Introduzione alla Gestione dei Rischi Finanziari

Introduzione alla Gestione dei Rischi Finanziari Maria Letizia Guerra Università degli Studi di Urbino Carlo Bo Facoltà di Economia La dispensa raccoglie il materiale di studio per la preparazione dell esame nell insegnamento Metodi Computazionali per i Mercati Finanziari, nel corso di laurea in Economia, indirizzo mercati finanziari, Università di Urbino. Gli articoli e le monografie distribuite dalla docente durante il corso completano la dispensa e ulteriori approfondimenti sono da ricercare anche nella bibliografia.

2

Indice 1 Richiami di Matematica Finanziaria 5 1.1 Indicatoridirendimento... 7 1.2 Indicatoridirischiosità... 8 1.3 Indicatoriperilportafoglio... 10 1.4 Lastrutturadeirendimentiperscadenze... 11 2 I Rischi 15 2.1 IlRischiodiMercato... 15 2.1.1 IlValueatRisk(VaR)... 16 2.1.2 EstensionedelconcettodiValueatRisk... 20 2.2 IlRischiodiCredito... 23 2.3 IlRischiodiLiquidità... 27 2.3.1 Microstrutturadeimercati... 31 2.3.2 Indicatorediliquidità:Bid-askspread... 32 3 I Titoli Derivati 35 3.1 Forward... 35 3.2 PronticontroTermine... 37 3.3 Futures... 37 3.3.1 Futuressutassidiinteresse... 42 3.4 Floater... 44 3.5 Swap... 45 3.6 Opzioni... 50 3.6.1 Hedge... 55 3.6.2 Spread... 55 3.6.3 Combinazioni... 58 3.6.4 Valutazione dell Opzione... 59 3.6.5 ModelloBinomiale... 60 3.6.6 ModellodiBlack-Scholes... 66 3.6.7 Metodi Monte Carlo per la Valutazione di Opzioni Finanziarie... 71 3.6.8 OpzionisuiTassid Interesse... 73 3.6.9 AlcuneOpzioniEsotiche... 74 3.7 DerivatiinItalia... 76 3

4 INDICE 3.8 Nota sul Nobel per l Economia 2003... 78 4 Esercizi 81 4.1 RichamidMatematicaFinanziaria... 81 4.2 ForwardeFutures... 81 4.3 Swap... 82 4.4 Opzioni... 84

Capitolo 1 Richiami di Matematica Finanziaria La matematica finanziaria è la disciplina che si occupa dei calcoli relativi allo scambio tra importi monetari pagabili in epoche diverse; cercheremo di ricordare in questo ambito solo gli elementi necessari per proseguire la lettura dei capitoli successivi. Si definisce regime di capitalizzazione una relazione matematica che descrive il formarsi dell interesse al trascorrere del tempo; tale processo di formazione degli interessi proietta in avanti nel tempo, rispetto ad oggi, il valore di un capitale aggiungendo gli interessi maturati. Si definisce regime di attualizzazione (o sconto) la relazione che porta indietro nel tempo il valore di un capitale disponibile in futuro rispetto ad un determinato tassodiscontoeregimefinanziario. I regimi di capitalizzazione più utilizzati sono quello semplice e quello composto e accenneremo brevemente anche a quello continuo che, come vedremo, è quello utilizzato nella moderna teoria finanziaria. Nella capitalizzazione semplice gli interessi crescono in misura direttamente proporzionale al tempo e in generale è il regime utilizzato per operazioni di durata inferiore all anno. La relazione che lega il montante al capitale è la seguente: M = C (1 + it) Se si possiede un certificato di deposito emesso da una banca per un valore nominale di 3000 euro, durata 6 mesi e tasso di interesse 10% lordo annuo, la somma totale dovuta al cliente al lordo della ritenuta e alla scadenza del titolo sarà: µ M = 3000 1+0.1 6 =3150 12 Simmetricamente si può ricavare il valore attuale di un capitale disponibile 5

