INDICE Inroduzione della esi esposa nella esina a parire dal iolo Sviluppo l argomenazione su re esempi 1. Meodo d esausione inrodoo da Eudosso di Cnido e applicao da Archimede di Siracusa nel calcolo dell area del cerchio e del segmeno parabolico 2. Calcolo del lavoro compiuo da una forza fisica, oenuo grazie all inroduzione del calcolo inegrale del 1600 3. Inerpreazione maemaica del fenomeno fisico del circuio elerico: Circuii C analisi descriiva del fenomeno fisico analisi algebrica a parire dal eorema della maglia confrono ra la descrizione fisica del fenomeno e i risulai oenui algebricamene, araverso l uso di grafici Circuii L analisi descriiva del fenomeno fisico analisi algebrica a parire dal eorema della maglia confrono ra la descrizione fisica del fenomeno e i risulai oenui algebricamene, araverso l uso di grafici Circuii LC analisi descriiva del fenomeno fisico analisi algebrica a parire dal eorema della maglia confrono ra la descrizione fisica del fenomeno e i risulai oenui algebricamene, araverso l uso di grafici Conclusione che chiarisca, alla luce dell argomenazione, la esi esposa Valenina Perfei Maemaica e fisica: l asrazione che spiega la concreezza - 2
AEA DEL CECHIO Nel IV sec a.c. Eudosso di Cnido, maemaico della scuola di Plaone, invena in meodo di esausione. La parola esausione deriva dal laino exhaurio che significa svuoare compleamene Queso meodo si basa sull idea cenrale di simare una deerminaa area inscrivendo in essa dei poligoni regolari e raddoppiando ieraivamene i lai, allo scopo di svuoare ogni vola più della meà della pare di area che non è ancora saa svuoaa dal poligono precedene. Il meodo di esausione viene applicao un secolo dopo da Archimede di Siracusa per simare l area del cerchio. Il maemaico inscrivendo e circoscrivendo al cerchio dei poligoni regolari rova che l area del cerchio è compresa ra l area dei poligoni inscrii con n lai e l area dei poligoni circoscrii con n lai; all aumenare del valore del numero n di lai dei poligoni, il valore dell area del cerchio è sempre meno approssimao. an < c < An An = area di poligono con n lai circoscrio alla circonferenza an = area di poligono con n lai inscrio alla circonferenza Valenina Perfei Maemaica e fisica: l asrazione che spiega la concreezza - 3
IL SEGMENTO PAABOLICO Inolre Archimede riesce anche a simare l area del segmeno parabolico SEGMENTO PAABOLICO: presa una qualsiasi parabola e una sua qualsiasi corda, il segmeno parabolico è l area compresa ra la corda sessa e l arco di parabola che essa soende Egli rielabora il meodo di esausione, svuoando l area del segmeno parabolico non con poligoni regolari, bensì con dei reangoli di uguale base e alezza dipendene dall andameno della parabola Archimede applica anche il meodo meccanico, associando quindi ad un area una figura solida con un suo peso, e il principio della leva: da una pare della leva egli appende ui i reangoli in cui ha diviso il segmeno parabolico così da concenrare il peso del segmeno sesso in un unico puno menre dall alra pare della leva appende il riangolo ABC [Ques ulimo è cosruio unendo i due esremi della corda di parenza con un erzo puno della parabola, nel quale passa la angene alla conica parallela alla corda] Perché il sisema sia in equilibrio, Archimede scopre che il fulcro deve essere posizionao ad una disanza di 3 unià di misura dal segmeno parabolico e ad una disanza di 4 unià di misura dal riangolo ABC. Così egli scopre che l area del segmeno parabolico equivale ai 4 dell area del riangolo 3 Valenina Perfei Maemaica e fisica: l asrazione che spiega la concreezza - 4
