Trigonometria Introduzione storica La trigonometria nasce dal problema pratico di calcolare a partire dalla misura di tre elementi di un triangolo (di cui almeno un lato) le misure dei tre elementi mancanti. La parola trigonometria deriva dal greco e significa misurazione del triangolo. Risultati concernenti rapporti fra lati di triangoli simili erano già noti a egiziani e babilonesi, ma è con i greci che per la prima volta vengono studiate le relazioni fra angoli (archi) di una circonferenza e le lunghezze delle corde che li sottendono. Essi studiano e usano queste relazioni per applicarle a problemi astronomici. Vanno ricordati Eratostene di Cirene (280-195 a.c. ca), che determina il raggio della terra e Aristarco di Samo (310-230 a.c.) che stabilisce il rapporto fra le distanze luna-terra e terra-sole. Le origini della trigonometria si confondono con le origini dell astronomia. Il sorgere del Sole, l alternarsi dei giorni e delle notti, il succedersi sempre uguale delle fasi della Luna sono fenomeni che hanno sempre interessato l uomo. Due sono gli astri che colpiscono maggiormente l attenzione: il Sole e la Luna. Quanto distano dalla Terra? Quanto sono grandi? E con queste domande che ha inizio l astronomia, ma anche la trigonometria. L astronomo greco Aristarco di Samo affronta il seguente problema. Quando la Luna si presenta come una perfetta mezzaluna, l angolo fra le visuali del Sole e della Luna è inferiore ad un angolo retto per un trentesimo di quadrante; quanto è più lontano dalla Terra il Sole rispetto alla Luna? Traducendo in linguaggio attuale e considerando la misurazione degli angoli in gradi sessagesimali (misurazione che non era ancora nota all astronomo), diremo che: il quadrante è un angolo di 90 un trentesimo di quadrante è un angolo ampio 90 30 = 3 l angolo inferiore ad un angolo retto per un trentesimo di quadrante è ampio un quadrante meno un trentesimo e cioè 87. Perciò il problema può essere schematizzato con il triangolo rettangolo LAS di cui si conosce l angolo Â=87 e si vuole calcolare il rapporto LA/AS, rapporto che è legato all angolo da una funzione trigonometrica; si ha infatti: LA = cos 87 AS Le invenzioni di Aristarco non erano nate dal nulla; risentivano certamente di osservazioni e di studi condotti, lungo molti secoli, dagli egizi e dai babilonesi. E però Ipparco di Nicea (180-125 a.c. ca) che per primo si preoccupa di compilare una tavola trigonometrica, dove per diverse ampiezze sono tabulati i valori corrispondenti dell arco e della corda. A Ipparco, considerato il padre della trigonometria, si deve l introduzione sistematica della suddivisione del cerchio in 360, già usata dai babilonesi. L opera fondamentale per l astronomia e la trigonometria dell antichità è la Sintassi matematica di Claudio Tolomeo, astronomo greco vissuto ad Alessandria d Egitto. Quest opera è nota a noi con il nome d origine araba Almagesto; essa ci è pervenuta in buono stato e non presenta soltanto delle tavole delle corde migliori rispetto a quelle di Ipparco, ma anche un esposizione dei metodi usati per la loro costruzione. 1
Il contributo della trigonometria indiana è essenziale per l introduzione di un concetto equivalente alla funzione seno, in sostituzione delle tavole delle corde della matematica greca, che si deve a Aryabhata (ca 500 d.c). Gli arabi usano sia la trigonometria indiana basata sulle tavole dei seni sia quella greca basata sulle tavole delle corde. Ben presto però prevale il sistema indiano. L astronomia di Al-Battani (850-925 d.c.) contribuisce a diffondere quest uso. Nell opera di Abu l-wafa (940-998 d.c.) vengono usate tutte le funzioni trigonometriche e vengono stabilite le relazioni esistenti fra esse. Inoltre è data anche una nuova tabella per i seni degli angoli, con valori esatti fino all ottava cifra decimale. La trigonometria, come del resto l algebra, fiorisce in Europa con la fine del Medioevo, in particolare grazie a Johann Müller von Königsberg (1436-1476) noto come Regiomontanus. Uomo tipicamente rinascimentale, è forse il matematico più influente del XV secolo. Sperava di poter pubblicare traduzioni sue di Archimede, Apollonio, Tolomeo ma la morte improvvisa glielo impedì. La sua opera De triangulis omnimodis, scritta nel 1464, rappresenta un esposizione sistematica dei metodi per risolvere problemi relativi ai triangoli. In quest opera per la prima volta la trigonometria viene presentata come disciplina indipendente dall astronomia. La forma che Regiomontanus ha dato alla trigonometria è pressocché rimasta invariata fino ad oggi. Altri risultati per lo sviluppo della trigonometria sono stati ottenuti da N.Copernico (1473-1543), J. Rhaeticus (1514-1576), F. Viète (1540-1603), J. Napier (1550-1617), J. Kepler (1571-1630) e Leonhard Euler (1707-1783), che considerò la trigonometria come una parte dell analisi e introdusse le notazioni abbreviate per le funzioni trigonometriche, che ancor oggi usiamo. Un criterio di similitudine tra triangoli Due triangoli sono simili quando hanno gli angoli isometrici. Questo significa che bastano gli angoli a determinare la forma di un triangolo: ci deve essere allora una relazione fra i lati e gli angoli di un triangolo, relazione che obbliga un triangolo ad assumere una data forma, quando ne siano fissati gli angoli. I triangoli considerati sono simili (criterio angolo-angolo). Dunque il rapporto fra le misure di due lati di un triangolo è uguale al rapporto fra le misure dei lati corrispondenti in ognuno degli altri. Il rapporto fra la misura del cateto opposto all angolo di ampiezza α e la misura dell ipotenusa è costante e dipende unicamente da α: 2
BC = B C = B C = = AB A B A B Esso viene indicato con: sin(α) e si legge seno di α E costante anche il rapporto fra la misura del cateto adiacente all angolo di ampiezza α e la misura dell ipotenusa. AC = A C = A C = AB A B A B Esso viene indicato con: cos(α) e si legge coseno di α E pure costante il rapporto fra le misure del cateto opposto e del cateto adiacente all angolo di ampiezza α: BC = B C = B C AC A C A C Esso viene indicato con: tan(α) e si legge tangente di α Il rapporto inverso fra le misure del cateto adiacente e del cateto opposto all angolo di ampiezza α si indica con cotg(α) e si legge cotangente di α. Conclusione: dato un triangolo rettangolo in C, indicato con: α l ampiezza di un angolo in A AC la misura del cateto AC adiacente all angolo α BC la misura del cateto BC opposto all angolo α AB la misura dell ipotenusa AB Valgono le seguenti uguaglianze: sin(α) = BC AB cos(α) = AC AB tan(α)= BC AC cot(α) = AC BC Osservazioni: sin(90 α) = cos(α) cos(90 α)=sin(α) 0 < sin α < 1 0 < cos α < 1 3
Rapporti trigonometrici per alcune ampiezze particolari a) Angolo di 30 e di 60 Un triangolo rettangolo con un angolo di 30 è la metà di un triangolo equilatero. Per il teorema di Pitagora vale che: Seno, coseno e tangente dell angolo di 30... =... = sin(30)... =... = cos(30)... =... = tan(30) Seno, coseno e tangente dell angolo di 60... =... = sin(60)... =... = cos(60)... =... = tan(60) Osservazioni: sin(60) = cos(90-60) = cos(30) = 3 2 tan(60) = 1 = 3 tan(30 ) cos(60) = sin(90-60) = sin(30) = 1 2 b) Angolo di 45 Un triangolo rettangolo con un angolo di 45 è un triangolo rettangolo isoscele Sia a = 1 dunque: perciò: 4
Applicazioni della trigonometria Supponiamo che un osservatore posto in cima ad un faro veda una barca a vela e che la direzione del suo sguardo formi un angolo di 22,97 con l orizzontale: chiameremo quest angolo angolo di depressione. Nello stesso tempo una persona che si trova sulla barca deve sollevare il suo sguardo di 22,97 al di sopra dell orizzontale se vuole vedere la cima del faro: in questo caso parleremo di angolo di elevazione. Se la cima del faro si trova a 25 m sul livello del mare, la distanza x fra la barca e la base del faro può essere calcolata nel seguente modo: Ampiezze degli angoli a) Sistema di misura sessagesimale