabbrca, u gegere cotrolla l umero d pezz dfettos prodott da tre macche dverse, e ottee la seguete tabella d dat Frequeze osservate maccha maccha maccha Totale buo buo 9 dfettos 8 Totale maccha 7 8 7 Tabella S può rteere che la quattà d pezz dfettos o dpeda dalla maccha che s utlzza? Costruamo la tabella delle frequeze attese Frequeze attese maccha maccha maccha buo 9..9 87.8 dfettos.87 6.6. Tabella 6 Servedos delle tabelle delle frequeze osservate e delle frequeze attese, s calcola l valore della statstca ch-quadro χ ( 9. ) (. 9) ( 87. 8) 9. +. 87 Il grado d lbertà è ν +. 9 (. 87) ( 6. 6) (. ) ( ) ( ) + + +. 6 6. 6. ; l valore crtco al lvello d sgfcatvtà del % è + 87. 8 χ.. 99. Poché l valore della statstca ch-quadro è maggore del valore crtco, dat cosetoo d rfutare l potes ulle e s coclude che c è evdeza statstca d ua dpedeza del umero de pezz dfettos dalla maccha che s utlzza. + Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca 79 Esempo Dall esame del colore de capell de bamb d ua certa regoe, s soo rcavat seguet dat Frequeze osservate bodo rosso castao bruo ero Totale masch 9 9 89 6 femme 97 677 78 Totale 6 6 6 9 88 Il colore de capell è dpedete dal sesso? Costruamo la tabella delle frequeze attese Tabella 7 Frequeze attese bodo rosso castao bruo ero masch 6.7 6.8 8.9 6.8 7. femme.6 99.8 77 8..96 Tabella 8 Servedos delle tabelle delle frequeze osservate e delle frequeze attese s calcola l valore della statstca ch-quadro χ + + ( 9 6. 7) ( 9 6. 8) ( 89 8. 9) 6. 7 ( 6. 8) ( 6 7. ) (. 6) 6. 8 ( 97 99. 8) ( 677 7 7) ( 8. ) 99. 8 (. 96) ( ) ( ) + + + 6. 8 7. 7 7 + + + 8. 9. 6. 6 + 7. 96 Il grado d lbertà è ν ; l valore crtco al lvello d sgfcatvtà dell % è χ.. 77. Poché l valore della statstca ch-quadro è more del valore crtco, dat o cosetoo d rfutare l potes ulla e s coclude che c è evdeza statstca d dpedeza del colore de capell dal sesso. Il valore crtco al lvello d sgfcatvtà del % è vece χ. 9. 88. Poché l valore della statstca ch-quadro è questo caso maggore del valore crtco, dat cosetoo d rfutare l potes ulla e s coclude che o c è evdeza statstca d dpedeza del colore de capell dal sesso. I rsultat trovat a due lvell d sgfcatvtà o soo accordo e questo fatto suggersce la ecesstà d dag pù approfodte. + + + Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

8 Captolo 9 Test ch-quadro Uverstà d Toro

M. Garetto Statstca A- Appedce A. Tavole statstche Tavola. Dstrbuzoe bomale La tavola forsce valor della fuzoe d dstrbuzoe bomale k k B( ;, p) p p k ( ) k per valor :: e p. : : 9. Tavola. Dstrbuzoe d Posso La tavola forsce valor della fuzoe d dstrbuzoe d Posso per valor scelt d λ compres fra e. F ( ; λ) k λ k λ e k! Tavola. Dstrbuzoe ormale stadardzzata La tavola forsce l valore della fuzoe d dstrbuzoe della varable aleatora stadardzzata Z z t F e ( z) P( Z z) ossa l area sottesa dalla curva f (z), tra e z. Tavola. π Percetl per la dstrbuzoe ormale stadardzzata La tavola forsce valor d d q. Tavola. z per qual P ( z z ) % q% Dstrbuzoe t d Studet dt >, per alcu valor otevol La tavola forsce valor d t per qual P ( t > t ), per valor otevol,,, e per valor del grado d lbertà ν ::9. Tavola 6. Dstrbuzoe χ La tavola forsce valor d χ P, per valor otevol 99, 99, χ per qual ( > χ ) 97, 9,,,, e per valor del grado d lbertà ν ::9. Tavola 7. Dstrbuzoe F La tavola forsce valor d F per qual ( F F ) P, per valor otevol,, >,,, e per vare combazo d valor de grad d lbertà ν e ν. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

A- Appedce A - Tavole Statstche Uverstà d Toro

M. Garetto Statstca A- Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca 9 97 7 6 8 6 6 8 69 8 7 8 7 66 9 9 8 7 7 9 86 8 9 8 686 7 7 97 7 8 869 69-8 77 68 89 9 78 66 68 6 9 7 69 78 8 679 9 8 77 8 6 8 88 6 7 88 9 67 79 67 67 6 7 989 6 779 7 8 79 6 967 8 7 6 7 6 6 78 9 8 67 686 6 67 767 6 76 69 66 8 9 76 6 866 7 8 69 8999 7 9 7 6 67 8 87 8 799 8 6 78 89 7 9 7 7 798 88 8 88 6 9 676 976 8 9 8 77 9 6 77 9 87 7 6 7 8 76 88 8 7 9 689 96 6 9 6 998 677 766 9 6 6 96 7 89 968 6 6 6 6 78 6 79 8 87 87 7 66 9 79 7 7667 9 6 88 96 898 8 8 97 7 8 98 77 9 686 896 98 697 9 86 69 98 8 69 78 997 8 69 8 86 97 7 7 9 97 686 8976 988 7 8 88 6 7799 968 996 7 87 6 687 97 87 8 9687 6 9 8 66 896 98 78 6 66 77 97 99 9 6 667 8 968 996 797 66 78 989 9 9 78 99 6 9 8688 98 77 66 77 98 997 6 68 87 96 996 8 6 77 796 9 989 998 6 8 6 68 96 96 7 88 97 778 7 686 9 9898 67 88 99 999 8 86 99 7 97 98 998 68 6 9 86 9 99 999 877 76 78 97 78 6 87 98 6 8 768 96 997 7 9 67 886 9777 998 9 8 8 9 99 999 9 69 78 76 899 977 996 9998 9 9 78 97 67 96 999 68 8 869 969 9976 76 7 99 989 999 8 9 67 87 97 996 9998 76 8 89 9 9887 9987 9999 6 97 9 88 98 6 78 99 996 7 68 896 98 999 78 9 86 96 99 9998 9 76 99 987 9987 9999 67 678 886 977 998 9996. 6 96 896 99 96 89 978 998 77 77 9 99 9997 6 6 9 98 998 9999 97 767 8 9667 99 9996. 678 7969 97 9896 9988 9999. 7 977 6 99 9966 89 988 999 7 8 97 9978 9999 77 776 97 99 9996. 6 766 96 9879 9988 9999. 7 67 898 9786 997 9998.. 8 99 79 97 999 66 977 996 9999 9 98 99 999. 887 98 9987 9999. 78 8 97 997 9998.. 8 969 99 9996... p 9 997 87 997 9999 8 986 999. 778 977 9988.. 7 967 9978 9999.. 698 96 996 9998... 66 98 99 9996.... 6 6 7 Tavola Fuzoe d dstrbuzoe bomale B(;,p) 6 7 8