LA IGOOSITÀ I risulai oenui dai maemaici greci sono imporani ma lasciano aperi alcuni problemi per esempio come calcolare l area compresa ra una curva e l asse delle ascisse se la curva in quesione non è una parabola e non soddisfano le esigenze di rigorosià proprie del pensiero maemaico. Dunque gli sudi coninuano fino a quando, nel 1600, Leibniz e Newon, lavorando in modo indipendene in diversi luoghi d Europa, arrivano ad inrodurre nuovi concei quali infiniesimo, limie, derivae, inegrali che porano alla nascia del calcolo infiniesimale. Il calcolo infiniesimale si divide in calcolo differenziale e calcolo inegrale e la sua applicazione maemaica permee di descrivere ue le caraerisiche punuali di una curva; dal puno di visa fisico ciò significa la possibilià di ricavare valori isananei di fenomeni in evoluzione variabile nel empo per esempio i valori isananei di velocià e accelerazione di un corpo durane il suo moo. Isaac Newon Gofried Wilhelm von Leibniz Valenina Perfei Maemaica e fisica: l asrazione che spiega la concreezza - 5
CALCOLO DEL LAVOO LAVOO: grandezza scalare che è il prodoo dell azione di una forza applicaa ad un corpo per lo sposameno che essa causa. Esso può essere calcolao in due modi: Algebricamene, sapendo che L = Fs * s Geomericamene, calcolando, nel grafico caresiano, l area compresa ra la curva che descrive l equazione della forza e l asse delle ascisse ispeo a ques ulimo caso vediamo re casi: Forza cosane Forza elasica Forza elerica Valenina Perfei Maemaica e fisica: l asrazione che spiega la concreezza - 6
Nei primi due casi il lavoro, dal puno di visa geomerico, è facilmene calcolabile; ma nel erzo caso in cui la forza è proporzionale a 1 - simare l area compresa ra la curva e l asse delle r2 ascisse, crea delle complicazioni. Prima del 1600 l area in quesione veniva calcolaa per approssimazione con il meodo di esausione rielaborao da Archimede per il segmeno parabolico: l area quindi veniva suddivisa in reangoli che avessero ui per base uno sposameno molo piccolo e per alezza il valore massimo o minimo assuno dalla forza in quella deerminaa pare di sposameno. Il calcolo dunque era semplice perché ricondoo ad una somma di aree di reangoli con uguale base e alezza differene; ma il risulao rovao non poeva che essere approssimaivo, dal momeno che si dava all alezza un deerminao valore che non eneva cono della variazione, anche se minima, della forza nello sposameno uilizzao per base. Ma con l inroduzione del conceo di inegrale si riuscì ad eviare ques approssimazione poiché l area compresa ra la curva della forza e l asse delle ascisse divenò facilmene ed esaamene simabile con il calcolo inegrale. 5 1 1 x2 dx Valenina Perfei Maemaica e fisica: l asrazione che spiega la concreezza - 7
CICUITO C = differenza di poenziale agli esremi del generaore V = differenza di poenziale agli esremi del resisore VC = differenza di poenziale agli esremi del condensaore ANALIZZO COSA ACCADE QUANDO CHIUDO L INTEUTTOE (FASE DI CAICA) nell sane 0 ho: VC = 0 (il condensaore è scarico) è araversao da correne massima Dall isane 0 all isane in cui il condensaore è compleamene carico: VC cresce (il condensaore si carica) V diminuisce diminuisce la correne In un isane di empo generico per il eorema della maglia che afferma che la somma algebrica delle differenze di poenziale calcolae agli esremi degli elemeni del circuio è uguale a 0: ε = V + VC = i + Q C In un cero inervallo di empo molo piccolo d lascio fluire una quanià molo piccola di cariche dq. icordando che la correne è definia come il rapporo di carica su empo, posso inerpreare l equazione precedene in ermini differenziali: ε = dq d + Q C equazione differenziale a variabili separabili Quindi da dq + q ε = 0, separo le variabili facendo il denominaore comune d C dq C +d q ε d C = 0 -d (q εc) = dq C d = dq d C C εc q Col calcolo inegrale dico che d = dq 1 * = ln εc q ( 1) + k C εc