Lez.26 La macchina asincrona Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 1
La macchina asincrona (a induzione) è utilizzata sia come generatore che come motore. Quest ultima è l applicazione più diffusa. Esistono macchine asincrone trifasi e monofasi. Le macchine trifasi raggiungono potenze del MW. Le macchine monofase sono utilizzate per potenze da pochi watt a qualche centinaio di watt. Il principio di funzionamento si basa sulla creazione di un campo magnetico rotante al traferro. La macchina si chiama asincrona perché la sua velocità non è legata rigidamente alla velocità del campo. Lo statore è laminato e presenta lungo la superficie affacciata al traferro le cave, ossia alloggiamenti dove sono disposti gli avvolgimenti induttori. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 2
Sul rotore è realizzato l indotto, costituito o da avvolgimenti analoghi a quelli di statore o realizzato a gabbia di scoiattolo, con singole barre saldate in cortocircuito su anelli di testata. Anche il rotore è laminato. Il traferro varia da qualche decimo di millimetro a qualche millimetro. cave barra di rotore testata nucleo statorico avvolgimento anello di testata Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 3
Il campo rotante Consideriamo una sezione di macchina e individuiamo su essa una spira avvolta sullo statore e percorsa da corrente i Andata e ritorno della spira distano un semipasso polare τ e sono disposte simmetricamente rispetto all asse AA. A β S B O N A Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 4
Nasce un campo B 0 al traferro. Linearizziamo la macchina tagliandola lungo OA e valutiamo B 0. A statore traferro rotore B 0 B 0 \ B 0 = μ 0i 2δ H t dl = i H 0 2δ = i B 0 = μ 0i 2δ Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 5
Si crea una coppia N-S magnetica. La distribuzione di induzione al traferro è rettangolare. Può essere scomposta in serie di Fourier. Scegliendo la sola armonica fondamentale: B 0 = μ 0i cos β, di periodo 2τ, se l avvolgimento è costituito da N conduttori concentrati, si ha: B 0 = μ 0Ni 2δ cos β B 0 = μ 0i 2δ 2δ Se l avvolgimento è costituito da N conduttori distribuiti: B 0 = μ 0Ni 2δ k ω cos β Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 6
Il termine k ω è detto fattore di avvolgimento (di Blondel) e tiene conto del fatto che il campo massimo non è la somma dei campi massimi prodotti da ogni spira in quanto le distribuzioni di campo prodotte dalle spire sono sfasate tra loro nello spazio. B 0 μ 0 Ni 2δ k ω μ 0 i 2δ Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 7
Se la corrente i(t) = 2Isin(ωt) varia con legge sinusoidale nel tempo, il campo B 0 al traferro varia sia in funzione di β che di t: B 0 (t, β) = μ 0N 2I 2δ k ω sin(ωt) cos(β) = B M sin(ωt) cos(β) Fissata la posizione di osservazione β, il campo magnetico appare come un campo pulsante, che varia con legge sinusoidale nel tempo tra i valori +B M cos(β ) e B M cos(β ). Dalle formule di Werner: sin(ωt) cosβ = 1 [sin(ωt β) + sin(ωt + β), 2 avremo: B 0 (t, β) = B M 2 sin(ωt β) + B M 2 sin(ωt + β) = B 0 (t, β) + B 0 (t, β) Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 8
Il campo al traferro è somma di due campi, B 0 e B 0, entrambi a distribuzione sinusoidale nello spazio, che ruotano al traferro, rispettivamente, con velocità Ω c = ω e Ω c. È facile verificarlo. Consideriamo, infatti, il campo B 0. All istante t 1 e nella posizione β 1 esso assume il valore: B 0 (t 1, β 1 ) = B = B M 2 sin(ωt 1 β 1 ) Tale valore sarà assunto anche in un istante successivo t 2 nella posizione β 2, tali che: B = B M 2 sin(ωt 2 β 2 ) Uguagliando le espressioni: β 2 β 1 (ωt 1 β 1 ) = (ωt 2 β 2 ) t 2 t 1 = Δβ Δt = Ω c = ω Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 9