6 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI MATEMATICA FINANZIARIA ad un epoca futura come: V 0 = C = M (1 + it) Geometricamente la relazione tra tempo e montante nella capitalizzazione semplice è una retta con coefficiente angolare pari al tasso d interesse i eche interseca l asse delle ordinate nel valore pari al capitale iniziale. Nel RIS (regime di capitalizzazione degli interessi semplici) ricavare un tasso periodale è immediato poichè è sufficiente dividerlo o mltiplicarlo per il numero di periodi di riferimento; un tasso annuale del 3% corrisponderà ad un tasso mensile: i 12 = 0.03 =0.0025 = 0.25% 12 Nella capitalizzazione composta gli interessi generati in un certo periodo vanno ad accrescere il capitale iniziale per fruttare nuovi interessi nel periodo successivo. Tale regime è quello più utilizzato nelle valutazioni finanziarieela relazione che lega la somma odierna a quella futura è: M = C (1 + i) t Simmetricamente è possibile ricavare il valore attuale: V 0 = C = M (1 + t) i Geometricamente la relazione tra tempo e montante in questo regime è di tipo esponenziale poichè il valore del montante aumenta in misura più che proporzionale al trascorrere del tempo. Nel RIC (regime di capitalizzazione degli interessi composti) per calcolare tassi equivalenti relativi a periodi diversi si utilizza la seguente relazione: i k =(1+i) 1 k 1 (1.1) dove con i k si indica il tasso relativo alla k-esima frazione dell anno, ad esempio i 4 è il tasso trimestrale e i 6 è il tasso bimensile. Ad esempio un tasso annuale del 12.5% corrisponde ad un tasso semestrale: i 2 =(1+0.125) 1 2 1=6.067% La relazione inversa alla (1.1) si utilizza per calcolare tassi riferiti a periodi più lunghi di quello dato: i =(1+i k ) k 1 (1.2) ad esempio il tasso biennale corrispondente ad un triemestrale i 4 =3.2% èdato da: i biennale =(1+0.032) 8 1=28.66%

1.1. INDICATORI DI RENDIMENTO 7 Nella capitalizzazione continua, infine, la relazione che lega montante a capitale è: M = Ce it e si assume che la frequenza di capitalizzazione tende ad essere infinita e quindi avviene in modo continuo. Nel seguito ci riferiremo ad i indicandolo con R (rate) per uniformità con la notazione internazionale. 1.1 Indicatori di rendimento Il rendimento di un obbligazione è il prodotto di due componenti: quella di reddito staccato (interessi che maturano al tasso nominale pagati tramite le cedole) e quella di reddito incorporato (differenza tra il prezzo di smobilizzo e quello di acquisto). In particolare il calcolo del rendimento di un titolo a tasso fisso può essere fatto seguendo tre diversi criteri: rendimento nominale, rendimento immediato e rendimento effettivo a scadenza. Il primo si calcola come rapporto tra la cedola e il valore del rimborso e non tiene in considerazione il corrispondente prezzo di acquisto. Il rendimento immediato si calcola come rapporto tra la cedola e il corso secco; il corso secco è il prezzo abitualmente quotato nei listini di borsa 1 ed esprime il solo valore capitale del titolo, al netto del rateo di interessi maturato. Il pezzo tel quel comprende invece, oltre al valore capitale del titolo, gli interessi in corso di maturazione. Per evidenti motivi, il rendimento effettivo a scadenza è quello maggiormente utilizzato ed è quel tasso i 0 che soddisfa la seguente uguaglianza: nx F k P = (1 + i 0 ) t k k=1 (1.3) dove P è il prezzo tel quel del titolo e F k sono i singoli flussi attesi del titolo. Con un esempio vediamo meglio come le tre interpretazioni diano luogo a risultati differenti. Si dispone di un titolo con scadenza 2 anni, valore nominale 100, cedola semestrale 5.5%, a cui corrisponde un interesse annuo nominale dell 11%, prezzo corrente (corso secco) pari a 98. Se si effettua la valutazione ad un mese dall emissione e si tralascia nei calcoli l effetto fiscale, si ottengono i seguenti indicatori di rendimento annuali lordi: rendimento nominale = cedola valore di rimborso = 11 100 = 11% 1 I mercati azionari di Borsa Italiana si articolano in: Mercato Telematico Azionario (MTA, comunemente Borsa), Nuovo Mercato e Mercato Ristretto. Dall aprile 2001 il Mercato Telematico Azionario è stato suddiviso nei segmenti: blue chips, star e segmento di borsa ordinario. Blue Chips è il segmento dedicato alle azioni con capitalizzazione superiore ad un livello soglia di 800 milioni di euro, ne fanno parte le azioni appartenenti al Mib30. Star (segmento titoli con alti requisiti) è rivolto alle aziende con capitalizzazione medio-piccola operanti nei settori più tradizionali dell economia. Il segmento di borsa ordinario è suddiviso a sua volta in due classi in funzione della liquidità dei titoli.

