Il teorema fondamentale del calcolo

Il teorema fondamentale del calcolo Versione da non divulgare. Scritta per comodità degli studenti. Può contenere errori. 1 1 Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, Dicembre 2013

Teorema della media integrale Teorema Sia f un funzione continua su un intervallo [a, b]. Allora esiste un punto c [a, b] tale che (b a)f (c) = b a f. Dimostrazione Per il teorema di Weierstrass esistono x m [a, b] dove la funzione f assume il suo valore minimo m = f (x m ) e x M [a, b] dove la funzione f assume il suo valore massimo M = f (x M ). Come immediata conseguenza della definizione di integrale di f su [a, b] abbiamo (b a)m b a f (b a)m. Per il teorema del valore intermedio, la funzione (b a)f assume in [a, b] tutti i valori compresi tra (b a)m e (b a)m, in particolare quindi assumerà il valore b f. Esiste quindi c [a, b] tale che a (b a)f (c) = b a f

Interpretazione geometrica del teorema della media integrale Il valore dell integrale (area in nero) è compreso tra il rettangolo di base (b a) e altezza m (area in verde) e il rettangolo di base (b a) e altezza M (area in blu), e coincide con il rettangolo di base (b a) e altezza f (c) per un opportuno valore di c compreso tra a e b (area in rosso). 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Il teorema fondamentale del calcolo Sia f una funzione continua su un intervallo [a, b] e sia c un punto di [a, b]. Consideriamo la funzione g definita da g(x) = x c f Teorema fondamentale del calcolo: g (x) = f (x) g g(x + h) g(x) (x) = lim = lim h 0 h h 0 x+h f x c c f h lim h 0 x+h f x h = hf (ξ) = lim = f (x) h 0 h la penultima uguaglianza per il teorema della media integrale (ξ [x, x + h]) e l ultima per la continuità di f, in quanto ξ tende a x quando h tende a zero.

La soluzione della eq. differenziale f = 0 Consideriamo l equazione differenziale f (x) = 0, per ogni x in un dato intervallo I. L incognita è una funzione, definita su I. Vogliamo dimostrare che le soluzioni di questa equazione differenziali sono tutte e sole le funzioni costanti su I. Sia a I e sia x I. Per il teorema di Lagrange esiste y (a, x) tale che, f (x) f (a) = (x a)f (y). Essendo f identicamente nulla su I, f (x) = f (a), per ogni x I. Attenzione!! La dimostrazione funziona quando consideriamo l equazione su un intervallo. Se la consideriamo su più intervalli disgiunti la stessa dimostrazione implica che ogni soluzione di f (x) = 0 è localmente costante, ovvero è costante su ogni intervallo, ma questa costante può cambiare da un intervallo all altro. Per esempio, la funzione { 1 se x < 0 f (x) = 1 se x > 0 è soluzione dell equazione differenziale f = 0 su (, 0) (0, + ).

La soluzione dell equazione differenziale f = g Consideriamo l equazione differenziale f = g dove f è una funzione incognita e g una funzione data. Osserviamo innanzitutto che, se f 1 e f 2 sono due soluzioni di questa equazione, la loro differenza è soluzione dell equazione differenziale f = 0, che abbiamo discusso nella slide precedente. Quindi, se decomponiamo il dominio di definizione della funzione incognita nell unione di intervalli aperti disgiunti, la soluzione dell equazione f = g è definita a meno di una costante, diversa per ogni intervallo. In particolare, che è il caso che considereremo quasi sempre, se consideriamo l equazione su un intervallo, la soluzione è definita a meno di una costante. Per il teorema fondamentale del calcolo inoltre, la soluzione dell equazione f = g su un intervallo I si può scrivere, utilizzando l operazione di integrazione nella forma f (x) = dove a è un qualunque punto di I. Se cambiamo a con b I, la differenza tra le soluzioni x a g e x b g è la costante b a g. Ogni soluzione dell equazione f = g si chiama primitiva di g. x a g

Esempi Diamo alcuni esempi di primitive di funzioni elementari, ricordandoci sempre che se la funzione è definitra su un intervallo la primitiva è definita a meno di una costante Funzione Primitiva Intervallo x x 2 /2 + c su R x α x, α 1 α+1 α+1 + c su (0, + ) 1/x log x + c su (0, + ) 1/x log x + c 1 χ (,0) + c 2 χ (0,+ ) su (, 0) (0, + ) e x e x + c su R cos x sin x + c su R sin x cos x + c su R 1/(1 + x 2 ) arctan x + c su R

Il calcolo delle primitive e il calcolo degli integrali definiti Se conosciamo una primitiva f di una funzione g su un intervallo I il teorema fondamentale del calcolo ci permette di concludere che, per ogni a, b I Per esempio, π 0 1 0 b a g = f (b) f (a) 1 0 x 2 = 1/3 x n = 1 n + 1 n N sin x = cos(π) + cos(0) = 1. D altra parte per molte funzioni elementari, la primitiva NON È UNA FUNZIONE ELEMENTARE e quindi non abbiamo formule esatte per il calcolo de corrispondenti integrali definiti. L esempio più importante è la funzione f (x) = e x 2.