A- Appedce A - Tavole Statstche Uverstà d Toro 9 6 8 7 698 86 6 9 96 8 96 9 9 8 66 6 8 7 69 6 8 8 896 6 686 6 9 776-8 6 6 9 9 768 99 798 7 8 7 9 69 78 87 7 6 9 9 6 6 878 8 96 86 68 68 868 9 6 8 9 6 896 7 6 86 6779 9 6 9 9 76 7 7 9 7 89 67 99 6997 99 97 78 7 76 97 76 6 867 8 89 978 8 76 69 86 968 7 988 7 7 8 996 6 6 7 67 87 978 6 6 78 687 887 98 7 9 86 78 76 7 77 9 986 6 6 77 9 667 8789 979 8 6 99 8 86 78 9 986 87 7 7 7999 99 99 8 6 86 7 67 6 887 976 99 6 8 99 666 7 768 99 9899 7 8 66 669 677 87 96 99 7 9 9 99 6 67 77 88 9698 996 8 7 8 8 68 777 966 98 9978 8 9 98 68 786 686 8 96 99 7 66 96 7 9 9767 997 8 6 78 669 69 889 98 986 9986 79 6 7 67 7 696 86 979 997 999 9 898 9 76 9 98 998 7 7 79 77 6 88 9 989 999 9 7 7 76 8867 967 99 999 9 7 98 87 68 86 97 987 9968 9998 6 8 9 6 6 8 9 999 999 996 66 78 898 976 99 9997 9 6 9 97 6 86 99 98 9978 9998 8 8 69 79 888 96 99 9989 9999 7 8 86 7 96 97 996 9997 6 6 67 8 6 88 9 9877 998 9999 6 89 96 8 7 96 977 99 999. 96 8 8 66 88 97 987 997 9997. 7 7 689 88 96 9888 9986 9999 86 66 8 7 9 97 99 999. 88 66 6 668 8 999 9878 998 9998. 7 67 8 787 9 97 99 999 9999. 96 68 797 9 977 997 9996. 8 9 88 696 897 97 989 998 9999. 98 7 696 7897 98 978 997 999.. 8 8 8 9 77 88 96 99 998 9998.. 7 67 8 9 99 9987 9999. 6 6 779 99 98 996 9996.. 97 7 88 967 99 9988 9999.. 7 8 97 688 8 96 987 997 9996... 6 78 9 98 9969 9997.. 7 78 6778 879 967 996 999 9999.. 89 67 889 996 988 998 9998... 687 79 8 796 97 986 996 999 9999... 6 99 89 966 99 999... 969 8 9 99 9986 9999... 67 9 7788 96 98 997 9997.... 78 978 976 99 999 9999.... 87 778 97 997 999 9999... 87 76 998 987 998 9999.... 8 697 9 98 997 9997..... 8 69 889 97 997 999 9999..... p 6 988 996 999..... 987 99 988 999 9999..... 688 898 988 998 9999...... 886 98 9978 9998....... 6 7 8 6 7 8 9 6 7 8 9 6 7 8 9 9

M. Garetto Statstca A- Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca 9 867 6 6 7 67 9 9 6 9 787 78 9 8 77 7 6 8 79-8 7 8 8 67 879 67 6 6 897 6 6 68 67 77 98 68 96 8 7 99 7 98 766 9 6 9 98 8 9 8 96 8 8 6 6 8 6 89 968 7 6 8 6 7 667 87 976 8 7 8 787 789 899 98 8 7 66 8 87 769 998 9866 7 7 8 6 6 7 79 797 96 99 7 8 9 9 8 68 89 9 99 7 7 78 8 7 87 967 99 6 6 6 9 8 99 77 8868 97 996 6 7 86 9 77 779 96 979 9976 8 7 68 87 98 988 998 6 78 977 88 6 67 8 9 987 9987 6 9 7 8 7 77 877 96 999 999 9 9 8 9 9 968 787 99 979 998 999 698 788 6 7 77 97 97 99 9996 6 89 86 9 667 88 968 98 997 9998 6 769 88 6 78 79 8796 976 989 998 9999 7 6 9 79 8666 99 9888 998 9999 9 6 87 898 9 67 788 9 97 99 999 9999 7 76 9 9 6 696 89 98 98 996 999. 9 69 99 79 68 67 8 9 9797 999 999. 9 7 6 67 7 6 7 88 97 9886 9978 9997. 7 7 68 6 88 9 97 997 9989 9999. 6 79 686 7 77 9 9679 99 9987 9999. 8 8 98 79 89 69 899 97 98 996 999 9999. 7 9 7 698 7869 9 966 997 998 9997.. 7 96 78 79 87 98 987 997 9997.. 89 7 6 86 97 977 99 9989 9999.. 6 67 77 9 6 78 8868 978 9876 997 999 9999.. 97 67 6 6 86 976 988 996 999 9999.. 68 7 68 8 78 967 968 997 998 9998... 7 68 969 76 8689 9 988 996 999 9999... 8 67 6 8 79 998 977 99 999 9999... 78 8 7 888 967 9897 9978 9997.... 8 6 6 686 86 9 987 998 999 9999.... 6 7 77 99 97 99 9988 9998.... 979 8 698 87 96 988 9976 9996..... 67 98 68 88 989 989 998 999 9999..... 9 98 69 88 968 99 9987 9998..... 8 67 679 8 9 988 9978 9997...... 87 86 6 87 98 98 996 999 9999...... 6 866 968 99 999 9999...... 88 86 86 99 998 998 9998....... 9 9 89 9 987 9978 9997........ p 866 97 9969 9997........ 877 87 9699 998 9996......... 6 89 968 99 999 9999......... 6 7 8 9 6 7 8 9 6 7 8 9

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M. Garetto Statstca A-7 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca 9 9 8 6 68 66 66 6 9 7 6 6 9 6 8 98 66 97 899 7 86 96 797 869 68 878-8 9 6 798 779 96 8 6 7 9 87 8 9 9 9 67 7 9 8 96 8 9 86 99 787 99 98 6 67 676 6 67 9 76 97 986 6 6 867 98 7 886 799 98 988 7 8 8 69 867 96 99 89 87 77 79 6 769 8887 969 998 9 9 9 9 8 88 8 778 987 977 9968 7 66 667 8 9 988 998 6 8 6 89 8 6 778 8668 98 9896 9989 7 8 77 9 86 76 899 96 99 999 6 6 8 97 976 99 9996 7 7 87 8 88 7 8 99 98 9969 9997 6 96 8 76 99 8 76 888 96 9879 9979 9998 6 79 98 967 998 9987 9999 6 6 88 86 699 87 9 977 99 999 9999 6 6 6 7 7 8 7 87 99 98 996 999. 89 989 988 997 9997. 8 9 87 8 9 6 68 87 9 97 99 998 9998. 6 8 8 9 86 87 78 87 97 98 99 999 9999. 99 986 996 999 9999. 96 8 8 796 8 676 8 96 968 99 9978 9996.. 9 7 77 6 7 9 88 78 868 9 979 99 9987 9998.. 987 99 999 9999.. 77 8 777 77 69 9 67 89 99 968 989 997 999 9999.. 9 9 89 99 9 77 869 9 9786 996 998 9997... 99 9987 9998... 8 696 69 8 878 667 89 9 968 988 9969 999 9999... 6 6 6 9 96 7 87 9 979 99 998 9997.... 9986 9997.... 7 9 968 8 666 8 9 96 9886 9969 999 9999.... 8 66 6 76 878 968 98 99 998 9997..... 9997..... 6 8 79 66 88 96 967 989 997 999 9999..... 8 76 7 7 6 68 77 8867 9 989 999 9987 9997............ 6 6 6678 8 9 97 99 9977 999 9999...... 9 8 67 788 898 99 986 996 999 9998............. 89 69 67 869 9 9767 99 998 9997........ 69 6 696 8 9 9679 99 997 999 9999.............. 6 98 68 86 96 987 999 999 9999......... 88 76 9 677 898 97 978 99 9987 9998................ 7 88 968 99 998 9997........... 6 97 6769 867 968 9887 9976 9996 9999........... p...... 77 77 9 9868 998 9998............. 8 78 9 98 997 9997.............. 6 7 6 7 8 9 6 7 8 6 7 8 9 6 7 8 9 9

A-8 Appedce A - Tavole Statstche Uverstà d Toro Tavola Fuzoe d dstrbuzoe d Posso F(;λ) ( ) k k k e F! ; λ λ λ λ 6 7 8 9 6 7 8 9 6 6 7 7 8 8 9 9.......6.7.8.9. 99 98 97 968 9 98 9 9 99 98 867 887 7788 78 77 67 676 66 769 88 966 7 9 7 66 867 679 9 7 66 9 87 6 96. 9998 9996 999 9988 998 9977 997 996 99 9898 98 97 96 9 98 96 998 89 878 86 8 866 888 797 77 7 78 699 666 668 98 78 9 9 68 7 6.. 9999 9999 9999 9998 999 9989 9978 996 99 99 989 986 98 9769 977 969 99 96 9 97 987 997 9 879 87 8 888 78 77 76 77 6767.. 9999 9999 9997 999 999 9988 998 997 9966 996 99 997 999 9889 986 989 98 97 966 969 96 9 9 968 89 877 87.. 9999 9999 9998 9997 9996 999 999 9989 9986 998 9977 997 996 996 99 989 987 98 976 97 966 99 97.. 9999 9999 9999 9998 9997 9997 999 999 999 998 9978 9968 99 99 99 9896 9868 98.. 9999 9999 9999 9997 9996 999 999 9987 998 997 9966 99.. 9999 9999 9998 9997 9996 999 999 9989.. 9999 9999 9998 9998..