8 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI MATEMATICA FINANZIARIA rendimento immediato semestrale = cedola corso secco = 5.5 98 =0.056122448 rendimento immediato = (1 + 0.056122448) 2 1=11.54% rendimento effettivo a scadenza, ottenuto risolvendo rispetto ad i la seguente equazione: 98.916 = 5.5 (1 + i) + 5.5 (1 + i) 2 + 5.5 (1 + i) 3 + 105.5 (1 + i) 4 (1.4) in cui il prezzo tel quel è stato ricavato sommando il corso secco pari a 98 e il rateo di interessi pari a 0.916.poichè la valutazione viene fatta ad un mese e quindi 1 65.5 =0.916. La soluzione della (1.4) può essere fatta per via numerica o più semplicemente utilizzando la funzione TIR.COST di Excel, si tratta infatti di trovare gli zeri positivi del polinomio: 98.916x 4 5.5x 3 5.5x 2 5.5x 5.5 =0 e in questo caso l unico zero accettabile risulta i =5, 81% che è un tasso lordo semestrale e va convertito in annuale con la solita relazione vigente in regime composto: (1 + 0.0581) 2 1=11.96% La relazione esistente tra il prezzo e il tasso effettivo di rendimento è inversa ed è rappresentabile da una curva convessa: se si verifica un rialzo dei tassi nel mercato allora il prezzo del titolo a cedola fissa deve diminuire. 1.2 Indicatori di rischiosità La funzione di tali indicatori è quella di qualificare il rendimento di un titolo associando ad esso una misura di rischiosità; tale rischiosità non è altro che la variazione del prezzo di mercato indotta dalla volatilità dei rendimenti a scadenza. Un grossolano indicatore di rischio potrebbe essere la vita residua poichè al crescere di quest ultima aumenta la probabilità che si verifichino oscillazioni impreviste nei tassi d interesse e quindi aumenta il rischio di subire le conseguenze negative della volatilità. Il solo fattore temporale non può però essere assunto come valido indicatore poichè non tiene conto dei flussi futuri, occorre allora introdurre un indicatore di durata e di volatilità dei prezzi dei titoli: la duration oduratamediafinanziaria, introdotta da Macaulay nel 1938. La duration è definita come la media delle scadenze dei flussi attesi ponderati nel seguente modo: D = nx k=1 t k F k (1+i) t k nx k=1 F k (1+i) t k (1.5)

1.2. INDICATORI DI RISCHIOSITÀ 9 dove nx k=1 F k (1+i) t k non è altro che il prezzo tel quel P. La duration esprime quindi deitempi: seitempidistaccodellacedolasonoespressiingiornianchela duration sarà espressa in giorni e così via. Un titolo sarà tanto più rischioso quanto maggiore è la sua duration; essa sarà un valore sempre positivo e sempre minore o uguale alla vita residua dell obbligazione. Vediamo il calcolo della duration nel caso del titolo a cedola fissa (ad esempio un BTP) citato in precedenza con scadenza due anni, valore nominale 100, tasso nominale annuo 11% con cedole semestrali 5.5% e prezzo di acquisto (tel quel) pari a 98. t k (semestri) flussi flussi attualizzati peso % sul prezzo t k peso 1 4.8125 2 4.56 3 4.65% 4 0.047 5 2 4.8125 4.38 4.47% 0.089 3 4.8125 4.15 4.23% 0.127 4 104.5625 6 84.91 7 86.65% 3.47 8 totali 98 (prezzo tel quel) 100% 3.733(semestri) duration Volendo esprimere la duration (pari a 3.733 semestri) in anni, è sufficiente dividere a metà quella espressa in semestri (1.8665 anni) poichè all interno dell anno si considera il regime semplice. Le grandezze che influenzano il valore della duration sono: la grandezza dei flussi F k e la loro distribuzione temporale. In particolare esiste una relazione di proporzionalità diretta tra la periodicità delle cedole e il valore della duration; se da un titolo a cedola annuale si passa ad uno a cedola semestrale la duration si abbassa poichè una parte dei flussi cedolari vengono anticipati. il tasso di attualizzazione. La relazione tra tasso e duration è inversa, all aumentare del tasso diminuirà infatti la duration. la vita residua del titolo preso in esame. La duration diminuisce per effetto del semplice scorrere del tempo. Un altra importante interpretazione della duration è quella che la considera un indicatore di volatilità dei prezzi dei titoli nel mercato. 2 I singoli flussi sono pari alla cedola al netto della ritenuta fiscale del 12.5%, 5.5 0.875 = 4.8125 3 4.8125 (1+0.055) =4.56 4 4.56 98 100 = 4.65% 5 1 4.65% =0.047 6 100 Il flusso al quarto periodo è dato dalla somma della cedola netta e del nominale al netto della ritenuta sullo scarto di emissione:4.8125 + 100 [(100 98) 12.5%] = 104.5625 7 104.5625 (1+0.055) 4 =84.91 8 4 86.65% =3.47 100