L avvolgimento statorico può essere distribuito in modo diverso lungo la macchina, ad esempio dimezzando il passo polare e realizzando due coppie N-S magnetiche, ossia due coppie polari p A β S N N S A Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 10
La distribuzione di campo diviene: B 0 (t, β) = B M 2 sin(ωt pβ) + B M 2 sin(ωt + pβ) = B 0 (t, β) + B 0 (t, β) E la velocità dei due campi rotanti è ora Ω c = ω p e Ω c La velocità può essere espressa anche in giri/min n c = 60Ω c 2π = 60ω 2πp = 602πf 2πp = 60f p La massima velocità di rotazione con alimentazione a 50 Hz si ottiene con due poli (numero di coppie polari p = 1) ed è pari a 3000 giri/min. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 11
A questo punto distribuiamo in maniera uniforme sullo statore 3 avvolgimenti uguali, distanziati angolarmente di 2 π l uno dall altro. 3 Alimentiamo gli avvolgimenti con una terna simmetrica diretta di tensioni. Essendo uguali gli avvolgimenti, in essi circolerà una terna simmetrica di correnti, che darà luogo, ognuna, a un campo d induzione al traferro. i 1 (t) = I M sin(ωt) i 2 (t) = I M sin (ωt 2 3 π) B 1 (t, β) = B M sin(ωt) cos (β) B 2 (t, β) = B M sin (ωt 2 3 π) cos (β 2 3 π) { i 3 (t) = I M sin (ωt 4 π) 3 { B 3 (t, β) = B M sin (ωt 4 π) cos (β 4 π) 3 3 Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 12
Ciascuno dei campi B 1, B 2 e B 3 potrà essere espresso come somma dei campi diretti e inversi. Il campo totale al traferro sarà somma dei tre campi: B 0 (t, β) = B 1 (t, β) + B 2 (t, β) + B 3 (t, β) B 1 (t, β) = B M 2 sin(ωt β) + B M 2 sin(ωt + β) B 2 (t, β) = B M 2 sin (ωt 2 3 π β + 2 3 π) + B M 2 sin (ωt 2 3 π + β 2 3 π) B { 3 (t, β) = B M 2 sin (ωt 4 3 π β + 4 3 π) + B M 2 sin (ωt 4 3 π + β 4 3 π) I campi inversi formano una terna simmetrica e la loro somma è nulla. Rimangono i soli campi diretti. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 13
Il campo al traferro è: B 0 (t, β) = 3 2 B Msin (ωt β) Se il numero di coppie polari è p, il campo diviene B 0 (t, β) = 3 2 B Msin (ωt pβ) Il campo al traferro, generato da un sistema trifase di avvolgimenti equamente distribuiti nello spazio e in cui circola un sistema di correnti trifase simmetriche con frequenza f 1, è un campo a distribuzione sinusoidale nello spazio, che si ripete p volte lungo la macchina e che ruota a velocità Ω C = ω 1 p [rad] ossia a velocità n s c = 60f 1 p [ giri min ]. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 14
A statore B 0 ω 1 p rotore Anche sul rotore sono presenti avvolgimenti in cava. Essi sono chiusi in cortocircuito e possono essere a gabbia di scoiattolo o a rotore avvolto. Il numero di poli rotorici deve essere uguale al numero di poli statorici. Il campo magnetico, ruotando al traferro, taglierà sia i conduttori statorici che i conduttori rotorici. Ci sarà, pertanto, una variazione di flusso concatenato e la nascita di una f.e.m. indotta in entrambi i circuiti. Nasceranno correnti nell avvolgimento rotorico. L interazione tra correnti e campi comporterà la nascita di una coppia che mette in rotazione il rotore alla velocità ω r. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 15
Funzionamento a rotore bloccato (ω r = 0; n r = 0). Il funzionamento della macchina dipende dalla velocità ω r del rotore. Indichiamo con N 1 e N 2 il numero di spire per fase statorica e con k w1 e k w2 i rispettivi fattori di avvolgimento. Indichiamo con f 1 la frequenza di alimentazione statorica e con φ M il flusso massimo al traferro concatenato con una singola spira. Il campo rotante al traferro taglierà gli avvolgimenti statorici e darà luogo alla tensione indotta statorica con frequenza pari al numero di ripetizioni al secondo del campo al traferro f = pn c 60 = f 1 : E 1max = k w1 N 1 ω 1 φ M = 2πf 1 k w1 N 1 φ M E 1 = 4.44 f 1 k w1 N 1 φ M Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 16
