SCHEDA SULLA TRIGONOMETRIA

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1 SCHEDA SULLA TRIGONOMETRIA I N D I C E Circonferenza trigonometrica Relazioni fondamentali che legano tra loro le funzioni trigonometriche Riduzione al primo quadrante Segni algebrici delle funzioni trigonometriche Valori delle funzioni trigonometriche degli angoli fondamentali e alcuni notevoli Grafici delle funzioni trigonometriche Tavola dei valori naturali delle funzioni trigonometriche nel primo quadrante (con sei decimali) Formulario trigonometrico (addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione, parametriche, prostaferesi e di Werner) Schema riassuntivo per la risoluzione dei triangoli qualsiasi Schema riassuntivo per la risoluzione dei triangoli rettangoli Spunti e approfondimenti (tratta da wikipedia.it) Michele T. Mazzucato - settembre 05

2 Circonferenza trigonometrica Ha per centro l'origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali e per raggio l'unità OA=OC=OD=. Ad essa vengono riferite tutte le funzioni trigonometriche dirette sin (seno BC), cos (coseno OB), tan (tangente AG) e indirette csc (cosecante OD), sec (secante OG), cot (cotangente DF) nonché del versin (senoverso BA) = complemento a del coseno, vercos (cosenoverso C D ) = complemento a del seno, excsc (cosecante esterna DE) ed exsec (secante esterna CG). L angolo al centro cresce in senso antiorario. (tratta da wikipedia.it) Michele T. Mazzucato - settembre 05

3 Relazioni fondamentali che legano tra loro le funzioni trigonometriche ) sin α cos α = da cui sinα = ± (-cos α) 0.5 e cosα = ± (-sin α) 0.5 ) tanα = sinα/cosα ; tanα = /cotα ) cotα = cosα/sinα ; cotα = /tanα 4) cscα = /sinα ; csc α cot α = 5) secα = /cosα ; sec α tan α = 6) versinα = -cosα 7) vercosα = -sinα 8) excscα = cscα 9) exsecα = secα 0) senα = /cscα ) cosα = /secα Michele T. Mazzucato - settembre 05

4 Riduzione al primo quadrante metodo degli angoli II III IV sinα sin(80 α) sin(α80 ) sin(60 α) cosα cos(80 α) cos(α80 ) cos(60 α) tanα tan(80 α) tan(α80 ) tan(60 α) cscα csc(80 α) csc(α80 ) csc(60 α) secα sec(80 α) sec(α80 ) sec(60 α) cotα cot(80 α) cot(α80 ) cot(60 α) metodo delle funzioni II III IV sinα cos(α 90 ) cos(70 α) cos(α70 ) cosα sin(α 90 ) sin(70 α) sin(α70 ) tanα cot(α 90 ) cot(70 α) cot(α70 ) cscα sec(α 90 ) sec(70 α) sec(α70 ) secα csc(α 90 ) csc(70 α) csc(α70 ) cotα tan(α 90 ) tan(70 α) tan(α70 ) Nota: se l angolo in esame è maggiore dell angolo giro (60 =π), si tolgono tanti angoli giri quanti se ne possono estrarre dall angolo in esame e sul resto si applica uno dei metodi di riduzione di cui alle precedenti tabelle. Segni algebrici delle funzioni trigonometriche sinα cosα tanα cscα secα cotα I II III IV Michele T. Mazzucato - settembre 05

5 0 0 0 π/6 sinα 0 cosα Valori delle funzioni trigonometriche degli angoli fondamentali e alcuni notevoli 45 π/4 60 π/ 90 π/ 0 π/ 5 π/4 50 5π/ π 5 5π/4 40 4π/ /π 00 5π/ tanα 0 ± ± cscα ± secα cotα ± ± - ± π/6-60 π ± ± ± ± Nota: un radiante RAD è quell angolo al centro della circonferenza trigonometrica che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio della medesima circonferenza. Un RAD = 80 /π = DEG proporzione per ricavare angoli radianti RAD conoscendo quelli sessagesimali DEG α r = π/60 α = π/80 α proporzione per ricavare angoli sessagesimali DEG conoscendo quelli radianti RAD α = 60 /πα r = 80 /πα r con π = Michele T. Mazzucato - settembre 05