10 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI MATEMATICA FINANZIARIA Per volatilità si intende comunemente la variazione istantanea del prezzo di un titolo conseguente ad un cambiamento istantaneo dei tassi di mercato. La variazione istantanea può essere calcolata tramite la derivata della funzione che lega il prezzo e il rendimento nel seguente modo: D = dp 1+i di P ovvero: dp P = D di (1.6) 1+i D dove l espressione 1+i è detta duration modificata e consente di stimare la variazione percentuale del prezzo al variare del rendimento a scadenza. La relazione in (1.6) può esere riscritta per esplicitare al meglio la proprietà che la duration modificata ha nel descrivere la variazione relativa del prezzo conseguente ad una variazione del rendimento: P P DM (i i) P dove P e i indicano rispettivamente il livello iniziale del prezzo e del rendimento a scadenza, P e i quelli successivi alla variazione e DM èladurationmodificata. In generale l evidenza empirica mostra che nelle stime effettuate con la duration si verifica un errore per eccesso in caso di rialzo dei tassi e un errore per difetto in caso di riduzione, tuttavia la duration è un buon indicatore di volatilità poichè maggiore è il suo valore e più pronunciata risulta la reattività dei prezzi a variazioni del rendimento. Nelle scelte di titoli per la composizione del proprio portafoglio, a parità di rendimento e duration è possibile prendere in considerazione la convessità del titolo cioè il grado di curvatura prezzo/rendimento: i titoli più convessi (con maggiore curvatura) risultano più appetibili in quanto il loro prezzo aumenta in caso di ribasso dei tassi e non scende troppo in caso di rialzo degli stessi. La convessità viene calcolata con una formula che non è intuitiva come quelle viste finora: C = nx tk + t 2 k k=1 F k (1+i) t k P 1.3 Indicatori per il portafoglio Gli indicatori di rendimento e di volatilità relativi ad un singolo titolo possono essere estesi all analisi di portafoglio mediante il calcolo di medie ponderate. In particolare la duration modificata media DM p del portafoglio corrisponde alla media delle duration modificate dei titoli componenti, ponderata per l incidenza di ogni titolo sul portafoglio, vale a dire: DM p = nx j=1 DM j P j VN j VM p

1.4. LA STRUTTURA DEI RENDIMENTI PER SCADENZE 11 dove P j èilprezzotelqueldelj-esimotitolo,vn j è la quantità in portafoglio del j-esimo titolo, DM j è la duration modificata del j-esimo titolo e VM p èil valore di mercato del portafoglio. La misura del rendimento medio del portafoglio i p è più complessa in quanto irendimentiascadenzadeisingolititolivengonopesatiinfunzionedeiprodotti del valore di mercato e della duration modificata in modo da attribuire una incidenza superiore ai titoli che hanno una duration più alta. Analiticamente si ha: i p = nx j=1 i j P j VN j VM p DM j DM p Vediamo un esempio di calcolo della duration modificata e del rendimento di un portafoglio composto da tre titoli. Nella tabella si riportano le caratteristiche dei tre titoli: Titoli Cedola Prezzo Tasso Duration (semestri) Duration Modificata BOT 6mesi - 96.15 4% 1.0 0.9615 BTP 4 anni 6.0% 106.46 5% 6.6321 6.3162 BTP 8 anni 5.0% 89.89 6% 11.0982 10.47 Vediamo ora il calcolo della duration modificata del portafoglio: Titoli Valore Nom Prezzo Controvalore Composizione P DM DM*pesi/100 BOT 6mesi 100000 96.15 96153.8 19.34% 0.9615 0.186 9 BTP 4 anni 250000 106.46 266158 53.54% 6.3162 3.3815 BTP 8 anni 150000 89.89 134841.2 27.12% 10.47 2.8397 Portafoglio 500000 497153 100% 6.4072 Per il calcolo del rendimento medio dell ipotetico portafoglio: Titoli Tasso DM Composizione P DM/DM p Rendimento BOT 6mesi 4% 0.9615 19.34% 0.1501 0.1161% 10 BTP 4 anni 5% 6.3162 53.54% 0.9858 2.6388% BTP 8 anni 6% 10.47 27.12% 1.6341 2.6595% Portafoglio 6.4072 100% 5.4144% 1.4 La struttura dei rendimenti per scadenze La struttura dei rendimenti per scadenze (term structure) è uno strumento di analisi del mercato monetario e finanziario finalizzato alio studio delle relazioni tra rendimenti (tassi) e scadenze (tempi). Essa viene solitamente usata: a) per valutare la correttezza dei prezzi dei titoli obbligazionari espressi dal mercato, al fine di individuare i titoli che possono considerarsi sovra/sottostimati in base 9 (19.34 0.9615) /100 = 0.1859541 = 0.186 10 4 (19.34 0.1501) /100 = 0.1161%