Integrale improprio Abbiamo visto come calcolare l integrale di una funzione continua su un intervallo chiuso [a, b]. Può succedere di voler calcolare l integrale di una funzione continua su un intervallo aperto (a, b), quando la funzione diverge (ciè il limite diventa infinito) al tendere di x ad a, a b o ad entrambi i valori (eventualmente a = e/o b = + ), per esempio + 1. 1 x 2 Possiamo talvolta calcolare un tale integrale con un passaggio al limite. Vediamo come in un paio di esempi + 1 oppure 1 0 1 x 2 = t lim t + 1 1 x 2 = lim ( x 1 ) ( t = lim 1t ) + 1 = 1 t + 1 t + 1 1 1 ( = lim = lim 2x 1/2) 1 ( x 1/2 t 0 + t x 1/2 = lim 2 2t 1/2) = 2 t 0 + t t 0 + Questi integrali si chiamano impropri.

Notazione per le primitive Indichiamo con f (x) dx una funzione la cui derivata coincide con f, cioè una primitiva di f. Sappiamo che la primitiva è definita a meno di una costante per ogni componente connessa dell intervallo di definizione di f. Scriveremo f (x) dx g per indicare che g è una primitiva di f. Supponendo che il dominio di f si possa scrivere come unione disgiunta di intervalli I 1 I m, e che f (x) dx g f (x) dx h allora g h = c 1 χ I1 + + c m χ Im, dove χ I indica la funzione caratteristica dell intervallo I, ovvero la funzione che vale 1 per i valori della variabile che appartengono all intervallo I e vale 0 per i valori della variabile che non appartengono all intervallo I.

Integrazione per sostituzione diretta Supponiamo di conoscere la primitiva F di una funzione f, per esempio sappiamo che F(x) = sin x è una primitiva di f (x) = cos x. Possiamo facilmente determinatre una primitiva di f (g(x)) g (x). Basta prendere F(g(x)). Infatti (F(g(x))) = F (g(x)) g (x) = f (g(x)) g (x). Simbolicamente f (g(x))g (x) dx f (u) du u=g(x) Esercizi 2 cos 2x dx sin 2x, sin 2 x cos x dx sin 3 x/3, (1/(x + a)) dx log x + a, 1/(x 2 + 2x + 2) arctan(x + 1)

Integrazione per sostituzione diretta: Esempio Vogliamo calcolare 2x e x 2 dx. La funzione integranda ha forma f (g(x))g (x) con f (u) = e u, g(x) = x 2 e quindi g (x) = 2x. Allora, usando la forma generale f (g(x))g (x) dx f (u) du u=g(x) abbiamo 2x e x 2 dx e u du u=x 2 e u u=x 2 = e x 2

Integrazione per parti Come conseguenza della formula di Leibniz per la derivata del prodotto, abbiamo che f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx. Esercizi x sin x dx x cos x + sin x, x 2 cos x dx x sin x + 2x cos x 2 sin x, x 3 sin x, xe x, x cos 3x, x(x 4) 1/2, x 2 log x.

Integrazione per parti: Esempio Vogliamo calcolare log x dx x log x x. La funzione integranda fa forma f (x)g (x) con f (x) = log x e g (x) = 1, e quindi g(x) = x. Allora, usando la formula generale f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx. abbiamo 1 log x dx x log x x dx x log x x dx x log x x.

Integrazione di funzioni razionali (I) È possibile integrare ogni funzione razionale (cioè quoziente di due polinomi) attraverso la tecnica della espansione in frazioni parziali. Non discuteremo questa tecnica in generale ma forniremo solo alcuni esempi, cominciando da alcuni casi elementari (ax + b) n dx 1 log ax + b dx ax + b a (ax + b)n+1 a(n + 1) se x 1 1 dx arctan x. 1 + x 2 Osserviamo che possiamo sempre assumere che la funzione razionale che vogliamo integrare abbia forma f (x) = P(x)/Q(x) con grado di P(x) minore del grado di Q(x) (funzione razionale propria), altrimenti, usando l algoritmo di divisione tra polinomi, possiamo assumere che P(x)/Q(x) = T (x) + R(x)/Q(x), con T (x) polinomio, che sappiamo integrare direttamente, e R(x) polinomio di grado minore del grado di Q(x).