6 Grafici delle funzioni trigonometriche (tratti da e realizzati da Gianni Sammito) sin cos tan csc sec cot Michele T. Mazzucato - settembre 05

7 Tavola dei valori naturali delle funzioni trigonometriche nel primo quadrante (con sei decimali) RAD DEG SIN COS TAN CSC SEC COT COS SIN COT SEC CSC TAN DEG RAD Michele T. Mazzucato - settembre 05

8 Michele T. Mazzucato - settembre 05

9 Schema riassuntivo per la risoluzione dei triangoli qualsiasi Per risolvere un triangolo qualsiasi occorrono tre elementi (due per un triangolo rettangolo) di cui almeno un lato caso noti: lato e angoli esempio: a α β una sola soluzione γ= 60 -(αβ) b= asinβ/sinα c= asinγ/sinα A= (c /)[(sinβsinα)/sin(βα)] caso noti: lati e l angolo compreso esempio: a b γ una sola soluzione Caso noti: lati e angolo adiacente al lato incognito esempio: a b α nessuna, una o due soluzioni caso 4 noti: lati esempio: a b c una sola soluzione c = a b -abcosγ cosα= (b c -a )/bc β= 60 -(αγ) sinβ= (bsinα)/a γ= 60 -(αβ) c= asinγ/sinα verificare le soluzioni ambigue per β cosα= (b c -a )/bc cosβ= (a c -b )/ac γ= 60 -(αβ) A= (absinγ)/ A = p(p-a)(p-b)(p-c) con p= (abc)/ A = p(p-a)(p-b)(p-c) con p= (abc)/ A B C vertici e a b c lati del triangolo α β γ angoli interni del triangolo corrispondenti ai rispettivi vertici e opposti ai rispettivi lati In ogni triangolo: α β γ = π = 80 Michele T. Mazzucato - settembre 05

10 Schema riassuntivo per la risoluzione dei triangoli rettangoli Per risolvere un triangolo qualsiasi occorrono tre elementi (due per un triangolo rettangolo) di cui almeno un lato caso noti: ipotenusa c e angolo α β= 90 -α a= csinα = ccosβ b= ccosα = csinβ A = p(p-a)(p-b)(p-c) con p= (abc)/ caso noti: cateto a e angolo α β= 90 -α b= acotα = atanβ c= a/sinα = a/cosβ A = p(p-a)(p-b)(p-c) con p= (abc)/ caso noti: ipotenusa c e cateto a sinα= a/c oppure cosβ= a/c β= 90 -α oppure α= 90 -β b= ccosα = csinβ A = p(p-a)(p-b)(p-c) con p= (abc)/ caso 4 noti: cateto a e cateto b tanα= a/b oppure tanβ= b/a β= 90 -α oppure α= 90 -β c= a/sinα = a/cosβ A = p(p-a)(p-b)(p-c) con p= (abc)/ A B C vertici, a b cateti e c ipotenusa del triangolo α β γ angoli interni del triangolo corrispondenti ai rispettivi vertici e opposti ai rispettivi lati con γ=90 angolo retto e A area del triangolo In ogni triangolo: α β γ = π = 80 Michele T. Mazzucato - settembre 05

11 Spunti e approfondimenti Breve storia della trigonometria (di Enrico Giusti) Appunti di trigonometria PDF (di Paolo Ciampanelli) Elementi di trigonometria PDF (di Raffaele Santoro) Manuale di goniometria e trigonometria PDF (di Simone Camosso) Goniometria (a cura di Sabrina Rossi) Trigonometria (a cura di Sabrina Rossi) Trigonometria e PDF (di Dino Betti) volumi in PDF Saggio d un trattato generale di trigonometria (84) di Filippo Corridi ( ) Serie trigonometriche (98) di Leonida Tonelli ( ) Tavole trigonometriche. Edizione accuratissima, con una introduzione che contiene un compendio di trigonometria piana e sferica applicata alla pratica, con molte altre tavole e rischiaramenti utili in queste materie (769) di Giuseppe Toaldo (79-797) Trattato elementare di trigonometria piana e sue applicazioni (866) di Ermenegildo Francolini Michele T. Mazzucato - settembre 05