12 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI MATEMATICA FINANZIARIA al confronto tra il rendimento a scadenza che li caratterizza e quello di titoli simili per durata; b) nell analisi rischio/rendimento, mediante simulazioni dei possibili risultati connessi all assunzione di posizioni in titoli per un determinato orizzonte temporale; c) per il pricing degli strumenti derivati; per quanto riguarda i futures, ad esempio, la forma della term structure determina la relazione tra i prezzi sul mercato a pronti e sul mercato future. Poiché esistono diverse nozioni di rendimento in relazione alla tipologia dei tassi presi in considerazione (spot, forward, yield), è opportuno fare qualche precisazione in merito. Il rendimento effettivoascadenza(yieldtomaturity) è quel tasso che eguaglia la somma dei valori attuaii delle prestazioni attese del titolo al suo prezzo tel quel. Disponendo di tale tasso per un campione di titoli obbligazionari è possibile costruire la relazione tra rendimenti a scadenza e durata residua espressa in un dato momento dal mercato, che fornisce una visione d insieme della struttura dei prezzi. Tuttavia, le informazioni che possono trarsi dalla yield to maturity curve possono essere forvianti per le limitazioni insite nella costruzione stessa di tale curva, che è specifica del titoli scelti per le varie scadenze (ogni punto della curva dipende da caratteristiche proprie del titolo) a non consente confronti tra strumenti finanziari disomogenei (per durata, cedola, etc.). In particolare, la curva dei tassi a scadenza risente di un incoerenza di fondo, nel senso che, poiché ogni flusso finanziario viene attualizzato a un tasso pari allo yield to maturity del titolo cui è associato, è possibile che flussi uguali che maturino a una stessa data vengano valutati in modo diverso perchè associati a titoli diversi. Sarebbe come dire che 100 euro pagati tra un anno da uno stesso debitore hanno un valore che può variare a seconda che siano dovute a titolo di interesse su un debito triennale piuttosto che decennale! Per questo ai fini di pricing il mercato correla rendimenti a scadenze facendo riferimento ad una curva diversa: la curva dei tassi spot. I tassi spot sono i rendimenti effettiviascadenzadeititolidipurosconto(zerocouponbond), ossia titoli senza cedola che pagano gli interessi in un unica soluzione unitamente alla restituzione del capitale, e che pertanto non danno alcun flusso intermedio tra l emissione a l estinzione. II loro valore si ricava risolvendo rispetto al tasso la relazione generale nx F k P = (1 + i 0 ) t (1.7) k e sarà pertanto: s k = k=1 µ 1 Ck t k 1 P dove C k è il valore di rimborso del titolo, s k il tasso spot relativo alla k-esima scadenza, t k la scadenza del titolo e P il prezzo. Il vantaggio di costruire la curva dei rendimenti per scadenza utilizzando i tassi spot anzichè gli yield risiede nel fatto che gli zero-

1.4. LA STRUTTURA DEI RENDIMENTI PER SCADENZE 13 coupon non dipendono dalla cedola e permettono così di individuare in modo univoco la relazione tra rendimenti e scadenze. A titolo di esempio si supponga di valutare un titolo con cedola annuale pari al 10% con durata residua 3 anni, quotato 94 nel mercato in un mercato in cui si suppone che la curva dei tassi spot a tre anni sia: tasso spot 1 anno: 10%, tasso spot 2 anni: 11%, tasso spot a 3 anni: 12%. Il prezzo corretto del titolo risuta in realtà essere: 10 (1 + 0.10) + 10 (1 + 0.11) 2 + 110 (1 + 0.12) 3 =95.5 che è quindi sottovalutato sul mercato e quindi l operatore potrebbe essere interessato ad acquistarlo.

14 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI MATEMATICA FINANZIARIA

Capitolo 2 IRischi Il concetto di rischio 1 è strettamente legato alla figura dell intermediario finanziario che negli ultimi anni ha visto crescere la propria capacità di influenzare il mercato; oggi infatti l intermediario può creare prodotti derivati e offrire pacchetti integrati per la gestione del rischio. 2.1 Il Rischio di Mercato Il concetto di rischio di mercato indica l insieme degli effetti delle fluttuazioni dei prezzi nei mercati sulle prospettive future (guadagni o perdite) nell attività di intermediazione. Nell ambito del rischio di mercato possiamo individuare alcune sotto tipologie particolarmente significative: rischio su azioni; rischio di tasso; rischio di cambio; basis risk. Il rischio su azioni è il rischio associato alla gamma dei prodotti riferiti a titoli azionari e indici di mercato. A seconda del tipo di informazione che vogliamo rappresentare sui rischi del portafoglio azionario possiamo limitare l analisi alle fluttuazioni complessive del prezzo di ogni singola azione, oppure possiamo scomporre tali fluttuazioni utilizzando le tecniche APT a CAPM distinguendo le componenti di rischio sistematico e rischio specifico. Il rischio di tasso è rappresentato dall incertezza associata all andamento dei tassi di interesse ed è misurato dall impatto che tale andamento ha sui flussi di cassa e sul valore di mercato delle attività e passività. Il rischio di cambio è 1 More details in: http://www.riskglossary.com 15