M. Garetto Statstca A-9 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca λ 6 7 8 9......6.7.8.9....6.8....6.8....6.8 6. 8 97 8 7 67 68 98 8 7 8 8 67 7 796 6 9 8 87 67 87 6 99 7 68 7 7 96 78 66 6 77 89 6 7 696 67 96 697 8 8 96 69 6 799 97 7 689 8 8 66 7 88 98 8 7 6 886 89 799 7787 776 76 7 699 6696 67 6 8 7 9 9 7 9 6 8 96 7 979 97 96 9 89 877 869 877 88 8 786 7 76 6678 688 898 76 6 7 7 8 9796 97 97 96 98 9 9 99 98 96 896 87 8 86 78 7 799 688 6 66 89 6 9 78 7 99 99 996 988 988 988 979 976 97 966 9 9 967 99 889 867 86 88 798 76 7 77 67 68 66 998 998 997 9967 998 997 99 999 99 988 98 9769 969 999 989 96 9 99 8867 8666 89 87 797 77 7 9997 999 999 999 9989 998 998 9976 9969 996 99 997 988 98 9786 97 96 99 9 99 98 97 887 867 87 9999 9999 9999 9998 9997 9996 999 999 999 9989 998 997 996 99 999 9889 98 98 979 968 96 9 99 99 96 λ 6 7.6.8.9....6.8....6.8....6.8 6. 9999 9998 9998 9997 999 999 9987 998 997 999 99 99 9896 986 98 977 978 96 97.. 9999 9999 9999 9998 9996 999 999 9986 998 997 996 99 997 99 987 98 9799.. 9999 9999 9998 9997 9996 999 999 9986 998 997 996 999 99 99.... 9999 9999 9998 9997 999 999 999 9986 998 997 996.. 9999 9999 9999 9998 9997 999 999 999 9986.. 9999 9999 9998 9998 9996 999.. 9999 9999 9999 9998.. 9999

A- Appedce A - Tavole Statstche Uverstà d Toro λ 6 7 8 9 6. 6. 6.6 6.8 7. 7. 7. 7.6 7.8 8. 8. 8. 8.6 8.8 9. 9. 9. 9.6 9.8 7 9 7 6 6 87 7 6 6 8 9 7 6 6 6 96 9 88 6 8 8 86 7 6 8 8 89 98 88 79 6 8 7 8 8 6 8 9 7 9 7 9 9 7 996 887 789 7 6 86 9 78 9 87 7 7 7 79 6 7 9 76 7 8 7 9 88 7 67 7 8 799 97 9 66 8 896 67 7 6 68 89 77 7 76 687 68 68 987 689 9 8 987 78 78 9 79 8 88 89 8 7796 78 79 77 677 68 6 9 67 69 9 8 7 96 796 8 8 96 888 8686 8 8 896 7877 769 7 766 69 669 6 67 87 6 9 89 8 79 λ 6 7 8 9 6. 6. 6.6 6.8 7. 7. 7. 7.6 7.8 8. 8. 8. 8.6 8.8 9. 9. 9. 9.6 9.8 986 986 97 9 9 8867 877 8 8 89 79 77 7 79 76 68 676 69 68 8 97 969 967 9 967 97 96 98 9 888 87 87 8 8 8 78 766 7 79 6968 9887 987 98 9779 97 967 969 96 9 96 96 9 99 8898 878 867 88 879 8 796 99 997 99 9898 987 98 98 976 97 968 99 9 9 98 96 96 9 899 8786 86 998 997 9966 996 99 997 998 9886 989 987 979 979 97 967 98 97 9 97 96 96 999 999 9986 998 9976 9969 999 998 99 998 9898 987 988 986 978 978 969 968 979 9 9997 9996 999 999 999 9987 998 9978 997 996 99 99 996 999 9889 986 988 986 977 97 9999 9999 9998 9997 9996 999 999 999 9988 998 9979 997 9966 997 997 99 999 99 988 987.. 9999 9999 9999 9998 9997 9996 999 999 999 9989 998 998 9976 9969 996 99 99 998.. 9999 9999 9999 9998 9997 9997 999 999 999 9989 9986 998 9978 997 996 λ 7. 7.6 7.8 8. 8. 8. 8.6 8.8 9. 9. 9. 9.6 9.8.. 9999 9999 9999 9998 9998 9997 9996 999 999 999 9987 998.. 9999 9999 9999 9998 9998 9997 9996 999 999.. 9999 9999 9999 9998 9998 9997.. 9999 9999 9999..

M. Garetto Statstca A- λ 6 7 8 9.... 8 8 7 9 6 7 76 7 77 8 6 786 6 8 6 78 7 89 698 79 96 9 97 888..... 7 7 6 8 9 7 77 9 8 9 9 76 6 9 8 998 79 6 8 7 68 9 878 699 λ 6 7 8 9.... 7 99 7 7 97 687 79 98 66 8 7 6887 69 76 9 8 78 7 68 678 8879 8 8 77 7 97 97 878 8 86 96 9 96 8987 869 978 9678 9 97 98 988 98 978 966 98 99 997 987 9787 969..... 7 77 9 8 6 88 6 9 8 676 7 8 6 6 67 6 7 76 67 766 778 669 69 68 8 797 79 7 66 89 869 87 7897 789 9 98 886 8 89 97 9 9 9 87 λ 6 7 8 9.... 997 99 99 988 987 9987 9977 996 999 996 999 999 998 997 99 9998 999 999 998 997 9999 9998 9996 999 9988. 9999 9998 9997 999.. 9999 9999 9997.. 9999 9999........ 97 969 9 96 97 989 9796 97 96 969 99 988 98 976 967 996 998 997 986 98 998 9968 99 99 9888 999 998 997 999 998 999 999 9987 9979 9967 9998 9996 999 9989 998 9999 9998 9997 999 999. 9999 9999 9998 9996 λ 9....... 9999 9999 9998.. 9999.. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

A- Appedce A - Tavole Statstche λ 6 7 8 9 6 7 8 9 7 9 8 6 7 9 6 6 89 8 8 77 9 8 8 6 6 7 87 9 7 9 76 λ 6 7 8 9 6 7 8 9 9 97 66 9 9 7 9 6 98 66 78 7 7 6 67 88 8 97 9 76 77 98 667 7 867 8 6 769 66 677 7 9 69 7 8 6 77 69 6 686 78 97 7 69 8 87 6 7 6 6 69 8 7 78 8 9 8 76 69 66 7 8 6 77 8 6 868 8 77 67 9 7 869 6 8 98 86 799 7 67 77 76 89 9 7 λ 6 7 8 9 6 7 8 9 98 97 8 79 76 6 6 7 97 7 96 967 8989 89 787 76 67 78 99 9777 99 97 89 8 78 77 66 7 9869 978 9 969 8878 877 777 777 69 9 99 988 978 9 9 886 8 77 78 69 999 99 987 9687 97 97 877 87 7677 7 9978 99 9897 98 967 96 99 876 8 76 9989 997 99 988 978 966 998 98 8679 879 999 9986 9967 99 986 978 99 96 9 86 9997 999 998 996 999 988 97 96 9 8999 λ 6 7 8 9 6 7 8 9 9999 9996 999 9978 99 997 98 97 9 98 9999 9998 999 9988 997 99 989 98 9686 9. 9999 9998 999 998 9968 996 988 979 966.. 9999 9997 999 998 996 997 9868 977.. 9999 9998 9996 999 9978 996 998 98.. 9999 9998 999 9988 997 99 998.. 9999 9997 999 998 997 99.. 9999 9999 9996 999 998 9966.. 9999 9998 9996 999 998.. 9999 9998 999 9988 λ 6 7.. 9999 9997 999.. 9999 9998 9996.. 9999 9998.. 9999.. 9999.. Uverstà d Toro