Anche negli avvolgimenti rotorici si indurrà una tensione. Infatti, il rotore è bloccato e vede innanzi a sé esattamente ciò che vede il rotore, ossia un campo magnetico che ruota a velocità ω 1 p. La tensione indotta rotorica è: E 2 = k w2 N 2 ωφ M = 4.44 f 1 k w2 N 2 φ M Per conoscere la frequenza f 2 della tensione indotta rotorica basta considerare che ogni conduttore vede scorrere dinanzi a sé una successione di poli N-S del campo magnetico. La frequenza f 2 è pari al numero di campi completi N-S che tagliano il conduttore ogni secondo. f 2 (n r = 0) = pn c 60 La frequenza rotorica è uguale alla frequenza statorica f 2 (n r = 0) = f 1 Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 17
Nell avvolgimento rotorico circoleranno correnti a pulsazione f 1, che genereranno un campo rotante sincrono con il campo di statore, che si opporrà a questo per la legge di Lenz. All indebolimento del campo corrisponde allo statore una diminuzione di flusso e una diminuzione di tensione indotta, cui fa seguito un aumento della corrente statorica finché non si giunge all equilibrio finale retto dai principi di Kirchhoff. Per quanto riguarda le tensioni indotte si ha: E 1 E 2 = k w1n 1 ωφ M k w2 N 2 ωφ M = k w1n 1 k w2 N 2 La macchina asincrona nel funzionamento a rotore bloccato può essere riguardata come un trasformatore: il flusso di induzione è assicurato dalla rotazione del campo al traferro. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 18
Funzionamento con rotore libero (ω r 0; n r 0). Per quantificare la differenza di velocità tra rotore (n r ) e campo rotante (n c ) si introduce lo scorrimento s: s = Ω c Ω r Ω c = n c n r n c Se s = 0, siamo al sincronismo perché n r = n c Se s = 1, siamo all avviamento o a rotore bloccato perché n r = 0 Il rotore vede scorrere dinanzi a sé non un campo rotante alla velocità n c, bensì un campo rotante alla velocità relativa (n c n r ). La frequenza della tensione indotta cambia: f 2 = p(n c n r ) 60 = pn c 60 s = sf 1 Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 19
La frequenza delle correnti rotoriche dipende dallo scorrimento. Anche la f.e.m. indotta rotorica dipende da s e diviene: E 2 = k w2 N 2 ωφ M = 4.44 sf 1 k w2 N 2 φ M = se 2 (s = 1) E 2 (s) = se 2 (1) I motori funzionano con scorrimenti molto bassi, per cui la frequenza rotorica è limitata a pochi Hz (2 3 Hz). Il campo di reazione rotorico, però, rimane sincrono con il campo statorico. Infatti, la velocità del campo rotorico rispetto al rotore è: n cr = f 2 60 p = sf 1 60 p = sn c La velocità di questo campo rispetto allo statore è: (n cr + n r ) = sn c + n r = n c Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 20
L interazione tra campo e corrente rotorica dà luogo a una coppia che mette in rotazione il rotore. Il verso di rotazione è quello che tende ad annullare il campo che ha generato le correnti rotoriche e, quindi, che ha generato la variazione di flusso. Il rotore tende allora ad inseguire il campo al traferro diminuendo lo scorrimento. Se non esistesse coppia resistente applicata all asse della macchina, nell ipotesi di trascurare coppie di attrito e ventilazione, si potrebbe raggiungere il sincronismo, condizione in cui si annullano sia le f.e.m. indotte che le correnti rotoriche, per cui si annulla anche la coppia motrice che trascina il rotore. Nella realtà esistono sempre coppie resistenti al moto e il rotore non potrà mai portarsi autonomamente al sincronismo. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 21