Integrazione di funzioni razionali (II) Quando il denominatore ha radici reali distinte, possiamo procedere come nel seguente esempio, in cui si sostituisce l integrando 4x 1 (x 1)(x+2) con 1 x 1 + 3 x+2. 4x 1 dx log x 1 + 3 log x + 2 (x 1)(x + 2) Vale in generale il seguente Teorema Se P(x)/Q(x) è una funzione razionale propria dove Q(x) è un polinomio di grado n che ammette n radici reali distinte a 1,..., a n, allora esistono numeri A 1,..., A n tali che P(x) Q(x) = A 1 x a 1 + A 2 x a 2 + + A n x a n

Integrazione di funzioni razionali (III) Quando il denominatore ha radici reali, non tutte distinte possiamo procedere come nel seguente esempio, in cui si sostituisce 2x l integrando 2 +6 (x 1) 2 (x+2) con 4 9(x 1) + 8 + 14 3(x 1) 2 9(x+2). 2x 2 + 6 (x 1) 2 (x + 2) dx 4 9 log x 1 8 3(x 1) + 14 9 Vale in generale il seguente Teorema log x + 2 Se P(x)/Q(x) è una funzione razionale propria dove Q(x) è un polinomio di grado n che ammette, tra le sue radici, la radice a ripetuta esattamente k volte, allora esistono A 1,..., A k tali che P(x) Q(x) = A 1 x a + A 2 (x a) 2 + + A k (x a) k +...

Integrazione di funzioni razionali (IV) Quando Q(x) ammette radici complesse coniugate, per ottenere l espansione in frazioni parziali, è necessario considerare anche termini del tipo Ax + B x 2 + bx + c e Ax + B (x 2 + bx + c) m Non approfondiremo questo caso in queste lezioni.

Integrazione per sostituzione inversa La tecnica di sostituzione inversa riduce la valutazione degli integrali indefiniti della forma f (g(x))g (x) dx a quella degli integrali f (v) dv. Talvolta capita la situazione inversa. Non sappiamo calcolare f (x) dx ma riusciamo a trovare una funzione invertibile h per cui siamo in grado di calcolare f (h(v))h (v) dv. Formalmente f (x) dx f (h(v))h (v) dv dove g è la funzione inversa di f. Esempio v=g(x) Per esempio, se x > 0, f (x) = 1/( x + 1), x = h(v) = v 2, v = g(x) = x, allora 1 ( x + 1) dx f (h(v))h (v) 2v v=g(x) v + 1 v= x

Integrazione per sostituzione inversa: esempi Esempio 1 f (x) = 1 x 2. Basta porre x = h(v) = sin v, v = g(x) = arcsin x. Esempio 2 f (x) = 1/(cos x + sin x), x = h(v) = 2 arctan v, v = g(x) = tan x/2. Nota che cos h(v) = (1 v 2 )/(1 + v 2 ) e sin h(v) = 2v/(1 + v 2 ). Si noti che la sostituzione suggerita nel secondo esempio permette di trasformare l integrale di una funzione razionale in sin e cos nell integrale di una funzione razionale in x, per cui esiste un metodo generale di integrazione.

Integrazione per sostituzione: casi semplici Per integrare (ax + b) n dx, pongo v = ax + b, allora dv = adx. Sostituendo, (ax + b) n dx = v n dv a v n+1 a(n+1) e sostituendo di nuovo otteniamo (ax + b) n (ax + b)n+1 dx a(n + 1) Per integrare 1 ax+b dx, pongo v = ax + b e procedo come sopra. Esercizio Integrare 1 c 2 +(ax+b) 2.

Applicazioni dell integrale L integrale R b f dx permette di calcolare l area della regione di piano a comprese tra il grafico della funzione non negativa f e l intervallo [a, b] sopra il quale tale grafico è definito. Oltre all area esistono altre quantità matematiche e fisiche che possono essere calcolate attraverso l integrale: lunghezza, volume, lavoro, baricentro, momento di inerzia. Consideriamo il problema di calcolare il volume di un solido di cui si conoscono le aree delle sezioni del solido con i piani perpendicolari all asse delle ascisse. Indichiamo con π(x) il piano perpendicolare all asse delle ascisse e passante per il punto di tale asse di coordinata x e con A(0) l area della sezione del solido con il piano π(x). Supponiamo che il solido sia compreso tra i piani π(a) e π(b). Allora il volume V del solido si calcola come V = Z b a A(x) dx Per esempio, se il solido si ottiene ruotando rispetto all asse x l area compresa tra il grafico della funzione f nel piano x, y e il segmento [a, b] sull asse delle x V = Z b a π f (x) 2 dx

Esempi Volume del cono ottenuto ruotando il segmento della retta y = x sull intervallo [0, 1] è V = 1 0 πx 2 dx = π 3 La sfera di raggio r si puè generare ruotando la curva y = r 2 x 2 attorno all intervallo [ r, r]. Quindi il volume della sfera è ( r V = π(r 2 x 2 ) dx = π r 2 x r x ) 3 r r 3 = π (2r 3 23 ) r 3 = 4 3 πr 3 r r