M. Garetto Statstca A- Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca Tavola Dstrbuzoe ormale stadardzzata La tavola forsce l valore dell area sottesa dalla dstrbuzoe ormale stadardzzata ) (z f, tra e z z 6 7 8 9 6 7 8 9.......6.7.8.9.......6.7.8.9.......6.7.8.9 98 79 679 6 69 77 78 788 89 8 86 889 9 99 9 9 9 96 97 977 98 986 989 998 998 99 996 997 998 9987 999 999 999 9997 9998 9998 9999 9999 9999 8 8 67 69 69 79 76 79 886 88 866 8869 99 97 9 96 96 969 979 9778 986 986 9896 99 99 99 9966 997 998 9987 999 999 999 9997 9998 9998 9999 9999. 8 78 87 6 668 698 7 76 799 8 86 8686 8888 966 9 97 97 97 966 976 978 98 9868 9898 99 99 996 9967 9976 998 9987 999 999 999 9997 9998 9999 9999 9999. 7 9 69 666 79 77 767 7967 88 88 878 897 98 96 97 98 98 966 97 9788 98 987 99 99 99 997 9968 9977 998 9988 999 999 9996 9997 9998 9999 9999 9999. 6 7 98 6 67 7 789 77 799 86 88 879 89 999 9 98 99 99 967 978 979 988 987 99 997 99 999 9969 9977 998 9988 999 999 9996 9997 9998 9999 9999 9999. 99 96 987 668 676 788 7 77 8 889 8 879 89 9 96 99 9 999 9678 97 9798 98 9878 996 999 996 996 997 9978 998 9989 999 999 9996 9997 9998 9999 9999 9999. 9 66 66 66 677 7 7 776 8 8 8 877 896 9 979 96 9 968 9686 97 98 986 988 999 99 998 996 997 9979 998 9989 999 999 9996 9997 9998 9999 9999 9999. 79 67 66 6 688 77 786 779 878 8 877 879 898 97 99 98 9 966 969 976 988 98 988 99 99 999 996 997 9979 998 9989 999 999 9996 9997 9998 9999 9999 9999. 9 7 6 68 68 79 77 78 86 86 899 88 8997 96 96 99 9 96 9699 976 98 98 9887 99 99 99 996 997 998 9986 999 999 999 9996 9997 9998 9999 9999 9999. 9 7 6 67 6879 7 79 78 8 889 86 88 9 977 99 9 9 96 976 9767 987 987 989 996 996 99 996 997 998 9986 999 999 999 9997 9998 9998 9999 9999 9999... 6. 99997 9999997 999999999 - - - - f(z) z

A- Appedce A - Tavole Statstche Tavola Percetl per la dstrbuzoe ormale stadardzzata La tavola forsce valor d d q. z per qual P ( z z ) % q% >, per alcu valor otevol f(z) - - - - z q% z q% z q% z q% z 6 8 9 8 7 6...76..6.9.8.7.6..896.9.97.9.96.6.78.878.9 9 8 7 6 8 6 6 67.9.8.7.6..6.66.67.68.69......977.99... 9 8 7 6..6.9.9.9 76 79 77 86 8......76.77.78.79.7.9.8.7.6..7.97...7....79.89 9 8 7 6 878 9 9 99.6.9.8.7.6..76.77.787.799.8......97.6.7.9.6.6.7.7.89.99.8.6.7.7.8......8.88.8.866.88 9 8 7 6.66.9.7..76.7.6.7.998 6.9 Uverstà d Toro

M. Garetto Statstca A- La tavola forsce valor d grado d lbertà ν. Tavola Dstrbuzoe t d Studet t per qual P ( t t ) >, per alcu valor otevol d e per l f(t) -6 - - 6 t ν ν.78.886.68..76 6..9....76..8.776.7.8 6.96..77.6 6.67 9.9.8.6. 6 7 8 9...97.8.7.9.89.86.8.8.7.6.6.6.8..998.896.8.76.77.99...69 6 7 8 9.6.6....796.78.77.76.7..79.6...78.68.6.6.6.6...977.97 6 7 8 9.7...8..76.7.7.79.7....9.86.8.67..9.8.9.898.878.86.8 6 7 8 9...9.8.6.7.77.7.7.78.8.7.69.6.6.8.8..9.8.8.89.87.797.787 6 7 8 9.....8.76.7.7.699.6.6..8..96.79.7.67.6.6.779.77.76.76.76 6 7 8 9 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

A-6 Appedce A - Tavole Statstche Tavola 6 Dstrbuzoe χ La tavola forsce valor d grado d lbertà ν. P χ χ per qual ( > χ ) χ, per alcu valor otevol d e per l 8 f() 6 area χ ν 99 99 97 9 ν 9 77 7 7 97 98 6 6 8 8 9 7..8.99 7.8 9.88.7. 7.78 9.8..8 6.6 9...77.86 7.879 97.88.86 6.7 6 7 8 9 676 989..7.6 87.9.66.88.8.7.69.8.7.7.6.67.7..9.9.67.7 6.99 8.7.9 6. 7. 9. 8 6.8 8.7 9.666.9 8.8 78.9.89.88 6 7 8 9.6.7.6.7.6..7.7.66.9.86..9.69 6.6.7.6.89 6.7 7.6 9.67.6.6.68.996.9.7.76 6.9 7.88.7 6.7 7.688 9. 78 6.77 8. 9.89.9.8 6 7 8 9..697 6.6 6.8 7..8 6.8 7. 7.6 8.6 6.98 7.6 8. 8.97 9.9 7.96 8.67 9.9 7 8 6.96 7.87 8.869. 8.8 9.6.8.7..9.8 6.9 7.66.67.78 7.6 8.8 9.997 6 7 8 9 8. 8.6 9.6 9.886 8.897 9. 96 86. 8 98.689...9.8.9.88.6.67.9.7 6. 7.6.79 6.78 8.76 9.6 66 8.9 89.68.98...796.8.8 6.98 6 7 8 9.6.88.6..98.879.6.6.8.7.8 6.7.79 6. 6.98 7.78 8.88.7.7.9.9.6.7.6 6.96 8.78 9.88 8.9 9.6 99.6 6 7 8 9 6 7 8 9.787 76 7.99..7.7 9.96 67.8.9.6 9.77 7.8.. 6.7 76 6.79..7 8 8.78 7. 6.67 7. 8.9 6.9.76.88.79 69 69.6 77.99.77.78 67. 79.8 9 879.. 6.979 9. 7. 8.98 9. 6.69 8.6 9.6 89 6.69 76. 88.79.9.6.87.67 66.766 79.9 9.9. 6. 8.99 69 6 7 8 9 Uverstà d Toro

M. Garetto Statstca A-7 La tavola forsce valor d Tavola 7 Dstrbuzoe F F per qual P ( F F ) > grad d lbertà ν e ν del umeratore e del deomatore., per alcu valor otevol d e per 8 6 F F... F (ν,ν ) ν Grad d lbertà del umeratore ν ν 6 7 8 9.8.7..8.69 7...8..8 8...6..88 8.8..9.6.89 8.8.8..7.89 8.98...8.89 9....8.89 9.9...8.89 9.6.7..8.89 9..8..8.89 9..9..8.89 6 7 8 9.6.7...9.76.7.66.6.6.78.7.67.6.6.79.7.66.6.9.79.7.66.6.9.78.7.6.6.8.78.7.6.6.7.78.7.6.6.6.77.69.6.9.6.77.69.6.9..77.68.6.8. Grad d lbertà del deomatore ν 6 7 8 9.7.6...........9.9.9.8.6.......9.9.8.8.7.7.7.8.6......9.9.8.8.7.7.6.6.7......9.8.7.7.6.....6....9.8.7.6.6...........8.7.6............9.7.6............9.8.6.........9.9...9.7.6.......9.9.8.8...8.6.......9.9.8.8.7..9.7.......9.8.7.7.6.6 6 7 8 9.8.8.8.8.8.6.6.6......................9.9.9.9.8.8.8.8.8.7.7.7.7.7.6.6.7.6.6....... 6 8.6..............9..9.8.8.7.9.7.7.6..7.6....6..............9....9.8...9.7.6..9.7....9.8.7.. Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