q C = ln εc q + k viso che εc = Qmassima, sicuramene εc q > 0, posso quindi C ogliere il modulo: C = ln(εc q) + k Valenina Perfei Maemaica e fisica: l asrazione che spiega la concreezza - 8 C = ln (εc q) + ln k = ln(εc q) k Applico la definizione di logarimo e oengo: e C = k(εc q). C è solamene un valore di k che risponde alle caraerisiche del circuio; per ricavarlo ricordo che nell isane 0: = 0 e q = 0. Sosiuisco quesi valori nell ulima equazione rovaa: e 0 = k (εc 0), quindi k = 1 Sosiuisco il valore rovao e C = 1 εc (εc q); semplifico e esplicio q q = εc (1 e εc C )
Viso che v = q e, v = C C= 1 εc (εc q) C VC = ε (1 e C ) Valenina Perfei Maemaica e fisica: l asrazione che spiega la concreezza - 9
Per rovare l espressione algebrica della correne, riprendo q = εc (1 e C ) = Qmax (1 e i = dq quindi i = Qmax (1 e C) = d d Derivo: i = 0 Qmax ( 1 ) C e Facendo denominaore comune i = Qmax Qmax e C. d C, quindi i = εc e 1 C. C Cε e C = ε e C C C ) Valenina Perfei Maemaica e fisica: l asrazione che spiega la concreezza - 10
CICUITO L = differenza di poenziale agli esremi del generaore V = differenza di poenziale agli esremi del resisore VL = differenza di poenziale agli esremi del solenoide ANALIZZO COSA ACCADE QUANDO CHIUDO L INTEUTTOE (FASE DI CHIUSUA) Nel momeno in cui viene chiuso l inerruore, nel circuio inizia a fluire correne; quando passa una correne variabile all inerno del solenoide, in esso si genera un campo magneico variabile, il quale a sua vola genera correne auoindoa (exracorrene di chiusura) nelle spire della bobina. Come dimosra Lenz, quesa nuova correne ha verso opposo alla correne di parenza, quindi il generaore deve compiere del lavoro in più per vincere la correne auoindoa, olre che la resisenza del resisore. Per uilizzare il eorema della maglia come nel circuio precedene, bisogna rovare l espressione della forza eleromorice auoindoa. A queso scopo paro dalla legge di Neumann-Lenz: fem = (B). Nel caso dell auoinduzione (B) = B * N * S,e viso che B = μ0 N l i (B) = μ0 N2 S i (B) = Li,dove L è il coefficiene di auoinduzione, che dipende dalle l caraerisiche della bobina ed è uguale a μ0 N2 S. Viso che so parlando di correne auoindoa, parlo di un i e quindi anche di un (B) (B) = L * i sosiuisco nella legge di Neumann-Lenz e oengo che fem auoindoa = L i Quindi ornando al eorema della maglia posso scrivere che L di = i d Faccio il denominaore comune e separo le variabili d l L = di ε i Per poer essere faciliaa nell inegrazione di quesa equazione, compio dei calcoli per oenere al denominaore ( - i) e al numeraore la sua derivaa: di ( ) d moliplico enrambi i membri per (-) = di ( ) = d(ε i) (ε i) L d(ε i) ε i = L d. Inegro d(ε i) ε i = d e oengo ln(ε i) = + k L L applicando la definizione di logarimo ho ε i = e L +k e espliciando i, rovo che i = ε e L e k. Valenina Perfei Maemaica e fisica: l asrazione che spiega la concreezza - 11
Voglio rovare il valore di k, l unico che risponde alle caraerisiche del circuio, e per farlo ricordo che nell isane 0: = 0 e i = 0, quindi 0 = ε e0 e k e k = Dunque l espressione della correne nel circuio L è i = ε (1 e L ) Valenina Perfei Maemaica e fisica: l asrazione che spiega la concreezza - 12