Pertanto, esisterà sempre uno scorrimento diverso da zero ed esisteranno sempre correnti rotoriche di valore tale da garantire all asse una coppia elettromagnetica che eguaglia la coppia resistente. Se si applica una coppia resistente all asse, la macchina tenderà a rallentare e aumenterà il valore dello scorrimento. Aumenteranno così anche le f.e.m indotte rotoriche e le relative correnti che circolano negli avvolgimenti del rotore. Si ottiene così un aumento della coppia motrice della macchina, finché essa non equilibra la nuova coppia resistente. Si perviene ad una nuova condizione di funzionamento, caratterizzata da un nuovo valore di scorrimento, ossia da una nuova velocità di rotazione del rotore. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 22
A causa della variazione della frequenza rotorica con lo scorrimento, la reattanza di dispersione rotorica sarà anche essa dipendente da s: X 2 (s) = 2 π f 2 L 2d = 2πsf 1 L 2d X 2 (s) = sx 2 (1) Anche la corrente rotorica sarà funzione dello scorrimento: I 2 (s) = E 2(s) [R 2 + jx 2 (s)] I 2 (s) = se 2(1) [R 2 + jsx 2 (1)] I 2 (s) = E 2(1) [ R 2 + jx s 2 (1)] Al secondario si tiene conto della rotazione del rotore introducendo una resistenza R 2 s variabile con lo scorrimento. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 23
Il circuito equivalente (per una singola fase) diviene: V 1 ഥ I 1 ഥ R 1 L 1d I a R Fe I 0 ഥ + I ഥ2 a I μ ഥ L μ a = k w1n 1 k w2 N 2 E 1 E 2(1) L 2d R 2 s I 2(s) Il flusso energetico nella macchina può essere schematizzato come: statore rotore P E P δ P M P u P j1 P Fe1 P j2 P Fe2 P a,v Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 24
La potenza elettrica P E in ingresso alla macchina viene in parte dissipata nello statore per effetto Joule (P j1 ) e per perdite nel ferro (P Fe ). La restante parte viene trasferita al traferro (P δ ). Un aliquota di tale potenza è dissipata anche nel rotore (P j2, P Fe2 ), in cui le perdite nel ferro sono però trascurabili perché f 2 è piccola. La potenza meccanica disponibile all asse del motore è solo P M. Parte di questa potenza diviene potenza utile P u perché è trasferita al carico meccanico, mentre una piccola porzione è dissipata per attrito e ventilazione (P a,v ). Nel circuito equivalente per fase la potenza trasferita al traferro è rappresentata dalla potenza assorbita dalla resistenza R 2 s P δf = R 2 s I 2 2 Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 25
Dividiamo la resistenza rotorica in due aliquote: Otteniamo: R 2 s = R 2 + ( 1 s s ) R 2 P δf = R 2 I 2 2 + R 2(1 s) s I 2 2 = P j2f + P mf Il termine R 2 I 2 2 = P j2f rappresenta l aliquota di potenza dissipata per effetto Joule nella singola fase di rotore, mentre il termine R 2(1 s) I 2 2 = P mf è la potenza meccanica generata da una fase. Tale potenza meccanica può anche essere espressa in funzione della coppia elettromotrice C em all asse e della velocità del rotore Ω r : s P M = 3P mf = C em Ω r Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 26
in cui la presenza del 3 è necessaria perché alla potenza meccanica totale contribuiscono le 3 fasi rotoriche. Si ha, pertanto C em Ω r = 3 R 2(1 s) 2 I s 2 Dal circuito equivalente per fase si può infine ottenere l espressione della coppia elettromeccanica in funzione dello scorrimento: C em = C em = 1 Ω r 3 R 2(1 s) s 1 (1 s) ω p 3R 2 (1 s)s C em ~ 1 2πf 1 p3r 2 s E 2 2 2 R 2 s 2 + X 2d 2 ( E 2 1 m ) R 2 2 + s 2 2 X 2d ( E 2 1 m ) R 2 2 + s 2 2 X 2d Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 27
C em = 3 2π p f 1 ( V 1 m ) 2 sr 2 R 2 2 + s 2 2 X 2d C max C em Tratto instabile Tratto stabile R 2 C avv s k s La caratteristica è lineare per scorrimenti s piccoli: C em ~ 3 La coppia è massima per s k = R 2 X 2d ed è C max = 3 2π La coppia all avviamento (s = 1) è C avv = 3 p V 1 f 1 Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 28 2π 2 2X 2d p ( V 1 f 1 m )2 R 2 R 2 2 +X 2 2d 2π p f 1 ( V 1 m )2 s R 2