A-8 Appedce A - Tavole Statstche Uverstà d Toro F (ν,ν ) Grad d lbertà del umeratore ν ν ν 6 Grad d lbertà del deomatore ν 6 7 8 9 6 7 8 9 6 7 8 9 6 8 9.9..6.8.89.76.68.6.7...8.6.....9.8.7.7.6..........8.7.6.. 9.8..6.8.88.76.67.6.6..9.7.....9.8.7.6...........8.6....9 9.6..6.8.88.76.67.6.6..9.6....9.8.7.6............7.....8 9.6..6.8.88.7.67.6.6..9.6....9.8.7.6...........9.6.....8 9.67..7.8.88.7.66.6...8.....8.7.6..........9.9.8.....9.6 9.7..7.8.88.7.66.9...7....9.7.6........9.9.8.8.7.7....9.8. 9.7.6.7.8.88.7.66.9...7....8.7.6.......9.9.8.8.7.7.6....8.6. 9.76.6.7.8.87.7.6.9...7....8.6........9.8.8.7.7.6.6...9.7.6. 9.8.7.7.8.87.7.6.8..9.6...9.7.......9.8.8.7.6.6.....9.7...8 9.8.8.7.8.87.7.6.8..8....8.6.....9.8.8.7.6.......9.6....

M. Garetto Statstca A-9 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca F (ν,ν ) Grad d lbertà del umeratore ν ν ν 6 7 8 9 Grad d lbertà del deomatore ν 6 7 8 9 6 7 8 9 6 7 8 9 6 8 9.86 8....6.78.9.6.6.9..8...7....99.97.96.9.9.9.9.9.9.89.89.88.8.8.79.77.7.7 9. 9..6..78.6.6...9.86.8.76.7.7.67.6.6.6.9.7.6........9...9.7...9 9.6.9.9.6.9.7.9.8.7.66.6.6..9.6....8.6.......9.8.8...8...8.8 9.....8.96.8.69.6..8..9.6...9.7.....9.8.7.7.6...9.6...99.9 7. 9.9.....88.7.6...9...7....8.6.....9.8.7.6.6...97.9.9.9.8 8. 9..8....8.67..6.9..8...8....9.8.6.......99.98.9.9.87.8.8.77 8.9 9..7.98.7..78.6....8..9.6...8.6....99.98.97.96.9.9.9.9.87.8.8.79.77.7 9. 9.7..9..98.7.9.7.8......9.6....98.97.9.9.9.9.9.9.89.88.8.8.77.7.7.67 9.86 9.8..9..96.7.6...7..6..9.6...98.96.9.9.9.9.89.88.87.87.86.8.79.76.7.7.68.6 69 9.9..9..9.7.....9...6...98.96.9.9.9.89.88.87.86.8.8.8.8.76.7.7.68.6.6 67 9...9.7.9.67..8.8......99.96.9.9.89.87.86.8.8.8.8.8.79.78.77.7.68.66.6.6.

A- Appedce A - Tavole Statstche Uverstà d Toro F (ν,ν ) Grad d lbertà del umeratore ν ν ν 6 Grad d lbertà del deomatore ν 6 7 8 9 6 7 8 9 6 7 8 9 6 8 6. 9...87..87.6.6...7....97.9.9.89.86.8.8.8.8.78.77.76.7.7.7.7.66.6.6.7..9 6.7 9..8.8..8.9.....6..96.9.89.86.8.8.79.78.76.7.7.7.7.7.69.68.67.6.7...8. 6.88 9..8.8..8.8..9.9...99.9.9.88.8.8.8.78.76.7.7.7.7.69.68.67.66.6.9...9.6. 6. 9..8.8.9.8.8..8.8...98.9.9.87.8.8.79.77.7.7.7.7.69.68.67.66.6.6.7...8..8 6.6 9.6.7.8.7.8.6.8..6.8..96.9.87.8.8.78.76.7.7.7.69.67.66.6.6.6.6.6...8... 6. 9.7.6.8.6.78..6....99.9.89.8.8.78.7.7.7.69.67.66.6.6.6.6.9.8.7..6...7. 6.69 9.7..8..77......97.9.87.8.79.76.7.7.69.67.6.6.6.6.9.8.7.6..8...8..6 6.79 9.7..79..76......96.9.86.8.78.7.7.7.68.66.6.6.6.9.8.7.6...7...6.. 6.6 9.8..78..7.9..8.8..9.88.8.79.7.7.69.67.6.6.6.9.7.6.......8...6.7 6. 9.9..76..7.7.9.6.6.97.9.8.8.76.7.69.66.6.6.9.7.....9.8.7.6.8..9..9.

M. Garetto Statstca A- Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca F (ν,ν ) Grad d lbertà del umeratore ν ν ν 6 7 8 9 Grad d lbertà del deomatore ν 6 7 8 9 6 7 8 9 6 7 8 9 6 8 6. 8. 7.7 6.6.99.9...96.8.7.67.6..9...8....8.6.....8.7.8...96.9.8 99. 9. 9. 6.9.79..7.6.6..98.89.8.7.68.6.9...9.7....9.7......8...7..7 9.6 9.8 6.9..76..7.86.7.9.9...9...6...7....99.98.96.9.9.9.8.79.76.7.68.6.8 9. 9. 6.9.9...8.6.8.6.6.8..6..96.9.9.87.8.8.8.78.76.7.7.7.7.69.6.6..9..7 6 9. 9. 6.6..9.97.69.8.....96.9.8.8.77.7.7.68.66.6.6.6.9.7.6.....7..9..99 9. 8.9 6.6.9.8.87.8.7..9..9.8.79.7.7.66.6.6.7....9.7.6.....9...8. 6.77 9. 8.89 6.9.88..79..9...9.8.76.7.66.6.8...9.6....9.7.6.....7..9. 8.88 9.7 8.8 6..8..7...7.9.8.77.7.6.9...8....7.6....9.8.7.8...6..9 9.8 8.8 6..77..68.9.8..9.8.7.6.9..9.6..9.7....8.7......7...96.88.88 9. 8.79.96.7.6.6...98.8.7.67.6..9...8....7.....9.8.6.8..99.9.9.8.9 9. 8.7.9.68..7.8.7.9.79.69.6..8..8...8....8.6.....9..9.9.88.8.7

A- Appedce A - Tavole Statstche Uverstà d Toro F (ν,ν ) Grad d lbertà del umeratore ν ν ν 6 Grad d lbertà del deomatore ν 6 7 8 9 6 7 8 9 6 7 8 9 6 8.9 9. 8.7.86.6.9....8.7.6..6....7...8....9.7.6....9.87.8.79.7.67 8. 9. 8.66.8.6.87...9.77.6..6.9..8..9.6...7....99.97.96.9.9.8.78.7.7.66.7 8.8 9. 8.6.79..86...9.7.6...7....7...7....98.97.9.9.9.9.8.76.7.68.6. 9. 9. 8.6.77..8...9.7.6....9..9...8....98.96.9.9.9.9.89.79.7.7.6.6. 9.6 8.6.7..8.8.8.86.7.7.7.8...9...7...98.96.9.9.9.88.87.8.8.7.69.6.6..6. 9.7 8.9.7.6.77...8.66....7....6..99.96.9.9.89.87.8.8.8.8.79.69.6.9...9.77 9.8 8.8.7..7...8.6.....8..8...97.9.9.88.86.8.8.8.79.77.76.66.6.6..6.. 9.8 8.7.69..7...79.6.9.8...6..6..98.9.9.89.86.8.8.8.79.77.7.7.6.8..8... 9.9 8..66..7.7.97.7.8....8..6..97.9.9.87.8.8.79.77.7.7.7.7.68.8..7.... 9. 8..6.7.67..9.7......7..96.9.88.8.8.78.76.7.7.69.67.6.6.6...9..6.