CICUITO LC V = differenza di poenziale agli esremi del resisore VL = differenza di poenziale agli esremi del solenoide VC = differenza di poenziale agli esremi del condensaore ANALIZZO COSA SUCCEDE QUANDO CHIUDO L INTEUTTOE E SOPPIMO IL GENEATOE Paro dall ipoesi che la resisenza del circuio è piuoso bassa. La correne cresce finché il condensaore non è caricao compleamene, viso che ho soppresso il generaore le cariche ripercorrono il filo conduore nel verso opposo verso l alra lasra del condensaore; così si ha carica massima negaiva. Ma la carica massima posiiva è minore della carica massima posiiva poiché la correne andando verso l alra lasra del generaore hanno dovuo compiere del lavoro per vincere la resisenza del resisore e la correne auoindoa generaasi nel solenoide. Quando le cariche sono giune ue alla seconda lasra si fermano per un isane e poi ricominciano il loro percorso verso la prima lasra. Queso procedimeno si sussegue moleplici vole, e ogni vola la correne che scorre nel circuio è sempre minore. Dal eorema della maglia, inerpreao con i ermini del calcolo differenziale: VC + V + VL = 0 perché ho soppresso il generaore e quindi = 0 dq di + L d d q C dq + d dq d ( d + L ) q d C dq + + L d2 q d d 2 Valenina Perfei Maemaica e fisica: l asrazione che spiega la concreezza - 13 q C + equazione differenziale del secondo ordine, lineare e omogenea, a coefficieni cosani Del secondo ordine = sono preseni derivae seconde Lineare = y ha grado 1 Omogenea = l equazione è pari a 0 A coefficieni cosani = nell equazione ui i ermini preseni ecceo le variabili e i loro differenziali sono cosani Quindi ho Lq"() + q () + q() = 0, oppure q"() + q () + 1 q() che in ermini più C L CL generali si può scrivere come q" + Aq + Bq = 0 Una delle proprieà di queso ipo di equazione è che ad essa è associaa un equazione caraerisica z 2 + Az + B Se z1 e z2 sono soluzioni reali e disine (quindi > 0), l inegrale generale che risolve l equazione differenziale è y = e x Se z1 e z2 sono soluzioni reali coincideni (quindi = 0), l inegrale generale che risolve l equazione differenziale è y = xe x
Se z1 e z2 sono soluzioni complesse e disine (quindi < 0), l inegrale generale che risolve l equazione differenziale è y = Ae x sin (φ + x) [con z che è numero immaginario z = + i ] Nel caso che so analizzando le soluzioni sono complesse; prendo quindi in analisi l ulimo caso: calcolando che le soluzioni dell equazione caraerisica sono z1,2 = ± iω, (essendo ω = 4L C 2 ) rovo che l inegrale generale è q = De cos (ω φ), e, viso che i è la derivaa di q rispeo al empo, derivo l inegrale generale di q e rovo che l espressione dell inensià di correne è i = [ cos(ω φ) + ωsin (ω φ)] De, con D e cosani da deerminare. Per deerminarle considero le condizioni iniziali: in 0: = 0, q = q0, i = 0 q0 = De 0 cos(0 ) = D cos( ), quindi D = q0 cosφ. Ora prendo in considerazione la correne e nelle condizioni iniziali ho: 0 = [ cosφ + ωsin ( φ)] De0 = [ q0 cosφ ωsinφ] cosφ = q0 = q0 ω q0 gφ gφ =. ω ω q0 sinφ cosφ iparendo da i = [ q0 cos(ω φ) + ωsin (ω φ)] cosφ e e svolgendo le differenze di seno e coseno, oengo: i = [ = [ q0 = [( q0 = [( q0 q0 (cosωcosφ + sinωsinφ) + ω(cosωsinφ cosφsinω)] cosφ e + sinωsinφ ) + ωq0 (cosωsinφ cosφsinω )] e (cosωcosφ cosφ cosφ q0 cosω + sinω q0 cosω + sinω = (sinω q0 ω Quindi i = q0 sinω ( 2 ωq0 sinω) e 4L 2 ω i = q0 sinω ( 2 + 4L 2 ω 2 poiché ω 2 = 1 4L 2 (4L 4L 2 ω cosφ cosφ gφ) + (cosω ωq0 gφ ωq0 sinω)] e ) + (cosω ωq0 ω = ( 2 4L 2 ω ω ωq0 sinω)] e + ω) q0e sinω + ω) e e facendo il denominaore comune oengo che ) e C 2 ) ho che i = q0 sinω [ 2 +4L2 = q0 sinω [ C2 +4L+C 2 ] e = q0 sinω [ 1 4L 2 ωc LωC ] e 1 4L 2 (4L C 2 ) 4L 2 ω ] e Valenina Perfei Maemaica e fisica: l asrazione che spiega la concreezza - 14
In conclusione si può affermare che i = q LCω e sinω BIBLIOGAFIA FONDAMENTI DI CALCOLO ALGEBICO E GEOMETIA ANALITICA (M. Bergamini; A. Trifone; G. Barozzi) LE LEGGI DELLA FISICA VOL. A (A. Caforio; A. Ferilli) LE LEGGI DELLA FISICA VOL. B (A. Caforio; A. Ferilli) LE EQUAZIONI DIFFEENZIALI NELLO STUDIO DEI CICUITI ELETTICI (Giovanni Mea) NUOVI ELEMENTI DI MATEMATICA (Dodero; Baroncini; Manfredi) EQUAZIONI DIFFEENZIALI TASFOMAZIONE DI LAPLACE (V.E. Bononcini; A. Forlani) Valenina Perfei Maemaica e fisica: l asrazione che spiega la concreezza - 15