16 CAPITOLO 2. I RISCHI rappresentato dal rischio associato a una posizione in divisa estera per effetto di movimenti sfavorevoli nei cambi. Il basis risk è il rischio connesso all uso di prodotti derivati utilizzati per coprire posizioni in prodotti primari. 2.1.1 Il Value at Risk (VaR) Prima degli anni 90, il panorama delle tecniche di valutazione dei rischi finanziari era radicalmente diverso da quello che incontriamo oggi nelle unità di controllo del rischio. I paradigmi utilizzati rispecchiavano un sistema di intermediazione finanziaria nel quale gran parte del rischio finanziario era legato, oltre al rischio di insolvenza delle controparti, alla cosiddetta attività di trasformazione delle scadenze, cioe l attività di raccolta di fondi su scadenze diverse da quelle di impiego. Si tratta di un attività tipica dell intermediazione bancaria tradizionale, che conduce direttamente ai concetti di maturity mismatching (disallineamento delle scadenze): una variazione dei tassi influenza il differenziale tra flussi di interessi attivi e passivi dell intermediario; duration mismatching (disallineamento della durata media finanziaria): una piccola variazione dei tassi modifica il valore di mercato delle attività in misura diversa rispetto alla variazione di valore delle passività. A partire dagli anni novanta si è diffuso un importante strumento di analisi dei rischi finanziari che va sotto il nome di Value at Risk (VaR) e che ha dato via alle moderne tecniche di risk management. Ben presto questo nuovo attore ha monopolizzato la scena, sia nel dibattito sulla gestione del rischio sia nell operatività quotidiana degli intermediari finanziari. Il concetto di Value at Risk è basato in maniera fondamentale su strumenti del calcolo delle probabilità: nella definizione più comune il Value at Risk è la perdita di valore di un portafoglio in un determinato lasso di tempo, a un certo livello di probabilità. In concreto, se il lasso di tempo prescelto è un giorno, il VaR è la perdita di valore che è probabile osservare, per esempio a un livello di probabilità del 95%, in una giornata: in questo particolare caso, il VaR è definito Daily Earnings at Risk (DEaR), e cioè reddito giornaliero a rischio. Il significato operativo di questa misura è la quota di capitale che l intermediario deve tenere a disposizione per far fronte a queste perdite eventuali per un certo lassoditempo.e chiarocheilfattoretempoentrainquestamisuradirischio come il periodo necessario a smobilizzare la posizione: cosi, nel DEaR misuriamo la perdita che otterremmo sul valore di una posizione, se questa venisse chiusa al termine della giornata. La scelta del tempo di smobilizzo è dunque legata alla capacità del mercato di assorbire la posizione che viene chiusa, una caratteristica nota come liquidity, e sulla quale torneremo piu a fondo in seguito. Per ora, ci basta sottolineare che il Value at Risk fornisce risposta alla domanda: di quanto capitale abbiamo bisogno per avere una buona probabilità di resistere a movimenti avversi del mercato nel tempo necessario a smobilizzare la posizione? L innovativa indicazione della probabilità di perdita ci permette quindi di determinare i mezzi liquidi da accantonare per far fronte a eventuali movimenti avversi del mercato. Sotto questo profilo, il concetto di Value at Risk può

2.1. IL RISCHIO DI MERCATO 17 essere ricondotto a quello del margine nell operatività dei mercati dei contratti derivati. Quando accediamo ad una posizione su tali mercati, infatti, il broker ci chiede a titolo di cauzione un deposito di titoli con elevato grado di liquidità (moneta o titoli di stato), noto come margine, in modo da poter garantire che eventuali perdite sulla posizione su un lasso di tempo necessario a chiudere la posizione stessa vengano assorbite da tale margine: nell ipotesi in cui le perdite erodano parzialmente le somme presenti su questo deposito, il broker richiede (margin call) la reintegrazione del margine stesso, salvo chiudere la posizione se non riceve riscontro a tale richiesta. E chiaro che il ruolo di questo deposito è quello di garantire l integrità del mercato a fronte di difficoltà finanziarie da parte degli investitori. Nello stesso modo, il ruolo del capitale accantonato a sostegno dell operatività di un unità di business di un intermediario finanziario è quello di garantire l intermediario stesso di fronte a difficoltà finanziarie. Il Value at Risk (VaR) è una misura della perdita potenziale di capitale che può insorgere, a un dato livello di confidenza e in un intervallo di tempo definito, a causa di movimenti avversi nelle variabili finanziarie rilevanti. Un portafoglio il cui VaR è stato valutato a un livello di fiducia del 95% non dovrebbe subire perdite superiori a quelle stimate in 95 casi su 100. Il calcolo del capitale a rischio nella metodologia VaR richiede i seguenti passi: valutazione della posizione a rischio (tasso, cambio..) per ogni unità operativa; calcolo della volatilità storica o implicita e delle correlazioni fra i fattori di rischio; valutazione del tempo minimo di liquidazione per tipologia di posizione; scelta del livello di probabilità (o intervallo di confidenza). Il capitale a rischio, ovvero la massima perdita potenziale per il livello di probabilità stabilito, è dato dalla combinazione delle quattro componenti sopra descritte. Se con V t t =1, 2,..., n rappresentiamo la serie storica del rendimento (o del logrendimento) della nostra posizione finanziaria V, siha: P =[V n+1 < VaR]=α essendo α la probabilità di aver una perdita maggiore di VaR. Il Value at Risk è quindi un quantile corrispondente in genere al 5% o all 1% della distribuzione di probabilità del rendimento della posizione finanziaria V su un orizzonte temporale prefissato (un giorno, una settimana, ecc.) Adifferenza del DEaR, il concetto di VaR tiene conto del fatto che, sebbene il valore mark to market delle posizioni possa variare in maniera brusca, non è possibile disfare immediatamente, nell arco di una giornata lavorativa, posizioni di dimensioni rilevanti, a meno di subire un forte impatto di prezzo (price impact), cioè un ribasso (rialzo) abnorme del mercato all arrivo dell ordine di vendita (acquisto). Il concetto di price impact appartiene alla letteratura sulla microstruttura dei mercati finanziari (la branca dell economia che studia l organizzazione e l architettura del mercati finanziari e il suo effetto sul comportamento degli operatori e sul processo di formazione del prezzo). Le tecniche di valutazione del rischio basate sul VaR non tengono conto in maniera