M. Garetto Statstca A- Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca F (ν,ν ) Grad d lbertà del umeratore ν ν ν 6 7 8 9 Grad d lbertà del deomatore ν 6 7 8 9 6 7 8 9 6 7 8 9 6 8 67.79 8. 7.. 8.8 8.7 7.7 7. 6.9 6.7 6. 6. 6. 6. 6. 6..98.9.87.8.79.7.7.69.66.6.6.9.7...9... 799. 9. 6. 6 8. 7.6 6. 6.6.7.6.6..97.86.77.69.6.6..6..8...9.7....8..97.9.86.8.69 86.6 9.7. 9.98 7.76 6.6.89..8.8.6.7....8..9.9.86.8.78.7.7.69.67.6.6.6.9.6.9..8.. 899.8 9.. 9.6 7.9 6....7.7.8...89.8.7.66.6.6..8...8....9.7.....9.89.79 9.8 9..88 9.6 7..99.9.8.8...89.77.66.8...8..9...8....8.6...9.8.79.7.67.7 97. 9..7 9. 6.98.8..6..7.88.7.6....8..7..9...99.97.9.9.9.88.87.7.67.6.7.. 98. 9.6.6 9.7 6.8.7.99...9.76.6.8.8.9..6....97.9.9.87.8.8.8.78.76.7.6....9.9 96.66 9.7. 8.98 6.76.6.9...8.66..9.9...6..96.9.87.8.8.78.7.7.7.69.67.6..6....9 96.8 9.9.7 8.9 6.68..8.6..78.9......98.9.88.8.8.76.7.7.68.6.6.6.9.7..8..8.. 968.6 9.. 8.8 6.6.6.76..96.7..7...6.99.9.87.8.77.7.7.67.6.6.9.7....9..7..6. 976.7 9.. 8.7 6..7.67..87.6..8...96.89.8.77.7.68.6.6.7...9.7....9..7...9

A- Appedce A - Tavole Statstche Uverstà d Toro F (ν,ν ) Grad d lbertà del umeratore ν ν ν 6 Grad d lbertà del deomatore ν 6 7 8 9 6 7 8 9 6 7 8 9 6 8 98.87 9.. 8.66 6..7.7..77...8..9.86.79.7.67.6.7...7...9.6....8..6..9.8 99. 9..7 8.6 6..7.7..67...7.9.8.76.68.6.6..6..9.6...8.....7.99.9.88.8.7 99.6 9.. 8. 6....97.6.9...9.8.7.6.9..8..9.6...7....8.6..96.9.8.79.67 997. 9.6. 8. 6.8...9.6.7.7..89.79.7.6.6....7...7...9.7....9.88.8.76.6 9.6.8 8.6 6..7.6.89.6...96.8.7.6.7...9...7...8.6...9.7.9.87.8.7.69.7.6 9.7. 8. 6.8...8..6.6.9.78.67.9...8..9...8...9.7....88.8.7.68.6.8 8. 9.8. 8.8 6..98.8.8.7...87.7.6..7......7...8....99.97.8.7.7.6.6. 9.8 9.8.99 8.6 6..96..78....8.7.6...8..7..8...8....98.96.9.8.7.67.6..9. 9.9.9 8. 6.7.9..7.9..9.79.66..6.8..6..6..8...98.9.9.9.89.87.7.6.8...7 8. 9..9 8.6 6..8..67..8.88.7.6.9....9..9...97.9.9.88.8.8.8.79.6..8...

M. Garetto Statstca A- Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca F (ν,ν ) Grad d lbertà del umeratore ν ν ν 6 7 8 9 Grad d lbertà del deomatore ν 6 7 8 9 6 7 8 9 6 7 8 9 6 8.8 98... 6.6.7..6 6 9.6 9. 9.7 8.86 8.68 8. 8. 8.9 8.8 8. 8. 7.9 7.88 7.8 7.77 7.7 7.68 7.6 7.6 7.6 7. 7.7 7.8 6.96 6.8 6.6 999. 99. 8 8..7 9 9. 8.6 8. 7.6 7. 6.9 6.7 6. 6.6 6. 6. 6..9.8.78.7.66.6.7..9...9.8.6.98.88.79.6. 99.7 9.6 6.69.6 9.78 8. 7.9 6.99 6. 6..9.7.6..9.8.9..9.87.8.76.7.68.6.6.7.......9.78 6.8 99. 8.7.98.9 9. 7.8 7. 6..99.67....89.77.67.8...7..6..8...7...8.7.6.6.8. 76.6 99. 8.. 97 8.7 7.6 6.6 6.6.6..6.86.69.6....7...99.9.9.8.8.78.7.7.7....6.7. 88.99 99. 7.9. 67 8.7 7.9 6.7.8.9.7.8.6.6.....9.87.8.76.7.67.6.9.6...7.9.9...96.8 98.6 99.6 7.67.98 6 8.6 6.99 6.8.6..89.6..8...9.8.77.7.6.9...6..9.6.....9.87.79.6 98.7 99.7 7.9.8 9 8. 6.8 6..7.6.7.....89.79.7.6.6....6..9.6...7.99.89.8.7.66. 67 99.9 7..66 6 7.98 6.7.9..9.6.9.9..89.78.68.6..6....6..8...9.7.89.78.7.6.6. 6.8 99. 7.. 7.87 6.6.8.6.8....9.8.69.9...7..6..7..9.6...98.8.7.6..7. 66. 99. 7..7 9.89 7.7 6.7.67..7..6.96.8.67..6.7...7..7..99.96.9.9.87.8.66.6....8

A-6 Appedce A - Tavole Statstche Uverstà d Toro F (ν,ν ) Grad d lbertà del umeratore ν ν ν 6 Grad d lbertà del deomatore ν 6 7 8 9 6 7 8 9 6 7 8 9 6 8 67.8 99. 6.87. 9.7 7.6 6...96.6...8.66......9..98.9.89.8.8.78.7.7.7....7.9. 68.7 99. 6.69. 9. 7. 6.6.6.8...86.66..7.6.6.8..9.88.8.78.7.7.66.6.6.7..7.7....88 6.8 99. 6.6.97 9. 7. 6...77.6.6.8.6.6.....96.9.8.78.7.7.66.6.9.6......7.99.8 6.6 99.6 6.6.9 9.7 7. 6.7.8.7...78.9..9.8.8..9.86.8.7.7.66.6.8...9.7.9.8...9.79 666 99.7 6..8 9.8 7..99..6..9.7......9.8.78.7.67.6.8...7...9....9.86.7 686.78 99.7 6..7 9.9 7..9..7.7.86.6..7...9.8.76.69.6.8..9...8......9.8.76.9 6 99.8 6..69 9. 7.9.86.7...8.7.8..8.97.87.78.7.6.8..8...6...7..6.9.88.79.7. 6. 99.8 6..6 9. 7.6.8..8.8.78...8..9.8.7.67.6.....6..9.6....9.8.7.66.7 69.9 99.9 6..6 9. 6.97.7.9...69...9.96.8.7.66.8..6....7...7...9.8.7.6.. 66.8 99. 6..6 9. 6.88.6.86..9.6.6.7..87.7.6.7.9..6..6..7...6...8.68.6.9.8.