L unità di misura è il grado sessagesimale, cioè la 360-esima parte dell angolo giro. Sottounità: 1 grado si suddivide in 60 primi e un primo si suddivide in sessanta secondi Notazione: 1 grado: 1 primo: 1 secondo: Quindi: 1 = 1 60 1 1 = 1 60 1 = 1 3600 1 Ad esempio l ampiezza di 32 gradi, 45 primi e 12,6 secondi si indica: 32 45 12,6 A volte si usano sottounità decimali del grado: 32 45 12,6 = Inversamente: 32,7535 = b) Sistema di misura circolare I gradi sessagesimali usati soprattutto per calcoli trigonometrici elementari sono sostituiti dai radianti per applicazioni più complesse. Come unità di misura si assume il radiante. Un radiante è l angolo al centro di una circonferenza che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio. Quanto misura l angolo giro in radianti? La circonferenza di raggio r misura 2πr l angolo giro 2π = 360 Quindi 2π = 360 Sia α un angolo espresso in radianti e α un angolo espresso in gradi, abbiamo che vale: 360 = α 2π α 5
Trasformiamo le seguenti ampiezze in radianti. Gradi Radianti Gradi Radianti 0 90 1 120 30 180 45 270 60 360 Oss: in generale la misura in radianti è un numero irrazionale, quindi la si indica come multiplo o frazione di π. Esercizi: 1. Calcola in gradi l ampiezza di un angolo di 1 radiante, π 3 radianti 2. Trasforma in radianti 20; 48,5 Uso della calcolatrice Ampiezze angoli Le calcolatrici scientifiche di uso corrente permettono l impostazione di ampiezze con sottounità sessagesimali. Per il calcolo, se non lo fa direttamente la calcolatrice, queste ampiezze devono essere convertite con sottounità decimali. Conversione: sessagesimale decimale decimale sessagesimale Di solito le comuni calcolatrici scientifiche dispongono di tre modi di calcolo delle ampiezze; noi ne vediamo due che vengono indicate sul display di lettura: DEG o RAD o D gradi sessagesimali R radianti Rapporti trigonometrici Conoscendo α i rapporti trigonometrici sin α, cos α e tan α si calcolano premendo i tasti corrispondenti sin, cos e tan. Inversamente noti sin α, cos α e tan α si risale ad α con i comandi sin 1, cos 1, tan 1 Esercizi: 1. Imposta 126 9 2. Converti 12, 1025 in sottounità sessagesimali 3. Calcola sin(30), cos( π 4 ) 4. Determina α (in) se sin(α) = 1 2 5. Determina α in radianti se cos(α)= 2 2 6
Esercizi di trigonometria del triangolo rettangolo Dato un triangolo rettangolo ABC come in figura, indichiamo con a, b i cateti del triangolo e con c l ipotenusa. Per definizione si ha: sinα = a c a = c sinα sinβ = b c b =csinβ cosα = b c b=ccosα cosβ = a c a = c cosβ tanα = a b tanβ = b a Problemi relativi al triangolo rettangolo Problema 1. In un triangolo rettangolo si conosce l angolo α =15 e l ipotenusa 4 2 angolo e i due cateti. cm. Calcolare l altro Problema 2. Siano noti α =15, il cateto a = 2 cm. Calcolare l altro angolo, l altro cateto e l ipotenusa. Problema 3. Siano noti l ipotenusa c = 2 3 cm e il cateto a = 3 cm. Trovare i dati mancanti. i due cateti a = 4 cm e b = 2 cm. Trovare la misura degli altri angoli e dell ipote- Problema 4. Siano noti nusa. Problema 5. Disegnare un triangolo rettangolo ABC con il cateto BC lungo 3 cm ed il cateto AC lungo 4 cm. Calcolare la lunghezza dell ipotenusa AB e misurare con il goniometro l ampiezza degli angoli Trovare la misura degli angoli nel caso non si possa disporre di un goniometro. Problema 6. Usa la calcolatrice per trovare il valore delle seguenti espressioni: sin 15 a) b)tan15 c)(sin10 ) 2 + (cos10 ) 2 cos15 Problema 7. L ipotenusa e un cateto di un triangolo rettangolo ABC hanno le seguenti lunghezze: c = 10 cm, a = 6 cm. Calcolare l altro cateto e gli angoli del triangoli Problema 8. Un cateto e un angolo di un triangolo rettangolo ABC hanno le seguenti misure a = 50 cm, α = 55. Calcolare l altro angolo, l ipotenusa e l altro cateto. Problema 9. Un triangolo ABC, rettangolo in A, ha il cateto AC lungo 2 cm e l altezza AH 1,4 cm. Determinare gli angoli ed i lati del triangolo valendosi della trigonometria 7