18 CAPITOLO 2. I RISCHI esplicita di tali effetti di microstruttura (e quindi differenze nell organizzazione e nell efficienza dei mercati e differenze di liquidity dei titoli), e queste vengono rappresentate assumendo che il portafoglio venga smobilizzato in un tempo sufficiente a evitare turbative sul mercato. Tale tempo di smobilizzo deve essere scelto all inizio dell analisi per ogni diverso portafoglio in base a considerazioni circa il mercato e la liquidità dei titoli. Le direttive impartite dal Comitato di Basilea nel1986 raccomandano comunque l impiego di un tempo di smobilizzo non inferiore a 10 giornate lavorative. Quando la misura del rischio avviene su un orizzonte temporale di investimento superiore al giorno, la massima perdita potenziale, cioe il VaR, si calcola moltiplicando il DEaR per la radice quadrata del numero di giorni di detenzione: questa pratica è basata sull assunzione che gli shock che raggiungono il mercato siano indipendenti. Il calcolo del DEaR per un singolo flusso di cassa nell approccio parametrico richiede la determinazione dei seguenti elementi: il valore di mercato dello strumento o della posizione, che indicheremo con V x ; la sensibilità di tale valore alle variazioni del fattore di rischio, dv/di; la volatilità del fattore di rischio i ponderata per il livello di confidenza prescelto nell ipotesi di normalità della distribuzione dei rendimenti e/o dei cambi. Esempio. Supponiamo di detenere una posizione in euro pari a 46, 6 milioni di euro in un (ipotetico) zero coupon bond decennale. Supponiamo di aver stimato che la volatilità del rendimento a scadenza 10 anni non sia superiore a ±1, 995% al 90% di probabilità. Per calcolare la corrispondente variazione percentuale sul valore da noi posseduto possiamo applicare la seguente formula: DEaR = V x D 1+i i σ di i Supponendo che la duration modificata sia pari a 9.26 e che il tasso di rendimento a 10 anni sia pari a 7.96 otteniamo: DEaR = 46600000 9.26 0.0796 0.01995 = 685000 Pertanto abbiamo il 10% di probabilità di perdere, su questa posizione, più di 685000 euro nell arco di 24 ore! Esempio. Il VAR di un titolo azionario è definito come il prodotto del valore di mercato MV per la volatilità del prezzo ponderata per il livello di confidenza prescelto (per il 90% il fattore di ponderazione è 1, 65) DEaR = MV S 1.65 σ S E possibile suddividere il rischio del titolo nella componente specifica e in quella sistematica: σ 2 S = β 2 Sσ 2 M + σ 2 ε s la componente di rischio specifico σ 2 ε s può essere resa trascurabile con un adeguata politica di diversificazione del portafoglio, per cui possiamo scrivere DEaR = MV S 1.65 σ S = MV S β S 1.65 σ M