M. Garetto Statstca A-7 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca F (ν,ν ) Grad d lbertà del umeratore ν ν ν 6 7 8 9 Grad d lbertà del deomatore ν 6 7 8 9 6 7 8 9 6 7 8 9 6 8 6 98....78 8.6 6..69.6.8..7.7.6 8 8 8 7 9.9 9.8 9.7 9.6 9. 9.8 9. 9. 9.8 9. 9.8 8.8 8.6 8.9 8. 8.8 7.88 99. 9.8 6.8 8.... 9. 8.9 8. 8.9 7.9 7.7 7. 7. 7. 7.9 6.99 6.89 6.8 6.7 6.66 6.6 6. 6.9 6. 6. 6. 6.7.9.79.67.. 6 99.7 7.7.6 6..9 88 9.6 8.7 8.8 7.6 7. 6.9 6.68 6.8 6. 6.6 6..9.8.7.6.8..6..6..8..98.8.7.6..8 99. 6.9..6. 8.8 7.96 7. 6.88 6. 6. 6..8.6..7.7.7.9..9.89.8.79.7.7.66.6.7....9.7 6 99..9.6.9.6 9. 8. 7.7 6.87 6. 6.7.79.6.7..7.96.8.76.68.6..9..8...6..99.8.76.6.. 7 99..8.97..7 9.6 7.9 7. 6. 6..76.8.6.7.9.78.66.6.7.9..6....6..98.9.7.8.9.9.8.9 7 99.6..6. 79 8.89 7.69 6.88 6..86....8.69.6...6.8...99.9.89.8.8.77.7..8.9.9.9.9 9 99.7...96 7 8.68 7. 6.69 6..68..8.86.67..9.8.8.9..9.88.8.78.7.69.6.6.8.....9.7 9 99.9.88..77 9 8. 7. 6..97...9.7..8....96.88.8.7.69.6.6.6..8...9..9.8.6 99..69 97.6 8.8 7. 6..8..9.8.6..7...9.8.77.7.6.9..9...8...99.9.8.7. 6 99..9 7.8 8.8 7. 6..66..9.6....97.86.76.68.6..7..7..8...8.9.8.7.6..6

A-8 Appedce A - Tavole Statstche Uverstà d Toro F (ν,ν ) Grad d lbertà del umeratore ν ν ν 6 Grad d lbertà del deomatore ν 6 7 8 9 6 7 8 9 6 7 8 9 6 8 6 99..8. 9.8 7.97 6.8 6..7..7.6..7.9.79.68.9...6......7...78.6.7.7.7.9 86 99..78 7.9 9.9 7.7 6.6.8.7.86..7.6.88.7.6.....8..6..97.9.89.86.8.6.7.9.9.9. 89 99..69 9.8 9. 7.69 6..78..8.8...8.68.6...7.9..6..96.9.88.8.8.77......9 9 99.6.6.78 9.7 7.6 6..7.7.76..7.96.79.6......8..97.9.87.8.79.76.7..7.9.9.9.9 99.7.7 9.89.66 9.6 7. 6..6.7.6..7.86.69.......98.9.87.8.77.7.69.66.6..7.9.8.98.79 8 99.7. 9.7. 9. 7. 6.9..97...97.76.8......9.88.8.77.7.67.6.9.6...6.8.97.87.67 99.8. 9.67. 9.7 7. 6...9.9.7.9.7..7....96.88.8.76.7.6.6.7..9.6....9.8.9 99.8. 9.6. 9. 7. 6.8..86...87.66.8.....9.8.77.7.66.6.6..8...8..96.8.7. 8.7 99.9.99 9.7.7 9. 7.9 6.6..7...76..7...99.89.8.7.66.6.....7...6.9.8.7.6.7 6 99..8 9.. 8.88 7.8.9.9.6..9.6..6..98.87.78.69.6..8..8..9...8.9.79.69.6..

M. Garetto - Statstca B- Appedce B. Formularo Valor medo campoaro Varaza campoara ( ) s Scarto quadratco medo campoaro (devazoe stadard) ( ) s Dat raggruppat dat k class valor cetral frequeze assolute m f Valor medo campoaro k m f Varaza campoara ( ) m f m f m f f m s k k k k Covaraza - Coeffcete correlazoe leare ( )( ) y y y s s S r y y y y S Retta d regressoe ( ) oppure + + + + A y B s S A y B A y B A y B A E B A y y Parabola de mm quadrat C B A y + + + + y C B A E ) ( + + + + + + y C B A y C B A y C B A Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

B- Appedce B - Formularo Learzzazoe Fuzoe y f ( ) Forma learzzata Y AX + B Cambamet d varabl e costat A y C l y Al + lc X l Y l y B C e A y C e l y A + lc X Y l y B C e y Al + B y Al + B X l Y y A y + B y A + B y A + B A + B y y A + B A + B y y D + C y + C ( y) D C L y L A l A + lc + Ce y y B + Ae Ae + B y C e Dsposzo co rpetzoe Dsposzo semplc ( r) k! D,k D, k ( k)! Permutazo! P! P,,,..., k!!... k! Combazo D, k! C k,k k! k!( k)! Regola addtva della probabltà P(A B) P(A) + P(B) P (A B) Probabltà codzoata P(A B) P ( B A) P(A) P(A) P(A B) P ( A B) P(B) P(B) Evet dpedet - Regola d moltplcazoe P (B A) P(B) P(A B) P(A) P(A B) P(A) P(B) Probabltà totale P X Y y X Y y X X y Y y Y y B C D A A L X Y l y B X L costate assegata e Y ( A ) P( A B ) P( B ) + P( A B ) P( B ) +... + P( A B ) P( B ) P( A B ) P( B ) y Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca B- Teorema d Bayes P(A B ) (B ) (B A) k P P k k per og k P(A B ) P(B ) Parametr d ua dstrbuzoe Valor medo e varaza μ E( X ) P( X ) Caso dscreto σ var( X ) E ( X μ) ] μ E( X ) f ( ) d Caso cotuo σ var( X ) E ( Propretà d valor medo e varaza (a,b R) E ( ax + b) ae( X ) + b var( ax + b) a var( X ) E ( ax + by ) ae( X ) + be(y) [ ( μ) [ X μ) ] ( μ) var ( ax + by) a var ( X ) + b var ( Y) Varable stadardzzata μ X Z μ E( Z) σ var ( Z) σ Dsuguaglaza d Chebshev σ P ( X μ ε) P ( X μ ε) σ ε ε Dstrbuzoe bomale o d Beroull f ( ) P( X ) b( ;, p) p ( p) k k F( ) P( X ) B( ;, p) p ( p) k k μ p σ p ( p) Propretà dstrbuzoe bomale P ( X < ) P( X ) P( X > ) P( X ) P ( X ) P( X ) P ( X ) P( X ) P( X ) Relazoe d rcorreza p P ( X + ) P( X ) + p f ( ) f ( ) f ( ) d f ( ) μ f ( ) d μ!,,,...,! ( )! Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

B- Appedce B - Formularo Dstrbuzoe d Posso! ) ( ) ( e X P ; f λ λ λ,,,. λ λ λ λ k k k k e k; f X P ; F! ) ( ) ( ) ( λ σ μ λ Propretà dstrbuzoe d Posso ) ( ) ( ) ( λ λ λ ; F ; F ; f Relazoe d rcorreza ) ( ) ( X P X P + λ + Dstrbuzoe ormale o d Gauss ) P( ) ( ) ( dt e X F e f t σ μ σ μ π σ < < π σ Dstrbuzoe ormale stadardzzata ) P( ) ( ) ( dt e z Z z F z e z f z t z π < < π Propretà dstrbuzoe ormale ) ( < < Z P () ) ( ) ( < < < < F Z P Z P ) ( ) ( ) ( z F z F z Z P ) ( ) ( ) ( z F z F z Z z P ) ( ) ( z Z P Z z P Approssmazoe dstrbuzoe bomale co dstrbuzoe ormale ) p( p p X Z p ( ) p Approssmazoe dstrbuzoe d Posso co dstrbuzoe ormale λ λ X Z λ Dstrbuzoe uforme altrmet ) ( b a a b f Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca B- F( ) P ( X ) a b a ( ) a a < < b b a + b b a μ σ Dstrbuzoe t d Studet X μ T grado d lbertà ν S Dstrbuzoe χ ( ) S χ σ Dstrbuzoe F grado d lbertà ν S / σ F grad d lbertà ν, ν S / σ F ( ν, ν ) F ( ν, ν ) Itervallo d cofdeza per la meda, co grado d fduca ( ) % (varaza ota) σ σ z < μ < + z grado d fduca 9% z z. 6 grado d fduca 9% grado d fduca 99% z z z z. 96. 76 σ E ma X μ z grado d fduca ( )% z σ E Itervallo d cofdeza per la meda, co grado d fduca ( ) % (varaza cogta) s s t < μ < + t grado d lbertà ν grado d fduca grado d fduca grado d fduca 9% 9% 99% t t t t t t Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