2.1. IL RISCHIO DI MERCATO 19 La scelta del modello DEaR e VaR è legata in maniera determinante alla scelta di una dinamica stocastica per i rendimenti. In questo contesto utilizziamo l assunzione più semplice che può essere fatta riguardo alla distribuzione dei rendimenti. L ipotesi è che i rendimenti siano rappresentati secondo una distribuzione normale, o gaussiana: più propriamente, nell applicazione di RiskMetrics TM2 si parla di distribuzione localmente gaussiana. Alle problematiche della stima della volatilità e della distribuzione dei rendimenti è dedicata la seconda parte del nostro corso. Il problema della non normalità dei rendimenti deve quindi essere ben presente al risk manager, anche se egli utilizza un ipotesi di distribuzione normale per le sue valutazioni di rischio. In realtà, come vedremo in questo capitolo, l utilizzo della distribuzione normale rende piuttosto agevole il calcolo del Value at Risk anche per portafogli molto vasti. Mostriamo ora un esempio di calcolo del VaR storico. Consideriamo 750 valori dell indice Italiano MIB30 dall aprile 1997 all aprile 2000, ne calcoliamo i 2 RiskMetrics was a free service offered by JP Morgan in 1994 to promote value-at-risk (VaR) as a risk management tool. At the time, VaR was used by some financial firms, but was largely unheard of among corporate treasuries, energy firms and commodity trading firms. RiskMetrics was one of three factors that lead to widespread adoption of value-at-risk by both financial and non-financial firms during the mid 1990s. The other two factors were the Group of 30 Report and the 1996 amendment to the Basel Accord. Founded in 1978, the Group of 30 is a non-profit organization of senior executives, regulators and academics. Through meetings and publications, it seeks to deepen understanding of international economic and financial issues. In 1993, it published a groundbreaking study called Derivatives: Practices and Principles. The work helped shape the emerging field of financial risk management. It has come to be known as the G-30 Report. In the early 1990s, there was an active debate in the United States and other countries about risks posed by the rapidly growing and largely unregulated OTC derivatives market. In the Summer of 1992, Paul Volker, chairman of the Group of 30, approached Dennis Weatherstone, chairman of JP Morgan, and asked him to lead a study of derivatives industry practices. Weatherstone formed an international steering committee and a working group of senior managers from derivatives dealers, end users and related legal, accounting and academic disciplined. They produced a 68-page report, which the Group of 30 published in July 1993. It describes then-current derivatives use by dealers and end-users. The heart of the study is a set of 20 recommendations to help dealers and end-users manage their derivatives activities The Basel Committee, established by the central-bank Governors of the Group of Ten countries at the end of 1974, meets regularly four times a year. It has about thirty technical working groups and task forces which also meet regularly. The Committee s members come from Belgium, Canada, France, Germany, Italy, Japan, Luxembourg, the Netherlands, Spain, Sweden, Switzerland, United Kingdom and United States. Countries are represented by their central bank and also by the authority with formal responsibility for the prudential supervision of banking business where this is not the central bank. The present Chairman of the Committee is Mr Jaime Caruana, Governor of the Bank of Spain, who succeeded Mr William J McDonough on 1 May 2003. The Committee does not possess any formal supranational supervisory authority, and its conclusions do not, and were never intended to, have legal force. Rather, it formulates broad supervisory standards and guidelines and recommends statements of best practice in the expectation that individual authorities will take steps to implement them through detailed arrangements - statutory or otherwise - which are best suited to their own national systems. In this way, the Committee encourages convergence towards common approaches and common standards without attempting detailed harmonisation of member countries supervisory techniques.

20 CAPITOLO 2. I RISCHI Figura 2.1: L ipotesi di normalità della definizione di VaR logaritmi e poi i le differenze tra il valore odierno e il valore del giorno precedente; tale differenza prende il nome di logrendimento. Dopodichè in Excel è sufficiente utilizzare la funzione PERCENTILE e si ottiene il valore richiesto: VaR al 95%=PERCENTILE(cellainiziale:cellafinale;0,05)=-0.02231 VaR al 99%=PERCENTILE(cellainiziale:cellafinale;0,01)=-0.03951 Seguendo la definizione ne consegue che le seguenti relazioni sono valide: P =[V n+1 < 0.02231] = 95% P =[V n+1 > 0.02231] = 5% dove V n+1 è il logrendimento ln(s n+1 ) ln(s n ). L HELP di Excel afferma che la funzione PERCENTILE: restituisce il k-esimo dato percentile di valori in un intervallo. È possibile utilizzare questa funzione per stabilire una soglia di accettazione. Ad esempio, si può decidere di esaminare i candidati con un punteggio superiore al 90 percentile. Se poi si considerano 500 valori futuri a partire da aprile 2000 si vuole osservare quante volte si è violato il valore trovato del VaR; si trovano 27 violazioni su 500 corrispondenti al 5.4% che è cosiderato un valore accettabile. Ovviamente se calcolo il VaR oggi, nota una finestra di 750 valori passati, mi aspetto che per 473 valori futuri su 500 la mia stima del VaR sia corretta. 2.1.2 Estensione del concetto di Value at Risk L utilizzo del VaR è stato ed è ancora molto criticato dagli accademici e altre misure di rischio sono state introdotte. Nonostante questo il VaR è tuttora utilizzato da molte istituzioni e per migliorarne le prestazioni è necessario dare una