B-6 Appedce B - Formularo Itervallo d cofdeza per la proporzoe, co grado d fduca ( ) % ( ) ( ) pˆ pˆ z pˆ p pˆ pˆ z pˆ + < < ( ) % E p p z p Pˆ ) ( fduca grado d ma ( ) E z p p E z Itervallo d cofdeza per la dffereza fra due mede, co grado d fduca ( ) % (varaze ote) z z σ + σ + < μ < μ σ + σ Itervallo d cofdeza per la dffereza fra due mede, co grado d fduca ( ) % (varaze cogte) + + < μ < μ + s t s t grado d lbertà + ν stma coguta della varaza ( ) ( ) + + s s s Itervallo d cofdeza per la dffereza fra due proporzo, co grado d fduca ( ) % ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pˆ pˆ pˆ pˆ z pˆ pˆ p p pˆ pˆ pˆ pˆ z pˆ pˆ + + < < + Itervallo d cofdeza per la varaza, co grado d fduca ( ) % ) ( < < ) ( 99 97 9 99% fduca grado d 9% fduca grado d 9% fduca grado d lbertà grado d...... ν s s χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ σ χ Itervallo d cofdeza per lo scarto quadratco medo, co grado d fduca ( ) %, < < z s z s σ + Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca B-7 Itervallo d cofdeza per l rapporto d due varaze, co grado d fduca ( ) % s σ s < < F ( ν, ν ) s F σ F s F ( ν ν), grad d lbertà ν ν Test d potes sulla meda (varaza ota) X μ Statstca test Z σ Test Ipot. ulla H Ipot. alter. H Lv. sgf. Valor crtc Reg. rfuto ua coda μ μ μ > μ.6 Z >.6.6 Z >.6 ua coda μ μ μ < μ.6 Z <.6.6 Z <.6 due code μ μ μ μ.76 e.76 Z <.76 Z >.76.96 e.96 Z <.96 Z >.96 Test d potes sulla meda (varaza cogta) X μ Statstca test T grado d lbertà ν S Test Ipot. ulla H Ipot. alter. H Lv. sgf. Valor crtc Reg. rfuto ua coda μ μ μ > μ t t T > t t t T > t ua coda μ μ μ < μ t t T < t t t T < t due code μ μ μ μ t t T > t Test d potes sulla proporzoe X p Statstca test Z p p ( ) t t t t t t T < t T > t T < t Test Ipotes ulla H Ipot. alter. H Lv. sgf. Valor crtc Reg. rfuto ua coda p p p > p.6 Z >.6.6 Z >.6 ua coda p p p < p.6 Z <.6.6 Z <.6 due code p p p p.76 e.76 Z <.76 Z >.76.96 e.96 Z <.96 Z >.96 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

B-8 Appedce B - Formularo Test d potes sulla dffereza fra due mede (varaze ote) ( X X ) d Statstca test Z σ σ + Test Ipotes ulla H Ipot. alter. H Lv. sgf. Valor crtc Reg. rfuto ua coda μ μ d μ μ > d.6 Z >.6.6 Z >.6 ua coda μ μ d μ μ < d.6 Z <.6.6 Z <.6 due code μ μ d μ μ d.76 e.76 Z <.76 Z >.76.96 e.96 Z <.96 Z >.96 Test d potes sulla dffereza fra due mede (varaze cogte) ( X X ) d Statstca test T grado d lbertà ν + S + Test Ipotes ulla H Ipot. alter. H Lv. sgf. Valor crtc Reg. rfuto ua coda μ μ d μ μ > d t t T > t t t T > t ua coda μ μ d μ μ < d t t T < t t t T < t due code μ μ d μ μ d t t T > t T < t t t t t T > t T < t t t Test d potes sulla dffereza fra due proporzo Pˆ Pˆ Statstca test Z p p + ( ) Test Ipotes ulla H Ipot. alter. H Lv. sgf. Valor crtc Reg. rfuto ua coda p p p > p.6 Z >.6.6 Z >.6 ua coda p p p < p.6 Z <.6.6 Z <.6 due code p p p p.76 e.76 Z <.76 Z >.76.96 e.96 Z <.96 Z >.96 Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca B-9 Test d potes sulla varaza Statstca test χ ( ) S σ grado d lbertà ν Test Ipotes ulla H Ipot. alter. H Lv. sgf. Valor crtc Reg. rfuto ua coda σ σ σ > σ χ χ. χ > χ. χ χ. χ > χ. ua coda σ σ due code σ σ Test d potes sulla varaza, S σ Statstca test Z σ σ σ < σ σ χ χ. 99 χ χ. 9 χ χ. 99 χ χ. χ χ. 97 χ χ. χ χ χ χ χ χ < χ < χ < χ > χ < χ > χ. 99. 9. 99.. 97. Test Ipotes ulla H Ipot. alter. H Lv. sgf. Valor crtc Reg. rfuto ua coda σ σ σ > σ.6 Z >.6.6 Z >.6 ua coda σ σ σ < σ.6 Z <.6.6 Z <.6 due code σ σ σ σ.76 e.76 Z <.76 Z >.76.96 e.96 Z<.96 Z >.96 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

B- Appedce B - Formularo Test d potes sul rapporto d due varaze Statstca test S F S grad d lbertà ν ν F ( ν, ν ) F ( ν ν), Test Ipotes ulla H Ipot. alter. H Lv. sgf. Valor crtc Reg. rfuto ua coda σ σ σ > σ F F F > F F F F > F ua coda σ σ σ < σ F F 99 F < F 99 F F 9 F < F 9 due code σ σ σ σ F F 99 F < F 99 F > F F F F F. F F 97 F < F > F 97 F Test ch-quadro d adattameto Ipotes ulla H : dat s adattao alla dstrbuzoe teorca Ipotes alteratva H : dat o s adattao alla dstrbuzoe teorca Statstca test k ( O A ) χ A Regoe d rfuto χ > χ Grado d lbertà ν k m Test ch-quadro d dpedeza Ipotes ulla H : dpedeza Ipotes alteratva H : dpedeza Statstca test Regoe d rfuto χ r c ( Oj Aj ) j A j χ > χ Grado d lbertà ν ( r ) ( c ) Uverstà d Toro

M. Garetto - Statstca C- Appedce C. Bblografa. Bramat M., Calcolo delle Probabltà e Statstca per l Corso d Dploma Igegera, Teora ed esercz, Progetto Leoardo, 997. Cavall-Sforza L. L., Aals statstca per medc e bolog. Ua troduzoe elemetare, Bollat Borgher, 99. Cerasol M., Tomassett G., Elemet d Statstca. Itroduzoe alla matematca dell certo, Zachell, 987. Cerasol A. M., Cerasol M., Elemet d Calcolo delle Probabltà. Itroduzoe alla matematca dell certo, Zachell, 987. Dael W.W., Bostatstca. Cocett d base per l aals statstca delle sceze dell area medco-satara, EdSES, 996 6. Freud J. E., Smo G.A., Moder Elemetary Statstcs, Pretce-Hall It. Ed., 99 7. Freud J. E., Walpole R. E., Mathematcal Statstcs, Pretce-Hall It. Ic., 987. 8. Freud R.J., Wlso W.J., Metod statstc, Pcc, 9. Johso R.A., Mller ad Freud s Probablty ad Statstcs for Egeer, Pretce-Hall It. Ic., 99. Leve D. M., Krehbel T.C., Bereso M. L., Statstca, Apogeo,. Motgomery D.C., Ruger G.C., Appled Statstcs ad Probablty for Egeers, Joh Wley & Sos, 999. Roser B., Fudametals of Bostatstcs, Wadsworth Publshg Compay, ITP, 99. Roser B., Study Gude for Fudametals of Bostatstcs, Wadsworth Publshg Compay, ITP, 99. Ross S.M., Probabltà e Statstca per l gegera e le sceze, Apogeo,. Ross C., Sero G., La metodologa statstca elle applcazo bomedche, Sprger-Verlag, 99 6. Sokal R. R., Rohlf F. J., Itroducto to Bostatstcs, W. H. Freema & C., 987 7. Spegel M.R., Statstca, McGraw-Hll Lbr Itala, 99 8. Spegel M. R., Probabltà e Statstca, McGraw-Hll Lbr Itala, 99 9. Upto G., Cook I., Itroducg Statstcs, Oford Uversty Press, 998 Woacott T.H., Woacott R.J., Itroduzoe alla Statstca, Fraco Agel, 99 Quader Ddattc del Dpartmeto d Matematca

C- Appedce C - Bblografa Uverstà d Toro